முதல் பார்வையில் இந்த இணைப்பு முற்றிலும் தெளிவற்றதாகத் தோன்றினாலும் (அறிவியல் கணிதம் ஒன்று, மற்றும் பொருளாதாரம் மற்றும் நிதி என்பது வேறு) ஆனால் இந்த எண்ணின் "கண்டுபிடிப்பின்" வரலாற்றைப் படித்தவுடன், எல்லாம் தெளிவாகிறது. உண்மையில், அறிவியலை எவ்வாறு தொடர்புபடுத்தாத வெவ்வேறு கிளைகளாகப் பிரித்தாலும், பொதுவான முன்னுதாரணம் இன்னும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும் (குறிப்பாக, நுகர்வோர் சமுதாயத்திற்கு - "நுகர்வோர்" கணிதம்).

ஒரு வரையறையுடன் ஆரம்பிக்கலாம். e என்பது இயற்கை மடக்கையின் அடிப்படை, ஒரு கணித மாறிலி, ஒரு பகுத்தறிவற்ற மற்றும் ஆழ்நிலை எண். சில சமயங்களில் இ எண் யூலர் எண் அல்லது நேப்பியர் எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சிறிய லத்தீன் எழுத்து "e" மூலம் குறிக்கப்படுகிறது.

அதிவேக சார்பு e^x ஒருங்கிணைக்கப்பட்டு, "தனக்குள்" வேறுபடுத்தப்படுவதால், அடிப்படை e அடிப்படையிலான மடக்கைகள் இயற்கையாக ஏற்றுக்கொள்ளப்படுகின்றன (இருப்பினும் "இயற்கை" என்ற பெயரே மிகவும் சந்தேகத்திற்குரியதாக இருக்க வேண்டும், ஏனெனில் அனைத்து கணிதமும் செயற்கையாக கண்டுபிடிக்கப்பட்டதை அடிப்படையாகக் கொண்டது. இயற்கையின் கற்பனையான கொள்கைகளிலிருந்து விவாகரத்து செய்யப்பட்டவை, இயற்கையானவை அல்ல).

இந்த எண் சில நேரங்களில் ஸ்காட்டிஷ் விஞ்ஞானி நேப்பியரின் நினைவாக நேப்பியர் என்று அழைக்கப்படுகிறது, "அமேசிங் டேபிள் ஆஃப் மடக்கைகளின் விளக்கம்" (1614) படைப்பின் ஆசிரியர். இருப்பினும், இந்த பெயர் முற்றிலும் சரியானது அல்ல, ஏனெனில் நேப்பியர் நேரடியாக எண்ணைப் பயன்படுத்தவில்லை.

1618 இல் வெளியிடப்பட்ட நேப்பியரின் மேற்கூறிய படைப்பின் ஆங்கில மொழிபெயர்ப்பின் பிற்சேர்க்கையில், மாறிலி முதலில் மறைமுகமாகத் தோன்றுகிறது. திரைக்குப் பின்னால், ஏனெனில் இது இயக்கவியல் கருத்தில் இருந்து தீர்மானிக்கப்பட்ட இயற்கை மடக்கைகளின் அட்டவணையை மட்டுமே கொண்டுள்ளது, ஆனால் மாறிலியே இல்லை.

சுவிஸ் கணிதவியலாளர் பெர்னௌலி (1690 இல் அதிகாரப்பூர்வ பதிப்பின் படி) வட்டி வருமானத்தின் வரம்புக்குட்பட்ட மதிப்பின் சிக்கலைத் தீர்க்கும் போது மாறிலி முதலில் கணக்கிடப்பட்டது. அசல் தொகை $1 ஆக இருந்தால் (நாணயம் முற்றிலும் முக்கியமில்லாதது) மற்றும் ஆண்டுக்கு ஒருமுறை 100% கூட்டினால், இறுதித் தொகை $2 ஆக இருக்கும் என்று அவர் கண்டறிந்தார். ஆனால் அதே வட்டியை ஆண்டுக்கு இருமுறை கூட்டினால், $1ஐ 1.5 இருமுறை பெருக்கினால் $1.00 x 1.5² = $2.25 கிடைக்கும். கூட்டு வட்டி காலாண்டு முடிவு $1.00 x 1.254 = $2.44140625, மற்றும் பல. வட்டி கணக்கீட்டின் அதிர்வெண் முடிவில்லாமல் அதிகரித்தால், கூட்டு வட்டி விஷயத்தில் வட்டி வருமானம் வரம்பு உள்ளது - மேலும் இந்த வரம்பு 2.71828...

$1.00×(1+1/12)12 = $2.613035…

$1.00×(1+1/365)365 = $2.714568… - வரம்பில் எண் e

எனவே, எண் e என்பது வரலாற்று ரீதியாக அதிகபட்ச சாத்தியமான வருடாந்திர லாபத்தை ஆண்டுக்கு 100% மற்றும் வட்டி மூலதனமாக்கலின் அதிகபட்ச அதிர்வெண்ணைக் குறிக்கிறது. மேலும் பிரபஞ்சத்தின் விதிகளுக்கும் இதற்கும் என்ன சம்பந்தம்? ஒரு நுகர்வோர் சமுதாயத்தில் கடன் வட்டிக்கான பணவியல் பொருளாதாரத்தின் அடித்தளத்தில் e எண் முக்கியமான கட்டுமானத் தொகுதிகளில் ஒன்றாகும், இதன் கீழ் ஆரம்பத்திலிருந்தே, மன தத்துவ மட்டத்தில் கூட, இன்று பயன்படுத்தப்படும் அனைத்து கணிதங்களும் பல நூற்றாண்டுகளாக சரிசெய்யப்பட்டு கூர்மைப்படுத்தப்பட்டன. முன்பு.

இந்த மாறிலியின் முதல் அறியப்பட்ட பயன்பாடு, இது b என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்பட்டது, 1690-1691 இல் ஹியூஜென்ஸுக்கு லீப்னிஸ் எழுதிய கடிதங்களில் தோன்றுகிறது.

யூலர் 1727 இல் e என்ற எழுத்தைப் பயன்படுத்தத் தொடங்கினார், இது முதலில் நவம்பர் 25, 1731 தேதியிட்ட ஜேர்மன் கணிதவியலாளர் கோல்ட்பாக்க்கு யூலர் எழுதிய கடிதத்தில் தோன்றுகிறது, மேலும் இந்த கடிதத்துடன் முதல் வெளியீடு அவரது "மெக்கானிக்ஸ், அல்லது தி சயின்ஸ் ஆஃப் மோஷன், பகுப்பாய்வு ரீதியாக விளக்கப்பட்டது. "1736. அதன்படி, e என்பது பொதுவாக யூலர் எண் என்று அழைக்கப்படுகிறது. சில அறிஞர்கள் பின்னர் c என்ற எழுத்தைப் பயன்படுத்தினாலும், e என்ற எழுத்து அடிக்கடி பயன்படுத்தப்பட்டு இன்று நிலையான பதவியாக உள்ளது.

E என்ற எழுத்து ஏன் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டது என்பது சரியாகத் தெரியவில்லை. அதிவேக ("அடையாளம்", "அதிவேகம்") என்ற வார்த்தை அதனுடன் தொடங்குவதே இதற்குக் காரணமாக இருக்கலாம். மற்றொரு பரிந்துரை என்னவென்றால், a, b, c மற்றும் d எழுத்துக்கள் ஏற்கனவே பிற நோக்கங்களுக்காக மிகவும் பொதுவான பயன்பாட்டில் இருந்தன, மேலும் e என்பது முதல் "இலவச" எழுத்து. யூலர் என்ற குடும்பப்பெயரில் ஈ என்ற எழுத்து முதல் எழுத்து என்பதும் குறிப்பிடத்தக்கது.

ஆனால் எப்படியிருந்தாலும், எண் e எப்படியாவது பிரபஞ்சம் மற்றும் இயற்கையின் உலகளாவிய விதிகளுடன் தொடர்புடையது என்று சொல்வது வெறுமனே அபத்தமானது. கருத்தின் மூலம் இந்த எண் ஆரம்பத்தில் கடன் மற்றும் நிதி நாணய அமைப்புடன் இணைக்கப்பட்டது, குறிப்பாக இந்த எண் மூலம் (ஆனால் மட்டுமல்ல) கடன் மற்றும் நிதி அமைப்பின் கருத்தியல் மறைமுகமாக மற்ற அனைத்து கணிதத்தின் உருவாக்கம் மற்றும் வளர்ச்சியை பாதித்தது. மற்ற அனைத்து அறிவியல்களும் (விதிவிலக்கு இல்லாமல், கணிதத்தின் விதிகள் மற்றும் அணுகுமுறைகளைப் பயன்படுத்தி விஞ்ஞானம் எதையாவது கணக்கிடுகிறது). வேறுபட்ட மற்றும் ஒருங்கிணைந்த கால்குலஸில் e எண் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது, இதன் மூலம் வட்டி வருவாயை அதிகரிப்பதற்கான சித்தாந்தம் மற்றும் தத்துவத்துடன் உண்மையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது (இது ஆழ்மனதில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது என்று கூட ஒருவர் கூறலாம்). இயற்கை மடக்கை எவ்வாறு தொடர்புடையது? e ஐ ஒரு மாறிலியாக (எல்லாவற்றையும் சேர்த்து) நிறுவுவது சிந்தனையில் மறைமுகமான இணைப்புகளை உருவாக்க வழிவகுத்தது, அதன்படி தற்போதுள்ள அனைத்து கணிதமும் தனித்தனியாக இருக்க முடியாது. பண அமைப்பு! இந்த வெளிச்சத்தில், பண்டைய ஸ்லாவ்கள் (மற்றும் அவர்கள் மட்டுமல்ல) மாறிலிகள், பகுத்தறிவற்ற மற்றும் ஆழ்நிலை எண்கள் இல்லாமல், பொதுவாக எண்கள் மற்றும் எண்கள் இல்லாமல் கூட (எழுத்துக்கள் பண்டைய காலங்களில் எண்களாக செயல்பட்டன) சரியாக நிர்வகித்ததில் ஆச்சரியமில்லை. வெவ்வேறு தர்க்கம், பணம் இல்லாத நிலையில் கணினியில் வேறுபட்ட சிந்தனை (அதனுடன் இணைக்கப்பட்ட அனைத்தும்) மேலே உள்ள அனைத்தையும் வெறுமனே தேவையற்றதாக ஆக்குகிறது.

e ஐ "2.71828க்கு தோராயமாக சமமான ஒரு மாறிலி..." என விவரிப்பது, pi ஐ "3.1415க்கு தோராயமாக சமமான ஒரு விகிதாசார எண்..." என்று அழைப்பது போன்றது. இது சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி உண்மை, ஆனால் புள்ளி இன்னும் நம்மைத் தவிர்க்கிறது.

பை என்பது சுற்றளவுக்கும் விட்டத்திற்கும் உள்ள விகிதம், எல்லா வட்டங்களுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். இது அனைத்து வட்டங்களுக்கும் பொதுவான ஒரு அடிப்படை விகிதமாகும், எனவே வட்டங்கள், கோளங்கள், உருளைகள் போன்றவற்றிற்கான சுற்றளவு, பரப்பளவு, தொகுதி மற்றும் பரப்பளவைக் கணக்கிடுவதில் ஈடுபட்டுள்ளது. அனைத்து வட்டங்களும் தொடர்புடையவை என்பதை பை காட்டுகிறது, வட்டங்களிலிருந்து (சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட்) பெறப்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் குறிப்பிடவில்லை.

எண் e என்பது தொடர்ந்து வளர்ந்து வரும் அனைத்து செயல்முறைகளுக்கும் அடிப்படை வளர்ச்சி விகிதமாகும்.மின் எண் உங்களை ஒரு எளிய வளர்ச்சி விகிதத்தை எடுக்க அனுமதிக்கிறது (வேறுபாடு ஆண்டின் இறுதியில் மட்டுமே தெரியும்) மற்றும் இந்த குறிகாட்டியின் கூறுகளை கணக்கிடுகிறது, சாதாரண வளர்ச்சி, இதில் ஒவ்வொரு நானோ விநாடியிலும் (அல்லது இன்னும் வேகமாக) எல்லாம் சிறிது வளரும். மேலும்

e எண் அதிவேக மற்றும் நிலையான வளர்ச்சி அமைப்புகளில் ஈடுபட்டுள்ளது: மக்கள் தொகை, கதிரியக்க சிதைவு, சதவீத கணக்கீடு மற்றும் பல. ஒரே மாதிரியாக வளராத படி அமைப்புகள் கூட e எண்ணைப் பயன்படுத்தி தோராயமாக மதிப்பிடலாம்.

எந்த எண்ணையும் 1 (அடிப்படை அலகு) இன் "அளவிடப்பட்ட" பதிப்பாகக் கருதுவது போல, எந்த வட்டத்தையும் அலகு வட்டத்தின் "அளவிடப்பட்ட" பதிப்பாகக் கருதலாம் (ஆரம் 1 உடன்). மேலும் எந்த வளர்ச்சி காரணியும் e இன் "அளவிடப்பட்ட" பதிப்பாக பார்க்கப்படலாம் ("அலகு" வளர்ச்சி காரணி).

எனவே e என்பது தற்செயலாக எடுக்கப்பட்ட சீரற்ற எண் அல்ல. e என்ற எண், தொடர்ந்து வளர்ந்து வரும் அனைத்து அமைப்புகளும் ஒரே அளவீட்டின் அளவிடப்பட்ட பதிப்புகள் என்ற கருத்தை உள்ளடக்கியது.

அதிவேக வளர்ச்சியின் கருத்து

அடிப்படை அமைப்பைப் பார்த்து ஆரம்பிக்கலாம் இரட்டிப்பாகிறதுஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு. உதாரணத்திற்கு:

• ஒவ்வொரு 24 மணி நேரத்திற்கும் பாக்டீரியாக்கள் எண்ணிக்கையில் "இரட்டை" பிரிகின்றன
• இரண்டாக உடைத்தால் இரண்டு மடங்கு நூடுல்ஸ் கிடைக்கும்
• நீங்கள் 100% லாபம் ஈட்டினால் உங்கள் பணம் ஒவ்வொரு ஆண்டும் இரட்டிப்பாகும் (அதிர்ஷ்டம்!)

மேலும் இது போல் தெரிகிறது:

இரண்டால் வகுத்தல் அல்லது இரட்டிப்பாக்குதல் என்பது மிகவும் எளிமையான முன்னேற்றமாகும். நிச்சயமாக, நாம் மூன்று அல்லது நான்கு மடங்கு செய்யலாம், ஆனால் இரட்டிப்பாக்குவது விளக்கத்திற்கு மிகவும் வசதியானது.

கணித ரீதியாக, நம்மிடம் x பிரிவுகள் இருந்தால், நாம் தொடங்கியதை விட 2^x மடங்கு அதிகமாக இருக்கும். 1 பகிர்வு மட்டுமே செய்யப்பட்டால், நமக்கு 2^1 மடங்கு அதிகமாக கிடைக்கும். 4 பகிர்வுகள் இருந்தால், நமக்கு 2^4=16 பாகங்கள் கிடைக்கும். பொதுவான சூத்திரம் இதுபோல் தெரிகிறது:

உயரம்= 2 x

வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், இரட்டிப்பு என்பது 100% அதிகரிப்பு. இந்த சூத்திரத்தை இப்படி மாற்றி எழுதலாம்:

உயரம்= (1+100%) x

இதே சமத்துவம் தான், "2" ஐ அதன் கூறு பகுதிகளாகப் பிரித்தோம், இது சாராம்சத்தில் இந்த எண்: ஆரம்ப மதிப்பு (1) மற்றும் 100%. புத்திசாலி, இல்லையா?

நிச்சயமாக, 100% க்கு பதிலாக வேறு எந்த எண்ணையும் (50%, 25%, 200%) மாற்றலாம் மற்றும் இந்த புதிய குணகத்திற்கான வளர்ச்சி சூத்திரத்தைப் பெறலாம். நேரத் தொடரின் x காலங்களுக்கான பொதுவான சூத்திரம்:

உயரம் = (1+வளர்ச்சி)எக்ஸ்

இதன் பொருள் நாம் திரும்பும் விகிதம், (1 + ஆதாயம்), "x" முறைகளை ஒரு வரிசையில் பயன்படுத்துகிறோம்.

இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்

எங்கள் சூத்திரம் வளர்ச்சியானது தனித்துவமான படிகளில் நிகழ்கிறது என்று கருதுகிறது. நமது பாக்டீரியாக்கள் காத்திருந்து காத்திருந்து பிறகு பாம்!, கடைசி நிமிடத்தில் அவை எண்ணிக்கையில் இரட்டிப்பாகும். டெபாசிட் மீதான வட்டியில் நமது லாபம் சரியாக 1 வருடத்தில் மாயமாகத் தோன்றும். மேலே எழுதப்பட்ட சூத்திரத்தின் அடிப்படையில், லாபம் படிகளில் வளரும். பச்சை புள்ளிகள் திடீரென்று தோன்றும்.

ஆனால் உலகம் எப்போதும் இப்படி இருப்பதில்லை. நாம் பெரிதாக்கினால், நமது பாக்டீரியா நண்பர்கள் தொடர்ந்து பிரிக்கப்படுவதைக் காணலாம்:

பச்சை நிறத்தவன் ஒன்றுமில்லாமல் எழுவதில்லை: அவன் நீல நிற பெற்றோரிடமிருந்து மெதுவாக வளர்கிறான். 1 காலத்திற்குப் பிறகு (எங்கள் விஷயத்தில் 24 மணிநேரம்), பச்சை நண்பர் ஏற்கனவே முழுமையாக பழுத்திருக்கிறார். முதிர்ச்சியடைந்த பிறகு, அவர் மந்தையின் முழு நீள நீல உறுப்பினராகி, புதிய பச்சை செல்களை உருவாக்க முடியும்.

இந்தத் தகவல் எந்த வகையிலும் நமது சமன்பாட்டை மாற்றுமா?

இல்லை. பாக்டீரியாவைப் பொறுத்தவரை, பாதி-உருவாக்கப்பட்ட பச்சை செல்கள் வளர்ந்து, நீல நிற பெற்றோரிடமிருந்து முழுமையாகப் பிரியும் வரை எதுவும் செய்ய முடியாது. எனவே சமன்பாடு சரியானது.

ஒரு இயற்கை மடக்கையின் கருத்தை அறிமுகப்படுத்துவதற்கு முன், $e$ என்ற நிலையான எண்ணின் கருத்தை கருத்தில் கொள்வோம்.

எண் $e$

வரையறை 1

எண் $e$ஒரு கணித மாறிலி என்பது ஒரு ஆழ்நிலை எண் மற்றும் $e\தோராயமாக 2.718281828459045\ldots$க்கு சமம்.

வரையறை 2

ஆழ்நிலைமுழு எண் குணகங்களைக் கொண்ட பல்லுறுப்புக்கோவையின் மூலமல்லாத எண்.

குறிப்பு 1

கடைசி சூத்திரம் விவரிக்கிறது இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பு.

எண் e என்றும் அழைக்கப்படுகிறது ஆய்லர் எண்கள், மற்றும் சில நேரங்களில் நேப்பியர் எண்கள்.

குறிப்பு 2

$е$ எண்ணின் முதல் இலக்கங்களை நினைவில் கொள்ள, பின்வரும் வெளிப்பாடு அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது: "$2$, $7$, இரண்டு முறை லியோ டால்ஸ்டாய்". நிச்சயமாக, அதைப் பயன்படுத்துவதற்கு, லியோ டால்ஸ்டாய் $1828$ இல் பிறந்தார் என்பதை நினைவில் கொள்வது அவசியம் $2$ என்ற எண்ணின் மதிப்பில் இரண்டு முறை மீண்டும் மீண்டும் வருகிறது. தசம பகுதி $7$.

$\log_(e)⁡a$ என்ற மடக்கையின் அடிப்பகுதியில் இருப்பதால், இயற்கை மடக்கையைத் துல்லியமாகப் படிக்கும் போது $e$ எண்ணின் கருத்தை நாங்கள் கருத்தில் கொள்ளத் தொடங்கினோம். இயற்கைஅதை $\ln ⁡a$ வடிவத்தில் எழுதவும்.

இயற்கை மடக்கை

பெரும்பாலும், கணக்கீடுகளில், மடக்கைகள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன, இதன் அடிப்படை எண் $е$ ஆகும்.

வரையறை 4

அடிப்படை $e$ கொண்ட மடக்கை அழைக்கப்படுகிறது இயற்கை.

அந்த. இயற்கை மடக்கை $\log_(e)⁡a$ எனக் குறிப்பிடலாம், ஆனால் கணிதத்தில் $\ln ⁡a$ என்ற குறியீடைப் பயன்படுத்துவது பொதுவானது.

இயற்கை மடக்கையின் பண்புகள்

ஏனெனில் ஒற்றுமையின் எந்த அடிப்படையிலும் மடக்கை $0$ க்கு சமம், பின்னர் ஒற்றுமையின் இயற்கை மடக்கை $0$ க்கு சமம்:

$е$ எண்ணின் இயற்கை மடக்கை ஒன்றுக்கு சமம்:

இரண்டு எண்களின் பெருக்கத்தின் இயற்கை மடக்கை இந்த எண்களின் இயற்கை மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம்:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

இரண்டு எண்களின் கோட்பாட்டின் இயற்கை மடக்கை இந்த எண்களின் இயற்கை மடக்கைகளின் வேறுபாட்டிற்கு சமம்:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

ஒரு எண்ணின் சக்தியின் இயற்கை மடக்கை அதிவேகத்தின் விளைபொருளாகவும், துணை மடக்கை எண்ணின் இயற்கை மடக்கையாகவும் குறிப்பிடலாம்:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

எடுத்துக்காட்டு 1

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$ என்ற வெளிப்பாட்டை எளிமைப்படுத்தவும்.

தீர்வு.

தயாரிப்பு மடக்கையின் பண்புகளை எண் மற்றும் வகுப்பில் உள்ள முதல் மடக்கைக்கும், சக்தி மடக்கையின் பண்புகளை எண் மற்றும் வகுப்பின் இரண்டாவது மடக்கைக்கும் பயன்படுத்துவோம்:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, இதே போன்ற விதிமுறைகளை முன்வைப்போம், மேலும் $\ln ⁡e=1$ என்ற சொத்தையும் பயன்படுத்துவோம்:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

பதில்: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

எடுத்துக்காட்டு 2

$\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ என்ற வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

மடக்கைகளின் கூட்டுத்தொகைக்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துவோம்:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

பதில்: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

எடுத்துக்காட்டு 3

மடக்கை வெளிப்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடவும் $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$.

தீர்வு.

ஒரு சக்தியின் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துவோம்:

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= $13.

பதில்: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$.

எடுத்துக்காட்டு 4

மடக்கை வெளிப்பாட்டை எளிதாக்குங்கள் $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

முதல் மடக்கைக்கு நாம் கோட்பாட்டின் மடக்கையின் பண்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து இதே போன்ற சொற்களை முன்வைப்போம்:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

பதில்: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

செயல்பாடுகள் ஒவ்வொன்றும் ஈகுறிப்பிட்ட மதிப்பைச் சோதித்து, முடிவைப் பொறுத்து TRUE அல்லது FALSE என வழங்கும். உதாரணமாக, செயல்பாடு காலியாகசோதனை செய்யப்படும் மதிப்பு வெற்று கலத்தின் குறிப்பாக இருந்தால் பூலியன் மதிப்பை TRUE ஐ வழங்கும்; இல்லையெனில், பூலியன் மதிப்பு FALSE திரும்பும்.

செயல்பாடுகள் ஈகணக்கீடு அல்லது பிற செயலைச் செய்வதற்கு முன் ஒரு மதிப்பைப் பற்றிய தகவலைப் பெறப் பயன்படுத்தப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக, பிழை ஏற்பட்டால் வேறு செயலைச் செய்ய, நீங்கள் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்தலாம் பிழைசெயல்பாட்டுடன் இணைந்து IF:

= IF( பிழை(A1); "தவறு நிகழ்ந்துவிட்டது."; A1*2)

இந்த சூத்திரம் செல் A1 இல் பிழையை சரிபார்க்கிறது. ஒரு பிழை ஏற்படும் போது, ​​செயல்பாடு IF"ஒரு பிழை ஏற்பட்டது" என்ற செய்தியை வழங்குகிறது. பிழைகள் இல்லை என்றால், செயல்பாடு IFதயாரிப்பு A1*2 கணக்கிடுகிறது.

தொடரியல்

EMPTY(மதிப்பு)

EOS(மதிப்பு)

பிழை(மதிப்பு)

ELOGIC(மதிப்பு)

UNM(மதிப்பு)

NETTEXT(மதிப்பு)

ETEXT(மதிப்பு)

செயல்பாடு வாதம் ஈகீழே விவரிக்கப்பட்டுள்ளன.

பொருள்தேவையான வாதம். மதிப்பு சரிபார்க்கப்படுகிறது. இந்த வாதத்தின் மதிப்பு வெற்று செல், பிழை மதிப்பு, பூலியன் மதிப்பு, உரை, எண், பட்டியலிடப்பட்ட பொருள்களில் ஏதேனும் ஒரு குறிப்பு அல்லது அத்தகைய பொருளின் பெயர்.

செயல்பாடு	என்றால் TRUE என வழங்கும்
	மதிப்பு வாதம் வெற்று கலத்தைக் குறிக்கிறது
	மதிப்பு வாதம் #N/A தவிர வேறு எந்த பிழை மதிப்பையும் குறிக்கிறது
	மதிப்பு வாதம் ஏதேனும் பிழை மதிப்பைக் குறிக்கிறது (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME?, அல்லது #EMPTY!)
	மதிப்பு வாதம் ஒரு பூலியன் மதிப்பைக் குறிக்கிறது
	மதிப்பு வாதம் #N/A பிழை மதிப்பைக் குறிக்கிறது (மதிப்பு கிடைக்கவில்லை)
ENETEXT	மதிப்பு வாதம் உரை அல்லாத எந்த உறுப்பையும் குறிக்கிறது. (அந்த வாதமானது வெற்றுக் கலத்தைக் குறிக்கும் பட்சத்தில், செயல்பாடு TRUE எனத் தரும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.)
	மதிப்பு வாதம் ஒரு எண்ணைக் குறிக்கிறது
	மதிப்பு வாதம் உரையைக் குறிக்கிறது

குறிப்புகள்

செயல்பாடுகளில் வாதங்கள் ஈமாற்றப்படவில்லை. மேற்கோள் குறிகளில் இணைக்கப்பட்டுள்ள எந்த எண்களும் உரையாகக் கருதப்படும். எடுத்துக்காட்டாக, எண் வாதம் தேவைப்படும் பிற செயல்பாடுகளில், உரை மதிப்பு"19" என்பது 19 என்ற எண்ணாக மாறுகிறது. இருப்பினும், சூத்திரத்தில் ISNUMBER("19") இந்த மதிப்பு உரையிலிருந்து எண்ணாக மாற்றப்படவில்லை, மேலும் செயல்பாடு ISNUMBER FALSE ஐ வழங்குகிறது.

செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்துதல் ஈசூத்திரங்களில் கணக்கீடுகளின் முடிவுகளை சரிபார்க்க வசதியாக உள்ளது. இந்த அம்சங்களை செயல்பாட்டுடன் இணைத்தல் IF, நீங்கள் சூத்திரங்களில் பிழைகளைக் காணலாம் (கீழே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்க்கவும்).

எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 1

பின்வரும் அட்டவணையில் இருந்து மாதிரித் தரவை நகலெடுத்து புதிய எக்செல் பணித்தாளின் செல் A1 இல் ஒட்டவும். சூத்திரங்களின் முடிவுகளைக் காட்ட, அவற்றைத் தேர்ந்தெடுத்து F2 ஐ அழுத்தவும், பின்னர் Enter ஐ அழுத்தவும். தேவைப்பட்டால், எல்லா தரவையும் பார்க்க நெடுவரிசைகளின் அகலத்தை மாற்றவும்.

கீழே உள்ள அட்டவணையில் இருந்து மாதிரித் தரவை நகலெடுத்து, புதிய எக்செல் பணித்தாளின் செல் A1 இல் ஒட்டவும். சூத்திரங்களின் முடிவுகளைக் காட்ட, அவற்றைத் தேர்ந்தெடுத்து F2 ஐ அழுத்தவும், பின்னர் Enter ஐ அழுத்தவும். தேவைப்பட்டால், எல்லா தரவையும் பார்க்க நெடுவரிசைகளின் அகலத்தை மாற்றவும்.

தகவல்கள்
சூத்திரம்	விளக்கம்	விளைவாக
காலி(A2)	செல் C2 காலியாக உள்ளதா எனச் சரிபார்க்கிறது
பிழை(A4)	செல் A4 (#REF!) இல் உள்ள மதிப்பு பிழை மதிப்பா என்பதைச் சரிபார்க்கிறது
	செல் A4 (#REF!) இல் உள்ள மதிப்பு #N/A பிழை மதிப்பா என்பதைச் சரிபார்க்கிறது
	செல் A6 (#N/A) இல் உள்ள மதிப்பு #N/A பிழை மதிப்பா என்பதைச் சரிபார்க்கிறது
	செல் A6 (#N/A) இல் உள்ள மதிப்பு பிழை மதிப்பா என்பதைச் சரிபார்க்கிறது
ISNUMBER(A5)	செல் A5 (330.92) இல் உள்ள மதிப்பு எண்ணா என்பதைச் சோதிக்கிறது
ETEXT(A3)	செல் A3 ("Region1") இல் உள்ள மதிப்பு உரையா என்பதைச் சரிபார்க்கிறது

ஒய் (x) = இ x, இதன் வழித்தோன்றல் செயல்பாட்டிற்கு சமம்.

அடுக்கு , அல்லது .

எண் இ

அடுக்கு பட்டத்தின் அடிப்படை எண் இ. இது ஒரு விகிதாசார எண். இது தோராயமாக சமம்
இ ≈ 2,718281828459045...

எண் e வரிசையின் வரம்பு மூலம் தீர்மானிக்கப்படுகிறது. இதுவே அழைக்கப்படுகிறது இரண்டாவது அற்புதமான வரம்பு:
.

எண் e ஐ ஒரு தொடராகவும் குறிப்பிடலாம்:
.

அதிவேக வரைபடம்

அதிவேக வரைபடம், y = e x.

வரைபடம் அதிவேகத்தைக் காட்டுகிறது இஒரு அளவிற்கு எக்ஸ்.
ஒய் (x) = இ x
அடுக்கு ஒரே மாதிரியாக அதிகரிக்கிறது என்பதை வரைபடம் காட்டுகிறது.

சூத்திரங்கள்

அடிப்படை சூத்திரங்கள், பட்டம் e இன் அடிப்படையுடன் கூடிய அதிவேகச் செயல்பாட்டிற்கு ஒரே மாதிரியானவை.

;
;
;

ஒரு அதிவேகச் செயல்பாட்டின் தன்னிச்சையான பட்டம் a மூலம் ஒரு அதிவேகத்தின் மூலம் வெளிப்பாடு:
.

தனிப்பட்ட மதிப்புகள்

ஒய் (x) = இ x. பிறகு
.

அடுக்கு பண்புகள்

அதிவேகமானது ஒரு சக்தி தளத்துடன் கூடிய அதிவேக செயல்பாட்டின் பண்புகளைக் கொண்டுள்ளது இ > 1 .

டொமைன், மதிப்புகளின் தொகுப்பு

அடுக்கு ஒய் (x) = இ xஅனைத்து x க்கும் வரையறுக்கப்பட்டுள்ளது.
அதன் வரையறையின் களம்:
- ∞ < x + ∞ .
அதன் பல அர்த்தங்கள்:
0 < y < + ∞ .

உச்சநிலை, அதிகரித்து, குறைகிறது

அதிவேகமானது ஒரு சலிப்பான முறையில் அதிகரிக்கும் செயல்பாடாகும், எனவே அதற்கு எக்ஸ்ட்ரீமா இல்லை. அதன் முக்கிய பண்புகள் அட்டவணையில் வழங்கப்பட்டுள்ளன.

தலைகீழ் செயல்பாடு

அதிவேகத்தின் தலைகீழ் இயற்கை மடக்கை ஆகும்.
;
.

அடுக்கின் வழித்தோன்றல்

வழித்தோன்றல் இஒரு அளவிற்கு எக்ஸ்சமமாக இஒரு அளவிற்கு எக்ஸ் :
.
n வது வரிசையின் வழித்தோன்றல்:
.
சூத்திரங்களைப் பெறுதல் >>>

ஒருங்கிணைந்த

சிக்கலான எண்கள்

சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட செயல்பாடுகள் பயன்படுத்தி மேற்கொள்ளப்படுகின்றன ஆய்லரின் சூத்திரங்கள்:
,
கற்பனை அலகு எங்கே:
.

ஹைபர்போலிக் செயல்பாடுகள் மூலம் வெளிப்பாடுகள்

; ;
.

முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி வெளிப்பாடுகள்

; ;
;
.

சக்தி தொடர் விரிவாக்கம்

குறிப்புகள்:
ஐ.என். ப்ரோன்ஸ்டீன், கே.ஏ. Semendyaev, பொறியாளர்கள் மற்றும் கல்லூரி மாணவர்களுக்கான கணிதத்தின் கையேடு, "Lan", 2009.