Η ενότητα Εισαγωγική Επισκόπηση συζητά δύο πολύ απλά παραδείγματα(πάρθηκε από το Shumway, 1988) για να επεξηγήσει τη φύση της φασματικής ανάλυσης και ερμηνείας των αποτελεσμάτων. Εάν δεν είστε εξοικειωμένοι με αυτήν τη μέθοδο, συνιστάται να δείτε πρώτα αυτήν την ενότητα αυτού του κεφαλαίου.

Αναθεώρηση και αρχείο δεδομένων. Το αρχείο Sunspot.sta περιέχει μέρος των γνωστών αριθμών ηλιακών κηλίδων (Wolfer) από το 1749 έως το 1924 (Anderson, 1971). Παρακάτω είναι μια λίστα με τα πρώτα λίγα δεδομένα από το αρχείο παραδείγματος.

Υποτίθεται ότι ο αριθμός των ηλιακών κηλίδων επηρεάζει τον καιρό στη γη, καθώς και τη γεωργία, τις τηλεπικοινωνίες κ.λπ. Χρησιμοποιώντας αυτή την ανάλυση, μπορεί κανείς να προσπαθήσει να ανακαλύψει εάν η δραστηριότητα των ηλιακών κηλίδων είναι πραγματικά κυκλική (στην πραγματικότητα, αυτά τα δεδομένα συζητούνται ευρέως στη βιβλιογραφία, βλέπε, για παράδειγμα, Bloomfield, 1976, ή Shumway, 1988).

Ορισμός ανάλυσης. Αφού εκτελέσετε την ανάλυση, ανοίξτε το αρχείο δεδομένων Sunspot.sta. Κάντε κλικ στο κουμπί Variables και επιλέξτε τη μεταβλητή Spots (σημειώστε ότι εάν το αρχείο δεδομένων Sunspot.sta είναι το τρέχον άνοιγμα αρχείουδεδομένα και η μεταβλητή Spots είναι η μόνη μεταβλητή σε αυτό το αρχείο, τότε όταν ανοίξει το παράθυρο διαλόγου Ανάλυση χρονικής σειράς, τα Spots θα επιλεγούν αυτόματα). Τώρα κάντε κλικ στο κουμπί ανάλυσης Fourier (φασματική) για να ανοίξετε το πλαίσιο διαλόγου ανάλυσης Fourier (φασματική).

Πριν εφαρμόσετε τη φασματική ανάλυση, σχεδιάστε πρώτα τον αριθμό των ηλιακών κηλίδων. Σημειώστε ότι το αρχείο Sunspot.sta περιέχει τα αντίστοιχα έτη ως ονόματα παρατήρησης. Για να χρησιμοποιήσετε αυτά τα ονόματα στο γραμμικά γραφήματα, κάντε κλικ στην καρτέλα Προβολή σειράς και επιλέξτε Ονόματα υποθέσεων στην ενότητα Σημεία επισήμανσης. Επίσης, επιλέξτε Μη αυτόματη ρύθμιση κλίμακας άξονα Χ και Ελάχ. = 1, και Βήμα = 10. Στη συνέχεια, κάντε κλικ στο κουμπί Γράφημα δίπλα στο κουμπί Προβολή επιλογής. μεταβλητός.

Ο αριθμός των ηλιακών κηλίδων φαίνεται να ακολουθεί ένα κυκλικό μοτίβο. Η τάση δεν είναι ορατή, επομένως επιστρέψτε στο παράθυρο φασματική ανάλυση και αποεπιλέξτε την επιλογή Κατάργηση γραμμικής τάσης στην ομάδα Μετασχηματισμός σειράς πηγής.

Είναι προφανές ότι ο μέσος όρος της σειράς είναι μεγαλύτερος του 0 (μηδέν). Επομένως, αφήστε επιλεγμένη την επιλογή Αφαίρεση μέσης τιμής [διαφορετικά το περιοδόγραμμα θα «βουλώσει» με πολύ μεγάλη κορυφή στη συχνότητα 0 (μηδέν)].

Τώρα είστε έτοιμοι να ξεκινήσετε την ανάλυσή σας. Τώρα κάντε κλικ στο OK (Μονοδιάστατη ανάλυση Fourier) για να εμφανιστεί το πλαίσιο διαλόγου Αποτελέσματα φασματικής ανάλυσης Fourier.

Προβολή αποτελεσμάτων. Η ενότητα πληροφοριών στο επάνω μέρος του πλαισίου διαλόγου εμφανίζει ορισμένα συνοπτικά στατιστικά στοιχεία για τη σειρά. Δείχνει επίσης τις πέντε μεγαλύτερες κορυφές στο περιοδόγραμμα (κατά συχνότητα). Οι τρεις μεγαλύτερες κορυφές είναι στις συχνότητες 0,0852, 0,0909 και 0,0114. Αυτές οι πληροφορίες είναι συχνά χρήσιμες όταν αναλύονται πολύ μεγάλες σειρές (για παράδειγμα, με περισσότερες από 100.000 παρατηρήσεις) που δεν αποτυπώνονται εύκολα σε ένα μόνο γράφημα. Σε αυτή την περίπτωση, ωστόσο, είναι εύκολο να δούμε τις τιμές του περιοδογραφήματος. κάνοντας κλικ στο κουμπί Περιοδόγραμμα στην ενότητα Περιοδόγραμμα και Γραφήματα Φασματικής Πυκνότητας.

Το γράφημα του περιοδογράμματος δείχνει δύο καθαρές κορυφές. Το μέγιστο είναι σε συχνότητα περίπου 0,9. Επιστρέψτε στο παράθυρο Αποτελέσματα φασματικής ανάλυσης και κάντε κλικ στο κουμπί Σύνοψη για να δείτε όλες τις τιμές του περιοδογραφήματος (και άλλα αποτελέσματα) στον πίνακα αποτελεσμάτων. Παρακάτω είναι ένα τμήμα του πίνακα αποτελεσμάτων με τη μεγαλύτερη κορυφή που προσδιορίζεται από το περιοδόγραμμα.

Όπως συζητήθηκε στην ενότητα Εισαγωγική Ανασκόπηση, η Συχνότητα είναι ο αριθμός των κύκλων ανά μονάδα χρόνου (όπου κάθε παρατήρηση είναι μία μονάδα χρόνου). Έτσι, η Συχνότητα 0,0909 αντιστοιχεί στην τιμή των 11 Περιόδων (ο αριθμός των χρονικών μονάδων που απαιτούνται για έναν πλήρη κύκλο). Δεδομένου ότι τα δεδομένα ηλιακών κηλίδων στο Sunspot.sta αντιπροσωπεύουν ετήσιες παρατηρήσεις, μπορεί να συναχθεί το συμπέρασμα ότι υπάρχει ένας ξεχωριστός κύκλος 11 ετών (ίσως ελαφρώς μεγαλύτερος από 11 ετών) στη δραστηριότητα των ηλιακών κηλίδων.

Φασματική πυκνότητα. Συνήθως, για τον υπολογισμό των εκτιμήσεων φασματικής πυκνότητας, το περιοδόγραμμα εξομαλύνεται για να αφαιρεθούν οι τυχαίες διακυμάνσεις. Ο τύπος του σταθμισμένου κινούμενου μέσου όρου και το πλάτος παραθύρου μπορούν να επιλεγούν στην ενότητα Spectral Windows. Η ενότητα Εισαγωγική Επισκόπηση εξετάζει αυτές τις επιλογές λεπτομερώς. Για το παράδειγμά μας, ας αφήσουμε επιλεγμένο το προεπιλεγμένο παράθυρο (πλάτος Hamming 5) και ας επιλέξουμε το γράφημα φασματικής πυκνότητας.

Οι δύο κορυφές είναι πλέον ακόμη πιο διακριτές. Ας δούμε τις τιμές του περιοδογραφήματος ανά περίοδο. Επιλέξτε το πεδίο Περίοδος στην ενότητα Χρονοδιάγραμμα. Τώρα επιλέξτε το γράφημα φασματικής πυκνότητας.

Και πάλι μπορεί να φανεί ότι υπάρχει ένας έντονος κύκλος 11 ετών στη δραστηριότητα των ηλιακών κηλίδων. Επιπλέον, υπάρχουν ενδείξεις ύπαρξης μεγαλύτερου κύκλου, περίπου 80-90 ετών.

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΚΑΙ ΚΛΑΣΙΚΗ ΨΗΦΙΑΚΗ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ.
Medvedev S.Yu., Ph.D.

Εισαγωγή

Η φασματική ανάλυση είναι μία από τις μεθόδους επεξεργασίας σήματος που σας επιτρέπει να χαρακτηρίσετε τη σύνθεση συχνότητας του μετρούμενου σήματος. Ο μετασχηματισμός Fourier είναι ένα μαθηματικό πλαίσιο που συσχετίζει ένα χρονικό ή χωρικό σήμα (ή κάποιο μοντέλο αυτού του σήματος) με την αναπαράσταση του τομέα συχνότητάς του. Οι στατιστικές μέθοδοι παίζουν σημαντικό ρόλο στη φασματική ανάλυση, καθώς τα σήματα, κατά κανόνα, είναι τυχαία ή θορυβώδη κατά τη διάδοση ή τη μέτρηση. Εάν τα βασικά στατιστικά χαρακτηριστικά ενός σήματος ήταν επακριβώς γνωστά ή μπορούσαν να προσδιοριστούν από ένα πεπερασμένο διάστημα αυτού του σήματος, τότε η φασματική ανάλυση θα αντιπροσώπευε έναν κλάδο της «ακριβούς επιστήμης». Ωστόσο, στην πραγματικότητα, από ένα τμήμα σήματος μπορεί κανείς να λάβει μόνο μια εκτίμηση του φάσματος του. Επομένως, η πρακτική της φασματικής ανάλυσης είναι ένα είδος χειροτεχνίας (ή τέχνης;) μάλλον υποκειμενικής φύσης. Η διαφορά μεταξύ των φασματικών εκτιμήσεων που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της επεξεργασίας του ίδιου τμήματος σήματος με διαφορετικές μεθόδους μπορεί να εξηγηθεί από τη διαφορά στις υποθέσεις που έγιναν σχετικά με τα δεδομένα, διαφορετικοί τρόποιτον μέσο όρο κ.λπ. Εάν τα χαρακτηριστικά του σήματος δεν είναι γνωστά εκ των προτέρων, είναι αδύνατο να πούμε ποια από τις εκτιμήσεις είναι καλύτερη.

Μετασχηματισμός Fourier - η μαθηματική βάση της φασματικής ανάλυσης
Ας συζητήσουμε εν συντομία τους διαφορετικούς τύπους μετασχηματισμού Fourier (για περισσότερες λεπτομέρειες, βλ.).
Ας ξεκινήσουμε με τον μετασχηματισμό Fourier ενός χρονικά συνεχούς σήματος

, (1)

που προσδιορίζει τις συχνότητες και τα πλάτη εκείνων των μιγαδικών ημιτονοειδών (εκθετών) στα οποία αποσυντίθεται κάποια αυθαίρετη ταλάντωση.
Αντίστροφη μετατροπή

. (2)

Η ύπαρξη άμεσου και αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier (που θα ονομάσουμε περαιτέρω μετασχηματισμό Fourier συνεχούς χρόνου - CTFT) καθορίζεται από έναν αριθμό συνθηκών. Επαρκής - απόλυτη ενσωμάτωση σήματος

. (3)

Μια λιγότερο περιοριστική επαρκής συνθήκη είναι το πεπερασμένο της ενέργειας του σήματος

. (4)

Ας παρουσιάσουμε ορισμένες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Fourier και συναρτήσεων που χρησιμοποιούνται παρακάτω, σημειώνοντας ότι ένα ορθογώνιο παράθυρο ορίζεται από την έκφραση

(5)

και η συνάρτηση sinc είναι η έκφραση

(6)

Η συνάρτηση δειγματοληψίας πεδίου χρόνου δίνεται από

(7)

Αυτή η συνάρτηση μερικές φορές ονομάζεται επίσης συνάρτηση περιοδικής συνέχειας.

Πίνακας 1. Κύριες ιδιότητες του NVPF και συναρτήσεις

Ιδιοκτησία, λειτουργία	Λειτουργία	Μετατροπή
Γραμμικότητα	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Μετατόπιση χρόνου	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Μετατόπιση συχνότητας (διαμόρφωση)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Απολέπιση	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
Θεώρημα συνέλιξης πεδίου χρόνου	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Θεώρημα συνέλιξης πεδίου συχνότητας	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
Λειτουργία παραθύρου	Aw(t/T)	2ATsinc(2Tf)
Λειτουργία Sinc	2AFsinc(2Ft)	Aw(f/F)
Λειτουργία παλμού	Διαφήμιση(τ)
Λειτουργία μέτρησης	T(f)	FF(f), F=1/T

Μια άλλη σημαντική ιδιότητα καθορίζεται από το θεώρημα του Parseval για δύο συναρτήσεις g(t) και h(t):

. (8)

Αν βάλουμε g(t) = h(t), τότε το θεώρημα του Parseval ανάγεται στο θεώρημα για την ενέργεια

. (9)

Η έκφραση (9) είναι, στην ουσία, απλώς μια διατύπωση του νόμου της διατήρησης της ενέργειας σε δύο τομείς (χρόνος και συχνότητα). Στο (9) στα αριστερά βρίσκεται η συνολική ενέργεια του σήματος, άρα η συνάρτηση

(10)

περιγράφει την κατανομή συχνότητας της ενέργειας για ένα ντετερμινιστικό σήμα h(t) και επομένως ονομάζεται φασματική πυκνότητα ενέργειας (SED). Χρήση εκφράσεων

(11)

μπορεί να υπολογιστεί το εύρος και τα φάσματα φάσης του σήματος h(t).

Εργασίες δειγματοληψίας και στάθμισης

Στην επόμενη ενότητα, θα εισαγάγουμε τη σειρά Fourier διακριτού χρόνου (DTFS) ή αλλιώς τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier (DFT) ως ειδική περίπτωση του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT) χρησιμοποιώντας δύο βασικές λειτουργίες επεξεργασίας σήματος - λήψη δειγμάτων ( δειγματοληψία) Και ζύγισμαχρησιμοποιώντας ένα παράθυρο. Εδώ εξετάζουμε την επίδραση αυτών των λειτουργιών στο σήμα και τον μετασχηματισμό του. Ο Πίνακας 2 παραθέτει τις συναρτήσεις που εκτελούν στάθμιση και δειγματοληψία.

Για ομοιόμορφες μετρήσεις με διάστημα T δευτερολέπτων, η συχνότητα δειγματοληψίας F είναι ίση με 1/T Hz. Σημειώστε ότι η συνάρτηση στάθμισης και η συνάρτηση δειγματοληψίας στο πεδίο χρόνου ορίζονται TW (time windowing) και TS (time sampling), αντίστοιχα, και στον τομέα συχνότητας - FW (frequency windowing) και FS (frequency sampling).

Πίνακας 2. Συναρτήσεις στάθμισης και δειγματοληψίας

Λειτουργία	Λειτουργία χρόνου	Μετατροπή
Στάθμιση τομέα χρόνου (πλάτος παραθύρου NT sec)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Στάθμιση τομέα συχνότητας (πλάτος παραθύρου 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Μετρώντας στο χρόνο (διάστημα T sec)	TS=T T(t)
Δειγματοληψία συχνότητας (σε διαστήματα 1/NT Hz)

Ας υποθέσουμε ότι λαμβάνονται δείγματα ενός συνεχούς πραγματικού σήματος x(t) με περιορισμένο φάσμα, του οποίου η ανώτερη συχνότητα είναι ίση με F0. Το NVFT ενός πραγματικού σήματος είναι πάντα μια συμμετρική συνάρτηση με πλήρες πλάτος 2F0, βλ. Εικ. 1.
Δείγματα του σήματος x(t) μπορούν να ληφθούν πολλαπλασιάζοντας αυτό το σήμα με τη συνάρτηση δείγματος:

(12)

Εικ. 1 - απεικόνιση του θεωρήματος δειγματοληψίας στο πεδίο του χρόνου για ένα πραγματικό σήμα με περιορισμένο φάσμα:
α - η αρχική συνάρτηση χρόνου και ο μετασχηματισμός Fourier της.
β - συνάρτηση δειγμάτων στο χρόνο και μετασχηματισμός Fourier.
in - time δείγματα της αρχικής συνάρτησης και του περιοδικά συνεχιζόμενου μετασχηματισμού Fourier για την περίπτωση του Fo<1/2T;
d - παράθυρο συχνότητας (ιδανικό χαμηλοπερατό φίλτρο) και ο μετασχηματισμός Fourier του (συνάρτηση sinc).
d - η αρχική συνάρτηση ώρας αποκαταστάθηκε μέσω της λειτουργίας συνέλιξης με τη λειτουργία sinc.

Σύμφωνα με το θεώρημα συνέλιξης πεδίου συχνότητας, το FTFT του σήματος x(t) είναι απλώς η συνέλιξη του φάσματος του σήματος x(t) και ο μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης δείγματος χρόνου (TS):

. (13)

Η συνέλιξη του X(f) με τον μετασχηματισμό Fourier της συνάρτησης δείγματος F (TS)=Y1/T(f) απλώς περιοδικά συνεχίζεται X(f) με διάστημα συχνοτήτων 1/T Hz. Επομένως, το XS(f) είναι ένα περιοδικά εκτεταμένο φάσμα του X(f). Γενικά, δείγματα σε έναν τομέα (για παράδειγμα, χρόνο) οδηγούν σε περιοδική συνέχιση στον τομέα μετασχηματισμού (για παράδειγμα, συχνότητα). Εάν ο ρυθμός δειγματοληψίας επιλεγεί αρκετά χαμηλός (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Προκειμένου να αποκατασταθεί το αρχικό σήμα χρόνου από τα δείγματά του, π.χ. για να παρεμβάλετε μια ορισμένη συνέχεια τιμών μεταξύ αυτών των δειγμάτων, μπορείτε να περάσετε τα δεδομένα του δείγματος μέσω ενός ιδανικού φίλτρου χαμηλής διέλευσης με ορθογώνια απόκριση συχνότητας (Εικ. 1δ)

. (14)

Ως αποτέλεσμα (βλ. Εικ. 1 δ), ο αρχικός μετασχηματισμός Fourier αποκαθίσταται. Χρησιμοποιώντας θεωρήματα συνέλιξης στους τομείς χρόνου και συχνότητας, λαμβάνουμε

. (15)

Η έκφραση (15) είναι μια μαθηματική σημειογραφία Θεωρήματα δειγματοληψίας πεδίου χρόνου(το θεώρημα των Whittaker, Kotelnikov, Shannon - UKSH), το οποίο δηλώνει ότι χρησιμοποιώντας τον τύπο παρεμβολής (15) μπορεί να αποκατασταθεί με ακρίβεια ένα πραγματικό σήμα με περιορισμένο φάσμα κατά άπειρο αριθμόδείγματα γνωστού χρόνου που λαμβάνονται με συχνότητα F = 2F0. Το διπλό στο Θεώρημα (15) είναι το θεώρημα δείγματα στον τομέα συχνότηταςγια σήματα περιορισμένης διάρκειας.
Οι λειτουργίες στο πεδίο χρόνου, παρόμοιες με το (14), περιγράφονται από την έκφραση

, (16)

και οι αντίστοιχοι μετασχηματισμοί είναι εκφράσεις

Έτσι, το NVPF X(f) κάποιου σήματος περιορισμένης διάρκειας μπορεί να αποκατασταθεί αναμφισβήτητα από ισαπέχοντα δείγματα του φάσματος ενός τέτοιου σήματος εάν το επιλεγμένο διάστημα δειγματοληψίας συχνότητας ικανοποιεί τη συνθήκη F1/2T 0 Hz, όπου T 0 είναι το σήμα διάρκεια.

Σχέσεις μεταξύ συνεχών και διακριτών μετασχηματισμών

Ένα ζεύγος μετασχηματισμών για τον συμβατικό ορισμό του διακριτού μετασχηματισμού Fourier σε σημείο Ν (DFT) χρονική ακολουθία x[n] και το αντίστοιχο Ν-σημείο Ακολουθίες μετασχηματισμού FourierΤο X[k] δίνεται από τις εκφράσεις

, (18)
. (19)

Προκειμένου να ληφθούν φασματικές εκτιμήσεις από δείγματα δεδομένων στις αντίστοιχες μονάδες ενέργειας ή ισχύος, γράφουμε μια σειρά Fourier διακριτού χρόνου (DTFS), η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως κάποια προσέγγιση του μετασχηματισμού Fourier συνεχούς χρόνου (CTFT), με βάση τη χρήση πεπερασμένου αριθμού δειγμάτων δεδομένων:

Για να δείξουμε τη φύση της συμμόρφωσης με το DVRF ( διακεκριμένοςσυναρτήσεις τόσο στον τομέα χρόνου όσο και στη συχνότητα) και στα CVDF (συνεχείς συναρτήσεις στους τομείς χρόνου και συχνότητας), χρειαζόμαστε μια ακολουθία τεσσάρων γραμμικών μεταθετικών πράξεων: στάθμιση στους τομείς χρόνου και συχνότητας και δειγματοληψία ή δειγματοληψίατόσο στον τομέα του χρόνου όσο και της συχνότητας. Εάν μια πράξη στάθμισης εκτελεστεί σε μία από αυτές τις περιοχές, τότε, σύμφωνα με το θεώρημα συνέλιξης, θα αντιστοιχεί σε μια λειτουργία φιλτραρίσματος (συνέλιξη) σε μια άλλη περιοχή με τη συνάρτηση sinc. Ομοίως, εάν η διακριτοποίηση εκτελείται σε μια περιοχή, τότε μια λειτουργία περιοδικής συνέχισης εκτελείται σε μια άλλη. Δεδομένου ότι η ζύγιση και η λήψη δειγμάτων είναι γραμμικές και αντισταθμιστικές λειτουργίες, είναι δυνατοί διάφοροι τρόποι ταξινόμησης τους, δίνοντας το ίδιο τελικό αποτέλεσμα με διαφορετικά ενδιάμεσα αποτελέσματα. Το Σχήμα 2 δείχνει δύο πιθανές ακολουθίες για την εκτέλεση αυτών των τεσσάρων λειτουργιών.

Ρύζι. 2. Δύο πιθανές ακολουθίες δύο λειτουργιών ζύγισης και δύο εργασιών δειγματοληψίας, που συνδέουν το NVPF και το DVRF: FW - εφαρμογή ενός παραθύρου στον τομέα συχνότητας. TW - εφαρμογή ενός παραθύρου στον τομέα του χρόνου. FS - λήψη δειγμάτων στον τομέα συχνότητας. TS - λήψη δειγμάτων στον τομέα του χρόνου.
1 - μετασχηματισμός Fourier συνεχούς χρόνου, εξίσωση (1).
4 - μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου, εξίσωση (22).
5 - Σειρά Fourier με συνεχή χρόνο, εξίσωση (25);
8 - Σειρά Fourier με διακριτό χρόνο, εξίσωση (27)

Ως αποτέλεσμα της εκτέλεσης εργασιών ζύγισης και δειγματοληψίας στους κόμβους 1, 4, 5 και 8, θα προκύψουν τέσσερις διαφορετικοί τύποι σχέσεων Fourier. Κόμβοι στους οποίους βρίσκεται η συνάρτηση ο τομέας συχνότητας είναι συνεχής, αναφέρομαι σε μεταμορφώσεις Fourier και οι κόμβοι στους οποίους η συνάρτηση βρίσκεται στον τομέα συχνότητας διακεκριμένοςαναφέρομαι σε Σειρά Fourier(για περισσότερες λεπτομέρειες βλ.).
Έτσι, στον κόμβο 4, δημιουργείται στάθμιση στον τομέα συχνότητας και δειγματοληψία στον τομέα χρόνου διακριτή μετατροπή χρόνουΜετασχηματισμός Fourier (FTFT), ο οποίος χαρακτηρίζεται από μια περιοδική συνάρτηση φάσματος στον τομέα συχνοτήτων με περίοδο 1/T Hz:

(22)

(23)

Σημειώστε ότι η έκφραση (22) ορίζει μια συγκεκριμένη περιοδική συνάρτηση που συμπίπτει με την αρχική μετασχηματισμένη συνάρτηση που καθορίζεται στον κόμβο 1 μόνο στο εύρος συχνοτήτων από -1/2T έως 1/2T Hz. Η έκφραση (22) σχετίζεται με τον μετασχηματισμό Z της διακριτής ακολουθίας x[n] από τη σχέση

(24)

Έτσι, το DVFT είναι απλώς ο μετασχηματισμός Z που υπολογίζεται στον μοναδιαίο κύκλο και πολλαπλασιάζεται με T.
Εάν μετακινηθούμε από τον κόμβο 1 στον κόμβο 8 στο Σχ. 2 κατά μήκος του κάτω κλάδου, στον κόμβο 5 οι πράξεις στάθμισης στο πεδίο χρόνου (περιορίζοντας τη διάρκεια του σήματος) και δειγματοληψίας στον τομέα συχνότητας δημιουργούν μια σειρά Fourier συνεχούς χρόνου (CFTS ). Χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες και τους ορισμούς των συναρτήσεων που δίνονται στους Πίνακες 1 και 2, λαμβάνουμε το ακόλουθο ζεύγος μετασχηματισμών
(25)
(26)

Σημειώστε ότι η έκφραση (26) ορίζει μια συγκεκριμένη περιοδική συνάρτηση, η οποία συμπίπτει με την αρχική (στον κόμβο 1) μόνο στο χρονικό διάστημα από 0 έως NT.
Ανεξάρτητα από το ποια από τις δύο ακολουθίες των τεσσάρων πράξεων επιλέγεται, το τελικό αποτέλεσμα στον κόμβο 8 θα είναι το ίδιο - σειράς Fourier διακριτού χρόνου, που αντιστοιχεί στο ακόλουθο ζεύγος μετασχηματισμών που ελήφθησαν χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες που υποδεικνύονται στον Πίνακα 1.

, (27)

όπου k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

όπου n=0, . . . ,Ν-1 ,
Το ενεργειακό θεώρημα για αυτό το DVRF είναι:

, (29)

και χαρακτηρίζει την ενέργεια μιας ακολουθίας Ν δειγμάτων δεδομένων. Και οι δύο ακολουθίες x[n] και X[k] είναι περιοδικοί συντελεστές N, επομένως η (28) μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

, (30)

όπου 0 n N. Ο παράγοντας T στο (27) - (30) είναι απαραίτητος έτσι ώστε οι (27) και (28) να είναι στην πραγματικότητα μια προσέγγιση του ολοκληρωτικού μετασχηματισμού στο πεδίο ολοκλήρωσης

.(31)

Μηδενική επένδυση

Μέσα από μια διαδικασία που ονομάζεται γέμιση με μηδενικά, η σειρά Fourier διακριτού χρόνου μπορεί να τροποποιηθεί ώστε να παρεμβάλλεται μεταξύ των τιμών N του αρχικού μετασχηματισμού. Αφήστε τα διαθέσιμα δείγματα δεδομένων x,...,x να συμπληρωθούν με μηδενικές τιμές x[N],...X. Το DVRF αυτής της αλληλουχίας δεδομένων 2Ν-κουκκίδων με μηδενική επένδυση θα δοθεί από

(32)

όπου το ανώτερο όριο του αθροίσματος στα δεξιά τροποποιείται για να εξυπηρετεί την παρουσία μηδενικών δεδομένων. Έστω k=2m, άρα

, (33)

όπου m=0,1,...,N-1, ορίζει ζυγές τιμές του X[k]. Αυτό δείχνει ότι για ζυγές τιμές του δείκτη k, η σειρά Fourier διακριτού χρόνου 2Ν σημείων μειώνεται σε σειρά διακριτού χρόνου Ν σημείου. Οι περιττές τιμές του δείκτη k αντιστοιχούν σε παρεμβαλλόμενες τιμές DVRF που βρίσκονται μεταξύ των τιμών του αρχικού DVRF σημείου Ν. Καθώς όλο και περισσότερα μηδενικά προστίθενται στην αρχική ακολουθία N-dot, μπορούν να ληφθούν ακόμη περισσότερα παρεμβαλλόμενα δεδομένα. Στην οριακή περίπτωση ενός άπειρου αριθμού μηδενικών εισόδου, το DVRF μπορεί να θεωρηθεί ως μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου μιας ακολουθίας δεδομένων Ν-σημείων:

. (34)

Ο μετασχηματισμός (34) αντιστοιχεί στον κόμβο 6 στο Σχ. 2.
Υπάρχει μια εσφαλμένη αντίληψη ότι η μηδενική συμπλήρωση βελτιώνει την ανάλυση επειδή αυξάνει το μήκος της ακολουθίας δεδομένων. Ωστόσο, όπως προκύπτει από το Σχ. 3, γέμιση με μηδενικά δεν βελτιώνεταιανάλυση του μετασχηματισμού που λαμβάνεται από μια δεδομένη πεπερασμένη ακολουθία δεδομένων. Η μηδενική επένδυση επιτρέπει απλώς μια παρεμβαλλόμενη μετατροπή πιο λειασμένο σχήμα. Επιπλέον, εξαλείφει τις αβεβαιότητες που προκαλούνται από την παρουσία στοιχείων σήματος στενής ζώνης των οποίων οι συχνότητες βρίσκονται μεταξύ των σημείων Ν που αντιστοιχούν στις εκτιμώμενες συχνότητες του αρχικού DVRF. Κατά την πλήρωση με μηδενικά, η ακρίβεια της εκτίμησης της συχνότητας των φασματικών κορυφών αυξάνεται επίσης. Με τον όρο φασματική ανάλυση θα εννοούμε την ικανότητα διάκρισης μεταξύ των φασματικών αποκρίσεων δύο αρμονικών σημάτων. Ένας γενικά αποδεκτός εμπειρικός κανόνας, που χρησιμοποιείται συχνά στη φασματική ανάλυση, είναι ότι ο διαχωρισμός συχνότητας των διακεκριμένων ημιτονοειδών δεν μπορεί να είναι μικρότερος από ισοδύναμο πλάτος παραθύρου, μέσω των οποίων παρατηρούνται τμήματα (τομές) αυτών των ημιτονοειδών.

Εικ.3. Παρεμβολή με χρήση μηδενικής επένδυσης:
α - Μονάδα DVRF για καταγραφή δεδομένων 16 σημείων που περιέχει τρία ημιτονοειδή χωρίς γέμιση με μηδενικά (οι αβεβαιότητες είναι ορατές: είναι αδύνατο να πούμε πόσα ημιτονοειδή υπάρχουν στο σήμα - δύο, τρία ή τέσσερα).
β - Μονάδα DVRF της ίδιας ακολουθίας μετά τον διπλασιασμό του αριθμού των δειγμάτων της λόγω της προσθήκης 16 μηδενικών (οι αβεβαιότητες επιλύονται, αφού και τα τρία ημιτονοειδή είναι διακριτά.
γ - Μονάδα DVRF της ίδιας ακολουθίας μετά από τετραπλάσια αύξηση του αριθμού των δειγμάτων της λόγω της προσθήκης μηδενικών.

Το ισοδύναμο εύρος ζώνης παραθύρου μπορεί να οριστεί ως
όπου W(f) είναι ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου της συνάρτησης παραθύρου, για παράδειγμα, ορθογώνιο (5). Ομοίως, μπορείτε να εισέλθετε ισοδύναμη διάρκεια παραθύρου

Μπορεί να φανεί ότι η ισοδύναμη διάρκεια ενός παραθύρου (ή οποιουδήποτε άλλου σήματος) και το ισοδύναμο εύρος ζώνης του μετασχηματισμού του είναι αμοιβαία αντίστροφα μεγέθη: TeBe=1.

Γρήγορος μετασχηματισμός Fourier

Ο γρήγορος μετασχηματισμός Fourier (FFT) δεν είναι άλλος τύπος μετασχηματισμού Fourier, αλλά το όνομα ενός αριθμού αποτελεσματικών αλγόριθμους, σχεδιασμένο για γρήγορο υπολογισμό της σειράς Fourier διακριτού χρόνου. Το κύριο πρόβλημα που προκύπτει στην πρακτική εφαρμογή του DVRF έγκειται στον μεγάλο αριθμό υπολογιστικών πράξεων ανάλογων με το N2. Αν και πολύ πριν από την έλευση των υπολογιστών είχαν προταθεί αρκετά αποδοτικά υπολογιστικά σχήματα που θα μπορούσαν να μειώσουν σημαντικά τον αριθμό των υπολογιστικών πράξεων, έγινε μια πραγματική επανάσταση με τη δημοσίευση το 1965 ενός άρθρου των Cooly και Tukey με έναν πρακτικό αλγόριθμο για γρήγορη (αριθμός λειτουργιών Nlog 2 N) υπολογισμοί DVRF . Μετά από αυτό, αναπτύχθηκαν πολλές παραλλαγές, βελτιώσεις και προσθήκες στη βασική ιδέα, σχηματίζοντας μια κατηγορία αλγορίθμων γνωστών ως γρήγορος μετασχηματισμός Fourier. Η βασική ιδέα του FFT είναι να διαιρεθεί ένα DVRF σημείου Ν σε δύο ή περισσότερα μικρότερα DVRF, καθένα από τα οποία μπορεί να υπολογιστεί χωριστά και στη συνέχεια να αθροιστεί γραμμικά με τα άλλα για να ληφθεί το DVRF της αρχικής ακολουθίας Ν-σημείων.
Ας αναπαραστήσουμε τον διακριτό μετασχηματισμό Fourier (DFFT) στη μορφή

, (35)

όπου η τιμή W N =exp(-j2 /N) ονομάζεται συντελεστής στροφής (εφεξής σε αυτό το τμήμα, η περίοδος δειγματοληψίας είναι T=1). Ας επιλέξουμε στοιχεία με ζυγούς και περιττούς αριθμούς από την ακολουθία x[n]

. (36)

Από τότε όμως
. Επομένως, το (36) μπορεί να γραφτεί με τη μορφή

, (37)

όπου κάθε όρος είναι μετασχηματισμός μήκους N/2

(38)

Σημειώστε ότι η ακολουθία (WN/2) nk είναι περιοδική σε k με περίοδο N/2. Επομένως, αν και ο αριθμός k στην έκφραση (37) παίρνει τιμές από 0 έως N-1, καθένα από τα αθροίσματα υπολογίζεται για τιμές k από 0 έως N/2-1. Είναι δυνατός ο υπολογισμός του αριθμού των μιγαδικών πράξεων πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης που απαιτούνται για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourier σύμφωνα με τον αλγόριθμο (37)-(38). Δύο μετασχηματισμοί Fourier N/2 σημείων σύμφωνα με τους τύπους (38) περιλαμβάνουν την εκτέλεση 2(N/2) 2 πολλαπλασιασμών και περίπου τον ίδιο αριθμό προσθηκών. Ο συνδυασμός δύο μετασχηματισμών N/2-σημείων χρησιμοποιώντας τον τύπο (37) απαιτεί άλλους N πολλαπλασιασμούς και N προσθήκες. Επομένως, για τον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourier για όλες τις τιμές N του k, είναι απαραίτητο να πραγματοποιηθούν πολλαπλασιασμοί και προσθήκες N+N 2/2. Ταυτόχρονα, ο άμεσος υπολογισμός με χρήση του τύπου (35) απαιτεί πολλαπλασιασμούς και προσθήκες N 2. Ήδη για Ν>2 η ανισότητα Ν+Ν 2 /2 ικανοποιείται< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

Σε αυτήν την περίπτωση, λόγω της περιοδικότητας της ακολουθίας W nk N/4 σε k με περίοδο N/4, τα αθροίσματα (40) πρέπει να υπολογίζονται μόνο για τιμές k από 0 έως N/4-1. Επομένως, ο υπολογισμός της ακολουθίας X[k] χρησιμοποιώντας τους τύπους (37), (39) και (40) απαιτεί, όπως είναι εύκολο να υπολογιστεί, ήδη 2N+N 2 /4 πράξεις πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης.
Ακολουθώντας αυτό το μονοπάτι, το ποσό του υπολογισμού X[k] μπορεί να μειωθεί όλο και περισσότερο. Μετά από m=log 2 N επεκτάσεις φτάνουμε σε μετασχηματισμούς Fourier δύο σημείων της μορφής

(41)

όπου οι "μετασχηματισμοί ενός σημείου" X 1 είναι απλώς δείγματα του σήματος x[n]:

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Ως αποτέλεσμα, μπορούμε να γράψουμε τον αλγόριθμο FFT, ο οποίος για ευνόητους λόγους ονομάζεται αλγόριθμος αραίωσης χρόνου :

X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N,

όπου k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M ,

όπου k=0,1,...,2N/M -1, p=0,1,...,M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2, (43)

όπου k=0,1,...,N-1

Σε κάθε στάδιο των υπολογισμών εκτελούνται Ν μιγαδικοί πολλαπλασιασμοί και προσθέσεις. Και δεδομένου ότι ο αριθμός των αποσυνθέσεων της αρχικής ακολουθίας σε μισού μήκους υποακολουθίες είναι ίσος με log 2 N, τότε ο συνολικός αριθμός πράξεων πολλαπλασιασμού-προσθήκης στον αλγόριθμο FFT είναι ίσος με Nlog 2 N. Για μεγάλο N, υπάρχει σημαντική εξοικονόμηση σε υπολογιστικές λειτουργίες σε σύγκριση με τους άμεσους υπολογισμούς DFT. Για παράδειγμα, όταν N = 2 10 = 1024 ο αριθμός των πράξεων μειώνεται κατά 117 φορές.
Ο χρονικά αποδεκατισμένος αλγόριθμος FFT που εξετάσαμε βασίζεται στον υπολογισμό του μετασχηματισμού Fourier σχηματίζοντας υποακολουθίες της ακολουθίας εισόδου x[n]. Ωστόσο, είναι επίσης δυνατό να χρησιμοποιηθεί μια υποακολουθία αποσύνθεση του μετασχηματισμού Fourier X[k]. Ο αλγόριθμος FFT που βασίζεται σε αυτή τη διαδικασία ονομάζεται c αραίωση συχνότητας.Μπορείτε να διαβάσετε περισσότερα για τον γρήγορο μετασχηματισμό Fourier, για παράδειγμα, στο.

Τυχαίες διεργασίες και φασματική πυκνότητα ισχύος

Διακεκριμένος τυχαία διαδικασίαΤο x μπορεί να θεωρηθεί ως ένα ορισμένο σύνολο, ή σύνολο, πραγματικών ή σύνθετων διακριτών χρονικών (ή χωρικών) ακολουθιών, καθεμία από τις οποίες θα μπορούσε να παρατηρηθεί ως αποτέλεσμα κάποιου πειράματος (n είναι ο δείκτης χρόνου, i είναι ο αριθμός παρατήρησης). Η ακολουθία που προκύπτει ως αποτέλεσμα μιας από τις παρατηρήσεις θα συμβολίζεται με x[n]. Η λειτουργία του μέσου όρου πάνω από το σύνολο (δηλ. στατιστικός μέσος όρος) θα υποδηλωθεί από τον χειριστή<>. Ετσι, - τη μέση τιμή της τυχαίας διαδικασίας x[n] τη στιγμή n. ΑυτοσυσχέτισηΗ τυχαία διαδικασία σε δύο διαφορετικούς χρόνους n1 και n2 προσδιορίζεται από την έκφραση r xx = .

Μια τυχαία διεργασία ονομάζεται σταθερή μέσα με ευρεία έννοια, εάν η μέση τιμή του είναι σταθερή (ανεξάρτητη από το χρόνο), και η αυτοσυσχέτιση εξαρτάται μόνο από τη διαφορά των χρονικών δεικτών m=n1-n2 (χρονική μετατόπιση ή καθυστέρηση μεταξύ των δειγμάτων). Έτσι, μια ευρέως ακίνητη διακριτή τυχαία διεργασία x[n] χαρακτηρίζεται από μια σταθερή μέση τιμή =Και αλληλουχία αυτοσυσχέτισης(AKP)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Ας σημειώσουμε τις ακόλουθες ιδιότητες του αυτόματου κιβωτίου ταχυτήτων:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

που ισχύουν για όλα τα μ.
Η φασματική πυκνότητα ισχύος (PSD) ορίζεται ως ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου (DTFT) μιας ακολουθίας αυτοσυσχέτισης

. (46)

Το PSD, το πλάτος του οποίου υποτίθεται ότι περιορίζεται σε ±1/2T Hz, είναι μια περιοδική συνάρτηση συχνότητας με περίοδο 1/T Hz. Η συνάρτηση PSD περιγράφει την κατανομή συχνότητας της ισχύος μιας τυχαίας διαδικασίας. Για να επιβεβαιώσετε το όνομα που έχει επιλεγεί για αυτό, εξετάστε το αντίστροφο DVFT

(47)

υπολογίζεται στο m=0

(48)

Η αυτοσυσχέτιση σε μηδενική μετατόπιση χαρακτηρίζει μέση ισχύςτυχαία διαδικασία. Σύμφωνα με την (48), η περιοχή κάτω από την καμπύλη P xx (f) χαρακτηρίζει τη μέση ισχύ, άρα η P xx (f) είναι μια συνάρτηση πυκνότητας (ισχύς ανά μονάδα συχνότητας) που χαρακτηρίζει την κατανομή συχνότητας της ισχύος. Το ζεύγος μετασχηματισμών (46) και (47) ονομάζονται συχνά Θεώρημα Wiener-Khinchinγια την περίπτωση του διακριτού χρόνου. Εφόσον r xx [-m]=r* xx [m], τότε το PSD πρέπει να είναι μια αυστηρά πραγματική θετική συνάρτηση. Εάν το ACP είναι μια αυστηρά πραγματική συνάρτηση, τότε r xx [-m]=r xx [m] και το PSD μπορούν να γραφτούν με τη μορφή του συνημιτόνου Fourier

,

που σημαίνει επίσης ότι P xx (f) = P xx (-f), δηλ. Το SPM είναι μια ομοιόμορφη συνάρτηση.
Μέχρι τώρα, κατά τον προσδιορισμό της μέσης τιμής, της συσχέτισης και της φασματικής πυκνότητας ισχύος μιας τυχαίας διαδικασίας, χρησιμοποιούσαμε στατιστικό μέσο όρο για το σύνολο. Ωστόσο, στην πράξη συνήθως δεν είναι δυνατό να ληφθεί ένα σύνολο εφαρμογών της απαιτούμενης διαδικασίας από το οποίο θα μπορούσαν να υπολογιστούν αυτά τα στατιστικά χαρακτηριστικά. Συνιστάται να αξιολογούνται όλες οι στατιστικές ιδιότητες χρησιμοποιώντας ένα δείγμα πραγματοποίησης x(t), αντικαθιστώντας το y σύνολο μέσου όρου χρόνου κατά μέσο όρο. Η ιδιότητα που επιτρέπει να γίνει μια τέτοια αντικατάσταση ονομάζεται εργοδικότητα. Μια τυχαία διεργασία λέγεται ότι είναι εργοδοτική εάν, με πιθανότητα ίση με μία, όλα τα στατιστικά χαρακτηριστικά της μπορούν να προβλεφθούν από μία υλοποίηση από το σύνολο χρησιμοποιώντας τον μέσο όρο του χρόνου. Με άλλα λόγια, οι μέσοι όροι χρόνου σχεδόν όλων των πιθανών υλοποιήσεων της διαδικασίας συγκλίνουν με πιθανότητα μία στην ίδια σταθερή τιμή - τον μέσο όρο του συνόλου

. (49)

Αυτό το όριο, εάν υπάρχει, συγκλίνει στον αληθινό μέσο όρο εάν και μόνο εάν η χρονική διακύμανση του μέσου όρου τείνει στο μηδέν, πράγμα που σημαίνει ότι ισχύει η ακόλουθη συνθήκη:

. (50)

Εδώ c xx [m] είναι η πραγματική τιμή της συνδιακύμανσης της διαδικασίας x[n].
Ομοίως, παρατηρώντας την τιμή του γινομένου των δειγμάτων διεργασίας x[n] σε δύο χρονικά σημεία, μπορεί κανείς να αναμένει ότι η μέση τιμή θα είναι ίση με

(51)

Η υπόθεση της εργοδοτικότητας μας επιτρέπει όχι μόνο να εισαγάγουμε, με την πάροδο του χρόνου, τους ορισμούς για τον μέσο όρο και την αυτοσυσχέτιση, αλλά επίσης να δώσουμε έναν παρόμοιο ορισμό για τη φασματική πυκνότητα ισχύος

. (52)

Αυτή η ισοδύναμη μορφή του PSD λαμβάνεται με τη στατιστική μέση τιμή του συντελεστή DVFT του σταθμισμένου συνόλου δεδομένων διαιρεμένη με το μήκος της εγγραφής δεδομένων, για την περίπτωση όπου ο αριθμός των δειγμάτων αυξάνεται στο άπειρο. Ο στατιστικός μέσος όρος είναι απαραίτητος εδώ επειδή το ίδιο το DVFT είναι μια τυχαία μεταβλητή που αλλάζει για κάθε υλοποίηση του x[n]. Για να δείξουμε ότι το (52) είναι ισοδύναμο με το θεώρημα Wiener-Khinchin, αναπαριστάνουμε το τετράγωνο του συντελεστή DVFT ως γινόμενο δύο σειρών και αλλάζουμε τη σειρά των πράξεων άθροισης και στατιστικής μέσης τιμής:

(53)

Χρησιμοποιώντας την περίφημη έκφραση

, (54)

Η σχέση (53) μπορεί να αναχθεί στα εξής:

(55)

Σημειώστε ότι στο τελευταίο στάδιο της παραγωγής (55) χρησιμοποιήθηκε η υπόθεση ότι η αλληλουχία αυτοσυσχέτισης "διασπάται", έτσι ώστε

. (56)

Η σχέση μεταξύ των δύο ορισμών του PSD (46) και (52) φαίνεται ξεκάθαρα από το διάγραμμα που παρουσιάζεται στο Σχήμα 4.
Εάν στην έκφραση (52) δεν λάβουμε υπόψη τη λειτουργία της μαθηματικής προσδοκίας, λαμβάνουμε την εκτίμηση SPM

, (57)

η οποία ονομάζεται φάσματος δείγματος.

Ρύζι. 4. Σχέση μεταξύ δύο μεθόδων για την εκτίμηση της φασματικής πυκνότητας ισχύος

Περιοδογραφική μέθοδος φασματικής εκτίμησης

Παραπάνω εισαγάγαμε δύο επίσημες ισοδύναμες μεθόδους για τον προσδιορισμό της φασματικής πυκνότητας ισχύος (PSD). Η έμμεση μέθοδος βασίζεται στη χρήση μιας άπειρης ακολουθίας δεδομένων για τον υπολογισμό μιας ακολουθίας αυτοσυσχέτισης, ο μετασχηματισμός Fourier της οποίας δίνει το επιθυμητό PSD. Η άμεση μέθοδος για τον προσδιορισμό του PSD βασίζεται στον υπολογισμό του τετραγωνικού συντελεστή του μετασχηματισμού Fourier για μια άπειρη ακολουθία δεδομένων χρησιμοποιώντας κατάλληλη στατιστική μέση τιμή. Το PSD που λήφθηκε χωρίς τέτοιο μέσο όρο αποδεικνύεται μη ικανοποιητικό, καθώς το σφάλμα ρίζας μέσου τετραγώνου μιας τέτοιας εκτίμησης είναι συγκρίσιμο με τη μέση τιμή του. Τώρα θα εξετάσουμε τον μέσο όρο μεθόδων που παρέχουν ομαλές και στατιστικά σταθερές φασματικές εκτιμήσεις σε έναν πεπερασμένο αριθμό δειγμάτων. Οι εκτιμήσεις SPD που βασίζονται στον άμεσο μετασχηματισμό δεδομένων και τον επακόλουθο μέσο όρο ονομάζονται περιοδογραφήματα. Οι εκτιμήσεις PSD, για τις οποίες οι εκτιμήσεις συσχέτισης σχηματίζονται αρχικά από τα αρχικά δεδομένα, καλούνται συσχετιστικό γράφημα. Όταν χρησιμοποιείται οποιαδήποτε μέθοδος εκτίμησης PSD, ο χρήστης πρέπει να λάβει πολλές αποφάσεις αντιστάθμισης προκειμένου να αποκτήσει στατιστικά σταθερές φασματικές εκτιμήσεις με την υψηλότερη δυνατή ανάλυση από έναν πεπερασμένο αριθμό δειγμάτων. Αυτές οι αντισταθμίσεις περιλαμβάνουν, αλλά δεν περιορίζονται σε, την επιλογή του παραθύρου για εκτιμήσεις στάθμισης και συσχέτισης δεδομένων και παραμέτρους μέσου όρου τομέα χρόνου και συχνότητας που εξισορροπούν τις απαιτήσεις μείωσης των πλευρικών λοβών λόγω στάθμισης, εκτέλεσης αποτελεσματικού μέσου όρου και παροχής αποδεκτή φασματική ανάλυση. Στο Σχ. Το σχήμα 5 δείχνει ένα διάγραμμα που δείχνει τα κύρια στάδια περιοδόγραμμα μέθοδος

Ρύζι. 5. Κύρια στάδια εκτίμησης της PSD με τη μέθοδο του περιοδογραφήματος

Η εφαρμογή της μεθόδου ξεκινά με τη συλλογή Ν δειγμάτων δεδομένων, τα οποία λαμβάνονται σε μεσοδιάστημα Τ δευτερολέπτων ανά δείγμα, ακολουθούμενα (προαιρετικά) από ένα βήμα μείωσης της τάσης. Προκειμένου να ληφθεί μια στατιστικά σταθερή φασματική εκτίμηση, τα διαθέσιμα δεδομένα πρέπει να διαιρεθούν σε επικαλυπτόμενα (εάν είναι δυνατόν) τμήματα και στη συνέχεια να υπολογιστεί ο μέσος όρος των φασμάτων δείγματος που λαμβάνονται για κάθε τέτοιο τμήμα. Οι παράμετροι αυτού του μέσου όρου αλλάζουν επιλέγοντας κατάλληλα τον αριθμό των δειγμάτων ανά τμήμα (NSAMP) και τον αριθμό των δειγμάτων κατά τα οποία πρέπει να μετατοπιστεί η αρχή του επόμενου τμήματος (NSHIFT), βλ. 6. Ο αριθμός των τμημάτων επιλέγεται ανάλογα με τον απαιτούμενο βαθμό ομαλότητας (διασποράς) της φασματικής εκτίμησης και την απαιτούμενη φασματική ανάλυση. Μια μικρή τιμή για την παράμετρο NSAMP έχει ως αποτέλεσμα περισσότερα τμήματα στα οποία θα πραγματοποιηθεί ο μέσος όρος και επομένως θα ληφθούν εκτιμήσεις με μικρότερη απόκλιση, αλλά και λιγότερη ανάλυση συχνότητας. Η αύξηση του μήκους του τμήματος (παράμετρος NSAMP) αυξάνει την ανάλυση, φυσικά λόγω της αύξησης της διακύμανσης της εκτίμησης λόγω ενός μικρότερου αριθμού μετρήσεων. Το βέλος επιστροφής στο Σχ. 5 υποδεικνύει την ανάγκη για πολλά επαναλαμβανόμενα περάσματα μέσα από τα δεδομένα σε διαφορετικά μήκη και αριθμούς τμημάτων, γεγονός που μας επιτρέπει να λάβουμε περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη διαδικασία υπό μελέτη.

Εικ.6. Διαχωρισμός δεδομένων σε τμήματα για τον υπολογισμό ενός περιοδογραφήματος

Παράθυρο

Ένα από τα σημαντικά ζητήματα που είναι κοινό σε όλες τις κλασικές μεθόδους φασματικής εκτίμησης σχετίζεται με τη στάθμιση δεδομένων. Το παράθυρο χρησιμοποιείται για τον έλεγχο των πλευρικών λοβών σε φασματικές εκτιμήσεις. Σημειώστε ότι είναι βολικό να θεωρηθεί η υπάρχουσα εγγραφή πεπερασμένων δεδομένων ως μέρος της αντίστοιχης άπειρης ακολουθίας, ορατό μέσω του εφαρμοζόμενου παραθύρου. Έτσι, η ακολουθία των παρατηρούμενων δεδομένων x 0 [n] από N δείγματα μπορεί να γραφτεί μαθηματικά ως το γινόμενο μιας άπειρης ακολουθίας x[n] και μιας συνάρτησης ορθογώνιου παραθύρου

X 0 [n]=x[n] ορθό[n].
Αυτό κάνει την προφανή υπόθεση ότι όλα τα μη παρατηρούμενα δείγματα είναι ίσα με μηδέν, ανεξάρτητα από το αν αυτό συμβαίνει στην πραγματικότητα. Ο μετασχηματισμός Fourier διακριτού χρόνου μιας σταθμισμένης ακολουθίας είναι ίσος με τη συνέλιξη των μετασχηματισμών της ακολουθίας x[n] και του ορθογώνιου παραθύρου rect[n]

X 0 (f)=X(f)*D N (f) , όπου
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Η συνάρτηση D N (f), που ονομάζεται διακριτή συνάρτηση sinc, ή πυρήνας Dirichlet, είναι ένα DCFT μιας ορθογώνιας συνάρτησης. Ο μετασχηματισμός μιας παρατηρούμενης πεπερασμένης ακολουθίας είναι μια παραμορφωμένη εκδοχή του μετασχηματισμού μιας άπειρης ακολουθίας. Η επίδραση ενός ορθογώνιου παραθύρου σε ένα ημιτονοειδές διακριτού χρόνου με συχνότητα f 0 απεικονίζεται στο Σχ. 7.

Εικ.7. Απεικόνιση της μεροληψίας μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου λόγω διαρροής λόγω στάθμισης δεδομένων: α, β - αρχικές και σταθμισμένες ακολουθίες. b, d - οι μετασχηματισμοί Fourier τους.

Μπορεί να φανεί από το σχήμα ότι οι αιχμηρές φασματικές κορυφές του DTFT της άπειρης ακολουθίας ημιτονοειδών κυμάτων επεκτείνονται λόγω της συνέλιξης με τον μετασχηματισμό παραθύρου. Έτσι, το ελάχιστο πλάτος των φασματικών κορυφών μιας ακολουθίας με σταθμισμένο παράθυρο καθορίζεται από το πλάτος του κύριου λοβού μετασχηματισμού αυτού του παραθύρου και είναι ανεξάρτητο από τα δεδομένα. Πλευρικοί λοβοίΟι μετασχηματισμοί παραθύρων θα αλλάξουν τα πλάτη των παρακείμενων φασματικών κορυφών (μερικές φορές ονομάζονται bleed-through). Δεδομένου ότι το DVFT είναι μια περιοδική συνάρτηση, η επικάλυψη πλευρικών λοβών από γειτονικές περιόδους μπορεί να οδηγήσει σε πρόσθετη προκατάληψη. Η αύξηση του ρυθμού δειγματοληψίας μειώνει το φαινόμενο πλάγιου λοβού. Παρόμοιες παραμορφώσεις θα παρατηρηθούν φυσικά στην περίπτωση μη ημιτονοειδών σημάτων. Η αιμορραγία όχι μόνο εισάγει σφάλματα πλάτους στα φάσματα διακριτών σημάτων, αλλά μπορεί επίσης να καλύψει την παρουσία αδύναμα σήματα. Υπάρχουν πολλά άλλα χαρακτηριστικά παραθύρου που μπορούν να προσφερθούν και μπορούν να μειώσουν τους πλευρικούς λοβούς σε σύγκριση με ένα ορθογώνιο παράθυρο. Η μείωση του επιπέδου των πλευρικών λοβών θα μειώσει τη μετατόπιση της φασματικής εκτίμησης, αλλά αυτό συνεπάγεται το κόστος της επέκτασης του κύριου λοβού του φάσματος του παραθύρου, που φυσικά οδηγεί σε επιδείνωση της ανάλυσης. Κατά συνέπεια, και εδώ πρέπει να επιλεγεί κάποιος συμβιβασμός μεταξύ του πλάτους του κύριου λοβού και του επιπέδου των πλευρικών λοβών. Για την αξιολόγηση της ποιότητας των παραθύρων χρησιμοποιούνται διάφορες παράμετροι. Ο παραδοσιακός δείκτης είναι το εύρος ζώνης του κύριου λοβού στη μισή ισχύ. Ο δεύτερος δείκτης είναι το ισοδύναμο εύρος ζώνης που εισήχθη παραπάνω. Δύο δείκτες χρησιμοποιούνται επίσης για την αξιολόγηση των χαρακτηριστικών των πλευρικών λοβών. Το πρώτο είναι το μέγιστο επίπεδο τους, το δεύτερο είναι ο ρυθμός αποσύνθεσης, που χαρακτηρίζει την ταχύτητα με την οποία μειώνονται οι πλευρικοί λοβοί με την απόσταση από τον κύριο λοβό. Ο Πίνακας 3 δείχνει ορισμούς ορισμένων συναρτήσεων παραθύρου διακριτού χρόνου που χρησιμοποιούνται συνήθως και ο Πίνακας 4 δείχνει τα χαρακτηριστικά τους.
Πίνακας 3. Ορισμοί τυπικών παραθύρων διακριτού χρόνου Ν-σημείωνΜέγ. επίπεδο πλευρικού λοβού, dB -31,5

. (46)

Μέθοδος ορθογράμματοςΗ εκτίμηση του PSD απλώς αντικαθιστά στην έκφραση (46) μια πεπερασμένη ακολουθία τιμών για την εκτίμηση αυτοσυσχέτισης ( συσχετιστικά) αντί για μια άπειρη ακολουθία άγνωστων αληθινών τιμών αυτοσυσχέτισης. Περισσότερες πληροφορίες σχετικά με τη μέθοδο της φασματικής εκτίμησης του συσχετισμού μπορείτε να βρείτε στο.

Βιβλιογραφία

1. Rabiner L., Gould B. Θεωρία και εφαρμογή της επεξεργασίας ψηφιακού σήματος. Μ.: Μιρ, 1978.

2. Marple Jr. S.L. Ψηφιακή φασματική ανάλυση και εφαρμογές της: Μετάφρ. από τα Αγγλικά -Μ.: Μιρ, 1990.

3. Goldberg L.M., Matyushkin B.D., Polyak M.N., Ψηφιακή επεξεργασίασήματα - Μ.: Ραδιόφωνο και επικοινωνία, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Εφαρμοσμένη ανάλυση χρονοσειρών - M.: Mir, 1982.

Φασματική ανάλυση

Η φασματική ανάλυση είναι μια ευρεία κατηγορία μεθόδων επεξεργασίας δεδομένων που βασίζονται στην αναπαράσταση συχνότητας ή στο φάσμα τους. Το φάσμα λαμβάνεται με την αποσύνθεση της αρχικής συνάρτησης, η οποία εξαρτάται από το χρόνο (χρονοσειρά) ή τις χωρικές συντεταγμένες (για παράδειγμα, μια εικόνα), στη βάση κάποιας περιοδικής συνάρτησης. Τις περισσότερες φορές, για τη φασματική επεξεργασία, χρησιμοποιείται το φάσμα Fourier που λαμβάνεται με βάση την ημιτονοειδή βάση (αποσύνθεση Fourier, μετασχηματισμός Fourier).

Η κύρια έννοια του μετασχηματισμού Fourier είναι ότι η αρχική μη περιοδική συνάρτηση ενός αυθαίρετου σχήματος, η οποία δεν μπορεί να περιγραφεί αναλυτικά και επομένως είναι δύσκολο να επεξεργαστεί και να αναλυθεί, αναπαρίσταται ως ένα σύνολο ημιτόνων ή συνημίτονων με διαφορετικές συχνότητες, πλάτη και αρχικό φάσεις.

Με άλλα λόγια, μια σύνθετη συνάρτηση μετατρέπεται σε πολλές απλούστερες. Κάθε ημιτονοειδές κύμα (ή συνημιτονικό κύμα) με μια ορισμένη συχνότητα και πλάτος, που λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της επέκτασης Fourier, ονομάζεται φασματική συνιστώσαή αρμονικός. Τα φασματικά συστατικά σχηματίζονται Φάσμα Fourier.

Οπτικά, το φάσμα Fourier παρουσιάζεται με τη μορφή γραφήματος στο οποίο η κυκλική συχνότητα, που συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα «ωμέγα», απεικονίζεται κατά μήκος του οριζόντιου άξονα και το πλάτος των φασματικών συνιστωσών, που συνήθως υποδηλώνεται με το λατινικό γράμμα Α. Στη συνέχεια, κάθε φασματική συνιστώσα μπορεί να αναπαρασταθεί ως μέτρηση, θέση που αντιστοιχεί οριζόντια στη συχνότητά του και ύψος – πλάτος. Μια αρμονική με μηδενική συχνότητα ονομάζεται σταθερό συστατικό(στη χρονική αναπαράσταση αυτή είναι μια ευθεία γραμμή).

Ακόμη και μια απλή οπτική ανάλυση του φάσματος μπορεί να πει πολλά για τη φύση της συνάρτησης βάσει της οποίας προέκυψε. Είναι διαισθητικά σαφές ότι οι γρήγορες αλλαγές στα αρχικά δεδομένα δημιουργούν στοιχεία στο φάσμα με υψηλόςσυχνότητα, και αργά - με χαμηλός. Επομένως, εάν το πλάτος των συνιστωσών του μειώνεται γρήγορα με την αύξηση της συχνότητας, τότε η αρχική συνάρτηση (για παράδειγμα, μια χρονοσειρά) είναι ομαλή και εάν το φάσμα περιέχει στοιχεία υψηλής συχνότητας με μεγάλο πλάτος, τότε η αρχική συνάρτηση θα περιέχει έντονες διακυμάνσεις . Έτσι, για μια χρονική σειρά, αυτό μπορεί να υποδηλώνει ένα μεγάλο τυχαίο στοιχείο, αστάθεια των διαδικασιών που περιγράφει ή παρουσία θορύβου στα δεδομένα.

Η φασματική επεξεργασία βασίζεται στον χειρισμό του φάσματος. Πράγματι, εάν μειώσετε (καταστήσετε) το πλάτος των στοιχείων υψηλής συχνότητας και στη συνέχεια, με βάση το αλλαγμένο φάσμα, επαναφέρετε την αρχική λειτουργία εκτελώντας έναν αντίστροφο μετασχηματισμό Fourier, τότε θα γίνει πιο ομαλή λόγω της αφαίρεσης της υψηλής συχνότητας συστατικό.

Για μια χρονολογική σειρά, για παράδειγμα, αυτό σημαίνει ότι αφαιρούνται οι πληροφορίες σχετικά με τις ημερήσιες πωλήσεις, οι οποίες είναι ιδιαίτερα επιρρεπείς σε τυχαίους παράγοντες, και αφήνονται πίσω πιο σταθερές τάσεις, όπως η εποχικότητα. Μπορείτε, αντίθετα, να καταστείλετε εξαρτήματα χαμηλής συχνότητας, τα οποία θα αφαιρέσουν τις αργές αλλαγές και θα αφήσουν μόνο τις γρήγορες. Στην περίπτωση μιας χρονολογικής σειράς, αυτό θα σημαίνει καταστολή της εποχικής συνιστώσας.

Χρησιμοποιώντας το φάσμα με αυτόν τον τρόπο, μπορείτε να επιτύχετε την επιθυμητή αλλαγή στα αρχικά δεδομένα. Η πιο κοινή χρήση είναι η εξομάλυνση χρονοσειρών αφαιρώντας ή μειώνοντας το πλάτος των στοιχείων υψηλής συχνότητας στο φάσμα.

Για τον χειρισμό των φασμάτων, χρησιμοποιούνται φίλτρα - αλγόριθμοι που μπορούν να ελέγξουν το σχήμα του φάσματος, να καταστείλουν ή να ενισχύσουν τα συστατικά του. Κύριος ιδιοκτησίαόποιος φίλτροείναι η απόκριση πλάτους-συχνότητας (AFC), το σχήμα της οποίας καθορίζει τον μετασχηματισμό του φάσματος.

Εάν ένα φίλτρο διέρχεται μόνο φασματικά στοιχεία με συχνότητα κάτω από μια ορισμένη συχνότητα αποκοπής, τότε ονομάζεται φίλτρο χαμηλής διέλευσης (LPF) και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την εξομάλυνση των δεδομένων, την εκκαθάριση από το θόρυβο και τις ανώμαλες τιμές.

Εάν ένα φίλτρο διέρχεται φασματικά στοιχεία πάνω από μια ορισμένη συχνότητα αποκοπής, τότε ονομάζεται υψηλοπερατό φίλτρο (HPF). Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την καταστολή αργών αλλαγών, όπως η εποχικότητα στις σειρές δεδομένων.

Επιπλέον, χρησιμοποιούνται πολλοί άλλοι τύποι φίλτρων: φίλτρα μέσης διέλευσης, φίλτρα στοπ και φίλτρα διέλευσης ζώνης, καθώς και πιο σύνθετες, που χρησιμοποιούνται στην επεξεργασία σήματος στα ραδιοηλεκτρονικά. Επιλογή τύπου και σχήματος απόκριση συχνότηταςφίλτρο, μπορείτε να επιτύχετε τον επιθυμητό μετασχηματισμό των αρχικών δεδομένων μέσω φασματικής επεξεργασίας.

Κατά την εκτέλεση φιλτραρίσματος συχνότητας δεδομένων με σκοπό την εξομάλυνση και την αφαίρεση του θορύβου, είναι απαραίτητο να προσδιορίσετε σωστά το εύρος ζώνης του φίλτρου χαμηλής διέλευσης. Εάν το επιλέξετε πολύ ψηλά, ο βαθμός εξομάλυνσης θα είναι ανεπαρκής και ο θόρυβος δεν θα καταστέλλεται πλήρως. Αν είναι πολύ στενό, τότε μαζί με τον θόρυβο, αλλαγές που φέρνουν ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ. Αν μέσα τεχνικές εφαρμογέςΥπάρχουν αυστηρά κριτήρια για τον προσδιορισμό των βέλτιστων χαρακτηριστικών των φίλτρων, τότε στις αναλυτικές τεχνολογίες είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν κυρίως πειραματικές μέθοδοι.

Η φασματική ανάλυση είναι μια από τις πιο αποτελεσματικές και καλά ανεπτυγμένες μεθόδους επεξεργασίας δεδομένων. Φιλτράρισμα συχνότηταςείναι μόνο μία από τις πολλές εφαρμογές του. Επιπλέον, χρησιμοποιείται σε συσχετίσεις και στατιστικές αναλύσεις, σύνθεση σημάτων και συναρτήσεων, μοντέλα κατασκευής κ.λπ.

Η μέθοδος ανάλυσης βασίστηκε στη λεγόμενη σειρά Fourier. Η σειρά ξεκινά με την αποσύνθεση πολύπλοκων σχημάτων σε απλά. Ο Fourier έδειξε ότι μια σύνθετη κυματομορφή μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα απλών κυμάτων. Κατά κανόνα, οι εξισώσεις που περιγράφουν τα κλασικά συστήματα μπορούν εύκολα να λυθούν για καθένα από αυτά τα απλά κύματα. Περαιτέρω, ο Fourier έδειξε πώς αυτά απλές λύσειςμπορεί να συνοψιστεί για να βρεθεί μια λύση σε ολόκληρο το περίπλοκο πρόβλημα ως σύνολο. (Μιλώντας μαθηματικά, η σειρά Fourier είναι μια μέθοδος αναπαράστασης μιας συνάρτησης ως άθροισμα αρμονικών - ημιτόνου και συνημιτόνου, γι' αυτό η ανάλυση Fourier ήταν επίσης γνωστή ως "αρμονική ανάλυση".)

Σύμφωνα με την υπόθεση Fourier, δεν υπάρχει συνάρτηση που να μην μπορεί να επεκταθεί σε τριγωνομετρική σειρά. Ας εξετάσουμε πώς μπορεί να πραγματοποιηθεί αυτή η αποσύνθεση. Θεωρήστε το ακόλουθο σύστημα ορθοκανονικών συναρτήσεων στο διάστημα [–π, π]: (1, cos(t),
sin(t),
cos (2t),
sin (2t),
cos(3t),
sin(3t),…,
cos(nt),
αμαρτία (nt),…).

Με γνώμονα το γεγονός ότι αυτό το σύστημαΟι συναρτήσεις είναι ορθοκανονικές, η συνάρτηση f(t) στο διάστημα [π, –π] μπορεί να προσεγγιστεί ως εξής:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) +…

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
sin(3t)+… (6)

Οι συντελεστές α n, β n υπολογίζονται μέσω του κλιμακωτού γινόμενου της συνάρτησης και της συνάρτησης βάσης σύμφωνα με τους τύπους που συζητήθηκαν προηγουμένως και εκφράζονται ως εξής:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

β n = , sin(nt) > =
.

Η έκφραση (6) μπορεί να γραφτεί σε συμπιεσμένη μορφή ως εξής:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

και n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

Εφόσον στο n = 0 cos(0) = 1, η σταθερά a 0 /2 εκφράζει γενική μορφήσυντελεστής a n για n = 0.

Οι συντελεστές a n και b n ονομάζονται συντελεστές Fourier και η αναπαράσταση της συνάρτησης f(t) σύμφωνα με τον τύπο (7) ονομάζεται επέκταση της σειράς Fourier. Μερικές φορές μια επέκταση σειράς Fourier που παρουσιάζεται με αυτή τη μορφή ονομάζεται επέκταση της πραγματικής σειράς Fourier και οι συντελεστές ονομάζονται πραγματικοί συντελεστές Fourier. Ο όρος «πραγματικό» εισάγεται για να διακρίνει αυτή την αποσύνθεση από μια σύνθετη αποσύνθεση.

Ας αναλύσουμε τις εκφράσεις (8) και (9). Ο συντελεστής 0 αντιπροσωπεύει τη μέση τιμή της συνάρτησης f(t) στο τμήμα [–π,π] ή τη σταθερή συνιστώσα του σήματος f(t). Οι συντελεστέςsa n και b n (σε n> 0) είναι τα πλάτη των συνημιτονικών και ημιτονοειδών συνιστωσών της συνάρτησης (σήμα) f(t) με γωνιακή συχνότητα ίση με n. Με άλλα λόγια, αυτοί οι συντελεστές καθορίζουν το μέγεθος των συνιστωσών συχνότητας των σημάτων. Για παράδειγμα, όταν μιλάμε για ένα ηχητικό σήμα με χαμηλές συχνότητες (για παράδειγμα, τον ήχο μιας κιθάρας μπάσου), αυτό σημαίνει ότι οι συντελεστές a n και b n είναι μεγαλύτεροι για μικρότερες τιμές του n και αντίστροφα - σε υψηλή οι δονήσεις του ήχου συχνότητας (για παράδειγμα, ο ήχος ενός βιολιού) είναι μεγαλύτερες για μεγαλύτερες τιμές του n.

Η ταλάντωση της μεγαλύτερης περιόδου (ή της χαμηλότερης συχνότητας), που αντιπροσωπεύεται από το άθροισμα a 1 cos(t) και b 1 sin(t), ονομάζεται ταλάντωση της θεμελιώδους συχνότητας ή της πρώτης αρμονικής. Μια ταλάντωση με περίοδο ίση με τη μισή περίοδο της θεμελιώδους συχνότητας είναι μια δεύτερη αρμονική, μια ταλάντωση με περίοδο ίση με το 1/n της θεμελιώδους συχνότητας είναι μια n-αρμονική. Έτσι, χρησιμοποιώντας την επέκταση της συνάρτησης f(t) σε μια σειρά Fourier, μπορούμε να κάνουμε τη μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Αυτή η μετάβαση είναι συνήθως απαραίτητη για τον εντοπισμό χαρακτηριστικών σήματος που είναι «αόρατα» στον τομέα του χρόνου.

Λάβετε υπόψη ότι οι τύποι (8) και (9) ισχύουν για περιοδικό σήμα με περίοδο ίση με 2π. Στη γενική περίπτωση, ένα περιοδικό σήμα με περίοδο T μπορεί να επεκταθεί σε μια σειρά Fourier και στη συνέχεια το τμήμα [–T/2, T/2] χρησιμοποιείται στην επέκταση. Η περίοδος της πρώτης αρμονικής είναι ίση με Τ και οι συνιστώσες παίρνουν τη μορφή cos(2πt/T) και sin(2πt/T), οι συνιστώσες της n-αρμονικής είναι cos(2πtn/T) και sin(2πtn/T ).

Η συνάρτηση f(t) στο διάστημα [–T/2,T/2] μπορεί να προσεγγιστεί ως εξής:

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Αν συμβολίσουμε τη γωνιακή συχνότητα της πρώτης αρμονικής ως ω 0 = 2π/T, τότε τα n-αρμονικά στοιχεία παίρνουν τη μορφή cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) και

f(t) = a 0 /2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

όπου οι συντελεστές Fourier υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους:

a n =
,

b n =
.

Οποιοδήποτε κύμα σύνθετου σχήματος μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα απλών κυμάτων.

Ο Joseph Fourier ήθελε πολύ να περιγράψει με μαθηματικούς όρους πώς η θερμότητα περνά μέσα από στερεά αντικείμενα ( εκ.Ανταλλαγή θερμότητας). Το ενδιαφέρον του για τη ζέστη μπορεί να είχε πυροδοτηθεί ενώ βρισκόταν στη Βόρεια Αφρική: ο Φουριέ συνόδευε τον Ναπολέοντα στη γαλλική αποστολή στην Αίγυπτο και έζησε εκεί για κάποιο διάστημα. Για να πετύχει τον στόχο του, ο Φουριέ έπρεπε να αναπτύξει νέες μαθηματικές μεθόδους. Τα αποτελέσματα της έρευνάς του δημοσιεύτηκαν το 1822 στο έργο "Analytic Theory of Heat" ( Théorie analytique de la chaleur), όπου εξήγησε πώς να αναλύσει σύνθετα φυσικά προβλήματα αναλύοντάς τα σε μια σειρά από απλούστερα.

Η μέθοδος ανάλυσης βασίστηκε στο λεγόμενο Σειρά Fourier. Σύμφωνα με την αρχή της παρεμβολής, η σειρά ξεκινά με την αποσύνθεση μιας σύνθετης μορφής σε απλές - για παράδειγμα, μια αλλαγή στην επιφάνεια της γης εξηγείται από έναν σεισμό, μια αλλαγή στην τροχιά ενός κομήτη εξηγείται από την επιρροή της έλξης αρκετών πλανητών, μια αλλαγή στη ροή της θερμότητας οφείλεται στο πέρασμά της από ένα εμπόδιο ακανόνιστου σχήματος από θερμομονωτικό υλικό. Ο Fourier έδειξε ότι μια σύνθετη κυματομορφή μπορεί να αναπαρασταθεί ως άθροισμα απλών κυμάτων. Κατά κανόνα, οι εξισώσεις που περιγράφουν τα κλασικά συστήματα μπορούν εύκολα να λυθούν για καθένα από αυτά τα απλά κύματα. Στη συνέχεια, ο Fourier έδειξε πώς αυτές οι απλές λύσεις μπορούν να συνοψιστούν για να δώσουν μια λύση σε ολόκληρο το σύνθετο πρόβλημα. (Μιλώντας μαθηματικά, μια σειρά Fourier είναι μια μέθοδος αναπαράστασης μιας συνάρτησης ως άθροισμα αρμονικών-ημιτονικών και συνημιτονικών κυμάτων, γι' αυτό η ανάλυση Fourier ήταν επίσης γνωστή ως "αρμονική ανάλυση.")

Πριν από την εμφάνιση των υπολογιστών στα μέσα του εικοστού αιώνα, οι μέθοδοι Fourier και παρόμοιες μέθοδοι ήταν το καλύτερο όπλοστο επιστημονικό οπλοστάσιο όταν επιτίθεται στην πολυπλοκότητα της φύσης. Από την εμφάνιση των πολύπλοκων μεθόδων Fourier, οι επιστήμονες μπόρεσαν να τις χρησιμοποιήσουν για να λύσουν όχι μόνο απλές εργασίες, το οποίο μπορεί να λυθεί με άμεση εφαρμογή των νόμων της μηχανικής του Νεύτωνα και άλλων θεμελιωδών εξισώσεων. Πολλά από τα μεγάλα επιτεύγματα της Νευτώνειας επιστήμης τον 19ο αιώνα θα ήταν στην πραγματικότητα αδύνατα χωρίς τη χρήση των μεθόδων που πρωτοστάτησε ο Φουριέ. Στη συνέχεια, αυτές οι μέθοδοι χρησιμοποιήθηκαν για την επίλυση προβλημάτων σε διάφορους τομείς - από την αστρονομία έως τη μηχανολογία.

Jean-Baptiste Joseph FOURIE
Jean-Baptiste Joseph Fourier, 1768-1830

Γάλλος μαθηματικός. Γεννήθηκε στην Οσέρ. σε ηλικία εννέα ετών έμεινε ορφανός. Ήδη σε νεαρή ηλικία έδειξε ικανότητα στα μαθηματικά. Ο Φουριέ εκπαιδεύτηκε σε εκκλησιαστικό και στρατιωτικό σχολείο και στη συνέχεια εργάστηκε ως δάσκαλος μαθηματικών. Σε όλη του τη ζωή ασχολήθηκε ενεργά με την πολιτική. συνελήφθη το 1794 για υπεράσπιση θυμάτων τρόμου. Μετά το θάνατο του Ροβεσπιέρου αποφυλακίστηκε. έλαβε μέρος στη δημιουργία της περίφημης Πολυτεχνικής Σχολής (Ecole Polytechnique) στο Παρίσι. Η θέση του του παρείχε ένα εφαλτήριο για πρόοδο υπό το καθεστώς του Ναπολέοντα. Συνόδευσε τον Ναπολέοντα στην Αίγυπτο και διορίστηκε κυβερνήτης της Κάτω Αιγύπτου. Μετά την επιστροφή του στη Γαλλία το 1801, διορίστηκε κυβερνήτης μιας από τις επαρχίες. Το 1822 έγινε μόνιμος γραμματέας της Γαλλικής Ακαδημίας Επιστημών, μια θέση με επιρροή στον γαλλικό επιστημονικό κόσμο.