Přednáška 1 Teorie funkcí dvou a více proměnných (TFNP). 1. Pojem FNP. 2. Limit FNP. 3. Kontinuita FNP. 4. Parciální derivace prvního řádu. 5. Derivace komplexní funkce. 6. Derivace implicitní funkce. 7. Deriváty vyššího řádu.

1. Pojem FNP. Nechť množina D je oblast na rovině. Definice. Pokud je číslo asociováno, pak říkají, že na množině D je dána numerická funkce D - definiční obor funkce.

Pokud bod, pak je zobrazení určeno dvěma souřadnicemi, funkcí 2 proměnných Grafem takové funkce bude množina bodů se souřadnicemi x, y, z - plocha v prostoru.

Geometrická interpretace f(x, y). D – některá část roviny 0 ХY z D – průmět grafu funkce f(x, y) do roviny 0 ХY z f О x D x y y Grafem funkce je plocha v prostoru.

2. Limita funkce dvou proměnných. Nechť bod Množina bodů se nazývá taková, která je okolím bodu

Definice. Nechť bod If pak bod P nazýváme vnitřním bodem množiny D. Definice. Pokud jsou všechny body D vnitřní této množiny, pak se nazývá otevřená. Definice. Každá otevřená množina obsahující bod se nazývá jeho okolí.

Definice. Množina libovolných dvou bodů, které lze spojit spojitou křivkou ležící v této množině, se nazývá spojená. Definice. Otevřená připojená množina se nazývá region.

Nechť je funkce v okolí bodu definována v nějakém (ne nutně v bodě samotném). Číslo A se nazývá limita funkce, protože má tendenci

Označení. Komentář. Aspirace může nastat podle jakéhokoli zákona a směru, přičemž všechny limitní hodnoty existují a jsou rovny A.

Příklad. Uvažujme funkci Uvažujme tendenci procházející t. (0, 0): podél přímek závisí hodnota A na tom, jak.

3. Kontinuita FNP. Funkce se nazývá spojitá v bodě, pokud je porušena alespoň jedna z podmínek 1-3, jedná se o bod nespojitosti.

Body zlomu lze izolovat, tvořit zlomové čáry, zlomové plochy. Příklad. a) Bod zlomu – (izolovaný) b) - čára zlomu

Definice. Rozdíl se nazývá celkový přírůstek funkce. Definice. Limity se nazývají parciální derivace funkce (za předpokladu, že existují).

Pravidla pro výpočet parciálních derivací FNP se shodují s odpovídajícími pravidly pro funkci jedné proměnné. Komentář. Při výpočtu derivace FNP vzhledem k jedné z proměnných jsou všechny ostatní považovány za konstanty. Příklad.

Definice. Zavolá se hlavní (lineární) část celkového přírůstku funkce v bodě plný diferenciál funkce v tomto bodě.

5. Derivace komplexní funkce. Uvažujme funkci, kde tj. z je komplexní funkce x, y. Parciální derivace komplexní funkce vzhledem k proměnným x a y se počítají následovně: (jako v případě komplexní funkce jedné proměnné).

Totální derivace a), kde z je komplexní funkce jednoho argumentu t. Pak je celková derivace funkce vzhledem k argumentu t.

Při studiu mnoha zákonitostí v přírodních vědách a ekonomii se člověk setkává s funkcemi dvou (nebo více) nezávislých proměnných.

Definice (pro funkci dvou proměnných).Nechat X , Y A Z - zástupy. Pokud každý pár (X, y) prvky ze sad resp X A Y na základě nějakého zákona F odpovídá jednomu a pouze jednomu prvku z z mnoha Z , pak to říkají je dána funkce dvou proměnných z = F(X, y) .

Obecně obor funkce dvou proměnných geometricky lze reprezentovat určitou množinou bodů ( X; y) letadlo xOy .

Základní definice týkající se funkcí více proměnných jsou zobecněním příslušných definice funkce jedné proměnné .

hromada D volal doména funkce z a sadu E – jeho mnoho významů. Proměnné X A y ve vztahu k funkci z se nazývají jeho argumenty. Variabilní z nazývaná závislá proměnná.

Soukromé hodnoty argumentů

odpovídá soukromé hodnotě funkce

Oblast funkce více proměnných

Li funkce několika proměnných (například dvou proměnných) daný vzorcem z = F(X, y) , Že oblast jeho definice je množina všech takových bodů roviny x0y, pro který výraz F(X, y) dává smysl a přijímá skutečné hodnoty. Obecná pravidla pro definiční obor funkce více proměnných jsou odvozena z obecných pravidel pro obor definice funkce jedné proměnné. Rozdíl je v tom, že pro funkci dvou proměnných je definičním oborem určitá množina bodů v rovině, nikoli přímka, jako u funkce jedné proměnné. Pro funkci tří proměnných je definičním oborem odpovídající množina bodů v trojrozměrném prostoru a pro funkci n proměnné - odpovídající množina bodů abstraktu n-rozměrný prostor.

Doména funkce dvou proměnných s odmocninou n stupeň

V případě, kdy je funkce dvou proměnných dána vzorcem a n - přirozené číslo :

Li n je sudé číslo, pak doménou definice funkce je množina bodů roviny odpovídající všem hodnotám radikálního výrazu, které jsou větší nebo rovné nule, tzn.

Li n je liché číslo, pak definičním oborem funkce je množina libovolných hodnot, tedy celá rovina x0y .

Oblast mocninné funkce dvou proměnných s celočíselným exponentem

:

Li A- kladné, pak definičním oborem funkce je celá rovina x0y ;

Li A- záporné, pak doménou definice funkce je množina hodnot odlišných od nuly: .

Oblast mocninné funkce dvou proměnných s desetinným exponentem

V případě, kdy je funkce dána vzorcem :

pokud je kladné, pak doménou definice funkce je množina těch bodů v rovině, ve kterých nabývá hodnot větších nebo rovných nule: ;

pokud - je záporné, pak doménou definice funkce je množina těch bodů v rovině, ve kterých nabývá hodnot větších než nula: .

Oblast definice logaritmické funkce dvou proměnných

Logaritmická funkce dvou proměnných je definován za předpokladu, že jeho argument je kladný, to znamená, že doménou jeho definice je množina těch bodů v rovině, ve kterých nabývá hodnot větších než nula: .

Oblast definice goniometrických funkcí dvou proměnných

Funkční doména - celé letadlo x0y .

Funkční doména - celé letadlo x0y .

Definiční obor funkce je celá rovina x0y

Funkční doména - celé letadlo x0y s výjimkou dvojic čísel, pro které nabývá hodnot.

Oblast definice inverzních goniometrických funkcí dvou proměnných

Funkční doména .

Funkční doména - množina bodů na rovině, pro kterou .

Funkční doména - celé letadlo x0y .

Funkční doména - celé letadlo x0y .

Definiční obor zlomku jako funkce dvou proměnných

Pokud je funkce dána vzorcem, pak definičním oborem funkce jsou všechny body roviny, ve které .

Oblast lineární funkce dvou proměnných

Pokud je funkce dána vzorcem tvaru z = sekera + podle + C , pak definičním oborem funkce je celá rovina x0y .

Příklad 1

Řešení. Podle pravidel pro definiční obor skládáme dvojitou nerovnost

Vynásobíme celou nerovnost a dostaneme

Výsledný výraz specifikuje definiční obor této funkce dvou proměnných.

Příklad 2 Najděte definiční obor funkce dvou proměnných.

(Přednáška 1)

Funkce 2 proměnných.

Proměnná z se nazývá funkce 2 proměnných f(x,y), pokud je k libovolné dvojici hodnot (x,y) G přidružena určitá hodnota proměnné z.

Def. Okolí bodu p 0 je kružnice se středem v bodě p 0 a poloměrem. = (x-x 0 ) 2 + (oooh 0 ) 2

z libovolně malého čísla lze zadat číslo ()>0 tak, že pro všechny hodnoty x a y, pro které je vzdálenost od t.p do p0 menší, platí následující nerovnost: f(x,y) A , tj. pro všechny body p spadající do blízkosti bodu p 0 s poloměrem se hodnota funkce liší od A o méně než v absolutní hodnotě. A to znamená, že když se bod p přiblíží bodu p 0 o kdokoliv

Kontinuita funkce.

Nechť je dána funkce z=f(x,y), p(x,y) je aktuální bod, p 0 (x 0 ,y 0) je uvažovaný bod.

Def.

3) Limita je v tomto bodě rovna hodnotě funkce: = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );

str 0

Parciální derivace.

Dejme argumentu x přírůstek x; x+x, dostaneme bod p 1 (x+x,y), vypočítejte rozdíl mezi hodnotami funkce v bodě p:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) částečný přírůstek funkce odpovídající přírůstku argumentu x.

z= Lim X z

z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)

X x 0 X

Definování funkce více proměnných

Při zvažování mnoha problémů z různých oblastí vědění je nutné studovat takové závislosti mezi proměnnými kdy číselné hodnoty jeden z nich je zcela určen hodnotami několika dalších.

Například Při studiu fyzického stavu těla je třeba pozorovat změny jeho vlastností z bodu do bodu. Každý bod tělesa je určen třemi souřadnicemi: x, y, z. Když tedy studujeme, řekněme, rozložení hustoty, dojdeme k závěru, že hustota tělesa závisí na třech proměnných: x, y, z. Pokud se fyzický stav těla také mění v průběhu času t, bude stejná hustota záviset na hodnotách čtyř proměnných: x, y, z, t.

Další příklad: studují se výrobní náklady na výrobu jednotky určitého typu výrobku. Nech být:

x - náklady na materiál,

y - náklady na platbu mzdy zaměstnanci,

z - odpisy.

Je zřejmé, že výrobní náklady závisí na hodnotách jmenovaných parametrů x, y, z.

Definice 1.1 Pokud pro každou sadu hodnot "n" proměnných

z nějaké množiny D těchto kolekcí odpovídá její jedinečná hodnota proměnné z, pak říkají, že funkce je dána na množině D

"n" proměnných.

Množina D specifikovaná v Definici 1.1 se nazývá definiční obor nebo obor existence této funkce.

Pokud se uvažuje funkce dvou proměnných, pak sbírka čísel

se značí zpravidla (x, y) a interpretují se jako body roviny souřadnic Oxy a definiční obor funkce z = f (x, y) dvou proměnných je znázorněn jako určitá množina bodů v letadle Oxy.

Tedy například definiční obor funkce

je množina bodů roviny Oxy, jejichž souřadnice splňují vztah

tj. je to kružnice o poloměru r se středem v počátku.

Pro funkci

doménou definice jsou body, které splňují podmínku

tj. vnější vzhledem k danému kruhu.

Funkce dvou proměnných jsou často specifikovány implicitně, tj. jako rovnice

propojení tří proměnných. V tomto případě lze každou z veličin x, y, z považovat za implicitní funkci ostatních dvou.

Geometrický obraz (graf) funkce dvou proměnných z = f (x, y) je množina bodů P (x, y, z) v trojrozměrném prostoru Oxyz, jejichž souřadnice splňují rovnici z = f (x, y).

Grafem funkce spojitých argumentů je zpravidla určitá plocha v prostoru Oxyz, která se promítá do souřadnicové roviny Oxy do definičního oboru funkce z= f (x, y).

Tedy např. (obr. 1.1) graf funkce

je horní polovina koule a graf funkce

Spodní polovina koule.

Plán lineární funkce z = ax + by + с je rovina v prostoru Oxyz a graf funkce z = const je rovina rovnoběžná s rovinou souřadnic Oxyz.

Všimněte si, že je nemožné vizuálně zobrazit funkci tří nebo více proměnných ve formě grafu v trojrozměrném prostoru.

V následujícím se omezíme především na úvahy o funkcích dvou nebo tří proměnných, protože uvažování případu většího (ale konečného) počtu proměnných probíhá obdobně.

Definice funkce více proměnných.

(Přednáška 1)

Proměnná u se nazývá f(x,y,z,..,t), pokud je k libovolné množině hodnot (x,y,z,..,t) přidružena dobře definovaná hodnota proměnné u.

Množina kolekcí hodnot proměnné se nazývá doména definice funkce.

G - množina (x,y,z,..,t) - definiční obor.

Funkce 2 proměnných.

Proměnná z se nazývá funkce 2 proměnných f(x,y), pokud je pro libovolnou dvojici hodnot (x,y) О G přidružena určitá hodnota proměnné z.

Limita funkce 2 proměnných.

Nechť je dána funkce z=f(x,y), p(x,y) je aktuální bod, p 0 (x 0 ,y 0) je uvažovaný bod.

Def. Okolí bodu p 0 je kružnice se středem v bodě p 0 a poloměrem r. r= Ö (x-x 0 ) 2 + (oooh 0 ) 2 Ø

Číslo A se nazývá limita funkce | v bodě p 0, pokud existuje

pro libovolně malé číslo e lze zadat číslo r (e)>0 tak, že pro všechny hodnoty x a y, pro které je vzdálenost od t. p do p0 menší než r, platí následující nerovnost: ½f(x,y) - A½0, s poloměrem r se hodnota funkce liší od A o méně než e v absolutní hodnotě. A to znamená, že když se bod p přiblíží bodu p 0 o kdokoliv cesta se hodnota funkce neomezeně blíží číslu A.

Kontinuita funkce.

Nechť je dána funkce z=f(x,y), p(x,y) je aktuální bod, p 0 (x 0 ,y 0) je uvažovaný bod.

Def. Funkce z=f(x,y) se nazývá spojitá v t. p 0, pokud jsou splněny 3 podmínky:

1) funkce je definována v tomto bodě. f(p 0) = f(x,y);

2)f-i má v tomto bodě limit.

3) Limita je v tomto bodě rovna hodnotě funkce: b = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y)= f(x 0 ,y 0 ) ;

pà p 0

Pokud je porušena alespoň 1 z podmínek spojitosti, pak se bod p nazývá bod zlomu. Pro funkce 2 proměnných mohou existovat samostatné body přerušení a celé linie přerušení.

Obdobně je definován pojem limita a spojitost pro funkce většího počtu proměnných.

Funkci tří proměnných nelze znázornit graficky, na rozdíl od funkce 2 proměnných.

Pro funkci 3 proměnných mohou existovat body nespojitosti, čáry nespojitosti a plochy nespojitosti.

Parciální derivace.

Uvažujme funkci z=f(x,y), uvažovaným bodem je p(x,y).

Dejme argumentu x přírůstek Dx; x+Dx, dostaneme bod p 1 (x+Dx,y), vypočítáme rozdíl hodnot funkce v bodě p:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - částečný přírůstek funkce odpovídající přírůstku argumentu x.

Def. Podíl derivace funkce z=f(x,y) vzhledem k proměnné x se nazývá limita poměru částečného přírůstku této funkce vzhledem k proměnné x k tomuto přírůstku, když tato má tendenci k nula.

¶ z= Lim D X z

à ¶ z = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)

¶ X DX® 0 DX

Podobně určíme kvocient derivace vzhledem k proměnné y.

Hledání parciálních derivací.

Při určování parciálních derivací se mění vždy jen jedna proměnná, se zbývajícími se zachází jako s konstantami. Výsledkem je, že pokaždé uvažujeme funkci pouze jedné proměnné a parciální derivace se shoduje s obvyklou derivací této funkce jedné proměnné. Odtud plyne pravidlo pro hledání parciálních derivací: parciální derivace vzhledem k uvažované proměnné se hledá jako obyčejná derivace funkce této jedné proměnné, se zbývajícími proměnnými se zachází jako s konstantami. V tomto případě se všechny vzorce pro derivování funkce jedné proměnné (derivát součtu, součinu, kvocientu) ukazují jako platné.

Pojem funkce více proměnných

Pokud je každý bod X = (x 1, x 2, ... x n) z množiny (X) bodů n-rozměrného prostoru spojen s jednou přesně definovanou hodnotou proměnné z, pak říkají, že daný funkce n proměnných z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

V tomto případě jsou volány proměnné x 1, x 2, ... x n nezávislé proměnné nebo argumenty funkce, z - závislá proměnná a symbol f značí právo korespondence. Volá se množina (X). doména definice funkcí (jedná se o určitou podmnožinu n-rozměrného prostoru).

Například funkce z = 1/(x 1 x 2) je funkcí dvou proměnných. Jeho argumenty jsou proměnné x 1 a x 2 a z je závislá proměnná. Definiční obor je celá rovina souřadnic s výjimkou přímek x 1 = 0 a x 2 = 0, tzn. bez os x a pořadnic. Dosazením libovolného bodu z definičního oboru do funkce získáme podle korespondenčního zákona určité číslo. Například vzít bod (2; 5), tzn. x 1 = 2, x 2 = 5, dostaneme
z = 1/(2*5) = 0,1 (tj. z(2; 5) = 0,1).

Funkce ve tvaru z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b, kde a 1, a 2,…, an, b jsou konstantní čísla, se nazývá lineární. Lze ji považovat za součet n lineárních funkcí proměnných x 1, x 2, ... x n. Všechny ostatní funkce jsou volány nelineární.

Například funkce z = 1/(x 1 x 2) je nelineární a funkce z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – lineární.

Libovolná funkce z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) může být spojena s n funkcemi jedné proměnné, pokud zafixujeme hodnoty všech proměnných kromě jedné.

Například funkce tří proměnných z = 1/(x 1 x 2 x 3) mohou být spojeny se třemi funkcemi jedné proměnné. Pokud zafixujeme x 2 = a a x 3 = b, pak funkce bude mít tvar z = 1/(abx 1); pokud zafixujeme x 1 = a a x 3 = b, pak bude mít tvar z = 1/(abx 2); pokud zafixujeme x 1 = a a x 2 = b, pak bude mít tvar z = 1/(abx 3). V tomto případě mají všechny tři funkce stejný tvar. Není tomu tak vždy. Pokud například pro funkci dvou proměnných zafixujeme x 2 = a, pak bude mít tvar z = 5x 1 a, tzn. mocninnou funkci, a pokud zafixujeme x 1 = a, pak bude mít tvar, tzn. exponenciální funkce.

Plán funkce dvou proměnných z = f(x, y) je množina bodů v trojrozměrném prostoru (x, y, z), jejichž aplikace z souvisí s úsečkou x a pořadnicí y funkčním vztahem
z = f (x, y). Tento graf představuje nějaký povrch v trojrozměrném prostoru (například jako na obrázku 5.3).

Lze dokázat, že pokud je funkce lineární (tj. z = ax + by + c), pak je jejím grafem rovina v trojrozměrném prostoru. Další příklady 3D grafy Doporučuje se samostatné studium pomocí Kremerovy učebnice (str. 405-406).

Pokud existují více než dvě proměnné (n proměnných), pak plán funkce je množina bodů v (n+1)-rozměrném prostoru, pro které je v souladu s daným funkčním zákonem vypočtena souřadnice x n+1. Takový graf se nazývá hyperpovrch(pro lineární funkci – nadrovina), a také představuje vědeckou abstrakci (nelze ji zobrazit).

Obrázek 5.3 – Graf funkce dvou proměnných v trojrozměrném prostoru

Rovný povrch funkce n proměnných je množina bodů v n-rozměrném prostoru taková, že ve všech těchto bodech je hodnota funkce stejná a rovna C. Samotné číslo C se v tomto případě nazývá úroveň.

Obvykle je pro stejnou funkci možné sestrojit nekonečné množství úrovňových ploch (odpovídajících různým úrovním).

Pro funkci dvou proměnných má rovný povrch tvar úrovňové čáry.

Uvažujme například z = 1/(x 1 x 2). Vezměme C = 10, tzn. 1/(x 1 x 2) = 10. Potom x 2 = 1/(10x 1), tzn. v rovině bude mít vodorovná čára tvar zobrazený na obrázku 5.4 jako plná čára. Vezmeme-li další úroveň, například C = 5, získáme linii úrovně ve formě grafu funkce x 2 = 1/(5x 1) (na obrázku 5.4 znázorněno tečkovanou čarou).

Obrázek 5.4 - Čáry funkční úrovně z = 1/(x 1 x 2)

Podívejme se na další příklad. Nechť z = 2x 1 + x 2. Vezměme C = 2, tzn. 2x 1 + x 2 = 2. Potom x 2 = 2 - 2x 1, tzn. v rovině bude mít vodorovná čára tvar přímky, znázorněné na obrázku 5.5 plnou čarou. Vezmeme-li další úroveň, například C = 4, získáme čáru úrovně ve tvaru přímky x 2 = 4 - 2x 1 (na obrázku 5.5 znázorněno tečkovanou čarou). Čára úrovně pro 2x 1 + x 2 = 3 je znázorněna na obrázku 5.5 jako tečkovaná čára.

Je snadné ověřit, že pro lineární funkci dvou proměnných bude jakákoli úrovňová čára přímkou ​​v rovině a všechny úrovňové čáry budou vzájemně rovnoběžné.

Obrázek 5.5 - Čáry funkční úrovně z = 2x 1 + x 2

) již jsme se opakovaně setkali s parciálními derivacemi komplexních funkcí jako jsou i složitější příklady. Tak o čem jiném můžete mluvit?! ...A všechno je jako v životě - neexistuje žádná složitost, která by se nedala zkomplikovat =) Ale matematika je to, k čemu matematika je, aby rozmanitost našeho světa zapadla do přísného rámce. A někdy to lze udělat jednou větou:

Obecně platí, že komplexní funkce má tvar , kde, aspoň jeden písmen představuje funkce, na kterém může záviset libovolný počet proměnných.

Minimální a nejjednodušší možností je dlouho známá komplexní funkce jedné proměnné, jehož derivát jsme se naučili, jak najít minulý semestr. Máte také schopnosti rozlišovat funkce (podívejte se na stejné funkce ) .

Nyní nás tedy bude zajímat pouze případ. Vzhledem k velké rozmanitosti komplexních funkcí jsou obecné vzorce pro jejich deriváty velmi těžkopádné a těžko stravitelné. V tomto ohledu se omezím na konkrétní příklady, ze kterých pochopíte obecný princip najít tyto deriváty:

Příklad 1

Vzhledem ke složité funkci kde . Požadované:
1) najděte jeho derivaci a zapište celkový diferenciál 1. řádu;
2) vypočítat hodnotu derivátu v .

Řešení: Nejprve se podívejme na funkci samotnou. Je nám nabídnuta funkce v závislosti na a , což zase jsou funkce jedna proměnná:

Zadruhé, věnujme bedlivou pozornost samotnému úkolu – jsme povinni najít derivát, tedy nemluvíme o parciálních derivacích, na které jsme zvyklí nacházet! Od funkce ve skutečnosti závisí pouze na jedné proměnné, pak slovo „derivát“ znamená totální derivace. Jak ji najít?

První, co mě napadne, je přímá substituce a další diferenciace. Pojďme nahradit fungovat:
, po kterém nejsou žádné problémy s požadovanou derivací:

A podle toho celkový diferenciál:

Toto řešení je matematicky správné, ale drobnou nuancí je, že když je problém formulován tak, jak je formulován, nikdo od vás takové barbarství nečeká =) Ale vážně, tady se opravdu dá najít chyba. Představte si, že funkce popisuje let čmeláka a vnořené funkce se mění v závislosti na teplotě. Provádění přímé substituce , dostáváme jen soukromé informace, který charakterizuje let řekněme pouze v horkém počasí. Navíc, pokud je člověku, který se v čmeláčcích nevyzná, předloží hotový výsledek a dokonce mu řekne, co je to za funkci, pak se nikdy nedozví nic o základním zákonu letu!

Takže zcela nečekaně nám náš bzučící bratr pomohl pochopit význam a důležitost univerzálního vzorce:

Zvykněte si na „dvoupatrový“ zápis pro deriváty – v uvažované úloze se používají právě ony. V tomto případě by měl být jeden velmi elegantní v hesle: deriváty s přímými symboly „de“ jsou úplné deriváty a deriváty se zaoblenými ikonami jsou částečné derivace. Začněme těmi posledními:

U „ocasů“ je vše obecně elementární:

Dosadíme nalezené deriváty do našeho vzorce:

Když je funkce zpočátku navržena složitým způsobem, bude to logické (a to je vysvětleno výše!) nechat výsledky tak jak jsou:

Zároveň je v „důmyslných“ odpovědích lepší upustit od i minimálních zjednodušení (zde například prosí o odstranění 3 minusů)- a vy máte méně práce a váš chlupatý přítel si rád úkol snáze zkontroluje.

Hrubá kontrola však nebude zbytečná. Pojďme nahradit do nalezené derivace a proveďte zjednodušení:


(v posledním kroku, který jsme použili trigonometrické vzorce , )

Výsledkem byl stejný výsledek jako u metody „barbarského“ řešení.

Pojďme vypočítat derivaci v bodě. Nejprve je vhodné zjistit „tranzitní“ hodnoty (hodnoty funkcí ) :

Nyní vypracujeme konečné výpočty, které lze v tomto případě provést různými způsoby. Používám zajímavou techniku, ve které jsou 3. a 4. „patra“ zjednodušeny nikoli podle obvyklých pravidel, ale jsou transformovány jako podíl dvou čísel:

A samozřejmě je hřích nekontrolovat pomocí kompaktnějšího zápisu :

Odpovědět:

Stává se, že problém je navržen v „poloobecné“ podobě:

"Najděte derivaci funkce kde »

To znamená, že „hlavní“ funkce není dána, ale její „vložky“ jsou zcela specifické. Odpověď by měla být dána stejným stylem:

Navíc může být podmínka mírně zašifrována:

"Najděte derivaci funkce »

V tomto případě potřebujete na vlastní pěst označte vnořené funkce nějakými vhodnými písmeny, například přes a použijte stejný vzorec:

Mimochodem, o označení písmen. Opakovaně jsem naléhal, abychom „neulpěli na dopisech“, jako by šlo o záchranu života, a teď je to obzvláště důležité! Při rozboru různých zdrojů k tématu jsem obecně nabyl dojmu, že se autoři „zbláznili“ a začali studenty nemilosrdně házet do bouřlivé propasti matematiky =) Tak mi to promiňte :))

Příklad 2

Najděte derivaci funkce , Pokud

Ostatní označení by neměla být matoucí! Pokaždé, když narazíte na takový úkol, musíte odpovědět na dvě jednoduché otázky:

1) Na čem závisí „hlavní“ funkce? V tomto případě funkce „zet“ závisí na dvou funkcích („y“ a „ve“).

2) Na jakých proměnných závisí vnořené funkce? V tomto případě obě „vložky“ závisí pouze na „X“.

Takže byste neměli mít žádné potíže s přizpůsobením vzorce tomuto úkolu!

Krátké řešení a odpověď na konci lekce.

Další příklady prvního typu lze nalézt v Ryabushkova problémová kniha (IDZ 10.1), no, míříme funkce tří proměnných:

Příklad 3

Vzhledem k funkci, kde .
Vypočítejte derivaci v bodě

Vzorec pro derivaci komplexní funkce, jak mnozí hádají, má příbuzný tvar:

Rozhodněte se, až to uhodnete =)

Pro každý případ uvedu obecný vzorec pro funkci:
, i když v praxi pravděpodobně neuvidíte nic delšího než příklad 3.

Kromě toho je někdy nutné odlišit „zkrácenou“ verzi - zpravidla funkci formy resp. Tuto otázku nechávám na vás, abyste si ji prostudovali sami – vymyslete nějaké jednoduché příklady, přemýšlejte, experimentujte a odvozujte zkrácené vzorce pro derivace.

Pokud vám stále není něco jasné, přečtěte si prosím pomalu znovu a pochopte první část lekce, protože nyní bude úkol složitější:

Příklad 4

Najděte parciální derivace komplexní funkce, kde

Řešení: tuto funkci má tvar a po přímé substituci dostaneme obvyklou funkci dvou proměnných:

Ale takový strach se nejen nepřijímá, ale člověk už nechce rozlišovat =) Použijeme proto hotové vzorce. Abychom vám pomohli rychle pochopit vzor, ​​učiním několik poznámek:

Podívejte se pozorně na obrázek shora dolů a zleva doprava….

Nejprve najdeme parciální derivace funkce „hlavní“:

Nyní najdeme „X“ deriváty „vložek“:

a zapište si konečnou derivaci „X“:

Podobně jako u „hry“:

A

Můžete se držet jiného stylu - najít všechny „ocasy“ najednou a poté zapište obě derivace.

Odpovědět:

O substituci nějak o tom vůbec nepřemýšlím =) =), ale výsledky můžete trochu upravit. I když, znovu, proč? – pouze ztíží kontrolu učitele.

V případě potřeby pak plný diferenciál zde je to napsáno podle obvyklého vzorce a mimochodem, v tomto kroku se lehká kosmetika stává vhodnou:


Tohle je... ...rakev na kolečkách.

Vzhledem k popularitě uvažovaného typu komplexní funkce existuje několik úloh pro samostatné řešení. Jednodušší příklad v „poloobecné“ podobě je pro pochopení samotného vzorce;-):

Příklad 5

Najděte parciální derivace funkce, kde

A složitější - se zahrnutím diferenciačních technik:

Příklad 6

Najděte úplný diferenciál funkce , Kde

Ne, vůbec se nesnažím „poslat vás ke dnu“ – všechny příklady jsou převzaty z skutečnou práci, a „na volném moři“ můžete narazit na jakákoli písmena. V každém případě budete muset funkci analyzovat (odpověď na 2 otázky – viz výše), prezentujte to v obecný pohled a pečlivě upravovat parciální derivační vzorce. Možná budete teď trochu zmatení, ale pochopíte samotný princip jejich stavby! Protože skutečné výzvy teprve začínají :)))

Příklad 7

Najděte parciální derivace a vytvořte úplný diferenciál komplexní funkce
, Kde

Řešení: funkce „hlavní“ má tvar a stále závisí na dvou proměnných – „x“ a „y“. Oproti příkladu 4 ale přibyla další vnořená funkce, a proto jsou i parciální derivační vzorce prodlouženy. Stejně jako v tomto příkladu pro lepší vizualizaci vzoru zvýrazním „hlavní“ dílčí derivace v různých barvách:

A opět pečlivě prostudujte záznam shora dolů a zleva doprava.

Protože je problém formulován v „poloobecné“ formě, veškerá naše práce se v podstatě omezuje na hledání parciálních derivací vložených funkcí:

Žák první třídy zvládne:

A dokonce i plný diferenciál dopadl docela dobře:

Záměrně jsem vám nenabídl žádnou konkrétní funkci - aby zbytečný nepořádek nenarušoval dobré porozumění schematický diagramúkoly.

Odpovědět:

Poměrně často se můžete setkat s investicemi „smíšené velikosti“, například:

Zde funkce „hlavní“, ačkoli má tvar , stále závisí na „x“ i „y“. Fungují tedy stejné vzorce – akorát některé parciální derivace se budou rovnat nule. Navíc to platí i pro funkce jako , ve kterém každá „vložka“ závisí na jedné proměnné.

Podobná situace nastává v posledních dvou příkladech lekce:

Příklad 8

Najděte totální diferenciál komplexní funkce v bodě

Řešení: podmínka je formulována „rozpočtově“ a vnořené funkce musíme označit sami. Myslím, že toto je dobrá volba:

„Vložky“ obsahují ( POZORNOST!) TŘI písmena jsou staré dobré „X-Y-Z“, což znamená, že funkce „hlavní“ ve skutečnosti závisí na třech proměnných. Lze jej formálně přepsat jako a parciální derivace jsou v tomto případě určeny následujícími vzorci:

Skenujeme, ponoříme se do toho, zachytíme….

V našem úkolu:

Definice. Variabilní z(s oblastí změny Z) volal funkce dvou nezávislých proměnných x, y v hojnosti M, pokud každý pár ( x, y) z mnoha M z z Z.

Definice. hromada M, ve kterém jsou proměnné specifikovány x,y, volal doména funkce, sada Z – funkční rozsah a oni sami x, y- její argumenty.

Označení: z = f(x,y), z = z(x,y).

Příklady.

Definice . Variabilní z(s oblastí změny Z) volal funkce několika nezávislých proměnných v hojnosti M, pokud každá sada čísel ze sady M podle nějakého pravidla nebo zákona je přiřazena jedna konkrétní hodnota z z Z. Pojmy argumenty, definiční obor a obor hodnoty jsou zavedeny stejným způsobem jako u funkce dvou proměnných.

Označení: z = f, z = z.

Komentář. Protože pár čísel ( x, y) lze považovat za souřadnice určitého bodu v rovině, budeme následně termín „bod“ používat pro dvojici argumentů funkce dvou proměnných a také pro uspořádanou množinu čísel, která jsou argumenty funkce několika proměnných.

Geometrická reprezentace funkce dvou proměnných

Zvažte funkci

z = f(x,y), (15.1)

definované v nějaké oblasti M v letadle O xy. Pak množina bodů v trojrozměrném prostoru se souřadnicemi ( x,y,z), kde , je graf funkce dvou proměnných. Protože rovnice (15.1) definuje určitý povrch v trojrozměrném prostoru, bude geometrický obraz danou funkci.

Funkční doména z = f(x,y) v nejjednodušších případech jde buď o část roviny ohraničenou uzavřenou křivkou a body této křivky (hranice oblasti) mohou, ale nemusí patřit do definiční oblasti, nebo celé roviny, popř. konečně soubor několika částí roviny xOy.

z = f(x,y)

Příklady zahrnují rovnice roviny z = ax + by + c

a povrchy druhého řádu: z = x² + y² (paraboloid rotace),

(kužel) atd.

Komentář. Pro funkci tří nebo více proměnných budeme používat termín „povrch v n-dimenzionální prostor“, i když je nemožné zobrazit takový povrch.

Vyrovnejte linie a povrchy

Pro funkci dvou proměnných daných rovnicí (15.1) můžeme uvažovat množinu bodů ( x,y) O letadlo xy, pro který z nabývá stejné konstantní hodnoty, tzn z= konst. Tyto body tvoří přímku na rovině tzv nivelační čára.

Příklad.

Najděte čáry úrovně povrchu z = 4 – X² - y². Jejich rovnice vypadají X² + y² = 4 – C(C=const) – rovnice soustředných kružnic se středem v počátku a s poloměry . Například kdy S=0 dostaneme kruh X² + y² = 4.

Pro funkci tří proměnných u = u(x, y, z) rovnice u(x, y, z) = c definuje povrch v trojrozměrném prostoru, který je tzv rovný povrch.

Příklad.

Pro funkci u = 3X + 5y – 7z–12 rovinných ploch bude rodina rovnoběžných rovin daných rovnicí 3 X + 5y – 7z –12 + S = 0.

Limita a spojitost funkce více proměnných

Pojďme si představit koncept δ-sousedství body M 0 (x 0, y 0) v letadle O xy jako kružnice o poloměru δ se středem v daném bodě. Podobně můžeme definovat δ-okolí v trojrozměrném prostoru jako kouli o poloměru δ se středem v bodě M 0 (x 0, y 0, z 0). Pro n-rozměrný prostor budeme nazývat δ-okolí bodu M 0 sada bodů M se souřadnicemi splňujícími podmínku

kde jsou souřadnice bodu M 0 Někdy se této sadě říká „koule“. n-rozměrný prostor.

Definice. Volá se číslo A omezit funkce několika proměnných F na místě M 0 v případě, že | f(M) – A| < ε для любой точки M z δ-sousedství M 0 .

Označení: .

Je třeba vzít v úvahu, že v tomto případě bod M se možná blíží M 0, relativně vzato, podél jakékoli trajektorie uvnitř δ-okolí bodu M 0 Proto je třeba rozlišovat limitu funkce více proměnných v obecném smyslu od tzv opakované limity získané postupnými průchody na limit pro každý argument zvlášť.

Příklady.

Komentář. Lze prokázat, že z existence limity v daném bodě v obvyklém smyslu a existence limitů v tomto bodě na jednotlivé argumenty vyplývá existence a rovnost opakovaných limit. Opačné tvrzení není pravdivé.

Definice Funkce F volal kontinuální na místě M 0 if (15.2)

Zavedeme-li zápis , pak lze podmínku (15.2) přepsat do tvaru (15.3)

Definice . Vnitřní bod M 0 funkční doména z = f(M) volal bod zlomu funkce, pokud v tomto bodě nejsou splněny podmínky (15.2), (15.3).

Komentář. V rovině nebo v prostoru se může vytvořit mnoho bodů nespojitosti linky nebo lomová plocha.

Příklady.

Vlastnosti limit a spojitých funkcí

Vzhledem k tomu, že definice limity a spojitosti pro funkci více proměnných se prakticky shodují s odpovídajícími definicemi pro funkci jedné proměnné, jsou pro funkce více proměnných zachovány všechny vlastnosti limity a spojitosti prokázané v první části kurzu. , jmenovitě:

1) Pokud existují, pak existují a (pokud).

2) Pokud a pro jakékoli i jsou limity a je kde M 0, pak existuje limita komplexní funkce v , kde jsou souřadnice bodu R 0 .

3) Pokud funkce f(M) A g(M) spojitý v bodě M 0, pak jsou v tomto okamžiku funkce také spojité f(M) + g(M), kf(M), f(M)g(M), f(M)/g(M)(Li g(M 0) ≠ 0).

4) Jsou-li funkce v bodě spojité P 0 a funkce je v bodě spojitá M 0, kde , pak je komplexní funkce v bodě spojitá R 0.

5) Funkce je nepřetržitá v uzavřené omezené oblasti D, má své největší a nejmenší hodnoty v tomto regionu.

6) Pokud je funkce nepřetržitá v uzavřené omezené oblasti D, nabývá hodnot v této oblasti A A V, pak se ujme oblasti D a jakákoli mezihodnota ležící mezi A A V.

7) Pokud je funkce nepřetržitá v uzavřené omezené oblasti D, nabývá hodnot různých znaků v této oblasti, pak existuje a alespoň jeden bod z oblasti D, kde F = 0.

Částečné derivace

Zvažme změnu funkce při zadávání přírůstku pouze k jednomu z jejích argumentů - x i, a říkejme tomu .

Definice . Parciální derivace funguje argumentem x i volal .

Označení: .

Parciální derivace funkce několika proměnných je tedy vlastně definována jako derivace funkce jedna proměnná – x i. Platí tedy pro ni všechny vlastnosti derivací dokázané pro funkci jedné proměnné.

Komentář. Při praktickém výpočtu parciálních derivací používáme obvyklá pravidla pro derivování funkce jedné proměnné za předpokladu, že argument, kterým se derivace provádí, je proměnný a zbývající argumenty jsou konstantní.

Příklady .

1. z = 2X² + 3 xy –12y² + 5 X – 4y +2,

2. z = xy,

Geometrická interpretace parciálních derivací funkce dvou proměnných

Zvažte rovnici povrchu z = f(x,y) a nakreslete rovinu x = konst. Vyberme bod na průsečíku roviny a plochy M(x,y). Pokud uvedete argument na přírůstek Δ na a zvažte bod T na křivce se souřadnicemi ( x, y+Δ y, z+Δy z), pak tečna úhlu svírajícího sečnu MT s kladným směrem osy O na, bude se rovnat . Přejdeme-li k limitě v bodě , zjistíme, že parciální derivace je rovna tangenci úhlu, který svírá tečna k výsledné křivce v bodě M s kladným směrem osy O u V souladu s tím je parciální derivace rovna tečně úhlu s osou O X tečnou ke křivce získané jako výsledek dělení povrchu z = f(x,y) letadlo y = konst.

Diferencovatelnost funkce více proměnných

Při studiu otázek souvisejících s diferencovatelností se omezíme na případ funkce tří proměnných, protože všechny důkazy pro více proměnné se provádějí stejným způsobem.

Definice . Plný přírůstek funkcí u = f(x, y, z) volal

Věta 1. Pokud v bodě existují parciální derivace ( x 0, y 0, z 0) a v některých jeho sousedstvích a jsou souvislé v bodě ( x 0, y 0, z 0) jsou pak omezené (jelikož jejich moduly nepřesahují 1).

Pak lze přírůstek funkce, která splňuje podmínky věty 1, reprezentovat jako: , (15.6)

Definice . Pokud se funkce zvýší u = f (x, y, z) v bodě ( x 0 , y 0 , z 0) lze reprezentovat ve tvaru (15.6), (15.7), pak je funkce volána diferencovatelné v tomto bodě a výraz je hlavní lineární část přírůstku nebo plný diferenciál danou funkci.

Označení: du, df (x 0, y 0, z 0).

Stejně jako v případě funkce jedné proměnné jsou diferenciály nezávislých proměnných považovány za jejich libovolné přírůstky, proto

Poznámka 1. Tvrzení „funkce je derivovatelná“ tedy není ekvivalentní výroku „funkce má parciální derivace“ – pro diferencovatelnost je také vyžadována spojitost těchto derivací v daném bodě.

.

Zvažte funkci a vyberte si x 0 = 1, y 0 = 2. Potom Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = -0,03. Pojďme najít

Proto vzhledem k tomu f ( 1, 2) = 3, dostáváme.