Γραμμική συνάρτησηονομάζεται συνάρτηση της μορφής y = kx + b, που ορίζεται στο σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών. Εδώ κ– κλίση (πραγματικός αριθμός), σι – ελεύθερος όρος (πραγματικός αριθμός), Χ- ανεξάρτητη μεταβλητή.

Στην ειδική περίπτωση, εάν k = 0, παίρνουμε μια σταθερή συνάρτηση y = β, η γραφική παράσταση της οποίας είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Ox που διέρχεται από το σημείο με συντεταγμένες (0; β).

Αν b = 0, τότε παίρνουμε τη συνάρτηση y = kx, το οποίο είναι ευθεία αναλογικότητα.

σι – μήκος τμήματος, το οποίο αποκόπτεται με ευθεία γραμμή κατά μήκος του άξονα Oy, μετρώντας από την αρχή.

Γεωμετρική σημασία του συντελεστή κ – γωνία κλίσηςκατευθείαν στη θετική κατεύθυνση του άξονα Ox, που θεωρείται αριστερόστροφα.

Ιδιότητες γραμμικής συνάρτησης:

1) Το πεδίο ορισμού μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ολόκληρος ο πραγματικός άξονας.

2) Αν k ≠ 0, τότε το εύρος τιμών της γραμμικής συνάρτησης είναι ολόκληρος ο πραγματικός άξονας. Αν k = 0, τότε το εύρος τιμών της γραμμικής συνάρτησης αποτελείται από τον αριθμό σι;

3) Η ομαλότητα και η περιττότητα μιας γραμμικής συνάρτησης εξαρτώνται από τις τιμές των συντελεστών κΚαι σι.

ένα) b ≠ 0, k = 0,ως εκ τούτου, y = b – άρτιος;

σι) b = 0, k ≠ 0,ως εκ τούτου y = kx – περιττό;

ντο) b ≠ 0, k ≠ 0,ως εκ τούτου y = kx + b – συνάρτηση γενικής μορφής.

ρε) b = 0, k = 0,ως εκ τούτου y = 0 – άρτιες και περιττές συναρτήσεις.

4) Μια γραμμική συνάρτηση δεν έχει την ιδιότητα της περιοδικότητας.

5) Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων:

Βόδι: y = kx + b = 0, x = -b/k, ως εκ τούτου (-b/k; 0)– σημείο τομής με τον άξονα της τετμημένης.

Oy: y = 0k + b = b, ως εκ τούτου (0; β)– σημείο τομής με τον άξονα τεταγμένης.

Σημείωση: Αν b = 0Και k = 0, μετά η συνάρτηση y = 0πηγαίνει στο μηδέν για οποιαδήποτε τιμή της μεταβλητής Χ. Αν b ≠ 0Και k = 0, μετά η συνάρτηση y = βδεν εξαφανίζεται για καμία τιμή της μεταβλητής Χ.

6) Τα διαστήματα σταθερότητας του πρόσημου εξαρτώνται από τον συντελεστή k.

ένα) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.

y = kx + b– θετικό όταν Χαπό (-b/k; +∞),

y = kx + b– αρνητικό όταν Χαπό (-∞; -b/k).

σι) κ< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b– θετικό όταν Χαπό (-∞; -b/k),

y = kx + b– αρνητικό όταν Χαπό (-b/k; +∞).

ντο) k = 0, b > 0; y = kx + bθετικό σε όλο το εύρος ορισμού,

k = 0, β< 0; y = kx + b αρνητικό σε όλο το φάσμα του ορισμού.

7) Τα διαστήματα μονοτονίας μιας γραμμικής συνάρτησης εξαρτώνται από τον συντελεστή κ.

k > 0, ως εκ τούτου y = kx + bαυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού,

κ< 0 , ως εκ τούτου y = kx + bμειώνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού.

8) Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι ευθεία γραμμή. Για να κατασκευάσουμε μια ευθεία γραμμή, αρκεί να γνωρίζουμε δύο σημεία. Η θέση της ευθείας γραμμής στο επίπεδο συντεταγμένων εξαρτάται από τις τιμές των συντελεστών κΚαι σι. Παρακάτω είναι ένας πίνακας που το δείχνει ξεκάθαρα.

Μια γραμμική συνάρτηση είναι μια συνάρτηση της μορφής y=kx+b, όπου x είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή, k και b είναι οποιοιδήποτε αριθμοί.
Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή.

1. Για να σχεδιάσετε ένα γράφημα συνάρτησης,χρειαζόμαστε τις συντεταγμένες δύο σημείων που ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης. Για να τα βρείτε, πρέπει να πάρετε δύο τιμές x, να τις αντικαταστήσετε στην εξίσωση της συνάρτησης και να τις χρησιμοποιήσετε για να υπολογίσετε τις αντίστοιχες τιμές y.

Για παράδειγμα, για να σχεδιάσουμε τη συνάρτηση y= x+2, είναι βολικό να πάρουμε x=0 και x=3, τότε οι τεταγμένες αυτών των σημείων θα είναι ίσες με y=2 και y=3. Παίρνουμε τους βαθμούς Α(0;2) και Β(3;3). Ας τα συνδέσουμε και πάρουμε μια γραφική παράσταση της συνάρτησης y= x+2:

2. Στον τύπο y=kx+b, ο αριθμός k ονομάζεται συντελεστής αναλογικότητας:
αν k>0, τότε η συνάρτηση y=kx+b αυξάνεται
αν κ
Ο συντελεστής b δείχνει τη μετατόπιση του γραφήματος της συνάρτησης κατά μήκος του άξονα OY:
αν b>0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b προκύπτει από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx μετατοπίζοντας b μονάδες προς τα πάνω κατά μήκος του άξονα OY
αν β
Το παρακάτω σχήμα δείχνει τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Σημειώστε ότι σε όλες αυτές τις συναρτήσεις ο συντελεστής k Πάνω απο το μηδέν,και οι συναρτήσεις είναι αυξανόμενη.Επιπλέον, όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του k, τόσο μεγαλύτερη είναι η γωνία κλίσης της ευθείας προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα OX.

Σε όλες τις συναρτήσεις b=3 - και βλέπουμε ότι όλα τα γραφήματα τέμνουν τον άξονα OY στο σημείο (0;3)

Τώρα εξετάστε τα γραφήματα των συναρτήσεων y=-2x+3. y=- ½ x+3; y=-x+3

Αυτή τη φορά σε όλες τις συναρτήσεις ο συντελεστής k λιγότερο από το μηδένκαι λειτουργίες μειώνονται.Συντελεστής b=3, και οι γραφικές παραστάσεις, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, τέμνουν τον άξονα OY στο σημείο (0;3)

Θεωρήστε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Τώρα σε όλες τις εξισώσεις συνάρτησης οι συντελεστές k είναι ίσοι με 2. Και πήραμε τρεις παράλληλες ευθείες.

Αλλά οι συντελεστές b είναι διαφορετικοί και αυτά τα γραφήματα τέμνουν τον άξονα OY σε διαφορετικά σημεία:
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x+3 (b=3) τέμνει τον άξονα OY στο σημείο (0;3)
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x (b=0) τέμνει τον άξονα OY στο σημείο (0;0) - την αρχή.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=2x-3 (b=-3) τέμνει τον άξονα OY στο σημείο (0;-3)

Άρα, αν γνωρίζουμε τα πρόσημα των συντελεστών k και b, τότε μπορούμε αμέσως να φανταστούμε πώς μοιάζει η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b.
Αν k 0

Αν k>0 και b>0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν k>0 και β, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν k, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx+b μοιάζει με:

Αν k=0, τότε η συνάρτηση y=kx+b μετατρέπεται στη συνάρτηση y=b και η γραφική παράσταση της μοιάζει με:

Οι τεταγμένες όλων των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=b ισούνται με b Αν b=0, τότε η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=kx (ευθεία αναλογικότητα) διέρχεται από την αρχή:

3. Ας σημειώσουμε χωριστά τη γραφική παράσταση της εξίσωσης x=a.Η γραφική παράσταση αυτής της εξίσωσης είναι μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα OY, της οποίας όλα τα σημεία έχουν τετμημένη x=a.

Για παράδειγμα, η γραφική παράσταση της εξίσωσης x=3 μοιάζει με αυτό:
Προσοχή!Η εξίσωση x=a δεν είναι συνάρτηση, επομένως μια τιμή του ορίσματος αντιστοιχεί σε διαφορετικές τιμές της συνάρτησης, η οποία δεν αντιστοιχεί στον ορισμό μιας συνάρτησης.

4. Συνθήκη για παραλληλισμό δύο ευθειών:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 1 x+b 1 είναι παράλληλη με τη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 2 x+b 2 αν k 1 =k 2

5. Η προϋπόθεση για δύο ευθείες να είναι κάθετες:

Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 1 x+b 1 είναι κάθετη στη γραφική παράσταση της συνάρτησης y=k 2 x+b 2 αν k 1 *k 2 =-1 ή k 1 =-1/k 2

6. Σημεία τομής της γραφικής παράστασης της συνάρτησης y=kx+b με τους άξονες συντεταγμένων.

Με άξονα OY. Η τετμημένη κάθε σημείου που ανήκει στον άξονα ΟΥ ισούται με μηδέν. Επομένως, για να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα OY, πρέπει να αντικαταστήσετε το μηδέν στην εξίσωση της συνάρτησης αντί για το x. Παίρνουμε y=b. Δηλαδή, το σημείο τομής με τον άξονα OY έχει συντεταγμένες (0; b).

Με άξονα ΟΧ: Η τεταγμένη οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στον άξονα ΟΧ είναι μηδέν. Επομένως, για να βρείτε το σημείο τομής με τον άξονα OX, πρέπει να αντικαταστήσετε το μηδέν στην εξίσωση της συνάρτησης αντί για το y. Παίρνουμε 0=kx+b. Επομένως x=-b/k. Δηλαδή, το σημείο τομής με τον άξονα OX έχει συντεταγμένες (-b/k;0):

Ορισμός Γραμμικής συνάρτησης

Ας εισαγάγουμε τον ορισμό μιας γραμμικής συνάρτησης

Ορισμός

Μια συνάρτηση της μορφής $y=kx+b$, όπου η $k$ είναι μη μηδενική, ονομάζεται γραμμική συνάρτηση.

Η γραφική παράσταση μιας γραμμικής συνάρτησης είναι μια ευθεία γραμμή. Ο αριθμός $k$ ονομάζεται κλίση της γραμμής.

Όταν $b=0$ η γραμμική συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση ευθείας αναλογικότητας $y=kx$.

Εξετάστε το σχήμα 1.

Ρύζι. 1. Γεωμετρική σημασία της κλίσης μιας γραμμής

Θεωρήστε το τρίγωνο ABC. Βλέπουμε ότι $ВС=kx_0+b$. Ας βρούμε το σημείο τομής της ευθείας $y=kx+b$ με τον άξονα $Ox$:

\ \

Άρα $AC=x_0+\frac(b)(k)$. Ας βρούμε την αναλογία αυτών των πλευρών:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

Από την άλλη πλευρά, $\frac(BC)(AC)=tg\γωνία A$.

Έτσι, μπορούμε να βγάλουμε το εξής συμπέρασμα:

συμπέρασμα

Γεωμετρική σημασία του συντελεστή $k$. Ο γωνιακός συντελεστής της ευθείας $k$ είναι ίσος με την εφαπτομένη της γωνίας κλίσης αυτής της ευθείας στον άξονα $Ox$.

Μελέτη της γραμμικής συνάρτησης $f\left(x\right)=kx+b$ και της γραφικής της παράστασης

Αρχικά, θεωρήστε τη συνάρτηση $f\left(x\right)=kx+b$, όπου $k > 0$.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. Ως εκ τούτου, αυτή τη λειτουργίααυξάνεται σε ολόκληρο το πεδίο ορισμού. Δεν υπάρχουν ακραία σημεία.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. Γράφημα (Εικ. 2).

Ρύζι. 2. Γραφήματα της συνάρτησης $y=kx+b$, για $k > 0$.

Τώρα θεωρήστε τη συνάρτηση $f\left(x\right)=kx$, όπου $k

1. Το πεδίο ορισμού είναι όλοι οι αριθμοί.
2. Το εύρος τιμών είναι όλοι οι αριθμοί.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. Η συνάρτηση δεν είναι ούτε άρτια ούτε περιττή.
4. Για $x=0,f\αριστερά(0\δεξιά)=b$. Όταν $y=0,0=kx+b,\ x=-\frac(b)(k)$.

Σημεία τομής με άξονες συντεταγμένων: $\left(-\frac(b)(k),0\right)$ και $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. Επομένως, η συνάρτηση δεν έχει σημεία καμπής.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. Γράφημα (Εικ. 3).