Če želite matriko pomnožiti s številom, morate vsak element matrike pomnožiti s tem številom.

Posledica. Skupni faktor vseh elementov matrike lahko izvzamemo iz predznaka matrike.

Na primer,.

Kot lahko vidite, so dejanja seštevanja, odštevanja matrik in množenja matrike s številom podobna dejanjem na številih. Matrično množenje je posebna operacija.

Produkt dveh matrik.

Vseh matrik ni mogoče pomnožiti. Produkt dveh matrik A in IN v navedenem vrstnem redu AB mogoče le, če je število stolpcev prvega faktorja A enako številu vrstic drugega faktorja IN.

Na primer,.

Velikost matrice A 33, velikost matrice IN 23. Delo AB nemogoče, delo VA mogoče.

Produkt dveh matrik A in B je tretja matrika C, katere element C ij je enak vsoti parnih produktov elementov i-te vrstice prvega faktorja in j-tega stolpca drugega faktorja. dejavnik.

Pokazalo se je, da je v tem primeru produkt matrik možen VA

Iz pravila obstoja zmnožka dveh matrik sledi, da se zmnožek dveh matrik v splošnem primeru ne pokorava komutativnemu zakonu, tj. AB? VA. Če se v konkretnem primeru izkaže, da AB = BA, potem take matrike imenujemo permutabilne ali komutativne.

V matrični algebri je lahko produkt dveh matrik ničelna matrika, tudi če nobena od faktorskih matrik ni nič, v nasprotju z običajno algebro.

Na primer, poiščimo produkt matrik AB, Če

Pomnožite lahko več matrik. Če znaš množiti matrike A, IN in zmnožek teh matrik je mogoče pomnožiti z matriko Z, potem je možno sestaviti izdelek ( AB) Z in A(sonce). V tem primeru velja kombinacijski zakon glede množenja ( AB) Z = A(sonce).

Dobimo tabelo (imenovano matrika), sestavljeno iz štirih števil:

Matrika ima dve vrstici in dva stolpca Številke, ki sestavljajo to matriko, so označene s črko z dvema indeksoma. Prvi indeks označuje številko vrstice, drugi pa številko stolpca, v katerem se pojavlja navedena številka. Na primer, pomeni številko v prvi vrstici in drugem stolpcu; številko v drugi vrstici in prvem stolpcu. Števila bomo imenovali elementi matrike.

Determinant (ali determinanta) drugega reda, ki ustreza dani matriki, je število, dobljeno na naslednji način:

Determinanta je označena s simbolom

torej

Števila se imenujejo elementi determinante.

Predstavimo lastnosti determinante drugega reda.

Lastnost 1. Determinanta se ne spremeni, če njene vrstice zamenjamo z ustreznimi stolpci, tj.

Lastnost 2.

Pri preurejanju dveh vrstic (ali stolpcev) bo determinanta spremenila predznak v nasprotno, pri čemer bo ohranila absolutno vrednost, tj.

Lastnost 3. Determinanta z dvema enakima vrsticama (ali stolpcema) je enaka nič.

Lastnost 4. Skupni faktor vseh elementov vrstice (ali stolpca) lahko vzamemo iz determinantnega znaka:

Lastnost 5. Če so vsi elementi vrstice (ali stolpca) enaki nič, potem je determinanta enaka nič.

Lastnost 6. Če v katero koli vrstico (ali stolpec) determinante dodamo ustrezne elemente druge vrstice (ali stolpca), pomnožene z istim številom y, potem determinanta ne bo spremenila svoje vrednosti, tj.

Tukaj bomo predstavili tiste lastnosti, ki se običajno uporabljajo za izračun determinant standardni tečaj višja matematika. To je pomožna tema, na katero se bomo po potrebi sklicevali iz drugih razdelkov.

Torej, naj bo določena kvadratna matrika $A_(n\krat n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) dati & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ konec (matrika) \desno)$. Vsaka kvadratna matrika ima lastnost, imenovano determinanta (ali determinanta). Tu se ne bom spuščal v bistvo tega koncepta. Če potrebuje pojasnilo, potem o tem pišite na forumu in podrobneje se bom dotaknil tega vprašanja.

Determinanta matrike $A$ je označena kot $\Delta A$, $|A|$ ali $\det A$. Odločilni vrstni red enako številu vrstic (stolpcev) v njem.

1. Vrednost determinante se ne bo spremenila, če njene vrstice nadomestimo z ustreznimi stolpci, tj. $\Delta A=\Delta A^T$.

   pokaži\skrij

   Zamenjajmo vrstice v njej s stolpci po načelu: "bila je prva vrstica - bil je prvi stolpec", "bila je druga vrstica - bil je drugi stolpec":

   Izračunajmo dobljeno determinanto: $\left| \begin(matrika) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(matrika) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Kot lahko vidite, se vrednost determinante zaradi zamenjave ni spremenila.

2. Če zamenjate dve vrstici (stolpca) determinante, se predznak determinante spremeni v nasprotno.

   Primer uporabe te lastnosti: pokaži\skrij

   Upoštevajte determinanto $\left| \begin(matrika) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(matrika) \right|$. Poiščimo njegovo vrednost s formulo št. 1 iz teme izračuna determinant drugega in tretjega reda:

   $$\levo| \begin(matrika) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(matrika) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Zdaj pa zamenjajmo prvo in drugo vrstico. Dobimo determinanto $\left| \begin(matrika) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(matrika) \right|$. Izračunajmo dobljeno determinanto: $\left| \begin(matrika) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(matrika) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Torej je bila vrednost prvotne determinante (-37), vrednost determinante s spremenjenim vrstnim redom pa $-(-37)=37$. Predznak determinante se je spremenil v nasprotno.

3. Determinanta, pri kateri so vsi elementi vrstice (stolpca) enaki nič, je enaka nič.

   Primer uporabe te lastnosti: pokaži\skrij

   Ker je v determinanti $\left| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(matrika) \right|$ vsi elementi tretjega stolpca so nič, potem determinanta je nič, tj. $\levo| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(matrika) \right|=0$.

4. Determinanta, pri kateri so vsi elementi določene vrstice (stolpca) enaki ustreznim elementom druge vrstice (stolpca), je enaka nič.

   Primer uporabe te lastnosti: pokaži\skrij

   Ker je v determinanti $\left| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(matrika) \right|$ vsi elementi prve vrstice so enaki ustreznim elementov druge vrstice, potem je determinanta enaka nič, tj. $\levo| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(matrika) \right|=0$.

5. Če so v determinanti vsi elementi ene vrstice (stolpca) sorazmerni z ustreznimi elementi druge vrstice (stolpca), potem je taka determinanta enaka nič.

   Primer uporabe te lastnosti: pokaži\skrij

   Ker je v determinanti $\left| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(matrika) \right|$ Druga in tretja vrstica sta sorazmerni, tj. $r_3=-3\cdot(r_2)$, potem je determinanta enaka nič, tj. $\levo| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(matrika) \right|=0$.

6. Če imajo vsi elementi vrstice (stolpca) skupni faktor, potem lahko ta faktor izvzamemo iz determinantnega znaka.

   Primer uporabe te lastnosti: pokaži\skrij

   Upoštevajte determinanto $\left| \begin(matrika) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(matrika) \right|$. Upoštevajte, da so vsi elementi v drugi vrstici deljivi s 3:

   $$\levo| \begin(matrika) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(matrika) \right|=\left| \begin(matrika) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(matrika) \right|$$

   Število 3 je skupni faktor vseh elementov druge vrstice. Vzemimo tri iz determinantnega znaka:

   $$\levo| \begin(matrika) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(matrika) \right|=\left| \begin(matrika) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(matrika) \right|= 3\cdot \left| \begin(matrika) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(matrika) \right| $$

7. Determinanta se ne spremeni, če vsem elementom določene vrstice (stolpca) dodamo ustrezne elemente druge vrstice (stolpca), pomnožene s poljubnim številom.

   Primer uporabe te lastnosti: pokaži\skrij

   Upoštevajte determinanto $\left| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(matrika) \right|$. Elementom druge vrstice prištejmo ustrezne elemente tretje vrstice, pomnožene s 5. To dejanje je zapisano takole: $r_2+5\cdot(r_3)$. Druga vrstica bo spremenjena, preostale vrstice bodo ostale nespremenjene.

   $$\levo| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(matrika) \right| \begin(matrika) (l) \fantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \fantom(0) \end(matrika)= \levo| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (polje) \desno|= \levo| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(matrika) \right|. $$

8. Če je določena vrstica (stolpec) v determinanti linearna kombinacija drugih vrstic (stolpcev), potem je determinanta enaka nič.

   Primer uporabe te lastnosti: pokaži\skrij

   Naj takoj razložim, kaj pomeni izraz "linearna kombinacija". Naj imamo s vrstic (ali stolpcev): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Izraz

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   kjer se $k_i\in R$ imenuje linearna kombinacija vrstic (stolpcev) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Na primer, upoštevajte naslednjo determinanto:

   $$\levo| \begin(matrika) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(niz) \desno| $$

   V tej determinanti lahko četrto vrstico izrazimo kot linearno kombinacijo prve tri vrstice:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Zato je zadevna determinanta enaka nič.

9. Če je vsak element določene k-te vrstice (k-tega stolpca) determinante enak vsoti dveh členov, potem je taka determinanta enaka vsoti determinant, od katerih ima prva k-ta vrstica (k-ti stolpec) imajo prve člene, druga determinanta pa druge člene v k-ti vrstici (k-tem stolpcu). Ostali elementi teh determinant so enaki.

   Primer uporabe te lastnosti: pokaži\skrij

   Upoštevajte determinanto $\left| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(matrika) \right|$. Zapišimo elemente drugega stolpca takole: $\left| \begin(matrika) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(matrika) \right|$. Potem je taka determinanta enaka vsoti dveh determinant:

   $$\levo| \begin(matrika) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(matrika) \right|= \left| \begin(matrika) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(matrika) \right|= \left| \begin(matrika) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(matrika) \right|+ \left| \begin(matrika) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(matrika) \right| $$

10. Determinanta produkta dveh kvadratnih matrik istega reda je enaka produktu determinant teh matrik, tj. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Iz tega pravila lahko dobimo naslednjo formulo: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Če matrika $A$ ni singularna (tj. njena determinanta ni enaka nič), potem je $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formule za izračun determinant

Za determinante drugega in tretjega reda so pravilne naslednje formule:

\begin(enačba) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(enačba) \begin(enačba) \begin(poravnano) & \Delta A=\left| \begin(matrika) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(poravnano)\end(enačba)

Primeri uporabe formul (1) in (2) so v temi "Formule za izračun determinant drugega in tretjega reda. Primeri izračuna determinant".

Determinanto matrike $A_(n\krat n)$ je mogoče razširiti v i-ta vrstica z uporabo naslednje formule:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(enačba)

Analog te formule obstaja tudi za stolpce. Formula za razširitev determinante v j-ti stolpec je naslednja:

\begin(equation)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(enačba)

Pravila, izražena s formulama (3) in (4), so podrobno ponazorjena s primeri in razložena v temi Zmanjšanje vrstnega reda determinante. Razčlenitev determinante v vrsto (stolpec).

Naj navedemo še eno formulo za izračun determinant zgornjih in spodnjih trikotnih matrik (za razlago teh pojmov glej temo “Matrike. Vrste matrik. Osnovni izrazi”). Determinant takšne matrike je enak zmnožku elementov na glavni diagonali. Primeri:

\begin(poravnano) &\levo| \begin(matrika) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(matrika) \desno|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\levo| \begin(matrika) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(matrika) \ desno|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \konec(poravnano)

- Izpustite sinico v gotovo smrt!
Naj jo poboža svoboda!
In ladja pluje, in reaktor tuli ...
- Pash, si trmast?

Spomnim se, da algebre nisem maral do 8. razreda. Sploh mi ni bilo všeč. Razjezila me je. Ker tam nisem ničesar razumel.

In potem se je vse spremenilo, ker sem odkril en trik:

V matematiki na splošno (in še posebej v algebri) je vse zgrajeno na kompetentnem in doslednem sistemu definicij. Če poznate definicije, razumete njihovo bistvo, ne bo težko ugotoviti ostalega.

Tako je s temo današnje lekcije. Podrobno bomo obravnavali več sorodnih vprašanj in definicij, zahvaljujoč katerim boste enkrat za vselej razumeli matrike, determinante in vse njihove lastnosti.

Determinante so osrednji koncept v matrični algebri. Tako kot skrajšane formule za množenje vas bodo preganjale skozi celoten tečaj višje matematike. Zato temeljito beremo, gledamo in razumemo. :)

In začeli bomo z najbolj intimno stvarjo - kaj je matrica? In kako z njim pravilno delati.

Pravilna postavitev indeksov v matriko

Matrika je preprosto tabela, napolnjena s številkami. Neo nima nič s tem.

Ena od ključnih značilnosti matrike je njena dimenzija, tj. število vrstic in stolpcev, iz katerih je sestavljen. Običajno rečemo, da ima neka matrika $A$ velikost $\left[ m\times n \right]$, če ima $m$ vrstic in $n$ stolpcev. Napišite takole:

ali takole:

Obstajajo še druge oznake - vse je odvisno od preferenc predavatelja/seminarista/avtorja učbenika. Toda v vsakem primeru se z vsemi temi $\left[ m\times n \right]$ in $((a)_(ij))$ pojavi ista težava:

Kateri indeks je odgovoren za kaj? Ali je najprej številka vrstice, nato številka stolpca? Ali obratno?

Ob branju predavanj in učbenikov se bo odgovor zdel očiten. Ko pa imaš na izpitu pred seboj le list papirja z nalogo, se lahko prenavdušiš in nenadoma postaneš zmeden.

Torej rešimo to vprašanje enkrat za vselej. Za začetek se spomnimo običajnega koordinatnega sistema iz šolskega tečaja matematike:

Predstavitev koordinatnega sistema na ravnini

Se je spomniš? Ima izhodišče (točka $O=\left(0;0 \right)$) osi $x$ in $y$ in vsako točko na ravnini enolično določajo koordinate: $A=\left( 1;2 \ desno)$, $B=\levo(3;1 \desno)$ itd.

Zdaj pa vzemimo to konstrukcijo in jo postavimo poleg matrike, tako da bo izhodišče koordinat v zgornjem levem kotu. Zakaj tam? Da, saj ob odpiranju knjige začnemo brati ravno v zgornjem levem kotu strani – zapomniti si je to enostavno.

Toda kam naj bodo usmerjene osi? Usmerili jih bomo tako, da bo naša celotna virtualna »stran« pokrita s temi osemi. Res je, za to bomo morali zavrteti naš koordinatni sistem. Samo možna varianta ta lokacija:

Prekrivanje koordinatnega sistema na matriki

Zdaj ima vsaka celica matrike edinstvene koordinate $x$ in $y$. Na primer, zapis $((a)_(24))$ pomeni, da dostopamo do elementa s koordinatama $x=2$ in $y=4$. Tudi dimenzije matrike so enolično določene s parom številk:

Definiranje indeksov v matriki

Samo pozorno si oglejte to sliko. Poigrajte se s koordinatami (še posebej, ko delate z realnimi matrikami in determinantami) - in zelo kmalu boste razumeli, da tudi v najbolj zapletenih izrekih in definicijah odlično razumete, kaj je povedano.

Razumem? No, pojdimo k prvemu koraku razsvetljenja - geometrijski definiciji determinante. :)

Geometrijska definicija

Najprej bi rad opozoril, da determinanta obstaja samo za kvadratne matrike oblike $\left[ n\times n \right]$. Determinanta je število, ki se izračuna po določenih pravilih in je ena od značilnosti te matrike (obstajajo še druge značilnosti: rang, lastni vektorji, a več o tem v drugih lekcijah).

Kaj je torej ta značilnost? Kaj to pomeni? Preprosto je:

Determinanta kvadratne matrike $A=\left[ n\times n \right]$ je prostornina $n$-dimenzionalnega paralelepipeda, ki nastane, če vrstice matrike obravnavamo kot vektorje, ki tvorijo robove tega paralelopiped.

Na primer, determinanta matrike 2x2 je preprosto površina paralelograma, toda za matriko 3x3 je to že prostornina 3-dimenzionalnega paralelopipeda - istega, ki jezi vse srednješolce pri pouku stereometrije .

Na prvi pogled se lahko ta definicija zdi popolnoma neustrezna. A ne hitimo s sklepi – poglejmo primere. Pravzaprav je vse elementarno, Watson:

Naloga. Poiščite determinante matrik:

\[\levo| \begin(matrika) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matrika) \right|\quad \left| \begin(matrika) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matrika) \right|\quad \left| \begin(matrix)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matrix) \right|\]

rešitev. Prvi dve determinanti sta velikosti 2x2. Torej so to preprosto ploščine paralelogramov. Narišimo jih in izračunajmo ploščino.

Prvi paralelogram je zgrajen na vektorjih $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ in $((v)_(2))=\left(0;3 \right) $:

Determinanta 2x2 je ploščina paralelograma

Očitno to ni samo paralelogram, ampak pravi pravokotnik. Njeno območje je

Drugi paralelogram je zgrajen na vektorjih $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ in $((v)_(2))=\left(2;2 \right) )$. No, kaj pa? Tudi to je pravokotnik:

Še ena 2x2 determinanta

Stranice tega pravokotnika (v bistvu dolžine vektorjev) je enostavno izračunati z uporabo Pitagorovega izreka:

\[\begin(align) & \left| ((v)_(1)) \desno|=\sqrt(((1)^(2))+((\levo(-1 \desno))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \levo| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\levo| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\konec(poravnaj)\]

Še vedno je treba obravnavati zadnjo determinanto - že vsebuje matriko 3x3. Zapomniti si morate stereometrijo:

Determinanta 3x3 je prostornina paralelepipeda

Videti je osupljivo, v resnici pa je dovolj, da se spomnite formule za prostornino paralelepipeda:

kjer je $S$ ploščina osnove (v našem primeru je to ploščina paralelograma na ravnini $OXY$), $h$ je višina, narisana na to osnovico (pravzaprav $ z$-koordinata vektorja $((v)_(3) )$).

Ploščino paralelograma (narisali smo ga posebej) je tudi enostavno izračunati:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\konec(poravnaj)\]

To je vse! Odgovore zapišemo.

Odgovor: 3; 4; 24.

Majhna opomba o notnem sistemu. Nekaterim verjetno ne bo všeč dejstvo, da ignoriram "puščice" nad vektorji. Menda lahko zamenjaš vektor s točko ali čim drugim.

A bodimo resni: smo že odrasli fantje in punčke, zato iz konteksta zelo dobro razumemo, kdaj govorimo o vektorju in kdaj o točki. Puščice samo mašijo pripoved, ki je že tako do roba nabita z matematičnimi formulami.

In dalje. Načeloma nam nič ne preprečuje, da bi upoštevali determinanto matrike 1x1 - takšna matrika je preprosto ena celica in številka, zapisana v tej celici, bo determinanta. Toda tukaj je pomembna opomba:

Za razliko od klasičnega obsega nam bo determinanta dala tako imenovani " usmerjen volumen", tj. obseg ob upoštevanju zaporedja obravnave vrstičnih vektorjev.

In če želite dobiti glasnost v klasičnem pomenu besede, boste morali vzeti modul determinante, zdaj pa vam ni treba skrbeti - kakorkoli že, čez nekaj sekund se bomo naučili izračunati katero koli determinanto s poljubnimi znaki, velikostmi ipd :)

Algebrska definicija

Kljub vsej lepoti in jasnosti geometrijskega pristopa ima resno pomanjkljivost: ne pove nam ničesar o tem, kako izračunati prav to determinanto.

Zato bomo zdaj analizirali alternativno definicijo - algebraično. Za to bomo potrebovali kratko teoretično pripravo, a na koncu bomo dobili orodje, ki nam omogoča, da v matrikah računamo karkoli in kakor koli želimo.

Res je, da se bo tam pojavila nova težava ... ampak po vrsti.

Permutacije in inverzije

Na črto zapišimo števila od 1 do $n$. Dobili boste nekaj takega:

Zdaj (za šalo) zamenjajmo nekaj številk. Spremenite lahko sosednje:

Ali morda - ne posebej sosednje:

In ugani kaj? nič! V algebri se to sranje imenuje permutacija. In ima veliko lastnosti.

Opredelitev. Permutacija dolžine $n$ je niz $n$ različnih števil, zapisanih v poljubnem vrstnem redu. Običajno se upošteva prvih $n$ naravna števila(tj. samo številke 1, 2, ..., $n$), nato pa se pomešajo, da dobimo želeno permutacijo.

Permutacije so označene na enak način kot vektorji - preprosto s črko in zaporednim seznamom njihovih elementov v oklepajih. Na primer: $p=\levo(1;3;2 \desno)$ ali $p=\levo(2;5;1;4;3 \desno)$. Črka je lahko karkoli, ampak naj bo $p$. :)

Nadalje, zaradi poenostavitve predstavitve, bomo delali s permutacijami dolžine 5 - te so že dovolj resne, da opazimo kakršne koli sumljive učinke, vendar še niso tako resne za krhke možgane kot permutacije dolžine 6 ali več. Tukaj so primeri takih permutacij:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \desno) \\ & ((p)_(3))=\levo(5;4;3;2;1 \desno) \\\end(align)\]

Seveda lahko permutacijo dolžine $n$ obravnavamo kot funkcijo, ki je definirana na množici $\left\( 1;2;...;n \right\)$ in to množico bijektivno preslika sama vase. Če se vrnemo na pravkar zapisane permutacije $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ in $((p)_(3))$, lahko povsem legitimno zapišemo:

\[((p)_(1))\levo(1 \desno)=1;((p)_(2))\levo(3 \desno)=2;((p)_(3))\ levo(2 \desno)=4;\]

Število različnih permutacij dolžine $n$ je vedno omejeno in enako $n!$ - to je enostavno dokazljivo dejstvo iz kombinatorike. Na primer, če želimo zapisati vse permutacije dolžine 5, potem bomo veliko oklevali, saj bodo takšne permutacije

Ena od ključnih značilnosti vsake permutacije je število inverzij v njej.

Opredelitev. Inverzija v permutaciji $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — poljuben par $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ tako, da $i \lt j$, vendar $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. Preprosto povedano, inverzija je, ko je večje število levo od manjšega (ne nujno njegovega soseda).

Z $N\left(p \right)$ bomo označili število inverzij v permutaciji $p$, vendar bodite pripravljeni, da boste v različnih učbenikih in različnih avtorjih naleteli na druge zapise - tu ni enotnih standardov. Tema inverzij je zelo obsežna in ji bo posvečena posebna lekcija. Zdaj je naša naloga preprosto naučiti se jih šteti v resničnih problemih.

Na primer, preštejmo število inverzij v permutaciji $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\left(4;3 \desno);\left(4;2 \desno);\left(5;3 \desno);\left(5;2 \desno);\left(3;2 \desno) ).\]

Tako je $N\levo(p \desno)=5$. Kot lahko vidite, s tem ni nič narobe. Povedal bom takoj: od zdaj naprej nas ne bo zanimalo toliko samo število $N\left(p \right)$, temveč njegova sodost/lihost. In tukaj gladko preidemo na ključni izraz današnje lekcije.

Kaj je determinanta

Naj bo dana kvadratna matrika $A=\left[ n\times n \right]$. Nato:

Opredelitev. Determinanta matrike $A=\left[ n\times n \right]$ je algebraična vsota $n!$ členov, sestavljenih na naslednji način. Vsak člen je produkt $n$ matričnih elementov, vzetih po enega iz vsake vrstice in vsakega stolpca, pomnoženih z (-1) na potenco števila inverzij:

\[\levo| A\desno|=\vsota\meje_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Temeljna točka pri izbiri dejavnikov za vsak izraz v determinanti je dejstvo, da se v isti vrstici ali v istem stolpcu ne pojavita dva faktorja.

Zahvaljujoč temu lahko brez izgube splošnosti domnevamo, da indeksi $i$ faktorjev $((a)_(i;j))$ "prehajajo" vrednosti 1, ..., $n$ , in indeksi $j$ so nekatere permutacije prvega:

In ko pride do permutacije $p$, lahko enostavno izračunamo inverzijo $N\left(p \right)$ - in naslednji člen determinante je pripravljen.

Seveda nihče ne prepoveduje zamenjave faktorjev v katerem koli terminu (ali v vseh naenkrat - zakaj bi izgubljali čas za malenkosti?), takrat pa bodo tudi prvi indeksi predstavljali nekakšno preureditev. Toda na koncu se ne bo nič spremenilo: skupno število inverzij v indeksih $i$ in $j$ pri takšnih izkrivljanjih ohrani pariteto, kar je povsem skladno z dobrim starim pravilom:

Prerazporeditev faktorjev ne spremeni produkta števil.

Samo tega pravila ne povežite z množenjem matrik - za razliko od množenja števil ni komutativno. Ampak sem se oddaljil. :)

Matrica 2x2

Pravzaprav lahko razmislite tudi o matriki 1x1 - to bo ena celica, njena determinanta pa je, kot morda ugibate, enaka številu, zapisanemu v tej celici. Nič zanimivega.

Poglejmo torej kvadratno matriko 2x2:

\[\levo[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\konec(matrika) \desno]\]

Ker je število vrstic v njem $n=2$, bo determinant vseboval $n!=2!=1\cdot 2=2$ členov. Zapišimo jih:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \desno)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\levo(-1 \desno))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\levo(-1 \desno))^(N\levo(2;1 \desno)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\levo(-1 \desno))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\konec(poravnaj)\]

Očitno je, da v permutaciji $\left(1;2 \right)$, sestavljeni iz dveh elementov, ni inverzij, torej $N\left(1;2 \right)=0$. Toda v permutaciji $\left(2;1 \right)$ obstaja ena inverzija (pravzaprav 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

V celoti je univerzalna formula za izračun determinante za matriko 2x2 videti takole:

\[\levo| \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( matrika) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Grafično je to mogoče predstaviti kot zmnožek elementov na glavni diagonali minus zmnožek elementov na stranski diagonali:

Determinanta matrike 2x2

Oglejmo si nekaj primerov:

\[\levo| \begin(matrika) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrika) \right|;\quad \left| \begin(matrix) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matrix) \right|.\]

rešitev. Vse se šteje v eno vrstico. Prva matrica:

In drugo:

Odgovor: −3; −161.

Vendar je bilo preveč preprosto. Poglejmo matrike 3x3 - je že zanimivo.

Matrica 3x3

Zdaj razmislite o kvadratni matriki 3x3:

\[\levo[ \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\konec(matrika) \desno]\]

Pri izračunu njegove determinante dobimo $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ členov - ne preveč za paniko, a dovolj, da začnemo iskati nekaj vzorcev. Najprej izpišimo vse permutacije treh elementov in preštejmo inverzije v vsakem od njih:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \right)=N\ levo(1;2;3 \desno)=0; \\ & ((p)_(2))=\levo(1;3;2 \desno)\Desna puščica N\levo(((p)_(2)) \desno)=N\levo(1;3 ;2 \desno)=1; \\ & ((p)_(3))=\levo(2;1;3 \desno)\Desna puščica N\levo(((p)_(3)) \desno)=N\levo(2;1 ;3 \desno)=1; \\ & ((p)_(4))=\levo(2;3;1 \desno)\Desna puščica N\levo(((p)_(4)) \desno)=N\levo(2;3 ;1 \desno)=2; \\ & ((p)_(5))=\levo(3;1;2 \desno)\Desna puščica N\levo(((p)_(5)) \desno)=N\levo(3;1 ;2 \desno)=2; \\ & ((p)_(6))=\levo(3;2;1 \desno)\Desna puščica N\levo(((p)_(6)) \desno)=N\levo(3;2 ;1 \desno)=3. \\\konec(poravnaj)\]

Po pričakovanju je bilo izpisanih skupno 6 permutacij: $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (seveda bi jih bilo mogoče izpisati v drugačno zaporedje - to ne pomeni nobene razlike, se bo spremenilo), število inverzij v njih pa se giblje od 0 do 3.

Na splošno bomo imeli tri člene s "plusom" (kjer je $N\left(p \right)$ sodo) in še tri z "minusom". Na splošno se determinanta izračuna po formuli:

\[\levo| \begin(matrix) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\konec (matrika) \right|=\begin(matrika) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matrix)\]

Samo ne sedi zdaj in besno nabijaj vse te indekse! Namesto nerazumljivih številk si je bolje zapomniti naslednje mnemonično pravilo:

Pravilo trikotnika. Če želite najti determinanto matrike 3x3, morate dodati tri produkte elementov, ki se nahajajo na glavni diagonali in na vrhovih enakokrakih trikotnikov s stranico, ki je vzporedna s to diagonalo, in nato odšteti iste tri produkte, vendar na sekundarni diagonali . Shematično je videti takole:

Determinanta matrike 3x3: pravilo trikotnika

Prav te trikotnike (ali pentagrame, kar vam je ljubše) ljudje radi rišejo v vse vrste algebrskih učbenikov in priročnikov. Vendar, da ne govorimo o žalostnih stvareh. Raje izračunajmo eno tako determinanto - ogreti se pred pravimi težjimi stvarmi. :)

Naloga. Izračunaj determinanto:

\[\levo| \begin(matrika) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matrika) \right|\]

rešitev. Delamo po pravilu trikotnikov. Najprej preštejmo tri člene, sestavljene iz elementov na glavni diagonali in vzporednih z njo:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(align) \]

Zdaj pa poglejmo stransko diagonalo:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(align) \]

Vse, kar ostane, je odšteti drugo od prve številke - in dobimo odgovor:

To je vse!

Vendar determinante matric 3x3 še niso vrhunec znanja. Najzanimivejše nas čaka naprej. :)

Splošna shema za izračun determinant

Kot vemo, je z večanjem dimenzije matrike $n$ število členov v determinanti $n!$ in hitro raste. Kljub temu faktoriel ni sranje; je dokaj hitro rastoča funkcija.

Že pri matrikah 4x4 postane neposredno štetje determinant (t.j. prek permutacij) nekako slabo. Na splošno molčim o 5x5 in več. Zato pridejo v poštev nekatere lastnosti determinante, vendar njihovo razumevanje zahteva malo teoretične priprave.

pripravljena Pojdi!

Kaj je matrični minor?

Naj bo podana poljubna matrika $A=\left[ m\times n \right]$. Opomba: ni nujno kvadratno. Za razliko od determinant so mladoletniki tako ljubke stvari, ki ne obstajajo samo v ostrih kvadratnih matricah. V tej matriki izberimo več (na primer $k$) vrstic in stolpcev z $1\le k\le m$ in $1\le k\le n$. Nato:

Opredelitev. Minor reda $k$ je determinanta kvadratne matrike, ki nastane na presečišču izbranih $k$ stolpcev in vrstic. To novo matriko bomo imenovali tudi manjša.

Tak minor je označen z $((M)_(k))$. Seveda ima lahko ena matrika cel kup minorov reda $k$. Tukaj je primer manjšega reda 2 za matriko $\left[ 5\times 6 \right]$:

Izbiranje $k = 2$ stolpcev in vrstic za oblikovanje pomorja

Sploh ni nujno, da so izbrane vrstice in stolpci ena poleg druge, kot v obravnavanem primeru. Glavno je, da je število izbranih vrstic in stolpcev enako (to je število $k$).

Obstaja še ena definicija. Mogoče bo komu bolj všeč:

Opredelitev. Naj bo podana pravokotna matrika $A=\left[ m\times n \right]$. Če se po izbrisu enega ali več stolpcev in ene ali več vrstic oblikuje kvadratna matrika velikosti $\left[ k\times k \right]$, potem je njena determinanta manjši $((M)_(k)) $ . Samo matrico bomo včasih imenovali tudi manjša - to bo jasno iz konteksta.

Kot je rekel moj maček, včasih je bolje priti iz 11. nadstropja, da bi pojedel hrano, kot pa mijavkati, ko sediš na balkonu.

Primer. Naj bo matrika podana

Z izbiro vrstice 1 in stolpca 2 dobimo minor prvega reda:

\[((M)_(1))=\levo| 7\desno|=7\]

Z izbiro vrstic 2, 3 in stolpcev 3, 4 dobimo minor drugega reda:

\[((M)_(2))=\levo| \begin(matrix) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matrix) \right|=5-18=-13\]

In če izberete vse tri vrstice, kot tudi stolpce 1, 2, 4, bo manjša točka tretjega reda:

\[((M)_(3))=\levo| \begin(matrika) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matrika) \right|\]

Bralcu ne bo težko najti drugih minorjev vrst 1, 2 ali 3. Zato gremo naprej.

Algebrski dodatki

"No, v redu, kaj nam dajejo ti manjši sluge?" - verjetno vprašate. Sami po sebi - nič. Toda v kvadratnih matricah ima vsak minor "spremljevalca" - dodatni minor, pa tudi algebrski komplement. In skupaj nam bosta ta dva trika omogočila, da bomo determinante lomili kot orehe.

Opredelitev. Naj bo podana kvadratna matrika $A=\left[ n\times n \right]$, v kateri je izbran minor $((M)_(k))$. Potem je dodatni pomol za pomor $((M)_(k))$ del prvotne matrike $A$, ki bo ostal po izbrisu vseh vrstic in stolpcev, vključenih v sestavo pomola $((M)_ (k))$:

Dodatni manjši k manjši $((M)_(2))$

Naj pojasnimo eno točko: dodatni mol ni le »del matrice«, temveč determinanta tega dela.

Dodatne manjše osebe so označene z zvezdico: $M_(k)^(*)$:

kjer operacija $A\nabla ((M)_(k))$ dobesedno pomeni "izbriši iz $A$ vrstice in stolpce, vključene v $((M)_(k))$". Ta operacija ni splošno sprejeta v matematiki - zaradi lepote zgodbe sem si jo izmislil sam. :)

Dodatni mladoletniki se redko uporabljajo sami. So del bolj zapletene konstrukcije - algebraičnega komplementa.

Opredelitev. Algebraični komplement minora $((M)_(k))$ je dodatni minor $M_(k)^(*)$, pomnožen z vrednostjo $((\left(-1 \right))^(S ))$ , kjer je $S$ vsota števil vseh vrstic in stolpcev, vključenih v prvotni pomor $((M)_(k))$.

Praviloma je algebraični komplement minora $((M)_(k))$ označen z $((A)_(k))$. Zato:

\[((A)_(k))=((\levo(-1 \desno))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Težko? Na prvi pogled ja. Ampak ni ravno. Ker je v resnici vse enostavno. Poglejmo primer:

Primer. Podana je matrika 4x4:

Izberimo minor drugega reda

\[((M)_(2))=\levo| \begin(matrix) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matrix) \right|\]

Zdi se, da nam Captain Obviousness namiguje, da sta pri sestavljanju tega mola sodelovali vrstici 1 in 4 ter stolpca 3 in 4. Če jih prečrtamo, dobimo dodaten minor:

Ostaja še najti število $S$ in pridobiti algebraični komplement. Ker poznamo število vpletenih vrstic (1 in 4) in stolpcev (3 in 4), je vse preprosto:

\[\začetek(poravnaj) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\levo(-1 \desno))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\levo(-1 \desno) )^(12))\cdot \left(-4 \desno)=-4\end(align)\]

Odgovor: $((A)_(2))=-4$

To je vse! Pravzaprav je vsa razlika med dodatnim minorom in algebraičnim komplementom samo v minusu spredaj, pa še to ne vedno.

Laplaceov izrek

In tako smo prišli do točke, zakaj so bili pravzaprav potrebni vsi ti minori in algebraični dodatki.

Laplaceov izrek o razgradnji determinante. Naj bo izbranih $k$ vrstic (stolpcev) v matriki velikosti $\left[ n\times n \right]$, z $1\le k\le n-1$. Potem je determinanta te matrike enaka vsoti vseh zmnožkov minorov reda $k$, ki jih vsebujejo izbrane vrstice (stolpci) in njihovih algebrskih komplementov:

\[\levo| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Poleg tega bo takšnih členov natanko $C_(n)^(k)$.

V redu, v redu: glede $C_(n)^(k)$ - že se razkazujem, v Laplaceovem prvotnem izreku ni bilo nič takega. Toda nihče ni preklical kombinatorike in dobesedno hiter pogled na pogoj vam bo omogočil, da se sami prepričate, da bo točno toliko izrazov. :)

Tega ne bomo dokazovali, čeprav ne predstavlja posebne težave - vsi izračuni se spuščajo na dobre stare permutacije in sodo/liho inverzijo. Vendar bo dokaz predstavljen v ločenem odstavku, danes pa imamo čisto praktično lekcijo.

Zato preidemo na poseben primer tega izreka, ko so minori posamezne celice matrike.

Razčlenitev determinante v vrstico in stolpec

To, o čemer bomo zdaj govorili, je ravno glavno orodje za delo z determinantami, zaradi katerega so se začele vse te neumnosti s permutacijami, minori in algebrskimi dodatki.

Preberite in uživajte:

Posledica Laplaceovega izreka (razgradnja determinante v vrstico/stolpec). Naj bo ena vrstica izbrana v matriki velikosti $\left[ n\times n \right]$. Manjše celice v tej vrstici bodo $n$ posameznih celic:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Dodatne manjše je tudi enostavno izračunati: preprosto vzemite izvirno matriko in prečrtajte vrstico in stolpec, ki vsebujeta $((a)_(ij))$. Imenujmo take minore $M_(ij)^(*)$.

Za algebraični komplement še vedno potrebujemo število $S$, vendar je v primeru minora reda 1 preprosto vsota "koordinat" celice $((a)_(ij))$:

In potem lahko izvirno determinanto zapišemo v smislu $((a)_(ij))$ in $M_(ij)^(*)$ v skladu z Laplaceovim izrekom:

\[\levo| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \desno))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Tako je formula za razgradnjo determinante v vrsto. Toda enako velja za stolpce.

Iz te posledice lahko takoj potegnemo več zaključkov:

1. Ta shema deluje enako dobro za vrstice in stolpce. Pravzaprav bo razčlenitev najpogosteje potekala natančno vzdolž stolpcev in ne vzdolž vrstic.
2. Število členov v razširitvi je vedno točno $n$. To je bistveno manj kot $C_(n)^(k)$ in še bolj kot $n!$.
3. Namesto ene determinante $\left[ n\times n \right]$ boste morali upoštevati več determinant velikosti ena manj: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \ desno) \desno ]$.

Zadnje dejstvo je še posebej pomembno. Na primer, namesto brutalne 4x4 determinante bo zdaj dovolj, da štejemo več 3x3 determinant - nekako se bomo spopadli z njimi. :)

Naloga. Poiščite determinanto:

\[\levo| \begin(matrika) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matrika) \right|\]

rešitev. Razširimo to determinanto vzdolž prve vrstice:

\[\začetek(poravnaj) \levo| A \desno|=1\cdot ((\left(-1 \desno))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \levo| \begin(matrix) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matrix) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \levo| \begin(matrix) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matrix) \right|= & \\\end(align)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \desno)-2\cdot \left(36-42 \desno)+3\cdot \left(32-35 \desno)= \\ & =1\cdot \left(-3 \desno)-2\cdot \left(-6 \desno)+3\cdot \left(-3 \desno)=0. \\\konec(poravnaj)\]

Naloga. Poiščite determinanto:

\[\levo| \begin(matrika) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrika) \right|\ ]

rešitev. Za spremembo tokrat delajmo s stolpci. Na primer, zadnji stolpec vsebuje dve ničli hkrati - očitno bo to znatno zmanjšalo izračune. Zdaj boste videli zakaj.

Torej razširimo determinanto v četrtem stolpcu:

\[\začetek(poravnaj) \levo| \begin(matrika) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrika) \right|= 0\cdot ((\levo(-1 \desno))^(1+4))\cdot \levo| \begin(matrix) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrix) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ desno))^(2+4))\cdot \levo| \begin(matrika) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrika) \right|+ & \\ +1\cdot ((\left(-1 \ desno))^(3+4))\cdot \levo| \begin(matrika) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrika) \right|+ & \\ +0\cdot ((\left(-1 \ desno))^(4+4))\cdot \levo| \begin(matrika) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrika) \right| & \\\konec(poravnaj)\]

In potem - o, čudež! - dva izraza gresta takoj v odtok, saj vsebujeta faktor “0”. Ostajata še dve determinanti 3x3, s katerima se zlahka spopademo:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrika) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrika) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \levo| \begin(matrika) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrika) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\konec(poravnaj)\]

Vrnimo se k viru in poiščimo odgovor:

\[\levo| \begin(matrika) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrika) \right|= 1\cdot \left(-1 \desno)+\left(-1 \desno)\cdot 1=-2\]

OK, zdaj je vsega konec. In ne 4! = 24 terminov ni bilo treba šteti. :)

Odgovor: −2

Osnovne lastnosti determinante

V zadnjem problemu smo videli, kako prisotnost ničel v vrsticah (stolpcih) matrike dramatično poenostavi razgradnjo determinante in na splošno vse izračune. Postavlja se naravno vprašanje: ali je mogoče doseči, da se te ničle pojavijo tudi v matriki, kjer jih prvotno ni bilo?

Odgovor je jasen: Lahko. In tu nam na pomoč priskočijo lastnosti determinante:

1. Če zamenjate dve vrstici (stolpcu), se determinanta ne spremeni;
2. Če eno vrstico (stolpec) pomnožimo s številom $k$, potem bo tudi celotna determinanta pomnožena s številom $k$;
3. Če vzamete eno vrstico in jo dodate (odštejete) tolikokrat, kot želite, od druge, se determinanta ne spremeni;
4. Če sta dve vrstici determinante enaki ali sorazmerni ali je ena od vrstic zapolnjena z ničlami, potem je celotna determinanta enaka nič;
5. Vse zgornje lastnosti veljajo tudi za stolpce.
6. Pri transponiranju matrike se determinanta ne spremeni;
7. Determinant produkta matrik je enak produktu determinant.

Tretja lastnost je posebne vrednosti: lahko odštevajte iz ene vrstice (stolpca) drugo, dokler se ničle ne pojavijo na pravih mestih.

Najpogosteje se izračuni zmanjšajo na "ničliranje" celotnega stolpca povsod, razen enega elementa, in nato razširitev determinante na ta stolpec, tako da dobimo matriko velikosti 1 manjšo.

Poglejmo, kako to deluje v praksi:

Naloga. Poiščite determinanto:

\[\levo| \begin(matrika) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrika) \right|\ ]

rešitev. Zdi se, da tukaj sploh ni ničel, zato lahko "vrtate" po kateri koli vrstici ali stolpcu - količina izračunov bo približno enaka. Ne izgubljajmo časa z malenkostmi in "izničimo" prvi stolpec: že ima celico z enico, zato samo vzemite prvo vrstico in jo odštejte 4-krat od druge, 3-krat od tretje in 2-krat od zadnje.

Kot rezultat bomo dobili novo matriko, vendar bo njena determinanta enaka:

\[\začetek(matrica) \levo| \begin(matrika) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrika) \right|\ začetek(matrika) \downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(matrika)= \\ =\levo| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\konec(matrika) \desno|= \\ =\levo| \begin(matrix) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matrica) \desno| \\\konec(matrika)\]

Zdaj, z nemirnostjo Pujsa, postavimo to determinanto vzdolž prvega stolpca:

\[\begin(matrix) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrika) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrika) \right|+0\cdot ((\ levo(-1 \desno))^(2+1))\cdot \levo| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \desno))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \desno))^(4+1))\cdot \left| ... \desno| \\\konec(matrika)\]

Jasno je, da bo "preživel" samo prvi izraz - za ostale nisem niti napisal determinant, saj so še vedno pomnožene z nič. Koeficient pred determinanto je enak ena, tj. ni ti treba zapisati.

Lahko pa odstranite "slabosti" iz vseh treh vrstic determinante. V bistvu smo faktor (−1) izločili trikrat:

\[\levo| \begin(matrika) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrika) \right|=\cdot \left| \begin(matrika) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrika) \right|\]

Dobili smo majhno determinanto 3x3, ki jo že lahko izračunamo s pravilom trikotnikov. Vendar ga bomo poskušali razčleniti v prvi stolpec - na srečo zadnja vrstica ponosno vsebuje enega:

\[\begin(align) & \left(-1 \desno)\cdot \left| \begin(matrika) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrika) \right|\begin(matrika) -7 \\ -2 \\ \gornja puščica \ \\konec(matrika)=\levo(-1 \desno)\cdot \levo| \begin(matrika) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrika) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matrika) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrika) \right|=\left(-1 \desno)\cdot \left| \begin(matrika) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrika) \right| \\\konec(poravnaj)\]

Seveda se lahko še vedno zabavate in razširite matriko 2x2 vzdolž vrstice (stolpca), vendar smo ti in jaz primerni, zato bomo samo izračunali odgovor:

\[\levo(-1 \desno)\cdot \levo| \begin(matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrix) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Tako se razbijejo sanje. Samo −160 v odgovoru. :)

Odgovor: −160.

Nekaj ​​opomb, preden preidemo na zadnjo nalogo:

1. Prvotna matrika je bila simetrična glede na sekundarno diagonalo. Vsi minori v razširitvi so tudi simetrični glede na isto sekundarno diagonalo.
2. Strogo gledano ne bi mogli ničesar razširiti, ampak preprosto reducirati matriko na zgornjo trikotno obliko, ko so pod glavno diagonalo trdne ničle. Potem (mimogrede, v strogem skladu z geometrijsko razlago) je determinanta enaka produktu $((a)_(ii))$ - števil na glavni diagonali.

Naloga. Poiščite determinanto:

\[\levo| \begin(matrika) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end (matrika) \right|\ ]

rešitev. No, tukaj prva vrstica kar kliče, da bi jo "ničlili". Vzemite prvi stolpec in odštejte natanko enkrat od vseh ostalih:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrika) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end (matrika) \right|= \\ & =\levo| \begin(matrix) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\konec (matrika) \desno|= \\ & =\levo| \begin(matrika) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end (matrika) \right| \\\konec(poravnaj)\]

Razširimo vzdolž prve vrstice in nato vzamemo skupne faktorje iz preostalih vrstic:

\[\cdot \levo| \begin(matrika) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matrika) \right|=\cdot \left| \begin(matrika) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrika) \right|\]

Spet vidimo "lepe" številke, vendar v prvem stolpcu - glede na to določimo determinanto:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(matrika) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrika) \right|\begin(matrika) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\konec(matrika)=240\cdot \levo| \begin(matrix) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot ((\left(-1 \ desno))^(1+1))\cdot \levo| \begin(matrix) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matrix) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( poravnaj)\]

naročilo Problem je rešen.

Odgovor: 1440