Матрицыг тоогоор үржүүлэхийн тулд матрицын элемент бүрийг тухайн тоогоор үржүүлэх шаардлагатай.

Үр дагавар. Бүх матрицын элементүүдийн нийтлэг хүчин зүйлийг матрицын тэмдэгээс гаргаж болно.

Жишээлбэл, .

Таны харж байгаагаар матрицыг нэмэх, хасах, тоогоор үржүүлэх үйлдлүүд нь тоон дээрх үйлдлүүдтэй төстэй юм. Матрицыг үржүүлэх нь тодорхой үйлдэл юм.

Хоёр матрицын үржвэр.

Бүх матрицыг үржүүлэх боломжгүй. Хоёр матрицын үржвэр АТэгээд INжагсаасан дарааллаар ABэхний хүчин зүйлийн баганын тоо үед л боломжтой Ахоёр дахь хүчин зүйлийн эгнээний тоотой тэнцүү байна IN.

Жишээлбэл, .

Матрицын хэмжээ А 33, матрицын хэмжээ IN 23. Ажил ABболомжгүй, ажил VAМагадгүй.

А ба В хоёр матрицын үржвэр нь гурав дахь С матриц бөгөөд C ij элемент нь эхний хүчин зүйлийн i-р эгнээний элементүүд ба хоёр дахь хэсгийн j-р баганын элементүүдийн хос үржвэрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. хүчин зүйл.

Энэ тохиолдолд матрицын үржвэр боломжтой болохыг харуулсан VA

Хоёр матрицын үржвэрийн оршин тогтнох дүрмээс харахад ерөнхий тохиолдолд хоёр матрицын үржвэр нь солих хуульд захирагддаггүй, өөрөөр хэлбэл. AB? VA. Хэрэв тодорхой тохиолдолд энэ нь илэрвэл AB = BA,тэгвэл ийм матрицыг солих буюу солих боломжтой гэж нэрлэдэг.

Матрицын алгебрийн хувьд энгийн алгебраас ялгаатай нь хүчин зүйлийн матрицуудын аль нь ч тэг биш байсан ч хоёр матрицын үржвэр нь тэг матриц байж болно.

Жишээлбэл, матрицын үржвэрийг олъё AB, Хэрэв

Та олон матрицыг үржүүлж болно. Хэрэв та матрицыг үржүүлж чадвал А, INмөн эдгээр матрицуудын үржвэрийг матрицаар үржүүлж болно ХАМТ, дараа нь бүтээгдэхүүнийг зохиох боломжтой ( AB) ХАМТТэгээд А(Нар). Энэ тохиолдолд үржүүлэхтэй холбоотой хослолын хууль явагдана ( AB) ХАМТ = А(Нар).

Дөрвөн тооноос бүрдэх хүснэгтийг (матриц гэж нэрлэдэг) өгье.

Матриц нь хоёр мөр, хоёр баганатай бөгөөд энэ матрицыг бүрдүүлж буй тоонуудыг хоёр индекс бүхий үсгээр тэмдэглэнэ. Эхний индекс нь мөрийн дугаарыг, хоёр дахь нь өгөгдсөн тоо гарч ирэх баганын дугаарыг заана. Жишээлбэл, эхний мөр, хоёр дахь баганад байгаа тоог; хоёр дахь мөр ба эхний баганад байгаа тоо. Бид тоонуудыг матрицын элементүүд гэж нэрлэх болно.

Өгөгдсөн матрицад харгалзах хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч (эсвэл тодорхойлогч) нь дараах байдлаар олж авсан тоо юм.

Тодорхойлогчийг тэмдгээр тэмдэглэнэ

Тиймээс,

Тоонуудыг тодорхойлогчийн элементүүд гэж нэрлэдэг.

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчийн шинж чанарыг танилцуулъя.

Property 1. Тодорхойлогч нь мөрүүдийг нь харгалзах багануудаар сольсон тохиолдолд өөрчлөгдөхгүй, i.e.

Үл хөдлөх хөрөнгө 2.

Хоёр мөрийг (эсвэл баганыг) дахин зохион байгуулахдаа тодорхойлогч нь үнэмлэхүй утгыг хадгалж, тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх болно.

Property 3. Хоёр ижил мөр (эсвэл багана) бүхий тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Өмч 4. Мөр (эсвэл баганын) бүх элементийн нийтлэг хүчин зүйлийг тодорхойлогч тэмдэгээс гаргаж болно.

Property 5. Хэрэв мөр (эсвэл баганын) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

Өмч 6. Хэрэв тодорхойлогчийн аль нэг мөрөнд (эсвэл багана) өөр мөр (эсвэл баганын) харгалзах элементүүдийг y тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч нь түүний утгыг өөрчлөхгүй, өөрөөр хэлбэл.

Энд бид тодорхойлогчдыг тооцоолоход ихэвчлэн ашигладаг шинж чанаруудыг тоймлон харуулах болно стандарт курсдээд математик. Энэ бол туслах сэдэв бөгөөд шаардлагатай бол бусад хэсгүүдээс авч үзэх болно.

Тэгэхээр, тодорхой квадрат матриц $A_(n\times n)=\left(\begin(массив) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) байг. өгөгдсөн & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( array) \right)$. Квадрат матриц бүр тодорхойлогч (эсвэл тодорхойлогч) гэж нэрлэгддэг шинж чанартай байдаг. Би энд энэ үзэл баримтлалын мөн чанарт орохгүй. Хэрэв энэ нь тодруулах шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй, би энэ асуудлыг илүү нарийвчлан авч үзэх болно.

$A$ матрицын тодорхойлогчийг $\Delta A$, $|A|$, эсвэл $\det A$ гэж тэмдэглэнэ. Тодорхойлогч дараалалдоторх мөр (баганын) тоотой тэнцүү байна.

1. Хэрэв түүний мөрүүдийг харгалзах баганаар сольсон бол тодорхойлогчийн утга өөрчлөгдөхгүй, өөрөөр хэлбэл. $ \ Delta A = \ Delta A ^ T $.

   харуулах\нуух

   "Эхний мөр байсан - эхний багана байсан", "хоёр дахь мөр байсан - хоёр дахь багана байсан" гэсэн зарчмын дагуу мөрүүдийг баганаар сольж үзье.

   Үүссэн тодорхойлогчийг тооцоолъё: $\left| \begin(массив) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(массив) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Таны харж байгаагаар тодорхойлогчийн утга солигдсон тул өөрчлөгдөөгүй байна.

2. Тодорхойлогчийн хоёр мөрийг (баганыг) сольвол тодорхойлогчийн тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгдөнө.

   Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

   Тодорхойлогч $\left|-г авч үзье \begin(массив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(массив) \right|$. Хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох сэдвийн №1 томъёог ашиглан түүний утгыг олъё.

   $$\ зүүн| \begin(массив) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(массив) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   Одоо эхний болон хоёр дахь мөрүүдийг сольж үзье. Бид $\left| тодорхойлогчийг олж авна \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(массив) \right|$. Үүссэн тодорхойлогчийг тооцоолъё: $\left| \begin(массив) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(массив) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Тэгэхээр анхны тодорхойлогчийн утга (-37), мөрийн дараалал өөрчлөгдсөн тодорхойлогчийн утга $-(-37)=37$ байна. Тодорхойлогчийн тэмдэг эсрэгээрээ өөрчлөгдсөн.

3. Мөр (баганын) бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

   Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

   Тодорхойлогчийн хувьд $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ гурав дахь баганын бүх элементүүд тэг, дараа нь тодорхойлогч нь тэг, өөрөөр хэлбэл. $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(массив) \right|=0$.

4. Тодорхой эгнээний (баганын) бүх элементүүд нь өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдтэй тэнцүү байх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

   Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

   Тодорхойлогчийн хувьд $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ эхний эгнээний бүх элементүүд харгалзах хэмжээтэй тэнцүү байна хоёр дахь эгнээний элементүүд, дараа нь тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(массив) \right|=0$.

5. Хэрэв тодорхойлогч дахь нэг мөр (багана) -ын бүх элементүүд өөр мөр (багана) -ын харгалзах элементүүдтэй пропорциональ байвал ийм тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байна.

   Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

   Тодорхойлогчийн хувьд $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Хоёр ба гурав дахь эгнээ пропорциональ, i.e. $r_3=-3\cdot(r_2)$, тэгвэл тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(массив) \right|=0$.

6. Хэрэв мөр (багана) -ын бүх элементүүд нийтлэг хүчин зүйлтэй бол энэ хүчин зүйлийг тодорхойлогч тэмдэгээс хасаж болно.

   Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

   Тодорхойлогч $\left|-г авч үзье \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(массив) \right|$. Хоёр дахь эгнээний бүх элементүүд 3-т хуваагддаг болохыг анхаарна уу.

   $$\ зүүн| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(массив) \right|=\left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(массив) \баруун|$$

   3-р тоо нь хоёр дахь эгнээний бүх элементүүдийн нийтлэг хүчин зүйл юм. Тодорхойлогч тэмдгийн гурвыг авч үзье.

   $$\ зүүн| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(массив) \right|=\left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(массив) \right|= 3\cdot \left| \begin(массив) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(массив) \баруун| $$

7. Тодорхой эгнээний (баганын) бүх элементүүдэд өөр мөрийн (баганын) харгалзах элементүүдийг дурын тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй.

   Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

   Тодорхойлогч $\left|-г авч үзье \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \right|$. Хоёр дахь мөрийн элементүүдэд гурав дахь мөрийн харгалзах элементүүдийг 5-аар үржүүлье. Энэ үйлдлийг дараах байдлаар бичнэ: $r_2+5\cdot(r_3)$. Хоёрдахь мөр өөрчлөгдөх болно, үлдсэн мөрүүд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

   $$\ зүүн| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \баруун| \эхлэх(массив) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(массив)= \left| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \төгсгөл (массив) \баруун|= \зүүн| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \баруун|. $$

8. Тодорхойлогчийн тодорхой мөр (багана) нь бусад мөрүүдийн (баганын) шугаман хослол бол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

   Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

   "Шугаман хослол" гэсэн хэллэг ямар утгатай болохыг нэн даруй тайлбарлая. $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ гэсэн мөрүүд (эсвэл баганууд) байцгаая. Илэрхийлэл

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   R$ дахь $k_i\-ийг $A_1$, $A_2$,..., $A_s$ мөрүүдийн (баганын) шугаман хослол гэж нэрлэдэг.

   Жишээлбэл, дараах тодорхойлогчийг авч үзье.

   $$\ зүүн| \эхлэх(массив) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(массив) \баруун| $$

   Энэ тодорхойлогчийн хувьд дөрөв дэх мөрийг шугаман хослолоор илэрхийлж болно эхний гуравмөрүүд:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Тиймээс тухайн тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байна.

9. Тодорхойлогчийн тодорхой k-р эгнээний (k-р багана) элемент бүр нь хоёр гишүүний нийлбэртэй тэнцүү бол ийм тодорхойлогч нь тодорхойлогчдын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд эхнийх нь тодорхойлогчийн нийлбэртэй тэнцүү байна. k-р шугам (k-р багана) эхний гишүүдтэй, хоёр дахь тодорхойлогч нь k-р мөрөнд (k-р багана) хоёр дахь гишүүнтэй байна. Эдгээр тодорхойлогчдын бусад элементүүд ижил байна.

   Энэ өмчийг ашиглах жишээ: show\hide

   Тодорхойлогч $\left|-г авч үзье \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \right|$. Хоёрдахь баганын элементүүдийг ингэж бичье: $\left| \begin(массив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(массив) \right|$. Ийм тодорхойлогч нь хоёр тодорхойлогчийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

   $$\ зүүн| \begin(массив) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(массив) \баруун|= \зүүн| \begin(массив) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(массив) \баруун|= \зүүн| \begin(массив) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(массив) \баруун|+ \зүүн| \begin(массив) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(массив) \баруун| $$

10. Ижил дарааллын хоёр квадрат матрицын үржвэрийн тодорхойлогч нь эдгээр матрицуудын тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна, i.e. $ \ det (A \ cdot B) = \ det A \ cdot \ det B $. Энэ дүрмээс бид дараах томьёог гаргаж болно: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Хэрэв $A$ матриц нь ганц бие биш (өөрөөр хэлбэл тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш) бол $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$ болно.

Тодорхойлогчийг тооцоолох томъёо

Хоёр ба гуравдахь эрэмбийн тодорхойлогчдын хувьд дараах томъёо зөв байна.

\begin(тэгшитгэл) \Delta A=\left| \эхлэх(массив) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \төгсгөл(массив) \баруун|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(equation) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\left| \эхлэх(массив) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(массив) \баруун|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)\төгсгөц(тэгшитгэл)

Томьёо (1) ба (2) ашиглах жишээг "Хоёр ба гурав дахь эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох томъёо. Тодорхойлогчийг тооцоолох жишээ" сэдвээр байна.

$A_(n\times n)$ матрицын тодорхойлогчийг өргөтгөж болно i-р мөрдараах томъёог ашиглан:

\эхлэх(тэгшитгэл)\Дельта А=\нийлбэр\хязгаар_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \төгсгөл(тэгшитгэл)

Энэ томьёоны аналог нь баганад бас байдаг. j-р баганад тодорхойлогчийг өргөтгөх томъёо дараах байдалтай байна.

\эхлэх(тэгшитгэл)\Дельта А=\нийлбэр\хязгаар_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \төгсгөл(тэгшитгэл)

(3) ба (4) томъёогоор илэрхийлсэн дүрмүүдийг жишээгээр дэлгэрэнгүй тайлбарлаж, Тодорхойлогчийн дарааллыг багасгах сэдвээр тайлбарлав. Тодорхойлогчийн дараалсан задрал (багана).

Дээд гурвалжин ба доод гурвалжин матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох өөр нэг томъёог зааж өгье (эдгээр нэр томъёоны тайлбарыг "Матриц. Матрицын төрөл. Үндсэн нэр томъёо" сэдвээс үзнэ үү). Ийм матрицын тодорхойлогч нь үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна. Жишээ нь:

\эхлэх(зэрэгцүүлсэн) &\left| \begin(массив) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(массив) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \эхлэх(массив) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \төгсгөл(массив) \ баруун|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \төгсгөл(зэрэгцүүлсэн)

- Титмаусыг үхтэл нь сулла!
Эрх чөлөө түүнийг энхрийлэх болтугай!
Мөн хөлөг онгоц хөвж, реактор архиран ...
- Паш, чи зөрүүд байна уу?

Би 8-р анги хүртлээ алгебрт дургүй байснаа санаж байна. Энэ нь надад огт таалагдаагүй. Тэр намайг уурлуулсан. Учир нь би тэнд юу ч ойлгоогүй.

Тэгээд би нэг заль мэхийг олж мэдсэн тул бүх зүйл өөрчлөгдсөн:

Математикийн хувьд ерөнхийдөө (ялангуяа алгебр) бүх зүйл чадварлаг, тууштай тодорхойлолтын систем дээр суурилдаг. Хэрэв та тодорхойлолтыг мэддэг бол тэдгээрийн мөн чанарыг ойлго, үлдсэнийг нь ойлгоход хэцүү байх болно.

Өнөөдрийн хичээлийн сэдэв ийм л байна. Бид хэд хэдэн холбогдох асуудал, тодорхойлолтыг нарийвчлан авч үзэх болно, үүний ачаар та матриц, тодорхойлогч, тэдгээрийн бүх шинж чанарыг нэг удаа, бүрэн ойлгох болно.

Тодорхойлогч нь матрицын алгебрийн гол ойлголт юм. Товчлогдсон үржүүлэх томъёоны нэгэн адил тэд дээд математикийн хичээлийн туршид таныг зовоох болно. Тиймээс бид сайтар уншиж, харж, ойлгодог. :)

Мөн бид хамгийн дотно зүйлээс эхлэх болно - матриц гэж юу вэ? Мөн түүнтэй хэрхэн зөв ажиллах вэ.

Матриц дахь индексүүдийг зөв байрлуулах

Матриц бол зүгээр л тоогоор дүүргэсэн хүснэгт юм. Нео үүнд ямар ч хамаагүй.

Матрицын гол шинж чанаруудын нэг нь түүний хэмжээс, жишээлбэл. үүнээс бүрдэх мөр, баганын тоо. Бид ихэвчлэн $A$ матриц $m$ мөр, $n$ баганатай бол $\left[ m\times n \right]$ хэмжээтэй байна гэж хэлдэг. Үүнийг ингэж бичнэ үү:

Эсвэл иймэрхүү:

Бусад тэмдэглэгээ байдаг - энэ бүхэн сурах бичгийн багш / семинарч / зохиогчийн сонголтоос хамаарна. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд эдгээр $\left[ m\times n \right]$ болон $((a)_(ij))$-ийн хувьд ижил асуудал гарч ирнэ:

Аль индекс юуг хариуцдаг вэ? Эхлээд мөрийн дугаар, дараа нь баганын дугаар орох уу? Эсвэл эсрэгээр?

Лекц, сурах бичгийг уншихад хариулт нь ойлгомжтой байх болно. Харин шалгалтанд өмнө нь даалгавартай хуудас л байхад та хэт догдолж, гэнэт эргэлзэж эхэлдэг.

Тиймээс энэ асуудлыг нэг мөр шийдье. Эхлэхийн тулд сургуулийн математикийн хичээлийн ердийн координатын системийг санацгаая.

Хавтгай дээрх координатын системийг нэвтрүүлэх

Түүнийг санаж байна уу? Энэ нь $x$ ба $y$ тэнхлэгүүдийн гарал үүсэлтэй (цэг $O=\left(0;0 \right)$) бөгөөд хавтгай дээрх цэг бүр координатаар өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог: $A=\left( 1;2 \ баруун)$, $B=\left(3;1 \right)$ гэх мэт.

Одоо энэ бүтээцийг аваад матрицын хажууд координатын гарал үүсэл зүүн дээд буланд байхаар байрлуулъя. Яагаад тэнд? Тийм ээ, учир нь ном нээхдээ бид хуудасны зүүн дээд булангаас яг уншиж эхэлдэг - үүнийг санах нь амархан.

Гэхдээ тэнхлэгүүдийг хаашаа чиглүүлэх ёстой вэ? Бидний виртуал "хуудас" бүхэлдээ эдгээр тэнхлэгт хамрагдахын тулд бид тэдгээрийг чиглүүлэх болно. Үнэн, үүний тулд бид координатын системээ эргүүлэх хэрэгтэй болно. Зөвхөн боломжит хувилбарэнэ байршил:

Матриц дээр координатын системийг давхарлах

Одоо матрицын нүд бүр өвөрмөц координат $x$ ба $y$ байна. Жишээлбэл, $((a)_(24))$ гэж бичих нь $x=2$ ба $y=4$ координаттай элементэд хандаж байна гэсэн үг. Матрицын хэмжээсийг хос тоогоор тусгайлан зааж өгсөн болно:

Матриц дахь индексийг тодорхойлох

Зүгээр л энэ зургийг анхааралтай ажиглаарай. Координатуудтай тоглох (ялангуяа бодит матриц, тодорхойлогчтой ажиллах үед) - тэгээд тун удахгүй та хамгийн төвөгтэй теоремууд болон тодорхойлолтуудад ч гэсэн юу хэлж байгааг маш сайн ойлгодог гэдгийг ойлгох болно.

Авчихсан? За ингээд гэгээрлийн эхний алхам болох тодорхойлогчийн геометрийн тодорхойлолт руу орцгооё. :)

Геометрийн тодорхойлолт

Юуны өмнө тодорхойлогч нь зөвхөн $\left[ n\times n \right]$ хэлбэрийн дөрвөлжин матрицуудад байдаг гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. Тодорхойлогч гэдэг нь тодорхой дүрмийн дагуу тооцоологддог тоо бөгөөд энэ матрицын шинж чанаруудын нэг юм (бусад шинж чанарууд байдаг: зэрэглэл, хувийн векторууд, гэхдээ бусад хичээлүүдэд энэ талаар илүү ихийг хэлдэг).

Тэгэхээр энэ онцлог нь юу вэ? Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь энгийн:

$A=\left[ n\times n \right]$ квадрат матрицын тодорхойлогч нь $n$-хэмжээтэй параллелепипедийн эзэлхүүн бөгөөд матрицын мөрүүдийг түүний ирмэгийг бүрдүүлж буй векторууд гэж үзвэл үүснэ. параллелепипед.

Жишээлбэл, 2х2 матрицын тодорхойлогч нь зүгээр л параллелограммын талбай боловч 3х3 матрицын хувьд энэ нь аль хэдийн 3 хэмжээст параллелепипедийн эзэлхүүн юм - стереометрийн хичээл дээр ахлах сургуулийн бүх сурагчдыг уурлуулдаг. .

Өнгөц харахад энэ тодорхойлолт нь бүрэн хангалтгүй мэт санагдаж магадгүй юм. Гэхдээ дүгнэлт хийх гэж яарах хэрэггүй - жишээнүүдийг харцгаая. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл энгийн, Ватсон:

Даалгавар. Матрицын тодорхойлогчдыг ол:

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\дөрөв \зүүн| \эхлэх(матриц) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\дөрөв \зүүн| \эхлэх(матриц)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\төгсгөл(матриц) \баруун|\]

Шийдэл. Эхний хоёр тодорхойлогч нь 2х2 хэмжээтэй байна. Тэгэхээр эдгээр нь зүгээр л параллелограммын талбайнууд юм. Тэдгээрийг зурж, талбайг тооцоолъё.

Эхний параллелограммыг $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ ба $((v)_(2))=\left(0;3 \right) векторууд дээр барьсан. $:

2х2-ийн тодорхойлогч нь параллелограммын талбай юм

Мэдээжийн хэрэг, энэ нь зүгээр л параллелограмм биш, харин тэгш өнцөгт юм. Түүний талбай нь

Хоёрдахь параллелограммыг $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ ба $((v)_(2))=\left(2;2 \right) векторууд дээр бүтээв. )$. За яахав? Энэ нь бас тэгш өнцөгт юм:

Өөр нэг 2х2 тодорхойлогч

Энэ тэгш өнцөгтийн талуудыг (үндсэндээ векторуудын уртыг) Пифагорын теоремыг ашиглан хялбархан тооцоолж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \баруун))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\left| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь сүүлчийн тодорхойлогчтой харьцах хэвээр байна - энэ нь аль хэдийн 3x3 матрицыг агуулж байна. Та стереометрийг санах хэрэгтэй:

3х3-ийн тодорхойлогч нь параллелепипедийн эзэлхүүн юм

Энэ нь сэтгэл хөдөлгөм харагдаж байгаа ч үнэндээ параллелепипедийн эзлэхүүний томъёог санахад хангалттай.

Энд $S$ нь суурийн талбай (манай тохиолдолд энэ нь $OXY$ хавтгай дээрх параллелограммын талбай), $h$ нь энэ суурь руу татсан өндөр (үнэндээ $ z$-векторын координат $((v)_(3) )$).

Параллелограммын талбайг (бид үүнийг тусад нь зурсан) тооцоолоход хялбар байдаг.

\[\эхлэх(эгцлэх) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгээд л болоо! Бид хариултуудыг бичдэг.

Хариулт: 3; 4; 24.

Тэмдэглэгээний системийн тухай жижиг тэмдэглэл. Би векторуудын дээрх "сум"-ыг үл тоомсорлож байгаа нь зарим хүмүүст таалагдахгүй байх. Та векторыг цэг эсвэл өөр зүйлтэй андуурч болно.

Гэхдээ нухацтай байцгаая: бид аль хэдийн насанд хүрсэн охид, хөвгүүд учраас бид векторын тухай ярихдаа ч, цэгийн тухай ярихдаа ч сайн ойлгодог. Сумнууд зөвхөн математикийн томьёогоор дүүрсэн өгүүллэгийг бөглөнө.

Тэгээд цааш нь. Зарчмын хувьд 1х1 матрицын тодорхойлогчийг авч үзэхэд юу ч саад болохгүй - ийм матриц нь зүгээр л нэг нүд бөгөөд энэ нүдэнд бичигдсэн тоо нь тодорхойлогч байх болно. Гэхдээ энд нэг чухал зүйл байна:

Сонгодог хэмжээнээс ялгаатай нь тодорхойлогч нь бидэнд "гэж нэрлэгддэг зүйлийг өгөх болно. чиглэсэн эзлэхүүн", өөрөөр хэлбэл. эгнээний векторуудыг авч үзэх дарааллыг харгалзан эзлэхүүн.

Хэрэв та эзлэхүүнийг сонгодог утгаар нь авахыг хүсвэл тодорхойлогч модулийг авах хэрэгтэй болно, гэхдээ одоо энэ талаар санаа зовох хэрэггүй болно - ямар ч байсан хэдхэн секундын дараа бид ямар ч тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолохыг сурах болно. ямар ч тэмдэг, хэмжээ гэх мэт :)

Алгебрийн тодорхойлолт

Геометрийн аргын бүх гоо үзэсгэлэн, тодорхой байдлын хувьд энэ нь ноцтой дутагдалтай талтай: энэ нь тодорхойлогчийг хэрхэн тооцоолох талаар бидэнд юу ч хэлдэггүй.

Тиймээс одоо бид алгебрийн өөр тодорхойлолтыг шинжлэх болно. Үүнийг хийхийн тулд бидэнд товч онолын бэлтгэл хэрэгтэй болно, гэхдээ эцэст нь бид матрицаар хүссэн бүхнээ, ямар ч хамаагүй тооцоолох боломжийг олгодог хэрэгслийг авах болно.

Тэнд шинэ асуудал гарч ирэх нь үнэн, гэхдээ хамгийн түрүүнд хийх зүйл.

Оршил ба урвуу

1-ээс $n$ хүртэлх тоог нэг мөрөнд бичье. Та иймэрхүү зүйлийг авах болно:

Одоо (зүгээр л хөгжилтэй байхын тулд) хэд хэдэн тоог сольж үзье. Та хөрш зэргэлдээхүүдийг өөрчилж болно:

Эсвэл магадгүй - ялангуяа хөрш биш:

Тэгээд юу гэж бодож байна? Юу ч биш! Алгебрийн хувьд энэ тэнэглэлийг пермутаци гэж нэрлэдэг. Мөн энэ нь маш олон шинж чанартай байдаг.

Тодорхойлолт. $n$ урттай сэлгэлт нь ямар ч дарааллаар бичигдсэн $n$ өөр тоонуудын мөр юм. Ихэвчлэн эхний $n$-г авч үздэг натурал тоонууд(жишээ нь зүгээр л 1, 2, ..., $n$ тоонууд), дараа нь хүссэн сэлгэлтийг олж авахын тулд тэдгээрийг холино.

Сэлгээг векторуудтай ижил аргаар тэмдэглэдэг - зүгээр л үсгээр, хаалтанд тэдгээрийн элементүүдийн дараалсан жагсаалт. Жишээ нь: $p=\left(1;3;2 \right)$ эсвэл $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Энэ үсэг нь юу ч байж болно, гэхдээ $p$ байх болтугай. :)

Цаашилбал, танилцуулгыг хялбарчлах үүднээс бид 5 урттай сэлгэлтүүдтэй ажиллах болно - тэдгээр нь сэжигтэй үр дагаврыг ажиглахад хангалттай ноцтой боловч эмзэг тархинд 6 ба түүнээс дээш урттай өөрчлөлтүүд шиг тийм хүнд биш байна. Ийм солих жишээ энд байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((p)_(1))=\зүүн(1;2;3;4;5 \баруун) \\ & ((p)_(2))=\зүүн(1) ;3;2;5;4 \баруун) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \баруун) \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, $n$ урттай сэлгэн залгалтыг $\left\( 1;2;...;n \right\)$ олонлог дээр тодорхойлсон функц гэж үзэж, энэ олонлогийг хоёр талдаа өөр дээрээ буулгаж болно. $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ болон $((p)_(3))$ гэж бичсэн сэлгэлтүүд рүү буцаж очоод бид маш хууль ёсны дагуу бичиж болно:

\[((p)_(1))\left(1 \баруун)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ зүүн(2 \баруун)=4;\]

$n$ урттай өөр өөр сэлгэлтийн тоо үргэлж хязгаарлагдмал бөгөөд $n!$-тэй тэнцүү байдаг - энэ нь комбинаторикийн хувьд амархан нотлох баримт юм. Жишээлбэл, хэрэв бид 5-ын урттай бүх сэлгэлтүүдийг бичихийг хүсвэл маш их эргэлзэх болно, учир нь ийм өөрчлөлтүүд байх болно.

Аливаа сэлгэцийн гол шинж чанаруудын нэг нь түүний доторх урвуу өөрчлөлтүүдийн тоо юм.

Тодорхойлолт. Оршил дахь урвуу $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;((a)_(n)) \right)$ — дурын хос $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ ийм $i \lt j$, харин $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. Энгийнээр хэлбэл, урвуу гэдэг нь том тоо нь жижиг тоонуудын зүүн талд (түүний хөрш байх албагүй) байхыг хэлнэ.

Бид $p$ солих өөрчлөлтийн тоог $N\left(p\right)$-р тэмдэглэнэ, гэхдээ өөр өөр сурах бичиг, өөр зохиогчид өөр тэмдэглэгээтэй тулгарахад бэлэн байгаарай - энд нэгдмэл стандарт байдаггүй. Урвууны сэдэв нь маш өргөн хүрээтэй бөгөөд тусдаа хичээлийг үүнд зориулах болно. Одоо бидний даалгавар бол тэдгээрийг бодит асуудалд хэрхэн тоолж сурах явдал юм.

Жишээлбэл, $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$ орц дахь урвуу тоог тоолъё:

\[\зүүн(4;3 \баруун);\зүүн(4;2 \баруун);\зүүн(5;3 \баруун);\зүүн(5;2 \баруун);\зүүн(3;2 \баруун) ).\]

Ийнхүү $N\left(p \right)=5$. Таны харж байгаагаар энэ нь буруу зүйл биш юм. Би шууд хэлье: одооноос бид $N\left(p \right)$-ын тоог биш харин түүний тэгш/сондгой байдлыг сонирхох болно. Эндээс бид өнөөдрийн хичээлийн гол нэр томъёо руу жигд шилжлээ.

Тодорхойлогч гэж юу вэ

$A=\left[ n\times n \right]$ квадрат матриц өгье. Дараа нь:

Тодорхойлолт. $A=\left[ n\times n \right]$ матрицын тодорхойлогч нь дараах байдлаар бүрдэх $n!$ гишүүний алгебрийн нийлбэр юм. Нэр томьёо бүр нь $n$ матрицын элементүүдийн үржвэр бөгөөд мөр, багана бүрээс нэгийг авч, (−1)-ээр урвуу байдлын тооны зэрэгт үржүүлсэн байна:

\[\зүүн| A\баруун|=\нийлбэр\хязгаар_(н{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Тодорхойлогчийн нэр томъёо бүрийн хүчин зүйлийг сонгохдоо гол зүйл бол нэг мөрөнд эсвэл нэг баганад хоёр хүчин зүйл харагдахгүй байх явдал юм.

Үүний ачаар бид $((a)_(i;j))$ хүчин зүйлсийн $i$ индексүүд 1, ..., $n$ утгуудыг "дамждаг" гэж ерөнхий ойлголтыг алдалгүйгээр тооцож болно. , мөн $j$ индексүүд нь эхнийх нь зарим нэг солигдол юм:

$p$ солих үед бид $N\left(p \right)$ урвууг хялбархан тооцоолж болох бөгөөд тодорхойлогчийн дараагийн гишүүн бэлэн болно.

Мэдээжийн хэрэг, хүчин зүйлийг аль ч нэр томъёонд (эсвэл бүгдийг нь нэг дор - яагаад жижиг зүйлд цаг үрэх вэ?) солихыг хэн ч хориглодоггүй бөгөөд дараа нь эхний индексүүд нь ямар нэгэн төрлийн зохицуулалтыг илэрхийлэх болно. Гэвч эцэст нь юу ч өөрчлөгдөхгүй: $i$ ба $j$ индексүүдийн нийт урвуу тоо нь ийм гажуудлын үед паритетыг хадгалдаг бөгөөд энэ нь хуучин дүрэмтэй нэлээд нийцэж байна:

Хүчин зүйлүүдийг өөрчилснөөр тоонуудын үржвэр өөрчлөгдөхгүй.

Зүгээр л энэ дүрмийг матрицын үржүүлэхэд бүү хавсарга - тооны үржүүлгээс ялгаатай нь энэ нь солигддоггүй. Гэхдээ би ухарч байна. :)

Матриц 2х2

Үнэн хэрэгтээ та 1x1 матрицыг бас авч үзэж болно - энэ нь нэг нүд байх бөгөөд түүний тодорхойлогч нь таны таамаглаж байгаагаар энэ нүдэнд бичигдсэн тоотой тэнцүү байна. Сонирхолтой зүйл алга.

Тэгэхээр 2х2 квадрат матрицыг авч үзье.

\[\left[ \begin(матриц) ((a)_(11)) & ((а)_(12)) \\ ((а)_(21)) & ((а)_(22)) \\\төгсгөл(матриц) \баруун]\]

Түүний доторх мөрийн тоо $n=2$ байх тул тодорхойлогч нь $n!=2!=1\cdot 2=2$ нөхцөлийг агуулна. Тэднийг бичье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\зүүн(-1 \баруун))^(N\зүүн(1;2 \баруун)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((а) _(22))=((\left(-1 \баруун))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((а)_(22)); \\ & ((\зүүн(-1 \баруун))^(N\зүүн(2;1 \баруун)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \баруун))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, хоёр элементээс бүрдэх $\left(1;2 \right)$ орцонд урвуу өөрчлөлт байхгүй тул $N\left(1;2 \right)=0$ байна. Харин $\left(2;1 \right)$ орцонд нэг урвуу (үнэндээ 2) байна.< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Нийтдээ 2х2 матрицын тодорхойлогчийг тооцоолох бүх нийтийн томъёо дараах байдалтай байна.

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) ((а)_(11)) & ((а)_(12)) \\ ((а)_(21)) & (а)_(22)) \\\төгсгөл( матриц) \баруун|=((а)_(11))((а)_(22))-((а)_(12))((а)_(21))\]

Графикаар үүнийг үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэрээс хажуугийн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэрийг хасч тооцож болно.

2х2 матрицын тодорхойлогч

Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|;\дөрөв \зүүн| \эхлэх(матриц) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|.\]

Шийдэл. Бүх зүйлийг нэг мөрөнд тооцдог. Эхний матриц:

Мөн хоёр дахь нь:

Хариулт: −3; -161.

Гэсэн хэдий ч энэ нь хэтэрхий энгийн байсан. 3x3 матрицыг харцгаая - энэ нь аль хэдийн сонирхолтой юм.

Матриц 3х3

Одоо 3х3 квадрат матрицыг авч үзье.

\[\left[ \begin(матриц) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((а)_(23)) \\ ((а)_(31)) & ((а)_(32)) & ((а)_(33) ) \\\төгсгөл(матриц) \баруун]\]

Тодорхойлогчийг тооцоолохдоо бид $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ нөхцөлийг авдаг - сандрах тийм ч их биш, гэхдээ зарим хэв маягийг хайж эхлэхэд хангалттай. Эхлээд гурван элементийн бүх сэлгэлтийг бичиж, тэдгээрийн урвуу байдлыг тоолъё.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((p)_(1))=\зүүн(1;2;3 \баруун)\Баруун сум N\зүүн(((p)_(1)) \баруун)=N\ зүүн(1;2;3 \баруун)=0; \\ & ((p)_(2))=\зүүн(1;3;2 \баруун)\Баруун сум N\зүүн(((p)_(2)) \баруун)=N\зүүн(1;3) ;2 \right)=1; \\ & ((p)_(3))=\зүүн(2;1;3 \баруун)\Баруун сум N\зүүн(((p)_(3)) \баруун)=N\зүүн(2;1) ;3 \right)=1; \\ & ((p)_(4))=\зүүн(2;3;1 \баруун)\Баруун сум N\зүүн(((p)_(4)) \баруун)=N\зүүн(2;3) ;1 \right)=2; \\ & ((p)_(5))=\зүүн(3;1;2 \баруун)\Баруун сум N\зүүн(((p)_(5)) \баруун)=N\зүүн(3;1) ;2 \right)=2; \\ & ((p)_(6))=\зүүн(3;2;1 \баруун)\Баруун сум N\зүүн(((p)_(6)) \баруун)=N\зүүн(3;2) ;1 \right)=3. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Хүлээгдэж байсанчлан нийт 6 орцыг бичсэн байна: $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (мэдээжийн хэрэг, тэдгээрийг бичих боломжтой. өөр дараалал - энэ нь ямар ч ялгаагүй өөрчлөгдөх болно), тэдгээрийн урвуу байдлын тоо 0-ээс 3 хооронд хэлбэлздэг.

Ерөнхийдөө бид "нэмэх" тэмдэгтэй гурван гишүүн ($N\left(p \right)$ тэгш байна) болон "хасах"-тай гурван гишүүн байх болно. Ерөнхийдөө тодорхойлогчийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) ((а)_(11)) & ((а)_(12)) & (а)_(13)) \\ ((а)_(21)) & ((а) _(22)) & ((а)_(23)) \\ ((а)_(31)) & ((а)_(32)) & (а)_(33)) \\\төгсгөл (матриц) \баруун|=\эхлэх(матриц) ((а)_(11))((а)_(22))((а)_(33))+((а)_(12))( (a)_(23))((а)_(31))+((а)_(13))((а)_(21))((а)_(32))- \\ -( (а)_(13))((а)_(22))((а)_(31))-((а)_(12))((а)_(21))((а)_ (33))-((а)_(11))((а)_(23))((а)_(32)) \\\төгсгөл(матриц)\]

Зүгээр л суугаад, энэ бүх индексийг ууртайгаар чихэж болохгүй! Үл ойлгогдох тоонуудын оронд дараах мнемоник дүрмийг санах нь дээр.

Гурвалжингийн дүрэм. 3х3 матрицын тодорхойлогчийг олохын тулд үндсэн диагональ ба ижил өнцөгт гурвалжны оройн хэсэгт байрлах элементүүдийн гурван үржвэрийг нэмж, энэ диагональтай параллель талтай, дараа нь ижил гурван үржвэрийг хасах хэрэгтэй, гэхдээ хоёрдогч диагональ дээр. . Схемийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

3х3 матрицын тодорхойлогч: гурвалжингийн дүрэм

Хүмүүс алгебрийн бүх төрлийн сурах бичиг, гарын авлагад яг л эдгээр гурвалжин (эсвэл пентаграм, аль нь ч хамаагүй) зурах дуртай байдаг. Гэсэн хэдий ч гунигтай зүйлийн талаар ярихаа больё. Жинхэнэ хатуу ширүүн зүйлсийн өмнө бие халаах гэсэн нэг тодорхойлогчийг илүү сайн тооцоолъё. :)

Даалгавар. Тодорхойлогчийг тооцоолох:

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\]

Шийдэл. Бид гурвалжны дүрмийн дагуу ажилладаг. Нэгдүгээрт, үндсэн диагональ ба түүнтэй параллель дээр байрлах элементүүдээс бүрдсэн гурван гишүүнийг тоолъё.

\[\эхлэх(эгцлэх) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\төгсгөх \]

Одоо хажуугийн диагональыг харцгаая:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\төгсгөл(эгцлэх) \]

Үлдсэн зүйл бол эхний тооноос хоёр дахь тоог хасах явдал бөгөөд бид хариултыг авна.

Тэгээд л болоо!

Гэсэн хэдий ч 3х3 матрицын тодорхойлогч нь ур чадварын оргил биш байна. Цаашид биднийг хамгийн сонирхолтой зүйлс хүлээж байна. :)

Тодорхойлогчийг тооцоолох ерөнхий схем

Бидний мэдэж байгаагаар матрицын хэмжээс $n$ ихсэх тусам тодорхойлогч дахь гишүүний тоо $n!$ болж хурдацтай өсдөг. Гэсэн хэдий ч хүчин зүйл нь дэмий хоосон зүйл биш бөгөөд энэ нь нэлээд хурдан хөгжиж буй функц юм.

Аль хэдийн 4х4 матрицын хувьд тодорхойлогчдыг шууд тоолох нь (жишээ нь, сэлгэлтээр) ямар нэг байдлаар тийм ч сайн биш болж хувирдаг. Би ерөнхийдөө 5х5 ба түүнээс дээш хэмжээний талаар чимээгүй байдаг. Тиймээс тодорхойлогчийн зарим шинж чанарууд гарч ирдэг боловч тэдгээрийг ойлгоход бага зэрэг онолын бэлтгэл шаардлагатай байдаг.

Бэлэн үү? Яв!

Минор матриц гэж юу вэ?

$A=\left[ m\times n \right]$ дурын матриц өгье. Жич: заавал дөрвөлжин байх албагүй. Тодорхойлогчоос ялгаатай нь насанд хүрээгүй хүүхдүүд нь зөвхөн хатуу дөрвөлжин матрицад байдаггүй ийм хөөрхөн зүйлүүд юм. Энэ матрицаас $1\le k\le m$, $1\le k\le n$ гэсэн хэд хэдэн (жишээ нь $k$) мөр, баганыг сонгоцгооё. Дараа нь:

Тодорхойлолт. Сонгогдсон $k$ багана ба мөрүүдийн огтлолцол дээр үүсэх квадрат матрицын тодорхойлогч нь $k$ захиалгын минор юм. Бид энэ шинэ матрицыг өөрөө бага гэж нэрлэх болно.

Ийм минорыг $((M)_(k))$ гэж тэмдэглэнэ. Мэдээжийн хэрэг, нэг матриц $k$ эрэмбийн бүхэл бүтэн баглаатай байж болно. $\left[ 5\times 6 \right]$ матрицын 2-р эрэмбийн бага зэргийн жишээ энд байна:

Минор үүсгэхийн тулд $k = 2$ багана, мөрүүдийг сонгож байна

Сонгосон мөр, багана нь ярилцсан жишээн дээрх шиг бие биенийхээ хажууд байх шаардлагагүй. Хамгийн гол нь сонгосон мөр, баганын тоо ижил байна (энэ нь $k$ тоо).

Өөр нэг тодорхойлолт бий. Магадгүй хэн нэгэнд илүү таалагдах болно:

Тодорхойлолт. $A=\left[ m\times n \right]$ тэгш өнцөгт матриц өгье. Хэрэв нэг буюу хэд хэдэн багана, нэг буюу хэд хэдэн мөрийг устгасны дараа $\left[ k\times k \right]$ хэмжээтэй дөрвөлжин матриц үүсвэл түүний тодорхойлогч нь минор $((M)_(k)) болно. $ . Бид заримдаа матрицыг өөрөө жижиг гэж нэрлэх болно - энэ нь контекстээс тодорхой болно.

Муурын маань хэлснээр заримдаа тагтан дээр суугаад мяавахаас илүү 11 давхраас хоол идэхээр буцаж ирсэн нь дээр.

Жишээ. Матрицыг өгье

1-р мөр ба 2-р баганыг сонгосноор бид нэгдүгээр зэрэглэлийн минорыг авна.

\[((M)_(1))=\left| 7\баруун|=7\]

2, 3 мөр, 3, 4 баганыг сонгосноор бид хоёр дахь эрэмбийн минорыг олж авна.

\[((M)_(2))=\left| \эхлэх(матриц) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=5-18=-13\]

Хэрэв та бүх гурван мөр, мөн 1, 2, 4-р баганыг сонговол гуравдахь зэрэглэлийн багана байх болно:

\[((M)_(3))=\left| \эхлэх(матриц) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\]

Уншигчид 1, 2, 3 дугаар тушаалын бусад насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг олоход хэцүү биш байх болно. Тиймээс бид цаашаа явна.

Алгебрийн нэмэлтүүд

"За яахав, энэ багахан туслахууд бидэнд юу өгөх вэ?" - гэж та асуух байх. Өөрсдөө - юу ч биш. Гэхдээ квадрат матрицад насанд хүрээгүй хүн бүр "хамтрагч" - нэмэлт бага, түүнчлэн алгебрийн нэмэлттэй байдаг. Мөн эдгээр хоёр заль мэх нь тодорхойлогч хүчин зүйлсийг самар шиг хагалах боломжийг бидэнд олгоно.

Тодорхойлолт. Бага $((M)_(k))$ сонгогдсон $A=\left[ n\times n \right]$ квадрат матрицыг өгье. Дараа нь минор $((M)_(k))$-д зориулсан нэмэлт минор нь $A$ матрицын нэг хэсэг бөгөөд жижиг $((M)_-г бүрдүүлэхэд оролцсон бүх мөр, баганыг устгасны дараа үлдэх болно. (k))$:

Насанд хүрээгүй нэмэлт $((M)_(2))$

Нэг зүйлийг тодруулъя: нэмэлт минор нь зөвхөн "матрицын хэсэг" биш, харин энэ хэсгийн тодорхойлогч юм.

Нэмэлт насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг одоор тэмдэглэсэн: $M_(k)^(*)$:

$A\nabla ((M)_(k))$ үйлдэл нь шууд утгаараа “$((M)_(k))$-д багтсан мөр, баганыг $A$-аас устгах” гэсэн утгатай. Математикийн хувьд энэ үйлдлийг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөггүй - би зүгээр л түүхийн гоо сайхны үүднээс өөрөө зохион бүтээсэн. :)

Нэмэлт насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг өөрсдөө ашиглах нь ховор байдаг. Эдгээр нь илүү төвөгтэй барилгын нэг хэсэг болох алгебрийн нэмэлт юм.

Тодорхойлолт. Минор $((M)_(k))$-ийн алгебрийн нэмэлт нь нэмэлт минор $M_(k)^(*)$-ийг $((\left(-1 \right))^(S) утгаар үржүүлсэн байна. ))$ , энд $S$ нь анхны минор $((M)_(k))$-д хамаарах бүх мөр, баганын тоонуудын нийлбэр юм.

Дүрмээр бол минор $((M)_(k))$-ын алгебрийн нэмэлтийг $((A)_(k))$ гэж тэмдэглэнэ. Тийм учраас:

\[((A)_(k))=((\left(-1 \баруун))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Хэцүү үү? Эхлээд харахад тийм. Гэхдээ яг тийм биш. Учир нь бодит байдал дээр бүх зүйл амархан байдаг. Нэг жишээг харцгаая:

Жишээ. 4х4 матриц өгөгдсөн:

Хоёрдахь эрэмбийг сонгоцгооё

\[((M)_(2))=\left| \эхлэх(матриц) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\]

Captain Obviousness энэ насанд хүрээгүй хэсгийг эмхэтгэхдээ 1, 4, 3, 4-р багана зэрэг багтсан гэдгийг сануулж байх шиг байна. Тэдгээрийг хасаад бид нэмэлт насанд хүрээгүйчийг авна.

$S$ тоог олж, алгебрийн нэмэлтийг олж авахад л үлдлээ. Бид мөр (1 ба 4) болон баганын (3 ба 4) тоог мэддэг тул бүх зүйл энгийн:

\[\эхлэх(зохицуулах) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\зүүн(-1 \баруун))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\зүүн(-1 \баруун) )^(12))\cdot \left(-4 \баруун)=-4\төгсгөл(зохицуулах)\]

Хариулт: $((A)_(2))=-4$

Тэгээд л болоо! Үнэн хэрэгтээ нэмэлт минор ба алгебрийн нэмэлт хоёрын бүх ялгаа нь зөвхөн урд талын хасах хэсэгт байдаг, тэр ч байтугай үргэлж биш байдаг.

Лапласын теорем

Тэгээд бид яагаад үнэндээ эдгээр бүх бага болон алгебрийн нэмэлтүүд хэрэгтэй болсон цэг дээр ирлээ.

Тодорхойлогчийн задралын тухай Лапласын теорем. $\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй, $1\le k\le n-1$ хэмжээтэй матрицад $k$ мөрүүдийг (багана) сонгоё. Дараа нь энэ матрицын тодорхойлогч нь сонгосон мөр (багана) болон тэдгээрийн алгебрийн нэмэлтүүдэд агуулагдах $k$ эрэмбийн насанд хүрээгүй бүх бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна.

\[\зүүн| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Түүгээр ч барахгүй ийм нэр томъёоны яг $C_(n)^(k)$ байх болно.

За, за: ойролцоогоор $C_(n)^(k)$ - Би аль хэдийн өөрийгөө харуулж байна, Лапласын анхны теоремд ийм зүйл байгаагүй. Гэхдээ комбинаторикийг хэн ч цуцлаагүй бөгөөд нөхцөл байдлыг хурдан харвал яг ийм олон нэр томъёо байх болно гэдгийг харах боломжийг танд олгоно. :)

Бид үүнийг нотлохгүй, гэхдээ энэ нь ямар нэгэн хүндрэл учруулахгүй - бүх тооцоолол нь хуучин сайн солих ба тэгш/сондгой урвуулалтаас хамаарна. Гэсэн хэдий ч нотлох баримтыг тусдаа догол мөрөнд оруулах бөгөөд өнөөдөр бид цэвэр практик хичээлтэй байна.

Тиймээс, багачууд нь матрицын бие даасан эсүүд байх үед бид энэ теоремын тусгай тохиолдол руу шилждэг.

Мөр ба баганад тодорхойлогчийн задрал

Бидний одоо ярих гэж байгаа зүйл бол тодорхойлогчтой ажиллах гол хэрэгсэл бөгөөд үүний тулд сэлгэн залгалт, бага ба алгебрийн нэмэлтүүдтэй энэ бүх утгагүй зүйлийг эхлүүлсэн юм.

Уншиж, таашаал аваарай:

Лапласын теоремын үр дүн (мөр/баганын тодорхойлогчийн задрал). $\left[ n\times n \right]$ хэмжээтэй матрицад нэг мөр сонгогдох. Энэ мөрөнд байгаа насанд хүрээгүй хүмүүс нь $n$ тусдаа нүд байх болно:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Нэмэлт насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг тооцоолоход хялбар байдаг: зүгээр л анхны матрицыг аваад $((a)_(ij))$ агуулсан мөр ба баганыг хайчилж ав. Ийм насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг $M_(ij)^(*)$ гэж нэрлэе.

Алгебрийн нэмэлтийн хувьд бидэнд $S$ тоо хэрэгтэй хэвээр байгаа боловч 1-р эрэмбийн бага тохиолдолд энэ нь зүгээр л $((a)_(ij))$ нүдний "координат"-ын нийлбэр юм:

Дараа нь анхны тодорхойлогчийг Лапласын теоремын дагуу $((a)_(ij))$ ба $M_(ij)^(*)$ хэлбэрээр бичиж болно.

\[\зүүн| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \баруун))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Ийм л байна тодорхойлогчийг дараалан задлах томъёо. Гэхдээ баганын хувьд ч мөн адил.

Энэ үр дагавраас нэн даруй хэд хэдэн дүгнэлт хийж болно:

1. Энэ схем нь мөр, баганын аль алинд нь адилхан сайн ажилладаг. Үнэн хэрэгтээ ихэнх тохиолдолд задрал нь мөрний дагуу биш харин баганын дагуу явагддаг.
2. Өргөтгөлийн нэр томъёоны тоо үргэлж яг $n$ байна. Энэ нь $C_(n)^(k)$-аас хамаагүй бага ба түүнээс ч илүү $n!$ юм.
3. Нэг тодорхойлогч $\left[ n\times n \right]$-ийн оронд нэгээс бага хэмжээтэй хэд хэдэн тодорхойлогчийг авч үзэх хэрэгтэй: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \" баруун) \right]$.

Сүүлийн баримт нь ялангуяа чухал юм. Жишээлбэл, харгис хэрцгий 4x4 тодорхойлогчийн оронд одоо хэд хэдэн 3x3 тодорхойлогчийг тоолоход хангалттай байх болно - бид тэдгээрийг ямар нэгэн байдлаар даван туулах болно. :)

Даалгавар. Тодорхойлогчийг ол:

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\]

Шийдэл. Энэ тодорхойлогчийг эхний мөрийн дагуу өргөжүүлье:

\[\эхлэх(эгцлэх) \left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \баруун))^(1+2))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \баруун))^(1+3))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\төгсгөл(матриц) \баруун|= & \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \баруун)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Даалгавар. Тодорхойлогчийг ол:

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\ ]

Шийдэл. Өөрчлөлт хийхийн тулд энэ удаад баганатай ажиллацгаая. Жишээлбэл, сүүлийн баганад нэг дор хоёр тэг байна - энэ нь тооцооллыг мэдэгдэхүйц бууруулах нь ойлгомжтой. Одоо та яагаад гэдгийг харах болно.

Тиймээс бид дөрөв дэх баганад тодорхойлогчийг өргөжүүлэв.

\[\эхлэх(эгцлэх) \left| \эхлэх(матриц) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|= 0\cdot ((\left(-1 \баруун))^(1+4))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|+ & \\ +1\cdot ((\зүүн(-1 \) баруун))^(2+4))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|+ & \\ +1\cdot ((\зүүн(-1 \) баруун))^(3+4))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|+ & \\ +0\cdot ((\зүүн(-1 \) баруун))^(4+4))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун| & \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгээд - Өө, гайхамшиг! - хоёр нэр томъёо нь "0"-ийн хүчин зүйлийг агуулдаг тул шууд урсана. 3х3 хэмжээтэй хоёр тодорхойлогч хэвээр байгаа бөгөөд бид үүнийг хялбархан шийдэж чадна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| \эхлэх(матриц) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \left| \эхлэх(матриц) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=0+1+1-0-0-1=1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эх сурвалж руугаа буцаж очоод хариултаа олцгооё.

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|= 1\cdot \left(-1 \баруун)+\зүүн(-1 \баруун)\cdot 1=-2\]

За одоо бүх зүйл дууслаа. Тэгээд 4 үгүй! = 24 нэр томъёог тоолох шаардлагагүй байсан. :)

Хариулт: −2

Тодорхойлогчийн үндсэн шинж чанарууд

Сүүлчийн асуудалд бид матрицын эгнээнд (багана) тэг байгаа нь тодорхойлогчийн задрал, ерөнхийдөө бүх тооцооллыг хэрхэн эрс хялбарчилж байгааг олж харсан. Мэдээжийн хэрэг асуулт гарч ирнэ: эдгээр тэгүүдийг анх байхгүй байсан матрицад ч харуулах боломжтой юу?

Хариулт нь тодорхой байна: Чадах. Энд тодорхойлогчийн шинж чанарууд бидэнд туслах болно.

1. Хэрэв та хоёр мөр (багана) солих юм бол тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй;
2. Хэрэв нэг мөрийг (багана) $k$ тоогоор үржүүлбэл тодорхойлогчийг бүхэлд нь мөн $k$ тоогоор үржүүлнэ;
3. Хэрэв та нэг мөрийг аваад нөгөө мөрөөс хүссэн хэмжээгээрээ нэмэх (хасах) тохиолдолд тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй;
4. Хэрэв тодорхойлогчийн хоёр эгнээ ижил буюу пропорциональ, эсвэл нэг мөр нь тэгээр дүүрсэн бол тодорхойлогч бүхэлдээ тэгтэй тэнцүү байна;
5. Дээрх бүх шинж чанарууд нь баганын хувьд мөн адил байна.
6. Матрицыг шилжүүлэх үед тодорхойлогч өөрчлөгдөхгүй;
7. Матрицуудын үржвэрийн тодорхойлогч нь тодорхойлогчдын үржвэртэй тэнцүү байна.

Гурав дахь өмч нь онцгой үнэ цэнэтэй юм: бид чадна зөв газруудад тэг гарч ирэх хүртэл нэг мөр (баганаас) нөгөө мөрөөс хасна.

Ихэнх тохиолдолд тооцоолол нь нэг элементээс бусад бүх баганыг "тэглэж", дараа нь тодорхойлогчийг энэ баганын дээгүүр өргөжүүлж, 1 хэмжээтэй матрицыг олж авдаг.

Энэ нь практик дээр хэрхэн ажилладагийг харцгаая:

Даалгавар. Тодорхойлогчийг ол:

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\ ]

Шийдэл. Энд огт тэг байхгүй бололтой, тиймээс та ямар ч мөр, багана дээр "өрөмдөж" болно - тооцооллын хэмжээ ойролцоогоор ижил байх болно. Өчүүхэн зүйлд цаг үрэхгүй, эхний баганыг "тэглэцгээе": энэ нь аль хэдийн нэг нүдтэй тул эхний мөрийг аваад хоёрдугаарт 4 дахин, гурав дахь хэсгээс 3 дахин, сүүлчийнхээс 2 удаа хас.

Үүний үр дүнд бид шинэ матриц авах болно, гэхдээ тодорхойлогч нь ижил байх болно.

\[\begin(матриц) \left| \эхлэх(матриц) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\ эхлэл(матриц) \доошоо \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\төгсгөл(матриц)= \\ =\зүүн| \эхлэх(матриц) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\төгсгөл(матриц) \баруун|= \\ =\зүүн| \эхлэх(матриц) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \төгсгөл(матриц) \баруун| \\\төгсгөл(матриц)\]

Одоо, Пиглетийн тэнцвэртэй байдлын дагуу бид энэ тодорхойлогчийг эхний баганын дагуу байрлуулав.

\[\begin(матриц) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \эхлэх(матриц) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|+0\cdot ((\ зүүн(-1 \баруун))^(2+1))\cdot \left| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \баруун| \\\төгсгөл(матриц)\]

Зөвхөн эхний нэр томъёо л "амьд үлдэх" нь тодорхой байна - би үлдсэнийг нь тодорхойлох хүчин зүйлсийг тэгээр үржүүлсэн хэвээр байгаа тул бичээгүй. Тодорхойлогчийн өмнөх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү, i.e. чи үүнийг бичих шаардлагагүй.

Гэхдээ та тодорхойлогчийн бүх гурван мөрөөс "сул талууд" -ыг гаргаж болно. Үндсэндээ бид (−1) хүчин зүйлийг гурван удаа хассан:

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=\cdot \left| \эхлэх(матриц) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\]

Бид гурвалжны дүрмийг ашиглан аль хэдийн тооцоолж болох жижиг тодорхойлогч 3x3-ийг олж авсан. Гэхдээ бид үүнийг эхний баганад задлахыг хичээх болно - аз болоход сүүлчийн мөрөнд нэгийг агуулах болно:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \эхлэх(матриц) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\төгсгөл(матриц) \баруун|\эхлэх(матриц) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\төгсгөл(матриц)=\left(-1 \баруун)\cdot \left| \эхлэх(матриц) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|= \\ & =\cdot \left| \эхлэх(матриц) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\төгсгөл(матриц) \баруун|=\left(-1 \баруун)\cdot \left| \эхлэх(матриц) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун| \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг та хөгжилтэй байж, 2х2 матрицыг эгнээ (багана) дагуу өргөжүүлж болно, гэхдээ та бид хоёр хангалттай тул бид хариултыг тооцоолох болно:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \эхлэх(матриц) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\төгсгөл(матриц) \баруун|=\left(-1 \баруун)\cdot \left(16+144 \баруун)=-160\ ]

Мөрөөдөл ингэж эвдэрдэг. Хариултанд ердөө −160 байна. :)

Хариулт: -160.

Сүүлчийн даалгавар руу шилжихийн өмнө хэд хэдэн тэмдэглэл:

1. Анхны матриц нь хоёрдогч диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байв. Өргөтгөл дэх бүх насанд хүрээгүй хүмүүс ижил хоёрдогч диагональтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.
2. Хатуухан хэлэхэд, бид юу ч өргөжүүлж чадаагүй, харин үндсэн диагональ дор хатуу тэг байх үед матрицыг дээд гурвалжин хэлбэрт оруулав. Дараа нь (геометрийн тайлбарын хатуу дагуу) тодорхойлогч нь $((a)_(ii))$-ийн үржвэртэй тэнцүү байна - үндсэн диагональ дээрх тоо.

Даалгавар. Тодорхойлогчийг ол:

\[\зүүн| \эхлэх(матриц) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\ ]

Шийдэл. За, энд эхний мөр нь зүгээр л "тэг" гэж гуйж байна. Эхний баганыг аваад бусад бүхнээс яг нэг удаа хасна уу:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left| \эхлэх(матриц) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|= \\ & =\зүүн| \эхлэх(матриц) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|= \\ & =\зүүн| \эхлэх(матриц) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун| \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид эхний эгнээний дагуу өргөжиж, үлдсэн мөрүүдээс нийтлэг хүчин зүйлсийг гаргаж авдаг.

\[\cdot \left| \эхлэх(матриц) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|=\cdot \left| \эхлэх(матриц) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|\]

Дахин бид "сайхан" тоонуудыг харж байна, гэхдээ эхний баганад бид тодорхойлогчийг зааж өгсөн болно.

\[\эхлэх(эгцлэх) & 240\cdot \left| \эхлэх(матриц) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\төгсгөл(матриц) \баруун|\эхлэх(матриц) \downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\төгсгөл(матриц)=240\cdot \left| \эхлэх(матриц) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|= \\ & =240\cdot ((\зүүн(-1 \) баруун))^(1+1))\cdot \left| \эхлэх(матриц) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\ төгсгөл(матриц) \баруун|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \баруун)=1440 \\\төгсгөл( тэгшлэх)\]

Захиалга. Асуудал шийдэгдсэн.

Хариулт: 1440