ஒரு மேட்ரிக்ஸை எண்ணால் பெருக்க, அந்த எண்ணால் மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பெருக்க வேண்டும்.

விளைவு. அனைத்து மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளின் பொதுவான காரணி மேட்ரிக்ஸ் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கப்படலாம்.

உதாரணத்திற்கு, .

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, மெட்ரிக்ஸைக் கூட்டுதல், கழித்தல் மற்றும் ஒரு மேட்ரிக்ஸை எண்ணால் பெருக்குதல் போன்ற செயல்கள் எண்களின் செயல்களைப் போலவே இருக்கும். மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கல் என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட செயல்பாடு.

இரண்டு மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு.

எல்லா மெட்ரிக்குகளையும் பெருக்க முடியாது. இரண்டு மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு ஏமற்றும் INபட்டியலிடப்பட்ட வரிசையில் ஏபிமுதல் காரணியின் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை மட்டுமே சாத்தியமாகும் ஏஇரண்டாவது காரணியின் வரிசைகளின் எண்ணிக்கைக்கு சமம் IN.

உதாரணத்திற்கு, .

மேட்ரிக்ஸ் அளவு ஏ 33, அணி அளவு IN 23. வேலை ஏபிசாத்தியமற்றது, வேலை VAஇருக்கலாம்.

A மற்றும் B ஆகிய இரண்டு அணிகளின் பெருக்கமானது மூன்றாவது அணி C ஆகும், இதில் C ij என்ற உறுப்பு முதல் காரணியின் i-வது வரிசை மற்றும் இரண்டாவது j-வது நெடுவரிசையின் தனிமங்களின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். காரணி.

இந்த வழக்கில் மெட்ரிக்ஸின் தயாரிப்பு சாத்தியம் என்று காட்டப்பட்டது VA

இரண்டு மெட்ரிக்குகளின் உற்பத்தியின் இருப்பு விதியிலிருந்து, பொது வழக்கில் இரண்டு மெட்ரிக்குகளின் தயாரிப்பு பரிமாற்றச் சட்டத்திற்குக் கீழ்ப்படியவில்லை, அதாவது. ஏபி? VA. ஒரு குறிப்பிட்ட வழக்கில் அது மாறிவிட்டால் AB = BA,பின்னர் அத்தகைய மெட்ரிக்குகள் வரிசைமாற்றம் அல்லது பரிமாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

மேட்ரிக்ஸ் இயற்கணிதத்தில், சாதாரண இயற்கணிதத்திற்கு மாறாக, காரணி அணிகள் எதுவும் பூஜ்ஜியமாக இல்லாவிட்டாலும், இரண்டு அணிகளின் பெருக்கல் பூஜ்ஜிய மேட்ரிக்ஸாக இருக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, மெட்ரிக்குகளின் பலனைக் கண்டுபிடிப்போம் ஏபி, என்றால்

நீங்கள் பல மெட்ரிக்குகளைப் பெருக்கலாம். நீங்கள் மெட்ரிக்குகளைப் பெருக்க முடிந்தால் ஏ, INமேலும் இந்த அணிகளின் பெருக்கத்தை மேட்ரிக்ஸால் பெருக்க முடியும் உடன், பின்னர் தயாரிப்பை உருவாக்க முடியும் ( ஏபி) உடன்மற்றும் ஏ(சூரியன்) இந்த வழக்கில், பெருக்கல் தொடர்பான கூட்டுச் சட்டம் நடைபெறுகிறது ( ஏபி) உடன் = ஏ(சூரியன்).

நான்கு எண்களைக் கொண்ட ஒரு அட்டவணையை (மேட்ரிக்ஸ் என அழைக்கப்படும்) வழங்குவோம்:

அணியில் இரண்டு வரிசைகள் மற்றும் இரண்டு நெடுவரிசைகள் உள்ளன. இந்த அணியை உருவாக்கும் எண்கள் இரண்டு குறியீடுகள் கொண்ட கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகின்றன. முதல் குறியீடானது வரிசை எண்ணைக் குறிக்கிறது, இரண்டாவது கொடுக்கப்பட்ட எண் தோன்றும் நெடுவரிசை எண்ணைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக, முதல் வரிசை மற்றும் இரண்டாவது நெடுவரிசையில் உள்ள எண்; இரண்டாவது வரிசை மற்றும் முதல் நெடுவரிசையில் உள்ள எண். மேட்ரிக்ஸின் எண்களை உறுப்புகள் என்று அழைப்போம்.

கொடுக்கப்பட்ட மேட்ரிக்ஸுடன் தொடர்புடைய இரண்டாவது வரிசையின் தீர்மானிப்பான் (அல்லது தீர்மானிப்பான்) பின்வருமாறு பெறப்பட்ட எண்:

தீர்மானிப்பான் சின்னத்தால் குறிக்கப்படுகிறது

இதனால்,

எண்கள் தீர்மானிக்கும் கூறுகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

இரண்டாம் வரிசை நிர்ணயிப்பாளரின் பண்புகளை முன்வைப்போம்.

சொத்து 1. அதன் வரிசைகள் தொடர்புடைய நெடுவரிசைகளுடன் மாற்றப்பட்டால், தீர்மானிப்பான் மாறாது, அதாவது.

சொத்து 2.

இரண்டு வரிசைகளை (அல்லது நெடுவரிசைகளை) மறுசீரமைக்கும்போது, ​​தீர்மானிப்பான் அதன் அடையாளத்தை எதிர்மாறாக மாற்றும், முழுமையான மதிப்பைப் பாதுகாக்கும், அதாவது.

சொத்து 3. ஒரே மாதிரியான இரண்டு வரிசைகள் (அல்லது நெடுவரிசைகள்) கொண்ட தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

சொத்து 4. ஒரு வரிசையின் (அல்லது நெடுவரிசையின்) அனைத்து உறுப்புகளின் பொதுவான காரணியை தீர்மானிக்கும் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்:

சொத்து 5. ஒரு வரிசையின் (அல்லது நெடுவரிசை) அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

சொத்து 6. தீர்மானிப்பவரின் எந்த வரிசையிலும் (அல்லது நெடுவரிசையில்) நாம் மற்றொரு வரிசையின் (அல்லது நெடுவரிசை) தொடர்புடைய கூறுகளைச் சேர்த்தால், அதே எண்ணான y ஆல் பெருக்கினால், தீர்மானிப்பான் அதன் மதிப்பை மாற்றாது, அதாவது.

தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிட பொதுவாகப் பயன்படுத்தப்படும் பண்புகளை இங்கே கோடிட்டுக் காட்டுவோம் நிலையான படிப்புஉயர் கணிதம். இது ஒரு துணைத் தலைப்பாகும், தேவையான பிற பிரிவுகளில் இருந்து நாம் குறிப்பிடுவோம்.

எனவே, ஒரு குறிப்பிட்ட சதுர அணி $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) கொடுக்கப்படும் & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ முடிவு(வரிசை) \வலது)$. ஒவ்வொரு சதுர மேட்ரிக்ஸிலும் ஒரு தீர்மானிப்பான் (அல்லது தீர்மானிப்பான்) எனப்படும் ஒரு பண்பு உள்ளது. இந்த கருத்தின் சாராம்சத்திற்கு நான் இங்கு செல்லமாட்டேன். இதற்கு தெளிவு தேவைப்பட்டால், தயவுசெய்து அதைப் பற்றி மன்றத்தில் எழுதுங்கள், மேலும் இந்த சிக்கலை நான் இன்னும் விரிவாகத் தொடுவேன்.

$A$ மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான் $\Delta A$, $|A|$ அல்லது $\det A$ எனக் குறிக்கப்படுகிறது. தீர்மானிக்கும் வரிசைஅதில் உள்ள வரிசைகளின் (நெடுவரிசைகள்) எண்ணிக்கைக்கு சமம்.

1. அதன் வரிசைகள் தொடர்புடைய நெடுவரிசைகளால் மாற்றப்பட்டால், தீர்மானிக்கும் பொருளின் மதிப்பு மாறாது, அதாவது. $\Delta A=\Delta A^T$.

   காட்டு\மறை

   அதில் உள்ள வரிசைகளை கொள்கையின்படி நெடுவரிசைகளுடன் மாற்றுவோம்: “முதல் வரிசை இருந்தது - முதல் நெடுவரிசை இருந்தது”, “இரண்டாவது வரிசை இருந்தது - இரண்டாவது நெடுவரிசை இருந்தது”:

   இதன் விளைவாக வரும் தீர்மானத்தை கணக்கிடுவோம்: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மாற்று காரணமாக தீர்மானிப்பவரின் மதிப்பு மாறவில்லை.

2. நீங்கள் தீர்மானிப்பாளரின் இரண்டு வரிசைகளை (நெடுவரிசைகளை) மாற்றினால், தீர்மானிப்பாளரின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறும்.

   இந்த சொத்தை பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு: காட்டு\மறை

   தீர்மானிக்கும் $\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது ஆர்டர்களின் நிர்ணயிப்பாளர்களைக் கணக்கிடும் தலைப்பில் இருந்து சூத்திர எண் 1 ஐப் பயன்படுத்தி அதன் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்:

   $$\இடது| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   இப்போது முதல் மற்றும் இரண்டாவது வரிகளை மாற்றுவோம். $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. இதன் விளைவாக வரும் தீர்மானத்தை கணக்கிடுவோம்: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. எனவே, அசல் தீர்மானியின் மதிப்பு (-37), மற்றும் மாற்றப்பட்ட வரிசை வரிசையுடன் நிர்ணயிப்பவரின் மதிப்பு $-(-37)=37$ ஆகும். தீர்மானிப்பவரின் அடையாளம் எதிர்மாறாக மாறிவிட்டது.

3. ஒரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் ஒரு தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

   இந்த சொத்தை பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு: காட்டு\மறை

   $\இடது| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ மூன்றாவது நெடுவரிசையின் அனைத்து கூறுகளும் பூஜ்ஜியமாகும், பின்னர் தீர்மானிப்பான் பூஜ்யம், அதாவது. $\இடது| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையின் (நெடுவரிசை) அனைத்து கூறுகளும் மற்றொரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) தொடர்புடைய உறுப்புகளுக்கு சமமாக இருக்கும் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

   இந்த சொத்தை பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு: காட்டு\மறை

   $\இடது| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ முதல் வரிசையின் அனைத்து உறுப்புகளும் தொடர்புடையவைக்கு சமம் இரண்டாவது வரிசையின் கூறுகள், பின்னர் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது. $\இடது| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. ஒரு தீர்மானிப்பதில் ஒரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) அனைத்து கூறுகளும் மற்றொரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) தொடர்புடைய உறுப்புகளுக்கு விகிதாசாரமாக இருந்தால், அத்தகைய தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

   இந்த சொத்தை பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு: காட்டு\மறை

   $\இடது| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசைகள் விகிதாசாரமாக இருக்கும், அதாவது. $r_3=-3\cdot(r_2)$, பின்னர் தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம், அதாவது. $\இடது| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. ஒரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) அனைத்து கூறுகளும் பொதுவான காரணியைக் கொண்டிருந்தால், இந்த காரணியை தீர்மானிக்கும் அடையாளத்திலிருந்து எடுக்கலாம்.

   இந்த சொத்தை பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு: காட்டு\மறை

   தீர்மானிக்கும் $\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. இரண்டாவது வரிசையில் உள்ள அனைத்து கூறுகளும் 3 ஆல் வகுபடும் என்பதைக் கவனியுங்கள்:

   $$\இடது| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   எண் 3 என்பது இரண்டாவது வரிசையின் அனைத்து உறுப்புகளின் பொதுவான காரணியாகும். தீர்மானிக்கும் அடையாளத்திலிருந்து மூன்றை எடுத்துக் கொள்வோம்:

   $$\இடது| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசையின் (நெடுவரிசையின்) அனைத்து உறுப்புகளிலும், ஒரு தன்னிச்சையான எண்ணால் பெருக்கப்படும் மற்றொரு வரிசையின் (நெடுவரிசை) தொடர்புடைய கூறுகளைச் சேர்த்தால், தீர்மானிப்பான் மாறாது.

   இந்த சொத்தை பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு: காட்டு\மறை

   தீர்மானிக்கும் $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. 5 ஆல் பெருக்கப்படும் மூன்றாவது வரியின் தொடர்புடைய கூறுகளை இரண்டாவது வரியின் உறுப்புகளில் சேர்ப்போம். இந்த செயல் பின்வருமாறு எழுதப்பட்டுள்ளது: $r_2+5\cdot(r_3)$. இரண்டாவது வரி மாற்றப்படும், மீதமுள்ள வரிகள் மாறாமல் இருக்கும்.

   $$\இடது| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (வரிசை) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. ஒரு குறிப்பிட்ட வரிசை (நெடுவரிசை) மற்ற வரிசைகளின் (நெடுவரிசைகள்) நேரியல் கலவையாக இருந்தால், தீர்மானிப்பான் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

   இந்த சொத்தை பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு: காட்டு\மறை

   "நேரியல் சேர்க்கை" என்ற சொற்றொடரின் அர்த்தம் என்ன என்பதை உடனடியாக விளக்குகிறேன். எங்களிடம் கள் வரிசைகள் (அல்லது நெடுவரிசைகள்): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. வெளிப்பாடு

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   இங்கு $k_i\in R$ ஆனது வரிசைகளின் (நெடுவரிசைகள்) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ ஆகியவற்றின் நேரியல் கலவை என அழைக்கப்படுகிறது.

   எடுத்துக்காட்டாக, பின்வரும் தீர்மானிப்பதைக் கவனியுங்கள்:

   $$\இடது| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(வரிசை) \right| $$

   இந்த தீர்மானிப்பதில், நான்காவது வரிசையை நேரியல் கலவையாக வெளிப்படுத்தலாம் முதல் மூன்றுகோடுகள்:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   எனவே, கேள்விக்குரிய நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்.

9. ஒரு குறிப்பிட்ட k-வது வரிசையின் (k-th நெடுவரிசை) ஒவ்வொரு உறுப்பும் இரண்டு சொற்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருந்தால், அத்தகைய தீர்மானிப்பானது தீர்மானிப்பான்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், அதில் முதல் kth வரி (kth நெடுவரிசை) முதல் சொற்கள் உள்ளன, மற்றும் இரண்டாவது தீர்மானிப்பான் k-th வரிசையில் (k-th column) இரண்டாவது சொற்களைக் கொண்டுள்ளது. இந்த தீர்மானிகளின் மற்ற கூறுகள் ஒரே மாதிரியானவை.

   இந்த சொத்தை பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டு: காட்டு\மறை

   தீர்மானிக்கும் $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. இரண்டாவது நெடுவரிசையின் கூறுகளை இப்படி எழுதுவோம்: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. அத்தகைய தீர்மானிப்பான் இரண்டு தீர்மானிப்பான்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

   $$\இடது| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. ஒரே வரிசையின் இரண்டு சதுர மெட்ரிக்குகளின் பெருக்கத்தின் நிர்ணயிப்பானது இந்த மெட்ரிக்குகளின் நிர்ணயிப்பாளர்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம், அதாவது. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. இந்த விதியிலிருந்து நாம் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பெறலாம்: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. அணி $A$ ஒருமையல்லாததாக இருந்தால் (அதாவது அதன் நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை), பின்னர் $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள்

இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது ஆர்டர்களை தீர்மானிப்பவர்களுக்கு, பின்வரும் சூத்திரங்கள் சரியானவை:

\begin(சமன்பாடு) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(சமன்பாடு) \begin(சமன்பாடு) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \begin(array) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(aligned)\end(சமன்பாடு)

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் (1) மற்றும் (2) "இரண்டாவது மற்றும் மூன்றாவது வரிசைகளின் தீர்மானிப்பாளர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரங்கள். தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்" என்ற தலைப்பில் உள்ளன.

அணி $A_(n\times n)$ இன் நிர்ணயம் விரிவாக்கப்படலாம் நான்-வது வரிபின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\\ ldots+a_(in)A_(in) \end(சமன்பாடு)

இந்த சூத்திரத்தின் அனலாக் நெடுவரிசைகளுக்கும் உள்ளது. jth நெடுவரிசையில் தீர்மானிப்பதை விரிவாக்குவதற்கான சூத்திரம் பின்வருமாறு:

\begin(சமன்பாடு)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(சமன்பாடு)

சூத்திரங்கள் (3) மற்றும் (4) மூலம் வெளிப்படுத்தப்படும் விதிகள் எடுத்துக்காட்டுகளுடன் விரிவாக விளக்கப்பட்டு, தீர்மானிப்பவரின் வரிசையைக் குறைத்தல் என்ற தலைப்பில் விளக்கப்பட்டுள்ளன. ஒரு வரிசையில் (நெடுவரிசை) தீர்மானிப்பவரின் சிதைவு.

மேல் முக்கோண மற்றும் கீழ் முக்கோண மெட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுவதற்கான மற்றொரு சூத்திரத்தைக் குறிப்பிடுவோம் (இந்த விதிமுறைகளின் விளக்கத்திற்கு, "மேட்ரிக்ஸ். மெட்ரிக்ஸின் வகைகள். அடிப்படை விதிமுறைகள்" என்ற தலைப்பைப் பார்க்கவும்). அத்தகைய மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் தயாரிப்புக்கு சமம். எடுத்துக்காட்டுகள்:

\begin(சீரமைக்கப்பட்டது) &\இடது| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \ end(array) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \ end(array) \ வலது|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \முடிவு(சீரமைக்கப்பட்டது)

- உறுதியான மரணத்திற்கு டைட்மவுஸை விடுங்கள்!
சுதந்திரம் அவளைத் தழுவட்டும்!
மற்றும் கப்பல் பயணிக்கிறது, மற்றும் உலை கர்ஜிக்கிறது ...
- பாஷ், நீங்கள் பிடிவாதமாக இருக்கிறீர்களா?

8 ஆம் வகுப்பு வரை எனக்கு அல்ஜீப்ரா பிடிக்கவில்லை என்பது எனக்கு நினைவிருக்கிறது. எனக்கு அது பிடிக்கவே இல்லை. அவள் என்னை சீண்டினாள். ஏனென்றால் எனக்கு அங்கு எதுவும் புரியவில்லை.

நான் ஒரு தந்திரத்தைக் கண்டுபிடித்ததால் எல்லாம் மாறிவிட்டது:

பொதுவாக கணிதத்தில் (மற்றும் குறிப்பாக இயற்கணிதம்) அனைத்தும் ஒரு திறமையான மற்றும் நிலையான வரையறைகளின் அடிப்படையில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளன. நீங்கள் வரையறைகளை அறிந்திருந்தால், அவற்றின் சாரத்தை புரிந்து கொள்ளுங்கள், மீதமுள்ளவற்றைக் கண்டுபிடிப்பது கடினம் அல்ல.

இன்றைய பாடத்தின் தலைப்பும் அப்படித்தான். பல தொடர்புடைய சிக்கல்கள் மற்றும் வரையறைகளை நாங்கள் விரிவாகக் கருதுவோம், இதற்கு நன்றி நீங்கள் ஒருமுறை மற்றும் அனைத்து மெட்ரிக்குகள், தீர்மானிப்பவர்கள் மற்றும் அவற்றின் அனைத்து பண்புகளையும் புரிந்துகொள்வீர்கள்.

மேட்ரிக்ஸ் இயற்கணிதத்தில் தீர்மானிப்பான்கள் ஒரு மையக் கருத்து. சுருக்கமான பெருக்கல் சூத்திரங்களைப் போலவே, அவை உயர் கணிதம் முழுவதும் உங்களை வேட்டையாடும். எனவே, நாங்கள் முழுமையாகப் படித்து, பார்த்து, புரிந்துகொள்கிறோம். :)

நாங்கள் மிகவும் நெருக்கமான விஷயத்துடன் தொடங்குவோம் - மேட்ரிக்ஸ் என்றால் என்ன? மற்றும் அதை எவ்வாறு சரியாக வேலை செய்வது.

மேட்ரிக்ஸில் குறியீடுகளின் சரியான இடம்

மேட்ரிக்ஸ் என்பது எண்களால் நிரப்பப்பட்ட அட்டவணை. நியோவுக்கும் அதற்கும் எந்த சம்பந்தமும் இல்லை.

மேட்ரிக்ஸின் முக்கிய பண்புகளில் ஒன்று அதன் பரிமாணமாகும், அதாவது. அது கொண்டிருக்கும் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை. ஒரு குறிப்பிட்ட அணி $A$ $m$ வரிசைகள் மற்றும் $n$ நெடுவரிசைகளைக் கொண்டிருந்தால் $\left[ m\times n \right]$ அளவு இருக்கும் என்று பொதுவாகக் கூறுவோம். இதை இப்படி எழுதுங்கள்:

அல்லது இப்படி:

மற்ற பெயர்கள் உள்ளன - இவை அனைத்தும் பாடப்புத்தகத்தின் விரிவுரையாளர் / கருத்தரங்கு ஆசிரியர் / ஆசிரியரின் விருப்பங்களைப் பொறுத்தது. ஆனால் எப்படியிருந்தாலும், இந்த $\left[m\times n \right]$ மற்றும் $((a)_(ij))$ ஆகியவற்றிலும் இதே பிரச்சனை எழுகிறது:

எந்தக் குறியீடு எதற்குப் பொறுப்பாகும்? முதலில் வரிசை எண் வருமா, பிறகு நெடுவரிசை எண் வருமா? அல்லது நேர்மாறாக?

விரிவுரைகள் மற்றும் பாடப்புத்தகங்களைப் படிக்கும்போது, ​​பதில் தெளிவாகத் தோன்றும். ஆனால் ஒரு தேர்வில் உங்கள் முன் ஒரு பணியுடன் ஒரு தாள் மட்டுமே இருக்கும்போது, ​​​​நீங்கள் அதிக உற்சாகமடைந்து திடீரென்று குழப்பமடையலாம்.

எனவே இந்த பிரச்சினையை ஒருமுறை தீர்த்து வைப்போம். தொடங்குவதற்கு, ஒரு பள்ளி கணித பாடத்தின் வழக்கமான ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை நினைவில் கொள்வோம்:

ஒரு விமானத்தில் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பின் அறிமுகம்

அவளை நினைவிருக்கிறதா? இது $x$ மற்றும் $y$ அச்சுகளின் தோற்றம் (புள்ளி $O=\left(0;0 \right)$) உள்ளது, மேலும் விமானத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் தனித்தனியாக ஆயத்தொகுப்புகளால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: $A=\left( 1;2 \ வலது)$, $B=\இடது(3;1 \வலது)$, போன்றவை.

இப்போது இந்த கட்டுமானத்தை எடுத்து மேட்ரிக்ஸுக்கு அடுத்ததாக வைப்போம், இதனால் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றம் மேல் இடது மூலையில் இருக்கும். ஏன் அங்கே? ஆம், ஏனென்றால் ஒரு புத்தகத்தைத் திறக்கும்போது, ​​பக்கத்தின் மேல் இடது மூலையில் இருந்து துல்லியமாகப் படிக்கத் தொடங்குகிறோம் - இதை நினைவில் கொள்வது எளிது.

ஆனால் அச்சுகளை எங்கே இயக்க வேண்டும்? எங்கள் முழு மெய்நிகர் “பக்கமும்” இந்த அச்சுகளால் மூடப்பட்டிருக்கும் வகையில் அவற்றை இயக்குவோம். உண்மை, இதற்காக நாம் நமது ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை சுழற்ற வேண்டும். மட்டுமே சாத்தியமான மாறுபாடுஇந்த இடம்:

மேட்ரிக்ஸில் ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பை மேலெழுதுதல்

இப்போது மேட்ரிக்ஸின் ஒவ்வொரு கலமும் $x$ மற்றும் $y$ என்ற தனித்துவமான ஆயங்களைக் கொண்டுள்ளது. எடுத்துக்காட்டாக, $((a)_(24))$ என்று எழுதுவது $x=2$ மற்றும் $y=4$ ஆகிய ஆயத்தொகுதிகளுடன் உறுப்பை அணுகுகிறோம் என்று அர்த்தம். மேட்ரிக்ஸின் பரிமாணங்களும் ஒரு ஜோடி எண்களால் தனித்துவமாக குறிப்பிடப்படுகின்றன:

மேட்ரிக்ஸில் குறியீடுகளை வரையறுத்தல்

இந்த படத்தை மட்டும் கவனமாக பாருங்கள். ஆயத்தொலைவுகளுடன் விளையாடுங்கள் (குறிப்பாக நீங்கள் உண்மையான மெட்ரிக்குகள் மற்றும் நிர்ணயிப்பவர்களுடன் பணிபுரியும் போது) - மிக விரைவில் நீங்கள் புரிந்துகொள்வீர்கள், மிகவும் சிக்கலான கோட்பாடுகள் மற்றும் வரையறைகளில் கூட நீங்கள் என்ன சொல்லப்படுகிறீர்கள் என்பதை நன்கு புரிந்துகொள்வீர்கள்.

அறிந்துகொண்டேன்? சரி, அறிவொளியின் முதல் படிக்கு செல்லலாம் - தீர்மானிப்பவரின் வடிவியல் வரையறை. :)

வடிவியல் வரையறை

முதலாவதாக, $\left[ n\times n \right]$ வடிவத்தின் சதுர மெட்ரிக்குகளுக்கு மட்டுமே டிடர்மினன்ட் உள்ளது என்பதை நான் கவனிக்க விரும்புகிறேன். தீர்மானிப்பான் என்பது சில விதிகளின்படி கணக்கிடப்படும் எண்ணாகும், மேலும் இது இந்த மேட்ரிக்ஸின் குணாதிசயங்களில் ஒன்றாகும்.

எனவே இந்த பண்பு என்ன? இதற்கு என்ன அர்த்தம்? இது எளிமை:

ஒரு சதுர அணி $A=\left[ n\times n \right]$ என்பது $n$-பரிமாண இணைநிலையின் தொகுதி ஆகும், இது மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளை வெக்டார்களாகக் கருதினால் உருவாகிறது. இணையான குழாய்.

எடுத்துக்காட்டாக, 2x2 மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம் என்பது ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவாகும், ஆனால் 3x3 மேட்ரிக்ஸுக்கு இது ஏற்கனவே 3-பரிமாண இணைக் குழாய்களின் தொகுதி ஆகும் - இது அனைத்து உயர்நிலைப் பள்ளி மாணவர்களையும் ஸ்டீரியோமெட்ரி பாடங்களில் கோபப்படுத்துகிறது. .

முதல் பார்வையில், இந்த வரையறை முற்றிலும் போதாது என்று தோன்றலாம். ஆனால் முடிவுகளுக்கு விரைந்து செல்ல வேண்டாம் - எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம். உண்மையில், எல்லாம் அடிப்படை, வாட்சன்:

பணி. மெட்ரிக்குகளை தீர்மானிப்பதைக் கண்டறியவும்:

\[\இடது| \begin(matrix) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\ end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\ end(matrix) \right|\quad \left| \begin(matrix)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\ end(matrix) \right|\]

தீர்வு. முதல் இரண்டு தீர்மானிப்பான்கள் அளவு 2x2. எனவே இவை இணையான வரைபடங்களின் பகுதிகள். அவற்றை வரைந்து பகுதியை கணக்கிடுவோம்.

முதல் இணையான வரைபடம் $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ மற்றும் $(v)_(2))=\left(0;3 \right) ஆகிய திசையன்களில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. $:

2x2 இன் தீர்மானிப்பான் ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவாகும்

வெளிப்படையாக, இது ஒரு இணையான வரைபடம் மட்டுமல்ல, ஒரு செவ்வகமாகும். அதன் பரப்பளவு

இரண்டாவது இணையான வரைபடம் $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ மற்றும் $(v)_(2))=\left(2;2 \right ஆகிய திசையன்களில் கட்டமைக்கப்பட்டுள்ளது. )$. சரி, அதனால் என்ன? இதுவும் ஒரு செவ்வகம்:

மற்றொரு 2x2 தீர்மானிப்பான்

இந்த செவ்வகத்தின் பக்கங்கள் (அடிப்படையில் திசையன்களின் நீளம்) பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி எளிதாகக் கணக்கிடப்படுகின்றன:

\[\தொடங்கு(சீரமைக்க) & \இடது| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \இடது| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+(2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\இடது| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\முடிவு(சீரமை)\]

இது கடைசி நிர்ணயிப்பைச் சமாளிக்க உள்ளது - இது ஏற்கனவே 3x3 மேட்ரிக்ஸைக் கொண்டுள்ளது. ஸ்டீரியோமெட்ரியை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

3x3 இன் நிர்ணயம் என்பது ஒரு இணையான பைப்பின் அளவு

இது மனதைக் கவரும் வகையில் தெரிகிறது, ஆனால் உண்மையில் ஒரு இணையான பைப்பின் தொகுதிக்கான சூத்திரத்தை நினைவில் வைத்தால் போதும்:

$S$ என்பது அடித்தளத்தின் பகுதி (எங்கள் விஷயத்தில், இது $OXY$ விமானத்தில் உள்ள இணையான வரைபடத்தின் பகுதி), $h$ என்பது இந்த தளத்திற்கு வரையப்பட்ட உயரம் (உண்மையில், $ z$-வெக்டரின் ஒருங்கிணைப்பு $((v)_(3) )$).

ஒரு இணையான வரைபடத்தின் பரப்பளவு (நாங்கள் அதை தனித்தனியாக வரைந்தோம்) கணக்கிட எளிதானது:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\முடிவு(சீரமை)\]

அவ்வளவுதான்! நாங்கள் பதில்களை எழுதுகிறோம்.

பதில்: 3; 4; 24.

குறியீட்டு முறை பற்றி ஒரு சிறிய குறிப்பு. திசையன்களுக்கு மேலே உள்ள "அம்புகளை" நான் புறக்கணிப்பதை சிலர் விரும்ப மாட்டார்கள். நீங்கள் ஒரு திசையனை ஒரு புள்ளி அல்லது வேறு ஏதாவது கொண்டு குழப்பலாம்.

ஆனால் தீவிரமாக இருக்கட்டும்: நாங்கள் ஏற்கனவே வளர்ந்த சிறுவர்கள் மற்றும் பெண்கள், எனவே சூழலில் இருந்து நாம் ஒரு திசையன் பற்றி பேசும்போது மற்றும் ஒரு புள்ளியைப் பற்றி பேசும்போது நன்றாக புரிந்துகொள்கிறோம். அம்புகள் ஏற்கனவே கணித சூத்திரங்களால் விளிம்பு வரை அடைக்கப்பட்ட கதையை மட்டுமே அடைத்து விடுகின்றன.

மேலும் மேலும். கொள்கையளவில், 1x1 மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பதைக் கருத்தில் கொள்வதில் இருந்து எதுவும் நம்மைத் தடுக்காது - அத்தகைய அணி வெறுமனே ஒரு கலமாகும், மேலும் இந்த கலத்தில் எழுதப்பட்ட எண் தீர்மானிப்பதாக இருக்கும். ஆனால் இங்கே ஒரு முக்கியமான குறிப்பு உள்ளது:

கிளாசிக்கல் தொகுதியைப் போலல்லாமல், தீர்மானிப்பான் நமக்கு "என்று அழைக்கப்படுவதைக் கொடுக்கும். சார்ந்த தொகுதி", அதாவது வரிசை திசையன்களின் பரிசீலனையின் வரிசையை கணக்கில் எடுத்துக் கொள்ளும் தொகுதி.

வார்த்தையின் கிளாசிக்கல் அர்த்தத்தில் நீங்கள் அளவைப் பெற விரும்பினால், நீங்கள் தீர்மானிக்கும் தொகுதியை எடுக்க வேண்டும், ஆனால் இப்போது அதைப் பற்றி கவலைப்படத் தேவையில்லை - எப்படியிருந்தாலும், சில நொடிகளில் எந்த தீர்மானிப்பையும் எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதை நாங்கள் கற்றுக்கொள்வோம். ஏதேனும் அறிகுறிகள், அளவுகள், முதலியன :)

இயற்கணித வரையறை

வடிவியல் அணுகுமுறையின் அனைத்து அழகு மற்றும் தெளிவுக்காக, இது ஒரு தீவிரமான குறைபாட்டைக் கொண்டுள்ளது: இந்த தீர்மானத்தை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பது பற்றி இது எதுவும் சொல்லவில்லை.

எனவே, இப்போது நாம் ஒரு மாற்று வரையறையை பகுப்பாய்வு செய்வோம் - இயற்கணிதம். இதைச் செய்ய, எங்களுக்கு ஒரு சுருக்கமான கோட்பாட்டு தயாரிப்பு தேவைப்படும், ஆனால் இறுதியில் ஒரு கருவியைப் பெறுவோம், இது மெட்ரிக்குகளில் எதை வேண்டுமானாலும் எப்படி வேண்டுமானாலும் கணக்கிடலாம்.

உண்மைதான், அங்கே ஒரு புதிய பிரச்சனை தோன்றும்... ஆனால் முதல் விஷயம் முதலில்.

வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் தலைகீழ் மாற்றங்கள்

ஒரு வரியில் 1 முதல் $n$ வரையிலான எண்களை எழுதுவோம். நீங்கள் இதைப் போன்ற ஒன்றைப் பெறுவீர்கள்:

இப்போது (வேடிக்கைக்காக) ஒன்றிரண்டு எண்களை மாற்றிக் கொள்வோம். நீங்கள் அருகிலுள்ளவற்றை மாற்றலாம்:

அல்லது ஒருவேளை - குறிப்பாக அண்டை நாடு அல்ல:

மற்றும் என்ன யூகிக்க? ஒன்றுமில்லை! இயற்கணிதத்தில் இந்த தனம் வரிசைமாற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. மேலும் இது நிறைய பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது.

வரையறை. $n$ நீளத்தின் வரிசைமாற்றம் என்பது எந்த வரிசையிலும் எழுதப்பட்ட $n$ வெவ்வேறு எண்களின் சரமாகும். பொதுவாக முதல் $n$ கருதப்படுகிறது இயற்கை எண்கள்(அதாவது எண்கள் 1, 2, ..., $n$), பின்னர் அவை விரும்பிய வரிசைமாற்றத்தைப் பெற கலக்கப்படுகின்றன.

வரிசைமாற்றங்கள் திசையன்களைப் போலவே குறிக்கப்படுகின்றன - வெறுமனே ஒரு எழுத்து மற்றும் அடைப்புக்குறிக்குள் அவற்றின் உறுப்புகளின் தொடர்ச்சியான பட்டியல். உதாரணமாக: $p=\left(1;3;2 \right)$ அல்லது $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. கடிதம் எதுவாகவும் இருக்கலாம், ஆனால் அது $p$ ஆக இருக்கட்டும். :)

மேலும், விளக்கக்காட்சியின் எளிமைக்காக, நீளம் 5 இன் வரிசைமாற்றங்களுடன் நாங்கள் வேலை செய்வோம் - அவை ஏற்கனவே ஏதேனும் சந்தேகத்திற்கிடமான விளைவுகளைக் கவனிக்கும் அளவுக்கு தீவிரமானவை, ஆனால் 6 அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நீளமான வரிசைமாற்றங்களைப் போல பலவீனமான மூளைக்கு இன்னும் கடுமையானதாக இல்லை. அத்தகைய வரிசைமாற்றங்களின் எடுத்துக்காட்டுகள் இங்கே:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & (p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \வலது) \\ & ((p)_(3))=\இடது(5;4;3;2;1 \வலது) \\\ end(align)\]

இயற்கையாகவே, $n$ நீளத்தின் வரிசைமாற்றமானது $\left\( 1;2;...;n \right\)$ தொகுப்பில் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு செயல்பாடாகக் கருதப்படலாம் மற்றும் இந்த தொகுப்பை பைஜெக்டிவ் முறையில் வரைபடமாக்குகிறது. $((p)_(1))$, $(p)_(2))$ மற்றும் $((p)_(3))$ என்று எழுதப்பட்ட வரிசைமாற்றங்களுக்குத் திரும்பினால், நாம் சட்டப்பூர்வமாக எழுதலாம்:

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ இடது (2 \வலது)=4;\]

$n$ நீளத்தின் வெவ்வேறு வரிசைமாற்றங்களின் எண்ணிக்கை எப்போதும் வரம்புக்குட்பட்டது மற்றும் $n!$க்கு சமமாக இருக்கும் - இது காம்பினேட்டரிக்ஸ் மூலம் எளிதில் நிரூபிக்கக்கூடிய உண்மை. எடுத்துக்காட்டாக, நீளம் 5 இன் அனைத்து வரிசைமாற்றங்களையும் எழுத விரும்பினால், அத்தகைய வரிசைமாற்றங்கள் இருக்கும் என்பதால், நாங்கள் நிறைய தயங்குவோம்.

எந்தவொரு வரிசைமாற்றத்தின் முக்கிய பண்புகளில் ஒன்று அதில் உள்ள தலைகீழ் எண்ணிக்கையாகும்.

வரையறை. வரிசைமாற்றம் $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — ஏதேனும் ஜோடி $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ அதாவது $i \lt j$, ஆனால் $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. எளிமையாகச் சொன்னால், ஒரு பெரிய எண் சிறிய ஒன்றின் இடதுபுறத்தில் இருக்கும் போது தலைகீழ் என்று அழைக்கப்படுகிறது (அதன் அண்டை நாடு அவசியமில்லை).

$p$ வரிசைமாற்றத்தில் உள்ள தலைகீழ் எண்ணிக்கையை $N\left(p \right)$ ஆல் குறிப்போம், ஆனால் வெவ்வேறு பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் வெவ்வேறு ஆசிரியர்களில் உள்ள மற்ற குறிப்புகளை எதிர்கொள்ள தயாராக இருக்க வேண்டும் - இங்கு சீரான தரநிலைகள் எதுவும் இல்லை. தலைகீழ் தலைப்பு மிகவும் விரிவானது, மேலும் ஒரு தனி பாடம் அதற்கு அர்ப்பணிக்கப்படும். இப்போது எங்கள் பணி உண்மையான சிக்கல்களில் அவற்றை எவ்வாறு கணக்கிடுவது என்பதைக் கற்றுக்கொள்வது.

எடுத்துக்காட்டாக, $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$ என்ற வரிசைமாற்றத்தில் உள்ள தலைகீழ் எண்ணிக்கையை எண்ணுவோம்:

\[\இடது(4;3 \வலது);\இடது(4;2 \வலது);\இடது(5;3 \வலது);\இடது(5;2 \வலது);\இடது(3;2 \வலது); ).\]

எனவே, $N\left(p \right)=5$. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இதில் எந்த தவறும் இல்லை. நான் இப்போதே சொல்கிறேன்: இனிமேல் நாம் $N\left(p \right)$ என்ற எண்ணில் அதிக ஆர்வம் காட்டாமல், அதன் சமநிலை/வித்தியாசத்தில் தான் ஆர்வம் காட்டுவோம். இங்கே நாம் இன்றைய பாடத்தின் முக்கிய காலத்திற்கு சுமூகமாக செல்கிறோம்.

ஒரு தீர்மானிப்பான் என்றால் என்ன

ஒரு சதுர அணி $A=\left[ n\times n \right]$ கொடுக்கப்பட வேண்டும். பிறகு:

வரையறை. அணி $A=\left[ n\times n \right]$ நிர்ணயம் என்பது $n!$ சொற்களின் இயற்கணிதத் தொகையானது பின்வருமாறு தொகுக்கப்பட்டுள்ளது. ஒவ்வொரு காலமும் $n$ மேட்ரிக்ஸ் உறுப்புகளின் பெருக்கமாகும், ஒவ்வொரு வரிசை மற்றும் ஒவ்வொரு நெடுவரிசையிலிருந்தும் ஒன்று எடுக்கப்பட்டு, (−1) ஆல் பெருக்கல் தலைகீழ் எண்ணிக்கையின் சக்தி:

\[\இடது| A\right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

தீர்மானிப்பதில் ஒவ்வொரு சொல்லுக்கும் காரணிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது அடிப்படைப் புள்ளி, ஒரே வரிசையில் அல்லது ஒரே நெடுவரிசையில் இரண்டு காரணிகள் தோன்றாது என்பதே உண்மை.

இதற்கு நன்றி, $((a)_(i;j))$ காரணிகளின் $i$ குறியீடுகள் 1, ..., $n$ மதிப்புகளை "இயங்கும்" என்று பொதுத்தன்மையை இழக்காமல் நாம் கருதலாம். , மற்றும் $j$ குறியீடுகள் முதல் சில வரிசைமாற்றம்:

$p$ என்ற வரிசைமாற்றம் இருக்கும் போது, ​​$N\left(p \right)$-ஐ எளிதாகக் கணக்கிடலாம் - மேலும் தீர்மானியின் அடுத்த சொல் தயாராக உள்ளது.

இயற்கையாகவே, எந்தவொரு காலத்திலும் காரணிகளை மாற்றுவதை யாரும் தடைசெய்யவில்லை (அல்லது அவை அனைத்திலும் ஒரே நேரத்தில் - ஏன் அற்ப விஷயங்களில் நேரத்தை வீணடிக்க வேண்டும்?), பின்னர் முதல் குறியீடுகள் சில வகையான மறுசீரமைப்பைக் குறிக்கும். ஆனால் இறுதியில், எதுவும் மாறாது: $i$ மற்றும் $j$ குறியீடுகளில் உள்ள மொத்த தலைகீழ் எண்ணிக்கையானது, அத்தகைய சிதைவுகளின் கீழ் சமநிலையைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது, இது நல்ல பழைய விதியுடன் மிகவும் ஒத்துப்போகிறது:

காரணிகளை மறுசீரமைப்பது எண்களின் பெருக்கத்தை மாற்றாது.

இந்த விதியை மேட்ரிக்ஸ் பெருக்கத்துடன் இணைக்க வேண்டாம் - எண் பெருக்கல் போலல்லாமல், இது பரிமாற்றம் அல்ல. ஆனால் நான் விலகுகிறேன். :)

அணி 2x2

உண்மையில், நீங்கள் 1x1 மேட்ரிக்ஸைக் கருத்தில் கொள்ளலாம் - இது ஒரு கலமாக இருக்கும், மேலும் அதன் தீர்மானம், நீங்கள் யூகித்தபடி, இந்த கலத்தில் எழுதப்பட்ட எண்ணுக்கு சமம். சுவாரசியமாக இல்லை.

எனவே 2x2 சதுர மேட்ரிக்ஸைக் கருத்தில் கொள்வோம்:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & (a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்) \வலது]\]

அதில் உள்ள கோடுகளின் எண்ணிக்கை $n=2$ என்பதால், தீர்மானிப்பான் $n!=2!=1\cdot 2=2$ சொற்களைக் கொண்டிருக்கும். அவற்றை எழுதுவோம்:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\இடது(-1 \வலது))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\இடது(-1 \வலது))^(N\left(2;1 \right))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\இடது(-1 \வலது))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (அ)_(21)). \\\முடிவு(சீரமை)\]

வெளிப்படையாக, $\left(1;2 \right)$ என்ற வரிசைமாற்றத்தில், இரண்டு கூறுகள் உள்ளன, தலைகீழ் எதுவும் இல்லை, எனவே $N\left(1;2 \right)=0$. ஆனால் $\left(2;1 \right)$ வரிசைமாற்றத்தில் ஒரு தலைகீழ் உள்ளது (உண்மையில், 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

மொத்தத்தில், 2x2 மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பாளரைக் கணக்கிடுவதற்கான உலகளாவிய சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

\[\இடது| \begin(matrix) ((a)_(11)) & (a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\ end( அணி) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

வரைபட ரீதியாக, இது முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள தனிமங்களின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடப்படலாம், பக்க மூலைவிட்டத்தில் உள்ள உறுப்புகளின் பெருக்கத்தைக் கழித்தல்:

2x2 மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான்

ஓரிரு உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

\[\இடது| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ end(matrix) \right|;\quad \left| \begin(matrix) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\ end(matrix) \right|.\]

தீர்வு. எல்லாம் ஒரு வரியில் கணக்கிடப்படுகிறது. முதல் அணி:

மற்றும் இரண்டாவது:

பதில்: −3; −161.

இருப்பினும், அது மிகவும் எளிமையாக இருந்தது. 3x3 மெட்ரிக்குகளைப் பார்ப்போம் - இது ஏற்கனவே சுவாரஸ்யமானது.

அணி 3x3

இப்போது 3x3 சதுர மேட்ரிக்ஸைக் கவனியுங்கள்:

\[\left[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & (a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்) \வலது]\]

அதன் தீர்மானிப்பைக் கணக்கிடும் போது, ​​நமக்கு $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ சொற்கள் கிடைக்கும் - பயப்படுவதற்கு அதிகமாக இல்லை, ஆனால் சில வடிவங்களைத் தேடத் தொடங்க போதுமானது. முதலில், மூன்று உறுப்புகளின் அனைத்து வரிசைமாற்றங்களையும் எழுதுவோம், அவை ஒவ்வொன்றிலும் உள்ள தலைகீழ்களை எண்ணுவோம்:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \right)=N\ இடது(1;2;3 \வலது)=0; \\ & ((p)_(2))=\left(1;3;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(2)) \right)=N\left(1;3 ;2 \வலது)=1; \\ & ((p)_(3))=\left(2;1;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(3)) \right)=N\left(2;1 ;3 \வலது)=1; \\ & ((p)_(4))=\left(2;3;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(4)) \right)=N\left(2;3 ;1 \வலது)=2; \\ & ((p)_(5))=\left(3;1;2 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(5)) \right)=N\left(3;1 ;2 \வலது)=2; \\ & ((p)_(6))=\left(3;2;1 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(6)) \right)=N\left(3;2 ;1 \வலது)=3. \\\முடிவு(சீரமை)\]

எதிர்பார்த்தபடி, மொத்தம் 6 வரிசைமாற்றங்கள் எழுதப்பட்டன: $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (இயற்கையாகவே, அவற்றை எழுத முடியும். வெவ்வேறு வரிசை - இது எந்த வித்தியாசத்தையும் மாற்றாது), மேலும் அவற்றில் உள்ள தலைகீழ் எண்ணிக்கை 0 முதல் 3 வரை மாறுபடும்.

பொதுவாக, "பிளஸ்" உடன் மூன்று சொற்கள் ($N\left(p \right)$ சமமாக இருக்கும்) மற்றும் "மைனஸ்" உடன் மேலும் மூன்று சொற்கள் இருக்கும். பொதுவாக, தீர்மானிப்பான் சூத்திரத்தின்படி கணக்கிடப்படும்:

\[\இடது| \begin(matrix) ((a)_(11)) & (a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\ முடிவு (மேட்ரிக்ஸ்) \right|=\begin(matrix) ((a)_(11))((a)_(22))(a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\ end(matrix)\]

இப்போது உட்கார்ந்து, இந்த குறியீடுகள் அனைத்தையும் ஆவேசமாகத் திணிக்காதீர்கள்! புரிந்துகொள்ள முடியாத எண்களுக்குப் பதிலாக, பின்வரும் நினைவூட்டல் விதியை நினைவில் கொள்வது நல்லது:

முக்கோண விதி. 3x3 மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயிப்பவரைக் கண்டுபிடிக்க, இந்த மூலைவிட்டத்திற்கு இணையான பக்கத்துடன் பிரதான மூலைவிட்டம் மற்றும் ஐசோசெல்ஸ் முக்கோணங்களின் முனைகளில் அமைந்துள்ள தனிமங்களின் மூன்று தயாரிப்புகளைச் சேர்க்க வேண்டும், பின்னர் அதே மூன்று தயாரிப்புகளைக் கழிக்க வேண்டும், ஆனால் இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தில் . திட்டவட்டமாக இது போல் தெரிகிறது:

3x3 மேட்ரிக்ஸின் தீர்மானிப்பான்: முக்கோண விதி

இந்த முக்கோணங்கள் (அல்லது பென்டாகிராம்கள், நீங்கள் விரும்பும் எதுவாக இருந்தாலும்) மக்கள் அனைத்து வகையான அல்ஜீப்ரா பாடப்புத்தகங்கள் மற்றும் கையேடுகளில் வரைய விரும்புகிறார்கள். இருப்பினும், சோகமான விஷயங்களைப் பற்றி பேச வேண்டாம். அத்தகைய ஒரு தீர்மானிப்பதை சிறப்பாகக் கணக்கிடுவோம் - உண்மையான கடினமான விஷயங்களுக்கு முன் சூடாக. :)

பணி. தீர்மானிப்பதைக் கணக்கிடுங்கள்:

\[\இடது| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\ end(matrix) \right|\]

தீர்வு. நாங்கள் முக்கோண விதியின்படி வேலை செய்கிறோம். முதலில், முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் மற்றும் அதற்கு இணையாக உள்ள உறுப்புகளால் ஆன மூன்று சொற்களை எண்ணுவோம்:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\ end(align) \]

இப்போது பக்க மூலைவிட்டத்தைப் பார்ப்போம்:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\ end(align) \]

முதல் எண்ணிலிருந்து இரண்டாவதாகக் கழிப்பதே எஞ்சியிருக்கும் - மற்றும் பதில் கிடைக்கும்:

அவ்வளவுதான்!

இருப்பினும், 3x3 மெட்ரிக்குகளின் நிர்ணயம் இன்னும் திறமையின் உச்சமாக இல்லை. மிகவும் சுவாரஸ்யமான விஷயங்கள் மேலும் எங்களுக்கு காத்திருக்கின்றன. :)

தீர்மானிப்பவர்களைக் கணக்கிடுவதற்கான பொதுவான திட்டம்

நாம் அறிந்தபடி, அணி பரிமாணம் $n$ அதிகரிக்கும் போது, ​​தீர்மானிப்பதில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கை $n!$ மற்றும் விரைவாக வளரும். இருப்பினும், காரணியாலானது புல்ஷிட் அல்ல; இது மிகவும் விரைவாக வளரும் செயல்பாடு.

ஏற்கனவே 4x4 மெட்ரிக்குகளுக்கு, தீர்மானிப்பவர்களை நேரடியாக (அதாவது வரிசைமாற்றங்கள் மூலம்) எண்ணுவது எப்படியோ நன்றாக இல்லை. 5x5 மற்றும் பலவற்றைப் பற்றி நான் பொதுவாக அமைதியாக இருக்கிறேன். எனவே, தீர்மானிப்பவரின் சில பண்புகள் செயல்பாட்டுக்கு வருகின்றன, ஆனால் அவற்றைப் புரிந்துகொள்வதற்கு ஒரு சிறிய தத்துவார்த்த தயாரிப்பு தேவைப்படுகிறது.

தயாரா? போ!

மேட்ரிக்ஸ் மைனர் என்றால் என்ன?

ஒரு தன்னிச்சையான அணி $A=\left[ m\times n \right]$ கொடுக்கப்பட வேண்டும். குறிப்பு: சதுரம் அவசியம் இல்லை. தீர்மானிப்பவர்கள் போலல்லாமல், சிறார் என்பது கடுமையான சதுர மெட்ரிக்குகளில் மட்டும் இல்லாத அழகான விஷயங்கள். $1\le k\le m$ மற்றும் $1\le k\le n$ உடன் இந்த மேட்ரிக்ஸில் பல (உதாரணமாக, $k$) வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளைத் தேர்ந்தெடுப்போம். பிறகு:

வரையறை. $k$ வரிசையின் சிறியது, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட $k$ நெடுவரிசைகள் மற்றும் வரிசைகளின் குறுக்குவெட்டில் எழும் சதுர அணியை நிர்ணயிப்பதாகும். இந்த புதிய அணியையே சிறியது என்றும் அழைப்போம்.

அத்தகைய மைனர் $((M)_(k))$ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. இயற்கையாகவே, ஒரு மேட்ரிக்ஸில் $k$ வரிசையின் சிறார்களின் மொத்தக் கூட்டமும் இருக்கலாம். $\left[ 5\time 6 \right]$ அணிக்கான வரிசை 2 இன் மைனரின் உதாரணம் இதோ:

மைனரை உருவாக்க $k = 2$ நெடுவரிசைகள் மற்றும் வரிசைகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்

விவாதிக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டில் உள்ளதைப் போல, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் ஒருவருக்கொருவர் அடுத்ததாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. முக்கிய விஷயம் என்னவென்றால், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கை ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் (இது $ k$ ஆகும்).

மற்றொரு வரையறை உள்ளது. ஒருவேளை யாராவது அதை அதிகமாக விரும்புவார்கள்:

வரையறை. ஒரு செவ்வக அணி $A=\left[ m\times n \right]$ கொடுக்கப்பட வேண்டும். ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட நெடுவரிசைகள் மற்றும் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட வரிசைகளை நீக்கிய பிறகு, $\left[ k\times k \right]$ அளவு கொண்ட சதுர அணி உருவானால், அதன் நிர்ணயம் சிறிய $((M)_(k)) $ நாங்கள் சில சமயங்களில் மேட்ரிக்ஸையே மைனர் என்று அழைப்போம் - இது சூழலில் இருந்து தெளிவாக இருக்கும்.

என் பூனை சொன்னது போல், சில சமயங்களில் பால்கனியில் உட்கார்ந்து மியாவ் சாப்பிடுவதை விட 11 வது மாடியில் இருந்து உணவு சாப்பிடுவது நல்லது.

உதாரணமாக. மேட்ரிக்ஸ் கொடுக்கலாம்

வரிசை 1 மற்றும் நெடுவரிசை 2 ஐத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், நாங்கள் முதல்-வரிசை மைனரைப் பெறுகிறோம்:

\[((எம்)_(1))=\இடது| 7\வலது|=7\]

வரிசைகள் 2, 3 மற்றும் நெடுவரிசைகள் 3, 4 ஆகியவற்றைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம், நாங்கள் இரண்டாவது-வரிசை மைனரைப் பெறுகிறோம்:

\[((எம்)_(2))=\இடது| \begin(matrix) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\ end(matrix) \right|=5-18=-13\]

நீங்கள் மூன்று வரிசைகளையும், அதே போல் 1, 2, 4 நெடுவரிசைகளையும் தேர்ந்தெடுத்தால், மூன்றாம் வரிசை மைனர் இருக்கும்:

\[((எம்)_(3))=\இடது| \begin(matrix) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\ end(matrix) \right|\]

1, 2 அல்லது 3 ஆர்டர்களின் பிற சிறியவர்களைக் கண்டுபிடிப்பது வாசகருக்கு கடினமாக இருக்காது. எனவே, நாங்கள் தொடர்கிறோம்.

இயற்கணித சேர்த்தல்

"சரி சரி, இந்த மைனர் மினியன்கள் நமக்கு என்ன தருகிறார்கள்?" - ஒருவேளை நீங்கள் கேட்கலாம். அவர்களால் - எதுவும் இல்லை. ஆனால் சதுர மெட்ரிக்குகளில், ஒவ்வொரு மைனருக்கும் ஒரு “துணை” உள்ளது - கூடுதல் மைனர், அத்துடன் இயற்கணித நிரப்பு. இந்த இரண்டு தந்திரங்களும் சேர்ந்து கொட்டைகள் போன்ற தீர்மானிப்பவர்களை சிதைக்க அனுமதிக்கும்.

வரையறை. ஒரு சதுர அணி $A=\left[ n\times n \right]$ கொடுக்கப்பட வேண்டும், அதில் சிறிய $((M)_(k))$ தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது. மைனருக்கான கூடுதல் மைனர் $((M)_(k))$ அசல் அணி $A$ இன் ஒரு பகுதியாகும், இது சிறிய $(M)_ ஐ உருவாக்கும் அனைத்து வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை நீக்கிய பிறகும் இருக்கும். (k))$:

கூடுதல் மைனர் முதல் மைனர் $((M)_(2))$

ஒரு விஷயத்தை தெளிவுபடுத்துவோம்: கூடுதல் மைனர் என்பது "மேட்ரிக்ஸின் துண்டு" மட்டுமல்ல, இந்த துண்டின் நிர்ணயம்.

கூடுதல் மைனர்கள் நட்சத்திரக் குறியால் குறிக்கப்படுகின்றன: $M_(k)^(*)$:

$A\nabla ((M)_(k))$ என்பது "$A$ இலிருந்து $(M)_(k))$ இல் சேர்க்கப்பட்டுள்ள வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளை நீக்குதல்" என்று பொருள்படும். இந்த செயல்பாடு கணிதத்தில் பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படவில்லை - கதையின் அழகுக்காக நானே கண்டுபிடித்தேன். :)

கூடுதல் சிறார்கள் தங்களை அரிதாகவே பயன்படுத்துகின்றனர். அவை மிகவும் சிக்கலான கட்டுமானத்தின் ஒரு பகுதியாகும் - இயற்கணித நிரப்பு.

வரையறை. மைனர் $((M)_(k))$ இன் இயற்கணித நிரப்பு கூடுதல் மைனர் $M_(k)^(*)$ மதிப்பால் $(\left(-1 \right))^(S) பெருக்கப்படுகிறது. ))$ , இதில் $S$ என்பது அசல் மைனரில் உள்ள அனைத்து வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்களின் கூட்டுத்தொகை $((M)_(k))$ ஆகும்.

ஒரு விதியாக, ஒரு சிறிய $((M)_(k))$ இன் இயற்கணித நிரப்பு $((A)_(k))$ ஆல் குறிக்கப்படுகிறது. அதனால்தான்:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

சிரமமா? முதல் பார்வையில், ஆம். ஆனால் அது சரியாக இல்லை. ஏனென்றால் உண்மையில் எல்லாம் எளிது. ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்:

உதாரணமாக. 4x4 அணி கொடுக்கப்பட்டது:

இரண்டாவது வரிசை மைனரை தேர்வு செய்வோம்

\[((எம்)_(2))=\இடது| \begin(matrix) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\ end(matrix) \right|\]

இந்த மைனரைத் தொகுக்கும்போது, ​​1 மற்றும் 4 மற்றும் நெடுவரிசைகள் 3 மற்றும் 4 ஆகியவை சம்பந்தப்பட்டிருப்பதை கேப்டன் வெளிப்படையானது நமக்கு உணர்த்துகிறது.

$S$ எண்ணைக் கண்டுபிடித்து இயற்கணித நிரப்பியைப் பெறுவதற்கு இது உள்ளது. வரிசைகள் (1 மற்றும் 4) மற்றும் நெடுவரிசைகள் (3 மற்றும் 4) ஆகியவை எங்களுக்குத் தெரியும் என்பதால், எல்லாம் எளிது:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\left(-1 \right))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\left(-1 \right) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

பதில்: $((A)_(2))=-4$

அவ்வளவுதான்! உண்மையில், கூடுதல் மைனர் மற்றும் இயற்கணித நிரப்புதலுக்கு இடையேயான முழு வித்தியாசமும் முன்புறத்தில் உள்ள மைனஸில் மட்டுமே உள்ளது, பிறகும் எப்போதும் இல்லை.

லாப்லாஸ் தேற்றம்

எனவே, உண்மையில், இந்த மைனர்கள் மற்றும் இயற்கணிதக் கூட்டல்கள் அனைத்தும் ஏன் தேவைப்பட்டன என்ற புள்ளிக்கு வந்தோம்.

டிடர்மினண்டின் சிதைவு பற்றிய லாப்லாஸ் தேற்றம். $1\le k\le n-1$ உடன் $\left[ n\times n \right]$ அளவுள்ள மேட்ரிக்ஸில் $k$ வரிசைகள் (நெடுவரிசைகள்) தேர்ந்தெடுக்கப்படட்டும். இந்த மேட்ரிக்ஸின் நிர்ணயம், தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட வரிசைகள் (நெடுவரிசைகள்) மற்றும் அவற்றின் இயற்கணித நிரப்புகளில் உள்ள $k$ வரிசையின் சிறார்களின் அனைத்து தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

\[\இடது| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

மேலும், அத்தகைய விதிமுறைகளில் சரியாக $C_(n)^(k)$ இருக்கும்.

சரி, சரி: சுமார் $C_(n)^(k)$ - நான் ஏற்கனவே காட்டுகிறேன், Laplace இன் அசல் தேற்றத்தில் அப்படி எதுவும் இல்லை. ஆனால் காம்பினேட்டரிக்ஸை யாரும் ரத்து செய்யவில்லை, மேலும் நிலைமையை விரைவாகப் பார்த்தால், பல விதிமுறைகள் சரியாக இருக்கும் என்பதை நீங்களே பார்க்க அனுமதிக்கும். :)

நாங்கள் அதை நிரூபிக்க மாட்டோம், இருப்பினும் இது எந்த குறிப்பிட்ட சிரமத்தையும் அளிக்கவில்லை - எல்லா கணக்கீடுகளும் நல்ல பழைய வரிசைமாற்றங்கள் மற்றும் சம/ஒற்றைப்படை தலைகீழாக வரும். இருப்பினும், ஆதாரம் ஒரு தனி பத்தியில் வழங்கப்படும், இன்று நமக்கு முற்றிலும் நடைமுறை பாடம் உள்ளது.

எனவே, மைனர்கள் மேட்ரிக்ஸின் தனிப்பட்ட செல்களாக இருக்கும்போது, ​​இந்த தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வுக்கு நாம் செல்கிறோம்.

வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையில் தீர்மானிக்கும் பொருளின் சிதைவு

நாம் இப்போது பேசப் போவது துல்லியமாக தீர்மானிப்பவர்களுடன் பணிபுரிவதற்கான முக்கிய கருவியாகும், இதன் பொருட்டு வரிசைமாற்றங்கள், சிறார் மற்றும் இயற்கணித சேர்த்தல்களுடன் இந்த முட்டாள்தனம் தொடங்கப்பட்டது.

படித்து மகிழுங்கள்:

லாப்லேஸ் தேற்றத்தின் தொடர்ச்சி (வரிசை/நெடுவரிசையில் தீர்மானிப்பவரின் சிதைவு). $\left[ n\times n \right]$ அளவுள்ள மேட்ரிக்ஸில் ஒரு வரிசை தேர்ந்தெடுக்கப்படட்டும். இந்த வரிசையில் உள்ள மைனர்கள் $n$ தனிப்பட்ட செல்களாக இருக்கும்:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

கூடுதல் சிறார்களைக் கணக்கிடுவதும் எளிதானது: அசல் அணியை எடுத்து $((a)_(ij))$ உள்ள வரிசை மற்றும் நெடுவரிசையைக் கடக்கவும். அத்தகைய சிறார்களை $M_(ij)^(*)$ என்று அழைப்போம்.

இயற்கணித நிரப்புதலுக்கு, நமக்கு இன்னும் $S$ எண் தேவை, ஆனால் மைனர் 1 வரிசையின் விஷயத்தில், இது $((a)_(ij))$ கலத்தின் "ஆயத்தொகைகளின்" கூட்டுத்தொகையாகும்:

பின்னர் அசல் நிர்ணயம் $((a)_(ij))$ மற்றும் $M_(ij)^(*)$ ஆகியவற்றின் அடிப்படையில் Laplace இன் தேற்றத்தின்படி எழுதப்படலாம்:

\[\இடது| A \right|=\sum\ வரம்புகள்_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((எம்)_(ij))\]

அது தான் ஒரு வரிசையில் தீர்மானிப்பவரை சிதைப்பதற்கான சூத்திரம். ஆனால் நெடுவரிசைகளுக்கும் இதுவே உண்மை.

இந்த விளைவுகளிலிருந்து பல முடிவுகளை உடனடியாக எடுக்கலாம்:

1. இந்த திட்டம் வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகள் இரண்டிற்கும் சமமாக வேலை செய்கிறது. உண்மையில், பெரும்பாலும் சிதைவு வரிசைகளை விட நெடுவரிசைகளில் துல்லியமாக தொடரும்.
2. விரிவாக்கத்தில் உள்ள சொற்களின் எண்ணிக்கை எப்போதும் சரியாக $n$ ஆகும். இது $C_(n)^(k)$ ஐ விட கணிசமாக குறைவாக உள்ளது மேலும் $n!$.
3. $\left[ n\times n \right]$ க்கு பதிலாக, அளவுக்கான பல தீர்மானிப்பான்களை நீங்கள் கருத்தில் கொள்ள வேண்டும்: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \ வலது) \right ]$.

கடைசி உண்மை குறிப்பாக முக்கியமானது. எடுத்துக்காட்டாக, மிருகத்தனமான 4x4 தீர்மானிக்கு பதிலாக, இப்போது பல 3x3 தீர்மானங்களை எண்ணினால் போதும் - எப்படியாவது அவற்றைச் சமாளிப்போம். :)

பணி. தீர்மானிப்பதைக் கண்டறியவும்:

\[\இடது| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\ end(matrix) \right|\]

தீர்வு. முதல் வரியில் இந்த தீர்மானத்தை விரிவாக்குவோம்:

\[\தொடங்கு(சீரமைக்கவும்) \இடது| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ end(matrix) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \\ right))^(1+2))\cdot \இடது| \begin(matrix) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\ end(matrix) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \ right))^(1+3))\cdot \இடது| \begin(matrix) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\ end(matrix) \right|= & \\\ end(align)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\முடிவு(சீரமை)\]

பணி. தீர்மானிப்பதைக் கண்டறியவும்:

\[\இடது| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \right|\ ]

தீர்வு. ஒரு மாற்றத்திற்காக, இந்த நேரத்தில் நெடுவரிசைகளுடன் வேலை செய்வோம். எடுத்துக்காட்டாக, கடைசி நெடுவரிசையில் ஒரே நேரத்தில் இரண்டு பூஜ்ஜியங்கள் உள்ளன - வெளிப்படையாக, இது கணக்கீடுகளை கணிசமாகக் குறைக்கும். ஏன் என்று இப்போது நீங்கள் பார்ப்பீர்கள்.

எனவே, நான்காவது நெடுவரிசையில் தீர்மானிப்பதை விரிவுபடுத்துகிறோம்:

\[\தொடங்கு(சீரமைக்கவும்) \இடது| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \right|= 0\cdot ((\left(-1 \right))^(1+4))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ வலது))^(2+4))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ வலது))^(3+4))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end(matrix) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \ வலது))^(4+4))\cdot \left| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \right| & \\\ முடிவு(சீரமைக்கவும்)\]

பின்னர் - ஓ, அதிசயம்! - இரண்டு சொற்கள் உடனடியாக வடிகால் கீழே செல்கின்றன, ஏனெனில் அவை “0” காரணியைக் கொண்டுள்ளன. இன்னும் இரண்டு 3x3 தீர்மானிப்பான்கள் உள்ளன, அதை நாம் எளிதாக சமாளிக்கலாம்:

\[\தொடங்கு(சீரமைக்க) & \இடது| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end(matrix) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \இடது| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end(matrix) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\முடிவு(சீரமை)\]

மீண்டும் மூலத்திற்குச் சென்று பதிலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

\[\இடது| \begin(matrix) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end(matrix) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

சரி இப்போது எல்லாம் முடிந்துவிட்டது. மற்றும் எண் 4! = 24 சொற்கள் கணக்கிடப்பட வேண்டியதில்லை. :)

பதில்: −2

தீர்மானிப்பவரின் அடிப்படை பண்புகள்

கடைசி சிக்கலில், மேட்ரிக்ஸின் வரிசைகளில் (நெடுவரிசைகள்) பூஜ்ஜியங்களின் இருப்பு எவ்வாறு தீர்மானிப்பவரின் சிதைவை வியத்தகு முறையில் எளிதாக்குகிறது மற்றும் பொதுவாக, அனைத்து கணக்கீடுகளையும் பார்த்தோம். ஒரு இயல்பான கேள்வி எழுகிறது: இந்த பூஜ்ஜியங்களை அவை முதலில் இல்லாத மேட்ரிக்ஸில் கூட தோன்றச் செய்ய முடியுமா?

பதில் தெளிவாக உள்ளது: முடியும். இங்கே தீர்மானிப்பவரின் பண்புகள் எங்கள் உதவிக்கு வருகின்றன:

1. நீங்கள் இரண்டு வரிசைகளை (நெடுவரிசைகளை) மாற்றினால், தீர்மானிப்பான் மாறாது;
2. ஒரு வரிசையை (நெடுவரிசை) $k$ என்ற எண்ணால் பெருக்கினால், முழு நிர்ணயமும் $k$ என்ற எண்ணால் பெருக்கப்படும்;
3. நீங்கள் ஒரு வரியை எடுத்து மற்றொன்றிலிருந்து எத்தனை முறை வேண்டுமானாலும் கூட்டினால் (கழித்தால்), தீர்மானம் மாறாது;
4. தீர்மானியின் இரண்டு வரிசைகள் ஒரே மாதிரியாகவோ அல்லது விகிதாசாரமாகவோ இருந்தால் அல்லது வரிசைகளில் ஒன்று பூஜ்ஜியங்களால் நிரப்பப்பட்டிருந்தால், முழு நிர்ணயம் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம்;
5. மேலே உள்ள அனைத்து பண்புகளும் நெடுவரிசைகளுக்கும் பொருந்தும்.
6. மேட்ரிக்ஸை இடமாற்றம் செய்யும் போது, ​​தீர்மானிப்பான் மாறாது;
7. மெட்ரிக்குகளின் பெருக்கத்தின் நிர்ணயிப்பான், தீர்மானிப்பான்களின் பெருக்கத்திற்குச் சமம்.

மூன்றாவது சொத்து குறிப்பிட்ட மதிப்புடையது: நம்மால் முடியும் சரியான இடங்களில் பூஜ்ஜியங்கள் தோன்றும் வரை ஒரு வரிசையில் (நெடுவரிசை) மற்றொரு வரிசையிலிருந்து கழிக்கவும்.

பெரும்பாலும், கணக்கீடுகள் ஒரு உறுப்பைத் தவிர எல்லா இடங்களிலும் முழு நெடுவரிசையையும் "பூஜ்ஜியமாக்குகிறது", பின்னர் இந்த நெடுவரிசையின் மீது தீர்மானிப்பதை விரிவுபடுத்தி, அளவு 1 சிறிய அணியைப் பெறுகிறது.

இது நடைமுறையில் எவ்வாறு செயல்படுகிறது என்பதைப் பார்ப்போம்:

பணி. தீர்மானிப்பதைக் கண்டறியவும்:

\[\இடது| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ end(matrix) \right|\ ]

தீர்வு. இங்கே பூஜ்ஜியங்கள் எதுவும் இல்லை என்று தோன்றுகிறது, எனவே நீங்கள் எந்த வரிசை அல்லது நெடுவரிசையிலும் "துளையிடலாம்" - கணக்கீடுகளின் அளவு தோராயமாக ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். அற்ப விஷயங்களில் நேரத்தை வீணடிக்க வேண்டாம் மற்றும் முதல் நெடுவரிசையை “பூஜ்ஜியமாக வெளியேற்றவும்”: அதில் ஏற்கனவே ஒரு கலம் உள்ளது, எனவே முதல் வரியை எடுத்து இரண்டாவது வரியிலிருந்து 4 முறை, மூன்றில் இருந்து 3 முறை மற்றும் கடைசியில் இருந்து 2 முறை கழிக்கவும்.

இதன் விளைவாக, நாம் ஒரு புதிய மேட்ரிக்ஸைப் பெறுவோம், ஆனால் அதன் தீர்மானம் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும்:

\[\begin(matrix) \left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ end(matrix) \right|\ ஆரம்பம்(மேட்ரிக்ஸ்) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\ end(matrix)= \\ =\left| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்) \right|= \\ =\left| \begin(மேட்ரிக்ஸ்) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matrix) \right| \\\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\]

இப்போது, ​​பன்றிக்குட்டியின் சமநிலையுடன், இந்த தீர்மானிப்பினை முதல் நெடுவரிசையில் இடுகிறோம்:

\[\begin(matrix) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ end(matrix) \right|+0\cdot ((\\ இடது(-1 \வலது))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \வலது| \\\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்)\]

முதல் சொல் மட்டுமே "உயிர்வாழும்" என்பது தெளிவாகிறது - மீதமுள்ளவற்றிற்கான தீர்மானங்களை நான் எழுதவில்லை, ஏனெனில் அவை இன்னும் பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்கப்படுகின்றன. தீர்மானிக்கு முன்னால் உள்ள குணகம் ஒன்றுக்கு சமம், அதாவது. நீங்கள் அதை எழுத வேண்டியதில்லை.

ஆனால் நீங்கள் தீர்மானிப்பவரின் மூன்று வரிகளிலிருந்தும் "தீமைகளை" எடுக்கலாம். அடிப்படையில், காரணியை (−1) மூன்று முறை எடுத்தோம்:

\[\இடது| \begin(matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ end(matrix) \right|\]

நாங்கள் ஒரு சிறிய தீர்மானிப்பான் 3x3 ஐப் பெற்றுள்ளோம், இது ஏற்கனவே முக்கோணங்களின் விதியைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படலாம். ஆனால் அதை முதல் நெடுவரிசையில் சிதைக்க முயற்சிப்போம் - அதிர்ஷ்டவசமாக, கடைசி வரியில் பெருமையுடன் ஒன்று உள்ளது:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ end(matrix) \right|\begin(matrix) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\ end(matrix)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\ end(matrix) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ end(matrix) \right| \\\முடிவு(சீரமை)\]

நிச்சயமாக, நீங்கள் வேடிக்கையாக இருக்கலாம் மற்றும் 2x2 மேட்ரிக்ஸை ஒரு வரிசையில் (நெடுவரிசை) விரிவாக்கலாம், ஆனால் நீங்களும் நானும் போதுமானவர்கள், எனவே நாங்கள் பதிலைக் கணக்கிடுவோம்:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

இப்படித்தான் கனவுகள் உடைந்து போகின்றன. பதிலில் −160 மட்டுமே. :)

பதில்: −160.

கடைசி பணிக்குச் செல்வதற்கு முன் சில குறிப்புகள்:

1. அசல் அணி இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து சமச்சீராக இருந்தது. விரிவாக்கத்தில் உள்ள அனைத்து சிறார்களும் அதே இரண்டாம் நிலை மூலைவிட்டத்தைப் பொறுத்து சமச்சீராக உள்ளனர்.
2. கண்டிப்பாகச் சொன்னால், எங்களால் எதையும் விரிவாக்க முடியவில்லை, ஆனால் பிரதான மூலைவிட்டத்தின் கீழ் திடமான பூஜ்ஜியங்கள் இருக்கும்போது, ​​​​மேட்ரிக்ஸை மேல் முக்கோண வடிவத்திற்குக் குறைக்கலாம். பின்னர் (ஜியோமெட்ரிக் விளக்கத்தின்படி கண்டிப்பான முறையில்) தீர்மானிப்பான் $((a)_(ii))$ - முக்கிய மூலைவிட்டத்தில் உள்ள எண்களின் பெருக்கத்திற்கு சமம்.

பணி. தீர்மானிப்பதைக் கண்டறியவும்:

\[\இடது| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ end(matrix) \right|\ ]

தீர்வு. சரி, இங்கே முதல் வரி "பூஜ்ஜியம்" என்று கெஞ்சுகிறது. முதல் நெடுவரிசையை எடுத்து மற்ற எல்லாவற்றிலிருந்தும் சரியாக ஒருமுறை கழிக்கவும்:

\[\தொடங்கு(சீரமைக்க) & \இடது| \begin(matrix) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ end(matrix) \right|= \\ & =\இடது| \begin(matrix) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\ முடிவு(மேட்ரிக்ஸ்) \right|= \\ & =\இடது| \begin(matrix) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\ end(matrix) \right| \\\முடிவு(சீரமை)\]

நாங்கள் முதல் வரிசையில் விரிவடைந்து, மீதமுள்ள வரிசைகளிலிருந்து பொதுவான காரணிகளை எடுத்துக்கொள்கிறோம்:

\[\cdot \left| \begin(matrix) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\ end(matrix) \right|=\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ end(matrix) \right|\]

மீண்டும் "அழகான" எண்களைக் காண்கிறோம், ஆனால் முதல் நெடுவரிசையில் - அதற்கேற்ப தீர்மானிப்பதை இடுகிறோம்:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ end(matrix) \right|\begin(matrix) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\ end(matrix)=240\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\ end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ வலது))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\ end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\ end( சீரமை)\]

ஆர்டர். பிரச்சனை தீர்ந்துவிட்டது.

பதில்: 1440