Každá parciální derivace (podle X a podle y) funkce dvou proměnných je obyčejná derivace funkce jedné proměnné pro pevnou hodnotu druhé proměnné:

(Kde y= konst),

(Kde X= konst).

Proto se parciální deriváty počítají pomocí vzorce a pravidla pro výpočet derivací funkcí jedné proměnné, při zohlednění konstanty druhé proměnné.

Pokud nepotřebujete analýzu příkladů a minimální teorii potřebnou k tomu, ale potřebujete pouze řešení svého problému, přejděte na online kalkulačka parciálních derivací .

Pokud je těžké se soustředit, abyste mohli sledovat, kde je konstanta ve funkci, pak v konceptu řešení příkladu můžete místo proměnné s pevnou hodnotou dosadit libovolné číslo - pak můžete rychle vypočítat parciální derivaci jako obyčejná derivace funkce jedné proměnné. Jen je třeba pamatovat na to, abyste při dokončení konečného návrhu vrátili konstantu (proměnnou s pevnou hodnotou) na její místo.

Výše popsaná vlastnost parciálních derivací vyplývá z definice parciální derivace, která se může objevit ve zkouškových otázkách. Proto, abyste se seznámili s níže uvedenou definicí, můžete otevřít teoretický odkaz.

Koncept kontinuity funkce z= F(X, y) v bodě je definován podobně jako tento pojem pro funkci jedné proměnné.

Funkce z = F(X, y) se nazývá spojitý v bodě, jestliže

Rozdíl (2) se nazývá celkový přírůstek funkce z(získá se jako výsledek přírůstků obou argumentů).

Nechť je funkce dána z= F(X, y) a tečka

Pokud se funkce změní z nastane, když se změní pouze jeden z argumentů, např. X, s pevnou hodnotou jiného argumentu y, pak funkce obdrží přírůstek

částečný přírůstek funkce F(X, y) Od X.

Uvažuje se o změně funkce z v závislosti na změně pouze jednoho z argumentů se efektivně změníme na funkci jedné proměnné.

Pokud existuje konečná mez

pak se nazývá parciální derivace funkce F(X, y) argumentem X a je označeno jedním ze symbolů

(4)

Dílčí přírůstek se stanoví obdobně z Podle y:

a parciální derivace F(X, y) Od y:

(6)

Příklad 1

Řešení. Najdeme parciální derivaci vzhledem k proměnné "x":

(y pevný);

Najdeme parciální derivaci vzhledem k proměnné "y":

(X pevný).

Jak vidíte, nezáleží na tom, do jaké míry je proměnná pevná: v tomto případě je to prostě určité číslo, které je faktorem (jako v případě obyčejné derivace) proměnné, se kterou najdeme parciální derivaci. . Není-li pevná proměnná vynásobena proměnnou, se kterou najdeme parciální derivaci, pak tato osamělá konstanta, bez ohledu na to, do jaké míry, jako v případě obyčejné derivace, zaniká.

Příklad 2 Daná funkce

Najděte parciální derivace

(podle X) a (podle Y) a vypočítat jejich hodnoty v bodě A (1; 2).

Řešení. Při pevném y derivace prvního členu se nalézá jako derivace mocninné funkce ( tabulka derivačních funkcí jedné proměnné):

.

Při pevném X derivace prvního členu se nalézá jako derivace exponenciální funkce a druhá - jako derivace konstanty:

Nyní spočítejme hodnoty těchto parciálních derivací v bodě A (1; 2):

Řešení dílčích derivačních problémů si můžete ověřit na online kalkulačka parciálních derivací .

Příklad 3 Najděte parciální derivace funkce

Řešení. V jednom kroku najdeme

(y X, jako by argument sinus byl 5 X: stejným způsobem se před znakem funkce objeví 5);

(X je pevná a je v tomto případě násobitelem na y).

Řešení dílčích derivačních problémů si můžete ověřit na online kalkulačka parciálních derivací .

Parciální derivace funkce tří nebo více proměnných jsou definovány podobně.

Pokud každá sada hodnot ( X; y; ...; t) nezávislé proměnné z množiny D odpovídá jedné konkrétní hodnotě u z mnoha E, Že u nazýváme funkcí proměnných X, y, ..., t a označují u= F(X, y, ..., t).

Pro funkce tří a více proměnných neexistuje žádná geometrická interpretace.

Parciální derivace funkce více proměnných jsou také určeny a vypočteny za předpokladu, že se mění pouze jedna z nezávislých proměnných, zatímco ostatní jsou pevné.

Příklad 4. Najděte parciální derivace funkce

.

Řešení. y A z pevný:

X A z pevný:

X A y pevný:

Najděte si parciální derivace sami a pak se podívejte na řešení

Příklad 5.

Příklad 6. Najděte parciální derivace funkce.

Parciální derivace funkce více proměnných má totéž mechanický význam je stejný jako derivace funkce jedné proměnné, je rychlost změny funkce vzhledem ke změně jednoho z argumentů.

Příklad 8. Kvantitativní hodnota průtoku P cestující na železnici lze vyjádřit funkcí

Kde P- počet cestujících, N– počet obyvatel korespondenčních míst, R– vzdálenost mezi body.

Parciální derivace funkce P Podle R, rovnat se

ukazuje, že pokles toku cestujících je nepřímo úměrný druhé mocnině vzdálenosti mezi odpovídajícími body se stejným počtem obyvatel v bodech.

Parciální derivace P Podle N, rovnat se

ukazuje, že nárůst toku cestujících je úměrný dvojnásobnému počtu obyvatel sídel ve stejné vzdálenosti mezi body.

Řešení dílčích derivačních problémů si můžete ověřit na online kalkulačka parciálních derivací .

Úplný diferenciál

Součin parciální derivace a přírůstku příslušné nezávisle proměnné se nazývá parciální diferenciál. Parciální diferenciály se označují takto:

Součet parciálních diferenciálů pro všechny nezávisle proměnné dává celkový diferenciál. Pro funkci dvou nezávislých proměnných je celkový diferenciál vyjádřen rovností

(7)

Příklad 9. Najděte úplný diferenciál funkce

Řešení. Výsledek použití vzorce (7):

O funkci, která má totální diferenciál v každém bodě určité oblasti, se říká, že je v této oblasti diferencovatelná.

Sami najděte celkový diferenciál a pak se podívejte na řešení

Stejně jako v případě funkce jedné proměnné, diferencovatelnost funkce v určitém oboru implikuje její spojitost v tomto oboru, ale ne naopak.

Formulujme bez důkazu postačující podmínku diferencovatelnosti funkce.

Teorém. Pokud je funkce z= F(X, y) má spojité parciální derivace

v dané oblasti, pak je v této oblasti diferencovatelná a její diferenciál je vyjádřen vzorcem (7).

Lze ukázat, že stejně jako v případě funkce jedné proměnné je diferenciál funkce hlavní lineární částí přírůstku funkce, tak v případě funkce více proměnných je celkový diferenciál hlavní, lineární s ohledem na přírůstky nezávisle proměnných, část celkového přírůstku funkce.

Pro funkci dvou proměnných má celkový přírůstek funkce tvar

(8)

kde α a β jsou nekonečně malé v a .

Parciální derivace vyššího řádu

Parciální derivace a funkce F(X, y) samy o sobě jsou některé funkce stejných proměnných a naopak mohou mít derivace s ohledem na různé proměnné, které se nazývají parciální derivace vyšších řádů.

Nechť je funkce dána. Protože x a y jsou nezávislé proměnné, jedna z nich se může měnit, zatímco druhá si zachovává svou hodnotu. Nezávislé proměnné x dáme přírůstek při zachování hodnoty y nezměněné. Potom z obdrží přírůstek, který se nazývá částečný přírůstek z vzhledem k x a je označen . Tak, .

Podobně získáme částečný přírůstek z nad y: .

Celkový přírůstek funkce z je určen rovností .

Pokud existuje limita, pak se nazývá parciální derivace funkce v bodě vzhledem k proměnné x a značí se jedním ze symbolů:

.

Parciální derivace vzhledem k x v bodě se obvykle označují symboly .

Parciální derivace vzhledem k proměnné y je definována a označena podobně:

Parciální derivace funkce několika (dvou, tří nebo více) proměnných je tedy definována jako derivace funkce jedné z těchto proměnných za předpokladu, že hodnoty zbývajících nezávislých proměnných jsou konstantní. Proto se parciální derivace funkce nalézají pomocí vzorců a pravidel pro výpočet derivací funkce jedné proměnné (v tomto případě jsou x nebo y považovány za konstantní hodnotu).

Parciální derivace se nazývají parciální derivace prvního řádu. Lze je považovat za funkce . Tyto funkce mohou mít parciální derivace, které se nazývají parciální derivace druhého řádu. Jsou definovány a označeny takto:

; ;

; .

Diferenciály 1. a 2. řádu funkce dvou proměnných.

Totální diferenciál funkce (vzorec 2.5) se nazývá diferenciál prvního řádu.

Vzorec pro výpočet celkového diferenciálu je následující:

(2.5) popř , kde ,

parciální diferenciály funkce.

Nechť má funkce spojité parciální derivace druhého řádu. Rozdíl druhého řádu je určen vzorcem. Pojďme to najít:

Odtud: . Symbolicky je to napsáno takto:

.

NEURČENÝ INTEGRAL.

Primitivní funkce, neurčitý integrál, vlastnosti.

Je volána funkce F(x). primitivní pro danou funkci f(x), jestliže F"(x)=f(x), nebo, co je totéž, jestliže dF(x)=f(x)dx.

Teorém. Jestliže funkce f(x), definovaná v nějakém intervalu (X) konečné nebo nekonečné délky, má jeden primitivní prvek, F(x), pak má také nekonečně mnoho primitivních prvků; všechny jsou obsaženy ve výrazu F(x) + C, kde C je libovolná konstanta.

Množina všech primitivních funkcí pro danou funkci f(x), definovaná v určitém intervalu nebo na segmentu konečné nebo nekonečné délky, se nazývá neurčitý integrál z funkce f(x) [nebo z výrazu f(x)dx ] a značí se symbolem .

Pokud je F(x) jednou z primitivních funkcí pro f(x), pak podle primitivní věty

, kde C je libovolná konstanta.

Podle definice primitivní funkce je F"(x)=f(x) a tedy dF(x)=f(x) dx. Ve vzorci (7.1) se f(x) nazývá integrandová funkce a f( x) dx se nazývá integrandový výraz.

Uvažujme funkci dvou proměnných:

Protože proměnné $x$ a $y$ jsou nezávislé, můžeme pro takovou funkci zavést koncept parciální derivace:

Parciální derivace funkce $f$ v bodě $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ vzhledem k proměnné $x$ je omezení

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) )+\Delta x;((y)_(0)) \vpravo))(\Delta x)\]

Podobně můžete definovat parciální derivaci vzhledem k proměnné $y$ :

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0)) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Jinými slovy, abyste našli parciální derivaci funkce několika proměnných, musíte opravit všechny ostatní proměnné kromě požadované a pak najít běžnou derivaci s ohledem na tuto požadovanou proměnnou.

To vede k hlavní technice pro výpočet takových derivací: jednoduše předpokládejme, že všechny proměnné kromě této jsou konstanty, a pak funkci diferencujte, jako byste derivovali „obyčejnou“ – s jednou proměnnou. Například:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prvočíslo ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(zarovnat)$

Je zřejmé, že parciální derivace s ohledem na různé proměnné dávají různé odpovědi - to je normální. Mnohem důležitější je pochopit, proč jsme řekněme v prvním případě v klidu odstranili $10y$ pod znaménkem derivátu a ve druhém případě jsme úplně vynulovali první člen. To vše se děje kvůli skutečnosti, že všechna písmena, kromě proměnné, pomocí které se provádí diferenciace, jsou považovány za konstanty: lze je vyjmout, „spálit“ atd.

Co je to „částečná derivace“?

Dnes si povíme něco o funkcích více proměnných a jejich parciálních derivacích. Za prvé, co je funkcí několika proměnných? Doposud jsme byli zvyklí považovat funkci za $y\left(x \right)$ nebo $t\left(x \right)$ nebo jakoukoli proměnnou a jednu její jedinou funkci. Nyní budeme mít jednu funkci, ale několik proměnných. Se změnou $y$ a $x$ se změní i hodnota funkce. Pokud se například $x$ zdvojnásobí, hodnota funkce se změní, a pokud se $x$ změní, ale $y$ se nezmění, hodnota funkce se změní stejným způsobem.

Funkci více proměnných, stejně jako funkci jedné proměnné, lze samozřejmě diferencovat. Protože však existuje více proměnných, je možné rozlišovat podle různých proměnných. V tomto případě vznikají specifická pravidla, která při diferenciaci jedné proměnné neexistovala.

Za prvé, když počítáme derivaci funkce z libovolné proměnné, musíme uvést, pro kterou proměnnou derivaci počítáme – nazývá se to parciální derivace. Například máme funkci dvou proměnných a můžeme ji vypočítat jak v $x$, tak v $y$ - dvě parciální derivace pro každou z proměnných.

Za druhé, jakmile zafixujeme jednu z proměnných a začneme s ní počítat parciální derivaci, pak všechny ostatní zahrnuté v této funkci jsou považovány za konstanty. Například v $z\left(xy \right)$, pokud uvažujeme parciální derivaci vzhledem k $x$, pak kdekoli se setkáme s $y$, považujeme ji za konstantu a jako takovou s ní zacházíme. Zejména při výpočtu derivace součinu můžeme vyjmout $y$ ze závorek (máme konstantu) a při výpočtu derivace součtu, pokud někde dostaneme derivaci výrazu obsahujícího $y$ a neobsahující $x$, pak bude derivace tohoto výrazu rovna „nule“ jako derivace konstanty.

Na první pohled se může zdát, že mluvím o něčem složitém a řada studentů je zpočátku zmatená. V parciálních derivacích však není nic nadpřirozeného a nyní to uvidíme na příkladu konkrétních problémů.

Problémy s radikály a polynomy

Úkol č. 1

Abychom neztráceli čas, začněme od úplného začátku vážnými příklady.

Pro začátek mi dovolte připomenout tento vzorec:

Jedná se o standardní tabulkovou hodnotu, kterou známe ze standardního průběhu.

V tomto případě se derivát $z$ vypočítá takto:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Udělejme to znovu, protože kořen není $x$, ale nějaký jiný výraz, v tomto případě $\frac(y)(x)$, pak nejprve použijeme standardní hodnotu tabulky a poté, protože kořen je nikoli $x $ a jiný výraz, musíme vynásobit naši derivaci jiným z tohoto výrazu s ohledem na stejnou proměnnou. Nejprve spočítejme následující:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Vrátíme se k našemu výrazu a píšeme:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

V podstatě to je vše. Je však špatné nechat to v této podobě: taková konstrukce je nepohodlná pro další výpočty, takže ji trochu transformujeme:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Odpověď byla nalezena. Nyní se pojďme zabývat $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Pojďme si to napsat samostatně:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Nyní si zapíšeme:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Hotovo.

Problém č. 2

Tento příklad je jednodušší a složitější než předchozí. Je to složitější, protože je tam více akcí, ale je to jednodušší, protože tam není kořen a navíc je funkce symetrická vzhledem k $x$ a $y$, tzn. pokud prohodíme $x$ a $y$, vzorec se nezmění. Tato poznámka nám dále zjednoduší výpočet parciální derivace, tzn. stačí spočítat jeden z nich a ve druhém jednoduše prohodit $x$ a $y$.

Pojďme pracovat:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \vpravo ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime )))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Pojďme počítat:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Mnoho studentů však této notaci nerozumí, takže ji zapišme takto:

\[((\left(xy \right))^(\prime )))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Znovu jsme se tedy přesvědčili o univerzálnosti algoritmu parciálních derivací: bez ohledu na to, jak je vypočítáme, pokud jsou všechna pravidla aplikována správně, odpověď bude stejná.

Nyní se podívejme na další částečnou derivaci z našeho velkého vzorce:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Dosadíme výsledné výrazy do našeho vzorce a dostaneme:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \vpravo))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

Na základě započtených $x$. A abychom vypočítali $y$ ze stejného výrazu, neprovádějme stejnou posloupnost akcí, ale využijte symetrii našeho původního výrazu – jednoduše nahradíme všechna $y$ v našem původním výrazu $x$ a naopak:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Díky symetrii jsme tento výraz vypočítali mnohem rychleji.

Nuance řešení

Pro parciální derivace fungují všechny standardní vzorce, které používáme pro ty obyčejné, totiž derivace kvocientu. Zároveň však vyvstávají specifické rysy: pokud uvažujeme parciální derivaci $x$, pak když ji získáme z $x$, považujeme ji za konstantu, a proto bude její derivace rovna „nule“ .

Stejně jako v případě běžných derivátů lze kvocient (stejný derivát) vypočítat několika různými způsoby. Například stejnou konstrukci, kterou jsme právě vypočítali, lze přepsat takto:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Zároveň na druhou stranu můžete použít vzorec z derivačního součtu. Jak víme, rovná se součtu derivací. Zapišme si například následující:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Nyní, když to všechno víme, zkusme pracovat se serióznějšími výrazy, protože skutečné parciální derivace se neomezují pouze na polynomy a kořeny: existují také trigonometrie, logaritmy a exponenciální funkce. Teď to udělejme.

Problémy s goniometrickými funkcemi a logaritmy

Úkol č. 1

Zapišme si následující standardní vzorce:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Vyzbrojeni těmito znalostmi se pokusme vyřešit:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Vypišme jednu proměnnou samostatně:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime )))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Vraťme se k našemu designu:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

To je vše, našli jsme to za $ x $, nyní provedeme výpočty pro $ y $:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Opět spočítejme jeden výraz:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime )))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \vpravo)\]

Vrátíme se k původnímu výrazu a pokračujeme v řešení:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Hotovo.

Problém č. 2

Zapišme si vzorec, který potřebujeme:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Nyní počítejme $ x $:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Nalezeno za $ x $. Počítáme po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problém je vyřešen.

Nuance řešení

Takže bez ohledu na to, jakou funkci vezmeme parciální derivaci, pravidla zůstávají stejná, bez ohledu na to, zda pracujeme s trigonometrií, s kořeny nebo s logaritmy.

Klasická pravidla práce se standardními derivacemi zůstávají nezměněna, jmenovitě derivace součtu a rozdílu, kvocient a komplexní funkce.

Poslední vzorec najdeme nejčastěji při řešení úloh s parciálními derivacemi. Setkáváme se s nimi téměř všude. Nikdy nebyl jediný úkol, kdy bychom na to nenarazili. Ale bez ohledu na to, jaký vzorec použijeme, stále máme přidaný ještě jeden požadavek, a to zvláštnost práce s parciálními derivacemi. Jakmile opravíme jednu proměnnou, všechny ostatní jsou konstanty. Konkrétně, vezmeme-li v úvahu parciální derivaci výrazu $\cos \frac(x)(y)$ vzhledem k $y$, pak $y$ je proměnná a $x$ zůstává všude konstantní. To samé funguje i obráceně. Lze ji vyjmout z derivačního znaménka a derivace samotné konstanty bude rovna „nule“.

To vše vede k tomu, že parciální derivace téhož výrazu, ale s ohledem na různé proměnné, mohou vypadat úplně jinak. Podívejme se například na následující výrazy:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problémy s exponenciálními funkcemi a logaritmy

Úkol č. 1

Pro začátek si napišme následující vzorec:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

S vědomím této skutečnosti, stejně jako derivace komplexní funkce, zkusme počítat. Nyní to vyřeším dvěma různými způsoby. První a nejzřetelnější je derivát produktu:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Vyřešme samostatně následující výraz:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Vrátíme se k původnímu návrhu a pokračujeme v řešení:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\vpravo)\]

Vše, $x$ se počítá.

Jak jsem však slíbil, nyní se pokusíme tuto stejnou parciální derivaci vypočítat jiným způsobem. Chcete-li to provést, poznamenejte si následující:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Napišme to takto:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Ve výsledku jsme dostali úplně stejnou odpověď, ale množství výpočtů se ukázalo být menší. K tomu stačilo poznamenat, že při provádění produktu lze přidat indikátory.

Nyní počítejme po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Pojďme řešit jeden výraz samostatně:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Pokračujme v řešení naší původní konstrukce:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Stejnou derivaci lze samozřejmě vypočítat i druhým způsobem a odpověď by byla stejná.

Problém č. 2

Počítejme $ x $:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Pojďme samostatně vypočítat jeden výraz:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Pokračujme v řešení původní konstrukce: $$

Toto je odpověď.

Zbývá najít analogicky pomocí $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right)))^(\prime ))_(y)=\]

Jako vždy vypočítáme jeden výraz samostatně:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Pokračujeme v řešení základního návrhu:

Vše bylo spočítáno. Jak vidíte, v závislosti na tom, která proměnná se bere pro rozlišení, jsou odpovědi zcela odlišné.

Nuance řešení

Zde je nápadný příklad toho, jak lze derivaci stejné funkce vypočítat dvěma různými způsoby. Podívej se sem:

\[(((z)")_(x))=\left((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ vlevo(1+\frac(1)(y) \vpravo)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \vpravo)\ ]

Při výběru různých cest se může množství výpočtů lišit, ale odpověď, pokud je vše provedeno správně, bude stejná. To platí pro klasické i parciální derivace. Zároveň ještě jednou připomínám: podle toho, z jaké proměnné se bere derivace, tzn. diferenciace, odpověď může dopadnout úplně jinak. Dívej se:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Na závěr, abychom celý tento materiál sjednotili, zkusme vypočítat další dva příklady.

Problémy s goniometrickými funkcemi a funkcemi se třemi proměnnými

Úkol č. 1

Zapišme si následující vzorce:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Pojďme nyní vyřešit náš výraz:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Samostatně vypočítejme následující konstrukci:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Pokračujeme v řešení původního výrazu:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Toto je konečná odpověď soukromé proměnné na $x$. Nyní počítejme po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Pojďme řešit jeden výraz samostatně:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Pojďme vyřešit naši konstrukci až do konce:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Problém č. 2

Na první pohled se tento příklad může zdát poměrně komplikovaný, protože se jedná o tři proměnné. Ve skutečnosti je to jeden z nejjednodušších úkolů dnešního videonávodu.

Najít podle $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x(e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Nyní se pojďme zabývat $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Našli jsme odpověď.

Teď už zbývá jen najít podle $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Vypočítali jsme třetí derivaci, která dokončuje řešení druhého problému.

Nuance řešení

Jak vidíte, na těchto dvou příkladech není nic složitého. Jediné, o čem jsme přesvědčeni, je, že derivace komplexní funkce se používá často a podle toho, jakou parciální derivaci počítáme, dostáváme různé odpovědi.

V minulém úkolu jsme byli požádáni, abychom se zabývali funkcí tří proměnných najednou. Na tom není nic špatného, ​​ale na úplném konci jsme se přesvědčili, že se od sebe všechny výrazně liší.

Klíčové body

Poslední poznatky z dnešního video tutoriálu jsou následující:

1. Parciální derivace se počítají stejně jako obyčejné, ale pro výpočet parciální derivace vzhledem k jedné proměnné bereme všechny ostatní proměnné zahrnuté v této funkci jako konstanty.
2. Při práci s parciálními derivacemi používáme stejné standardní vzorce jako s obyčejnými derivacemi: součet, rozdíl, derivace součinu a kvocientu a samozřejmě derivace komplexní funkce.

Sledování této videolekce samozřejmě nestačí k úplnému pochopení tohoto tématu, takže právě teď na mém webu je soubor problémů pro toto video speciálně věnovaný dnešnímu tématu - vstupte, stáhněte si, vyřešte tyto problémy a zkontrolujte odpověď . A poté nebudete mít problémy s parciálními derivacemi ani u zkoušek, ani v samostatné práci. Toto samozřejmě není poslední lekce vyšší matematiky, takže navštivte náš web, přidejte si VKontakte, odebírejte YouTube, lajkujte a zůstaňte s námi!

Parciální derivace se používají v problémech zahrnujících funkce více proměnných. Pravidla pro hledání jsou úplně stejná jako pro funkce jedné proměnné, jen s tím rozdílem, že jedna z proměnných musí být v době derivace považována za konstantu (konstantní číslo).

Vzorec

Parciální derivace pro funkci dvou proměnných $ z(x,y) $ se zapisují v následujícím tvaru $ z"_x, z"_y $ a najdeme je pomocí vzorců:

Parciální derivace prvního řádu

$$ z"_x = \frac(\částečné z)(\částečné x) $$

$$ z"_y = \frac(\částečné z)(\částečné y) $$

Parciální derivace druhého řádu

$$ z""_(xx) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné x \částečné x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné y \částečné y) $$

Smíšený derivát

$$ z""_(xy) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné x \částečné y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\částečné^2 z)(\částečné y \částečné x) $$

Parciální derivace komplexní funkce

a) Nechť $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, pak derivace komplexní funkce je určena vzorcem:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\částečné z)(\částečné y) \cdot \frac (dy) (dt) $$

b) Nechť $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, pak parciální derivace funkce najdeme podle vzorce:

$$ \frac(\částečné z)(\částečné u) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(\částečné x)(\částečné u) + \frac(\částečné z)( \částečné y) \cdot \frac(\částečné y)(\částečné u) $$

$$ \frac(\částečné z)(\částečné v) = \frac(\částečné z)(\částečné x) \cdot \frac(\částečné x)(\částečné v) + \frac(\částečné z)( \částečné y) \cdot \frac(\částečné y)(\částečné v) $$

Parciální derivace implicitní funkce

a) Nechť $ F(x,y(x)) = 0 $, pak $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Nechť $ F(x,y,z)=0 $, pak $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Příklady řešení

Příklad 1

Najděte parciální derivace prvního řádu $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Řešení

Abychom našli parciální derivaci vzhledem k $ x $, budeme považovat $ y $ za konstantní hodnotu (číslo): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Abychom našli parciální derivaci funkce vzhledem k $y$, definujeme $y$ konstantou: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Pokud nemůžete svůj problém vyřešit, pošlete nám jej. Poskytneme podrobné řešení. Budete moci sledovat průběh výpočtu a získávat informace. To vám pomůže získat známku od učitele včas!

Odpovědět

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Příklad 2

Najděte parciální derivace funkce druhého řádu $ z = e^(xy) $

Řešení

Nejprve musíte najít první derivace, a když je budete znát, můžete najít derivace druhého řádu. Nechť $y$ je konstanta: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ano^(xy) $$ Nyní nastavíme $ x $ na konstantní hodnotu: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Když známe první derivace, najdeme podobně i druhou. Nastavit $y$ na konstantu: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Nastavíme $ x $ na konstantu: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Nyní zbývá jen najít smíšený derivát. Můžete rozlišit $ z"_x $ $ y $ a $ z"_y $ můžete odlišit $ x $, protože podle věty $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Odpovědět

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Příklad 4

Nechť $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definuje implicitní funkci $ F(x,y,z) = 0 $. Najděte parciální derivace prvního řádu.

Řešení

Funkci zapíšeme ve formátu: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ a najdeme derivace: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Odpovědět

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Jsou zvažovány příklady výpočtu derivací vyšších řádů explicitních funkcí. Jsou uvedeny užitečné vzorce pro výpočet derivací n-tého řádu.

Obsah

Stanovení derivací vyšších řádů

Zde uvažujeme případ, kdy proměnná y závisí na proměnné x explicitně:
.
Derivováním funkce vzhledem k proměnné x získáme derivaci prvního řádu nebo jednoduše derivaci:
.
V důsledku toho získáme novou funkci, která je derivací funkce. Diferencováním této nové funkce vzhledem k proměnné x získáme derivaci druhého řádu:
.
Diferencováním funkce získáme derivaci třetího řádu:
.
A tak dále. Derivováním původní funkce nkrát získáme derivaci n-tého řádu nebo n-tou derivaci:
.

Deriváty lze označit tahy, římské číslice, arabské číslice v závorkách nebo zlomky z diferenciálů. Například deriváty třetího a čtvrtého řádu lze označit takto:
;
.

Níže jsou uvedeny vzorce, které mohou být užitečné při výpočtu derivací vyšších řádů.

Užitečné vzorce pro derivace n-tého řádu

Derivace některých elementárních funkcí:
;
;
;
;
.

Derivace součtu funkcí:
,
kde jsou konstanty.

Leibnizova formule derivace součinu dvou funkcí:
,
Kde
- binomické koeficienty.

Příklad 1

Najděte derivace prvního a druhého řádu následující funkce:
.

Najdeme derivaci prvního řádu. Vezmeme konstantu mimo znaménko derivace a použijeme vzorec z tabulky derivací:
.
Aplikujeme pravidlo derivace komplexních funkcí:
.
Tady .
Aplikujeme pravidlo derivace komplexní funkce a používáme nalezené derivace:
.
Tady .

.
Abychom našli derivaci druhého řádu, musíme najít derivaci derivace prvního řádu, tedy funkce:
.
Aby nedošlo k záměně se zápisem, označme tuto funkci písmenem:
(A1.1) .
Pak derivace druhého řádu z původní funkce je derivace funkce:
.

Hledání derivace funkce. To je jednodušší udělat pomocí logaritmické derivace. Pojďme logaritmizovat (A1.1):
.
Nyní rozlišujme:
(A1.2) .
Ale je to konstantní. Jeho derivace je nulová. Již jsme našli derivát. Zbývající derivace najdeme pomocí pravidla derivace komplexní funkce.
;
;
.
Dosazujeme v (A1.2):

.
Odtud
.

;
.

Příklad 2

Najděte derivaci třetího řádu:
.

Hledání derivace prvního řádu. K tomu vezmeme konstantu mimo znaménko derivace a použijeme tabulka derivátů a použít pravidlo pro nalezení derivace komplexní funkce .

.
Tady .
Našli jsme tedy derivaci prvního řádu:
.

Hledání derivace druhého řádu. K tomu najdeme derivaci . Aplikujeme derivační zlomkový vzorec.
.
Derivát druhého řádu:
.

Nyní najdeme, co hledáme derivát třetího řádu. Abychom toho dosáhli, rozlišujeme.
;
;

.

Derivace třetího řádu se rovná
.

Příklad 3

Najděte derivaci šestého řádu následující funkce:
.

Pokud otevřete závorky, bude jasné, že původní funkce je polynom stupně . Zapišme to jako polynom:
,
kde jsou konstantní koeficienty.

Dále použijeme vzorec pro n-tou derivaci mocninné funkce:
.
Pro derivaci šestého řádu (n = 6 ) my máme:
.
Z toho je zřejmé, že při . Když máme:
.

Pro derivaci součtu funkcí použijeme vzorec:

.
Abychom tedy našli derivaci šestého řádu původní funkce, potřebujeme pouze najít koeficient polynomu na nejvyšším stupni. Najdeme ji vynásobením nejvyšších mocnin v součinech součtů původní funkce:

.
Odtud. Pak
.

Příklad 4

Najděte n-tou derivaci funkce
.

Řešení >> >

Příklad 5

Najděte n-tou derivaci následující funkce:
,
kde a jsou konstanty.

V tomto příkladu je vhodné provádět výpočty pomocí komplexních čísel. Mějme nějakou komplexní funkci
(A5.1) ,
kde a jsou funkce reálné proměnné x;
- pomyslná jednotka, .
Když rozlišujeme (A.1) nkrát, máme:
(A5.2) .
Někdy je jednodušší najít n-tou derivaci funkce. Potom jsou n-té derivace funkcí definovány jako reálné a imaginární části n-té derivace:
;
.

Použijme tuto techniku ​​k vyřešení našeho příkladu. Zvažte funkci
.
Zde jsme použili Eulerův vzorec
,
a zavedl označení
.
Potom je n-tá derivace původní funkce určena vzorcem:
.

Pojďme najít n-tou derivaci funkce
.
K tomu použijeme vzorec:
.
V našem případě
.
Pak
.

Našli jsme tedy n-tou derivaci komplexní funkce:
,
kde .
Pojďme najít skutečnou část funkce.
Za tímto účelem reprezentujeme komplexní číslo v exponenciálním tvaru:
,
Kde ;
; .
Pak
;

.

Příklad řešení
.

Nechte,.
Pak ;
.
Na ,
,
,
.
A dostaneme vzorec pro n-tou derivaci kosinu:
.

,
Kde
; .