Για τον προσδιορισμό της ευστάθειας, δεν είναι απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα οδογράφο. Για να γίνει αυτό, αρκεί να αναλύσουμε την απόκριση συχνότητας και την απόκριση φάσης. Επομένως, η τρίτη εναλλακτική διατύπωση του κριτηρίου Nyquist είναι: εάν η απόκριση συχνότητας είναι μεγαλύτερη από τη μονάδα σε συχνότητες στις οποίες η απόκριση φάσης είναι 0 ήΟπου n € z, τότε το σύστημα ανάδρασης δεν είναι σταθερό, διαφορετικά είναι σταθερό (Εικόνα 3.10).

Ρύζι. 3.9 Απόκριση συχνότητας και απόκριση φάσης συστήματος ανοιχτού βρόχου με ανάδραση

4 Διέλευση τυχαίων σημάτων μέσω γραμμικών σταθερών κυκλωμάτων

Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας τυχαίας διαδικασίας είναι η πυκνότητα πιθανότητας των στιγμιαίων τιμών σήματος, η συνάρτηση συσχέτισης και η φασματική πυκνότητα ισχύος. Εύρεση της πυκνότητας πιθανότητας των στιγμιαίων τιμών σήματος εξόδου γραμμικό κύκλωμαμε βάση τη γνωστή πυκνότητα πιθανότητας στην είσοδο του κυκλώματος και τα γνωστά χαρακτηριστικά του κυκλώματος, είναι πολύ δύσκολο έργο. Ωστόσο, εάν το σήμα εισόδου είναι Gaussian, τότε το σήμα εξόδου θα είναι πάντα Gaussian. Αυτό σημαίνει ότι η επίλυση του προβλήματος απλοποιείται και περιορίζεται στην εύρεση των παραμέτρων του σήματος εξόδου (μαθηματική προσδοκία και διακύμανση).

Το έργο της εύρεσης της συνάρτησης συσχέτισης και της φασματικής πυκνότητας ισχύος του σήματος εξόδου είναι πολύ πιο απλό.

Αντίστροφος μετασχηματισμός Fourier της φασματικής πυκνότητας ισχύος σύμφωνα με τη θεωρία Wiener-Khinchin:

– συνάρτηση συσχέτισης σήματος

Αντίστροφοι μετασχηματισμοί Fourier του κέρδους ισχύος:

– συνάρτηση συσχέτισης της κρουστικής απόκρισης του σήματος

Δεδομένου ότι το γινόμενο των φασμάτων δύο σημάτων είναι ίσο με το φάσμα της συνέλιξης αυτών των σημάτων, μπορούμε να γράψουμε:

Δηλαδή, η συνάρτηση συσχέτισης του σήματος στην έξοδο ενός γραμμικού κυκλώματος είναι ίση με τη συνέλιξη της συνάρτησης συσχέτισης του σήματος στην είσοδο του κυκλώματος και τη συνάρτηση συσχέτισης της κρουστικής απόκρισης του κυκλώματος.

Κατά την ανάλυση διάφορα συστήματαΗ παρεμβολή είναι συχνά λευκός θόρυβος, ο οποίος έχει σταθερή φασματική πυκνότητα ισχύος σε όλο το εύρος συχνοτήτων:

και συνάρτηση συσχέτισης

Συνεπώς, η συνάρτηση συσχέτισης του σήματος εξόδου είναι ίση με τη συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της παλμικής απόκρισης με συντελεστή .

5 Διέλευση σημάτων μέσω μη γραμμικών κυκλωμάτων

Τα γραμμικά σταθερά κυκλώματα δεν αλλάζουν τη φασματική σύνθεση του σήματος. Οι κύριοι μετασχηματισμοί ραδιομηχανικής που σχετίζονται με αλλαγές στη φασματική σύνθεση του σήματος πραγματοποιούνται είτε χρησιμοποιώντας μη γραμμικά κυκλώματα είτε γραμμικά κυκλώματα με μεταβλητές παραμέτρους.

Η μελέτη μη γραμμικών κυκλωμάτων είναι μια πολύπλοκη εργασία που συνίσταται στην επίλυση μη γραμμικών διαφορικών εξισώσεων. Η ανάλυση των μη γραμμικών κυκλωμάτων απλοποιείται εάν το μη γραμμικό στοιχείο είναι χωρίς αδράνεια, δηλαδή, η απόκριση σε μια αλλαγή στην ενέργεια εισόδου εμφανίζεται αμέσως. Αυστηρά μιλώντας, δεν υπάρχουν στοιχεία χωρίς αδράνεια (FFE), αλλά στην περίπτωση που ο χρόνος αλλαγής του σήματος εισόδου υπερβαίνει σημαντικά τον χρόνο εγκατάστασης της διεργασίας στο μη γραμμικό στοιχείο, το στοιχείο μπορεί να θεωρηθεί ελεύθερο αδράνειας. Στη ραδιομηχανική, τα μη γραμμικά στοιχεία χρησιμοποιούνται συχνότερα συσκευές ημιαγωγών(δίοδοι, τρανζίστορ). Για την περιγραφή τέτοιων συσκευών, χρησιμοποιούνται χαρακτηριστικά ρεύματος-τάσης, τα οποία συσχετίζουν τις τάσεις που εφαρμόζονται στις συσκευές και τα ρεύματα που διαρρέουν τις συσκευές.

Θεωρήστε ένα γραμμικό αδρανειακό σύστημα με γνωστή συνάρτηση μεταφοράς ή απόκριση παλμού. Έστω ότι η είσοδος ενός τέτοιου συστήματος είναι μια στατική τυχαία διεργασία με δεδομένα χαρακτηριστικά: πυκνότητα πιθανότητας, συνάρτηση συσχέτισης ή ενεργειακό φάσμα. Ας προσδιορίσουμε τα χαρακτηριστικά της διαδικασίας στην έξοδο του συστήματος: , και .

Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε το ενεργειακό φάσμα της διαδικασίας είναι στην έξοδο του συστήματος. Πράγματι, μεμονωμένες υλοποιήσεις της διαδικασίας εισαγωγής είναι ντετερμινιστικές

λειτουργίες, και η συσκευή Fourier μπορεί να εφαρμοστεί σε αυτές. Έστω μια περικομμένη υλοποίηση διάρκειας Ττυχαία διαδικασία στην είσοδο, και

Η φασματική του πυκνότητα. Η φασματική πυκνότητα της υλοποίησης στην έξοδο του γραμμικού συστήματος θα είναι ίση με

Το ενεργειακό φάσμα της διεργασίας στην έξοδο σύμφωνα με το (3.3.3) θα καθοριστεί από την έκφραση

(3.4.3)

εκείνοι. θα είναι ίσο με το ενεργειακό φάσμα της διεργασίας στην είσοδο, πολλαπλασιαζόμενο με το τετράγωνο του χαρακτηριστικού πλάτους-συχνότητας του συστήματος, και δεν θα εξαρτάται από το χαρακτηριστικό συχνότητας φάσης.

Η συνάρτηση συσχέτισης της διεργασίας στην έξοδο του γραμμικού συστήματος μπορεί να οριστεί ως ο μετασχηματισμός Fourier του ενεργειακού φάσματος:

(3.4.4)

Συνεπώς, όταν μια τυχαία στατική διεργασία ενεργεί σε ένα γραμμικό σύστημα, η έξοδος παράγει επίσης μια στατική τυχαία διεργασία με ενεργειακό φάσμα και συνάρτηση συσχέτισης που ορίζεται από τις παραστάσεις (3.4.3) και (3.4.4). Η ισχύς διεργασίας στην έξοδο του συστήματος θα είναι ίση με

(3.4.5)

Πυκνότητα κατανομής πιθανότητας και αριθμητικά χαρακτηριστικά του σήματος στην έξοδο ενός μη γραμμικού κυκλώματος χωρίς αδράνεια.

Baskakov σελ. 300 – 302

Διέλευση τυχαίων σημάτων μέσω μη γραμμικών κυκλωμάτων χωρίς αδράνεια.

Ας εξετάσουμε τώρα το πρόβλημα της διέλευσης μιας τυχαίας διαδικασίας από ένα μη γραμμικό σύστημα. Στη γενική περίπτωση, αυτό το πρόβλημα είναι πολύ περίπλοκο, αλλά απλοποιείται πολύ όταν το μη γραμμικό σύστημα είναι ελεύθερο αδράνειας. Σε μη γραμμικά συστήματα χωρίς αδράνεια, οι τιμές της διαδικασίας εξόδου εισέρχονται αυτή τη στιγμήο χρόνος καθορίζεται από τις τιμές της διαδικασίας εισαγωγής στο ίδιο χρονικό σημείο. Για μη γραμμικούς μετασχηματισμούς χωρίς αδράνεια, μια απλούστερη εργασία είναι ο προσδιορισμός των συναρτήσεων κατανομής εξόδου σε μια πολύ πιο σύνθετη συνάρτηση - τον προσδιορισμό της συνάρτησης συσχέτισης ή του ενεργειακού φάσματος.

Όπως σημειώθηκε παραπάνω, η n-διάστατη συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας διεργασίας είναι ουσιαστικά μια συνάρτηση κατανομής n τυχαίων μεταβλητών που αντιπροσωπεύουν τις τιμές της τυχαίας διαδικασίας σε n διαφορετικά χρονικά σημεία. Ο προσδιορισμός των νόμων κατανομής των λειτουργικά μετασχηματισμένων τυχαίων μεταβλητών είναι ένα σχετικά απλό έργο.

Ας σκεφτούμε απλούστερο παράδειγμαμονοδιάστατη τυχαία μεταβλητή. Έστω η πυκνότητα πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής ζ, η οποία υπόκειται σε μη γραμμικό μετασχηματισμό. Ας προσδιορίσουμε την πυκνότητα πιθανότητας της τυχαίας μεταβλητής η. Ας υποθέσουμε ότι η συνάρτηση είναι τέτοια που η αντίστροφη συνάρτησή της είναι μοναδική.

Αν η τυχαία μεταβλητή ζ βρίσκεται σε αρκετά μικρό διάστημα , τότε λόγω της μοναδικής συναρτησιακής σχέσης μεταξύ ζ και η, η τυχαία μεταβλητή η θα βρίσκεται αναγκαστικά στο διάστημα , όπου , οι πιθανότητες αυτών των γεγονότων πρέπει να είναι οι ίδιες, δηλ. (3.4.13)

απο που το βρισκουμε?

(3.4.14)

Η παράγωγος στην τελευταία παράσταση λαμβάνεται από την απόλυτη τιμή της, αφού η πυκνότητα πιθανότητας δεν μπορεί να είναι αρνητική. Αν η αντίστροφη συνάρτηση είναι διφορούμενη, π.χ. έχει πολλούς κλάδους, τότε για την πυκνότητα πιθανότητας χρησιμοποιώντας το θεώρημα της πρόσθεσης πιθανότητας μπορεί κανείς να αποκτήσει

(3.4.15)

Σημειώστε ότι για τον προσδιορισμό των αριθμητικών χαρακτηριστικών των μη γραμμικά μετασχηματισμένων τυχαίων διεργασιών δεν χρειάζεται να προσδιοριστούν οι πυκνότητες πιθανοτήτων τους. Πράγματι, στη γενική περίπτωση, για την αρχική στιγμή της kth τάξης έχουμε

(3.4.16)

Αλλά σύμφωνα με την (3.4.13) Και . Επομένως, η τελευταία έκφραση μπορεί να ξαναγραφτεί

(3.4.17)

Οι παραστάσεις (3.4.14) και (3.4.15) που προκύπτουν μπορούν εύκολα να επεκταθούν στην περίπτωση πολλών ποσοτήτων. Παρουσιάζουμε εδώ μόνο το τελικό αποτέλεσμα για τη δισδιάστατη περίπτωση. Εάν οι τυχαίες μεταβλητές έχουν κοινή πυκνότητα πιθανότητας, τότε για τις τυχαίες μεταβλητές

(3.4.18)

όταν οι αντίστροφες συναρτήσεις είναι μοναδικές

η κοινή πυκνότητα πιθανότητας θα δοθεί από την έκφραση

Πού είναι το μέγεθος

ονομάζεται Jacobian του μετασχηματισμού και αντιπροσωπεύει την αναλογία των στοιχειωδών περιοχών κατά τη μετάβαση από το ένα σύστημα συντεταγμένων στο άλλο. Αν , τότε η ισότητα είναι αληθινή

Οπου

Ερώτηση Νο 23

Διακριτή ακολουθία παλμών, το φάσμα τους.

Baskakov σσ. 382-383

Δειγματοληψία περιοδικών σημάτων. Διακριτός Μετασχηματισμός Φουριέ (DFT). Επαναφορά του αρχικού σήματος χρησιμοποιώντας DFT. Αντίστροφος διακριτός μετασχηματισμός Fourier (IDFT).

Baskakov σσ. 388-392

Ερώτηση Νο 24

Αρχή ψηφιακή επεξεργασία(DC) σήματα που βασίζονται σε διακριτό μετασχηματισμό Fourier.

Baskakov σσ. 400-405

Υλοποίηση αλγορίθμων ψηφιακού φιλτραρίσματος (εγκάρσια ψηφιακά φίλτρα, αναδρομικά ψηφιακά φίλτρα, παλμική απόκριση, σήμα εξόδου)

Ψηφιακά φίλτραεξαρτάται από ανατροφοδότησηΥπάρχουν αναδρομικές (RF) και μη αναδρομικές (NF).

Τα πλεονεκτήματα των μη αναδρομικών φίλτρων έναντι των αναδρομικών είναι τα εξής:

Τα μη αναδρομικά φίλτρα μπορούν να έχουν ακριβώς γραμμική απόκριση φάσης.

Η εγγενής ισχύς θορύβου του NF είναι, κατά κανόνα, πολύ μικρότερη από αυτή του RF.

Για το NF είναι ευκολότερο να υπολογιστούν οι συντελεστές.

Τα μειονεκτήματα των μη αναδρομικών φίλτρων σε σύγκριση με τα αναδρομικά είναι τα εξής:

Τα αναδρομικά φίλτρα επιτρέπουν την επεξεργασία του σήματος με μεγαλύτερη ακρίβεια, καθώς επιτρέπουν μια πιο σωστή εφαρμογή της παλμικής απόκρισης χωρίς να απορρίπτεται η «ουρά» της.

Η υλοποίηση του κυκλώματος του RF είναι πολύ πιο απλή από αυτή του NF.

Τα αναδρομικά φίλτρα καθιστούν δυνατή την υλοποίηση αλγορίθμων που δεν μπορούν να εφαρμοστούν καθόλου χρησιμοποιώντας μη αναδρομικά φίλτρα.

Παρορμητική απόκρισηένα αναδρομικό φίλτρο είναι άπειρο και ένα μη αναδρομικό φίλτρο είναι πεπερασμένο.

Baskakov σσ. 405-408, 409-411, 413

Ερώτηση Νο 25

Έννοια της αναλογίας σήματος προς θόρυβο, φιλτραρίσματος και βέλτιστου φίλτρου.

Αναλογία σήματος προς θόρυβο- αδιάστατη ποσότητα ίση με την αναλογία της χρήσιμης ισχύος σήματος προς την ισχύ του θορύβου.

Διήθησηείναι μια διαδικασία επεξεργασίας σήμαΣυσκευές επιλεκτικής συχνότητας για την αλλαγή της φασματικής σύνθεσης του σήματος.

Βέλτιστο γραμμικό φίλτροονομάζεται σύστημα επιλογής συχνότητας που επεξεργάζεται το άθροισμα του σήματος και του θορύβου με τον καλύτερο τρόπο. Η έξοδος μεγιστοποιεί την αναλογία σήματος προς θόρυβο.

Baskakov σσ. 423-424

Λόγος σήματος προς θόρυβο στην έξοδο ενός αντίστοιχου φίλτρου.

Baskakov σσ. 425, 431-432

Χαρακτηριστικά ενός βέλτιστου (ταιριασμένου) φίλτρου για σήματα γνωστού σχήματος (AFC, PFC, IR).

Σήμα στην έξοδο του αντίστοιχου φίλτρου.

Στόχος της εργασίας: Αποκτήστε πρωτογενείς δεξιότητες στη μελέτη των στατιστικών χαρακτηριστικών των τυχαίων σημάτων. Προσδιορίστε πειραματικά τους νόμους κατανομής τυχαίων σημάτων στην έξοδο γραμμικών και μη γραμμικών ραδιοκυκλωμάτων.

ΣΥΝΤΟΜΗ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ

1. Ταξινόμηση ραδιοκυκλωμάτων

Τα ραδιοκυκλώματα που χρησιμοποιούνται για τη μετατροπή σήματος είναι πολύ διαφορετικά ως προς τη σύνθεση, τη δομή και τα χαρακτηριστικά τους. Στη διαδικασία ανάπτυξης και αναλυτικής τους έρευνας χρησιμοποιούνται διάφορα μαθηματικά μοντέλα που ικανοποιούν τις απαιτήσεις επάρκειας και απλότητας. Γενικά, οποιοδήποτε κύκλωμα ραδιοφώνου μπορεί να περιγραφεί με μια τυπική σχέση που καθορίζει τον μετασχηματισμό του σήματος εισόδου x(t) στην έξοδο y(t), η οποία μπορεί να αναπαρασταθεί συμβολικά ως

y(t) = T,

Όπου T είναι ένας τελεστής που ορίζει τον κανόνα με τον οποίο μετατρέπεται το σήμα εισόδου.

Έτσι, όπως μαθηματικό μοντέλοένα κύκλωμα ραδιομηχανικής μπορεί να είναι ένας συνδυασμός του τελεστή T και δύο σετ X=(xi(t)) και Y=(yi(t)) σημάτων στην είσοδο και στην έξοδο του κυκλώματος, έτσι ώστε

(υΕγώ(t)) = T(xΕγώ(t)).

Σύμφωνα με τον τύπο μετατροπής των σημάτων εισόδου σε σήματα εξόδου, δηλαδή, σύμφωνα με τον τύπο του χειριστή T, ταξινομούνται τα κυκλώματα ραδιομηχανικής.

Ένα κύκλωμα ραδιοφώνου είναι γραμμικό εάν ο τελεστής Τ είναι τέτοιος ώστε το κύκλωμα να ικανοποιεί τις συνθήκες προσθετικότητας και ομοιογένειας, δηλαδή ισχύουν οι ισότητες

T = T : T = c T

Εγώ Εγώ

Όπου c είναι σταθερά.

Αυτές οι συνθήκες εκφράζουν την ουσία της αρχής της υπέρθεσης, η οποία είναι χαρακτηριστική μόνο των γραμμικών κυκλωμάτων.

Η λειτουργία των γραμμικών κυκλωμάτων περιγράφεται με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Είναι χαρακτηριστικό ότι ο γραμμικός μετασχηματισμός ενός σήματος οποιουδήποτε σχήματος δεν συνοδεύεται από την εμφάνιση αρμονικών συνιστωσών με νέες συχνότητες στο φάσμα του σήματος εξόδου, δηλαδή δεν οδηγεί σε εμπλουτισμό του φάσματος του σήματος.

Το κύκλωμα ραδιοφώνου είναι Μη γραμμικό, εάν ο χειριστής Τ δεν διασφαλίζει την εκπλήρωση των προϋποθέσεων προσθετικότητας και ομοιογένειας. Η λειτουργία τέτοιων κυκλωμάτων περιγράφεται με μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις.

Δομικά, τα γραμμικά κυκλώματα περιέχουν μόνο γραμμικές συσκευές (ενισχυτές, φίλτρα, μεγάλες γραμμές κ.λπ.). Τα μη γραμμικά κυκλώματα περιέχουν μία ή περισσότερες μη γραμμικές συσκευές (γεννήτριες, ανιχνευτές, πολλαπλασιαστές, περιοριστές κ.λπ.)

Με βάση τη φύση της χρονικής εξάρτησης του σήματος εξόδου από το σήμα εισόδου, διακρίνονται αδρανειακά και αδρανειακά ραδιοκυκλώματα.

Ένα ραδιοκύκλωμα, η τιμή του σήματος εξόδου y(t) τη στιγμή t=t0 εξαρτάται όχι μόνο από την τιμή του σήματος εισόδου x(t) αυτή τη στιγμή, αλλά και από τις τιμές του x( t) στις χρονικές στιγμές που προηγούνται της στιγμής t0 καλείται Αδρανειακήαλυσίδα. Αν η τιμή του σήματος εξόδου y(t) και η στιγμή t=t0 προσδιορίζεται πλήρως από την τιμή x(t) ταυτόχρονα t0, τότε ένα τέτοιο κύκλωμα καλείται Χωρίς αδράνεια.

2. Μετασχηματισμός τυχαίων διεργασιών σε γραμμικά κυκλώματα

Το πρόβλημα του μετασχηματισμού τυχαίων διεργασιών σε γραμμικά ραδιοκυκλώματα στη γενική περίπτωση εξετάζεται στην ακόλουθη διατύπωση. Έστω μια τυχαία διεργασία x(t) με δεδομένες στατιστικές ιδιότητες να φτάσει στην είσοδο ενός γραμμικού κυκλώματος με απόκριση συχνότητας K(jw). Απαιτείται ο προσδιορισμός των στατιστικών χαρακτηριστικών της τυχαίας διεργασίας y(t) στην έξοδο του κυκλώματος. Ανάλογα με τα αναλυόμενα χαρακτηριστικά των τυχαίων διεργασιών x(t) και y(t), εξετάζονται δύο παραλλαγές του γενικού προβλήματος:

1. Προσδιορισμός του ενεργειακού φάσματος και της συνάρτησης συσχέτισης μιας τυχαίας διεργασίας στην έξοδο ενός γραμμικού κυκλώματος.

2. Προσδιορισμός των νόμων κατανομής πιθανοτήτων μιας τυχαίας διεργασίας στην έξοδο μιας γραμμικής αλυσίδας.

Το πιο απλό είναι το πρώτο έργο. Η επίλυσή του στον τομέα συχνοτήτων βασίζεται στο γεγονός ότι το ενεργειακό φάσμα μιας τυχαίας διεργασίας στην έξοδο ενός γραμμικού κυκλώματος Wy(w) σε στατικό τρόπο λειτουργίας είναι ίσο με το ενεργειακό φάσμα της διαδικασίας εισόδου Wx(w) πολλαπλασιασμένο επί το τετράγωνο του συντελεστή του χαρακτηριστικού συχνότητας του κυκλώματος, δηλαδή

Wy(W)= Wx(W) ∙│ κ(Jw)│ ΕΝΑ (1)

Είναι γνωστό ότι το ενεργειακό φάσμα Wx(w) μιας τυχαίας διαδικασίας x(t) με μαθηματική προσδοκία mx=0 σχετίζεται με τη συνάρτηση συνδιακύμανσής της Bx(t) με μετασχηματισμούς Fourier, δηλαδή

Wx(W)= ΣΕΧ(Τ) μι— JWΤρεΤ

ΣΕΧ(Τ)= Wx(W) EjWΤρεW.

Συνεπώς, η συνάρτηση συνδιακύμανσης Вy(t) μιας τυχαίας διεργασίας στην έξοδο μιας γραμμικής αλυσίδας μπορεί να προσδιοριστεί ως εξής:

ΣΕΥ(Τ)= Wy(W) EjWΤρεW= Wx(W))│ κ(Jw)│ ΕΝΑ EjWΤρεW

Ράι(Τ)=ΒΥ(Τ)+ Mya.

Σε αυτήν την περίπτωση, η διακύμανση Dy και η μαθηματική προσδοκία my για την τυχαία διαδικασία εξόδου είναι ίσες

Dy= Ry(0)= Wx(w)) │K(jw)│adw

Μου= Μχ∙ κ(0) .

Όπου mx είναι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας διαδικασίας εισόδου:

K(0) - συντελεστής μετάδοσης ενός γραμμικού κυκλώματος σύμφωνα με DC, αυτό είναι

κ(0)= κ(Jw)/ W=0

Οι τύποι (1,2,3,4) είναι ουσιαστικά ολοκληρωμένη λύσηανατεθεί εργασία στον τομέα συχνότητας.

Μια μέθοδος για την επίλυση του δεύτερου προβλήματος, η οποία θα επέτρεπε σε κάποιον να βρει άμεσα την πυκνότητα πιθανότητας της διεργασίας y(t) στην έξοδο ενός γραμμικού κυκλώματος αδράνειας από μια δεδομένη πυκνότητα πιθανότητας της διεργασίας x(t) στην είσοδο, σε γενική εικόναδεν υπάρχει. Το πρόβλημα επιλύεται μόνο για ορισμένες ειδικές περιπτώσεις και για τυχαίες διεργασίες με νόμο Gaussian (κανονικής) κατανομής, καθώς και για τυχαίες διεργασίες Markov.

Σε σχέση με τη διαδικασία της κανονικής κατανομής, η λύση απλοποιείται με βάση ότι όταν γραμμικός μετασχηματισμόςΜια τέτοια διαδικασία δεν αλλάζει τον νόμο διανομής. Δεδομένου ότι μια κανονική διαδικασία καθορίζεται πλήρως από τη μαθηματική προσδοκία και τη συνάρτηση συσχέτισης, για να βρεθεί η πυκνότητα πιθανότητας της διαδικασίας αρκεί να υπολογίσουμε τη μαθηματική προσδοκία και τη συνάρτηση συσχέτισης.

Ο νόμος της κατανομής πιθανότητας του σήματος στην έξοδο ενός γραμμικού κυκλώματος χωρίς αδράνεια συμπίπτει από λειτουργική άποψη με τον νόμο κατανομής του σήματος εισόδου. Μόνο κάποιες από τις παραμέτρους του αλλάζουν. Έτσι, εάν ένα γραμμικό κύκλωμα χωρίς αδράνεια υλοποιεί ένα συναρτητικό μετασχηματισμό της μορφής y(t) = a x(t) + b, όπου τα a και b είναι σταθεροί συντελεστές, τότε η πυκνότητα πιθανότητας p(y) μιας τυχαίας διεργασίας στο Η έξοδος της αλυσίδας προσδιορίζεται από τον γνωστό τύπο λειτουργικού μετασχηματισμού τυχαίες διεργασίες

Π(Υ)= =

Όπου p(x) είναι η πυκνότητα πιθανότητας της τυχαίας διεργασίας x(t) στην είσοδο του κυκλώματος.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, το πρόβλημα του προσδιορισμού των πιθανοτικών χαρακτηριστικών μιας τυχαίας διεργασίας στην έξοδο αδρανειακών κυκλωμάτων μπορεί να λυθεί κατά προσέγγιση χρησιμοποιώντας το αποτέλεσμα της κανονικοποίησης μιας τυχαίας διεργασίας από αδρανειακά συστήματα. Εάν μια μη Gaussian διεργασία x(t1) με διάστημα συσχέτισης tk ενεργεί σε μια αδρανειακή γραμμική αλυσίδα με χρονική σταθερά t»tk (στην περίπτωση αυτή, το πλάτος του ενεργειακού φάσματος της τυχαίας διεργασίας x(t) είναι μεγαλύτερο από το εύρος ζώνης της αλυσίδας), τότε η διεργασία y(t) στην έξοδο μιας τέτοιας αλυσίδας προσεγγίζει το Gaussian καθώς ο λόγος t/tk αυξάνεται. Αυτό το αποτέλεσμα ονομάζεται φαινόμενο τυχαίας κανονικοποίησης της διαδικασίας. Το φαινόμενο κανονικοποίησης είναι πιο έντονο όσο πιο στενό είναι το εύρος ζώνης του κυκλώματος.

3. Μετασχηματισμός τυχαίων διεργασιών σε μη γραμμικά κυκλώματα

Οι μη γραμμικοί αδρανειακές μετασχηματισμοί λαμβάνονται υπόψη κατά την ανάλυση μη γραμμικών κυκλωμάτων, η αδράνεια των οποίων υπό δεδομένες επιρροές δεν μπορεί να αγνοηθεί. Η συμπεριφορά τέτοιων κυκλωμάτων περιγράφεται με μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, οι γενικές μέθοδοι επίλυσης των οποίων δεν υπάρχουν. Επομένως, προβλήματα που σχετίζονται με τη μελέτη μη γραμμικών αδρανειακών μετασχηματισμών τυχαίων διεργασιών σχεδόν πάντα επιλύονται κατά προσέγγιση, χρησιμοποιώντας διάφορες τεχνητές τεχνικές.

Μία από αυτές τις τεχνικές είναι η αναπαράσταση μιας μη γραμμικής αδρανειακής αλυσίδας με έναν συνδυασμό γραμμικής αδρανειακής και μη γραμμικής αδρανειακής αλυσίδας. Το πρόβλημα της μελέτης της επίδρασης των τυχαίων διεργασιών σε μια γραμμική αλυσίδα εξετάστηκε παραπάνω. Αποδείχθηκε ότι σε αυτή την περίπτωση είναι αρκετά απλός ο προσδιορισμός της φασματικής πυκνότητας (ή της συνάρτησης συσχέτισης) του σήματος εξόδου, αλλά δύσκολος ο προσδιορισμός του νόμου κατανομής. Σε μη γραμμικά κυκλώματα χωρίς αδράνεια, η κύρια δυσκολία είναι η εύρεση της συνάρτησης συσχέτισης. Ωστόσο, δεν υπάρχουν γενικές μέθοδοι για την ανάλυση της επίδρασης των τυχαίων σημάτων σε μη γραμμικά κυκλώματα. Περιορίζονται στην επίλυση ορισμένων συγκεκριμένων προβλημάτων πρακτικού ενδιαφέροντος.

3.1. Στατιστικά χαρακτηριστικά μιας τυχαίας διεργασίας στην έξοδο μη γραμμικών κυκλωμάτων

Ας εξετάσουμε τον μετασχηματισμό μιας τυχαίας διαδικασίας με μονοδιάστατη πυκνότητα πιθανότητας από μια μη γραμμική αλυσίδα χωρίς αδράνεια με το χαρακτηριστικό

Υ= f(x).

Είναι προφανές ότι οποιαδήποτε πραγματοποίηση μιας τυχαίας διαδικασίας x(t) μετατρέπεται στην αντίστοιχη πραγματοποίηση μιας νέας τυχαίας διαδικασίας y(t), δηλαδή

y(t)=φά[ Χ(Τ)] .

Α. Προσδιορισμός του νόμου κατανομής της τυχαίας διαδικασίας y(t)

Έστω γνωστή η πυκνότητα πιθανότητας p(x) της τυχαίας διαδικασίας x(t). Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η πυκνότητα πιθανότητας p(y) της τυχαίας διαδικασίας y(t). Ας εξετάσουμε τρεις χαρακτηριστικές περιπτώσεις.

1. Η συνάρτηση y= f(x) μιας μη γραμμικής αλυσίδας καθορίζει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ x(t) και y(t). Πιστεύουμε ότι υπάρχει μια αντίστροφη συνάρτηση x = j(y), η οποία καθορίζει επίσης μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ y(t) και x(t). Στην περίπτωση αυτή, η πιθανότητα εύρεσης πραγματοποίησης μιας τυχαίας διεργασίας x(t) στο διάστημα (x0, x0+dx) είναι ίση με την πιθανότητα εύρεσης πραγματοποίησης μιας τυχαίας διαδικασίας y(t)=f στο διάστημα (y0, y0+dу) με y0= f(x0) και y0+dy= f(x0+dx), δηλαδή

Π(Χ) Dx= Π(Υ) Dy

Ως εκ τούτου,

Π(Υ)= .

Η παράγωγος λαμβάνεται σε απόλυτη τιμή επειδή η πυκνότητα πιθανότητας p(y) > 0, ενώ η παράγωγος μπορεί να είναι αρνητική.

2. Η αντίστροφη συνάρτηση x = j(y) είναι διφορούμενη, δηλαδή, μια τιμή του y αντιστοιχεί σε πολλές τιμές του x. Έστω, για παράδειγμα, η τιμή y1=y0 αντιστοιχεί στις τιμές x= x1, x2,…,xn.

Στη συνέχεια, από το γεγονός ότι y0≤ y(t)≤ y0+dy, προκύπτει μία από τις n αμοιβαία ασύμβατες πιθανότητες

Χ1 ≤ Χ(Τ)≤ Χ1 + Dx, ή Χ2 ≤ Χ(Τ)≤ Χ2 + Dx, ή … Xn≤ Χ(Τ)≤ Xn+ Dx.

Εφαρμόζοντας τον κανόνα της πρόσθεσης πιθανοτήτων παίρνουμε

Π(Υ)= + +…+ .

/ Χ= Χ1 / Χ= Χ2 / Χ= Xn

3, Χαρακτηριστικό ενός μη γραμμικού στοιχείου y= f(x) έχει μία ή περισσότερες οριζόντιες τομές (τομές όπου y= συνεχ.). Μετά η έκφραση

Π(Υ)=

Θα πρέπει να συμπληρωθεί με έναν όρο που λαμβάνει υπόψη την πιθανότητα το y(t) να βρίσκεται στο διάστημα όπου y = const.

Ο ευκολότερος τρόπος για να εξετάσετε αυτήν την περίπτωση είναι με ένα παράδειγμα.

Έστω η συνάρτηση y= f(x) να έχει τη μορφή που φαίνεται στο Σχ. 1 και τον τύπο

Ρύζι. 1 Επίδραση μιας τυχαίας διαδικασίας σε έναν αμφίδρομο περιοριστή.

Στο x(t)<а выходной сигнал y(t)=0, Это значит, что вероятность принятия случайным процессом y(t) нулевого значения равна

P1= P= P= P(x)dx,

Και η πυκνότητα πιθανότητας

P1(y) = P1∙δ(y).

Με το ίδιο επιχείρημα για την περίπτωση x(t)> b, προκύπτει

Pa= P= P= P(x)dx,

πα(Υ) = Pa∙ δ (Υ— ντο).

/ Υ= ντο

Για την περίπτωση a≤ x≤ b ισχύει ο τύπος

Pa(Υ) =

/0≤ Υ≤ ντο

Γενικά, η πυκνότητα πιθανότητας της διαδικασίας εξόδου καθορίζεται από την έκφραση

Π(Υ)= Π1 ∙ δ (Υ)+ Pa∙ δ (Υ— ντο)+ .

Σημειώστε ότι για να λάβετε την τελική έκφραση, είναι απαραίτητο να μετατρέψετε τις συναρτησιακές εξαρτήσεις p(x) και dy/dx, που είναι συναρτήσεις του x, σε συναρτήσεις του y, χρησιμοποιώντας την αντίστροφη συνάρτηση x = j(y). Έτσι, το πρόβλημα του προσδιορισμού της πυκνότητας κατανομής μιας τυχαίας διεργασίας στην έξοδο ενός μη γραμμικού κυκλώματος χωρίς αδράνεια επιλύεται αναλυτικά για αρκετά απλά χαρακτηριστικά y = f(x).

Β. Προσδιορισμός του ενεργειακού φάσματος και της συνάρτησης συσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας y(t)

Δεν είναι δυνατός ο άμεσος προσδιορισμός του ενεργειακού φάσματος μιας τυχαίας διεργασίας στην έξοδο ενός μη γραμμικού κυκλώματος. Υπάρχει μόνο μία μέθοδος - ο προσδιορισμός της συνάρτησης συσχέτισης του σήματος στην έξοδο του κυκλώματος και στη συνέχεια η εφαρμογή του άμεσου μετασχηματισμού Fourier για τον προσδιορισμό του φάσματος.

Εάν μια σταθερή τυχαία διεργασία x(t) φτάσει στην είσοδο ενός μη γραμμικού κυκλώματος χωρίς αδράνεια, τότε η συνάρτηση συσχέτισης της τυχαίας διεργασίας y(t) στην έξοδο μπορεί να αναπαρασταθεί ως

Ράι(Τ)= Με(Τ)- Μου2 ,

Όπου By(t) είναι η συνάρτηση συνδιακύμανσης.

my είναι η μαθηματική προσδοκία της τυχαίας διαδικασίας y(t). Η συνάρτηση συνδιακύμανσης μιας τυχαίας διαδικασίας είναι το στατιστικά μέσο γινόμενο των τιμών της τυχαίας διαδικασίας y(t) στις στιγμές t και t+t, δηλαδή

Με(Τ)= Μ[ Υ(Τ)∙ Υ(Τ+ Τ)].

Για υλοποιήσεις της τυχαίας διαδικασίας y(t), το γινόμενο y(t)∙y(t+t) είναι ένας αριθμός. Για μια διαδικασία ως σύνολο υλοποιήσεων, αυτό το γινόμενο σχηματίζει μια τυχαία μεταβλητή, η κατανομή της οποίας χαρακτηρίζεται από μια δισδιάστατη πυκνότητα πιθανότητας p2 (y1, y2, t), όπου y1= y(t), ya= y( t+t). Σημειώστε ότι στον τελευταίο τύπο η μεταβλητή t δεν εμφανίζεται, αφού η διαδικασία είναι ακίνητη - το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από το t.

Για μια δεδομένη συνάρτηση р2 (у1, у2, t), η λειτουργία του μέσου όρου σε ένα σύνολο εκτελείται σύμφωνα με τον Τύπο

Με(Τ)=У1∙у2∙р2 (у1, у2,Τ) Dy1 Dy2 = φά(Χ1 )∙ φά(Χ2 )∙ Π(Χ1 , Χ2 , Τ) Dx1 Dx2 .

Η μαθηματική προσδοκία μου δίνεται από την ακόλουθη έκφραση:

Μου= Υ∙ Π(Υ) Dy.

Λαμβάνοντας υπόψη ότι p(y)dy = p(x)dx, παίρνουμε

Μου= φά(Χ)∙ Π(Χ) Dx.

Το ενεργειακό φάσμα του σήματος εξόδου, σύμφωνα με το θεώρημα Wiener-Khinchin, βρίσκεται ως άμεσος μετασχηματισμός Fourier της συνάρτησης συνδιακύμανσης, δηλαδή

Wy(W)= Με(Τ) μι— JWΤρεΤ

Πρακτική χρήση αυτή τη μέθοδοδύσκολο, αφού το διπλό ολοκλήρωμα για το By(t) δεν μπορεί πάντα να υπολογιστεί. Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν διάφορες απλοποιητικές μέθοδοι που σχετίζονται με τις ιδιαιτερότητες του προβλήματος που επιλύεται.

3.2. Επίδραση θορύβου στενής ζώνης σε ανιχνευτή πλάτους

Στη στατιστική ραδιομηχανική, γίνεται διάκριση μεταξύ ευρυζωνικών και τυχαίων διεργασιών στενής ζώνης.

Έστω ∆ fe το πλάτος του ενεργειακού φάσματος της τυχαίας διεργασίας, που προσδιορίζεται από τον τύπο (Εικ. 2.)

Ρύζι. 2. Πλάτος του ενεργειακού φάσματος μιας τυχαίας διεργασίας

Στενής ζώνηςμια τυχαία διεργασία είναι μια διαδικασία για την οποία ∆fе «f0, όπου f0 είναι η συχνότητα που αντιστοιχεί στο μέγιστο του ενεργειακού φάσματος. Μια τυχαία διεργασία της οποίας το εύρος του ενεργειακού φάσματος δεν ικανοποιεί αυτήν την προϋπόθεση είναι Ευρυζωνικότητα.

Μια τυχαία διεργασία στενής ζώνης συνήθως αναπαρίσταται ως μια ταλάντωση υψηλής συχνότητας με αργά μεταβαλλόμενο πλάτος και φάση (σε σύγκριση με την ταλάντωση στη συχνότητα f0), δηλαδή

X(t)= A(t)∙cos,

Όπου A(t) = √x2(t) + z2(t) ,

J(t) = αρκτάν,

z(t) είναι η συζυγής συνάρτηση Hilbert της αρχικής συνάρτησης x(t), τότε

z(t)= —ρεΤ

Όλες οι παράμετροι αυτής της ταλάντωσης (πλάτος, συχνότητα και φάση) είναι τυχαίες συναρτήσεις του χρόνου.

Ανιχνευτής πλάτους, που είναι αναπόσπαστο μέροςΗ διαδρομή λήψης είναι ένας συνδυασμός ενός μη γραμμικού στοιχείου χωρίς αδράνεια (για παράδειγμα, μιας δίοδος) και ενός αδρανειακού γραμμικού κυκλώματος (χαμηλοπερατό φίλτρο). Η τάση στην έξοδο του ανιχνευτή αναπαράγει το περίβλημα του πλάτους της ταλάντωσης υψηλής συχνότητας στην είσοδο.

Αφήστε ένα τυχαίο σήμα στενής ζώνης να φτάσει στην είσοδο του ανιχνευτή πλάτους (για παράδειγμα, από την έξοδο του ενισχυτή, ο οποίος έχει στενό εύρος ζώνης σε σχέση με την ενδιάμεση συχνότητα), το οποίο έχει τις ιδιότητες μιας εργοδοτικής τυχαίας διαδικασίας με κανονική νόμος διανομής. Προφανώς, το σήμα στην έξοδο του ανιχνευτή θα είναι το περίβλημα του τυχαίου σήματος εισόδου, το οποίο είναι επίσης μια τυχαία συνάρτηση του χρόνου. Έχει αποδειχθεί ότι αυτός ο φάκελος, δηλαδή ο φάκελος μιας τυχαίας διαδικασίας στενής ζώνης, χαρακτηρίζεται από μια πυκνότητα πιθανότητας που ονομάζεται κατανομή Rayleigh και έχει τη μορφή:

Όπου Α είναι οι τιμές του φακέλου.

Sx2 είναι η διασπορά του τυχαίου σήματος στην είσοδο του ανιχνευτή.

Το διάγραμμα κατανομής Rayleigh φαίνεται στο Σχ. 3.

Εικ.3. Γράφημα νόμου κατανομής Rayleigh

Η συνάρτηση p(A) έχει μέγιστη τιμή ίση με

Όταν A = sx. Αυτό σημαίνει ότι η τιμή του A = sx και είναι η πιο πιθανή τιμή του φακέλου.

Μαθηματική προσδοκία του φακέλου μιας τυχαίας διαδικασίας

Μ.Α.= = =

Έτσι, το περίβλημα μιας τυχαίας διεργασίας στενής ζώνης με νόμο κανονικής κατανομής είναι μια τυχαία συνάρτηση του χρόνου, η πυκνότητα κατανομής της οποίας περιγράφεται από το νόμο του Rayleigh.

3.3. Ο νόμος κατανομής του περιβλήματος του αθροίσματος ενός αρμονικού σήματος και του τυχαίου θορύβου στενής ζώνης

Το πρόβλημα του προσδιορισμού του νόμου κατανομής του περιβλήματος του αθροίσματος ενός αρμονικού σήματος και του τυχαίου θορύβου στενής ζώνης προκύπτει κατά την ανάλυση της διαδικασίας γραμμικής ανίχνευσης σε συστήματα ραντάρ και επικοινωνιών που λειτουργούν σε συνθήκες όπου ο εσωτερικός ή εξωτερικός θόρυβος είναι συγκρίσιμος σε επίπεδο το χρήσιμο σήμα.

Αφήστε την είσοδο του δέκτη να λάβει το άθροισμα ενός αρμονικού σήματος a(t)=E∙cos(wt) και θορύβου στενής ζώνης x(t)=A(t)∙cos με νόμο κανονικής κατανομής. Η συνολική ταλάντωση σε αυτή την περίπτωση μπορεί να γραφτεί

Ν(Τ) = μικρό(Τ)+ Χ(Τ)= E∙coμικρό(Wt)+ ΕΝΑ(Τ)∙ Cos[ Wt+ J(Τ)]=

=[Ε+ΕΝΑ(Τ)∙ Cos(J(Τ))]∙έτσιμικρό(Wt)- ΕΝΑ(Τ)∙ Αμαρτία(J(Τ))∙ Αμαρτία(Wt)= U(Τ)∙ Cos[ Wt+ J(Τ)],

Όπου U(t) και j (t) είναι το περίβλημα και η φάση του συνολικού σήματος, που καθορίζονται από τις εκφράσεις

U(Τ)= ;

J(Τ)= Arctg

Όταν η συνολική ταλάντωση u(t) δρα στον ανιχνευτή πλάτους, σχηματίζεται ένα περίβλημα στην έξοδο του τελευταίου. Η πυκνότητα πιθανότητας p(U) αυτού του φακέλου καθορίζεται από τον τύπο

Π(U)= (5)

Όπου sxa είναι η διακύμανση θορύβου x(t);

I0 - Συνάρτηση Bessel μηδενικής τάξης (τροποποιημένη).

Η πυκνότητα πιθανότητας που καθορίζεται από αυτόν τον τύπο ονομάζεται γενικευμένος νόμος Rayleigh ή νόμος του Rice. Γραφήματα της συνάρτησης p(U) για πολλές τιμές του λόγου σήματος προς θόρυβο E/sx φαίνονται στο Σχ. 4.

Ελλείψει χρήσιμου σήματος, δηλαδή όταν E/sx=0, η έκφραση (5) παίρνει τη μορφή

Π(U)=

Δηλαδή, ο φάκελος του προκύπτοντος σήματος κατανέμεται σε αυτή την περίπτωση σύμφωνα με το νόμο του Rayleigh.

Εικ.4. Γραφήματα του γενικευμένου νόμου κατανομής Rayleigh

Εάν το πλάτος του χρήσιμου σήματος υπερβαίνει το επίπεδο θορύβου ρίζας μέσου τετραγώνου, δηλαδή E/sx»1, τότε για U≃E μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ασυμπτωτική αναπαράσταση της συνάρτησης Bessel με ένα μεγάλο όρισμα, δηλαδή

≃≃.

Αντικαθιστώντας αυτήν την έκφραση σε (5), έχουμε

Π(U)= ,

Δηλαδή, το περίβλημα του προκύπτοντος σήματος περιγράφεται από έναν κανονικό νόμο κατανομής με διασπορά sx2 και μαθηματική προσδοκία Ε. Στην πράξη, πιστεύεται ότι ήδη στο E/sx = 3 το περίβλημα του προκύπτοντος σήματος είναι κανονικοποιημένο.

4. Πειραματικός προσδιορισμός των νόμων κατανομής των τυχαίων διεργασιών

Μία από τις μεθόδους για τον πειραματικό προσδιορισμό της συνάρτησης κατανομής μιας τυχαίας διαδικασίας x(t) είναι μια μέθοδος που βασίζεται στη χρήση μιας βοηθητικής τυχαίας συνάρτησης z(t) της μορφής

Όπου x είναι η τιμή της συνάρτησης x(t), για την οποία υπολογίζεται το z(t).

Όπως προκύπτει από το σημασιολογικό περιεχόμενο της συνάρτησης z(t), οι στατιστικές της παράμετροι καθορίζονται από τις παραμέτρους της τυχαίας διαδικασίας x(t), καθώς οι αλλαγές στις τιμές του z(t) συμβαίνουν τις στιγμές που η τυχαία Η διαδικασία x(t) διασχίζει το επίπεδο x. Συνεπώς, εάν το x(t) είναι μια εργοδικική τυχαία διεργασία με συνάρτηση κατανομής F(x), τότε η συνάρτηση z(t) θα περιγράψει επίσης μια εργοδοτική τυχαία διεργασία με την ίδια συνάρτηση κατανομής.

Το σχήμα 5 δείχνει υλοποιήσεις τυχαίων διεργασιών x(t) και z(t), οι οποίες απεικονίζουν την προφανή σχέση

Π[ Ζ(Τ)=1]= Π[ Χ(Τ)< Χ]= φά(Χ);

Π[ Ζ(Τ)=0]= Π[ Χ(Τ)≥ Χ]= 1- φά(Χ).

Εικ.5 Πραγματοποιήσεις τυχαίων διεργασιών x(t), z(t), z1(t)

Η μαθηματική προσδοκία (στατιστικός μέσος όρος) της συνάρτησης z(t), η οποία έχει δύο διακριτές τιμές, προσδιορίζεται σύμφωνα με τον τύπο (βλ. Πίνακα 1)

Μ[ Ζ(Τ)]=1∙ Π[ Ζ(Τ)=1]+0 ∙ Π[ Ζ(Τ)=0]= φά(Χ).

Από την άλλη, για μια εργοδοτική τυχαία διαδικασία

Ετσι,

Αναλύοντας αυτή η έκφραση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι μια συσκευή για τη μέτρηση της συνάρτησης κατανομής μιας εργοδοτικής τυχαίας διεργασίας x(t) πρέπει να περιέχει έναν διαχωριστή στάθμης για να ληφθεί μια τυχαία διαδικασία που περιγράφεται από τη συνάρτηση z(t) σύμφωνα με την έκφραση (6) και μια ολοκλήρωση συσκευή κατασκευασμένη για παράδειγμα, με τη μορφή χαμηλοπερατού φίλτρου.

Η μέθοδος για τον πειραματικό προσδιορισμό της πυκνότητας κατανομής μιας τυχαίας διαδικασίας x(t) είναι ουσιαστικά παρόμοια με αυτή που συζητήθηκε παραπάνω. Σε αυτήν την περίπτωση, χρησιμοποιείται μια βοηθητική τυχαία συνάρτηση z1(t) της φόρμας

Η μαθηματική προσδοκία της συνάρτησης z1(t), η οποία έχει δύο διακριτές τιμές (Εικ. 5), είναι ίση με

Μ[ Ζ1 (Τ)]=1∙ Π[ Ζ1 (Τ)=1]+0 ∙ Π[ Ζ1 (Τ)=0]= Π[ Χ< Χ(Τ)< Χ+∆ Χ].

Λαμβάνοντας υπόψη την εργοδοτικότητα της τυχαίας διαδικασίας που περιγράφεται από τη συνάρτηση z1(t), μπορούμε να γράψουμε

Ετσι,

Είναι γνωστό ότι

Π(Χ≤ Χ(Τ)< Χ+∆ Χ) ≃ Π(Χ)∙∆ Χ.

Ως εκ τούτου,

Έτσι, μια συσκευή για τη μέτρηση της πυκνότητας κατανομής μιας εργοδοτικής τυχαίας διεργασίας x(t) έχει την ίδια δομή και σύνθεση με μια συσκευή για τη μέτρηση της συνάρτησης κατανομής.

Η ακρίβεια μέτρησης των F(x) και p(x) εξαρτάται από τη διάρκεια του διαστήματος παρατήρησης και την ποιότητα της λειτουργίας ολοκλήρωσης. Είναι προφανές ότι σε πραγματικές συνθήκες παίρνουμε Ακροαματικότητανόμους διανομής, αφού ο μέσος χρόνος (ολοκλήρωσης) είναι πεπερασμένος. Επιστρέφοντας στην έκφραση (6) και στην Εικ. 5. σημειώστε ότι

Ζ(Τ) Dt= ∆ Τ1 ,

Όπου ∆ t1 είναι το 1ο χρονικό διάστημα όταν η συνάρτηση x(t) είναι κάτω από το επίπεδο x, δηλαδή το χρονικό διάστημα όταν η συνάρτηση z(t)=l.

Η εγκυρότητα αυτού του τύπου καθορίζεται από τη γεωμετρική σημασία ενός συγκεκριμένου ολοκληρώματος (η περιοχή του σχήματος που περιορίζεται από τη συνάρτηση z(t) και το τμήμα (0,T) του άξονα χρόνου).

Έτσι, μπορούμε να γράψουμε

Δηλαδή, η συνάρτηση κατανομής μιας τυχαίας διεργασίας x(t) είναι ίση με τον σχετικό χρόνο παραμονής της υλοποίησης της διαδικασίας στο διάστημα -¥< x(t) < х.

Διαφωνώντας παρόμοια, μπορούμε να πάρουμε

Όπου Δ t1 είναι το 1ο χρονικό διάστημα της συνάρτησης x(t) που βρίσκεται εντός (x, x+∆x).

Στην πρακτική εφαρμογή της εξεταζόμενης μεθόδου πειραματικού προσδιορισμού των νόμων κατανομής μιας τυχαίας διεργασίας, ένα τυχαίο σήμα x(t) αναλύεται εντός του εύρους των αλλαγών στις στιγμιαίες τιμές του από xmin έως xmax (Εικ. 6). Μέσα σε αυτά τα όρια συγκεντρώνεται το κύριο σύνολο (με την πιθανολογική έννοια) των στιγμιαίων τιμών της διαδικασίας x(t).

Οι τιμές των xmin και xmax επιλέγονται με βάση την απαιτούμενη ακρίβεια μέτρησης των νόμων κατανομής. Σε αυτή την περίπτωση, θα εξεταστούν οι περικομμένες κατανομές έτσι ώστε

φά(Xmin)+<<1.

Όλο το εύρος (xmin, xmax) των τιμών x(t) χωρίζεται σε N ίσα διαστήματα Δx, δηλαδή

ΧΜέγιστη— Xmin= Ν∙∆ Χ.

Ρύζι. 6. Συνάρτηση κατανομής (α), πυκνότητα πιθανότητας (β) και υλοποίηση (γ) μιας τυχαίας διαδικασίας x(t)

Τα διαστήματα καθορίζουν το πλάτος των διαφορικών διαδρόμων στους οποίους γίνονται οι μετρήσεις. Καθορίζεται η εκτίμηση πιθανότητας

Πι* ≃ Π[ Xi-∆ Χ/2≤ Χ(Τ)< Xi-∆ Χ/2]

Η παραμονή της πραγματοποίησης x(t) εντός του διαφορικού διαδρόμου με τη μέση τιμή του x(t) εντός αυτού ίση με xi. Η εκτίμηση Pi* προσδιορίζεται με τη μέτρηση του σχετικού χρόνου παραμονής της υλοποίησης x(t) σε κάθε έναν από τους διαφορικούς διαδρόμους, δηλαδή

Pi*=1/T Zi(t)dt=,

I= 1,…,N.

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι

Πι* ≃ Π1 = Π(Χ) Dx,

Μπορείτε να καθορίσετε εκτιμήσεις πυκνότητας κατανομής σε καθέναν από τους διαφορικούς διαδρόμους

Πι* (Χ)= Πι*/∆ Χ.

Χρησιμοποιώντας τα αποτελέσματα που προέκυψαν, δηλαδή τις τιμές των pi*(x), xi, ∆x, κατασκευάζεται μια καμπύλη βήματος p*(x), η οποία ονομάζεται ιστόγραμμα πυκνότητας κατανομής (βλ. Εικ. 7).

Εικ.7. Ιστόγραμμα πυκνότητας κατανομής

Η περιοχή κάτω από κάθε θραύσμα του ιστογράμματος εντός του Δx είναι αριθμητικά ίση με την περιοχή που καταλαμβάνει η πραγματική καμπύλη κατανομής p(x) σε ένα δεδομένο διάστημα.

Ο αριθμός Ν των διαφορικών διαδρόμων πρέπει να είναι εντός 10...20. Μια περαιτέρω αύξηση του αριθμού τους δεν οδηγεί σε πιο ακριβή νόμο p(x), αφού με την αύξηση του N μειώνεται η τιμή του διαστήματος Δx, γεγονός που επιδεινώνει τις συνθήκες για την ακριβή μέτρηση του Δti.

Τα αποτελέσματα που ελήφθησαν μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε εκτιμήσεις της μαθηματικής προσδοκίας και της διακύμανσης της τυχαίας διαδικασίας x(t)

Μχ* = Xi∙ Πι* ; Dx* = (Xi— Μχ* )2∙ Πι* .

Κατά τον υπολογισμό Μχ* Και Dx* Αυτοί οι τύποι λαμβάνουν υπόψη ότι εάν η τιμή της πραγματοποίησης της τυχαίας διαδικασίας x(t) πέσει στον 1ο διαφορικό διάδρομο, τότε της εκχωρείται η τιμή και (το μέσο του διαφορικού διαδρόμου).

Η εξεταζόμενη μέθοδος για τον προσδιορισμό των νόμων κατανομής των τυχαίων διεργασιών αποτελεί τη βάση για τη λειτουργία του στατιστικού αναλυτή που χρησιμοποιείται σε αυτήν την εργαστηριακή εργασία.

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

Η μελέτη των νόμων κατανομής των τυχαίων σημάτων πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας μια εργαστηριακή ρύθμιση, η οποία περιλαμβάνει ένα εργαστηριακό μοντέλο, έναν στατιστικό αναλυτή και έναν παλμογράφο S1-72 (Εικ. 8).

Εικ.8. Διάγραμμα ρύθμισης εργαστηρίου

Το εργαστηριακό μοντέλο δημιουργεί και μετασχηματίζει τυχαία σήματα, παρέχοντας τη στατιστική τους ανάλυση, κατασκευάζοντας ιστογράμματα νόμων κατανομής και εμφανίζοντας γραφικά αυτούς τους νόμους στον δείκτη ενός στατιστικού αναλυτή. Περιλαμβάνει τις ακόλουθες λειτουργικές μονάδες:

ΕΝΑ.Μπλοκ γεννητριών σήματος. Παράγει τέσσερα διαφορετικά τυχαία σήματα.

— Σήμα x1(t)= A∙sin είναι μια αρμονική ταλάντωση με τυχαία αρχική φάση, ο νόμος κατανομής της οποίας Στολήστο διάστημα 0

Π(J)= 1/2 Π, 0< J<2 Π.

Η πυκνότητα πιθανότητας των στιγμιαίων τιμών ενός τέτοιου σήματος είναι ίση με

— Σήμα x2(t) — Περιοδική τάση πριονιού με σταθερό πλάτος Α και παράμετρος τυχαίας μετατόπισης q, νόμος κατανομής
ποιόν Στολήστο διάστημα , όπου T0 είναι η περίοδος του σήματος, δηλαδή, η πυκνότητα πιθανότητας είναι ίση με

Π(Q)= 1/ Τ0 ; 0< Q≤ Τ0 .

Η πυκνότητα πιθανότητας των στιγμιαίων τιμών ενός τέτοιου σήματος καθορίζεται από την έκφραση

— Το σήμα x3(t) είναι ένα τυχαίο σήμα με νόμο κανονικής κατανομής (νόμος Gauss) στιγμιαίων τιμών, δηλαδή

Pa(Χ)= ,

Όπου mx, sx είναι η μαθηματική προσδοκία και διακύμανση του τυχαίου σήματος x3(t).

— Το σήμα x4(t) είναι ένα τυχαίο κομμένο σήμα, το οποίο είναι μια ακολουθία ορθογώνιων παλμών σταθερού πλάτους Α και τυχαίας διάρκειας, που εμφανίζονται σε τυχαίους χρόνους. Ένα τέτοιο σήμα εμφανίζεται στην έξοδο ενός ιδανικού περιοριστή όταν μια τυχαία διεργασία με νόμο κανονικής κατανομής ενεργεί στην είσοδό του. Το χαρακτηριστικό μετασχηματισμού έχει τη μορφή

Όπου x είναι το επίπεδο περιορισμού.

Έτσι, η τυχαία διαδικασία x4(t) παίρνει δύο τιμές (A και - A) με πιθανότητες

P= P= F3(x);

P= P= 1-F3(x);

Όπου F3(x) είναι ο νόμος της ολοκληρωτικής κατανομής της τυχαίας διαδικασίας x3(t).

Λαμβάνοντας υπόψη τα παραπάνω, η πυκνότητα πιθανότητας του κομμένου σήματος είναι ίση με

P4(x)= F3(x)∙ρε(x+ A)+ ∙ρε(x - A).

Το σχήμα 9 δείχνει υλοποιήσεις καθενός από τα τυχαία σήματα που παράγονται από τον επαναλήπτη της διάταξης του εργαστηρίου και τις πυκνότητες πιθανοτήτων τους.

Αυτά τα σήματα, καθένα από τα οποία χαρακτηρίζεται από τη δική του πυκνότητα διανομής, μπορούν να τροφοδοτηθούν στις εισόδους τυπικών στοιχείων συσκευών ραδιομηχανικής για να μετατρέψουν και να μελετήσουν τους νόμους της διανομής σήματος στις εξόδους τους.

ΣΙ.Μίκτης γραμμικού σήματος. Δημιουργεί το άθροισμα δύο τυχαίων σημάτων xi(t) και x1(t) που παρέχονται στις εισόδους του σύμφωνα με τη σχέση

Υ(Τ)= R∙ Xi(Τ)+ (1- R)∙ Χ1 (Τ),

Όπου R είναι ο συντελεστής που ορίζεται από το κουμπί του ποτενσιόμετρου εντός της περιοχής 0...1.

Χρησιμοποιείται για τη μελέτη των νόμων κατανομής του αθροίσματος δύο τυχαίων σημάτων.

ΣΕ.Υποδοχές σύνδεσης διαφόρων δικτύων τεσσάρων τερματικών - λειτουργικοί μετατροπείς. Το κιτ εργαστηριακής εγκατάστασης περιλαμβάνει 4 λειτουργικούς μετατροπείς (Εικ. 10).

Ρύζι. 9. Πραγματοποιήσεις τυχαίων διεργασιών x1(t), x2(t), x3(t), x4(t) και οι πυκνότητες πιθανοτήτων τους

Ενισχυτής - περιοριστής (limiter) με χαρακτηριστικό μετατροπής

Όπου U1, U2 είναι το κατώτερο και το ανώτερο όριο, αντίστοιχα.

k είναι ένας συντελεστής ίσος με tg της γωνίας κλίσης του χαρακτηριστικού μετασχηματισμού.

Εκτελεί μη γραμμικό μετασχηματισμό σημάτων εισόδου χωρίς αδράνεια.

Φίλτρο στενής ζώνης (F1) με συχνότητα συντονισμού f0=20 kHz. Χρησιμοποιείται για τη δημιουργία τυχαίων διεργασιών στενής ζώνης με νόμο κατανομής κοντά στο κανονικό.

Τυπική διαδρομή δέκτη ταλάντωσης ΑΜ (φίλτρο στενής ζώνης F1 - γραμμικός ανιχνευτής D - φίλτρο χαμηλής διέλευσης F2). Εκτελεί το σχηματισμό του φακέλου ενός τυχαίου σήματος στενής ζώνης κατά τη γραμμική ανίχνευση.

Δομικά, οι θεωρούμενοι λειτουργικοί μετατροπείς κατασκευάζονται με τη μορφή μικρών αντικαταστάσιμων μπλοκ.

Ως άλλος λειτουργικός μετατροπέας, χρησιμοποιείται ένας "ιδανικός" ενισχυτής - ένας περιοριστής (ηλεκτρονικό κλειδί), ο οποίος αποτελεί μέρος του μπλοκ γεννήτριας σήματος του πρωτοτύπου. Παρέχει το σχηματισμό ενός κομμένου σήματος, που είναι ένας μη γραμμικός μετατροπέας χωρίς αδράνεια ενός τυχαίου σήματος εισόδου.

Ρύζι. 10. Λειτουργικοί μετατροπείς

ΣΟΛ.Ενισχυτής που ταιριάζει. Παρέχει συντονισμό μεταξύ του εύρους τιμών του υπό μελέτη σήματος και του εύρους πλάτους του στατιστικού αναλυτή. Ο συντονισμός πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας τα ποτενσιόμετρα "Gain" και "Offset" όταν ο διακόπτης P1 (Εικ. 8) είναι ρυθμισμένος στη θέση "Calibration".

Ο αντίστοιχος ενισχυτής χρησιμοποιείται επίσης ως λειτουργικός μετατροπέας (εκτός από τους τέσσερις που συζητήθηκαν παραπάνω), παρέχοντας γραμμική μετατροπή χωρίς αδράνεια σύμφωνα με τον τύπο

Υ(Τ)= ΕΝΑ∙ Χ(Τ)= σι,

Όπου a είναι ο συντελεστής κέρδους που ορίζεται με το κουμπί «Κέρδος».

b είναι η σταθερή συνιστώσα του σήματος, ρυθμισμένη με το κουμπί "Offset".

Το μπλοκ αναλυτή που φαίνεται στο διάγραμμα στο Σχ. 8 ως μέρος της διάταξης δεν χρησιμοποιείται σε αυτή την εργασία. Η εργαστηριακή εγκατάσταση περιλαμβάνει τη χρήση ψηφιακού στατιστικού αναλυτή, σχεδιασμένου ως ξεχωριστή συσκευή.

ΡΕ.Ένας ψηφιακός στατιστικός αναλυτής χρησιμοποιείται για τη μέτρηση και τη διαμόρφωση νόμων κατανομής των τιμών σήματος που παρέχονται στην είσοδο του. Ο αναλυτής λειτουργεί ως εξής.

Ο αναλυτής τίθεται σε λειτουργία μέτρησης χρησιμοποιώντας το κουμπί "Έναρξη". Ο χρόνος μέτρησης είναι 20 δευτερόλεπτα. Κατά τη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος λαμβάνονται δείγματα των τιμών του σήματος εισόδου (σε τυχαίους χρόνους), ο συνολικός αριθμός των οποίων Ν είναι 1 εκατομμύριο. Τα δείγματα δειγματοληπτούνται ανά επίπεδο έτσι ώστε καθένα από αυτά να εμπίπτει σε ένα από τα 32 διαστήματα (που ονομάζεται διαφορικό διαδρόμους ή ομαδοποίηση τιμών δείγματος). Τα διαστήματα αριθμούνται από το 0 έως το 31, το πλάτος τους είναι 0,1 V και το κάτω όριο του 0ου διαστήματος είναι 0 V, το ανώτερο όριο του 31ου διαστήματος είναι +3,2 V. Κατά τη διάρκεια του χρόνου μέτρησης, μετράται ο αριθμός των μετρήσεων ni περιλαμβάνεται σε κάθε διάστημα. Το αποτέλεσμα της μέτρησης εμφανίζεται με τη μορφή ιστογράμματος κατανομής στην οθόνη της οθόνης, όπου ο οριζόντιος άξονας του πλέγματος κλίμακας είναι ο άξονας των τιμών σήματος εντός 0...+3,2 V, ο κατακόρυφος άξονας είναι ο άξονας του σχετικού συχνότητες ni/N, i = 0,1...31.

Για να διαβάσετε τα αποτελέσματα της μέτρησης σε ψηφιακή μορφή, χρησιμοποιήστε μια ψηφιακή ένδειξη, η οποία εμφανίζει τον αριθμό του επιλεγμένου διαστήματος και την αντίστοιχη συχνότητα (εκτίμηση πιθανότητας) ni/N. Η επιλογή των αριθμών διαστήματος για την ψηφιακή ένδειξη πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας το διακόπτη "Interval". Σε αυτήν την περίπτωση, το επιλεγμένο διάστημα επισημαίνεται με ένα δείκτη στην οθόνη της οθόνης.

Χρησιμοποιώντας το διακόπτη "Πολλαπλασιαστής", μπορείτε να επιλέξετε μια κλίμακα ιστογράμματος κατάλληλη για παρατήρηση κατά μήκος του κατακόρυφου άξονα.

Κατά την εκτέλεση αυτής της εργασίας, ο διακόπτης εύρους τάσης εισόδου του αναλυτή (εύρος μετατροπής αναλογικού σε ψηφιακό) πρέπει να ρυθμιστεί στη θέση 0...+3,2 V. Πριν από κάθε μέτρηση, πρέπει να πατάτε εναλλάξ τα κουμπιά "Επαναφορά" και "Έναρξη" (όταν πατάτε το κουμπί "Επαναφορά" Η συσκευή μνήμης μηδενίζεται και τα αποτελέσματα της προηγούμενης μέτρησης ξαναγράφονται στη μνήμη στοίβας, από την οποία μπορούν να ανακληθούν χρησιμοποιώντας το διακόπτη "Σελίδα").

Το γενικό πρόβλημα της μελέτης της διέλευσης τυχαίων σημάτων μέσω μη γραμμικών

Το κύκλωμα συνίσταται στην εύρεση των στατιστικών χαρακτηριστικών του σήματος εξόδου από τα γνωστά δεδομένα κυκλώματος και των στατιστικών χαρακτηριστικών του σήματος. Αυτή η εργασία θα πρέπει να αναλυθεί σε έναν αριθμό ξεχωριστών εργασιών με βάση τα χαρακτηριστικά που σχετίζονται με τα χαρακτηριστικά του σήματος εισόδου, τις ιδιότητες του κυκλώματος και τα αρχικά χαρακτηριστικά του σήματος εξόδου.

Τα μη γραμμικά κυκλώματα αντιπροσωπεύουν μια αναλογία μη γραμμικών στοιχείων με ένα σαφές χαρακτηριστικό ρεύματος-τάσης και ορίζονται ως χωρίς αδράνεια.

Σύμφωνα με τα επιθυμητά στατιστικά χαρακτηριστικά του σήματος εξόδου, πρέπει να γίνει διάκριση μεταξύ εργασιών με τη βοήθεια των οποίων πρέπει να βρεθεί ο νόμος κατανομής των στιγμιαίων τιμών ή του φακέλου και των εργασιών όταν αρκεί να προσδιοριστούν οι πρώτες στιγμές αυτών των νόμων .

Ανάλυση ερευνών και δημοσιεύσεων. Ανάλογα με τις μεθόδους επεξεργασίας σημάτων από διάφορες πηγές, καθίσταται απαραίτητο να εκτελούνται μαθηματικές πράξεις σε αυτά όπως, για παράδειγμα, διαίρεση, πολλαπλασιασμός κ.λπ. Τέτοιες μαθηματικές πράξεις σε σήματα μπορούν τεχνικά να πραγματοποιηθούν χρησιμοποιώντας μη γραμμικές συσκευές χωρίς αδράνεια. Ως αποτέλεσμα, το πρόβλημα της μελέτης της διέλευσης τυχαίων σημάτων μέσω μη γραμμικών κυκλωμάτων με χρήση μαθηματικών πράξεων δεν μπορεί πάντα να επιλυθεί σε αποδεκτή μορφή.

Γενικά, η θεμελιώδης λύση στο πρόβλημα των μη γραμμικών μετασχηματισμών τυχαίων διεργασιών χωρίς αδράνεια παράγεται από τη γνωστή ιδιότητα της αμετάβλητης του διαφορικού πιθανότητας. Ωστόσο, η εφαρμογή αυτής της ιδιότητας σε πρακτικά ενδιαφέροντες μη γραμμικούς μετασχηματισμούς προκαλεί μεγάλες δυσκολίες. Επομένως, λόγω της πολυπλοκότητας του υπολογισμού της πυκνότητας πιθανότητας, συχνά περιορίζονται στην εύρεση απλούστερων, όχι λιγότερο ολοκληρωμένων στατιστικών χαρακτηριστικών του σήματος εξόδου.

Διατύπωση του προβλήματος. Η λειτουργία της διαίρεσης δύο τυχαίων σημάτων μπορεί να αποδοθεί στο πρόβλημα της σύνθεσης ενός μη γραμμικού κυκλώματος για έναν δεδομένο μετασχηματισμό του σήματος εισόδου, ο οποίος περιλαμβάνει τον καθορισμό του τύπου χαρακτηριστικού του κυκλώματος που πραγματοποιεί αυτόν τον μετασχηματισμό και στη συνέχεια την εφαρμογή του προκύπτοντος χαρακτηριστικού. Με δύο σήματα εισόδου που αντιπροσωπεύουν τυχαίες διεργασίες, για παράδειγμα, η λειτουργία πολλαπλασιασμού εκτελείται χρησιμοποιώντας ένα μη γραμμικό ντετερμινιστικό σύστημα χωρίς αδράνεια, το οποίο παρουσιάζεται στην Εικ. 1. Αποτελείται από δύο λογαριθμητές 1, 2 (συσκευές με χαρακτηριστικό λογαριθμικό πλάτος), έναν αθροιστή και έναν εκθέτη 3, μια συσκευή με χαρακτηριστικό εκθετικό πλάτος. Αυτή η προσέγγιση για την επίλυση του προβλήματος βασίζεται στο γεγονός ότι ο μη γραμμικός μετασχηματισμός χωρίς αδράνεια μιας τυχαίας διεργασίας δεν εισάγει πρόσθετες προσωρινές συνδέσεις. Δηλαδή, εάν η διεργασία πριν από τον μετασχηματισμό χωρίς αδράνεια χαρακτηριζόταν από κατανομή n-διαστάσεων, τότε η διεργασία μετά από αυτήν θα χαρακτηριστεί από κατανομή n-ης τάξης.

Είναι γνωστό ότι ο νόμος της κατανομής πιθανοτήτων του αθροίσματος δύο τυχαίων διεργασιών με νόμους κανονικής κατανομής είναι επίσης κανονικός. Επομένως, μπορούμε να υποθέσουμε ότι το σήμα στην είσοδο του εκθέτη έχει μια κανονική κατανομή των πυκνοτήτων πιθανότητας.

Το ληφθέν αποτέλεσμα έχει μια τόσο απλή λύση όπως η εξαίρεση και συμβαίνει μόνο με έναν εκθετικό μετασχηματισμό μιας κανονικής στατικής διαδικασίας.

Ωστόσο, αυτό το αποτέλεσμα έχει μια σχετικά γενική σημασία, καθώς συχνά τα χαρακτηριστικά των μη γραμμικών στοιχείων μπορούν να προσεγγιστούν με ένα άθροισμα που περιέχει δύο έως τρεις εκθετικούς όρους. Με αυτήν την προσέγγιση, η συνολική συνάρτηση συσχέτισης της διαδικασίας εξόδου θα είναι ίση με το άθροισμα των συναρτήσεων συσχέτισης που υπολογίζονται για κάθε εκθετικό όρο ξεχωριστά.

Τα προβλήματα της μελέτης της διέλευσης τυχαίων σημάτων μέσω μη γραμμικών κυκλωμάτων χωρίς αδράνεια που εκτελούν μαθηματικές πράξεις σε σήματα, για παράδειγμα, διαίρεση ή πολλαπλασιασμό δύο σημάτων, δεν μπορούν πάντα να επιλυθούν σε άμεση μορφή. Ωστόσο, η απόκτηση του αποτελέσματος της επίλυσης του προβλήματος του προσδιορισμού στατιστικών χαρακτηριστικών σε αυτές τις περιπτώσεις μπορεί να επιτευχθεί με την επίλυση του προβλήματος της σύνθεσης μη γραμμικών κυκλωμάτων για έναν δεδομένο μετασχηματισμό σημάτων εισόδου, ο οποίος περιλαμβάνει τον καθορισμό του τύπου των χαρακτηριστικών των μεμονωμένων στοιχείων κυκλώματος που πραγματοποιούν αυτό μετασχηματισμός σήματος. Με αυτήν την προσέγγιση, το καθήκον του προσδιορισμού του προκύπτοντος σήματος θα καθοριστεί στην έξοδο κάθε στοιχείου που εκτελεί την εκχωρημένη λειτουργία του.

Δεν υπάρχει γενική διαδικασία για τον προσδιορισμό του νόμου κατανομής της απόκρισης μιας γραμμικής FU σε μια αυθαίρετη τυχαία επιρροή. Ωστόσο, είναι δυνατή η ανάλυση συσχέτισης, δηλαδή ο υπολογισμός της συνάρτησης συσχέτισης της αντίδρασης από μια δεδομένη συνάρτηση συσχέτισης του αποτελέσματος, η οποία πραγματοποιείται εύκολα με τη φασματική μέθοδο σύμφωνα με το σχήμα που φαίνεται στο Σχήμα. 5.5.

Για τον υπολογισμό του ενεργειακού φάσματος GY(φά) αντιδράσεις γραμμικής FU με συνάρτηση μεταφοράς H(ιω) χρησιμοποιούμε τον ορισμό του (4.1)

Συνάρτηση συσχέτισης ΜΕ(t) ορίζουμε με τον μετασχηματισμό Fourier του ενεργειακού φάσματος GY(φά)

.

Ας επιστρέψουμε στον ορισμό του νόμου κατανομής για την αντίδραση μιας γραμμικής FU σε ορισμένες ειδικές περιπτώσεις:

1. Ένας γραμμικός μετασχηματισμός ενός κανονικού SP δημιουργεί επίσης μια κανονική διαδικασία. Μόνο οι παράμετροι της κατανομής του μπορούν να αλλάξουν.

2. Το άθροισμα των κανονικών SP (αντίδραση του αθροιστή) είναι επίσης μια κανονική διαδικασία.

3. Όταν ένα SP με αυθαίρετη κατανομή διέρχεται από ένα φίλτρο στενής ζώνης (δηλαδή, με ένα εύρος ζώνης φίλτρου D φάσημαντικά μικρότερο πλάτος του ενεργειακού φάσματος επιρροής D στ Χ) παρατηρείται το φαινόμενο της ομαλοποίησης της κατανομής της αντίδρασης Υ(t). Βρίσκεται στο γεγονός ότι ο νόμος κατανομής της αντίδρασης προσεγγίζει το φυσιολογικό. Ο βαθμός αυτής της προσέγγισης είναι μεγαλύτερος, τόσο ισχυρότερη είναι η ανισότητα D φά<< Dστ Χ(Εικ. 5.6).

Αυτό μπορεί να εξηγηθεί ως εξής. Ως αποτέλεσμα της διέλευσης του SP μέσω ενός φίλτρου στενής ζώνης, εμφανίζεται σημαντική μείωση στο πλάτος του ενεργειακού του φάσματος (με D στ Χστο Δ φά) και, κατά συνέπεια, αύξηση του χρόνου συσχέτισης (c t Χπρος τ Υ). Ως αποτέλεσμα, μεταξύ μη συσχετισμένων δειγμάτων απόκρισης φίλτρου Υ(κ t Υ) βρίσκεται περίπου Δ f X /ρε φάμη συσχετισμένες μετρήσεις επιπτώσεων Χ(μεγάλο t Χ), καθένα από τα οποία συμβάλλει στο σχηματισμό ενός μόνο δείγματος αντίδρασης με βάρος που καθορίζεται από τον τύπο της παλμικής απόκρισης του φίλτρου.

Έτσι, σε ασύνδετες ενότητες Υ(κ t Υ) υπάρχει ένα άθροισμα ενός μεγάλου αριθμού επίσης ασύνδετων τυχαίων μεταβλητών Χ(μεγάλο t Χ) με περιορισμένες μαθηματικές προσδοκίες και διακυμάνσεις, το οποίο, σύμφωνα με το κεντρικό οριακό θεώρημα (A.M. Lyapunov), διασφαλίζει ότι η κατανομή του αθροίσματος τους προσεγγίζει την κανονική με αύξηση του αριθμού των όρων.

5.3. Τυχαίες διεργασίες στενής ζώνης

JV Χ(t) με σχετικά στενό ενεργειακό φάσμα (D στ Χ << στ γ) όπως τα ντετερμινιστικά σήματα στενής ζώνης, είναι βολικό να αναπαρασταθούν σε σχεδόν αρμονική μορφή (βλ. ενότητα 2.5)

που είναι ο φάκελος ΕΝΑ(t), φάση Υ( t) και αρχική φάση j( t) είναι τυχαίες διεργασίες και το ω c είναι μια συχνότητα που επιλέγεται αυθαίρετα (συνήθως ως η μέση συχνότητα του φάσματος της).

Για να ορίσετε το φάκελο ΕΝΑ(t) και φάση Υ( t) συνιστάται η χρήση του αναλυτικού SP

, (5.4)

Οι κύριες συναρτήσεις ροπής του αναλυτικού SP:

1. Μαθηματική προσδοκία

2. Διακύμανση

3. Συνάρτηση συσχέτισης

,

,

.

Ένα αναλυτικό SP ονομάζεται σταθερό αν

,

,

Ας εξετάσουμε το τυπικό πρόβλημα στην τεχνολογία επικοινωνιών της διέλευσης ενός κανονικού SP μέσω ενός φίλτρου ζώνης (BF), ανιχνευτών πλάτους (AM) και φάσης (PD) (Εικ. 5.7). Το σήμα στην έξοδο του PF γίνεται στενής ζώνης, πράγμα που σημαίνει ότι το περίβλημά του ΕΝΑ(t) και αρχική φάση j( t) θα μεταβάλλονται αργά οι συναρτήσεις του χρόνου σε σύγκριση με το , όπου είναι η μέση συχνότητα της ζώνης διέλευσης PF. Εξ ορισμού, το σήμα στην έξοδο του IM θα είναι ανάλογο με το περίβλημα του σήματος εισόδου ΕΝΑ(t), και στην έξοδο PD – η αρχική του φάση j( t). Έτσι, για να λυθεί αυτό το πρόβλημα αρκεί να υπολογιστεί η κατανομή του φακέλου ΕΝΑ(t) και φάση Υ( t) (κατανομή αρχικής φάσης διαφέρει από την κατανομή Y( t) μόνο με μαθηματική προσδοκία).

Διατύπωση του προβλήματος

Δεδομένος:

1) Χ(t) = ΕΝΑ(t)ζεστός( t) – σταθερό κανονικό SP με κέντρο στενής ζώνης (στην έξοδο PF),

2) .

Καθορίζω:

1) w(ΕΝΑ) – μονοδιάστατη πυκνότητα πιθανότητας του φακέλου,

2) w(Y) – μονοδιάστατη πυκνότητα πιθανότητας φάσης.

Για να λύσουμε αυτό το πρόβλημα, περιγράφουμε τρία στάδια:

1. Μετάβαση στο αναλυτικό SP και προσδιορισμός της πυκνότητας πιθανοτήτων από κοινού.

2. Υπολογισμός της κοινής πυκνότητας πιθανότητας με βάση τις συνδέσεις που υπολογίστηκαν στο πρώτο στάδιο ΕΝΑ(t), Υ( t) με (5.3) ÷ (5.6) .

3. Προσδιορισμός μονοδιάστατων πυκνοτήτων πιθανότητας w(ΕΝΑ) Και w(Y) από την υπολογισμένη κοινή πυκνότητα πιθανότητας.

Λύση

Στάδιο 1. Ας βρούμε τη μονοδιάστατη πυκνότητα πιθανότητας της διαδικασίας. Με βάση τη γραμμικότητα του μετασχηματισμού Hilbert συμπεραίνουμε ότι πρόκειται για μια κανονική κοινοπραξία. Περαιτέρω, λαμβάνοντας υπόψη ότι , παίρνουμε , και συνεπώς

Έτσι έχουμε

.

Ας αποδειχτεί ασύνδετο σε χρονικά σημεία που συμπίπτουν, δηλαδή ότι .

.

Αφού αντικαταστήσουμε το , , , λαμβάνοντας υπόψη ότι για , παίρνουμε

Η ασύνδετη φύση των διατομών των κανονικών διεργασιών συνεπάγεται επομένως την ανεξαρτησία τους

.

Στάδιο 2. Υπολογισμός κοινής πυκνότητας πιθανότητας

,

όπου σύμφωνα με τις (5.2), (5.5) και (5.6)

.

Επομένως, λαμβάνοντας υπόψη την (5.3) έχουμε

. (5.7)

Στάδιο 3. Ορισμός μονοδιάστατων πυκνοτήτων πιθανότητας

Τελικά

, (5.8)

. (5.9)

Η έκφραση (5.8) είναι γνωστή ως Κατανομή Rayleigh, η γραφική παράσταση του φαίνεται στο Σχ. 5.8. Στο Σχ. Το σχήμα 5.9 δείχνει ένα γράφημα της ομοιόμορφης κατανομής φάσης (5.9).

Η έκφραση (5.7) μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο των (5.8) και (5.9)

που συνεπάγεται την ανεξαρτησία του φακέλου ΕΝΑ(t) και φάσεις w(Υ) κανονικό SP.

Ας εξετάσουμε το πιο περίπλοκο πρόβλημα της διέλευσης ενός μείγματος πρόσθετων του προαναφερθέντος κανονικού SP με ένα αρμονικό σήμα μέσω του IM και του PD. Η δήλωση προβλήματος παραμένει η ίδια εκτός από την αρχική διαδικασία Υ(t) που παίρνει τη μορφή

Οπου Χ(t) – κεντραρισμένο κανονικό SP.

Επειδή η

.

Ας το γράψουμε Υ(t) σε οιονεί αρμονική μορφή

και θα λύσουμε το πρόβλημα του προσδιορισμού των πυκνοτήτων πιθανότητας w(ΕΝΑ) Και w(ι) σύμφωνα με το παραπάνω σχέδιο.

Ας το γράψουμε εκ των προτέρων Χ(t) σε οιονεί αρμονική μορφή και μέσω των τετραγωνικών συνιστωσών του

, (5.10)

(5.11)

Για να βρούμε, ας στραφούμε στο αναλυτικό Σ.Π

.

Από την έκφρασή του είναι ξεκάθαρο ότι είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί του κεντρικού κανονικού SP Χ(t):

και επομένως έχουν κανονική κατανομή με διακυμάνσεις

.

Ας αποδείξουμε την ασυσχέτισή τους (και συνεπώς την ανεξαρτησία) τους σε συμπίπτουσες χρονικές στιγμές

.

Εδώ λαμβάνεται υπόψη ότι σι(t) και θ( t) – ο φάκελος και η φάση του κανονικού SP είναι, όπως ορίστηκε παραπάνω, ανεξάρτητα.

Ετσι,

και λαμβάνοντας υπόψη τις (5.10) και (5.11) παίρνουμε

. (5.12)

Εφόσον η έκφραση (5.12) δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως γινόμενο μονοδιάστατων συναρτήσεων, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι διαδικασίες εξαρτώνται από το .

Για να βρούμε την κατανομή του φακέλου του αθροίσματος ενός κεντρικού κανονικού SP με αρμονικό σήμα, ενσωματώνουμε το (5.12) σε όλες τις πιθανές τιμές της τυχαίας φάσης j( t)

.

Αναπόσπαστο της φόρμας

γνωστή στα μαθηματικά ως συνάρτηση Bessel τροποποιημένης μηδενικής τάξης. Λαμβάνοντάς το υπόψη, επιτέλους έχουμε

. (5.13)

Η έκφραση (5.13) ονομάζεται γενικευμένη κατανομή Rayleighή Διανομή ρυζιού. Τα γραφήματα αυτής της έκφρασης φαίνονται στο Σχ. 5.10 για τις ακόλουθες ειδικές περιπτώσεις:

1) U = 0 – συνηθισμένη κατανομή Rayleigh,

2) – περίπτωση απουσίας από Υ(t) ΣΠ Χ(t),

3)
– γενικευμένη κατανομή Rayleigh (Ρύζι).

Είναι σαφές από τα γραφήματα ότι όσο υψηλότερη είναι η αναλογία σήματος προς θόρυβο, τόσο περισσότερο προς τα δεξιά μετατοπίζεται το μέγιστο της πυκνότητας πιθανότητας και τόσο πιο συμμετρική (πιο κοντά στην κανονική κατανομή) είναι η καμπύλη.

συμπεράσματα

1. Εάν οι στιγμιαίες τιμές του κεντρικού SP Χ(t) έχουν κανονική κατανομή και μετά το περίβλημά του ΕΝΑ(t) κατανέμεται σύμφωνα με το νόμο του Rayleigh

,

και φάση Υ( t) ομοιόμορφα

2. Η κατανομή του περιβλήματος του μείγματος πρόσθετων του κεντραρισμένου κανονικού SP και του αρμονικού σήματος υπακούει στη γενικευμένη κατανομή Rayleigh (γνωστή και ως κατανομή ρυζιού)

.

Ερωτήσεις ελέγχου

1. Διατυπώστε το πρόβλημα της ανάλυσης της διέλευσης μιας κοινοπραξίας μέσω μιας δεδομένης λειτουργικής μονάδας.

2. Πώς υπολογίζεται η πυκνότητα πιθανότητας w(y) αντίδραση μιας αλυσίδας χωρίς αδράνεια σύμφωνα με μια γνωστή πυκνότητα πιθανότητας w(Χ) επίπτωση?

3. Πώς να υπολογίσετε τη μαθηματική προσδοκία της αντίδρασης μιας αλυσίδας χωρίς αδράνεια σε μια τυχαία κρούση Χ(t)?

4. Πώς να υπολογίσετε τη διασπορά της αντίδρασης μιας αλυσίδας χωρίς αδράνεια σε μια τυχαία κρούση Χ(t)?

5. Πώς να υπολογίσετε τη συνάρτηση συσχέτισης της αντίδρασης μιας αλυσίδας χωρίς αδράνεια σε μια τυχαία κρούση Χ(t)?

6. Πώς να υπολογίσετε την κοινή πυκνότητα πιθανότητας w(στο 1 , στο 2 ; t) δύο κοινοπραξίες Υ 1 (t) Και Υ 2 (t), που σχετίζονται με γνωστές λειτουργικές εξαρτήσεις Και με άλλες δύο κοινοπραξίες Χ 1 (t) Και Χ 2 (t)?

7. Πώς αλλάζει η κατανομή ενός κανονικού SP όταν διέρχεται από μια γραμμική αλυσίδα;

8. Πώς αλλάζει η αυθαίρετη κατανομή του SP όταν περνά από ένα φίλτρο στενής ζώνης;

9. Ποια είναι η ουσία του φαινομένου της ομαλοποίησης μιας ευρυζωνικής διαδικασίας όταν αυτή διέρχεται από ένα φίλτρο στενής ζώνης; Δώστε μια μαθηματική βάση για αυτό το φαινόμενο.

10. Περιγράψτε τη διαδικασία για την ανάλυση συσχέτισης της διέλευσης μιας κοινοπραξίας μέσω ενός γραμμικού κυκλώματος.

11. Καθορίστε το φάκελο και τη φάση του SP.

12. Ορίστε το αναλυτικό SP, τη μαθηματική του προσδοκία, τη διασπορά και τη συνάρτηση συσχέτισης.

13. Ποιες προϋποθέσεις πληροί ένα σταθερό αναλυτικό SP;

14. Ποια είναι η κατανομή του φακέλου ενός κεντραρισμένου κανονικού SP;

15. Ποια είναι η κατανομή φάσης ενός κεντρικού κανονικού SP;

16. Ποια είναι η κατανομή του περιβλήματος του αθροίσματος του κεντρικού κανονικού SP και του αρμονικού σήματος;

17. Γράψτε μια αναλυτική έκφραση για το νόμο του Rayleigh. Τι είδους κοινοπραξία χαρακτηρίζει;

18. Γράψτε μια αναλυτική έκφραση για τον γενικευμένο νόμο Rayleigh (νόμος Rice). Τι είδους κοινοπραξία χαρακτηρίζει;