Čeprav se ta povezava na prvi pogled zdi povsem neočitna (zdi se, da je znanstvena matematika eno, ekonomija in finance pa nekaj povsem drugega), ko preučite zgodovino "odkritja" tega števila, postane vse očitno. Pravzaprav, ne glede na to, kako so znanosti razdeljene na različne na videz nepovezane veje, bo splošna paradigma še vedno enaka (zlasti za potrošniško družbo - »potrošniška« matematika).

Začnimo z definicijo. e je osnova naravnega logaritma, matematična konstanta, iracionalno in transcendentno število. Včasih se število e imenuje Eulerjevo število ali Napierovo število. Označeno z malo latinično črko "e".

Ker je eksponentna funkcija e^x integrirana in diferencirana "vase", so logaritmi, ki temeljijo na osnovi e, sprejeti kot naravni (čeprav bi moralo biti samo ime "naravnosti" pod velikim dvomom, ker vsa matematika v bistvu temelji na umetno izmišljenih ki so ločeni od fiktivnih načel narave in sploh ne na naravnih).

To število se včasih imenuje Nepier v čast škotskega znanstvenika Napierja, avtorja dela "Opis neverjetne tabele logaritmov" (1614). Vendar to ime ni povsem pravilno, saj Napier ni neposredno uporabil same številke.

Konstanta se prvič tiho pojavi v dodatku k angleškemu prevodu Napierjevega zgoraj omenjenega dela, objavljenega leta 1618. V zakulisju, ker vsebuje samo tabelo naravnih logaritmov, določenih iz KINEMATIČNIH premislekov, sama konstanta pa ni prisotna.

Samo konstanto je prvi izračunal švicarski matematik Bernoulli (po uradni različici leta 1690) pri reševanju problema mejne vrednosti OBRESTI. Ugotovil je, da če je bil prvotni znesek 1 dolar (valuta je popolnoma nepomembna) in se enkrat na koncu leta sešteje 100 % letno, bi bil končni znesek 2 dolarja. Če pa se iste obresti obračunajo dvakrat letno, potem se 1 dolar dvakrat pomnoži z 1,5, rezultat pa je 1,00 dolarja x 1,5² = 2,25 dolarja. Četrtletni seštevek obresti povzroči 1,00 USD x 1,254 = 2,44140625 USD in tako naprej. Bernoulli je pokazal, da če pogostost izračuna obresti NESKONČNO POVEČUJE, potem ima dohodek od obresti v primeru obrestno obrestne mere mejo - in ta meja je enaka 2,71828...

1,00 $×(1+1/12)12 = 2,613035 $…

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - v omejitvi je število e

Tako številka e dejansko zgodovinsko pomeni največji možni LETNI DOBIČEK pri 100% letno in največjo pogostost kapitalizacije obresti. In kaj imajo s tem zakoni vesolja? Število e je eden od pomembnih gradnikov v temelju denarne ekonomije posojilnih obresti v potrošniški družbi, pod katero se je že od samega začetka, tudi na miselni filozofski ravni, več stoletij prilagajala in pilila vsa danes uporabljena matematika. nazaj.

Prva znana uporaba te konstante, kjer je bila označena s črko b, se pojavi v Leibnizovih pismih Huygensu, 1690-1691.

Euler je črko e začel uporabljati leta 1727, prvič se pojavi v pismu Eulerja nemškemu matematiku Goldbachu z dne 25. novembra 1731, prva objava s to črko pa je bilo njegovo delo »Mehanika ali znanost o gibanju, razložena analitično ,« 1736. V skladu s tem se e običajno imenuje Eulerjevo število. Čeprav so nekateri učenjaki pozneje uporabljali črko c, je bila črka e uporabljena pogosteje in je danes standardna oznaka.

Ni natančno znano, zakaj je bila izbrana črka e. Morda je to posledica dejstva, da se beseda eksponentna ("indikativna", "eksponentna") začne z njo. Drugi predlog je, da so bile črke a, b, c in d že precej pogosto uporabljene za druge namene, e pa je bila prva "prosta" črka. Omeniti velja tudi, da je črka e prva črka v priimku Euler.

Toda v vsakem primeru je preprosto absurdno reči, da je število e nekako povezano z univerzalnimi zakoni vesolja in narave. To število je bilo že po samem konceptu sprva vezano na kreditno-finančno-monetarni sistem, predvsem pa je s tem številom (vendar ne samo) ideologija kreditno-finančnega sistema posredno vplivala na nastanek in razvoj vse ostale matematike, oz. preko nje vse druge vede (navsezadnje znanost brez izjeme nekaj izračuna po pravilih in pristopih matematike). Število e igra pomembno vlogo v diferencialnem in integralnem računu, ki je prek njega pravzaprav tudi povezan z ideologijo in filozofijo maksimiranja obrestnih prihodkov (lahko bi rekli celo podzavestno). Kako je povezan naravni logaritem? Uveljavitev e kot konstante (poleg vsega drugega) je privedla do oblikovanja implicitnih povezav v mišljenju, po katerih vsa obstoječa matematika preprosto ne more obstajati ločeno od denarni sistem! In v tej luči ni prav nič presenetljivo, da so stari Slovani (in ne le oni) odlično obhajali brez konstant, iracionalnih in transcendentalnih števil in celo brez številk in števil nasploh (črke so v starih časih delovale kot številke), drugačna logika, drugačno razmišljanje v sistemu ob pomanjkanju denarja (in torej vsega, kar je z njim povezano) naredi vse našteto enostavno nepotrebno.

Opisovanje e kot "konstante, približno enake 2,71828..." je enako, kot da bi pi rekli "iracionalno število, približno enako 3,1415...". To nedvomno drži, vendar se nam bistvo še vedno izmika.

Pi je razmerje med obsegom in premerom, enako za vse kroge. Je temeljni delež, ki je skupen vsem krogom in je zato vključen v izračun obsega, površine, prostornine in površine za kroge, krogle, valje itd. Pi kaže, da so vsi krogi povezani, da ne omenjamo trigonometričnih funkcij, izpeljanih iz krogov (sinus, kosinus, tangens).

Število e je osnovno rastno razmerje za vse kontinuirano rastoče procese.Število e vam omogoča, da vzamete preprosto stopnjo rasti (kjer je razlika vidna šele ob koncu leta) in izračunate komponente tega kazalnika, normalne rasti, pri kateri z vsako nanosekundo (ali celo hitreje) vse malo zraste več.

Število e je vključeno v sisteme eksponentne in konstantne rasti: prebivalstvo, radioaktivni razpad, izračun odstotkov in mnogi, mnogi drugi. Tudi stopničaste sisteme, ki ne rastejo enakomerno, je mogoče približati s številom e.

Tako kot si lahko vsako število predstavljamo kot "pomanjšano" različico 1 (osnovne enote), si lahko vsak krog predstavljamo kot "pomanjšano" različico enotskega kroga (s polmerom 1). Vsak rastni faktor lahko obravnavamo kot "pomanjšano" različico e (rastni faktor "enote").

Torej število e ni naključno število, vzeto naključno. Število e uteleša idejo, da so vsi nenehno rastoči sistemi pomanjšane različice iste metrike.

Koncept eksponentne rasti

Začnimo z ogledom osnovnega sistema, ki dvojne za določen čas. Na primer:

• Bakterije se vsakih 24 ur delijo in "podvojijo".
• Dvakrat več rezancev dobimo, če jih prelomimo na pol
• Vaš denar se vsako leto podvoji, če ustvarite 100% dobiček (sreča!)

In izgleda nekako takole:

Deljenje z dva ali podvojitev je zelo preprosto napredovanje. Seveda lahko potrojimo ali početverimo, vendar je podvojitev primernejša za razlago.

Matematično gledano, če imamo x razdelkov, dobimo na koncu 2^x več dobrega, kot smo ga imeli na začetku. Če naredimo samo 1 particijo, dobimo 2^1-krat več. Če so 4 particije, dobimo 2^4=16 delov. Splošna formula izgleda takole:

višina= 2 x

Z drugimi besedami, podvojitev je 100-odstotno povečanje. To formulo lahko prepišemo takole:

višina= (1+100 %) x

To je ista enakost, le "2" smo razdelili na sestavne dele, kar je v bistvu to število: začetna vrednost (1) plus 100%. Pametno, kajne?

Seveda lahko nadomestimo katero koli drugo številko (50%, 25%, 200%) namesto 100% in dobimo formulo rasti za ta novi koeficient. Splošna formula za x obdobij časovne vrste bo:

višina = (1+rast)x

To preprosto pomeni, da uporabimo stopnjo donosa (1 + dobiček), "x" krat zapored.

Pa poglejmo pobliže

Naša formula predpostavlja, da rast poteka v ločenih korakih. Naše bakterije čakajo in čakajo, nato pa bam!, in v zadnjem trenutku se njihovo število podvoji. Naš dobiček od obresti na depozit se čudežno pojavi točno po 1 letu. Na podlagi zgoraj zapisane formule dobiček raste postopoma. Nenadoma se pojavijo zelene pike.

A svet ni vedno tak. Če približamo, vidimo, da se naše bakterijske prijateljice nenehno delijo:

Zeleni kolega ne nastane iz nič: počasi raste iz modrega starša. Po 1 časovnem obdobju (v našem primeru 24 ur) je zeleni prijatelj že popolnoma zrel. Ko dozori, postane polnopravni modri član črede in lahko sam ustvarja nove zelene celice.

Bo ta informacija kakorkoli spremenila našo enačbo?

Ne. Pri bakterijah napol oblikovane zelene celice še vedno ne morejo narediti ničesar, dokler ne odrastejo in se povsem ločijo od modrih staršev. Torej je enačba pravilna.

Preden uvedemo koncept naravnega logaritma, razmislimo o konceptu konstantnega števila $e$.

Število $e$

Definicija 1

Število $e$ je matematična konstanta, ki je transcendentno število in je enaka $e\približno 2,718281828459045\ldots$.

Definicija 2

Transcendentno je število, ki ni koren polinoma s celimi koeficienti.

Opomba 1

Zadnja formula opisuje druga čudovita meja.

Število e imenujemo tudi Eulerjeva števila, in včasih Napierjeve številke.

Opomba 2

Za zapomnitev prvih števk števila $e$ se pogosto uporablja naslednji izraz: "$2$, $7$, dvakrat Lev Tolstoj". Da bi jo lahko uporabljali, se je seveda treba spomniti, da je bil Lev Tolstoj rojen leta 1828$.Prav te številke se dvakrat ponovijo v vrednosti števila $e$ za celim delom $2$ in decimalni del $7$.

Koncept števila $e$ smo začeli obravnavati pri proučevanju naravnega logaritma prav zato, ker je v osnovi logaritma $\log_(e)⁡a$, ki ga običajno imenujemo naravno in ga zapišite v obliki $\ln ⁡a$.

Naravni logaritem

Pogosto se pri izračunih uporabljajo logaritmi, katerih osnova je število $е$.

Definicija 4

Imenuje se logaritem z osnovo $e$ naravno.

Tisti. naravni logaritem lahko označimo kot $\log_(e)⁡a$, vendar je v matematiki običajna uporaba zapisa $\ln ⁡a$.

Lastnosti naravnega logaritma

Ker je logaritem na katero koli osnovo enote enak $0$, potem je naravni logaritem enote enak $0$:

Naravni logaritem števila $е$ je enak ena:

Naravni logaritem produkta dveh števil je enak vsoti naravnih logaritmov teh števil:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Naravni logaritem količnika dveh števil je enak razliki naravnih logaritmov teh števil:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Naravni logaritem potence števila lahko predstavimo kot produkt eksponenta in naravnega logaritma sublogaritemskega števila:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Primer 1

Poenostavite izraz $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

rešitev.

Uporabimo lastnost zmnoženega logaritma za prvi logaritem v števcu in imenovalcu in lastnost potenčnega logaritma za drugi logaritem števca in imenovalca:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

Odprimo oklepaje in predstavimo podobne izraze ter uporabimo lastnost $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

Odgovori: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

Primer 2

Poiščite vrednost izraza $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.

rešitev.

Uporabimo formulo za vsoto logaritmov:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Odgovori: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

Primer 3

Izračunajte vrednost logaritemskega izraza $2 \lg ⁡0,1+3 \ln⁡ e^5$.

rešitev.

Uporabimo lastnost logaritma potence:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 $.

Odgovori: $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Primer 4

Poenostavite logaritemski izraz $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

Za prvi logaritem uporabimo lastnost logaritma količnika:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

Odprimo oklepaje in predstavimo podobne izraze:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Odgovori: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln $27=-6$.

Vsaka od funkcij E preizkusi podano vrednost in glede na rezultat vrne TRUE ali FALSE. Na primer funkcija PRAZNO vrne logično vrednost TRUE, če je vrednost, ki se preskuša, sklic na prazno celico; drugače je vrnjena logična vrednost FALSE.

Funkcije E se uporabljajo za pridobitev informacij o vrednosti pred izvedbo izračuna ali drugega dejanja na njej. Če želite na primer izvesti drugačno dejanje, ko pride do napake, lahko uporabite funkcijo NAPAKA v kombinaciji s funkcijo ČE:

= ČE ( NAPAKA(A1); "Prišlo je do napake."; A1*2)

Ta formula preveri napako v celici A1. Ko pride do napake, funkcija ČE vrne sporočilo "Prišlo je do napake." Če ni napak, funkcija ČE izračuna zmnožek A1*2.

Sintaksa

PRAZNO(vrednost)

EOS(vrednost)

NAPAKA(vrednost)

ELOGIC(vrednost)

UNM(vrednost)

NETTEXT(vrednost)

ETEXT(vrednost)

argument funkcije E so opisani spodaj.

pomen Potreben argument. Vrednost, ki se preverja. Vrednost tega argumenta je lahko prazna celica, vrednost napake, logična vrednost, besedilo, številka, sklic na katerega koli od navedenih predmetov ali ime takega predmeta.

funkcija	Vrne TRUE, če
	Argument vrednosti se nanaša na prazno celico
	Argument vrednosti se nanaša na katero koli vrednost napake, ki ni #N/A
	Argument vrednosti se nanaša na katero koli vrednost napake (#N/V, #VREDNOST!, #REF!, #DIV/0!, #ŠTEV!, #IME? ali #PRAZNO!)
	Argument vrednosti se nanaša na logično vrednost
	Argument vrednosti se nanaša na vrednost napake #N/A (vrednost ni na voljo)
ENETEKST	Argument vrednosti se nanaša na kateri koli element, ki ni besedilo. (Upoštevajte, da funkcija vrne TRUE, če se argument nanaša na prazno celico.)
	Argument vrednosti se nanaša na število
	Argument vrednosti se nanaša na besedilo

Opombe

Argumenti v funkcijah E niso pretvorjene. Vse številke v narekovajih se obravnavajo kot besedilo. Na primer, v večini drugih funkcij, ki zahtevajo številski argument, vrednost besedila"19" se pretvori v številko 19. Vendar v formuli ISNUMBER("19") ta vrednost se ne pretvori iz besedila v številko in funkcijo ISNUMBER vrne FALSE.

Uporaba funkcij E Primerno je preveriti rezultate izračunov v formulah. Združevanje teh funkcij s funkcijo ČE, lahko najdete napake v formulah (glejte spodnje primere).

Primeri

Primer 1

Kopirajte vzorčne podatke iz naslednje tabele in jih prilepite v celico A1 novega Excelovega delovnega lista. Če želite prikazati rezultate formul, jih izberite in pritisnite F2, nato pritisnite Enter. Po potrebi spremenite širino stolpcev, da vidite vse podatke.

Kopirajte vzorčne podatke iz spodnje tabele in jih prilepite v celico A1 novega Excelovega delovnega lista. Če želite prikazati rezultate formul, jih izberite in pritisnite F2, nato pritisnite Enter. Po potrebi spremenite širino stolpcev, da vidite vse podatke.

podatki
Formula	Opis	Rezultat
PRAZNO (A2)	Preveri, ali je celica C2 prazna
NAPAKA (A4)	Preveri, ali je vrednost v celici A4 (#REF!) vrednost napake
	Preveri, ali je vrednost v celici A4 (#REF!) vrednost napake #N/A
	Preveri, ali je vrednost v celici A6 (#N/A) vrednost napake #N/A
	Preveri, ali je vrednost v celici A6 (#N/A) vrednost napake
ISNUMBER(A5)	Preveri, ali je vrednost v celici A5 (330,92) število
ETEKST(A3)	Preveri, ali je vrednost v celici A3 (»Region1«) besedilo

l (x) = e x, katerega odvod je enak sami funkciji.

Eksponent je označen kot , ali .

Številka e

Osnova stopnje eksponenta je številka e. To je iracionalno število. Je približno enako
e ≈ 2,718281828459045...

Število e je določeno preko limite zaporedja. To je t.i druga čudovita meja:
.

Število e lahko predstavimo tudi kot vrsto:
.

Eksponentni graf

Eksponentni graf, y = e x.

Graf prikazuje eksponento e do stopnje X.
l (x) = e x
Graf kaže, da eksponent monotono narašča.

Formule

Osnovne formule so enake kot za eksponentno funkcijo z osnovo stopnje e.

;
;
;

Izraz eksponentne funkcije s poljubno osnovo stopnje a skozi eksponento:
.

Zasebne vrednote

Naj y (x) = e x. Potem
.

Lastnosti eksponenta

Eksponent ima lastnosti eksponentne funkcije s potenčno osnovo e > 1 .

Domena, nabor vrednosti

Eksponent y (x) = e x definiran za vse x.
Njegova domena opredelitve:
- ∞ < x + ∞ .
Njegovi številni pomeni:
0 < y < + ∞ .

Ekstremi, naraščanje, zmanjševanje

Eksponent je monotono naraščajoča funkcija, zato nima ekstremov. Njegove glavne lastnosti so predstavljene v tabeli.

Inverzna funkcija

Inverz eksponenta je naravni logaritem.
;
.

Izpeljanka eksponenta

Izpeljanka e do stopnje X enako e do stopnje X :
.
Izpeljanka n-tega reda:
.
Izpeljava formul >>>

Integral

Kompleksna števila

Operacije s kompleksnimi števili se izvajajo z uporabo Eulerjeve formule:
,
kje je namišljena enota:
.

Izrazi s hiperboličnimi funkcijami

; ;
.

Izrazi z uporabo trigonometričnih funkcij

; ;
;
.

Razširitev potenčnega niza

Reference:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Priročnik matematike za inženirje in študente, "Lan", 2009.