Svaki parcijalni derivat (po x i po y) funkcije dvije varijable je običan izvod funkcije jedne varijable za fiksnu vrijednost druge varijable:

(Gdje y= const),

(Gdje x= const).

Stoga se parcijalni derivati ​​izračunavaju pomoću formule i pravila za izračunavanje izvoda funkcija jedne varijable, uzimajući u obzir drugu konstantu varijable.

Ako vam nije potrebna analiza primjera i minimalna teorija potrebna za to, već vam je potrebno samo rješenje vašeg problema, idite na online kalkulator parcijalnih derivata .

Ako je teško koncentrirati se pratiti gdje je konstanta u funkciji, onda u nacrtu rješenja primjera, umjesto varijable s fiksnom vrijednošću, možete zamijeniti bilo koji broj - tada možete brzo izračunati parcijalni izvod kao obični izvod funkcije jedne varijable. Samo treba da zapamtite da vratite konstantu (varijable sa fiksnom vrednošću) na njeno mesto kada završite finalni dizajn.

Gore opisano svojstvo parcijalnih izvoda proizlazi iz definicije parcijalnog izvoda, koje se može pojaviti u ispitnim pitanjima. Stoga, da biste se upoznali sa definicijom u nastavku, možete otvoriti teorijsku referencu.

Koncept kontinuiteta funkcije z= f(x, y) u tački definira se slično ovom konceptu za funkciju jedne varijable.

Funkcija z = f(x, y) se naziva kontinuiranim u tački ako

Razlika (2) naziva se ukupni prirast funkcije z(dobija se kao rezultat povećanja oba argumenta).

Neka je funkcija data z= f(x, y) i tačka

Ako se funkcija promijeni z javlja se kada se promijeni samo jedan od argumenata, na primjer, x, sa fiksnom vrijednošću drugog argumenta y, tada će funkcija dobiti povećanje

naziva se djelomično povećanje funkcije f(x, y) By x.

Uzimajući u obzir promjenu funkcije z u zavisnosti od promjene samo jednog od argumenata, mi efektivno prelazimo na funkciju jedne varijable.

Ako postoji konačna granica

tada se naziva parcijalni izvod funkcije f(x, y) argumentom x i označen je jednim od simbola

(4)

Slično se određuje i parcijalni prirast z By y:

i parcijalni derivat f(x, y) By y:

(6)

Primjer 1.

Rješenje. Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "x":

(y fiksno);

Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na varijablu "y":

(x fiksno).

Kao što možete vidjeti, nije bitno u kojoj mjeri je varijabla fiksna: u ovom slučaju to je jednostavno određeni broj koji je faktor (kao u slučaju običnog izvoda) varijable s kojom nalazimo parcijalni izvod . Ako se fiksna varijabla ne pomnoži s promjenljivom s kojom nalazimo parcijalni izvod, tada ova usamljena konstanta, bez obzira u kojoj mjeri, kao u slučaju običnog izvoda, nestaje.

Primjer 2. Zadata funkcija

Pronađite parcijalne izvode

(po X) i (po Y) i izračunajte njihove vrijednosti u tački A (1; 2).

Rješenje. Kod fiksnog y derivacija prvog člana nalazi se kao derivacija funkcije stepena ( tablica derivacijskih funkcija jedne varijable):

.

Kod fiksnog x derivacija prvog člana nalazi se kao izvod eksponencijalne funkcije, a drugog - kao izvod konstante:

Sada izračunajmo vrijednosti ovih parcijalnih izvoda u tački A (1; 2):

Rješenje za probleme parcijalnih derivata možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Primjer 3. Pronađite parcijalne izvode funkcije

Rješenje. U jednom koraku nalazimo

(y x, kao da je argument sinusa 5 x: na isti način, 5 se pojavljuje ispred znaka funkcije);

(x je fiksna i u ovom slučaju je množitelj na y).

Rješenje za probleme parcijalnih derivata možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Parcijalni izvod funkcije od tri ili više varijabli definiraju se slično.

Ako svaki skup vrijednosti ( x; y; ...; t) nezavisne varijable iz skupa D odgovara jednoj specifičnoj vrijednosti u od mnogih E, To u zove se funkcija varijabli x, y, ..., t i označiti u= f(x, y, ..., t).

Za funkcije od tri ili više varijabli ne postoji geometrijska interpretacija.

Također se određuju i izračunavaju parcijalni derivati ​​funkcije više varijabli pod pretpostavkom da se samo jedna od nezavisnih varijabli mijenja, dok su ostale fiksne.

Primjer 4. Pronađite parcijalne izvode funkcije

.

Rješenje. y I z popravljeno:

x I z popravljeno:

x I y popravljeno:

Pronađite sami parcijalne izvode, a zatim pogledajte rješenja

Primjer 5.

Primjer 6. Pronađite parcijalne izvode funkcije.

Parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli ima isto mehaničko značenje je isto što i derivacija funkcije jedne varijable, je stopa promjene funkcije u odnosu na promjenu jednog od argumenata.

Primjer 8. Kvantitativna vrijednost protoka Pželjeznički putnici mogu se izraziti funkcijom

Gdje P– broj putnika, N– broj stanovnika dopisnih punktova, R– udaljenost između tačaka.

Parcijalni izvod funkcije P By R, jednako

pokazuje da je smanjenje protoka putnika obrnuto proporcionalno kvadratu udaljenosti između odgovarajućih tačaka sa istim brojem stanovnika u bodovima.

Parcijalni derivat P By N, jednako

pokazuje da je povećanje protoka putnika proporcionalno dvostrukom broju stanovnika naselja na istoj udaljenosti između tačaka.

Rješenje za probleme parcijalnih derivata možete provjeriti na online kalkulator parcijalnih derivata .

Puni diferencijal

Proizvod parcijalnog izvoda i prirasta odgovarajuće nezavisne varijable naziva se parcijalni diferencijal. Parcijalni diferencijali se označavaju na sljedeći način:

Zbir parcijalnih diferencijala za sve nezavisne varijable daje ukupni diferencijal. Za funkciju dvije nezavisne varijable, ukupni diferencijal je izražen jednakošću

(7)

Primjer 9. Pronađite potpuni diferencijal funkcije

Rješenje. Rezultat korištenja formule (7):

Za funkciju koja ima totalni diferencijal u svakoj tački određene domene kaže se da je diferencijabilna u toj domeni.

Sami pronađite ukupni diferencijal, a zatim pogledajte rješenje

Kao iu slučaju funkcije jedne varijable, diferencijabilnost funkcije u određenom domenu implicira njen kontinuitet u ovoj domeni, ali ne i obrnuto.

Formulirajmo bez dokaza dovoljan uslov za diferencijabilnost funkcije.

Teorema. Ako je funkcija z= f(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode

u datom regionu, onda je on diferencibilan u ovom regionu i njegov diferencijal se izražava formulom (7).

Može se pokazati da je, baš kao što je u slučaju funkcije jedne varijable, diferencijal funkcije glavni linearni dio prirasta funkcije, tako je i u slučaju funkcije više varijabli ukupni diferencijal glavni, linearan u odnosu na priraštaje nezavisnih varijabli, dio ukupnog prirasta funkcije.

Za funkciju od dvije varijable, ukupni prirast funkcije ima oblik

(8)

gdje su α i β beskonačno male na i .

Parcijalni derivati ​​višeg reda

Parcijalne derivacije i funkcije f(x, y) sami su neke funkcije istih varijabli i, zauzvrat, mogu imati derivate u odnosu na različite varijable, koje se nazivaju parcijalni derivati ​​višeg reda.

Neka je funkcija data. Budući da su x i y nezavisne varijable, jedna od njih se može mijenjati dok druga zadržava svoju vrijednost. Hajde da damo nezavisnoj promenljivoj x prirast dok vrednost y ostane nepromenjena. Tada će z dobiti inkrement, koji se naziva djelimično povećanje z u odnosu na x i označava se . Dakle, .

Slično, dobijamo parcijalni prirast z preko y: .

Ukupni prirast funkcije z određen je jednakošću .

Ako postoji granica, onda se naziva parcijalni izvod funkcije u tački u odnosu na varijablu x i označava se jednim od simbola:

.

Parcijalne derivacije u odnosu na x u tački obično se označavaju simbolima .

Parcijalni izvod u odnosu na varijablu y je definiran i označen na sličan način:

Dakle, parcijalni izvod funkcije nekoliko (dvije, tri ili više) varijabli definira se kao izvod funkcije jedne od ovih varijabli, pod uvjetom da su vrijednosti preostalih nezavisnih varijabli konstantne. Stoga se parcijalni izvod funkcije pronalazi pomoću formula i pravila za izračunavanje izvoda funkcije jedne varijable (u ovom slučaju, x ili y se smatraju konstantnom vrijednošću, respektivno).

Parcijalni derivati ​​se nazivaju parcijalni derivati ​​prvog reda. One se mogu smatrati funkcijama . Ove funkcije mogu imati parcijalne izvode, koje se nazivaju parcijalne derivacije drugog reda. Oni su definirani i označeni na sljedeći način:

; ;

; .

Diferencijali 1. i 2. reda funkcije dvije varijable.

Ukupni diferencijal funkcije (formula 2.5) naziva se diferencijal prvog reda.

Formula za izračunavanje ukupnog diferencijala je sljedeća:

(2.5) ili , gdje ,

parcijalni diferencijali funkcije.

Neka funkcija ima kontinuirane parcijalne izvode drugog reda. Diferencijal drugog reda određuje se formulom. Hajde da ga pronađemo:

Odavde: . Simbolično je napisano ovako:

.

NEODREĐENI INTEGRAL.

Antiderivat funkcije, neodređeni integral, svojstva.

Poziva se funkcija F(x). antiderivativ za datu funkciju f(x), ako je F"(x)=f(x), ili, što je isto, ako je dF(x)=f(x)dx.

Teorema. Ako funkcija f(x), definirana u nekom intervalu (X) konačne ili beskonačne dužine, ima jedan antiderivat, F(x), tada ima i beskonačno mnogo antiderivata; svi su sadržani u izrazu F(x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta.

Skup svih antiderivata za datu funkciju f(x), definisanu u određenom intervalu ili na segmentu konačne ili beskonačne dužine, naziva se neodređeni integral iz funkcije f(x) [ili iz izraza f(x)dx ] i označava se simbolom .

Ako je F(x) jedan od antiderivata za f(x), onda prema teoremi o antiderivatu

, gdje je C proizvoljna konstanta.

Po definiciji antiderivata, F"(x)=f(x) i, prema tome, dF(x)=f(x) dx. U formuli (7.1), f(x) se naziva integrand funkcija, a f( x) dx se naziva integrand izraz.

Razmotrimo funkciju dvije varijable:

Pošto su varijable $x$ i $y$ nezavisne, za takvu funkciju možemo uvesti koncept parcijalnog izvoda:

Parcijalni izvod funkcije $f$ u tački $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ u odnosu na varijablu $x$ je granica

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \desno))(\Delta x)\]

Slično, možete definirati parcijalni izvod u odnosu na varijablu $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \desno))(\Delta y)\]

Drugim riječima, da biste pronašli parcijalni izvod funkcije nekoliko varijabli, morate popraviti sve ostale varijable osim željene, a zatim pronaći običan izvod u odnosu na tu željenu varijablu.

Ovo vodi do glavne tehnike za izračunavanje takvih izvoda: jednostavno pretpostavite da su sve varijable osim ove konstante, a zatim diferencirajte funkciju kao što biste razlikovali „običnu“ - s jednom varijablom. Na primjer:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prosti ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Očigledno, parcijalni derivati ​​u odnosu na različite varijable daju različite odgovore - to je normalno. Mnogo je važnije razumjeti zašto smo, recimo, u prvom slučaju mirno uklonili $10y$ ispod predznaka derivacije, a u drugom slučaju potpuno nula prvi član. Sve se to događa zbog činjenice da se sva slova, osim varijable po kojoj se provodi diferencijacija, smatraju konstantama: mogu se izvaditi, "spaliti" itd.

Šta je "djelimični derivat"?

Danas ćemo govoriti o funkcijama nekoliko varijabli i njihovih parcijalnih izvoda. Prvo, koja je funkcija nekoliko varijabli? Do sada smo navikli da funkciju posmatramo kao $y\left(x \right)$ ili $t\left(x \right)$, ili bilo koju promenljivu i jednu njenu funkciju. Sada ćemo imati jednu funkciju, ali nekoliko varijabli. Kako se $y$ i $x$ mijenjaju, vrijednost funkcije će se promijeniti. Na primjer, ako se $x$ udvostruči, vrijednost funkcije će se promijeniti, a ako se promijeni $x$, ali se $y$ ne promijeni, vrijednost funkcije će se promijeniti na isti način.

Naravno, funkcija više varijabli, baš kao i funkcija jedne varijable, može se diferencirati. Međutim, budući da postoji nekoliko varijabli, moguće je razlikovati prema različitim varijablama. U ovom slučaju nastaju specifična pravila koja nisu postojala pri diferenciranju jedne varijable.

Prije svega, kada izračunavamo izvod funkcije iz bilo koje varijable, od nas se traži da naznačimo za koju varijablu izračunavamo izvod - to se zove parcijalni izvod. Na primjer, imamo funkciju od dvije varijable, i možemo je izračunati i u $x$ i u $y$ - dvije parcijalne derivacije za svaku od varijabli.

Drugo, čim fiksiramo jednu od varijabli i počnemo računati parcijalni izvod u odnosu na nju, tada se sve ostale uključene u ovu funkciju smatraju konstantama. Na primjer, u $z\left(xy \right)$, ako uzmemo u obzir parcijalni izvod u odnosu na $x$, onda gdje god naiđemo na $y$, smatramo je konstantom i tretiramo je kao takvu. Konkretno, kada računamo derivaciju proizvoda, možemo izvaditi $y$ iz zagrada (imamo konstantu), a kada računamo derivaciju sume, ako negdje dobijemo izvod izraza koji sadrži $y$ i ne sadrži $x$, onda će izvod ovog izraza biti jednak "nuli" kao izvod konstante.

Na prvi pogled može izgledati da govorim o nečemu komplikovanom, a mnogi studenti su u početku zbunjeni. Međutim, u parcijalnim derivatima nema ničeg natprirodnog, a sada ćemo to vidjeti na primjeru konkretnih problema.

Problemi s radikalima i polinomima

Zadatak br. 1

Da ne bismo gubili vrijeme, krenimo od samog početka sa ozbiljnim primjerima.

Za početak, da vas podsjetim na ovu formulu:

Ovo je standardna vrijednost tabele koju znamo iz standardnog kursa.

U ovom slučaju, izvod $z$ se izračunava na sljedeći način:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Uradimo to ponovo, pošto korijen nije $x$, već neki drugi izraz, u ovom slučaju $\frac(y)(x)$, onda ćemo prvo koristiti standardnu ​​vrijednost tablice, a zatim, pošto je korijen ne $x $, već drugi izraz, moramo pomnožiti našu derivaciju sa još jednom od ovog izraza u odnosu na istu varijablu. Prvo izračunajmo sljedeće:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Vraćamo se našem izrazu i pišemo:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \desno)\]

U suštini, to je sve. Međutim, pogrešno je ostaviti ga u ovom obliku: takvu konstrukciju je nezgodno koristiti za daljnje proračune, pa ćemo je malo transformirati:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Odgovor je pronađen. Sada se pozabavimo $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Zapišimo to posebno:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Sada zapisujemo:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Gotovo.

Problem br. 2

Ovaj primjer je i jednostavniji i složeniji od prethodnog. Složenije je jer ima više radnji, ali je jednostavnije jer nema korijena i, osim toga, funkcija je simetrična u odnosu na $x$ i $y$, tj. ako zamijenimo $x$ i $y$, formula se neće promijeniti. Ova napomena će dodatno pojednostaviti naše izračunavanje parcijalnog izvoda, tj. dovoljno je izbrojati jedan od njih, a u drugom jednostavno zamijeniti $x$ i $y$.

Hajdemo na posao:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \desno ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \desno)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

izbrojimo:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Međutim, mnogi učenici ne razumiju ovu notaciju, pa hajde da je napišemo ovako:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\levo(y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Tako smo se još jednom uvjerili u univerzalnost algoritma parcijalnih izvoda: bez obzira na to kako ih izračunamo, ako se sva pravila pravilno primjenjuju, odgovor će biti isti.

Pogledajmo sada još jedan parcijalni izvod iz naše velike formule:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Zamijenimo rezultirajuće izraze u našu formulu i dobijemo:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ desno)-xy((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \desno))((\ lijevo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \desno))(((\levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2 )))\]

Na osnovu prebrojanih $x$. A da bismo izračunali $y$ iz istog izraza, nemojmo izvoditi isti niz radnji, već iskoristimo simetriju našeg originalnog izraza - jednostavno zamijenimo sve $y$ u našem originalnom izrazu sa $x$ i obrnuto:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \desno))((( \levo(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(2)))\]

Zbog simetrije smo ovaj izraz izračunali mnogo brže.

Nijanse rješenja

Za parcijalne izvode rade sve standardne formule koje koristimo za obične, odnosno izvod količnika. Međutim, istovremeno se javljaju i specifične karakteristike: ako uzmemo u obzir parcijalni izvod od $x$, onda kada ga dobijemo iz $x$, smatramo ga konstantom, pa će stoga njegov izvod biti jednak "nuli" .

Kao iu slučaju običnih derivata, količnik (isti derivat) se može izračunati na nekoliko različitih načina. Na primjer, ista konstrukcija koju smo upravo izračunali može se prepisati na sljedeći način:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

U isto vrijeme, s druge strane, možete koristiti formulu iz zbira izvedenice. Kao što znamo, jednak je zbiru derivacija. Na primjer, napišimo sljedeće:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \desno))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Sada, znajući sve ovo, pokušajmo raditi s ozbiljnijim izrazima, jer stvarne parcijalne derivacije nisu ograničene samo na polinome i korijene: tu su i trigonometrija, i logaritmi, i eksponencijalna funkcija. Hajde sada da uradimo ovo.

Zadaci sa trigonometrijskim funkcijama i logaritmima

Zadatak br. 1

Napišimo sljedeće standardne formule:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Naoružani ovim znanjem, pokušajmo riješiti:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Napišimo jednu varijablu posebno:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Vratimo se našem dizajnu:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

To je to, našli smo to za $x$, sada uradimo proračune za $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \desno))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Opet, izračunajmo jedan izraz:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \desno)\]

Vraćamo se na izvorni izraz i nastavljamo rješenje:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Gotovo.

Problem br. 2

Zapišimo formulu koja nam je potrebna:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Sada računajmo po $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Pronađeno za $x$. Računamo po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problem je riješen.

Nijanse rješenja

Dakle, bez obzira za koju funkciju uzmemo parcijalni izvod, pravila ostaju ista, bez obzira da li radimo s trigonometrijom, s korijenima ili s logaritmima.

Klasična pravila rada sa standardnim derivatima ostaju nepromijenjena, a to su derivacija zbira i razlike, količnik i kompleksna funkcija.

Posljednja formula se najčešće nalazi pri rješavanju zadataka s parcijalnim derivatima. Susrećemo ih skoro svuda. Nije bilo ni jednog zadatka u kojem nismo naišli. Ali bez obzira koju formulu koristimo, ostaje nam dodan još jedan zahtjev, a to je posebnost rada s parcijalnim derivatima. Kada popravimo jednu varijablu, sve ostale su konstante. Konkretno, ako uzmemo u obzir parcijalni izvod izraza $\cos \frac(x)(y)$ u odnosu na $y$, onda je $y$ varijabla, a $x$ ostaje konstantan svuda. Ista stvar funkcionira i obrnuto. Može se izvaditi iz predznaka derivacije, a derivacija same konstante će biti jednaka „nuli“.

Sve to dovodi do činjenice da parcijalni derivati ​​istog izraza, ali s obzirom na različite varijable, mogu izgledati potpuno drugačije. Na primjer, pogledajmo sljedeće izraze:

\[((\left(x+\ln y \desno))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problemi s eksponencijalnim funkcijama i logaritmima

Zadatak br. 1

Za početak, napišimo sljedeću formulu:

\[((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Poznavajući ovu činjenicu, kao i derivaciju kompleksne funkcije, pokušajmo da izračunamo. Sada ću to riješiti na dva različita načina. Prvi i najočitiji je derivat proizvoda:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\lijevo(\frac(x)(y) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Odvojeno riješimo sljedeći izraz:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Vraćamo se našem originalnom dizajnu i nastavljamo s rješenjem:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\desno)\]

Sve, $x$ je izračunato.

Međutim, kao što sam obećao, sada ćemo pokušati da izračunamo ovaj isti parcijalni izvod na drugačiji način. Da biste to učinili, obratite pažnju na sljedeće:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Hajde da to napišemo ovako:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \desno)\]

Kao rezultat toga, dobili smo potpuno isti odgovor, ali se pokazalo da je količina proračuna manja. Da biste to učinili, bilo je dovoljno napomenuti da se prilikom izvođenja proizvoda mogu dodati indikatori.

Sada brojimo po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \desno) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Rešimo jedan izraz posebno:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Nastavimo rješavati našu originalnu konstrukciju:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Naravno, ovaj isti izvod bi se mogao izračunati i na drugi način, a odgovor bi bio isti.

Problem br. 2

Računajmo po $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

Izračunajmo jedan izraz posebno:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Nastavimo rješavati originalnu konstrukciju: $$

Ovo je odgovor.

Ostaje pronaći analogijom koristeći $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \desno)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \desno) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

Kao i uvijek, izračunavamo jedan izraz posebno:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Nastavljamo sa rješavanjem osnovnog dizajna:

Sve je proračunato. Kao što vidite, u zavisnosti od toga koja se varijabla uzima za diferencijaciju, odgovori su potpuno različiti.

Nijanse rješenja

Evo upečatljivog primjera kako se izvod iste funkcije može izračunati na dva različita načina. Pogledati ovdje:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\levo(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ lijevo (1+\frac(1)(y) \desno)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \desno)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \desno)\ ]

Prilikom odabira različitih staza, količina proračuna može biti različita, ali će odgovor, ako je sve urađeno ispravno, biti isti. Ovo se odnosi i na klasične i na parcijalne derivate. Pritom vas još jednom podsjećam: u zavisnosti od koje se varijable uzima derivat, tj. diferencijacije, odgovor može biti potpuno drugačiji. pogledajte:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \desno))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

U zaključku, da bismo konsolidirali sav ovaj materijal, pokušajmo izračunati još dva primjera.

Zadaci sa trigonometrijskim funkcijama i funkcijama sa tri varijable

Zadatak br. 1

Zapišimo sljedeće formule:

\[((\left(((a)^(x)) \desno))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \desno))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Hajde sada da rešimo naš izraz:

\[(((z)")_(x))=((\left((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Zasebno izračunajmo sljedeću konstrukciju:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Nastavljamo rješavati originalni izraz:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Ovo je konačni odgovor privatne varijable na $x$. Sada brojimo po $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Rešimo jedan izraz posebno:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ lijevo(\sin y \desno))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Rešimo našu konstrukciju do kraja:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Problem br. 2

Na prvi pogled ovaj primjer može izgledati prilično kompliciran jer postoje tri varijable. Zapravo, ovo je jedan od najlakših zadataka u današnjem video tutorijalu.

Pronađi po $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \desno))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \desno))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \desno))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Sada se pozabavimo $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \desno))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \desno))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \desno))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Našli smo odgovor.

Sada sve što ostaje je pronaći po $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \desno))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \desno))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Izračunali smo treću derivaciju, koja upotpunjuje rješenje drugog problema.

Nijanse rješenja

Kao što vidite, u ova dva primjera nema ništa komplikovano. Jedino u šta smo uvjereni je da se izvod kompleksne funkcije često koristi i ovisno o tome koji parcijalni izvod izračunavamo, dobijamo različite odgovore.

U posljednjem zadatku od nas je zatraženo da se bavimo funkcijom od tri varijable odjednom. U tome nema ništa loše, ali na samom kraju smo se uvjerili da se svi bitno razlikuju jedni od drugih.

Ključne točke

Konačni zaključci iz današnjeg video tutorijala su sljedeći:

1. Parcijalni izvod se izračunava na isti način kao i obični, ali da bismo izračunali parcijalni izvod u odnosu na jednu varijablu, sve ostale varijable uključene u ovu funkciju uzimamo kao konstante.
2. U radu sa parcijalnim izvodima koristimo iste standardne formule kao i sa običnim derivatima: zbir, razliku, izvod proizvoda i količnika i, naravno, izvod kompleksne funkcije.

Naravno, samo gledanje ove video lekcije nije dovoljno za potpuno razumijevanje ove teme, tako da trenutno na mojoj web stranici postoji skup problema za ovaj video posebno posvećen današnjoj temi - uđite, preuzmite, riješite ove probleme i provjerite odgovor . I nakon ovoga nećete imati problema s parcijalnim izvedenicama ni na ispitima ni u samostalnom radu. Naravno, ovo nije posljednja lekcija iz više matematike, pa posjetite našu web stranicu, dodajte VKontakte, pretplatite se na YouTube, lajkujte i ostanite s nama!

Parcijalni derivati ​​se koriste u problemima koji uključuju funkcije nekoliko varijabli. Pravila za pronalaženje su potpuno ista kao i za funkcije jedne varijable, s jedinom razlikom što se jedna od varijabli mora smatrati konstantom (konstantnim brojem) u trenutku diferencijacije.

Formula

Parcijalni derivati ​​za funkciju dvije varijable $ z(x,y) $ zapisuju se u sljedećem obliku $ z"_x, z"_y $ i nalaze se pomoću formula:

Parcijalni derivati ​​prvog reda

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Parcijalni derivati ​​drugog reda

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Mješoviti derivat

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Parcijalni izvod kompleksne funkcije

a) Neka je $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, tada je derivacija kompleksne funkcije određena formulom:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Neka je $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, tada se parcijalni izvod funkcije nalaze po formuli:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Parcijalni derivati ​​implicitne funkcije

a) Neka je $ F(x,y(x)) = 0 $, tada je $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Neka je $ F(x,y,z)=0 $, tada je $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Primjeri rješenja

Primjer 1

Pronađite parcijalne izvode prvog reda $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Rješenje

Da bismo pronašli parcijalni izvod u odnosu na $ x $, smatraćemo da je $ y $ konstantna vrijednost (broj): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Da bismo pronašli parcijalni izvod funkcije u odnosu na $y$, definiramo $y$ pomoću konstante: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ako ne možete riješiti svoj problem, pošaljite nam ga. Mi ćemo dati detaljno rješenje. Moći ćete vidjeti napredak izračunavanja i dobiti informacije. Ovo će vam pomoći da blagovremeno dobijete ocjenu od svog nastavnika!

Odgovori

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Primjer 2

Naći parcijalne izvode funkcije drugog reda $ z = e^(xy) $

Rješenje

Prvo morate pronaći prve izvode, a zatim poznavajući ih možete pronaći derivate drugog reda. Neka je $y$ konstanta: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Postavimo sada $ x $ da bude konstantna vrijednost: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Poznavajući prve derivate, na sličan način nalazimo i drugu. Postavite $y$ na konstantu: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $ postavljamo na konstantu: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Sada ostaje samo pronaći mješoviti izvod. Možete razlikovati $ z"_x $ po $ y $, a možete razlikovati $ z"_y $ po $ x $, jer prema teoremi $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Odgovori

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Primjer 4

Neka $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definiše implicitnu funkciju $ F(x,y,z) = 0 $. Pronađite parcijalne izvode prvog reda.

Rješenje

Zapisujemo funkciju u formatu: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ i nalazimo izvode: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Odgovori

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Razmatraju se primjeri izračunavanja derivata eksplicitnih funkcija višeg reda. Date su korisne formule za izračunavanje izvoda n-tog reda.

Sadržaj

Određivanje derivata višeg reda

Ovdje razmatramo slučaj kada varijabla y eksplicitno zavisi od varijable x:
.
Diferencirajući funkciju u odnosu na varijablu x, dobijamo izvod prvog reda, ili jednostavno izvod:
.
Kao rezultat, dobijamo novu funkciju, koja je derivat funkcije. Diferencirajući ovu novu funkciju u odnosu na varijablu x, dobijamo izvod drugog reda:
.
Diferencirajući funkciju, dobijamo izvod trećeg reda:
.
I tako dalje. Diferencirajući originalnu funkciju n puta, dobijamo izvod n-tog reda ili n-ti izvod:
.

Derivati ​​se mogu označiti potezi, rimski brojevi, arapski brojevi u zagradama ili razlomci iz diferencijala. Na primjer, derivati ​​trećeg i četvrtog reda mogu se označiti na sljedeći način:
;
.

Ispod su formule koje mogu biti korisne u izračunavanju derivata višeg reda.

Korisne formule za derivate n-tog reda

Derivati ​​nekih elementarnih funkcija:
;
;
;
;
.

Derivat zbira funkcija:
,
gdje su konstante.

Leibnizova formula derivacija proizvoda dviju funkcija:
,
Gdje
- binomni koeficijenti.

Primjer 1

Pronađite izvode prvog i drugog reda sljedeće funkcije:
.

Nalazimo izvod prvog reda. Konstantu uzimamo izvan znaka derivacije i primjenjujemo formulu iz tablice derivacija:
.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije složenih funkcija:
.
Evo.
Primjenjujemo pravilo diferencijacije kompleksne funkcije i koristimo pronađene derivacije:
.
Evo.

.
Da bismo pronašli izvod drugog reda, moramo pronaći izvod izvoda prvog reda, odnosno funkcije:
.
Kako bismo izbjegli zabunu s notacijom, označimo ovu funkciju slovom:
(A1.1) .
Onda derivat drugog reda iz originalne funkcije je derivacija funkcije:
.

Pronalaženje derivacije funkcije. To je lakše učiniti koristeći logaritamski izvod. Logaritizirajmo (A1.1):
.
Sada da razlikujemo:
(A1.2) .
Ali to je konstantno. Njegov izvod je nula. Već smo pronašli derivat od. Preostale izvode pronalazimo koristeći pravilo diferencijacije kompleksne funkcije.
;
;
.
Zamjenjujemo u (A1.2):

.
Odavde
.

;
.

Primjer 2

Pronađite izvod trećeg reda:
.

Pronalaženje izvoda prvog reda. Da bismo to učinili, uzimamo konstantu izvan predznaka derivacije i koristimo tabela derivata i prijavite se pravilo za pronalaženje derivacije kompleksne funkcije .

.
Evo.
Dakle, pronašli smo izvod prvog reda:
.

Pronalaženje izvoda drugog reda. Da bismo to učinili, nalazimo derivaciju od . Primjenjujemo formulu derivacije razlomka.
.
Izvod drugog reda:
.

Sada nalazimo ono što tražimo derivat trećeg reda. Da bismo to učinili, razlikujemo.
;
;

.

Izvod trećeg reda je jednak
.

Primjer 3

Pronađite izvod šestog reda sljedeće funkcije:
.

Ako otvorite zagrade, bit će jasno da je originalna funkcija polinom stepena . Zapišimo to kao polinom:
,
gdje su konstantni koeficijenti.

Zatim primjenjujemo formulu za n-ti izvod funkcije stepena:
.
Za izvod šestog reda (n = 6 ) imamo:
.
Iz ovoga je jasno da na . kada imamo:
.

Koristimo formulu za derivaciju sume funkcija:

.
Dakle, da bismo pronašli izvod šestog reda originalne funkcije, potrebno je samo pronaći koeficijent polinoma na najvišem stupnju. Nalazimo ga množenjem najviših potencija u umnošku sume originalne funkcije:

.
Odavde. Onda
.

Primjer 4

Naći n-ti izvod funkcije
.

Rješenje >>>

Primjer 5

Pronađite n-tu derivaciju sljedeće funkcije:
,
gdje i su konstante.

U ovom primjeru, zgodno je izvršiti proračune koristeći kompleksne brojeve. Hajde da imamo neku složenu funkciju
(A5.1) ,
gdje su i funkcije realne varijable x;
- imaginarna jedinica, .
Diferencirajući (A.1) n puta, imamo:
(A5.2) .
Ponekad je lakše pronaći n-ti izvod funkcije. Tada su n-ti izvod funkcije definirani kao realni i imaginarni dijelovi n-te derivacije:
;
.

Koristimo ovu tehniku ​​da riješimo naš primjer. Razmotrite funkciju
.
Ovdje smo primijenili Ojlerovu formulu
,
i uveo oznaku
.
Tada je n-ti izvod originalne funkcije određen formulom:
.

Nađimo n-ti izvod funkcije
.
Da bismo to učinili, primjenjujemo formulu:
.
U našem slučaju
.
Onda
.

Dakle, pronašli smo n-ti izvod kompleksne funkcije:
,
Gdje .
Nađimo pravi dio funkcije.
Da bismo to učinili, predstavljamo kompleksni broj u eksponencijalnom obliku:
,
Gdje ;
; .
Onda
;

.

Primjer rješenja
.

Neka , .
Onda ;
.
u ,
,
,
.
I dobijamo formulu za n-tu derivaciju kosinusa:
.

,
Gdje
; .