Хоёртын арифметик

Параметрийн нэр	Утга
Нийтлэлийн сэдэв:	Хоёртын арифметик
Рубрик (сэдэвчилсэн ангилал)	Компьютерийн шинжлэх ухаан

Хоёртын тооллын систем

Компьютертэй ажиллахад ашигладаг тоон систем

Үндсэн P = 2. Цагаан толгойн үсэг нь хоёртын хоёр оронтой: 0, 1. Дурын тоо C = C n C n-1 ...C 1 C 0 C -1 C -m P = 2 тооны чадлын нийлбэр. ,

C = C n × 2 n +C n-1 × 2 n-1 +…+C 1 × 2 1 +C 0 × 2 0 +C -1 × 2 -1 +…+C -m × 2 -m

Жишээ 3.6.

101011.11 2 =1×2 5 + 0×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 +1×2 1 + 1×2 0 +1×2 -1 + 1×2 -2 = 32+8 +2 +1+0,5+0,25=43,75 10.

Хоёртын тооллын системийн цифрүүдийн жин нь аравтын бутархайн зүүн талд 1, 4, 8.16,... ба 0.5; 0.25; 0.125; 0.625;... аравтын бутархайн баруун талд.

Заримдаа програмчлалд ашигладаг арван зургаатын тоотэмдэглэгээ. Аравтын тооллын системд 9-өөс дээш тоог илэрхийлэхийн тулд A, B, C, D, E, F латин үсгүүдийг ашиглана. Аравтын бутархай, хоёртын болон арван зургаатын тооллын системийн эхний арван зургаан тооны зургийг Хүснэгтэнд үзүүлэв. 2.

Кодын хүснэгт дотор янз бүрийн системүүдүхсэн тооцоо

хүснэгт 2

Аравтын систем	Хоёртын систем	Арван аравтын систем	Аравтын систем	Хоёртын систем	Арван аравтын систем
					А
					Б
					C
					Д
					Э
					Ф

Хоёртын аравтын тооАравтын бутархай болон эсрэгээр нь хувиргахад хялбар болсон тул орчин үеийн компьютерт тооллын систем өргөн тархсан. Энэ нь машины техникийн бүтцийн энгийн байдалд бус, харин хэрэглэгчийн тав тухыг хангахад гол анхаарал хандуулдаг газарт ашиглагддаг. Энэ тооллын системд бүх аравтын бутархайг дөрвөн хоёртын цифрээр тусад нь кодлодог.

Жишээ 3.7.

BCD дахь аравтын тоо 9703 дараах байдалтай байна: 1001 0111 0000 0011.

Дижитал компьютерийн үүднээс хоёртын тооллын системийн аравтын тооллын системээс давуу тал нь дараах байдалтай байна.

• хоёр тогтвортой төлөвтэй элементүүд шаардлагатай;
• арифметик үйлдлүүд ихээхэн хялбаршуулсан;
• 1.5 дахин бага тоног төхөөрөмж шаардлагатай;
• хэлхээний шинжилгээ, синтезийн математик логикийн төхөөрөмжийг ашиглах боломжийг танд олгоно.

Хоёртын тооллын системийн сул талууд нь дараах байдалтай байна.

• олон тооны бичлэгийн урт;
• Мэдээлэл оруулах, гаргахдаа аравтын бутархай тооллын систем рүү хөрвүүлэх шаардлагатай.

Хоёртын арифметик дээр үндсэн үйлдлүүд хэрхэн хийгддэгийг харцгаая.

Бүх байрлалын тооллын системд арифметикийн дүрмүүд ижил байдаг, ᴛ.ᴇ. нэмэх, үржүүлэх, хасах нь хамгийн бага цифрээс, хуваах нь хамгийн дээд цифрээс эхэлдэг.

Нэмэх үед зөөвөрлөх нэгжийг зэргэлдээх хамгийн чухал цифрүүдийн тоонд нэмнэ. Зээлийн нэгжийг хасах үед хамгийн өндөр оронтой тоо нь хамгийн доод оронтой тоонд хоёр нэгжийг өгнө.

Жишээ 3.8

Хоёртын тоог үржүүлэх нь аравтын тоог үржүүлэхтэй адил боловч... Хэрэв бид зөвхөн 0 ба 1-ээр үржүүлбэл үржүүлэх нь ээлж ба нэмэх үйлдэлд буурна.

Жишээ 3.9

Хоёртын арифметик - ойлголт ба төрлүүд. "Хоёртын арифметик" ангиллын ангилал, онцлог 2017, 2018 он.

- Хоёртын арифметик

Учир нь мэдээллийн үйл явцВ дижитал системүүдЗөвхөн 0 ба 1 утгыг авна, дараа нь хоёртын тоо ашиглан өгөгдлийг дүрслэнэ. Хоёртын тоонуудыг нэмэх, хасах үйлдлүүд болон бусад бүх арифметик үйлдлүүд нь... гэсэн дүрмийн дагуу хийгддэг.

- Хоёртын тооллын систем ба хоёртын арифметик

Хоёртын тооллын системд аравтын бутархай тооллын системтэй адил үйлдлүүдийг тоонуудтай хийж болно. Нэмэлтийг аравтын бутархай тооллын системтэй ижил зарчмаар гүйцэтгэнэ: зөвхөн өгөгдсөн цифр түүнд тохирохгүй тоог гаргаж байвал...

, "Хичээлд зориулсан танилцуулга" уралдаан

Хичээлд зориулсан танилцуулга

Буцаад урагшаа

Анхаар! Урьдчилан үзэхСлайд нь зөвхөн мэдээллийн зорилгоор хийгдсэн бөгөөд танилцуулгын бүх шинж чанарыг илэрхийлэхгүй байж болно. Хэрэв та сонирхож байвал энэ ажил, бүрэн хувилбарыг нь татаж авна уу.

Хичээлийн зорилго: (слайд 2)

1. Оюутнуудыг хоёртын тооллын системтэй танилцуулах.
2. Хоёртын тоогоор арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадварыг хөгжүүлэх

Хичээлийн үеэр

I. Хичээлийн эхлэл

Багш: Хоёртын тооллын системийг илүү сайн эзэмшихийн тулд хоёртын тоон дээр арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвартай байх хэрэгтэй.

Бүх байрлалын тооллын системүүд нь "ижил", тухайлбал, бүгдэд нь арифметик үйлдлүүд ижил дүрмийн дагуу хийгддэг.

• арифметикийн ижил хуулиуд хүчинтэй байна: шилжих, ассоциатив, хуваарилах;
• нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах дүрэм хүчинтэй байх;
• Арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дүрмийг нэмэх, үржүүлэх хүснэгтэд үндэслэнэ.

Арифметик үйлдлийг гүйцэтгэх дүрмийг авч үзье

II. Шинэ материал сурах

Баганад хуваахдаа завсрын үр дүн болгон үржүүлэх, хасах үйлдлийг гүйцэтгэх ёстой. Харин хоёртын тооллын системд завсрын үржүүлгийг хуваагчийг 0 эсвэл 1-ээр үржүүлэхэд хүргэдэг тул хамгийн хэцүү үйлдэл нь хасах үйлдэл хэвээр байгаа тул та үүнийг үнэн зөв хийж сурах хэрэгтэй.

III. Сурсан зүйлээ нэгтгэх. (слайд 12)

Залуус өөрсдөө ажлаа хийдэг. Дараа нь хариулт бүхий слайдыг нээнэ үү.

Хариултууд. (Слайд 13)

IV. Гэрийн даалгавар (слайд 14)

1. Хоёртын тооллын системд арифметик үйлдлийг гүйцэтгэх дүрэмд суралцана.

2. Дараах алхмуудыг дагана уу:

1. 110010+11,01
2. 1111001-1101
3. 10101,1*11
4. 10101110:101

гэр \ Баримт бичиг \ Компьютерийн шинжлэх ухааны багшийн хувьд

Энэ сайтын материалыг ашиглах үед - мөн баннер байрлуулах нь ЗААВАЛ!!!

Хоёртын арифметик

Бидний хэрэглэж заншсан тоонуудыг аравтын бутархай гэж нэрлэдэг ба ашигладаг арифметикийг мөн аравтын бутархай гэж нэрлэдэг. Учир нь тоо бүрийг "0123456789" гэсэн 10 тэмдэгт агуулсан тоонуудын багцаас бүрдүүлж болно.

Математик ийм байдлаар хөгжсөн бөгөөд энэ багц нь гол нь болсон боловч аравтын арифметик нь цорын ганц биш юм. Хэрэв бид зөвхөн таван оронтой тоо авах юм бол тэдгээрийн үндсэн дээр бид таван оронтой арифметик, долоон оронтой тооноос долоон оронтой арифметик байгуулж болно. холбоотой мэдлэгийн чиглэлээр компьютерийн тоног төхөөрөмжАрифметикийг ихэвчлэн арван зургаан оронтой тоонд ашигладаг тул энэ арифметикийг арван зургаан оронтой тоо гэж нэрлэдэг. Аравтын бус арифметикт тоо гэж юу болохыг ойлгохын тулд эхлээд аравтын бутархайт арифметикт ямар тоо байдгийг олж мэдэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, 246 гэсэн тоог авч үзье. Энэ тэмдэглэгээ нь тоонд хоёр зуу, дөрвөн арав, зургаан нэг байна гэсэн үг юм. Тиймээс бид дараахь тэгш байдлыг бичиж болно.

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

Энд тэнцүү тэмдэг нь ижил тоог бичих гурван аргыг ялгадаг. Тэмдэглэгээний гурав дахь хэлбэр нь одоо бидний хувьд хамгийн сонирхолтой юм: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0 . Энэ нь дараах бүтэцтэй байна.

Манай тоо гурван оронтой. "2" гэсэн тэргүүлэх цифр нь 3. Тиймээс үүнийг 10-аар үржүүлж, хоёр дахь зэрэглэлд оруулна. Дараагийн оронтой "4" нь серийн дугаар 2 бөгөөд эхнийх нь 10-аар үржүүлнэ. Цифрүүдийг араваар үржүүлж тухайн цифрийн серийн дугаараас нэгээр бага байх нь аль хэдийн тодорхой болсон. Дээрх зүйлийг ойлгосны дараа бид аравтын бутархай тоог илэрхийлэх ерөнхий томъёог бичиж болно. N оронтой тоо өгье. Бид тэмдэглэнэ i-р цифр i-ээр дамжуулан. Дараа нь тоог дараах хэлбэрээр бичиж болно: a n a n-1 ....a 2 a 1 . Энэ бол эхний маягт бөгөөд гурав дахь оролтын маягт дараах байдалтай байна.

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

a i нь "0123456789" багцын тэмдэгт юм

Энэ бичлэгт аравтын үүрэг маш тод харагдаж байна. Арав нь тоо үүсэх үндэс суурь юм. Дашрамд хэлэхэд үүнийг "тооллын системийн суурь" гэж нэрлэдэг бөгөөд тооллын систем нь өөрөө "аравтын" гэж нэрлэгддэг шалтгаан юм. Мэдээжийн хэрэг, аравтын тоо ямар ч онцгой шинж чанартай байдаггүй. Бид аравыг өөр ямар ч тоогоор амархан сольж болно. Жишээлбэл, таван оронтой тооллын систем дэх тоог дараах байдлаар бичиж болно.

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

a i нь "01234" багцын тэмдэгт юм

Ерөнхийдөө бид 10-ыг өөр ямар ч тоогоор сольж, огт өөр тооны систем, өөр арифметикийг авдаг. 10-ыг 2-оор сольсон тохиолдолд хамгийн энгийн арифметик гарна. Үүссэн тооллын системийг хоёртын систем гэж нэрлэх ба доторх тоог дараах байдлаар тодорхойлно.

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

a i нь "01" багцын тэмдэгт юм

Энэ систем нь 0 ба 1 гэсэн хоёр оронтой тооноос бүтдэг тул аль ч тоо нь байж болох хамгийн энгийн нь юм. Үүнээс илүү хялбар байж болохгүй нь ойлгомжтой. Хоёртын тоонуудын жишээ: 10, 111, 101.

Маш чухал асуулт. Хоёртын тоог аравтын бутархай болон эсрэгээр илэрхийлэх боломжтой юу? аравтын тооүүнийг хоёртын хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Хоёртын тоо. Энэ бол маш энгийн. Ийм орчуулгын аргыг бидний тоо бичих арга замаар өгдөг. Жишээлбэл, дараах хоёртын тоо 1011. Үүнийг хоёрын зэрэглэл болгон өргөжүүлье. Бид дараахь зүйлийг авна.

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

Бүх бүртгэгдсэн үйлдлүүдийг хийж, дараахийг авцгаая:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. Тиймээс бид 1011 (хоёртын тоо) = 11 (аравтын тоо) болно. Хоёртын системийн бага зэрэг таагүй байдал нэн даруй харагдана. Хоёртын системд нэг оронтой аравтын системд бичигдсэн ижил тоо нь бичлэг хийхэд дөрвөн оронтой тоо шаардлагатай. Гэхдээ энэ бол энгийн байдлын үнэ юм (юу ч үнэгүй ирдэггүй). Гэхдээ хоёртын систем нь арифметик үйлдлүүдэд асар их ашиг өгдөг. Тэгээд бид үүнийг дараа нь харах болно.

Дараах хоёртын тоог аравтын бутархайгаар илэрхийл.

a) 10010 b) 11101 c) 1010 c) 1110 d) 100011 e) 1100111 f) 1001110

Хоёртын тооны нэмэх.

Багана нэмэх арга нь ерөнхийдөө аравтын бутархай тоотой адил байна. Өөрөөр хэлбэл, нэмэх нь хамгийн бага цифрээс эхлэн битийн дагуу хийгддэг. Хэрэв хоёр оронтой тоо нэмэхэд нийлбэр нь есөөс их байвал = SUM - 10 гэсэн цифр бичигдэж, хамгийн чухал оронтой тоонд БҮТЭН ХЭСЭГ (SUM / 10) нэмэгдэнэ. (Багананд хэд хэдэн тоог нэмж, үүнийг хэрхэн хийснийг санаарай.) Хоёртын тоотой адил. Хамгийн бага цифрээс эхлэн нэг нэгээр нь нэмнэ. Хэрэв үр дүн 1-ээс их байвал 1-ийг бичиж, хамгийн чухал цифр дээр 1-ийг нэмнэ (тэд "толгойн орой дээр" гэж хэлдэг).

Жишээг хийцгээе: 10011 + 10001.

Эхний ангилал: 1+1 = 2. Бид 0 ба 1-ийг санаанд орж ирснээр нь бичдэг.

Хоёрдугаар ангилал: 1+0+1(цээжлэх нэгж) =2. Бид 0, 1-ийг бичдэг, энэ нь санаанд оров.

Гурав дахь ангилал: 0+0+1(цээжлэх нэгж) = 1. 1 гэж бичнэ.

Дөрөвдүгээр ангилал 0+0=0. Бид 0 гэж бичдэг.

Тавдугаар ангилал 1+1=2. Бид 0-ийг бичиж, зургаа дахь орон руу 1-ийг нэмнэ.

Гурван тоог аравтын бутархай системд шилжүүлж, нэмэх зөв эсэхийг шалгая.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 зөв тэгш байдал

Бие даасан шийдлүүдийн жишээ:

a) 11001 +101 =

б) 11001 +11001 =

в) 1001 + 111 =

e) 10011 + 101 =

e) 11011 + 1111 =

д) 11111 + 10011 =

Аравтын тоог хоёртын тоо руу хэрхэн хөрвүүлэх вэ. Дараагийн үйлдэл бол хасах үйлдэл юм. Гэхдээ бид энэ үйлдлийг хэсэг хугацааны дараа авч үзэх бөгөөд одоо аравтын тоог хоёртын тоо руу хөрвүүлэх аргыг авч үзэх болно.

Аравтын бутархай тоог хоёртын тоо руу хөрвүүлэхийн тулд үүнийг хоёрын зэрэглэл болгон өргөжүүлэх шаардлагатай. Харин аравтын эрх мэдлийг нэн даруй нэмэгдүүлбэл хоёрын эрх мэдлийг хэрхэн нэмэгдүүлэх талаар бага зэрэг бодох хэрэгтэй. Эхлээд сонгох аргыг ашиглан үүнийг хэрхэн хийхийг харцгаая. 12-ын аравтын тоог авъя.

Нэгдүгээр алхам. 2 2 = 4, энэ нь хангалтгүй юм. Мөн 2 3 = 8 хангалттай биш, харин 2 4 = 16 аль хэдийн маш их байна. Тиймээс бид 2 3 =8 үлдээнэ. 12 - 8 = 4. Одоо та үүнийг хоёр 4-ийн хүчээр илэрхийлэх хэрэгтэй.

Хоёрдугаар алхам. 4 = 2 2 .

Тэгвэл бидний тоо 12 = 2 3 + 2 2 байна. Хамгийн дээд цифр нь 4, хамгийн дээд зэрэг нь = 3, тиймээс 1 ба 0 гэсэн хоёр зэрэгтэй нэр томъёо байх ёстой. Гэхдээ бидэнд хэрэггүй, шаардлагагүй зэрэглэлээс салж, шаардлагатайг нь үлдээхийн тулд эдгээр нь бидэнд хэрэггүй. , бид тоог дараах байдлаар бичнэ: 1*2 3 + 1* 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - энэ нь 12-ын тооны хоёртын дүрслэл юм. Дараалсан хүч бүрийг анзаарахад хялбар байдаг. хоёрын хамгийн том хүч нь задарсан тооноос бага байна. Аргыг нэгтгэхийн тулд өөр жишээг авч үзье. Дугаар 23.

Алхам 1. Хоёрын хамгийн ойрын хүч нь 2 4 = 16. 23 -16 = 7.

Алхам 2. Хоёрын хамгийн ойрын хүч 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

Алхам 3. Хоёрын хамгийн ойрын хүч 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

Алхам 4. Хоёрын хамгийн ойрын чадал 2 0 =1 1 - 1 =0

Бид дараах өргөтгөлийг авна: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

Мөн бидний хүссэн хоёртын тоо нь 10111 юм

Дээр дурдсан арга нь түүнд өгсөн асуудлыг сайн шийддэг боловч илүү сайн алгоритмжсан арга байдаг. Энэ аргын алгоритмыг доор бичсэн болно.

ДУГААР нь тэгээс их байвал үүнийг хий

NEXT DIGIT = ДУГААР 2-т хуваагдсан үлдэгдэл

NUMBER = NUMBER-ын 2-т хуваагдсан бүхэл хэсэг

Энэ алгоритм ажлаа дуусгах үед тооцоолсон NEXT DIGITS-ийн дараалал нь хоёртын тоог илэрхийлнэ. Жишээлбэл, 19 гэсэн тоогоор ажиллая.

Алгоритм эхлэх ДУГААР = 19

ДАРААГИЙН ОРНО = 1

ДАРААГИЙН ОРНО = 1

ДАРААГИЙН оронтой тоо = 0

ДАРААГИЙН оронтой тоо = 0

ДАРААГИЙН ОРНО = 1

Үүний үр дүнд бид 10011 гэсэн дараах дугаартай болно. Хэлэлцсэн хоёр арга нь дараагийн цифрүүдийг авах дарааллаар ялгаатай болохыг анхаарна уу. Эхний аргын хувьд хүлээн авсан эхний цифр нь хоёртын тооны хамгийн чухал оронтой, хоёр дахь аргын хувьд хүлээн авсан эхний цифр нь эсрэгээрээ хамгийн бага утгатай байна.

Аравтын тоог хоёртын тоонд хоёр аргаар хөрвүүлнэ

a) 14 b) 29 c) 134 d) 158 е) 1190 гр) 2019

Бутархайг аравтын тоо руу хэрхэн хөрвүүлэх вэ.

Аливаа рационал тоог аравтын бутархай ба энгийн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг мэддэг. Энгийн бутархай, өөрөөр хэлбэл A/B хэлбэрийн бутархай нь тогтмол ба буруу байж болно. А бол бутархайг зөв гэж нэрлэдэг<В и неправильной если А>IN.

Хэрэв рационал тоог буруу бутархайгаар илэрхийлж, бутархайн хуваагчийг бүхэл бүтэлд хуваасан бол энэ оновчтой тоо нь бүхэл тоо, бусад бүх тохиолдолд бутархай хэсэг гарч ирнэ. Бутархай хэсэг нь ихэвчлэн маш урт тоо, бүр хязгааргүй (хязгааргүй үечилсэн бутархай, жишээ нь 20/6) байдаг тул бутархай хэсгийн хувьд бид зөвхөн нэг дүрслэлийг нөгөө рүү хөрвүүлэх үүрэгтэй биш, харин тодорхой нарийвчлал.

Нарийвчлалын дүрэм. Танд N цифрийн нарийвчлалтай аравтын бутархайгаар илэрхийлэгдэх аравтын бутархай тоог өгсөн гэж бодъё. Харгалзах хоёртын тоо ижил нарийвчлалтай байхын тулд түүнд M - тэмдгийг бичих шаардлагатай.

Одоо орчуулгын дүрмийг олж аваад эхлээд 5,401-р жишээг харцгаая

Шийдэл:

Бид аль хэдийн мэдэгдэж байсан дүрмийн дагуу бүхэл хэсгийг авах бөгөөд энэ нь хоёртын тоо 101-тэй тэнцүү байна. Мөн бид бутархай хэсгийг 2-ын зэрэглэлээр өргөжүүлнэ.

1-р алхам: 2 -2 = 0.25; 0.401 - 0.25 = 0.151. - энэ бол үлдсэн хэсэг.

Алхам 2:Одоо бид 0.151-ийг хоёрын зэрэглэлээр илэрхийлэх хэрэгтэй. Үүнийг хийцгээе: 2 -3 = 0.125; 0.151 - 0.125 = 0.026

Тиймээс анхны бутархай хэсгийг 2 -2 +2 -3 гэж илэрхийлж болно. Энэ хоёртын тоонд ижил зүйлийг бичиж болно: 0.011. Эхний бутархай цифр нь тэг, учир нь манай өргөтгөлд 2 -1-ийн хүч байхгүй.

Эхний болон хоёр дахь алхамаас харахад энэ дүрслэл нь үнэн зөв биш бөгөөд өргөтгөлийг үргэлжлүүлэх нь зүйтэй болов уу. Дүрмийг харцгаая. Энэ нь 10 3 нь 2 М-ээс бага байх М-ийн маш олон шинж тэмдэг хэрэгтэй гэж хэлдэг. Өөрөөр хэлбэл, 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

Алхам 3:Одоо бид 0.026 тоогоор ажиллаж байна. Энэ тоонд хоёрын хамгийн ойрын хүч нь 2 -6 = 0.015625; 0.026 - 0.015625 = 0.010375 Одоо бидний илүү нарийвчлалтай хоёртын тоо: 0.011001. Аравтын бутархайн дараа аль хэдийн зургаан газар байгаа боловч энэ нь хангалттай биш тул бид дахиад нэг алхам хийнэ.

Алхам 4:Одоо бид 0.010375 дугаартай ажиллаж байна. Энэ тоонд хоёрын хамгийн ойрын хүч нь 2 -7 = 0.0078125;

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

Алхам 5:Одоо бид 0.0025625 дугаартай ажиллаж байна. Энэ тоонд хоёрын хамгийн ойрын хүч нь 2 -9 = 0.001953125;

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

Хамгийн сүүлд гарсан үлдэгдэл нь 2 -10-аас бага бөгөөд хэрэв бид анхны тоог үргэлжлүүлэхийг хүсвэл 2 -11 хэрэгтэй болно, гэхдээ энэ нь шаардлагатай нарийвчлалаас аль хэдийн хэтэрсэн тул тооцооллыг зогсоож, эцсийн хоёртын дүрслэлийг гаргаж болно. бутархай хэсгийг бичиж болно.

0,401 = 0,011001101

Таны харж байгаагаар аравтын тооны бутархай хэсгийг хоёртын тоо руу хөрвүүлэх нь бүхэл тоог хөрвүүлэхээс арай илүү төвөгтэй юм. Лекцийн төгсгөлд хоёрын эрх мэдлийн хүснэгт.

Одоо хөрвүүлэх алгоритмыг бичье:

Алгоритмын анхны өгөгдөл: А-аар бид аравтын бутархай хэлбэрээр бичигдсэн анхны зөв аравтын бутархайг тэмдэглэнэ. Энэ бутархай нь N тэмдэгт агуулна.

Алгоритм

Үйлдэл 1. 10 N тэгш бус байдлаас шаардлагатай M хоёртын цифрүүдийн тоог тодорхойл< 2 M

Үйлдэл 2: Хоёртын дүрслэлийн цифрийг (тэгээс хойшхи цифр) тооцоолох цикл. Оронтой тоог K тэмдгээр тэмдэглэнэ.

1. Оронтой тоо = 1
2. Хэрэв 2 -K > A

Дараа нь бид хоёртын тоонд тэг нэмнэ

• хоёртын тоонд 1-ийг нэмнэ
• A = A - 2 -K

1. K = K + 1
2. Хэрэв K > М

• дараа нь алгоритм дуусна
• Үгүй бол 2-р цэг рүү очно уу.

Аравтын тоог хоёртын тоо руу хөрвүүлэх

a) 3.6 b) 12.0112 c) 0.231 d) 0.121 d) 23.0091

Хоёртын тоонуудыг хасах. Бид мөн багананд байгаа тоог хасах бөгөөд ерөнхий дүрэм нь аравтын тоотой адил бөгөөд хасах нь бага багаар хийгдэх бөгөөд хэрэв хангалттай нэг нь байхгүй бол хамгийн дээд хэсэгт нь хийгдэнэ. Дараах жишээг шийдье.

Эхний ангилал. 1 - 0 =1. Бид 1-ийг бичнэ.

Хоёрдугаар ангилал 0 -1. Нэг нь дутуу байна. Бид ахмадын ангилалд багтдаг. Ахлах цифрээс авсан нэгж нь хоёр нэгжийн нэгэн адил бага зэрэгт ордог (учир нь ахлах цифр нь дээд түвшний хоёроор илэрхийлэгддэг) 2-1 = 1. Бид 1-ийг бичнэ.

Гурав дахь ангилал. Бид энэ зэрэглэлийн нэгжийг эзэлж байсан тул одоо 0-р зэрэглэлд хамгийн дээд зэрэглэлийн нэгжийг эзлэх шаардлагатай байна. 2-1 =1. Бид 1-ийг бичнэ.

Үр дүнг аравтын бутархайн системээр шалгая

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) Зөв тэгш байдал.

Хасах үйлдлийг гүйцэтгэх өөр нэг сонирхолтой арга бол хоёрын нөхөх кодын ойлголтыг агуулдаг бөгөөд энэ нь хасах үйлдлийг нэмэхэд багасгах боломжийг олгодог. Хоёрын нөхөх кодын тооны үр дүн нь маш энгийн: бид тоог авч, тэгийг нэгээр сольж, эсрэгээр, нэгийг тэгээр сольж, хамгийн бага ач холбогдол бүхий цифр дээр нэгийг нэмнэ. Жишээлбэл, 10010, нэмэлт код нь 011011 болно.

Хоёрын нөхөж байгаа тоогоор солигдох тохиолдолд хасах үйлдлийг нэмэх замаар сольж болно гэж хоёрын нөхөх замаар хасах дүрэмд заасан байдаг.

Жишээ нь: 34 - 22 = 12

Энэ жишээг хоёртын хэлбэрээр бичье. 100010 - 10110 = 1100

10110 дугаарын нэмэлт код нь иймэрхүү байх болно

01001 + 00001 = 01010. Дараа нь анхны жишээг дараах байдлаар нэмэх замаар сольж болно: 100010 + 01010 = 101100 Дараа нь та нэг нэгжийг хамгийн чухал цифрээр хаях хэрэгтэй. Хэрэв бид үүнийг хийвэл 001100 болно. Ач холбогдолгүй тэгүүдийг хаяад 1100-г авъя, өөрөөр хэлбэл жишээг зөв шийдсэн байна.

Хасах үйлдлийг гүйцэтгэнэ. Өмнө нь аравтын тоог хоёртын тоо руу хөрвүүлсэн ердийн аргаар, нэмэлт кодоор:

Хоёртын үр дүнг аравтын бутархай тооллын системд хөрвүүлэх замаар шалгана уу.

Хоёртын тооллын системд үржүүлэх.

Эхлээд дараах сонирхолтой баримтыг анхаарч үзээрэй. Хоёртын тоог 2-оор үржүүлэхийн тулд (хоёртын системд аравтын хоёр нь 10 байна) үржүүлж буй тооны зүүн талд нэг тэг нэмэхэд хангалттай.

Жишээ. 10101 * 10 = 101010

Шалгалт.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

Хэрэв бид ямар ч хоёртын тоог хоёрын зэрэглэл болгон өргөжүүлж болно гэдгийг санаж байгаа бол хоёртын тооллын систем дэх үржүүлэх нь 10-аар (өөрөөр хэлбэл аравтын 2-оор) үржихэд хүргэдэг тул үржүүлэх нь дараалсан цуваа юм. ээлж. Ерөнхий дүрэм бол аравтын тоонуудын нэгэн адил хоёртын үржүүлгийг битээр гүйцэтгэдэг. Хоёрдахь үржүүлэгчийн цифр бүрийн хувьд эхний үржүүлэгчийн баруун талд нэг тэг нэмнэ. Жишээ (хараахан баганад ороогүй):

1011 * 101 Энэ үржүүлгийг гурван оронтой үржүүлгийн нийлбэр болгон бууруулж болно.

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111 Үүнтэй ижил зүйлийг дараах багананд бичиж болно.

Шалгалт:

101 = 5 (аравтын тоо)

1011 = 11 (аравтын тоо)

110111 = 55 (аравтын тоо)

5*11 = 55 зөв тэгш байдал

Өөрийнхөө төлөө шийд

a) 1101 * 1110 =

б) 1010 * 110 =

д) 101011 * 1101 =

д) 10010 * 1001 =

Тайлбар: Хоёртын систем дэх үржүүлэх хүснэгт нь зөвхөн нэг зүйлээс бүрдэнэ 1 * 1 = 1

Хоёртын тооллын систем дэх хуваагдал.

Бид гурван үйлдлийг аль хэдийн авч үзсэн бөгөөд ерөнхийдөө хоёртын тоон дээрх үйлдэл нь аравтын тоон дээрх үйлдлээс бага зэрэг ялгаатай байгаа нь тодорхой болсон гэж би бодож байна. Цорын ганц ялгаа нь арав биш хоёр тоо байдаг боловч энэ нь зөвхөн арифметик үйлдлийг хялбаршуулдаг. Нөхцөл байдал хуваахтай адил боловч илүү сайн ойлгохын тулд бид хуваах алгоритмыг илүү нарийвчлан шинжлэх болно. Бид хоёр аравтын тоог хуваах хэрэгтэй гэж бодъё, жишээ нь 234-ийг 7-д хуваана. Үүнийг яаж хийх вэ.

Бид баруун талд (хамгийн чухал цифрээс) хэд хэдэн цифрийг сонгож, үр дүнд нь аль болох бага, хуваагчаас их байх болно. 2 нь хуваагчаас бага тул бидэнд хэрэгтэй тоо нь 23. Дараа нь бид гарсан тоог үлдэгдэлтэй хуваагчаар хуваана. Бид дараах үр дүнг авна.

Үүссэн үлдэгдэл нь хуваагчаас бага болтол бид тайлбарласан үйлдлийг давтана. Ийм зүйл тохиолдоход шугамын доор олж авсан тоо нь хуваалт бөгөөд сүүлчийн үлдэгдэл нь үйлдлийн үлдэгдэл юм. Тэгэхээр хоёртын тоог хуваах үйлдлийг яг адилхан гүйцэтгэдэг. Оролдоод үзье

Жишээ: 10010111 / 101

Бид эхний орон нь хуваагчаас их тоог хайж байна. Энэ бол дөрвөн оронтой тоо 1001. Үүнийг онцлон тэмдэглэв тод үсгээр. Одоо та сонгосон тооны хуваагчийг олох хэрэгтэй. Энд бид аравтын тооллын системтэй харьцуулахад дахин ялав. Сонгосон хуваагч нь заавал тоо бөгөөд бидэнд зөвхөн хоёр тоо байгаа нь баримт юм. 1001 нь 101-ээс илт их байгаа тул хуваагчтай бүх зүйл тодорхой байна: 1. Үйлдлийн алхмыг хийцгээе.

Ингээд дууссан үйлдлийн үлдэгдэл нь 100 байна. Энэ нь 101-ээс бага тул хоёр дахь хуваах алхмыг гүйцэтгэхийн тулд дараагийн цифрийг 100 дээр нэмэх хэрэгтэй, энэ нь 0 цифр юм. Одоо бидэнд дараах тоо байна.

1000 нь 101-ээс их байх тул хоёр дахь алхамд бид 1-ийн тоог дахин нэмж, дараах үр дүнг авна (зай хэмнэхийн тулд бид дараагийн цифрийг нэн даруй орхих болно).

Гурав дахь алхам. Үүссэн 110 тоо нь 101-ээс их байх тул энэ алхамд бид 1-ийг хуваах хэсэгт бичнэ. Энэ нь дараах байдалтай болно.

Үүссэн 11 тоо нь 101-ээс бага тул 0-ийн тоог категорид бичээд дараагийн тоог доошлуулна. Энэ нь дараах байдлаар харагдаж байна.

Үүссэн тоо нь 101-ээс их байх тул бид 1-ийн тоог категорид бичиж, үйлдлүүдийг дахин хийнэ. Энэ зураг гарч ирэв:

1

0

Үр дүнгийн үлдэгдэл 10 нь 101-ээс бага боловч ногдол ашгийн тоо дуусч байгаа тул 10 нь эцсийн үлдэгдэл, 1110 нь шаардлагатай коэффициент юм.

Аравтын тоонуудыг шалгацгаая

Энэ нь хоёртын арифметикийг ашиглахын тулд мэдэх шаардлагатай хамгийн энгийн арифметик үйлдлүүдийн тайлбарыг дуусгаж байгаа бөгөөд одоо бид "Хоёртын арифметик яагаад хэрэгтэй вэ?" Гэсэн асуултанд хариулахыг хичээх болно. Мэдээжийн хэрэг, хоёртын системд тоог бичих нь арифметик үйлдлүүдийг ихээхэн хялбаршуулдаг гэдгийг дээр харуулсан, гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн бичлэг нь өөрөө илүү урт болж, үр дүнд нь хялбаршуулах утгыг бууруулдаг тул үүнийг хайх шаардлагатай байна. хоёртын тоон дээр шийдэл нь хамаагүй хялбар байдаг асуудлууд.

Даалгавар 1: Бүх дээжийг татаж авах

Өгөгдсөн объектуудаас бүх боломжит хослолыг бүтээх чадвартай байх шаардлагатай асуудлууд ихэвчлэн гардаг. Жишээлбэл, энэ даалгавар:

Том овоолгын чулууг өгвөл хоёр овоолгын масс аль болох тэнцүү байхаар чулууг хоёр овоолго болгон байрлуул.

Энэ даалгаврыг дараах байдлаар томъёолж болно.

Том овоолгын нийт масс нь том овоолгын хагасын массаас аль болох бага ялгаатай байхаар чулуунуудын сонголтыг ол.

Энэ төрлийн ажил нэлээд олон бий. Дээр дурдсанчлан тэдгээр нь өгөгдсөн элементүүдийн багцаас бүх боломжит хослолыг (цаашид бид тэдгээрийг дээж гэж нэрлэх болно) олж авах чадвартай болж хувирдаг. Одоо бид хоёртын нэмэх үйлдлийг ашиглан бүх боломжит дээжийг олж авах ерөнхий аргыг авч үзэх болно. Нэг жишээгээр эхэлье. Гурван объектын багц байцгаая. Бүх боломжит дээжийг бүтээцгээе. Бид объектуудыг серийн дугаараар тэмдэглэнэ. Өөрөөр хэлбэл, дараах зүйлүүд байна: 1, 2, 3.

Дээж: (0, 0, 1); (0, 1, 0); (0, 1, 1); (100); (1, 0, 1); (1, 1, 0); (1, 1, 1);

Хэрэв дараагийн дугаартай байрлал нь нэг бол энэ байрлалтай тэнцүү тоо бүхий элемент сонголтонд байгаа бөгөөд хэрэв тэг байвал тухайн элемент байхгүй гэсэн үг юм. Жишээлбэл, дээж (0, 1, 0); 2 дугаартай нэг элементээс бүрдэх ба сонголт нь (1, 1, 0); 1 ба 2 тоотой хоёр элементээс бүрдэнэ.

Энэ жишээ нь дээжийг хоёртын тоогоор илэрхийлж болохыг тодорхой харуулж байна. Нэмж дурдахад нэг, хоёр, гурван оронтой бүх боломжит хоёртын тоонууд дээр бичигдсэн байгааг харахад хялбар байдаг. Тэдгээрийг дараах байдлаар дахин бичье.

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

Бид хэд хэдэн дараалсан хоёртын тоонуудыг хүлээн авсан бөгөөд тэдгээр нь тус бүрийг өмнөх тооноос нэгийг нэмэх замаар олж авдаг. Та үүнийг шалгаж болно. Энэхүү ажиглагдсан загварыг ашиглан бид дээж авах дараах алгоритмыг байгуулж болно.

Алгоритм оруулах өгөгдөл

N - ширхэг объектын багц өгөгдсөн. Дараах зүйлд бид энэ олонлогийг анхны элементүүдийн багц гэж нэрлэх болно. Анхны олонлогийн бүх элементүүдийг 1-ээс N хүртэл дугаарлая. N ач холбогдолгүй тэгээс хоёртын тоо гаръя. 0000… 0 N Энэ тэг хоёртын тоо нь түүвэрлэлтийн процесс эхлэх тэг түүврийг заана. Тооны цифрүүдийг баруунаас зүүн тийш тоолдог, өөрөөр хэлбэл хамгийн зүүн талын цифр нь хамгийн чухал нь юм.

Энэ хоёртын тоог BINARY том үсгээр тэмдэглэхийг зөвшөөрцгөөе

Алгоритм

Хэрэв ХОЁРТОЙ тоо нь бүхэлдээ нэгээс бүрддэг бол

Дараа нь бид алгоритмыг зогсооно

• Бид хоёртын арифметикийн дүрмийн дагуу ХОРТОЙ тоонд нэгийг нэмнэ.
• Үүссэн хоёртын тооноос бид дээр дурдсанчлан дараагийн дээжийг хийнэ.

Бодлого 2: Том анхны тоог олох

Эхлэхийн тулд анхны тоо нь зөвхөн 1-д болон өөртөө хуваагддаг натурал тоо гэдгийг санацгаая. Энгийн тоонуудын жишээ: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31

Том анхны тоог олох нь математикийн маш чухал асуудал юм. Зарим шифрлэлтийн алгоритмд мессежийг найдвартай шифрлэхийн тулд том анхны тоо шаардлагатай. Түүгээр ч барахгүй, зөвхөн олон тоо биш, харин маш том тоо хэрэгтэй. Тоо нь том байх тусам энэ тоон дээр суурилсан шифр илүү найдвартай болно.

Анхаарна уу. Хүчтэй шифр гэдэг нь тайлахад маш их цаг зарцуулдаг шифр юм.

Яагаад? Анхны тоо нь шифрлэх, тайлах түлхүүр болдог. Нэмж дурдахад, анхны тоонууд цувралд тохиолддог гэдгийг бид мэднэ натурал тоонуудтийм ч олон биш. Эхний мянган хүмүүсийн дунд нэлээд олон байдаг бөгөөд дараа нь тэдний тоо хурдан буурч эхэлдэг. Тиймээс, хэрэв бид маш том биш тоог түлхүүр болгон, тайлагчийг маш том биш ч гэсэн тусламжтайгаар авч үзвэл, хурдан компьютерхязгаарлагдмал хугацаанд (бүх энгийн зүйлийг түлхүүр болгон туршиж үзэх замаар) түүнд хүрэх боломжтой болно.

Хэрэв та энгийн кодыг, жишээлбэл 150 тэмдэгтийг авбал нэлээд найдвартай код авах боломжтой. Гэсэн хэдий ч ийм энгийн зүйлийг олох нь тийм ч хялбар биш юм. Тодорхой тооны А (маш том) анхдагч эсэхийг шалгах шаардлагатай гэж бодъё. Энэ нь хуваагчийг хайж байгаатай адил юм. Хэрэв бид 2-оос А-ийн квадрат язгуур хүртэлх мужид хуваагчдыг олж чадвал энэ нь анхны тоо биш юм. А тоог хуваах чадварыг шалгах шаардлагатай тооны тоог тооцоолъё.

А тоо 150 оронтой гэж үзье. Үүний квадрат язгуур нь дор хаяж 75 тэмдэгт агуулна. Ийм тооны боломжит хуваагчийг тоолохын тулд бидэнд маш их хэрэгтэй болно хүчирхэг компьютермөн асар их цаг хугацаа, энэ нь асуудал бараг шийдэгдэх боломжгүй гэсэн үг юм.

Үүнийг яаж шийдэх вэ.

Нэгдүгээрт, та нэг тооны нөгөө тоонд хуваагдах эсэхийг хурдан шалгаж сурах, хоёрдугаарт, А тоог магадлал өндөртэй анхны байхаар сонгохыг оролдож болно. Энэ нь боломжтой болж байна. Математикч Мерсен дараах хэлбэрийн тоог нээсэн

Тэдгээр нь магадлал өндөртэй энгийн байдаг.

Дээр бичсэн хэллэгийг ойлгохын тулд эхний мянгад хэдэн анхны тоо, нэг мянгад хэдэн Мерсений тоо анхных болохыг тоолъё. Тиймээс эхний мянга дахь Мерсений тоо дараах байдалтай байна.

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

Анхны тоог тодоор тэмдэглэнэ. 9 Мерсений тоонд 5 анхны тоо байна. Хувиараа энэ нь 5/9*100 = 55.6% байна. Үүний зэрэгцээ 1000 анхны натурал тоо бүрт ердөө 169 анхны тоо байдаг. Хувиараа энэ нь 169/1000*100 = 16.9% байна. Өөрөөр хэлбэл, эхний мянгад хувиар тооцвол Мерсений тоонуудын анхны тоонууд энгийн натурал тоонуудаас бараг 4 дахин их байдаг.

___________________________________________________________

Одоо тодорхой Мерсений тоог авч үзье, жишээ нь 2 4 - 1. Үүнийг хоёртын тоогоор бичье.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

Дараах Мерсений 2 5 -1 тоог аваад хоёртын тоогоор бичье. Бид дараахь зүйлийг авна.

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

Мерсений бүх тоо нь нэгийн дараалал болох нь аль хэдийн тодорхой болсон бөгөөд энэ нь өөрөө том ашиг авчирдаг. Нэгдүгээрт, хоёртын тооллын системд дараагийн Мерсений тоог гаргах нь маш энгийн, дараагийн тоон дээр нэгийг нэмэх, хоёрдугаарт, хоёртын системд хуваагч хайх нь аравтын системээс хамаагүй хялбар байдаг.

Аравтын бутархай руу хурдан хөрвүүлэх

Хоёртын тооллын системийг ашиглахад тулгардаг гол бэрхшээлүүдийн нэг бол аравтын тоог хоёртын тоо руу хөрвүүлэхэд бэрхшээлтэй байдаг. Энэ бол нэлээд хөдөлмөр их шаардсан ажил юм. Мэдээжийн хэрэг, гурав, дөрвөн оронтой жижиг тоог орчуулах нь тийм ч хэцүү биш боловч 5 ба түүнээс дээш оронтой аравтын бутархай тоонуудын хувьд энэ нь аль хэдийн хэцүү байдаг. Өөрөөр хэлбэл, том аравтын тоог хоёртын тоо руу хурдан хөрвүүлэх арга хэрэгтэй байна.

Энэ аргыг Францын математикч Лежендре зохион бүтээсэн. Жишээлбэл, 11183445 гэсэн тоог өгье. Бид үүнийг 64-т хувааж, бид 21-ийн үлдэгдэл, 174741-ийн хэсэг болно. Бид энэ тоог дахин 64-т хувааж, бид 21-ийн үлдэгдэл, 2730-ын коэффициентийг авна. Эцэст нь , 2730-ыг 64-т хуваасан нь 42-ын үлдэгдэл, 42-ын коэффициентийг өгдөг Харин хоёртын системд 64 нь 1000000, хоёртын системд 21 нь 10101, 42 нь 101010, Иймээс анхны тоог хоёртын тоогоор дараах байдлаар бичнэ.

101010 101010 010101 010101

Илүү ойлгомжтой болгохын тулд өөр нэг жишээг бага тоогоор харуулав. 235 тооны хоёртын дүрслэлийг хөрвүүлье. 235-ыг 64-т үлдэгдэлтэй хуваа. Бид авах:

QUANTIATE = 3, хоёртын тоо 11 эсвэл 000011

REMAINDER = 43, хоёртын 101011

Дараа нь 235 = 11101011. Энэ үр дүнг шалгая:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

Тэмдэглэл:

1. Эцсийн хоёртын тоо нь бүх үлдэгдэл, сүүлчийн алхамд үлдэгдэл болон хуваалтыг хоёуланг нь агуулж байгааг харахад хялбар байдаг.
2. Хэмжилтийг үлдэгдэлийн өмнө бичнэ.
3. Хэрэв үр дүнгийн хэсэг буюу үлдэгдэл нь хоёртын дүрслэлд 6-аас бага цифртэй байвал (6 тэг нь 64 = 1000000 тооны хоёртын дүрслэлийг агуулна) түүнд ач холбогдолгүй тэгүүдийг нэмнэ.

Бас нэг төвөгтэй жишээ. Дугаар нь 25678425.

Алхам 1: 25678425-ыг 64-т хуваана

Хувийн = 401225

Үлдсэн = 25 = 011001

Алхам 2: 401225-ыг 64-т хуваана

Хэмжээ = 6269

Үлдэгдэл = 9 = 001001

Алхам 3: 6269-ийг 64-т хуваана

Хэмжээ = 97

Үлдсэн = 61 = 111101

Алхам 4: 97-г 64-т хуваана

Хэмжээ = 1 = 000001

Үлдсэн = 33 = 100001

Тооны үр дүн = 1.100001.111101.001001.011001

Энэ тоонд түүнд орсон завсрын үр дүнг цэгээр тусгаарлана.

Тоонуудыг хоёртын дүрслэл рүү хөрвүүлэх:

ХАВСРАЛТ: ХҮСНЭГТ 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

Аливаа байрлалын тооллын системд арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх нь аравтын бутархай тооллын системд ашигладаг дүрмийн дагуу хийгддэг.

Аравтын бутархай тооллын системтэй адил арифметик үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд нэмэх (хасах) болон үржүүлэх хүснэгтийг мэддэг байх шаардлагатай.

Хоёртын тооллын системийн нэмэх, хасах, үржүүлэх хүснэгт

Хоёртын тоо нэмэх

Хоёртын тооллын системд нэмэх нь аравтын бутархай тооллын системтэй ижил дүрмийн дагуу явагдана. Хоёр тоог бүхэл ба бутархай хэсгүүдийн тусгаарлагчтай зэрэгцүүлсэн баганад бичнэ, шаардлагатай бол баруун талд нь ач холбогдолгүй тэгээр нэмнэ. Нэмэлтийг хамгийн баруун талын цифрээс эхэлнэ. Доод эрэмбийн хоёр нэгжийг дээд эрэмбийн нэгж болгон нэгтгэдэг.

Жишээ: 1011,1 2 + 1010,11 2

Хоёроос дээш тооны тоог нэмбэл байдал бас сонирхолтой. Энэ тохиолдолд хэд хэдэн цифрээр дамжуулж болно.
Жишээ: 111,1 2 + 111 2 + 101,1 2

Нэгийн оронд (бит 0) нэмэхэд 4 нэг байдаг бөгөөд тэдгээрийг нэгтгэх үед өгдөг. 100 2 . Тиймээс тэг цифрээс эхний орон руу шилждэг 0 , хоёрдугаарт - 1 .
Хоёр дахь оронтой тоонд ижил төстэй нөхцөл байдал үүсч, шилжүүлсэн хоёр нэгжийг харгалзан дугаарыг авна. 5 = 101 2 . 1 хоёрдугаар ангилалд хэвээр байна 0 гурав дахь болон шилжүүлсэн 1 дөрөв дэх рүү шилжүүлэв.

Хоёртын тоог хасах

Ахлах ангиллын нэгж ажиллаж байгаа тохиолдолд бага ангийн хоёр нэгжийг өгдөг. Хэрэв нэгжийг хэд хэдэн ангиллын дараа судалж байгаа бол бүх завсрын тэг ангилалд нэг нэгж, судалсан ангилалд хоёр нэгж өгнө.
Жишээ: 10110,01 2 — 1001,1 2

Бүх байрлалын тооллын систем дэх арифметик үйлдлүүд нь таны сайн мэддэг дүрмийн дагуу хийгддэг.

Нэмэлт.Хоёртын тооллын системд тоо нэмэх асуудлыг авч үзье. Энэ нь нэг оронтой хоёртын тоог нэмэх хүснэгтэд суурилдаг :

Хоёрыг нэмэхэд цифр нь хальж, хамгийн чухал цифр рүү шилждэг гэдгийг анхаарах нь чухал. Түүнд байгаа тооны утга суурьтай тэнцүү буюу түүнээс их болсон тохиолдолд оронтой тоон халилт үүсдэг.

Олон битийн хоёртын тоог нэмэх нь дээрх нэмэх хүснэгтийн дагуу бага эрэмбээс өндөр эрэмбийн цифр рүү шилжих боломжит шилжүүлгийг харгалзан хийгдэнэ.

Жишээ болгон 110 2 ба 11 2 хоёртын тоог баганад нэмье. :

Тооцооллын зөв эсэхийг аравтын бутархай тооллын системд нэмэх замаар шалгая. Хоёртын тоог аравтын тооллын системд хөрвүүлээд дараа нь нэмье.

110 2 =1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1*2 1 + 1*2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

Одоо хоёртын нэмэхийн үр дүнг аравтын тоо руу хөрвүүлье:

1001 2 = 1*2 3 +0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 9 10 /

Үр дүнг харьцуулж үзье - нэмэлтийг зөв гүйцэтгэсэн.

Хасах.Хоёртын тоонуудыг хасах аргыг авч үзье. Энэ нь нэг оронтой хоёртын тоог хасах хүснэгтэд үндэслэсэн болно. Бага тооноос (0) их тоог (1) хасах үед хамгийн өндөр оронтой тооноос зээл олгоно. Хүснэгтэнд зээлийг 1-р шугамаар тэмдэглэв.

Олон битийн хоёртын тоог хасах нь дээрх хасах хүснэгтийн дагуу хамгийн чухал битүүдээс авах боломжтой зээлийг харгалзан хийгддэг. Жишээлбэл, 110 2 ба 11 2 хоёртын тоог хасъя.

Үржүүлэх.Үржүүлэх нь нэг оронтой хоёртын тоонуудын үржүүлэх хүснэгтэд суурилдаг.

Олон оронтой хоёртын тоог үржүүлэх нь аравтын бутархай тооллын системд ашигладаг ердийн схемийн дагуу дээрх үржүүлэх хүснэгтийн дагуу үржүүлэгчийг үржүүлэгчийн цифрээр дараалан үржүүлдэг. Жишээ болгон хоёртын тоонуудыг үржүүлье:

Хэлтэс.Хуваах үйлдлийг аравтын бутархай тооллын системд хуваах үйлдлийг гүйцэтгэх алгоритмтай төстэй алгоритм ашиглан гүйцэтгэнэ. Жишээ болгон 110 2 ба 11 2 гэсэн хоёртын тоог хуваая.