அறிமுக மேலோட்டப் பகுதி இரண்டைப் பற்றி விவாதிக்கிறது எளிய உதாரணங்கள்(Shumway, 1988 இலிருந்து எடுக்கப்பட்டது) நிறமாலை பகுப்பாய்வு மற்றும் முடிவுகளின் விளக்கத்தின் தன்மையை விளக்குகிறது. இந்த முறை உங்களுக்குத் தெரியாவிட்டால், முதலில் இந்த அத்தியாயத்தின் இந்தப் பகுதியைப் பார்க்க பரிந்துரைக்கப்படுகிறது.

மதிப்பாய்வு மற்றும் தரவு கோப்பு. Sunspot.sta கோப்பு 1749 முதல் 1924 வரை அறியப்பட்ட சூரிய புள்ளி எண்களின் (வூல்ஃபர்) ஒரு பகுதியைக் கொண்டுள்ளது (ஆண்டர்சன், 1971). எடுத்துக்காட்டு கோப்பிலிருந்து முதல் சில தரவுகளின் பட்டியல் கீழே உள்ளது.

சூரிய புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை பூமியின் வானிலையையும், விவசாயம், தொலைத்தொடர்பு போன்றவற்றையும் பாதிக்கிறது என்று கருதப்படுகிறது. இந்த பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்தி, சூரிய புள்ளியின் செயல்பாடு உண்மையிலேயே சுழற்சி முறையில் உள்ளதா என்பதைக் கண்டறிய முயற்சி செய்யலாம் (உண்மையில், இது; இந்தத் தரவு இலக்கியத்தில் பரவலாக விவாதிக்கப்படுகிறது; எடுத்துக்காட்டாக, ப்ளூம்ஃபீல்ட், 1976, அல்லது ஷம்வே, 1988 பார்க்கவும்).

பகுப்பாய்வு வரையறை. பகுப்பாய்வை இயக்கிய பிறகு, Sunspot.sta தரவுக் கோப்பைத் திறக்கவும். மாறிகள் பொத்தானைக் கிளிக் செய்து, ஸ்பாட்ஸ் மாறியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும் (Sunspot.sta தரவுக் கோப்பு தற்போதையதாக இருந்தால் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும் திறந்த கோப்புதரவு, மற்றும் ஸ்பாட்ஸ் மாறி இந்த கோப்பில் உள்ள ஒரே மாறி, பின்னர் நேரத் தொடர் பகுப்பாய்வு உரையாடல் பெட்டி திறக்கும் போது, ​​புள்ளிகள் தானாகவே தேர்ந்தெடுக்கப்படும்). இப்போது ஃபோரியர் (ஸ்பெக்ட்ரல்) பகுப்பாய்வு உரையாடல் பெட்டியைத் திறக்க ஃபோரியர் (ஸ்பெக்ட்ரல்) பகுப்பாய்வு பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும்.

ஸ்பெக்ட்ரல் பகுப்பாய்வைப் பயன்படுத்துவதற்கு முன், முதலில் சூரிய புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைத் திட்டமிடுங்கள். Sunspot.sta கோப்பில் தொடர்புடைய வருடங்கள் கண்காணிப்புப் பெயர்களாக உள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். இந்தப் பெயர்களைப் பயன்படுத்த வரி வரைபடங்கள், காட்சித் தொடர் தாவலைக் கிளிக் செய்து, மார்க் புள்ளிகள் பிரிவில் வழக்குப் பெயர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். மேலும், Set X-axis scale ஐ கைமுறையாக மற்றும் Min என்பதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். = 1, மற்றும் படி = 10. பிறகு View Selection பொத்தானுக்கு அடுத்துள்ள வரைபடம் பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும். மாறி.

சூரிய புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை ஒரு சுழற்சி முறையைப் பின்பற்றுகிறது. போக்கு தெரியவில்லை, எனவே ஸ்பெக்ட்ரல் அனாலிசிஸ் சாளரத்திற்குத் திரும்பி, டிரான்ஸ்ஃபார்ம் அசல் தொடர் குழுவில் நீக்கு நேரியல் போக்கு விருப்பத்தைத் தேர்வுநீக்கவும்.

தொடரின் சராசரி 0 (பூஜ்ஜியம்) ஐ விட அதிகமாக உள்ளது என்பது வெளிப்படையானது. எனவே, கழித்தல் சராசரி விருப்பத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து விடுங்கள் [இல்லையெனில் பீரியடோகிராம் அதிர்வெண் 0 (பூஜ்ஜியம்) இல் மிகப் பெரிய உச்சத்துடன் “அடைக்கப்பட்டிருக்கும்”].

இப்போது நீங்கள் பகுப்பாய்வைத் தொடங்கத் தயாராக உள்ளீர்கள். ஃபோரியர் ஸ்பெக்ட்ரல் அனாலிசிஸ் முடிவுகள் உரையாடல் பெட்டியைக் காட்ட இப்போது சரி (ஒரு பரிமாண ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு) என்பதைக் கிளிக் செய்யவும்.

முடிவுகளைக் காண்க. உரையாடல் பெட்டியின் மேலே உள்ள தகவல் பகுதி தொடருக்கான சில சுருக்கமான புள்ளிவிவரங்களைக் காட்டுகிறது. இது பீரியடோகிராமில் (அதிர்வெண் மூலம்) ஐந்து பெரிய சிகரங்களையும் காட்டுகிறது. மூன்று பெரிய சிகரங்கள் 0.0852, 0.0909 மற்றும் 0.0114 அதிர்வெண்களில் உள்ளன. ஒரு வரைபடத்தில் எளிதில் திட்டமிடப்படாத மிகப் பெரிய தொடர்களை (உதாரணமாக, 100,000 க்கும் மேற்பட்ட அவதானிப்புகளுடன்) பகுப்பாய்வு செய்யும் போது இந்தத் தகவல் பெரும்பாலும் பயனுள்ளதாக இருக்கும். இருப்பினும், இந்த விஷயத்தில், பீரியடோகிராம் மதிப்புகளைப் பார்ப்பது எளிது; பெரியோடோகிராம் மற்றும் ஸ்பெக்ட்ரல் அடர்த்தி வரைபடங்கள் பிரிவில் உள்ள பெரியோடோகிராம் பொத்தானைக் கிளிக் செய்வதன் மூலம்.

பீரியடோகிராம் வரைபடம் இரண்டு தெளிவான சிகரங்களைக் காட்டுகிறது. அதிகபட்சம் தோராயமாக 0.9 அதிர்வெண்ணில் உள்ளது. ஸ்பெக்ட்ரல் பகுப்பாய்வு முடிவுகள் சாளரத்திற்குத் திரும்பி, முடிவு அட்டவணையில் உள்ள அனைத்து பீரியடோகிராம் மதிப்புகளையும் (மற்றும் பிற முடிவுகளையும்) காண சுருக்கம் பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும். பீரியடோகிராமில் இருந்து அடையாளம் காணப்பட்ட மிகப்பெரிய உச்சநிலையுடன் முடிவுகள் அட்டவணையின் ஒரு பகுதி கீழே உள்ளது.

அறிமுக மதிப்பாய்வு பிரிவில் விவாதிக்கப்பட்டபடி, அதிர்வெண் என்பது ஒரு யூனிட் நேரத்திற்கு சுழற்சிகளின் எண்ணிக்கை (ஒவ்வொரு கவனிப்பும் ஒரு யூனிட் நேரமாகும்). எனவே, அதிர்வெண் 0.0909 என்பது 11 காலகட்டங்களின் மதிப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது (ஒரு முழுமையான சுழற்சிக்குத் தேவையான நேர அலகுகளின் எண்ணிக்கை). Sunspot.sta இல் உள்ள சூரிய புள்ளி தரவு வருடாந்திர அவதானிப்புகளை பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவதால், சூரிய புள்ளி செயல்பாட்டில் ஒரு தனித்துவமான 11 ஆண்டு (ஒருவேளை 11 வருடத்தை விட சற்று நீளமானது) சுழற்சி இருப்பதாக முடிவு செய்யலாம்.

நிறமாலை அடர்த்தி. பொதுவாக, நிறமாலை அடர்த்தி மதிப்பீடுகளைக் கணக்கிட, சீரற்ற ஏற்ற இறக்கங்களை அகற்ற பீரியடோகிராம் மென்மையாக்கப்படுகிறது. எடையுள்ள நகரும் சராசரி வகை மற்றும் சாளர அகலத்தை ஸ்பெக்ட்ரல் ஜன்னல்கள் பிரிவில் தேர்ந்தெடுக்கலாம். அறிமுக மேலோட்டப் பகுதி இந்த விருப்பங்களை விரிவாக விவாதிக்கிறது. எங்கள் உதாரணத்திற்கு, இயல்புநிலை சாளரத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து விட்டு (ஹம்மிங் அகலம் 5) மற்றும் ஸ்பெக்ட்ரல் அடர்த்தி வரைபடத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

இரண்டு சிகரங்களும் இப்போது இன்னும் தெளிவாக உள்ளன. காலத்தின் அடிப்படையில் பீரியடோகிராம் மதிப்புகளைப் பார்ப்போம். அட்டவணைப் பிரிவில் காலம் புலத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். இப்போது நிறமாலை அடர்த்தி வரைபடத்தைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

சூரிய புள்ளி செயல்பாட்டில் உச்சரிக்கப்படும் 11 ஆண்டு சுழற்சி இருப்பதை மீண்டும் காணலாம்; மேலும், நீண்ட, தோராயமாக 80-90 ஆண்டு சுழற்சி இருப்பதற்கான அறிகுறிகள் உள்ளன.

ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் மற்றும் கிளாசிக்கல் டிஜிட்டல் ஸ்பெக்ட்ரல் அனாலிசிஸ்.
மெட்வெடேவ் S.Yu., Ph.D.

அறிமுகம்

ஸ்பெக்ட்ரல் பகுப்பாய்வு என்பது சமிக்ஞை செயலாக்க முறைகளில் ஒன்றாகும், இது அளவிடப்பட்ட சமிக்ஞையின் அதிர்வெண் கலவையை வகைப்படுத்த உங்களை அனுமதிக்கிறது. ஃபோரியர் உருமாற்றம் என்பது ஒரு கணித கட்டமைப்பாகும், இது ஒரு தற்காலிக அல்லது இடஞ்சார்ந்த சமிக்ஞையை (அல்லது அந்த சமிக்ஞையின் சில மாதிரி) அதிர்வெண் டொமைன் பிரதிநிதித்துவத்துடன் தொடர்புபடுத்துகிறது. ஸ்பெக்ட்ரல் பகுப்பாய்வில் புள்ளிவிவர முறைகள் முக்கிய பங்கு வகிக்கின்றன, ஏனெனில் சமிக்ஞைகள், ஒரு விதியாக, பரவல் அல்லது அளவீட்டின் போது சீரற்ற அல்லது சத்தமாக இருக்கும். ஒரு சமிக்ஞையின் அடிப்படை புள்ளியியல் பண்புகள் துல்லியமாக அறியப்பட்டிருந்தால் அல்லது இந்த சமிக்ஞையின் வரையறுக்கப்பட்ட இடைவெளியில் இருந்து அவை தீர்மானிக்கப்பட்டால், நிறமாலை பகுப்பாய்வு "சரியான அறிவியலின்" ஒரு பிரிவைக் குறிக்கும். இருப்பினும், உண்மையில், ஒரு சிக்னல் பிரிவில் இருந்து அதன் ஸ்பெக்ட்ரம் மதிப்பீட்டை மட்டுமே பெற முடியும். எனவே, ஸ்பெக்ட்ரல் பகுப்பாய்வின் நடைமுறை என்பது அகநிலை இயல்புடைய ஒரு வகையான கைவினை (அல்லது கலை?) ஆகும். வெவ்வேறு முறைகள் மூலம் ஒரே சமிக்ஞை பிரிவை செயலாக்குவதன் விளைவாக பெறப்பட்ட நிறமாலை மதிப்பீடுகளுக்கு இடையிலான வேறுபாட்டை தரவு தொடர்பான அனுமானங்களில் உள்ள வேறுபாட்டால் விளக்கலாம், வெவ்வேறு வழிகளில்சராசரி, முதலியன சிக்னல் குணாதிசயங்கள் முன்னோடியாக தெரியவில்லை என்றால், எந்த மதிப்பீடு சிறந்தது என்று சொல்ல முடியாது.

ஃபோரியர் உருமாற்றம் - நிறமாலை பகுப்பாய்வின் கணித அடிப்படை
பல்வேறு வகையான ஃபோரியர் உருமாற்றம் பற்றி சுருக்கமாக விவாதிப்போம் (மேலும் விவரங்களுக்கு, பார்க்கவும்).
நேரம்-தொடர்ச்சியான சமிக்ஞையின் ஃபோரியர் மாற்றத்துடன் ஆரம்பிக்கலாம்

, (1)

சில தன்னிச்சையான அலைவு சிதைந்த சிக்கலான சைனூசாய்டுகளின் (அடுக்குகள்) அதிர்வெண்கள் மற்றும் வீச்சுகளை இது அடையாளம் காட்டுகிறது.
தலைகீழ் மாற்றம்

. (2)

நேரடி மற்றும் தலைகீழ் ஃபோரியர் உருமாற்றங்களின் இருப்பு (தொடர்ச்சியான நேர ஃபோரியர் உருமாற்றம் - CTFT என்று அழைப்போம்) பல நிபந்தனைகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. போதுமான - முழுமையான சமிக்ஞை ஒருங்கிணைப்பு

. (3)

குறைவான கட்டுப்பாடான போதுமான நிபந்தனை சமிக்ஞை ஆற்றலின் இறுதித்தன்மை ஆகும்

. (4)

ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் பல அடிப்படை பண்புகள் மற்றும் கீழே பயன்படுத்தப்படும் செயல்பாடுகளை முன்வைப்போம், ஒரு செவ்வக சாளரம் வெளிப்பாடு மூலம் வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதைக் குறிப்பிடுகிறோம்.

(5)

மற்றும் sinc செயல்பாடு வெளிப்பாடு ஆகும்

(6)

நேர டொமைன் மாதிரி செயல்பாடு வழங்கப்பட்டுள்ளது

(7)

இந்த செயல்பாடு சில நேரங்களில் கால தொடர்ச்சி செயல்பாடு என்றும் அழைக்கப்படுகிறது.

அட்டவணை 1. NVPF மற்றும் செயல்பாடுகளின் முக்கிய பண்புகள்

சொத்து, செயல்பாடு	செயல்பாடு	மாற்றம்
நேர்கோட்டுத்தன்மை	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
நேர மாற்றம்	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
அதிர்வெண் மாற்றம் (பண்பேற்றம்)	h (t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
அளவிடுதல்	(1 / |a|)h(t / a)	H(af)
டைம் டொமைன் கன்வல்யூஷன் தேற்றம்	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
அதிர்வெண் டொமைன் கன்வல்யூஷன் தேற்றம்	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
சாளர செயல்பாடு	Aw(t/T)	2ATsinc(2Tf)
சின்க் செயல்பாடு	2AFsinc(2Ft)	Aw(f/F)
துடிப்பு செயல்பாடு	விளம்பரம்(டி)
எண்ணும் செயல்பாடு	T(f)	FF(f), F=1/T

மற்றொரு முக்கியமான சொத்து பார்செவல் தேற்றத்தால் g(t) மற்றும் h(t) ஆகிய இரண்டு செயல்பாடுகளுக்கு நிறுவப்பட்டுள்ளது:

. (8)

நாம் g(t) = h(t) என்று வைத்தால், பார்செவலின் தேற்றம் ஆற்றலுக்கான தேற்றமாகக் குறைகிறது.

. (9)

வெளிப்பாடு (9) என்பது, சாராம்சத்தில், இரண்டு களங்களில் (நேரம் மற்றும் அதிர்வெண்) ஆற்றல் பாதுகாப்பு சட்டத்தின் உருவாக்கம். (9) இல் இடதுபுறத்தில் மொத்த சமிக்ஞை ஆற்றல் உள்ளது, இதனால் செயல்பாடு

(10)

ஒரு உறுதியான சமிக்ஞை h(t)க்கான ஆற்றலின் அதிர்வெண் விநியோகத்தை விவரிக்கிறது, எனவே இது நிறமாலை ஆற்றல் அடர்த்தி (SED) என அழைக்கப்படுகிறது. வெளிப்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல்

(11)

சமிக்ஞை h(t) இன் அலைவீச்சு மற்றும் கட்ட நிறமாலையை கணக்கிடலாம்.

மாதிரி மற்றும் எடையிடல் செயல்பாடுகள்

அடுத்த பகுதியில், இரண்டு அடிப்படை சமிக்ஞை செயலாக்க செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி தொடர்ச்சியான நேர ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் (CTFT) சிறப்பு நிகழ்வாக தனித்த-நேர ஃபோரியர் தொடர் (DTFS) அல்லது தனித்த ஃபோரியர் மாற்றத்தை (DFT) அறிமுகப்படுத்துவோம் - மாதிரிகளை எடுத்துக்கொள்வது ( மாதிரி) மற்றும் எடையுள்ளஒரு சாளரத்தைப் பயன்படுத்தி. சமிக்ஞை மற்றும் அதன் மாற்றத்தில் இந்த செயல்பாடுகளின் செல்வாக்கை இங்கே நாம் கருதுகிறோம். அட்டவணை 2 எடையிடல் மற்றும் மாதிரியை செய்யும் செயல்பாடுகளை பட்டியலிடுகிறது.

T வினாடிகளின் இடைவெளியுடன் சீரான அளவீடுகளுக்கு, மாதிரி அதிர்வெண் F 1/T Hz க்கு சமமாக இருக்கும். டைம் டொமைனில் வெயிட்டிங் செயல்பாடு மற்றும் மாதிரி செயல்பாடு ஆகியவை முறையே TW (டைம் விண்டோயிங்) மற்றும் TS (நேர மாதிரி) மற்றும் அதிர்வெண் களத்தில் - FW (அதிர்வெண் விண்டோயிங்) மற்றும் FS (அதிர்வெண் மாதிரி) என குறிப்பிடப்பட்டுள்ளன.

அட்டவணை 2. எடை மற்றும் மாதிரி செயல்பாடுகள்

ஆபரேஷன்	நேர செயல்பாடு	மாற்றம்
நேர டொமைன் வெயிட்டிங் (சாளர அகலம் NT நொடி)	TW=w(2t / NT - 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
அதிர்வெண் டொமைன் வெயிட்டிங் (சாளர அகலம் 1/T ஹெர்ட்ஸ்)		FW=w(2Tf)
நேரத்தில் எண்ணுதல் (இடைவெளி T நொடி)	TS=T T(t)
அதிர்வெண் மாதிரி (1/NT ஹெர்ட்ஸ் இடைவெளியில்)

வரையறுக்கப்பட்ட ஸ்பெக்ட்ரம் கொண்ட தொடர்ச்சியான உண்மையான சமிக்ஞை x(t) மாதிரிகள் எடுக்கப்படுகின்றன, அதன் மேல் அதிர்வெண் F0 க்கு சமமாக இருக்கும் என்று வைத்துக்கொள்வோம். உண்மையான சிக்னலின் NVFT என்பது 2F0 முழு அகலத்துடன் எப்போதும் சமச்சீர் செயல்பாடாகும், படம் 1 ஐப் பார்க்கவும்.
இந்த சமிக்ஞையை மாதிரி செயல்பாட்டின் மூலம் பெருக்குவதன் மூலம் x(t) சமிக்ஞையின் மாதிரிகளைப் பெறலாம்:

(12)

படம் 1 - வரையறுக்கப்பட்ட ஸ்பெக்ட்ரம் கொண்ட உண்மையான சமிக்ஞைக்கான நேர களத்தில் உள்ள மாதிரி தேற்றத்தின் விளக்கம்:
a - அசல் நேர செயல்பாடு மற்றும் அதன் ஃபோரியர் மாற்றம்;
b - நேரத்தில் மாதிரிகளின் செயல்பாடு மற்றும் அதன் ஃபோரியர் மாற்றம்;
அசல் செயல்பாட்டின் நேர மாதிரிகள் மற்றும் ஃபோ வழக்கில் அதன் அவ்வப்போது தொடரும் ஃபோரியர் மாற்றம்<1/2T;
d - அதிர்வெண் சாளரம் (சிறந்த குறைந்த-பாஸ் வடிகட்டி) மற்றும் அதன் ஃபோரியர் மாற்றம் (சின்க் செயல்பாடு);
d - சின்க் செயல்பாட்டின் மூலம் கன்வல்யூஷன் ஆபரேஷன் மூலம் மீட்டெடுக்கப்பட்ட அசல் நேரச் செயல்பாடு.

அதிர்வெண் டொமைன் கன்வல்யூஷன் தேற்றத்தின்படி, சிக்னல் x(t) இன் FTFT என்பது சிக்னல் x(t) ஸ்பெக்ட்ரம் மற்றும் நேர மாதிரி (TS) செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் உருமாற்றம் ஆகியவற்றின் சுருக்கமாகும்:

. (13)

F (TS)=Y1/T(f) மாதிரி செயல்பாட்டின் ஃபோரியர் மாற்றத்துடன் X(f) இன் வளைவு, 1/T ஹெர்ட்ஸ் அதிர்வெண் இடைவெளியுடன் X(f)ஐ அவ்வப்போது தொடர்கிறது. எனவே XS(f) என்பது X(f) இன் அவ்வப்போது நீட்டிக்கப்பட்ட ஸ்பெக்ட்ரம் ஆகும். பொதுவாக, ஒரு டொமைனில் உள்ள மாதிரிகள் (உதாரணமாக, நேரம்) உருமாற்ற களத்தில் (உதாரணமாக, அதிர்வெண்) குறிப்பிட்ட கால இடைவெளிக்கு வழிவகுக்கும். மாதிரி வீதம் போதுமான அளவு குறைவாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டால் (எஃப்< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
அசல் நேர சமிக்ஞையை அதன் மாதிரிகளிலிருந்து மீட்டெடுக்க, அதாவது. இந்த மாதிரிகளுக்கு இடையே ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர்ச்சியான மதிப்புகளை இடைக்கணிக்க, நீங்கள் ஒரு செவ்வக அதிர்வெண் மறுமொழியுடன் (படம் 1d) ஒரு சிறந்த குறைந்த-பாஸ் வடிகட்டி மூலம் மாதிரி தரவை அனுப்பலாம்.

. (14)

இதன் விளைவாக (படம் 1 d ஐப் பார்க்கவும்), அசல் ஃபோரியர் உருமாற்றம் மீட்டமைக்கப்பட்டது. நேரம் மற்றும் அதிர்வெண் களங்களில் கன்வல்யூஷன் தேற்றங்களைப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

. (15)

வெளிப்பாடு (15) என்பது ஒரு கணிதக் குறியீடாகும் நேர டொமைன் மாதிரி தேற்றங்கள்(விட்டேக்கர், கோட்டல்னிகோவ், ஷானன் - யுகேஎஸ்எச் என்ற தேற்றம்), இது இடைக்கணிப்பு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி (15) வரையறுக்கப்பட்ட ஸ்பெக்ட்ரம் கொண்ட உண்மையான சமிக்ஞையை துல்லியமாக மீட்டெடுக்க முடியும் என்று கூறுகிறது. எல்லையற்ற எண்ணால் F = 2F0 அலைவரிசையுடன் எடுக்கப்பட்ட அறியப்பட்ட நேர மாதிரிகள். தேற்றத்திற்கு இரட்டை (15) தேற்றம் அதிர்வெண் களத்தில் மாதிரிகள்வரையறுக்கப்பட்ட கால அளவு கொண்ட சமிக்ஞைகளுக்கு.
(14) போன்ற நேர களத்தில் செயல்பாடுகள் வெளிப்பாட்டால் விவரிக்கப்படுகின்றன

, (16)

மற்றும் தொடர்புடைய மாற்றங்கள் வெளிப்பாடுகள் ஆகும்

இவ்வாறு, குறிப்பிட்ட கால அளவுள்ள சில சிக்னலின் NVPF X(f) ஐ, அத்தகைய சிக்னலின் ஸ்பெக்ட்ரமின் சம தூர மாதிரிகளிலிருந்து சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி மீட்டெடுக்க முடியும், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட அதிர்வெண் மாதிரி இடைவெளியானது F1/2T 0 Hz என்ற நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்தால், T 0 என்பது சமிக்ஞையாகும். கால அளவு.

தொடர்ச்சியான மற்றும் தனித்துவமான மாற்றங்களுக்கு இடையிலான உறவுகள்

N-பாயின்ட் டிஸ்கிரீட் ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் (DFT) இன் வழக்கமான வரையறைக்கான ஒரு ஜோடி உருமாற்றங்கள் நேர வரிசை x[n] மற்றும் தொடர்புடைய N-புள்ளி ஃபோரியர் உருமாற்ற வரிசைகள் X[k] என்பது வெளிப்பாடுகளால் வழங்கப்படுகிறது

, (18)
. (19)

ஆற்றல் அல்லது சக்தியின் தொடர்புடைய அலகுகளில் உள்ள தரவு மாதிரிகளிலிருந்து ஸ்பெக்ட்ரல் மதிப்பீடுகளைப் பெறுவதற்காக, நாங்கள் ஒரு தனித்துவமான நேர ஃபோரியர் தொடரை (DTFS) எழுதுகிறோம், இது தொடர்ச்சியான நேர ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் (CTFT) சில தோராயமாகக் கருதப்படலாம். வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான தரவு மாதிரிகளின் பயன்பாடு:

DVRF உடன் இணக்கத்தின் தன்மையைக் காட்டுவதற்காக ( தனித்தனிநேரம் மற்றும் அதிர்வெண் களங்களில் செயல்பாடுகள்) மற்றும் CVDFகள் (நேரம் மற்றும் அதிர்வெண் களங்களில் தொடர்ச்சியான செயல்பாடுகள்), எங்களுக்கு நான்கு நேரியல் பரிமாற்ற செயல்பாடுகளின் வரிசை தேவை: நேரம் மற்றும் அதிர்வெண் களங்களில் எடை மற்றும் மாதிரி அல்லது மாதிரிநேரம் மற்றும் அதிர்வெண் களங்களில். இந்த பிராந்தியங்களில் ஒன்றில் வெயிட்டிங் செயல்பாடு செய்யப்பட்டால், கன்வல்யூஷன் தேற்றத்தின்படி, அது சின்க் செயல்பாட்டுடன் மற்றொரு பிராந்தியத்தில் ஒரு வடிகட்டுதல் செயல்பாட்டிற்கு (சுருள்) ஒத்திருக்கும். இதேபோல், ஒரு பிராந்தியத்தில் தனிமைப்படுத்தல் செய்யப்பட்டால், மற்றொரு பகுதியில் ஒரு குறிப்பிட்ட தொடர்ச்சியான செயல்பாடு செய்யப்படுகிறது. மாதிரிகளை எடைபோடுதல் மற்றும் எடுத்துக்கொள்வது நேரியல் மற்றும் பரிமாற்ற செயல்பாடுகள் என்பதால், அவற்றை வரிசைப்படுத்துவதற்கான பல்வேறு வழிகள் சாத்தியமாகும், வெவ்வேறு இடைநிலை முடிவுகளுடன் ஒரே இறுதி முடிவை அளிக்கிறது. இந்த நான்கு செயல்பாடுகளைச் செய்வதற்கு இரண்டு சாத்தியமான தொடர்களை படம் 2 காட்டுகிறது.

அரிசி. 2. NVPF மற்றும் DVRF ஐ இணைக்கும் இரண்டு எடையுள்ள செயல்பாடுகள் மற்றும் இரண்டு மாதிரி செயல்பாடுகளின் இரண்டு சாத்தியமான வரிசைகள்: FW - அதிர்வெண் டொமைனில் ஒரு சாளரத்தின் பயன்பாடு; TW - நேர களத்தில் ஒரு சாளரத்தின் பயன்பாடு; FS - அதிர்வெண் டொமைனில் மாதிரிகளை எடுத்துக்கொள்வது; TS - நேர களத்தில் மாதிரிகளை எடுத்தல்.
1 - தொடர்ச்சியான நேரம் ஃபோரியர் உருமாற்றம், சமன்பாடு (1);
4 - தனித்த நேர ஃபோரியர் உருமாற்றம், சமன்பாடு (22);
5 - தொடர்ச்சியான நேரத்துடன் கூடிய ஃபோரியர் தொடர், சமன்பாடு (25);
8 - தனித்த நேரத்துடன் கூடிய ஃபோரியர் தொடர், சமன்பாடு (27)

1, 4, 5 மற்றும் 8 ஆகிய முனைகளில் எடை மற்றும் மாதிரி செயல்பாடுகளைச் செய்வதன் விளைவாக, நான்கு வெவ்வேறு வகையான ஃபோரியர் உறவுகள் ஏற்படும். செயல்பாடு உள்ள முனைகள் அதிர்வெண் டொமைன் தொடர்ச்சியானது, மேற்கோள்காட்டிய படி மாற்றங்கள்ஃபோரியர், மற்றும் அதிர்வெண் களத்தில் செயல்பாடு இருக்கும் முனைகள் தனித்தனிமேற்கோள்காட்டிய படி ஃபோரியர் தொடர்(மேலும் விவரங்களுக்கு பார்க்கவும்).
எனவே, முனை 4 இல், அதிர்வெண் டொமைனில் எடையும் மற்றும் நேர களத்தில் மாதிரியும் உருவாக்குகிறது தனித்துவமான நேர மாற்றம்ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் (FTFT), இது 1/T ஹெர்ட்ஸ் காலத்துடன் அதிர்வெண் களத்தில் ஒரு குறிப்பிட்ட கால ஸ்பெக்ட்ரம் செயல்பாட்டால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது:

(22)

(23)

-1/2T இலிருந்து 1/2T ஹெர்ட்ஸ் வரையிலான அதிர்வெண் வரம்பில் மட்டுமே முனை 1 இல் குறிப்பிடப்பட்ட அசல் மாற்றப்பட்ட செயல்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகும் ஒரு குறிப்பிட்ட காலச் செயல்பாட்டை வெளிப்பாடு (22) வரையறுக்கிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். வெளிப்பாடு (22) உறவின் மூலம் x[n] என்ற தனித்தனி வரிசையின் Z-மாற்றத்துடன் தொடர்புடையது

(24)

எனவே DVFT என்பது Z-மாற்றம் என்பது அலகு வட்டத்தில் கணக்கிடப்பட்டு T ஆல் பெருக்கப்படுகிறது.
நாம் கீழ் கிளையில் படம் 2 இல் முனை 1 இலிருந்து முனை 8 க்கு நகர்ந்தால், முனை 5 இல் நேர களத்தில் எடையிடுதல் (சிக்னல் கால அளவைக் கட்டுப்படுத்துதல்) மற்றும் அதிர்வெண் டொமைனில் மாதிரிகள் ஆகியவை தொடர்ச்சியான நேர ஃபோரியர் தொடரை (CFTS) உருவாக்குகின்றன. ) அட்டவணைகள் 1 மற்றும் 2 இல் கொடுக்கப்பட்டுள்ள செயல்பாடுகளின் பண்புகள் மற்றும் வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி, பின்வரும் ஜோடி மாற்றங்களைப் பெறுகிறோம்
(25)
(26)

வெளிப்பாடு (26) ஒரு குறிப்பிட்ட கால செயல்பாட்டை வரையறுக்கிறது, இது 0 முதல் NT வரையிலான நேர இடைவெளியில் மட்டுமே அசல் (முனை 1 இல்) உடன் ஒத்துப்போகிறது.
நான்கு செயல்பாடுகளின் இரண்டு வரிசைகளில் எது தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டாலும், முனை 8 இல் உள்ள இறுதி முடிவு ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் - தனித்துவமான நேர ஃபோரியர் தொடர், இது அட்டவணை 1 இல் குறிப்பிடப்பட்டுள்ள பண்புகளைப் பயன்படுத்தி பெறப்பட்ட பின்வரும் ஜோடி மாற்றங்களுடன் ஒத்துள்ளது.

, (27)

எங்கே k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

எங்கே n=0, . . . ,N-1,
இந்த DVRFக்கான ஆற்றல் தேற்றம்:

, (29)

மற்றும் N தரவு மாதிரிகளின் வரிசையின் ஆற்றலை வகைப்படுத்துகிறது. இரண்டு வரிசைகளும் x[n] மற்றும் X[k] காலநிலை மாடுலோ N, எனவே (28) வடிவத்தில் எழுதலாம்

, (30)

இதில் 0 n N. (27) - (30) இல் உள்ள காரணி T அவசியம், எனவே (27) மற்றும் (28) உண்மையில் ஒருங்கிணைப்பு களத்தில் உள்ள ஒருங்கிணைந்த மாற்றத்தின் தோராயமாகும்

.(31)

ஜீரோ பேடிங்

எனப்படும் செயல்முறை மூலம் பூஜ்ஜியங்களுடன் திணிப்பு, தனித்துவமான நேர ஃபோரியர் தொடரை அசல் மாற்றத்தின் N மதிப்புகளுக்கு இடையில் இடைக்கணிக்க மாற்றலாம். கிடைக்கும் தரவு மாதிரிகள் x,...,x பூஜ்ஜிய மதிப்புகள் x[N],...X உடன் கூடுதலாக இருக்கட்டும். இந்த ஜீரோ-பேடட் 2N-டாட் தரவு வரிசையின் DVRF வழங்கப்படும்

(32)

வலதுபுறத்தில் உள்ள தொகையின் மேல் வரம்பு, பூஜ்யத் தரவின் இருப்புக்கு இடமளிக்கும் வகையில் மாற்றியமைக்கப்படுகிறது. k=2m, எனவே

, (33)

m=0,1,...,N-1, X[k] இன் சம மதிப்புகளை வரையறுக்கிறது. குறியீட்டு k இன் சம மதிப்புகளுக்கு, 2N-புள்ளி டிஸ்க்ரீட்-டைம் ஃபோரியர் தொடர் ஒரு N-புள்ளி தனித்த-நேரத் தொடராகக் குறைக்கப்படுகிறது என்பதை இது காட்டுகிறது. குறியீட்டு k இன் ஒற்றைப்படை மதிப்புகள் அசல் N-புள்ளி DVRF இன் மதிப்புகளுக்கு இடையில் அமைந்துள்ள இடைக்கணிப்பு DVRF மதிப்புகளுக்கு ஒத்திருக்கும். அசல் N-dot வரிசையில் மேலும் மேலும் பூஜ்ஜியங்கள் சேர்க்கப்படுவதால், இன்னும் கூடுதலான இடைக்கணிப்பு தரவுகளைப் பெறலாம். எல்லையற்ற எண்ணிக்கையிலான உள்ளீட்டு பூஜ்ஜியங்களின் வரம்புக்குட்பட்ட வழக்கில், DVRF ஆனது N-புள்ளி தரவு வரிசையின் தனித்துவமான நேர ஃபோரியர் மாற்றமாக கருதப்படலாம்:

. (34)

உருமாற்றம் (34) படம் 2 இல் உள்ள முனை 6 ஐ ஒத்துள்ளது.
பூஜ்ஜிய திணிப்பு தெளிவுத்திறனை மேம்படுத்துகிறது என்ற தவறான கருத்து உள்ளது, ஏனெனில் இது தரவு வரிசையின் நீளத்தை அதிகரிக்கிறது. இருப்பினும், படம் 3 இல் இருந்து பின்வருமாறு, பூஜ்ஜியங்களுடன் திணிப்பு மேம்படுவதில்லைகொடுக்கப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட தரவு வரிசையிலிருந்து பெறப்பட்ட மாற்றத்தின் தீர்மானம். ஜீரோ பேடிங் ஒரு இடைக்கணிப்பு மாற்றத்தை அனுமதிக்கிறது மேலும் மென்மையான வடிவம். கூடுதலாக, இது அசல் DVRF இன் மதிப்பிடப்பட்ட அதிர்வெண்களுடன் தொடர்புடைய N புள்ளிகளுக்கு இடையில் இருக்கும் குறுகிய-பேண்ட் சிக்னல் கூறுகள் இருப்பதால் ஏற்படும் நிச்சயமற்ற தன்மைகளை நீக்குகிறது. பூஜ்ஜியங்களுடன் திணிப்பு செய்யும் போது, ​​ஸ்பெக்ட்ரல் சிகரங்களின் அதிர்வெண்ணை மதிப்பிடும் துல்லியமும் அதிகரிக்கிறது. ஸ்பெக்ட்ரல் ரெசல்யூஷன் என்ற சொல்லால், இரண்டு ஹார்மோனிக் சிக்னல்களின் ஸ்பெக்ட்ரல் பதில்களை வேறுபடுத்திப் பார்க்கும் திறனைக் குறிக்கிறோம். பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட கட்டைவிரல் விதி, பெரும்பாலும் நிறமாலை பகுப்பாய்வில் பயன்படுத்தப்படுகிறது, தனித்துவமான சைனூசாய்டுகளின் அதிர்வெண் பிரிப்பு குறைவாக இருக்கக்கூடாது. சமமான சாளர அகலம், இதன் மூலம் இந்த சைனூசாய்டுகளின் பிரிவுகள் (பிரிவுகள்) காணப்படுகின்றன.

படம்.3. ஜீரோ பேடிங்கைப் பயன்படுத்தி இடைக்கணிப்பு:
a - பூஜ்ஜியங்களுடன் திணிப்பு இல்லாமல் மூன்று சைனூசாய்டுகளைக் கொண்ட 16-புள்ளி தரவு பதிவுக்கான DVRF தொகுதி (நிச்சயமற்ற தன்மைகள் தெரியும்: சிக்னலில் எத்தனை சைனூசாய்டுகள் உள்ளன என்று சொல்ல முடியாது - இரண்டு, மூன்று அல்லது நான்கு);
b - 16 பூஜ்ஜியங்களைச் சேர்ப்பதன் காரணமாக அதன் மாதிரிகளின் எண்ணிக்கையை இரட்டிப்பாக்கிய பிறகு அதே வரிசையின் DVRF தொகுதி (மூன்று சைனூசாய்டுகளும் தனித்தனியாக இருப்பதால், நிச்சயமற்ற தன்மைகள் தீர்க்கப்படுகின்றன;
c - பூஜ்ஜியங்களைச் சேர்ப்பதன் காரணமாக அதன் மாதிரிகளின் எண்ணிக்கையில் நான்கு மடங்கு அதிகரிப்புக்குப் பிறகு அதே வரிசையின் DVRF தொகுதி.

சமமான சாளர அலைவரிசையை இவ்வாறு வரையறுக்கலாம்
W(f) என்பது சாளர செயல்பாட்டின் தனித்த நேர ஃபோரியர் உருமாற்றம், எடுத்துக்காட்டாக, செவ்வக (5). இதேபோல், நீங்கள் நுழையலாம் சமமான சாளர காலம்

ஒரு சாளரத்தின் சமமான கால அளவு (அல்லது வேறு ஏதேனும் சமிக்ஞை) மற்றும் அதன் மாற்றத்தின் சமமான அலைவரிசை ஆகியவை பரஸ்பர தலைகீழ் அளவுகள்: TeBe=1.

வேகமான ஃபோரியர் மாற்றம்

ஃபாஸ்ட் ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் (FFT) என்பது ஃபோரியர் மாற்றத்தின் மற்றொரு வகை அல்ல, ஆனால் பல பயனுள்ளவற்றின் பெயர். வழிமுறைகள், டிஸ்க்ரீட் டைம் ஃபோரியர் தொடரை விரைவாகக் கணக்கிடுவதற்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது. DVRF இன் நடைமுறைச் செயலாக்கத்தில் எழும் முக்கிய பிரச்சனை N2 க்கு விகிதாசாரத்தில் அதிக எண்ணிக்கையிலான கணக்கீட்டு செயல்பாடுகளில் உள்ளது. கணினிகளின் வருகைக்கு நீண்ட காலத்திற்கு முன்பே, கணக்கீட்டு செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கையை கணிசமாகக் குறைக்கக்கூடிய பல திறமையான கணினி திட்டங்கள் முன்மொழியப்பட்டாலும், உண்மையான புரட்சியானது 1965 இல் கூலி மற்றும் டுகேயின் கட்டுரையின் வேகமான (எண்) நடைமுறை அல்காரிதம் மூலம் வெளியிடப்பட்டது. செயல்பாடுகள் Nlog 2 N) DVRF கணக்கீடுகள் . இதற்குப் பிறகு, அடிப்படை யோசனைக்கு பல மாறுபாடுகள், மேம்பாடுகள் மற்றும் சேர்த்தல்கள் உருவாக்கப்பட்டன, இது ஃபாஸ்ட் ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் எனப்படும் அல்காரிதம்களின் வகுப்பை உருவாக்கியது. FFT இன் அடிப்படை யோசனையானது, N-புள்ளி DVRF ஐ இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட சிறிய DVRFகளாகப் பிரிப்பதாகும், ஒவ்வொன்றையும் தனித்தனியாகக் கணக்கிடலாம், பின்னர் அசல் N-புள்ளி வரிசையின் DVRF ஐப் பெற மற்றவற்றுடன் நேரியல் முறையில் சுருக்கவும்.
வடிவத்தில் தனித்த ஃபோரியர் மாற்றத்தை (DFFT) பிரதிநிதித்துவப்படுத்துவோம்

, (35)

W N =exp(-j2 /N) மதிப்பு திருப்பு காரணி என்று அழைக்கப்படுகிறது (இனி இந்த பிரிவில், மாதிரி காலம் T=1 ஆகும்). x[n] வரிசையிலிருந்து இரட்டை மற்றும் ஒற்றைப்படை எண்களைக் கொண்ட உறுப்புகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம்.

. (36)

ஆனால் அன்றிலிருந்து
. எனவே, (36) வடிவில் எழுதலாம்

, (37)

ஒவ்வொரு வார்த்தையும் நீளம் N/2 இன் மாற்றமாகும்

(38)

வரிசை (WN/2) nk ஆனது k இல் காலமுறை N/2 உடன் இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எனவே, வெளிப்பாட்டில் உள்ள எண் k (37) 0 முதல் N-1 வரையிலான மதிப்புகளை எடுத்தாலும், ஒவ்வொரு தொகையும் 0 முதல் N/2-1 வரையிலான k இன் மதிப்புகளுக்கு கணக்கிடப்படுகிறது. அல்காரிதம் (37)-(38) க்கு இணங்க ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைக் கணக்கிட தேவையான சிக்கலான பெருக்கல் மற்றும் கூட்டல் செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கையை மதிப்பிட முடியும். சூத்திரங்களின்படி (38) இரண்டு N/2-புள்ளி ஃபோரியர் உருமாற்றங்கள் 2(N/2) 2 பெருக்கல்கள் மற்றும் தோராயமாக அதே எண்ணிக்கையிலான கூட்டல்களைச் செய்கின்றன. சூத்திரம் (37) ஐப் பயன்படுத்தி இரண்டு N/2-புள்ளி உருமாற்றங்களை இணைக்க மற்றொரு N பெருக்கல் மற்றும் N சேர்த்தல் தேவைப்படுகிறது. எனவே, k இன் அனைத்து N மதிப்புகளுக்கும் ஃபோரியர் மாற்றத்தைக் கணக்கிட, N+N 2/2 பெருக்கல்கள் மற்றும் கூட்டல்களைச் செய்வது அவசியம். அதே நேரத்தில், சூத்திரம் (35) பயன்படுத்தி நேரடி கணக்கீடு N 2 பெருக்கல் மற்றும் கூட்டல் தேவைப்படுகிறது. ஏற்கனவே N>2க்கு சமத்துவமின்மை N+N 2/2 திருப்திகரமாக உள்ளது< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

இந்த நிலையில், N/4 காலத்துடன் K இல் W nk N/4 வரிசையின் கால இடைவெளியின் காரணமாக, தொகைகள் (40) 0 முதல் N/4-1 வரையிலான k இன் மதிப்புகளுக்கு மட்டுமே கணக்கிடப்பட வேண்டும். எனவே, சூத்திரங்கள் (37), (39) மற்றும் (40) ஐப் பயன்படுத்தி X[k] வரிசையைக் கணக்கிடுவதற்கு, எளிதாகக் கணக்கிடுவது போல, ஏற்கனவே 2N+N 2/4 பெருக்கல் மற்றும் கூட்டல் செயல்பாடுகள் தேவை.
இந்தப் பாதையைப் பின்பற்றுவதன் மூலம், X[k] கணக்கீட்டின் அளவை மேலும் மேலும் குறைக்கலாம். m=log 2 N விரிவாக்கங்களுக்குப் பிறகு, படிவத்தின் இரண்டு-புள்ளி ஃபோரியர் மாற்றங்களுக்கு வருகிறோம்

(41)

"ஒரு-புள்ளி மாற்றங்கள்" X 1 என்பது x[n] சமிக்ஞையின் மாதிரிகள்:

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

இதன் விளைவாக, நாம் FFT அல்காரிதம் எழுதலாம், இது வெளிப்படையான காரணங்களுக்காக அழைக்கப்படுகிறது நேரம் சன்னமான வழிமுறை :

X 2 = (x[p] + W k 2 x) / N,

எங்கே k=0.1, p=0.1,...,N/2 -1;

X 2N/M =X N/M + W k 2N/M X N/M ,

எங்கே k=0.1,...,2N/M -1, p=0.1,...,M/2 -1;

X[k] = X N [k] =X N/2 + W k N X N/2 , (43)

எங்கே k=0,1,...,N-1

கணக்கீடுகளின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும், N சிக்கலான பெருக்கல்கள் மற்றும் கூட்டல்கள் செய்யப்படுகின்றன. மேலும் அசல் வரிசையின் அரை-நீளத் தொடர்களின் சிதைவுகளின் எண்ணிக்கை பதிவு 2 N க்கு சமமாக இருப்பதால், FFT அல்காரிதத்தில் உள்ள பெருக்கல்-கூட்டல் செயல்பாடுகளின் மொத்த எண்ணிக்கை Nlog 2 N க்கு சமம். பெரிய N க்கு, குறிப்பிடத்தக்க அளவு உள்ளது. நேரடி DFT கணக்கீடுகளுடன் ஒப்பிடும்போது கணக்கீட்டு செயல்பாடுகளில் சேமிப்பு. எடுத்துக்காட்டாக, N = 2 10 = 1024 செயல்பாடுகளின் எண்ணிக்கை 117 மடங்கு குறைக்கப்படும்.
x[n] இன் உள்ளீட்டு வரிசையின் பின்தொடர்களை உருவாக்குவதன் மூலம் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைக் கணக்கிடுவதன் அடிப்படையில் நாங்கள் கருதிய நேர-அழிவுபடுத்தப்பட்ட FFT அல்காரிதம். இருப்பினும், ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் X[k] இன் தொடர்ச்சியான சிதைவைப் பயன்படுத்துவதும் சாத்தியமாகும். இந்த நடைமுறையை அடிப்படையாகக் கொண்ட FFT அல்காரிதம் c என அழைக்கப்படுகிறது அதிர்வெண் மெலிதல்.வேகமான ஃபோரியர் மாற்றத்தைப் பற்றி நீங்கள் மேலும் படிக்கலாம், எடுத்துக்காட்டாக, இன்.

சீரற்ற செயல்முறைகள் மற்றும் சக்தி நிறமாலை அடர்த்தி

தனித்தனி சீரற்ற செயல்முறை x என்பது உண்மையான அல்லது சிக்கலான தனித்த நேர (அல்லது இடஞ்சார்ந்த) வரிசைகளின் ஒரு குறிப்பிட்ட தொகுப்பாக அல்லது குழுமமாகக் கருதப்படலாம், அவை ஒவ்வொன்றும் சில பரிசோதனையின் விளைவாகக் காணப்படலாம் (n என்பது நேரக் குறியீடு, i என்பது கண்காணிப்பு எண்). அவதானிப்புகளில் ஒன்றின் விளைவாக பெறப்பட்ட வரிசையானது x[n] ஆல் குறிக்கப்படும். குழுமத்தின் சராசரியின் செயல்பாடு (அதாவது. புள்ளிவிவர சராசரி) ஆபரேட்டரால் குறிக்கப்படும்<>. இதனால், - சீரற்ற செயல்முறையின் சராசரி மதிப்பு x[n] நேரத்தில் n. தன்னியக்க தொடர்பு n1 மற்றும் n2 இரண்டு வெவ்வேறு நேரங்களில் சீரற்ற செயல்முறை r xx = வெளிப்பாட்டால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது .

ஒரு சீரற்ற செயல்முறை ஸ்டேஷனரி இன் என்று அழைக்கப்படுகிறது ஒரு பரந்த பொருளில், அதன் சராசரி மதிப்பு நிலையானதாக இருந்தால் (நேரத்தைச் சாராமல்), மற்றும் தன்னியக்க தொடர்பு என்பது நேரக் குறியீடுகளில் உள்ள வேறுபாட்டை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது m=n1-n2 (நேர மாற்றம் அல்லது மாதிரிகளுக்கு இடையில் தாமதம்). எனவே, ஒரு பரந்த நிலையான தனித்த சீரற்ற செயல்முறை x[n] நிலையான சராசரி மதிப்பால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது =மற்றும் தன்னியக்க தொடர்பு வரிசை(தன்னியக்க பரிமாற்றம்)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

தானியங்கி பரிமாற்றத்தின் பின்வரும் பண்புகளை நாம் கவனிக்கலாம்:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

அனைத்து m க்கும் செல்லுபடியாகும்.
பவர் ஸ்பெக்ட்ரல் அடர்த்தி (PSD) என்பது ஒரு தன்னியக்க தொடர்பு வரிசையின் தனித்த-நேர ஃபோரியர் உருமாற்றம் (DTFT) என வரையறுக்கப்படுகிறது.

. (46)

PSD, அதன் அகலம் ± 1/2T Hz க்கு மட்டுப்படுத்தப்பட்டதாகக் கருதப்படுகிறது, இது 1/T ஹெர்ட்ஸ் கால அளவு கொண்ட அதிர்வெண்ணின் காலச் செயல்பாடு ஆகும். PSD செயல்பாடு ஒரு சீரற்ற செயல்முறையின் சக்தியின் அதிர்வெண் விநியோகத்தை விவரிக்கிறது. அதற்குத் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பெயரை உறுதிப்படுத்த, தலைகீழ் DVFT ஐக் கவனியுங்கள்

(47)

m=0 இல் கணக்கிடப்படுகிறது

(48)

பூஜ்ஜிய மாற்றத்தில் தன்னியக்க தொடர்பு குணாதிசயங்கள் சராசரி சக்திசீரற்ற செயல்முறை. (48) படி, P xx (f) வளைவின் கீழ் உள்ள பகுதி சராசரி சக்தியை வகைப்படுத்துகிறது, எனவே P xx (f) என்பது ஒரு அடர்த்தி செயல்பாடு (ஒரு யூனிட் அதிர்வெண்) ஆகும், இது சக்தியின் அதிர்வெண் விநியோகத்தை வகைப்படுத்துகிறது. உருமாற்றங்களின் ஜோடி (46) மற்றும் (47) அடிக்கடி அழைக்கப்படுகின்றன வீனர்-கின்சின் தேற்றம்தனித்துவமான நேரத்தின் விஷயத்தில். r xx [-m]=r* xx [m] என்பதால், PSD கண்டிப்பாக உண்மையான நேர்மறை செயல்பாடாக இருக்க வேண்டும். ACP கண்டிப்பாக உண்மையான செயல்பாடாக இருந்தால், r xx [-m]=r xx [m] மற்றும் PSD ஆகியவை ஃபோரியர் கொசைன் உருமாற்றத்தின் வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்.

,

அதாவது P xx (f) = P xx (-f), அதாவது. SPM என்பது ஒரு சமமான செயல்பாடு.
இப்போது வரை, ஒரு சீரற்ற செயல்பாட்டின் சராசரி மதிப்பு, தொடர்பு மற்றும் ஆற்றல் நிறமாலை அடர்த்தியை நிர்ணயிக்கும் போது, ​​குழுமத்தின் மீது புள்ளியியல் சராசரியைப் பயன்படுத்தினோம். இருப்பினும், நடைமுறையில், இந்த புள்ளிவிவர பண்புகளை கணக்கிடக்கூடிய தேவையான செயல்முறையின் செயலாக்கங்களின் குழுமத்தைப் பெறுவது பொதுவாக சாத்தியமில்லை. ஒரு மாதிரி உணர்தல் x(t) ஐப் பயன்படுத்தி அனைத்து புள்ளிவிவர பண்புகளையும் மதிப்பீடு செய்வது நல்லது, y க்கு பதிலாக குழும சராசரி நேரம் சராசரி. அத்தகைய மாற்றீடு செய்ய அனுமதிக்கும் சொத்து எர்கோடிசிட்டி என்று அழைக்கப்படுகிறது. நிகழ்தகவு ஒன்றுக்கு சமமாக இருந்தால், அதன் அனைத்து புள்ளிவிவர பண்புகளையும் நேர சராசரியைப் பயன்படுத்தி குழுமத்திலிருந்து ஒரு முறை செயல்படுத்துவதன் மூலம் கணிக்க முடிந்தால், ஒரு சீரற்ற செயல்முறை எர்கோடிக் என்று கூறப்படுகிறது. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், செயல்முறையின் அனைத்து சாத்தியமான செயலாக்கங்களின் நேர சராசரிகள் நிகழ்தகவுடன் ஒரே நிலையான மதிப்புக்கு ஒன்றிணைகின்றன - குழும சராசரி

. (49)

இந்த வரம்பு, அது இருந்தால், சராசரியின் நேர மாறுபாடு பூஜ்ஜியமாக இருந்தால் மட்டுமே உண்மையான சராசரிக்கு ஒருங்கிணைக்கிறது, அதாவது பின்வரும் நிபந்தனை உள்ளது:

. (50)

இங்கே c xx [m] என்பது x[n] செயல்முறையின் இணைநிலையின் உண்மையான மதிப்பு.
இதேபோல், செயல்முறை மாதிரிகள் x[n] உற்பத்தியின் மதிப்பை இரண்டு புள்ளிகளில் கவனிக்கும்போது, ​​சராசரி மதிப்பு சமமாக இருக்கும் என்று எதிர்பார்க்கலாம்.

(51)

எர்கோடிசிட்டி அனுமானம், சராசரி மற்றும் தன்னியக்க தொடர்புக்கான வரையறைகளை காலச் சராசரி மூலம் அறிமுகப்படுத்துவது மட்டுமல்லாமல், பவர் ஸ்பெக்ட்ரல் அடர்த்திக்கு ஒத்த வரையறையை வழங்கவும் அனுமதிக்கிறது.

. (52)

PSD இன் இந்த சமமான வடிவம், மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை முடிவிலிக்கு அதிகரிக்கும் போது, ​​தரவுப் பதிவின் நீளத்தால் வகுக்கப்படும் எடையிடப்பட்ட தரவின் DVFT மாடுலஸை புள்ளிவிவர ரீதியாக சராசரியாகக் கொண்டு பெறப்படுகிறது. புள்ளியியல் சராசரி இங்கு அவசியம், ஏனெனில் DVFT என்பது x[n] இன் ஒவ்வொரு உணர்தலுக்கும் மாறும் ஒரு சீரற்ற மாறியாகும். (52) என்பது வீனர்-கிஞ்சின் தேற்றத்திற்குச் சமமானது என்பதைக் காட்ட, DVFT மாடுலஸின் சதுரத்தை இரண்டு தொடர்களின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடுகிறோம் மற்றும் கூட்டுத்தொகை மற்றும் புள்ளிவிவர சராசரி செயல்பாடுகளின் வரிசையை மாற்றுகிறோம்:

(53)

பிரபலமான வெளிப்பாட்டைப் பயன்படுத்துதல்

, (54)

தொடர்பு (53) பின்வருவனவற்றைக் குறைக்கலாம்:

(55)

வழித்தோன்றலின் கடைசி கட்டத்தில் (55) தன்னியக்க தொடர்பு வரிசை "சிதைகிறது" என்று அனுமானம் பயன்படுத்தப்பட்டது.

. (56)

PSD (46) மற்றும் (52) ஆகிய இரண்டு வரையறைகளுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பு படம் 4 இல் வழங்கப்பட்ட வரைபடத்தால் தெளிவாகக் காட்டப்பட்டுள்ளது.
வெளிப்பாடு (52) இல் கணித எதிர்பார்ப்பின் செயல்பாட்டை நாம் கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளவில்லை என்றால், SPM மதிப்பீட்டைப் பெறுவோம்

, (57)

என்று அழைக்கப்படும் மாதிரி நிறமாலை.

அரிசி. 4. சக்தி நிறமாலை அடர்த்தியை மதிப்பிடுவதற்கான இரண்டு முறைகளுக்கு இடையிலான உறவு

ஸ்பெக்ட்ரல் மதிப்பீட்டின் பெரியோடோகிராம் முறை

பவர் ஸ்பெக்ட்ரல் அடர்த்தியை (PSD) தீர்மானிக்க இரண்டு முறையான சமமான முறைகளை மேலே அறிமுகப்படுத்தினோம். மறைமுக முறையானது, தன்னியக்கத் தொடர்பைக் கணக்கிடுவதற்கு எல்லையற்ற தரவு வரிசையைப் பயன்படுத்துவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது, இதன் ஃபோரியர் உருமாற்றம் விரும்பிய PSD ஐ அளிக்கிறது. PSD ஐ நிர்ணயிப்பதற்கான நேரடி முறையானது, பொருத்தமான புள்ளியியல் சராசரியைப் பயன்படுத்தி எல்லையற்ற தரவு வரிசைக்கான ஃபோரியர் மாற்றத்தின் ஸ்கொயர் மாடுலஸைக் கணக்கிடுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. அத்தகைய சராசரி இல்லாமல் பெறப்பட்ட PSD திருப்தியற்றதாக மாறிவிடும், ஏனெனில் அத்தகைய மதிப்பீட்டின் ரூட்-சராசரி-சதுரப் பிழை அதன் சராசரி மதிப்புடன் ஒப்பிடத்தக்கது. வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மாதிரிகளில் மென்மையான மற்றும் புள்ளிவிவர ரீதியாக நிலையான நிறமாலை மதிப்பீடுகளை வழங்கும் சராசரி முறைகளை இப்போது நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம். நேரடி தரவு மாற்றம் மற்றும் அடுத்தடுத்த சராசரியின் அடிப்படையில் SPD மதிப்பீடுகள் பீரியடோகிராம்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன. PSD மதிப்பீடுகள், அதற்கான தொடர்பு மதிப்பீடுகள் முதலில் ஆரம்ப தரவுகளிலிருந்து உருவாகின்றன, அவை அழைக்கப்படுகின்றன தொடர்பு வரைபடம். எந்தவொரு PSD மதிப்பீட்டு முறையையும் பயன்படுத்தும் போது, ​​வரையறுக்கப்பட்ட எண்ணிக்கையிலான மாதிரிகளில் இருந்து சாத்தியமான அதிகபட்ச தெளிவுத்திறனுடன் புள்ளிவிவர ரீதியாக நிலையான நிறமாலை மதிப்பீடுகளைப் பெறுவதற்கு பயனர் பல வர்த்தக முடிவுகளை எடுக்க வேண்டும். இந்த ட்ரேட்-ஆஃப்களில், தரவு எடையிடல் மற்றும் தொடர்பு மதிப்பீடுகளுக்கான சாளரத்தின் தேர்வு மற்றும் நேரம்-டொமைன் மற்றும் அதிர்வெண்-டொமைன் சராசரி அளவுருக்கள் ஆகியவை அடங்கும், ஆனால் அவை மட்டும் அல்ல ஏற்றுக்கொள்ளக்கூடிய நிறமாலை தீர்மானத்தை வழங்குகிறது. படத்தில். படம் 5 முக்கிய நிலைகளைக் காட்டும் வரைபடத்தைக் காட்டுகிறது கால வரைபடம் முறை

அரிசி. 5. பீரியடோகிராம் முறையைப் பயன்படுத்தி PSD மதிப்பீட்டின் முக்கிய நிலைகள்

முறையின் பயன்பாடு N தரவு மாதிரிகளின் சேகரிப்புடன் தொடங்குகிறது, அவை ஒரு மாதிரிக்கு T வினாடிகள் இடைவெளியில் எடுக்கப்படுகின்றன, பின்தொடரும் (விரும்பினால்). புள்ளிவிவர ரீதியாக நிலையான ஸ்பெக்ட்ரல் மதிப்பீட்டைப் பெறுவதற்கு, கிடைக்கக்கூடிய தரவை ஒன்றுடன் ஒன்று (முடிந்தால்) பிரிவுகளாகப் பிரிக்க வேண்டும், பின்னர் அத்தகைய ஒவ்வொரு பிரிவிற்கும் பெறப்பட்ட மாதிரி நிறமாலை சராசரியாக இருக்க வேண்டும். இந்த சராசரியின் அளவுருக்கள் ஒரு பிரிவிற்கு மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை (NSAMP) மற்றும் அடுத்த பிரிவின் ஆரம்பம் மாற்றப்பட வேண்டிய மாதிரிகளின் எண்ணிக்கை (NSHIFT) ஆகியவற்றை சரியான முறையில் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் மாற்றப்படுகிறது, படம். 6. ஸ்பெக்ட்ரல் மதிப்பீட்டின் தேவையான அளவு மென்மை (சிதறல்) மற்றும் தேவையான நிறமாலைத் தீர்மானத்தைப் பொறுத்து பிரிவுகளின் எண்ணிக்கை தேர்ந்தெடுக்கப்படுகிறது. NSAMP அளவுருவுக்கான ஒரு சிறிய மதிப்பு, சராசரியாகச் செய்யப்படும் அதிகப் பிரிவுகளில் விளைகிறது, எனவே குறைவான மாறுபாட்டுடன் மதிப்பீடுகள், ஆனால் குறைந்த அதிர்வெண் தெளிவுத்திறன் பெறப்படும். பிரிவின் நீளத்தை அதிகரிப்பது (NSAMP அளவுரு) தெளிவுத்திறனை அதிகரிக்கிறது, இயற்கையாகவே சிறிய எண்ணிக்கையிலான சராசரிகள் காரணமாக மதிப்பீட்டின் மாறுபாட்டின் அதிகரிப்பு காரணமாகும். படம் 5 இல் உள்ள திரும்பும் அம்பு, வெவ்வேறு நீளங்கள் மற்றும் பிரிவுகளின் எண்ணிக்கையில் தரவு வழியாக மீண்டும் மீண்டும் அனுப்பப்பட வேண்டியதன் அவசியத்தைக் குறிக்கிறது, இது ஆய்வின் கீழ் உள்ள செயல்முறையைப் பற்றிய கூடுதல் தகவல்களைப் பெற அனுமதிக்கிறது.

படம்.6. ஒரு பீரியடோகிராம் கணக்கிட தரவு பிரிவுகளாக பிரித்தல்

ஜன்னல்

அனைத்து கிளாசிக்கல் ஸ்பெக்ட்ரல் மதிப்பீட்டு முறைகளுக்கும் பொதுவான முக்கியமான சிக்கல்களில் ஒன்று தரவு எடையுடன் தொடர்புடையது. ஸ்பெக்ட்ரல் மதிப்பீடுகளில் பக்கவாட்டு விளைவுகளைக் கட்டுப்படுத்த சாளரம் பயன்படுத்தப்படுகிறது. தற்போதுள்ள வரையறுக்கப்பட்ட தரவுப் பதிவை, பயன்படுத்தப்பட்ட சாளரத்தின் மூலம் தெரியும், தொடர்புடைய எல்லையற்ற வரிசையின் சில பகுதியாகக் கருதுவது வசதியானது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எனவே, N மாதிரிகளில் இருந்து கவனிக்கப்பட்ட தரவு x 0 [n] வரிசையை ஒரு முடிவிலா வரிசை x[n] மற்றும் ஒரு செவ்வக சாளர செயல்பாட்டின் விளைவாக கணித ரீதியாக எழுதலாம்.

X 0 [n]=x[n] rect[n].
இது உண்மையாக உள்ளதா என்பதைப் பொருட்படுத்தாமல், கவனிக்கப்படாத அனைத்து மாதிரிகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் என்ற வெளிப்படையான அனுமானத்தை உருவாக்குகிறது. எடையுள்ள வரிசையின் தனித்த-நேர ஃபோரியர் உருமாற்றமானது, x[n] மற்றும் செவ்வக சாளரத்தின் செவ்வகத்தின் உருமாற்றங்களின் உருமாற்றத்திற்குச் சமம்.

X 0 (f)=X(f)*D N (f) , எங்கே
D N (f)= Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

D N (f) சார்பு, டிஸ்க்ரீட் சின்க் செயல்பாடு அல்லது டிரிச்லெட் கர்னல் என அழைக்கப்படுகிறது, இது ஒரு செவ்வக செயல்பாட்டின் DCFT ஆகும். கவனிக்கப்பட்ட வரையறுக்கப்பட்ட வரிசையின் மாற்றம் என்பது எல்லையற்ற வரிசையின் மாற்றத்தின் சிதைந்த பதிப்பாகும். அதிர்வெண் f 0 உடன் தனித்த நேர சைனுசாய்டில் ஒரு செவ்வக சாளரத்தின் விளைவு படம் 7 இல் விளக்கப்பட்டுள்ளது.

படம்.7. தரவு வெயிட்டிங் காரணமாக கசிவு காரணமாக டிஸ்க்ரீட் டைம் ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் சார்பின் விளக்கம்: a, b - அசல் மற்றும் எடையுள்ள வரிசைகள்; b, d - அவற்றின் ஃபோரியர் உருமாற்றங்கள்.

எல்லையற்ற சைன் அலை வரிசையின் DTFTயின் கூர்மையான நிறமாலை உச்சங்கள் சாளர உருமாற்றத்துடன் சுருங்குவதன் காரணமாக விரிவடைவதை படத்தில் இருந்து காணலாம். எனவே, ஒரு சாளர எடையுள்ள வரிசையின் ஸ்பெக்ட்ரல் சிகரங்களின் குறைந்தபட்ச அகலம், அந்தச் சாளரத்தின் பிரதான உருமாறி மடலின் அகலத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது மற்றும் தரவுகளிலிருந்து சுயாதீனமாக இருக்கும். பக்க மடல்கள்சாளர உருமாற்றங்கள் அருகிலுள்ள நிறமாலை சிகரங்களின் வீச்சுகளை மாற்றும் (சில நேரங்களில் ப்ளீட்-த்ரூ என அழைக்கப்படுகிறது). DVFT என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட காலச் செயல்பாடு என்பதால், பக்கத்து லோப்களை அண்டைக் காலகட்டங்களில் இருந்து சூப்பர்போசிஷன் செய்வது கூடுதல் சார்புக்கு வழிவகுக்கும். மாதிரி விகிதத்தை அதிகரிப்பது பக்கவாட்டு மாற்று விளைவைக் குறைக்கிறது. சைனூசாய்டல் அல்லாத சமிக்ஞைகளின் விஷயத்தில் இதே போன்ற சிதைவுகள் இயல்பாகவே காணப்படுகின்றன. இரத்தப்போக்கு தனித்த சமிக்ஞைகளின் நிறமாலையில் வீச்சு பிழைகளை அறிமுகப்படுத்துவது மட்டுமல்லாமல், இருப்பை மறைக்கவும் முடியும். பலவீனமான சமிக்ஞைகள். செவ்வக சாளரத்துடன் ஒப்பிடும்போது பக்க மடல்களைக் குறைக்கக்கூடிய பல சாளர அம்சங்கள் வழங்கப்படலாம். பக்க மடல்களின் அளவைக் குறைப்பது ஸ்பெக்ட்ரல் மதிப்பீட்டில் மாற்றத்தைக் குறைக்கும், ஆனால் இது சாளர நிறமாலையின் பிரதான மடலை விரிவுபடுத்தும் செலவில் வருகிறது, இது இயற்கையாகவே தெளிவுத்திறனில் சரிவுக்கு வழிவகுக்கிறது. இதன் விளைவாக, இங்கும் பிரதான மடலின் அகலத்திற்கும் பக்க மடல்களின் மட்டத்திற்கும் இடையில் சில சமரசங்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்பட வேண்டும். சாளரங்களின் தரத்தை மதிப்பிடுவதற்கு பல அளவுருக்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. பாரம்பரிய காட்டி அரை சக்தியில் முக்கிய மடல் அலைவரிசை ஆகும். இரண்டாவது காட்டி மேலே அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட சமமான அலைவரிசை ஆகும். பக்க மடல்களின் பண்புகளை மதிப்பிடுவதற்கு இரண்டு குறிகாட்டிகளும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. முதலாவது அவற்றின் அதிகபட்ச நிலை, இரண்டாவது சிதைவு விகிதம், இது முக்கிய மடலில் இருந்து தூரத்துடன் பக்க மடல்கள் குறையும் வேகத்தை வகைப்படுத்துகிறது. அட்டவணை 3 பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் சில தனித்த நேர சாளர செயல்பாடுகளின் வரையறைகளைக் காட்டுகிறது, மேலும் அட்டவணை 4 அவற்றின் பண்புகளைக் காட்டுகிறது.
அட்டவணை 3. வழக்கமான N-புள்ளி டிஸ்க்ரீட் டைம் windowsMax இன் வரையறைகள். பக்க மடல் நிலை, dB -31.5

. (46)

கோரோலோகிராம் முறை PSD ஐ மதிப்பிடுவது என்பது வெளிப்பாடாக மாற்றுவது (46) தன்னியக்க மதிப்பீட்டிற்கான மதிப்புகளின் வரையறுக்கப்பட்ட வரிசை ( தொடர்பு வரைபடங்கள்) அறியப்படாத உண்மையான தன்னியக்க மதிப்புகளின் எல்லையற்ற வரிசைக்குப் பதிலாக. நிறமாலை மதிப்பீட்டின் கோரோலோகிராம் முறையைப் பற்றிய கூடுதல் தகவல்களைக் காணலாம்.

இலக்கியம்

1. ராபினர் எல்., கோல்ட் பி. தியரி மற்றும் டிஜிட்டல் சிக்னல் செயலாக்கத்தின் பயன்பாடு. எம்.: மிர், 1978.

2. மார்பிள் ஜூனியர். எஸ்.எல். டிஜிட்டல் ஸ்பெக்ட்ரல் பகுப்பாய்வு மற்றும் அதன் பயன்பாடுகள்: Transl. ஆங்கிலத்தில் இருந்து -எம்.: மிர், 1990.

3. கோல்ட்பர்க் எல்.எம்., மத்யுஷ்கின் பி.டி., பாலியக் எம்.என்., டிஜிட்டல் செயலாக்கம்சிக்னல்கள் - எம்.: வானொலி மற்றும் தொடர்பு, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. நேரத் தொடரின் பயன்பாட்டு பகுப்பாய்வு - எம்.: மிர், 1982.

நிறமாலை பகுப்பாய்வு

ஸ்பெக்ட்ரல் பகுப்பாய்வு என்பது அவற்றின் அதிர்வெண் பிரதிநிதித்துவம் அல்லது ஸ்பெக்ட்ரம் அடிப்படையில் தரவு செயலாக்க முறைகளின் பரந்த வகுப்பாகும். ஸ்பெக்ட்ரம் அசல் செயல்பாட்டைச் சிதைப்பதன் மூலம் பெறப்படுகிறது, இது நேரம் (நேரத் தொடர்) அல்லது இடஞ்சார்ந்த ஒருங்கிணைப்புகள் (உதாரணமாக, ஒரு படம்), சில காலச் செயல்பாட்டின் அடிப்படையில். பெரும்பாலும் நிறமாலை செயலாக்கத்திற்கு, சைன் அடிப்படையின் அடிப்படையில் பெறப்பட்ட ஃபோரியர் ஸ்பெக்ட்ரம் (ஃபோரியர் சிதைவு, ஃபோரியர் உருமாற்றம்) பயன்படுத்தப்படுகிறது.

ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் முக்கிய பொருள் என்னவென்றால், ஒரு தன்னிச்சையான வடிவத்தின் அசல் அல்லாத காலச் செயல்பாடு, பகுப்பாய்வு ரீதியாக விவரிக்க முடியாது, எனவே செயலாக்க மற்றும் பகுப்பாய்வு செய்வது கடினம், வெவ்வேறு அதிர்வெண்கள், வீச்சுகள் மற்றும் ஆரம்பம் கொண்ட சைன்கள் அல்லது கொசைன்களின் தொகுப்பாகக் குறிப்பிடப்படுகிறது. கட்டங்கள்.

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், ஒரு சிக்கலான செயல்பாடு பல எளிமையானதாக மாற்றப்படுகிறது. ஃபோரியர் விரிவாக்கத்தின் விளைவாக பெறப்பட்ட ஒரு குறிப்பிட்ட அதிர்வெண் மற்றும் வீச்சு கொண்ட ஒவ்வொரு சைன் அலையும் (அல்லது கொசைன் அலை) அழைக்கப்படுகிறது நிறமாலை கூறுஅல்லது இசைவான. நிறமாலை கூறுகள் உருவாகின்றன ஃபோரியர் ஸ்பெக்ட்ரம்.

பார்வைக்கு, ஃபோரியர் ஸ்பெக்ட்ரம் ஒரு வரைபடத்தின் வடிவத்தில் வழங்கப்படுகிறது, அதில் "ஒமேகா" என்ற கிரேக்க எழுத்தால் குறிக்கப்படும் வட்ட அதிர்வெண் கிடைமட்ட அச்சில் திட்டமிடப்பட்டுள்ளது மற்றும் நிறமாலை கூறுகளின் வீச்சு, பொதுவாக லத்தீன் எழுத்து A ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. , செங்குத்து அச்சில் வரையப்பட்ட பின்னர் ஒவ்வொரு நிறமாலை கூறுகளும் அதன் அதிர்வெண்ணுடன் கிடைமட்டமாக ஒத்திருக்கும் நிலை, மற்றும் உயரம் - அதன் வீச்சு என குறிப்பிடப்படுகிறது. பூஜ்ஜிய அதிர்வெண் கொண்ட ஹார்மோனிக் என்று அழைக்கப்படுகிறது நிலையான கூறு(தற்காலிக பிரதிநிதித்துவத்தில் இது ஒரு நேர் கோடு).

ஸ்பெக்ட்ரம் பற்றிய ஒரு எளிய காட்சி பகுப்பாய்வு கூட அது பெறப்பட்ட செயல்பாட்டின் தன்மையைப் பற்றி நிறைய சொல்ல முடியும். ஆரம்ப தரவுகளில் விரைவான மாற்றங்கள் ஸ்பெக்ட்ரமில் உள்ள கூறுகளை உருவாக்குகின்றன என்பது உள்ளுணர்வாக தெளிவாக உள்ளது உயர்அதிர்வெண், மற்றும் மெதுவானவை - உடன் குறைந்த. எனவே, அதிகரிக்கும் அதிர்வெண்ணுடன் அதன் கூறுகளின் வீச்சு விரைவாகக் குறைந்தால், அசல் செயல்பாடு (உதாரணமாக, ஒரு நேரத் தொடர்) மென்மையானது, மேலும் ஸ்பெக்ட்ரம் அதிக அலைவீச்சு கொண்ட உயர் அதிர்வெண் கூறுகளைக் கொண்டிருந்தால், அசல் செயல்பாடு கூர்மையான ஏற்ற இறக்கங்களைக் கொண்டிருக்கும். . எனவே, ஒரு நேரத் தொடருக்கு, இது ஒரு பெரிய சீரற்ற கூறு, அது விவரிக்கும் செயல்முறைகளின் உறுதியற்ற தன்மை அல்லது தரவுகளில் சத்தம் இருப்பதைக் குறிக்கலாம்.

நிறமாலை செயலாக்கம் ஸ்பெக்ட்ரம் கையாளுதலை அடிப்படையாகக் கொண்டது. உண்மையில், நீங்கள் உயர் அதிர்வெண் கூறுகளின் வீச்சைக் குறைத்தால் (அடக்கி), பின்னர், மாற்றப்பட்ட ஸ்பெக்ட்ரமின் அடிப்படையில், ஒரு தலைகீழ் ஃபோரியர் மாற்றத்தைச் செய்வதன் மூலம் அசல் செயல்பாட்டை மீட்டமைத்தால், உயர் அதிர்வெண் அகற்றப்படுவதால் அது மென்மையாக மாறும். கூறு.

ஒரு நேரத் தொடருக்கு, எடுத்துக்காட்டாக, சீரற்ற காரணிகளுக்கு மிகவும் எளிதில் பாதிக்கப்படக்கூடிய தினசரி விற்பனை பற்றிய தகவல்களை அகற்றுவது மற்றும் பருவநிலை போன்ற மிகவும் நிலையான போக்குகளை விட்டுச் செல்வது இதன் பொருள். நீங்கள் மாறாக, குறைந்த அதிர்வெண் கூறுகளை அடக்கலாம், இது மெதுவான மாற்றங்களை நீக்கி, வேகமானவற்றை மட்டுமே விட்டுவிடும். நேரத் தொடரின் விஷயத்தில், இது பருவகால கூறுகளை அடக்குவதைக் குறிக்கும்.

இந்த வழியில் ஸ்பெக்ட்ரம் பயன்படுத்துவதன் மூலம், அசல் தரவுகளில் விரும்பிய மாற்றத்தை நீங்கள் அடையலாம். ஸ்பெக்ட்ரமில் உள்ள உயர் அதிர்வெண் கூறுகளின் வீச்சுகளை அகற்றி அல்லது குறைப்பதன் மூலம் நேரத் தொடரை மென்மையாக்குவது மிகவும் பொதுவான பயன்பாடாகும்.

ஸ்பெக்ட்ராவை கையாள, வடிப்பான்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன - ஸ்பெக்ட்ரமின் வடிவத்தை கட்டுப்படுத்தும், அதன் கூறுகளை அடக்க அல்லது மேம்படுத்தும் வழிமுறைகள். முக்கிய சொத்துஏதேனும் வடிகட்டிஅதன் அலைவீச்சு-அதிர்வெண் பதில் (AFC) ஆகும், இதன் வடிவம் ஸ்பெக்ட்ரமின் மாற்றத்தை தீர்மானிக்கிறது.

ஒரு வடிகட்டி ஒரு குறிப்பிட்ட வெட்டு அதிர்வெண்ணுக்குக் கீழே உள்ள அதிர்வெண் கொண்ட நிறமாலை கூறுகளை மட்டுமே கடந்து சென்றால், அது லோ-பாஸ் ஃபில்டர் (LPF) என்று அழைக்கப்படுகிறது, மேலும் இது தரவை மென்மையாக்கவும், சத்தம் மற்றும் ஒழுங்கற்ற மதிப்புகளை அழிக்கவும் பயன்படுத்தப்படலாம்.

ஒரு வடிகட்டி ஒரு குறிப்பிட்ட வெட்டு அதிர்வெண்ணிற்கு மேல் நிறமாலை கூறுகளை கடந்து சென்றால், அது உயர்-பாஸ் வடிகட்டி (HPF) எனப்படும். தரவுத் தொடரில் பருவநிலை போன்ற மெதுவான மாற்றங்களை அடக்குவதற்கு இது பயன்படுத்தப்படலாம்.

கூடுதலாக, பல வகையான வடிப்பான்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன: மிட்-பாஸ் ஃபில்டர்கள், ஸ்டாப் ஃபில்டர்கள் மற்றும் பேண்ட்பாஸ் வடிகட்டிகள், அதே போல் மிகவும் சிக்கலானவை, ரேடியோ எலக்ட்ரானிக்ஸில் சமிக்ஞை செயலாக்கத்தில் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. வகை மற்றும் வடிவத்தைத் தேர்ந்தெடுப்பது அதிர்வெண் பதில்வடிகட்டி, ஸ்பெக்ட்ரல் செயலாக்கத்தின் மூலம் அசல் தரவின் விரும்பிய மாற்றத்தை நீங்கள் அடையலாம்.

சத்தத்தை மென்மையாக்குவதற்கும் அகற்றுவதற்கும் தரவின் அதிர்வெண் வடிகட்டலைச் செய்யும்போது, ​​​​குறைந்த-பாஸ் வடிகட்டி அலைவரிசையை சரியாகக் குறிப்பிடுவது அவசியம். நீங்கள் அதை மிக அதிகமாகத் தேர்ந்தெடுத்தால், மென்மையாக்கும் அளவு போதுமானதாக இருக்காது, மேலும் சத்தம் முழுமையாக அடக்கப்படாது. அது மிகவும் குறுகலாக இருந்தால், சத்தத்துடன், மாற்றங்களைக் கொண்டுவருகிறது பயனுள்ள தகவல். உள்ளே இருந்தால் தொழில்நுட்ப பயன்பாடுகள்வடிகட்டிகளின் உகந்த பண்புகளை நிர்ணயிப்பதற்கு கடுமையான அளவுகோல்கள் உள்ளன, பின்னர் பகுப்பாய்வு தொழில்நுட்பங்களில் முக்கியமாக சோதனை முறைகளைப் பயன்படுத்துவது அவசியம்.

ஸ்பெக்ட்ரல் பகுப்பாய்வு என்பது மிகவும் பயனுள்ள மற்றும் நன்கு வளர்ந்த தரவு செயலாக்க முறைகளில் ஒன்றாகும். அதிர்வெண் வடிகட்டுதல்அதன் பல பயன்பாடுகளில் ஒன்றாகும். கூடுதலாக, இது தொடர்பு மற்றும் புள்ளிவிவர பகுப்பாய்வு, சமிக்ஞைகள் மற்றும் செயல்பாடுகளின் தொகுப்பு, கட்டிட மாதிரிகள் போன்றவற்றில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

பகுப்பாய்வு முறையானது ஃபோரியர் தொடர் என்று அழைக்கப்படுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. சிக்கலான வடிவங்களை எளிய வடிவங்களாக சிதைப்பதில் தொடர் தொடங்குகிறது. ஒரு சிக்கலான அலைவடிவத்தை எளிய அலைகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம் என்று ஃபோரியர் காட்டினார். ஒரு விதியாக, கிளாசிக்கல் அமைப்புகளை விவரிக்கும் சமன்பாடுகள் இந்த எளிய அலைகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் எளிதில் தீர்க்கப்படும். மேலும், இவை எப்படி என்பதை ஃபோரியர் காட்டினார் எளிய தீர்வுகள்ஒட்டுமொத்த சிக்கலான பிரச்சனைக்கும் ஒரு தீர்வைப் பெறுவதற்கு சுருக்கமாகச் சொல்லலாம். (கணித ரீதியாகப் பார்த்தால், ஃபோரியர் தொடர் என்பது ஹார்மோனிக்ஸ் - சைன் மற்றும் கொசைன் ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையாக ஒரு செயல்பாட்டைக் குறிக்கும் முறையாகும், அதனால்தான் ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு "ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு" என்றும் அறியப்பட்டது.)

ஃபோரியர் கருதுகோளின் படி, ஒரு முக்கோணவியல் தொடராக விரிவாக்க முடியாத செயல்பாடு எதுவும் இல்லை. இந்த சிதைவை எவ்வாறு மேற்கொள்ளலாம் என்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம். [–π, π] இடைவெளியில் பின்வரும் ஆர்த்தோநார்மல் செயல்பாடுகளின் அமைப்பைக் கவனியுங்கள்: (1, cos(t),
sin(t),
cos(2t),
பாவம்(2டி),
cos(3டி),
பாவம்(3டி),…,
செலவு(என்டி),
sin(nt),... ).

என்ற உண்மையால் வழிநடத்தப்பட்டது இந்த அமைப்புசெயல்பாடுகள் ஆர்த்தோநார்மல் ஆகும், [π, –π] இடைவெளியில் f(t) சார்பு பின்வருமாறு தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம்:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
sin(3t)+... (6)

குணகங்கள் α n, β n ஆகியவை செயல்பாட்டின் அளவிடல் தயாரிப்பு மற்றும் அடிப்படைச் செயல்பாட்டின் மூலம் முன்னர் விவாதிக்கப்பட்ட சூத்திரங்களின்படி கணக்கிடப்படுகின்றன மற்றும் பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

β n = , sin(nt) > =
.

வெளிப்பாடு (6) பின்வருமாறு சுருக்கப்பட்ட வடிவத்தில் எழுதப்படலாம்:

f(t) = a 0/2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 sin(t) + b 2 sin(2t) + b 3 sin(3t)+... (7)

a 0 = 2α 0 =
,

மற்றும் n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

n = 0 cos(0) = 1 இல் இருந்து, மாறிலி a 0/2 வெளிப்படுத்துகிறது பொது வடிவம் n = 0க்கான குணகம் a n.

குணகங்கள் a n மற்றும் b n ஃபோரியர் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் சூத்திரம் (7) இன் படி f(t) செயல்பாட்டின் பிரதிநிதித்துவம் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில நேரங்களில் இந்த வடிவத்தில் வழங்கப்படும் ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் உண்மையான ஃபோரியர் தொடர் விரிவாக்கம் என்றும், குணகங்கள் உண்மையான ஃபோரியர் குணகங்கள் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது. இந்த சிதைவை ஒரு சிக்கலான சிதைவிலிருந்து வேறுபடுத்துவதற்காக "உண்மையான" என்ற சொல் அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது.

(8) மற்றும் (9) வெளிப்பாடுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம். குணகம் 0 என்பது, [–π, π] பிரிவில் f(t) செயல்பாட்டின் சராசரி மதிப்பை அல்லது சமிக்ஞையின் நிலையான கூறு f(t) ஐக் குறிக்கிறது. குணகம் n மற்றும் b n (n> 0 இல்) என்பது n க்கு சமமான கோண அதிர்வெண் கொண்ட செயல்பாட்டின் (சிக்னல்) f(t) இன் கொசைன் மற்றும் சைன் கூறுகளின் வீச்சுகள் ஆகும். வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இந்த குணகங்கள் சமிக்ஞைகளின் அதிர்வெண் கூறுகளின் அளவைக் குறிப்பிடுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, குறைந்த அதிர்வெண்களைக் கொண்ட ஆடியோ சிக்னலைப் பற்றி நாம் பேசும்போது (உதாரணமாக, ஒரு பேஸ் கிட்டார் ஒலி), இதன் பொருள் a n மற்றும் b n குணகங்கள் n இன் சிறிய மதிப்புகளுக்கு பெரியதாக இருக்கும், மற்றும் நேர்மாறாக - உயர்- அதிர்வெண் ஒலி அதிர்வுகள் (எடுத்துக்காட்டாக, வயலின் ஒலி) அவை n இன் பெரிய மதிப்புகளுக்கு பெரியவை.

1 cos(t) மற்றும் b 1 sin(t) ஆகியவற்றின் கூட்டுத்தொகையால் குறிப்பிடப்படும் நீண்ட காலத்தின் (அல்லது குறைந்த அதிர்வெண்) ஊசலாட்டமானது, அடிப்படை அதிர்வெண்ணின் அலைவு அல்லது முதல் ஹார்மோனிக் எனப்படும். அடிப்படை அதிர்வெண்ணின் பாதி காலப்பகுதிக்கு சமமான ஒரு அலைவு இரண்டாவது இசைவாகும், அடிப்படை அதிர்வெண்ணின் 1/n க்கு சமமான ஒரு அலைவு ஒரு n-ஹார்மோனிக் ஆகும். எனவே, செயல்பாடு f(t)ஐ ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கம் செய்வதைப் பயன்படுத்தி, நேர டொமைனில் இருந்து அதிர்வெண் டொமைனுக்கு மாறலாம். நேர களத்தில் "கண்ணுக்கு தெரியாத" சமிக்ஞை அம்சங்களை அடையாளம் காண இந்த மாற்றம் பொதுவாக அவசியம்.

(8) மற்றும் (9) சூத்திரங்கள் 2π க்கு சமமான கால அளவு கொண்ட கால சமிக்ஞைக்கு பொருந்தும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். பொது வழக்கில், காலம் T உடன் ஒரு குறிப்பிட்ட கால சமிக்ஞையை ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கலாம், பின்னர் பிரிவு [–T/2, T/2] விரிவாக்கத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. முதல் ஹார்மோனிக்கின் காலம் Tக்கு சமம் மற்றும் கூறுகள் cos(2πt/T) மற்றும் sin(2πt/T) வடிவத்தை எடுக்கின்றன, n-ஹார்மோனிக் கூறுகள் cos(2πtn/T) மற்றும் sin(2πtn/T) )

[–T/2,T/2] இடைவெளியில் f(t) சார்பு பின்வருமாறு தோராயமாக மதிப்பிடப்படலாம்:

f(t) = a 0/2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+..., (10)

ஒரு n =
,

b n=
.

முதல் ஹார்மோனிக்கின் கோண அதிர்வெண்ணை ω 0 = 2π/T எனக் குறிப்பிட்டால், n-ஹார்மோனிக் கூறுகள் cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) மற்றும்

f(t) = a 0/2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

ஃபோரியர் குணகங்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன:

ஒரு n =
,

b n =
.

சிக்கலான வடிவத்தின் எந்த அலையையும் எளிய அலைகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம்.

ஜோசப் ஃபோரியர், திடப் பொருட்களின் வழியாக வெப்பம் எவ்வாறு செல்கிறது என்பதை கணித அடிப்படையில் விவரிக்க ஆர்வமாக இருந்தார் ( செ.மீ.வெப்ப பரிமாற்றம்). அவர் வட ஆபிரிக்காவில் இருந்தபோது வெப்பத்தின் மீதான அவரது ஆர்வம் தூண்டப்பட்டிருக்கலாம்: ஃபோரியர் நெப்போலியனுடன் பிரெஞ்சு பயணத்தில் எகிப்துக்குச் சென்று சிறிது காலம் வாழ்ந்தார். தனது இலக்கை அடைய, ஃபோரியர் புதிய கணித முறைகளை உருவாக்க வேண்டியிருந்தது. அவரது ஆராய்ச்சியின் முடிவுகள் 1822 இல் "வெப்பத்தின் பகுப்பாய்வுக் கோட்பாடு" என்ற படைப்பில் வெளியிடப்பட்டன. தியரி அனலிட்டிக் டி லா சேலூர்), அங்கு அவர் சிக்கலான உடல் சார்ந்த பிரச்சனைகளை எவ்வாறு எளிமையான ஒன்றாக பிரித்து பகுப்பாய்வு செய்வது என்பதை விளக்கினார்.

பகுப்பாய்வு முறை என்று அழைக்கப்படுவதை அடிப்படையாகக் கொண்டது ஃபோரியர் தொடர். குறுக்கீடு கொள்கைக்கு இணங்க, தொடர் ஒரு சிக்கலான வடிவத்தை எளிமையானதாக சிதைப்பதன் மூலம் தொடங்குகிறது - எடுத்துக்காட்டாக, பூமியின் மேற்பரப்பில் ஏற்படும் மாற்றம் பூகம்பத்தால் விளக்கப்படுகிறது, ஒரு வால்மீனின் சுற்றுப்பாதையில் ஏற்படும் மாற்றம் தாக்கத்தால் விளக்கப்படுகிறது. பல கிரகங்களின் ஈர்ப்பு, வெப்ப-இன்சுலேடிங் பொருளால் செய்யப்பட்ட ஒழுங்கற்ற வடிவ தடையின் வழியாக வெப்ப ஓட்டத்தில் மாற்றம் ஏற்படுகிறது. ஒரு சிக்கலான அலைவடிவத்தை எளிய அலைகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிப்பிடலாம் என்று ஃபோரியர் காட்டினார். ஒரு விதியாக, கிளாசிக்கல் அமைப்புகளை விவரிக்கும் சமன்பாடுகள் இந்த எளிய அலைகள் ஒவ்வொன்றிற்கும் எளிதில் தீர்க்கப்படும். ஃபோரியர், இந்த எளிய தீர்வுகளை எவ்வாறு சுருக்கமாகச் சுருக்கி, முழு சிக்கலான பிரச்சனைக்கும் தீர்வைக் கொடுக்க முடியும் என்பதைக் காட்டினார். (கணித ரீதியாகப் பார்த்தால், ஃபோரியர் தொடர் என்பது ஒரு செயல்பாட்டை ஹார்மோனிக்ஸ்-சைன் மற்றும் கொசைன் அலைகளின் கூட்டுத்தொகையாகக் குறிக்கும் முறையாகும், அதனால்தான் ஃபோரியர் பகுப்பாய்வு "ஹார்மோனிக் பகுப்பாய்வு" என்றும் அறியப்பட்டது.)

இருபதாம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதியில் கணினிகள் வருவதற்கு முன்பு, ஃபோரியர் முறைகள் மற்றும் ஒத்த முறைகள் இருந்தன சிறந்த ஆயுதம்இயற்கையின் சிக்கல்களைத் தாக்கும் போது அறிவியல் ஆயுதக் களஞ்சியத்தில். சிக்கலான ஃபோரியர் முறைகளின் வருகைக்குப் பிறகு, விஞ்ஞானிகள் அவற்றை தீர்க்க மட்டும் பயன்படுத்த முடிந்தது எளிய பணிகள், இது நியூட்டனின் இயக்கவியல் விதிகள் மற்றும் பிற அடிப்படை சமன்பாடுகளை நேரடியாகப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் தீர்க்கப்படலாம். 19 ஆம் நூற்றாண்டில் நியூட்டனின் அறிவியலின் பல பெரிய சாதனைகள் ஃபோரியர் முன்னோடியாக இருந்த முறைகளைப் பயன்படுத்தாமல் சாத்தியமற்றதாக இருந்திருக்கும். பின்னர், இந்த முறைகள் பல்வேறு துறைகளில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படுத்தப்பட்டன - வானியல் முதல் இயந்திர பொறியியல் வரை.

ஜீன்-பாப்டிஸ்ட் ஜோசப் ஃபுரி
ஜீன்-பாப்டிஸ்ட் ஜோசப் ஃபோரியர், 1768-1830

பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர். ஆக்சேரில் பிறந்தார்; ஒன்பது வயதில் அவர் அனாதையாக விடப்பட்டார். ஏற்கனவே இளம் வயதிலேயே அவர் கணிதத்தில் திறமையைக் காட்டினார். ஃபோரியர் ஒரு தேவாலயப் பள்ளி மற்றும் இராணுவப் பள்ளியில் படித்தார், பின்னர் கணித ஆசிரியராக பணியாற்றினார். அவரது வாழ்நாள் முழுவதும் அவர் அரசியலில் தீவிரமாக ஈடுபட்டார்; 1794 இல் பயங்கரவாதத்தால் பாதிக்கப்பட்டவர்களை பாதுகாத்ததற்காக கைது செய்யப்பட்டார். Robespierre இறந்த பிறகு அவர் சிறையில் இருந்து விடுவிக்கப்பட்டார்; பாரிஸில் புகழ்பெற்ற பாலிடெக்னிக் பள்ளி (எகோல் பாலிடெக்னிக்) உருவாக்கத்தில் பங்கேற்றார்; அவரது நிலை நெப்போலியனின் ஆட்சியின் கீழ் முன்னேற்றத்திற்கான ஊக்கத்தை அவருக்கு வழங்கியது. அவர் நெப்போலியனுடன் எகிப்துக்குச் சென்றார் மற்றும் கீழ் எகிப்தின் ஆளுநராக நியமிக்கப்பட்டார். 1801 இல் பிரான்சுக்குத் திரும்பியதும், அவர் மாகாணங்களில் ஒன்றின் ஆளுநராக நியமிக்கப்பட்டார். 1822 இல் அவர் பிரெஞ்சு அறிவியல் அகாடமியின் நிரந்தர செயலாளராக ஆனார், இது பிரெஞ்சு அறிவியல் உலகில் செல்வாக்கு மிக்க பதவியாகும்.