Predavanje 1 Teorija funkcija dvije i više varijabli (TFNP). 1. Koncept FNP. 2. FNP limit. 3. Kontinuitet FNP-a. 4. Parcijalni derivati ​​prvog reda. 5. Derivat kompleksne funkcije. 6. Derivat implicitne funkcije. 7. Derivati ​​višeg reda.

1. Koncept FNP. Neka je skup D oblast na ravni. Definicija. Ako je broj pridružen, onda kažu da je numerička funkcija D data na skupu D - domenu definicije funkcije.

Ako je tačka, onda je preslikavanje specificirano sa dvije koordinate, funkcija od 2 varijable.Graf takve funkcije će biti skup tačaka sa koordinatama x, y, z - površina u prostoru.

Geometrijska interpretacija f(x, y). D – neki dio ravni 0 HY z D – projekcija grafika funkcije f(x, y) na ravan 0 HY z f O x D x y y Graf funkcije je površina u prostoru.

2. Granica funkcije dvije varijable. Neka se tačka Skup tačaka nazove takvim da je susjedstvo tačke

Definicija. Neka se tačka If tada tačka P nazove unutrašnjom tačkom skupa D. Definicija. Ako su sve tačke D unutrašnje u ovom skupu, onda se on naziva otvorenim. Definicija. Svaki otvoreni skup koji sadrži tačku naziva se njegova okolina.

Definicija. Skup od bilo koje dvije tačke koje se mogu povezati kontinuiranom krivom koja leži u ovom skupu naziva se povezan. Definicija. Otvoreni povezani skup naziva se regija.

Neka funkcija u susjedstvu tačke bude definirana u nekom (ne nužno u samoj tački). Broj A se naziva granicom funkcije jer teži ako

Oznaka. Komentar. Aspiracija se može pojaviti prema bilo kojem zakonu i smjeru, dok sve granične vrijednosti postoje i jednake su A.

Primjer. Razmotrimo funkciju Razmotrimo tendenciju koja prolazi kroz t. (0, 0): duž pravih linija, vrijednost A ovisi o tome kako.

3. Kontinuitet FNP-a. Funkcija se naziva kontinuiranom u tački ako je prekršen barem jedan od uslova 1 -3, onda je to tačka diskontinuiteta.

Prelomne tačke se mogu izolovati, formirati linije prekida, lomne površine. Primjer. a) Prelomna tačka – (izolovano) b) – linija prekida

Definicija. Razlika se naziva ukupni prirast funkcije. Definicija. Granice se nazivaju parcijalnim derivatima funkcije (pod pretpostavkom da postoje).

Pravila za izračunavanje parcijalnih izvoda FNP-a poklapaju se sa odgovarajućim pravilima za funkciju jedne varijable. Komentar. Prilikom izračunavanja derivata FNP u odnosu na jednu od varijabli, sve ostale se smatraju konstantama. Primjer.

Definicija. Poziva se glavni (linearni) dio ukupnog prirasta funkcije u tački puni diferencijal funkcioniše u ovom trenutku.

5. Derivat kompleksne funkcije. Razmotrimo funkciju gdje je z kompleksna funkcija od x, y. Parcijalni izvod kompleksne funkcije u odnosu na varijable x i y izračunava se na sljedeći način: (kao u slučaju kompleksne funkcije jedne varijable).

Ukupni izvod a) gdje je z kompleksna funkcija jednog argumenta t. Tada je ukupni izvod funkcije u odnosu na argument t.

Prilikom proučavanja mnogih obrazaca u prirodnim naukama i ekonomiji, susrećemo se sa funkcijama dvije (ili više) nezavisnih varijabli.

Definicija (za funkciju dvije varijable).Neka X , Y I Z - mnoštvo. Ako svaki par (x, y) elemente iz skupova respektivno X I Y na osnovu nekog zakona f odgovara jednom i samo jednom elementu z od mnogih Z , onda to kažu data je funkcija dvije varijable z = f(x, y) .

Uglavnom domenu funkcije dvije varijable geometrijski može biti predstavljen određenim skupom tačaka ( x; y) avion xOy .

Osnovne definicije koje se odnose na funkcije nekoliko varijabli su generalizacija odgovarajućih definicije za funkciju jedne varijable .

Gomila D pozvao domenu funkcije z, i set E – njegova mnoga značenja. Varijable x I y u odnosu na funkciju z nazivaju se njegovim argumentima. Varijabilna z nazvana zavisna varijabla.

Privatne vrijednosti argumenata

odgovara privatnoj vrijednosti funkcije

Domen funkcije nekoliko varijabli

Ako funkcija nekoliko varijabli (na primjer, dvije varijable) dato formulom z = f(x, y) , To područje njegove definicije je skup svih takvih tačaka ravni x0y, za koji je izraz f(x, y) ima smisla i prihvata stvarne vrednosti. Opća pravila za domenu funkcije nekoliko varijabli izvedena su iz općih pravila za domenu definicije funkcije jedne varijable. Razlika je u tome što je za funkciju dvije varijable domen definicije određeni skup tačaka na ravni, a ne prava linija, kao za funkciju jedne varijable. Za funkciju od tri varijable, domen definicije je odgovarajući skup tačaka u trodimenzionalnom prostoru, a za funkciju n varijable - odgovarajući skup tačaka apstraktnog n-dimenzionalni prostor.

Domen funkcije dvije varijable s korijenom n th stepen

U slučaju kada je funkcija dvije varijable data formulom i n - prirodni broj :

Ako n je paran broj, onda je domen definicije funkcije skup tačaka ravni koje odgovaraju svim vrijednostima radikalnog izraza koje su veće ili jednake nuli, tj.

Ako n je neparan broj, tada je domen definicije funkcije skup bilo koje vrijednosti, odnosno cijela ravan x0y .

Domen funkcije stepena dvije varijable s cjelobrojnim eksponentom

:

Ako a- pozitivno, onda je domen definicije funkcije cijela ravan x0y ;

Ako a- negativan, tada je domen definicije funkcije skup vrijednosti različitih od nule: .

Domen funkcije stepena dvije varijable s razlomkom eksponenta

U slučaju kada je funkcija data formulom :

ako je pozitivan, tada je domen definicije funkcije skup onih tačaka u ravni u kojima ona uzima vrijednosti veće ili jednake nuli: ;

ako je - negativan, tada je domen definicije funkcije skup onih tačaka u ravni u kojima ona uzima vrijednosti veće od nule: .

Područje definicije logaritamske funkcije dvije varijable

Logaritamska funkcija dvije varijable je definiran pod uvjetom da je njegov argument pozitivan, odnosno da je domen njegove definicije skup onih tačaka u ravni u kojima uzima vrijednosti veće od nule: .

Područje definicije trigonometrijskih funkcija dvije varijable

Funkcija domena - ceo avion x0y .

Funkcija domena - ceo avion x0y .

Područje definicije funkcije je cijela ravan x0y

Funkcija domena - ceo avion x0y, osim parova brojeva za koje uzima vrijednosti.

Područje definicije inverznih trigonometrijskih funkcija dvije varijable

Funkcija domena .

Funkcija domena - skup tačaka na ravni za koji .

Funkcija domena - ceo avion x0y .

Funkcija domena - ceo avion x0y .

Područje definicije razlomka kao funkcije dvije varijable

Ako je funkcija data formulom, tada su domena definicije funkcije sve točke ravnine u kojoj je .

Domen linearne funkcije dvije varijable

Ako je funkcija data formulom oblika z = sjekira + by + c , tada je domen definicije funkcije cijela ravan x0y .

Primjer 1.

Rješenje. Prema pravilima za oblast definicije sastavljamo dvostruku nejednakost

Pomnožimo cijelu nejednakost sa i dobijemo

Rezultirajući izraz specificira domenu definicije ove funkcije dvije varijable.

Primjer 2. Naći domenu funkcije dvije varijable.

(predavanje 1)

Funkcije 2 varijable.

Varijabla z se naziva funkcijom 2 varijable f(x,y), ako je za bilo koji par vrijednosti (x,y) G pridružena određena vrijednost varijable z.

Def. Okruženje tačke p 0 je kružnica sa centrom u tački p 0 i poluprečnikom. = (x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2

proizvoljno malog broja, može se odrediti broj ()>0 takav da za sve vrijednosti x i y, za koje je udaljenost od t.p do p0 manja, vrijedi sljedeća nejednakost: f(x,y) A , tj. za sve tačke p koje se nalaze u blizini tačke p 0, sa radijusom, vrednost funkcije se razlikuje od A za manje nego u apsolutnoj vrednosti. A to znači da kada se tačka p približi tački p 0 za bilo koga

Kontinuitet funkcije.

Neka je data funkcija z=f(x,y), p(x,y) je trenutna tačka, p 0 (x 0 ,y 0) je tačka koja se razmatra.

Def.

3) Granica je jednaka vrijednosti funkcije u ovoj tački: = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );

str 0

Parcijalni derivat.

Dajmo argumentu x inkrement od x; x+x, dobijamo tačku p 1 (x+x,y), izračunajmo razliku između vrednosti funkcije u tački p:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) parcijalni prirast funkcije koji odgovara inkrementu argumenta x.

z= Lim x z

z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)

X x0 X

Definiranje funkcije nekoliko varijabli

Kada se razmatraju mnoga pitanja iz različitih oblasti znanja, potrebno je proučavati takve zavisnosti između varijabli kada numeričke vrijednosti jedan od njih je u potpunosti određen vrijednostima nekoliko drugih.

Na primjer Prilikom proučavanja fizičkog stanja tijela, potrebno je promatrati promjene njegovih svojstava od tačke do tačke. Svaka tačka tela je određena sa tri koordinate: x, y, z. Stoga, proučavajući, recimo, distribuciju gustine, zaključujemo da gustina tela zavisi od tri varijable: x, y, z. Ako se i fizičko stanje tijela mijenja tokom vremena t, tada će ista gustoća ovisiti o vrijednostima četiri varijable: x, y, z, t.

Još jedan primjer: proučavaju se proizvodni troškovi proizvodnje jedinice određene vrste proizvoda. neka bude:

x - troškovi materijala,

y - troškovi plaćanja plate zaposleni,

z - troškovi amortizacije.

Očigledno je da troškovi proizvodnje ovise o vrijednostima imenovanih parametara x, y, z.

Definicija 1.1 Ako za svaki skup vrijednosti "n" varijabli

iz nekog skupa D ovih kolekcija odgovara njegovoj jedinstvenoj vrijednosti varijable z, onda kažu da je funkcija data na skupu D

"n" varijable.

Skup D specificiran u definiciji 1.1 naziva se domenom definicije ili domenom postojanja ove funkcije.

Ako se razmatra funkcija dvije varijable, onda je zbirka brojeva

označavaju se, po pravilu, (x, y) i tumače se kao tačke koordinatne ravni Oxy, a domen definicije funkcije z = f (x, y) dvije varijable se prikazuje kao određeni skup tačaka na Oxy avionu.

Tako, na primjer, domena definicije funkcije

je skup tačaka Oxy ravni čije koordinate zadovoljavaju relaciju

tj. to je krug poluprečnika r sa središtem u početku.

Za funkciju

domen definicije su tačke koje zadovoljavaju uslov

tj. vanjski u odnosu na dati krug.

Često se funkcije dvije varijable specificiraju implicitno, tj. kao jednačina

povezivanje tri varijable. U ovom slučaju, svaka od veličina x, y, z može se smatrati implicitnom funkcijom druge dvije.

Geometrijska slika (graf) funkcije dvije varijable z = f (x, y) je skup tačaka P (x, y, z) u trodimenzionalnom prostoru Oxyz, čije koordinate zadovoljavaju jednačinu z = f (x, y).

Graf funkcije kontinuiranih argumenata, po pravilu, je određena površina u prostoru Oxyz, koja se projektuje na koordinatnu ravan Oxy u domenu definicije funkcije z= f (x, y).

Tako, na primjer, (slika 1.1) graf funkcije

je gornja polovina sfere i graf funkcije

Donja polovina sfere.

Raspored linearna funkcija z = ax + by + s je ravan u Oxyz prostoru, a grafik funkcije z = const je ravan paralelna sa Oxyz koordinatnom ravninom.

Imajte na umu da je nemoguće vizualno prikazati funkciju od tri ili više varijabli u obliku grafa u trodimenzionalnom prostoru.

U nastavku ćemo se uglavnom ograničiti na razmatranje funkcija dvije ili tri varijable, budući da se razmatranje slučaja većeg (ali konačnog) broja varijabli provodi slično.

Definicija funkcije nekoliko varijabli.

(predavanje 1)

Varijabla u se naziva f(x,y,z,..,t) ako je za bilo koji skup vrijednosti (x,y,z,..,t) pridružena dobro definirana vrijednost varijable u.

Skup kolekcija vrijednosti varijable naziva se domenom definicije funkcije.

G - skup (x,y,z,..,t) - domen definicije.

Funkcije 2 varijable.

Varijabla z se naziva funkcijom 2 varijable f(x,y), ako je za bilo koji par vrijednosti (x,y) O G pridružena određena vrijednost varijable z.

Granica funkcije od 2 varijable.

Neka je data funkcija z=f(x,y), p(x,y) je trenutna tačka, p 0 (x 0 ,y 0) je tačka koja se razmatra.

Def. Susjedstvo tačke p 0 je kružnica sa centrom u tački p 0 i poluprečnikom r. r= Ö (x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 Ø

Broj A naziva se granica funkcije | u tački p 0 ako postoji

za proizvoljno mali broj e, može se odrediti broj r (e)>0 tako da za sve vrijednosti x i y, za koje je udaljenost od t. p do p0 manja od r, vrijedi sljedeća nejednakost: ½f(x,y) - A½0, sa radijusom r, vrijednost funkcije se razlikuje od A za manje od e u apsolutnoj vrijednosti. A to znači da kada se tačka p približi tački p 0 za bilo koga putanja, vrijednost funkcije se neograničeno približava broju A.

Kontinuitet funkcije.

Neka je data funkcija z=f(x,y), p(x,y) je trenutna tačka, p 0 (x 0 ,y 0) je tačka koja se razmatra.

Def. Funkcija z=f(x,y) naziva se kontinuiranom na t. p 0 ako su ispunjena 3 uslova:

1) funkcija je definirana u ovoj tački. f(p 0) = f(x,y);

2)f-i ima ograničenje u ovom trenutku.

3) Granica je jednaka vrijednosti funkcije u ovoj tački: b = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y)= f(x 0 ,y 0 ) ;

strà str 0

Ako je barem 1 od uvjeta kontinuiteta narušen, tada se tačka p naziva tačka prekida. Za funkcije od 2 varijable, mogu postojati odvojene tačke prekida i čitave linije prekida.

Slično je definiran koncept granice i kontinuiteta za funkcije većeg broja varijabli.

Funkcija od tri varijable ne može se grafički prikazati, za razliku od funkcije od 2 varijable.

Za funkciju s 3 varijable, mogu postojati točke diskontinuiteta, linije diskontinuiteta i površine diskontinuiteta.

Parcijalni derivat.

Razmotrimo funkciju z=f(x,y), p(x,y) je tačka koja se razmatra.

Dajemo argumentu x inkrement Dx; x+Dx, dobijamo tačku p 1 (x+Dx,y), izračunajmo razliku u vrednostima funkcije u tački p:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - parcijalni prirast funkcije koji odgovara inkrementu argumenta x.

Def. Kvocijent izvoda funkcije z=f(x,y) u odnosu na varijablu x naziva se granica omjera djelomičnog prirasta ove funkcije u odnosu na varijablu x prema ovom prirastu kada potonji teži da nula.

¶ z= Lim D x z

à ¶ z = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)

¶ x Dx® 0 Dx

Slično, određujemo količnik derivacije u odnosu na varijablu y.

Pronalaženje parcijalnih izvoda.

Prilikom određivanja parcijalnih izvoda, svaki put se mijenja samo jedna varijabla, preostale varijable se tretiraju kao konstante. Kao rezultat, svaki put razmatramo funkciju samo jedne varijable i parcijalni izvod se poklapa sa uobičajenim izvodom ove funkcije jedne varijable. Otuda i pravilo za pronalaženje parcijalnih izvoda: parcijalni izvod u odnosu na promenljivu koja se razmatra traži se kao običan izvod funkcije ove jedne varijable, preostale varijable se tretiraju kao konstante. U ovom slučaju, sve formule za diferenciranje funkcije jedne varijable (derivacije sume, proizvoda, količnika) ispadaju važeće.

Pojam funkcije više varijabli

Ako je svakoj tački X = (x 1, x 2, ... x n) iz skupa (X) tačaka n-dimenzionalnog prostora pridružena jedna dobro definirana vrijednost varijable z, onda kažu da je dato funkcija n varijabli z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

U ovom slučaju se pozivaju varijable x 1, x 2, ... x n nezavisne varijable ili argumentima funkcije, z - zavisna varijabla, a simbol f označava zakon dopisivanja. Skup (X) se poziva domenu definicije funkcije (ovo je određeni podskup n-dimenzionalnog prostora).

Na primjer, funkcija z = 1/(x 1 x 2) je funkcija dvije varijable. Njegovi argumenti su varijable x 1 i x 2, a z je zavisna varijabla. Područje definicije je cijela koordinatna ravan, sa izuzetkom pravih x 1 = 0 i x 2 = 0, tj. bez osa x i ordinata. Zamjenom bilo koje tačke iz domena definicije u funkciju, prema zakonu korespondencije dobijamo određeni broj. Na primjer, uzimajući tačku (2; 5), tj. x 1 = 2, x 2 = 5, dobijamo
z = 1/(2*5) = 0,1 (tj. z(2; 5) = 0,1).

Funkcija oblika z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b, gdje su a 1, a 2,..., i n, b konstantni brojevi, naziva se linearno. Može se smatrati zbirom n linearnih funkcija varijabli x 1, x 2, ... x n. Sve ostale funkcije se pozivaju nelinearni.

Na primjer, funkcija z = 1/(x 1 x 2) je nelinearna, a funkcija z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – linearno.

Bilo kojoj funkciji z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) može se pridružiti n funkcija jedne varijable ako popravimo vrijednosti svih varijabli osim jedne.

Na primjer, funkcije tri varijable z = 1/(x 1 x 2 x 3) mogu biti povezane s tri funkcije jedne varijable. Ako fiksiramo x 2 = a i x 3 = b, funkcija će poprimiti oblik z = 1/(abx 1); ako fiksiramo x 1 = a i x 3 = b, tada će poprimiti oblik z = 1/(abx 2); ako fiksiramo x 1 = a i x 2 = b, tada će poprimiti oblik z = 1/(abx 3). U ovom slučaju, sve tri funkcije imaju isti oblik. Nije uvijek tako. Na primjer, ako za funkciju dvije varijable fiksiramo x 2 = a, tada će ona poprimiti oblik z = 5x 1 a, tj. funkcija stepena, a ako fiksiramo x 1 = a, tada će poprimiti oblik, tj. eksponencijalna funkcija.

Raspored funkcija dvije varijable z = f(x, y) je skup točaka u trodimenzionalnom prostoru (x, y, z), čija je primjena z povezana sa apscisom x i ordinatom y funkcionalnom relacijom
z = f (x, y). Ovaj graf predstavlja neku površinu u trodimenzionalnom prostoru (na primjer, kao na slici 5.3).

Može se dokazati da ako je funkcija linearna (tj. z = ax + by + c), onda je njen graf ravan u trodimenzionalnom prostoru. Drugi primjeri 3D grafovi Preporučuje se samostalno učenje po Kremerovom udžbeniku (str. 405-406).

Ako postoji više od dvije varijable (n varijabli), onda raspored funkcija je skup tačaka u (n+1)-dimenzionalnom prostoru za koje se izračunava x koordinata n+1 u skladu sa datim funkcionalnim zakonom. Takav graf se zove hiperpovršina(za linearnu funkciju – hiperplane), a predstavlja i naučnu apstrakciju (nemoguće ju je prikazati).

Slika 5.3 – Grafikon funkcije dvije varijable u trodimenzionalnom prostoru

Ravna površina funkcija od n varijabli je skup tačaka u n-dimenzionalnom prostoru tako da je u svim tim tačkama vrijednost funkcije ista i jednaka C. Sam broj C u ovom slučaju se naziva nivo.

Obično je za istu funkciju moguće konstruisati beskonačan broj površina nivoa (koje odgovaraju različitim nivoima).

Za funkciju dvije varijable, površina nivoa poprima oblik linije nivoa.

Na primjer, razmotrite z = 1/(x 1 x 2). Uzmimo C = 10, tj. 1/(x 1 x 2) = 10. Tada je x 2 = 1/(10x 1), tj. na ravni će linija nivoa poprimiti oblik prikazan na slici 5.4 kao puna linija. Uzimajući drugi nivo, na primjer, C = 5, dobijamo liniju nivoa u obliku grafika funkcije x 2 = 1/(5x 1) (prikazano isprekidanom linijom na slici 5.4).

Slika 5.4 - Linije nivoa funkcije z = 1/(x 1 x 2)

Pogledajmo još jedan primjer. Neka je z = 2x 1 + x 2. Uzmimo C = 2, tj. 2x 1 + x 2 = 2. Tada je x 2 = 2 - 2x 1, tj. na ravni će linija nivoa imati oblik prave linije, predstavljene na slici 5.5 punom linijom. Uzimajući drugi nivo, na primjer, C = 4, dobijamo liniju nivoa u obliku prave linije x 2 = 4 - 2x 1 (prikazano isprekidanom linijom na slici 5.5). Linija nivoa za 2x 1 + x 2 = 3 prikazana je na slici 5.5 kao isprekidana linija.

Lako je provjeriti da će za linearnu funkciju dvije varijable bilo koja linija nivoa biti ravna linija na ravni, a sve linije nivoa će biti paralelne jedna s drugom.

Slika 5.5 - Linije nivoa funkcije z = 2x 1 + x 2

) već smo se više puta susreli s parcijalnim derivacijama složenih funkcija poput i težih primjera. Pa o čemu još možete pričati?! ...I sve je kao u životu - nema složenosti koja se ne može zakomplikovati =) Ali matematika je ono čemu matematika služi, da se raznolikost našeg svijeta uklopi u strogi okvir. A ponekad se to može uraditi samo jednom rečenicom:

Općenito, kompleksna funkcija ima oblik , Gdje, najmanje jedan slova predstavlja funkcija, što može zavisiti od proizvoljno broj varijabli.

Minimalna i najjednostavnija opcija je odavno poznata kompleksna funkcija jedne varijable, čiji derivat naučili smo kako pronaći prošli semestar. Također imate vještine razlikovanja funkcija (pogledajte iste funkcije ) .

Dakle, sada će nas zanimati upravo slučaj. Zbog velike raznolikosti složenih funkcija, opće formule za njihove derivate su vrlo glomazne i teško probavljive. S tim u vezi, ograničiću se na konkretne primjere iz kojih možete razumjeti opšti princip pronalaženje ovih derivata:

Primjer 1

S obzirom na složenu funkciju gdje . Obavezno:
1) naći njen izvod i zapisati ukupni diferencijal 1. reda;
2) izračunati vrijednost derivata na .

Rješenje: Prvo, pogledajmo samu funkciju. Nudi nam se funkcija ovisno o i , što zauzvrat su funkcije jedna varijabla:

Drugo, obratimo veliku pažnju na sam zadatak - od nas se traži da pronađemo derivat, odnosno uopće ne govorimo o parcijalnim derivacijama koje smo navikli nalaziti! Od funkcije zapravo zavisi samo od jedne varijable, tada riječ “derivacija” znači totalni derivat. Kako je pronaći?

Prvo što mi pada na pamet je direktna zamjena i dalja diferencijacija. Hajde da zamenimo funkcionirati:
, nakon čega nema problema sa željenim derivatom:

I, shodno tome, ukupni diferencijal:

Ovo rješenje je matematički ispravno, ali mala nijansa je da kada se problem formuliše na način na koji je formulisan, niko od vas ne očekuje takav barbarizam =) Ali ozbiljno, ovdje se zaista može zamjeriti. Zamislite da funkcija opisuje let bumbara, a ugniježđene funkcije se mijenjaju ovisno o temperaturi. Izvođenje direktne zamjene , samo dobijamo privatne informacije, koji karakteriše let, recimo, samo po vrućem vremenu. Štaviše, ako se osobi koja ne poznaje bumbare predoči gotov rezultat i čak mu kaže koja je to funkcija, onda nikada neće naučiti ništa o temeljnom zakonu leta!

Tako nam je, potpuno neočekivano, naš brat koji zuji pomogao da shvatimo značenje i važnost univerzalne formule:

Naviknite se na "dvospratni" zapis za derivate - u zadatku koji se razmatra, oni su ti koji se koriste. U ovom slučaju, jedan bi trebao biti vrlo uredno u unosu: derivati ​​sa direktnim simbolima “de” su potpune izvedenice, a derivati ​​sa zaobljenim ikonama su parcijalni derivati. Počnimo s posljednjim:

Pa, sa "repovima" sve je općenito elementarno:

Zamijenimo pronađene derivate u našu formulu:

Kada se funkcija inicijalno predloži na zamršen način, to će biti logično (a ovo je gore objašnjeno!) ostavite rezultate kakve jesu:

Istovremeno, u "sofisticiranim" odgovorima bolje je suzdržati se čak i od minimalnih pojednostavljivanja (ovdje se npr. moli da se uklone 3 minusa)- i imate manje posla, a vaš krzneni prijatelj rado će lakše pregledati zadatak.

Međutim, gruba provjera neće biti suvišna. Hajde da zamenimo u pronađeni derivat i izvršiti pojednostavljenja:


(u zadnjem koraku koji smo koristili trigonometrijske formule , )

Kao rezultat, dobijen je isti rezultat kao i kod “varvarske” metode rješenja.

Izračunajmo derivaciju u tački. Prvo je zgodno saznati vrijednosti „tranzita“. (vrijednosti funkcije ) :

Sada sastavljamo konačne proračune, koji se u ovom slučaju mogu izvesti na različite načine. Koristim zanimljivu tehniku ​​u kojoj su 3. i 4. "kat" pojednostavljeni ne prema uobičajenim pravilima, već se transformiraju kao količnik dva broja:

I, naravno, grijeh je ne provjeriti koristeći kompaktniju notaciju :

Odgovori:

Dešava se da se problem predlaže u "poluopštem" obliku:

"Pronađi derivaciju funkcije gdje »

Odnosno, "glavna" funkcija nije data, ali su njeni "umetci" prilično specifični. Odgovor treba dati u istom stilu:

Štoviše, uvjet se može blago šifrirati:

„Pronađi derivaciju funkcije »

U ovom slučaju trebate na svoju ruku označiti ugniježđene funkcije nekim odgovarajućim slovima, na primjer, kroz i koristite istu formulu:

Usput, o slovnim oznakama. Više puta sam apelirao da se ne „hvataju za slova“ kao da su spas, a sada je to posebno relevantno! Analizirajući razne izvore na tu temu, generalno sam stekao utisak da su autori "poludeli" i počeli nemilosrdno da bacaju studente u olujni ponor matematike =) Oprostite mi :))

Primjer 2

Pronađite izvod funkcije , Ako

Ostale oznake ne bi trebale biti zbunjujuće! Svaki put kada naiđete na ovakav zadatak, morate odgovoriti na dva jednostavna pitanja:

1) O čemu ovisi “glavna” funkcija? U ovom slučaju, funkcija “zet” ovisi o dvije funkcije (“y” i “ve”).

2) O kojim varijablama zavise ugniježđene funkcije? U ovom slučaju, oba “umetka” zavise samo od “X”.

Dakle, ne biste trebali imati poteškoća s prilagođavanjem formule ovom zadatku!

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Dodatni primjeri prvog tipa mogu se naći u Rjabuškova knjiga problema (IDZ 10.1), pa, idemo funkcija tri varijable:

Primjer 3

S obzirom na funkciju gdje .
Izračunajte derivaciju u tački

Formula za izvod složene funkcije, kako mnogi pretpostavljaju, ima srodan oblik:

Odlučite čim pogodite =)

Za svaki slučaj daću opštu formulu za funkciju:
, iako je malo vjerovatno da ćete u praksi vidjeti nešto duže od primjera 3.

Osim toga, ponekad je potrebno razlikovati „skraćenu“ verziju - u pravilu funkciju oblika ili. Ovo pitanje ostavljam vama da sami proučavate – smislite neke jednostavne primjere, razmislite, eksperimentirajte i izvedite skraćene formule za izvode.

Ako vam još nešto nije jasno, polako ponovo pročitajte i shvatite prvi dio lekcije, jer će sada zadatak postati još složeniji:

Primjer 4

Naći parcijalne izvode kompleksne funkcije, gdje

Rješenje: ovu funkciju ima oblik , a nakon direktne zamjene i dobijamo uobičajenu funkciju dvije varijable:

Ali takav strah ne samo da nije prihvaćen, već se više ne želi razlikovati =) Stoga ćemo koristiti gotove formule. Kako bih vam pomogao da brzo shvatite obrazac, napravit ću neke napomene:

Pažljivo pogledajte sliku odozgo prema dolje i slijeva nadesno...

Prvo, pronađimo parcijalne derivate “glavne” funkcije:

Sada nalazimo "X" derivate "linera":

i zapišite konačnu "X" izvodnicu:

Slično i sa "igrom":

I

Možete se držati drugog stila - pronađite sve "repove" odjednom a zatim zapišite oba izvoda.

Odgovori:

O zamjeni nekako uopće ne razmišljam o tome =) =), ali možete malo dotjerati rezultate. Mada, opet, zašto? – samo otežavaju nastavniku provjeru.

Ako je potrebno, onda puni diferencijal ovdje je napisano prema uobičajenoj formuli i, usput rečeno, u ovom koraku lagana kozmetika postaje prikladna:


Ovo je... ...kovčeg na točkovima.

Zbog popularnosti vrste složene funkcije koja se razmatra, postoji nekoliko zadataka za samostalno rješavanje. Jednostavniji primjer u "poluopštem" obliku je za razumijevanje same formule;-):

Primjer 5

Naći parcijalne izvode funkcije, gdje

I još složenije - uz uključivanje tehnika diferencijacije:

Primjer 6

Pronađite potpuni diferencijal funkcije , Gdje

Ne, uopće vas ne pokušavam "poslati na dno" - svi primjeri su preuzeti iz pravi posao, a "na otvorenom moru" možete naići na bilo koja slova. U svakom slučaju, morat ćete analizirati funkciju (odgovaranje na 2 pitanja – vidi gore), predstavi ga u opšti pogled i pažljivo modificirajte formule parcijalnih derivata. Možda ste sada malo zbunjeni, ali ćete shvatiti sam princip njihove konstrukcije! Jer pravi izazovi tek počinju :)))

Primjer 7

Pronađite parcijalne izvode i kreirajte potpuni diferencijal kompleksne funkcije
, Gdje

Rješenje: “glavna” funkcija ima oblik i još uvijek ovisi o dvije varijable – “x” i “y”. Ali u poređenju sa primjerom 4, dodana je još jedna ugniježđena funkcija, pa su stoga i formule parcijalnog izvoda također produžene. Kao u tom primjeru, za bolju vizualizaciju uzorka, istaknut ću "glavne" parcijalne derivate različitim bojama:

I opet, pažljivo proučite zapis od vrha do dna i s lijeva na desno.

Budući da je problem formuliran u “poluopćem” obliku, sav naš rad je u suštini ograničen na pronalaženje parcijalnih izvoda ugrađenih funkcija:

Učenik prvog razreda može podnijeti:

Čak je i cijeli diferencijal ispao prilično lijep:

Namjerno vam nisam ponudio nikakvu konkretnu funkciju - kako nepotreban nered ne bi ometao dobro razumijevanje shematski dijagram zadataka.

Odgovori:

Vrlo često možete pronaći ulaganja „mješovite veličine“, na primjer:

Ovdje “glavna” funkcija, iako ima oblik , i dalje ovisi i o “x” i “y”. Dakle, rade iste formule - samo će neke parcijalne derivacije biti jednake nuli. Štoviše, ovo vrijedi i za funkcije poput , u kojem svaki “liner” zavisi od jedne varijable.

Slična situacija se događa u zadnja dva primjera lekcije:

Primjer 8

Pronađite ukupni diferencijal kompleksne funkcije u tački

Rješenje: uslov je formuliran na "budžetski" način, a ugniježđene funkcije moramo označiti sami. Mislim da je ovo dobra opcija:

“Inserti” sadrže ( PAŽNJA!) TRI slova su dobro staro “X-Y-Z”, što znači da “glavna” funkcija zapravo zavisi od tri varijable. Može se formalno prepisati kao , a parcijalne derivacije u ovom slučaju određene su sljedećim formulama:

Skeniramo, udubljujemo se, snimamo….

U našem zadatku:

Definicija. Varijabilna z(sa prostorom za promjenu Z) pozvao funkcija dvije nezavisne varijable x,y u izobilju M, ako svaki par ( x,y) od mnogih M z od Z.

Definicija. Gomila M, u kojem su navedene varijable x,y, pozvao domenu funkcije, skup Z – opseg funkcija, i sebe x,y- ona argumentima.

Oznake: z = f(x,y), z = z(x,y).

Primjeri.

Definicija . Varijabilna z(sa prostorom za promjenu Z) pozvao funkcija nekoliko nezavisnih varijabli u izobilju M, ako je svaki skup brojeva iz skupa M prema nekom pravilu ili zakonu, dodjeljuje se jedna specifična vrijednost z od Z. Koncepti argumenata, domena definicije i domene vrijednosti uvode se na isti način kao i za funkciju dvije varijable.

Oznake: z = f, z = z.

Komentar. Od nekoliko brojeva ( x,y) se mogu smatrati koordinatama određene tačke na ravni, naknadno ćemo koristiti termin "tačka" za par argumenata za funkciju dvije varijable, kao i za uređeni skup brojeva koji su argumenti za funkciju od nekoliko varijabli.

Geometrijski prikaz funkcije dvije varijable

Razmotrite funkciju

z = f(x,y), (15.1)

definisano u nekoj oblasti M na O avionu xy. Zatim skup tačaka u trodimenzionalnom prostoru sa koordinatama ( x,y,z), gdje je graf funkcije dvije varijable. Budući da jednačina (15.1) definira određenu površinu u trodimenzionalnom prostoru, ona će biti geometrijska slika dotičnu funkciju.

Funkcija domena z = f(x,y) u najjednostavnijim slučajevima, to je ili dio ravnine omeđen zatvorenom krivom, a tačke ove krive (granice regije) mogu ili ne moraju pripadati domenu definicije, ili cijeloj ravni, ili, konačno, set od nekoliko delova xOy ravni.

z = f(x,y)

Primjeri uključuju jednačine ravnine z = ax + by + c

i površine drugog reda: z = x² + y² (paraboloid rotacije),

(konus) itd.

Komentar. Za funkciju od tri ili više varijabli koristit ćemo izraz „površina u n-dimenzionalni prostor”, iako je takvu površinu nemoguće prikazati.

Linije i površine

Za funkciju dvije varijable date jednadžbom (15.1), možemo razmotriti skup tačaka ( x,y) O avionu xy, za koji z poprima istu konstantnu vrijednost, tj z= konst. Ove tačke formiraju pravu na ravni tzv nivo line.

Primjer.

Pronađite linije nivoa za površinu z = 4 – x² - y². Njihove jednačine izgledaju tako x² + y² = 4 – c(c=const) – jednadžbe koncentričnih krugova sa centrom u početku i poluprečnika . Na primjer, kada With=0 dobijamo krug x² + y² = 4 .

Za funkciju od tri varijable u = u(x, y, z) jednačina u(x, y, z) = c definira površinu u trodimenzionalnom prostoru, koja se zove ravna površina.

Primjer.

Za funkciju u = 3x + 5y – 7z–12 ravnih površina biće porodica paralelnih ravni datih jednačinama 3 x + 5y – 7z –12 + With = 0.

Granica i kontinuitet funkcije više varijabli

Hajde da predstavimo koncept δ-kvartovi bodova M 0 (x 0, y 0) na O avionu xy kao kružnica poluprečnika δ sa centrom u datoj tački. Slično, možemo definirati δ-susjedstvo u trodimenzionalnom prostoru kao loptu radijusa δ sa centrom u tački M 0 (x 0, y 0, z 0). Za n-dimenzionalni prostor nazvat ćemo δ-susjedstvo tačke M 0 set bodova M sa koordinatama koje zadovoljavaju uslov

gdje su koordinate tačke M 0 . Ponekad se ovaj set naziva "loptom". n-dimenzionalni prostor.

Definicija. Poziva se broj A limit funkcije nekoliko varijabli f u tački M 0 ako je takvo da | f(M) – A| < ε для любой точки M iz δ-komšiluka M 0 .

Oznake: .

Mora se uzeti u obzir da je u ovom slučaju poenta M možda se približava M 0, relativno govoreći, duž bilo koje putanje unutar δ-susjedstva tačke M 0 . Stoga treba razlikovati granicu funkcije više varijabli u opštem smislu od tzv ponovljene granice dobijeno uzastopnim prelazima do granice za svaki argument posebno.

Primjeri.

Komentar. Može se dokazati da iz postojanja granice u datoj tački u uobičajenom smislu i postojanja u ovoj tački granica pojedinačnih argumenata, proizilazi postojanje i jednakost ponovljenih granica. Obrnuta izjava nije tačna.

Definicija Funkcija f pozvao kontinuirano u tački M 0 ako (15.2)

Ako uvedemo oznaku , tada se uslov (15.2) može prepisati u obliku (15.3)

Definicija . Unutrašnja tačka M 0 domena funkcije z = f(M) pozvao tačka prekida funkcija ako uslovi (15.2), (15.3) nisu ispunjeni u ovoj tački.

Komentar. Mnoge tačke diskontinuiteta mogu se formirati na ravni ili u prostoru linije ili površina loma.

Primjeri.

Svojstva granica i kontinuiranih funkcija

Budući da se definicije granice i kontinuiteta za funkciju više varijabli praktički poklapaju sa odgovarajućim definicijama za funkciju jedne varijable, onda su za funkcije više varijabli sačuvana sva svojstva granica i kontinuiranih funkcija dokazana u prvom dijelu predmeta. , naime:

1) Ako postoje, onda postoje i (ako).

2) Ako a i za bilo koji i postoje granice i ima gde M 0, tada postoji granica kompleksne funkcije na , gdje su koordinate točke R 0 .

3) Ako su funkcije f(M) I g(M) kontinuirano u jednoj tački M 0, tada su u ovom trenutku funkcije također kontinuirane f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(Ako g(M 0) ≠ 0).

4) Ako su funkcije kontinuirane u tački P 0, a funkcija je kontinuirana u tački M 0, gdje je , tada je kompleksna funkcija kontinuirana u točki R 0 .

5) Funkcija je kontinuirana u zatvorenom ograničenom području D, uzima najveće i najmanje vrijednosti u ovoj regiji.

6) Ako je funkcija kontinuirana u zatvorenom ograničenom području D, uzima vrijednosti u ovoj regiji A I IN, onda ona zauzima područje D i bilo koja srednja vrijednost koja se nalazi između A I IN.

7) Ako je funkcija kontinuirana u zatvorenom ograničenom području D, uzima vrijednosti različitih predznaka u ovoj regiji, tada postoji a najmanje jedan bod od oblasti D, pri čemu f = 0.

Parcijalni derivati

Razmotrimo promjenu funkcije kada specificiramo inkrement samo jednom od njenih argumenata - x i, i nazovimo to .

Definicija . Parcijalni derivat funkcije po argumentu x i pozvao .

Oznake: .

Dakle, parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli je zapravo definiran kao izvod funkcije jedna varijabla – x ​​i. Dakle, za nju vrijede sva svojstva izvoda dokazana za funkciju jedne varijable.

Komentar. U praktičnom proračunu parcijalnih izvoda koristimo uobičajena pravila za diferenciranje funkcije jedne varijable, pod pretpostavkom da je argument kojim se diferencijacija vrši promjenjiv, a preostali argumenti konstantni.

Primjeri .

1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = xy,

Geometrijska interpretacija parcijalnih izvoda funkcije dvije varijable

Razmotrite jednačinu površine z = f(x,y) i nacrtaj avion x = konst. Odaberimo tačku na liniji presjeka ravnine i površine M(x,y). Ako date argument at prirast Δ at i razmotrimo tačku T na krivulji sa koordinatama ( x, y+Δ y, z+Δy z), zatim tangenta ugla koji formira sekansa MT sa pozitivnim smerom ose O at, bit će jednako . Prelaskom na granicu na , nalazimo da je parcijalni izvod jednak tangentu ugla koji formira tangenta na rezultirajuću krivu u tački M sa pozitivnim smjerom O ose u. Prema tome, parcijalni izvod je jednak tangentu ugla sa O osom X tangenta na krivulju dobijenu kao rezultat presjeka površine z = f(x,y) avion y = konst.

Diferencijabilnost funkcije više varijabli

Prilikom proučavanja pitanja vezanih za diferencijabilnost, ograničit ćemo se na slučaj funkcije tri varijable, budući da su svi dokazi za više varijable se izvode na isti način.

Definicija . Pun prirast funkcije u = f(x, y, z) pozvao

Teorema 1. Ako parcijalni derivati ​​postoje u tački ( x 0, y 0, z 0) iu nekim od njegovih susjedstava i kontinuirani su u tački ( x 0 , y 0 , z 0) tada su ograničeni (pošto njihovi moduli ne prelaze 1).

Tada se prirast funkcije koji zadovoljava uslove teoreme 1 može predstaviti kao: , (15.6)

Definicija . Ako se funkcija inkrement u = f (x, y, z) u tački ( x 0 , y 0 , z 0) može se predstaviti u obliku (15.6), (15.7), tada se funkcija poziva diferencibilan u ovom trenutku, a izraz je glavni linearni dio prirasta ili puni diferencijal dotičnu funkciju.

Oznake: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Baš kao i u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijali nezavisnih varijabli smatraju se njihovim proizvoljnim priraštajima, stoga

Napomena 1. Dakle, izjava “funkcija je diferencibilna” nije ekvivalentna izjavi “funkcija ima parcijalne derivate” - za diferencijabilnost je također potreban kontinuitet ovih izvoda u dotičnoj tački.

.

Razmotrite funkciju i odaberite x 0 = 1, y 0 = 2. Tada Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = -0,03. Hajde da nađemo

Dakle, s obzirom na to f ( 1, 2) = 3, dobijamo.