Sadaļā Ievada pārskats ir aplūkotas divas ļoti vienkāršus piemērus(ņemts no Shumway, 1988), lai ilustrētu spektrālās analīzes būtību un rezultātu interpretāciju. Ja jūs nepārzināt šo metodi, ieteicams vispirms apskatīt šo šīs nodaļas sadaļu.

Pārskats un datu fails. Fails Sunspot.sta satur daļu no zināmajiem saules plankumu skaitļiem (Wolfer) no 1749. līdz 1924. gadam (Anderson, 1971). Zemāk ir saraksts ar dažiem pirmajiem datiem no parauga faila.

Tiek pieņemts, ka saules plankumu skaits ietekmē laikapstākļus uz zemes, kā arī lauksaimniecību, telekomunikācijas u.c. Izmantojot šo analīzi, var mēģināt noskaidrot, vai saules plankumu aktivitāte patiešām ir cikliska (patiesībā tā ir, šie dati ir plaši apspriesti literatūrā; sk., piemēram, Bloomfield, 1976, vai Shumway, 1988).

Analīzes definīcija. Pēc analīzes palaišanas atveriet datu failu Sunspot.sta. Noklikšķiniet uz pogas Mainīgie un atlasiet mainīgo Spots (ņemiet vērā: ja Sunspot.sta datu fails ir pašreizējais atver failu datus, un mainīgais Spots ir vienīgais mainīgais šajā failā, tad, kad tiek atvērts dialoglodziņš Time Series Analysis, Spots tiks atlasīts automātiski). Tagad noklikšķiniet uz Furjē (spektrālās) analīzes pogas, lai atvērtu Furjē (spektrālās) analīzes dialoglodziņu.

Pirms spektrālās analīzes izmantošanas vispirms uzzīmējiet saules plankumu skaitu. Ņemiet vērā, ka failā Sunspot.sta ir norādīti atbilstošie gadi kā novērojumu nosaukumi. Lai izmantotu šos nosaukumus līniju diagrammas, noklikšķiniet uz cilnes Skatīt sēriju un sadaļā Atzīmēt punktus atlasiet Gadījumu nosaukumi. Tāpat atlasiet Iestatīt X-ass skalu manuāli un Min. = 1, un solis = 10. Pēc tam noklikšķiniet uz pogas Grafs blakus pogai Skata atlase. mainīgs.

Šķiet, ka saules plankumu skaits ir ciklisks. Tendence nav redzama, tāpēc atgriezieties spektrālās analīzes logā un grupā Transform Source Series noņemiet atzīmi no opcijas Noņemt lineāro tendenci.

Ir skaidrs, ka sērijas vidējais rādītājs ir lielāks par 0 (nulle). Tāpēc atstājiet atlasītu opciju Atņemt vidējo [pretējā gadījumā periodogramma tiks “aizsērējusi” ar ļoti lielu maksimumu frekvencē 0 (nulle)].

Tagad esat gatavs sākt analīzi. Tagad noklikšķiniet uz Labi (viendimensiju Furjē analīze), lai parādītu Furjē spektrālās analīzes rezultātu dialoglodziņu.

Skatīt rezultātus. Informācijas sadaļā dialoglodziņa augšdaļā ir redzama kopsavilkuma statistika par sērijām. Tas parāda arī piecus lielākos periodogrammas maksimumus (pēc biežuma). Trīs lielākie maksimumi ir pie frekvencēm 0,0852, 0,0909 un 0,0114. Šī informācija bieži ir noderīga, analizējot ļoti lielas sērijas (piemēram, ar vairāk nekā 100 000 novērojumiem), kuras nav viegli attēlot vienā grafikā. Tomēr šajā gadījumā ir viegli redzēt periodogrammas vērtības; noklikšķinot uz pogas Periodogramma sadaļā Periodogramma un spektrālā blīvuma grafiki.

Periodogrammas grafikā ir redzami divi skaidri pīķi. Maksimums ir aptuveni 0,9 frekvencē. Atgriezieties spektrālās analīzes rezultātu logā un noklikšķiniet uz pogas Kopsavilkums, lai rezultātu tabulā skatītu visas periodogrammu vērtības (un citus rezultātus). Tālāk ir parādīta rezultātu tabulas daļa ar lielāko periodogrammas maksimumu.

Kā minēts sadaļā Ievadpārskats, biežums ir ciklu skaits laika vienībā (kur katrs novērojums ir viena laika vienība). Tādējādi frekvence 0,0909 atbilst 11 periodu vērtībai (laika vienību skaits, kas nepieciešams pilnam ciklam). Tā kā Sunspot.sta saules plankumu dati atspoguļo gada novērojumus, var secināt, ka saules plankumu aktivitātē ir izteikts 11 gadu (varbūt nedaudz ilgāks par 11 gadiem) cikls.

Spektrālais blīvums. Parasti, lai aprēķinātu spektrālā blīvuma aplēses, periodogramma tiek izlīdzināta, lai novērstu nejaušās svārstības. Svērto slīdošo vidējo veidu un loga platumu var izvēlēties sadaļā Spectral logi. Sadaļā Ievada pārskats šīs iespējas ir detalizēti apskatītas. Mūsu piemērā atstāsim atlasīto noklusējuma logu (Haminga platums 5) un atlasīsim spektrālā blīvuma grafiku.

Abas virsotnes tagad ir vēl atšķirīgākas. Apskatīsim periodogrammas vērtības pa periodiem. Sadaļā Grafiks atlasiet lauku Periods. Tagad atlasiet spektrālā blīvuma grafiku.

Atkal var redzēt, ka saules plankumu aktivitātē ir izteikts 11 gadu cikls; Turklāt ir pazīmes, kas liecina par ilgāka, aptuveni 80-90 gadu cikla pastāvēšanu.

FUJĒ TRANSFORMĀCIJA UN KLASISKĀ DIGITĀLĀ SPEKTRĀLĀ ANALĪZE.
Medvedevs S.Ju., Ph.D.

Ievads

Spektrālā analīze ir viena no signālu apstrādes metodēm, kas ļauj raksturot izmērītā signāla frekvences sastāvu. Furjē transformācija ir matemātiska sistēma, kas saista laika vai telpisko signālu (vai kādu šī signāla modeli) ar tā frekvenču domēna attēlojumu. Statistiskajām metodēm ir liela nozīme spektrālajā analīzē, jo signāli parasti ir nejauši vai trokšņaini izplatīšanās vai mērīšanas laikā. Ja signāla statistikas pamatīpašības būtu precīzi zināmas vai tās varētu noteikt no šī signāla ierobežota intervāla, tad spektrālā analīze būtu "precīzās zinātnes" nozare. Tomēr patiesībā no signāla segmenta var iegūt tikai tā spektra novērtējumu. Tāpēc spektrālās analīzes prakse ir sava veida amatniecība (vai māksla?) ar diezgan subjektīvu raksturu. Atšķirību starp spektrālajiem novērtējumiem, kas iegūti, apstrādājot vienu un to pašu signāla segmentu ar dažādām metodēm, var izskaidrot ar atšķirību pieņēmumos, kas izdarīti attiecībā uz datiem, Dažādi ceļi vidējais rādītājs utt. Ja signāla raksturlielumi nav zināmi a priori, nav iespējams pateikt, kurš no aprēķiniem ir labāks.

Furjē transformācija - spektrālās analīzes matemātiskais pamats
Īsi apspriedīsim dažādus Furjē transformācijas veidus (sīkāku informāciju sk.).
Sāksim ar nepārtraukta signāla Furjē transformāciju

, (1)

kas identificē to sarežģīto sinusoīdu (eksponentu) frekvences un amplitūdas, kurās tiek sadalītas kādas patvaļīgas svārstības.
Apgrieztā konvertēšana

. (2)

Tiešo un apgriezto Furjē transformāciju (kuras turpmāk sauksim par nepārtraukta laika Furjē transformāciju — CTFT) esamību nosaka vairāki nosacījumi. Pietiekami - absolūta signāla integrējamība

. (3)

Mazāk ierobežojošs pietiekams nosacījums ir signāla enerģijas galīgums

. (4)

Piedāvāsim vairākas Furjē transformācijas pamatīpašības un turpmāk izmantotās funkcijas, ņemot vērā, ka taisnstūra logu nosaka izteiksme

(5)

un sinc funkcija ir izteiksme

(6)

Laika domēna izlases funkciju nosaka ar

(7)

Šo funkciju dažreiz sauc arī par periodisko turpinājuma funkciju.

1. tabula. NVPF galvenās īpašības un funkcijas

Īpašums, funkcija	Funkcija	Pārvēršana
Linearitāte	ag(t) + bh(t)	aG(f) + bH(f)
Laika maiņa	h (t - t 0)	H(f)exp(-j2pf t 0)
Frekvences maiņa (modulācija)	h(t)exp(j2pf0 t)	H(f - f 0)
Mērogošana	(1/|a|)h(t/a)	H(af)
Laika apgabala konvolūcijas teorēma	g(t)*h(t)	G(f)H(f)
Frekvences apgabala konvolūcijas teorēma	g(t) h(t)	G(f)*H(f)
Logu funkcija	Ak(t/T)	2ATsinc (2Tf)
Sinc funkcija	2AFsinc (2 Ft)	Aw(f/F)
Pulsa funkcija	Reklāma(t)
Skaitīšanas funkcija	T(f)	FF(f), F=1/T

Vēl vienu svarīgu īpašību nosaka Parseval teorēma divām funkcijām g(t) un h(t):

. (8)

Ja mēs ievietojam g(t) = h(t), tad Parsevala teorēma reducējas uz enerģijas teorēmu

. (9)

Izteiksme (9) būtībā ir vienkārši enerģijas nezūdamības likuma formulējums divās jomās (laikā un frekvencē). Kreisajā pusē (9) ir kopējā signāla enerģija, tātad funkcija

(10)

apraksta enerģijas frekvences sadalījumu deterministiskajam signālam h(t), un tāpēc to sauc par spektrālo enerģijas blīvumu (SED). Izteiksmju izmantošana

(11)

var aprēķināt signāla h(t) amplitūdas un fāzes spektrus.

Izlases un svēršanas darbības

Nākamajā sadaļā mēs iepazīstināsim ar diskrētā laika Furjē sēriju (DTFS) vai citādi ar diskrēto Furjē transformāciju (DFT) kā nepārtraukta laika Furjē transformācijas (CTFT) īpašu gadījumu, izmantojot divas pamata signālu apstrādes darbības - paraugu ņemšanu ( paraugu ņemšana) Un svēršana izmantojot logu. Šeit mēs aplūkojam šo darbību ietekmi uz signālu un tā pārveidošanu. 2. tabulā ir norādītas funkcijas, kas veic svēršanu un paraugu ņemšanu.

Vienmērīgiem rādījumiem ar T sekunžu intervālu paraugu ņemšanas frekvence F ir vienāda ar 1/T Hz. Ņemiet vērā, ka svēršanas funkcija un izlases funkcija laika domēnā ir attiecīgi apzīmēta ar TW (laika logu ņemšana) un TS (laika iztveršana), bet frekvenču domēnā - FW (frekvenču logu ņemšana) un FS (frekvenču iztveršana).

2. tabula. Svēršanas un izlases funkcijas

Darbība	Laika funkcija	Pārvēršana
Laika domēna svēršana (loga platums NT s)	TW=w(2t/NT — 1)	F(TW)=NTsinc(NTf)exp(-jpNTf)
Frekvences domēna svēršana (loga platums 1/T Hz)		FW=w(2Tf)
Skaitīšana laikā (intervāls T sek)	TS=T T(t)
Frekvences paraugu ņemšana (ar 1/NT Hz intervālu)

Pieņemsim, ka tiek ņemti nepārtraukta reāla signāla x(t) ar ierobežotu spektru paraugi, kuru augšējā frekvence ir vienāda ar F0. Reāla signāla NVFT vienmēr ir simetriska funkcija ar pilnu platumu 2F0, skatiet 1. att.
Signāla x(t) paraugus var iegūt, reizinot šo signālu ar parauga funkciju:

(12)

1. att. - paraugu ņemšanas teorēmas ilustrācija laika apgabalā reālam signālam ar ierobežotu spektru:
a - sākotnējā laika funkcija un tās Furjē transformācija;
b - paraugu funkcija laikā un tās Furjē transformācija;
- sākotnējās funkcijas laika paraugi un tās periodiski turpināta Furjē transformācija Fo gadījumā<1/2T;
d - frekvences logs (ideāls zemfrekvences filtrs) un tā Furjē transformācija (sinc funkcija);
d - sākotnējā laika funkcija, kas atjaunota, izmantojot konvolūcijas darbību ar sinc funkciju.

Saskaņā ar frekvenču domēna konvolūcijas teorēmu signāla x(t) FTFT ir vienkārši signāla x(t) spektra konvolūcija un laika parauga (TS) funkcijas Furjē transformācija:

. (13)

X(f) konvolūcija ar parauga funkcijas Furjē transformāciju F (TS)=Y1/T(f) vienkārši periodiski turpinās X(f) ar frekvences intervālu 1/T Hz. Tāpēc XS(f) ir periodiski paplašināts X(f) spektrs. Parasti paraugi vienā domēnā (piemēram, laikā) noved pie periodiskas turpinājuma transformācijas domēnā (piemēram, frekvencē). Ja izlases ātrums ir izvēlēts pietiekami zems (F< 2Fo), то периодически продолженные спектры будут перекрываться с соседними. Это перекрытие носит название эффекта наложения в частотной области.
Lai atjaunotu sākotnējo laika signālu no tā paraugiem, t.i. lai interpolētu noteiktu vērtību kontinuumu starp šiem paraugiem, jūs varat iztvert datus caur ideālu zemas caurlaidības filtru ar taisnstūrveida frekvences reakciju (1.d attēls).

. (14)

Rezultātā (sk. 1. att. d) tiek atjaunota sākotnējā Furjē transformācija. Izmantojot konvolūcijas teorēmas laika un frekvenču jomā, mēs iegūstam

. (15)

Izteiksme (15) ir matemātisks apzīmējums laika domēna izlases teorēmas(Whittaker, Kotelnikov, Shannon teorēma - UKSH), kurā teikts, ka, izmantojot interpolācijas formulu (15), var precīzi atjaunot reālu signālu ar ierobežotu spektru. pēc bezgalīga skaita zināmi laika paraugi, kas ņemti ar frekvenci F = 2F0. Teorēmas (15) duālis ir teorēma paraugi frekvenču domēnā ierobežota ilguma signāliem.
Operācijas laika apgabalā, kas ir līdzīgas (14), tiek aprakstītas ar izteiksmi

, (16)

un atbilstošās transformācijas ir izteiksmes

Tādējādi kāda signāla NVPF X(f) ar ierobežotu ilgumu var viennozīmīgi atjaunot no šāda signāla spektra vienādiem attālumiem, ja izvēlētais frekvences iztveršanas intervāls apmierina nosacījumu F1/2T 0 Hz, kur T 0 ir signāls. ilgums.

Attiecības starp nepārtrauktām un diskrētām transformācijām

Pārveidojumu pāris N-punktu diskrētās Furjē transformācijas (DFT) parastajai definīcijai laika secība x[n] un atbilstošais N-punkts Furjē transformācijas secības X[k] tiek dots ar izteiksmēm

, (18)
. (19)

Lai iegūtu spektrālos aprēķinus no datu paraugiem attiecīgajās enerģijas vai jaudas vienībās, mēs rakstām diskrēta laika Furjē sēriju (DTFS), ko var uzskatīt par nepārtraukta laika Furjē transformācijas (CTFT) tuvinājumu, pamatojoties uz ierobežota skaita datu paraugu izmantošana:

Lai parādītu DVRF atbilstības raksturu ( diskrēts funkcijas gan laika, gan frekvenču domēnos) un CVDF (nepārtrauktas funkcijas laika un frekvenču jomā), mums ir nepieciešama četru lineāru komutatīvu darbību secība: svēršana laika un frekvences domēnos un paraugu ņemšana vai paraugu ņemšana gan laika, gan frekvenču jomā. Ja kādā no šiem apgabaliem tiek veikta svēršanas operācija, tad saskaņā ar konvolūcijas teorēmu tā atbildīs filtrēšanas darbībai (konvolūcijai) citā reģionā ar sinc funkciju. Līdzīgi, ja diskretizācija tiek veikta vienā reģionā, tad citā tiek veikta periodiska turpināšanas operācija. Tā kā svēršana un paraugu ņemšana ir lineāras un komutatīvas darbības, ir iespējami dažādi to sakārtošanas veidi, dodot vienu un to pašu gala rezultātu ar dažādiem starprezultātiem. 2. attēlā parādītas divas iespējamās secības šo četru darbību veikšanai.

Rīsi. 2. Divas iespējamās divu svēršanas operāciju un divu paraugu ņemšanas darbību secības, kas savieno NVPF un DVRF: FW - loga pielietojums frekvenču domēnā; TW - loga pielietojums laika domēnā; FS - paraugu ņemšana frekvenču domēnā; TS - paraugu ņemšana laika domēnā.
1 - nepārtraukta laika Furjē transformācija, vienādojums (1);
4 - diskrēta laika Furjē transformācija, vienādojums (22);
5 - Furjē rinda ar nepārtrauktu laiku, vienādojums (25);
8 — Furjē rinda ar diskrētu laiku, vienādojums (27)

Veicot svēršanas un paraugu ņemšanas operācijas 1., 4., 5. un 8. mezglā, radīsies četri dažādi Furjē relāciju veidi. Mezgli, kuros atrodas funkcija frekvenču domēns ir nepārtraukts, atsaukties uz pārvērtības Furjē un mezgli, kuros funkcija atrodas frekvenču domēnā diskrēts atsaukties uz Furjē sērija(sīkāku informāciju skatīt).
Tādējādi 4. mezglā ģenerē svēršanu frekvenču domēnā un paraugu ņemšanu laika domēnā diskrēta laika konvertēšana Furjē transformācija (FTFT), ko raksturo periodiska spektra funkcija frekvenču domēnā ar periodu 1/T Hz:

(22)

(23)

Ņemiet vērā, ka izteiksme (22) definē noteiktu periodisku funkciju, kas sakrīt ar sākotnējo pārveidoto funkciju, kas norādīta mezglā 1, tikai frekvenču diapazonā no -1/2T līdz 1/2T Hz. Izteiksme (22) ir saistīta ar diskrētās secības x[n] Z-transformāciju ar relāciju

(24)

Tātad DVFT ir vienkārši Z-transformācija, kas aprēķināta uz vienības apļa un reizināta ar T.
Ja pārejam no 1. mezgla uz 8. mezglu 2. attēlā pa apakšējo zaru, tad 5. mezglā svēršanas darbības laika domēnā (ierobežojot signāla ilgumu) un iztveršanu frekvenču diapazonā ģenerē nepārtraukta laika Furjē sēriju (CFTS). ). Izmantojot 1. un 2. tabulā dotās funkciju īpašības un definīcijas, iegūstam šādu pārveidojumu pāri
(25)
(26)

Ņemiet vērā, ka izteiksme (26) definē noteiktu periodisku funkciju, kas sakrīt ar sākotnējo (mezglā 1) tikai laika intervālā no 0 līdz NT.
Neatkarīgi no tā, kura no divām četru darbību secībām ir izvēlēta, gala rezultāts mezglā 8 būs vienāds - diskrēta laika Furjē sērija, kas atbilst sekojošam pārveidojumu pārim, kas iegūts, izmantojot 1. tabulā norādītās īpašības.

, (27)

kur k=-N/2, . . . ,N/2-1

, (28)

kur n=0, . . . ,N-1,
Enerģijas teorēma šim DVRF ir:

, (29)

un raksturo N datu paraugu virknes enerģiju. Abas sekvences x[n] un X[k] ir periodiskas moduļa N, tāpēc (28) var uzrakstīt formā

, (30)

kur 0 n N. Koeficients T (27) - (30) ir nepieciešams, lai (27) un (28) faktiski būtu integrāļa transformācijas tuvinājums integrācijas jomā

.(31)

Nulles polsterējums

Izmantojot procesu, ko sauc polsterējums ar nullēm, diskrētā laika Furjē sēriju var modificēt, lai interpolētu starp sākotnējās transformācijas N vērtībām. Papildināsim pieejamos datu paraugus x,...,x ar nulles vērtībām x[N],...X. Šīs nulles polsterētās 2N punktu datu secības DVRF nodrošinās ar

(32)

kur labās puses summas augšējā robeža ir modificēta, lai pielāgotos nulles datu klātbūtnei. Lai k=2m, tātad

, (33)

kur m=0,1,...,N-1, definē X[k] pāra vērtības. Tas parāda, ka indeksa k vienmērīgām vērtībām 2N punktu diskrētā laika Furjē rinda tiek reducēta uz N punktu diskrēta laika rindu. Indeksa k nepāra vērtības atbilst interpolētajām DVRF vērtībām, kas atrodas starp sākotnējā N-punkta DVRF vērtībām. Tā kā sākotnējai N-punktu secībai tiek pievienotas arvien jaunas nulles, var iegūt vēl vairāk interpolētu datu. Ierobežojošā bezgalīga skaita ievades nulles gadījumā DVRF var uzskatīt par N-punktu datu secības diskrēta laika Furjē transformāciju:

. (34)

Transformācija (34) atbilst 6. mezglam 2. attēlā.
Pastāv nepareizs uzskats, ka nulles polsterējums uzlabo izšķirtspēju, jo palielina datu secības garumu. Taču, kā izriet no 3. att., polsterējums ar nullēm neuzlabojas transformācijas izšķirtspēja, kas iegūta no noteiktas ierobežotas datu secības. Nulles polsterējums vienkārši ļauj veikt interpolētu konversiju gludāka forma. Turklāt tas novērš neskaidrības, ko izraisa šaurjoslas signāla komponentu klātbūtne, kuru frekvences atrodas starp N punktiem, kas atbilst sākotnējās DVRF aplēstajām frekvencēm. Polsterējot ar nullēm, palielinās arī spektrālo pīķu frekvences novērtējuma precizitāte. Ar terminu spektrālā izšķirtspēja mēs domāsim spēju atšķirt divu harmonisko signālu spektrālās reakcijas. Vispārpieņemts īkšķis, ko bieži izmanto spektrālajā analīzē, ir tāds, ka atšķirīgo sinusoīdu frekvences atdalīšana nevar būt mazāka par ekvivalents loga platums, caur kuru tiek novēroti šo sinusoīdu segmenti (sekcijas).

3. att. Interpolācija, izmantojot nulles polsterējumu:
a - DVRF modulis 16 punktu datu ierakstīšanai, kas satur trīs sinusoīdus bez polsterējuma ar nullēm (ir redzamas nenoteiktības: nav iespējams pateikt, cik sinusoīdu ir signālā - divi, trīs vai četri);
b - tādas pašas secības DVRF modulis pēc tā paraugu skaita dubultošanas, pievienojot 16 nulles (nenoteiktības tiek atrisinātas, jo ir atšķirami visi trīs sinusoīdi;
c - tādas pašas secības DVRF modulis pēc četrkārtīga tā paraugu skaita pieauguma nulles pievienošanas dēļ.

Līdzvērtīgu loga joslas platumu var definēt kā
kur W(f) ir loga funkcijas diskrēta laika Furjē transformācija, piemēram, taisnstūrveida (5). Līdzīgi jūs varat ievadīt līdzvērtīgs loga ilgums

Var parādīt, ka loga (vai jebkura cita signāla) ekvivalentais ilgums un tā transformācijas ekvivalentais joslas platums ir savstarpēji apgriezti lielumi: TeBe=1.

Ātrā Furjē transformācija

Ātrā Furjē transformācija (FFT) nav vēl viens Furjē transformācijas veids, bet gan vairāku efektīvu veidu nosaukums. algoritmi, paredzēts ātrai diskrēta laika Furjē sērijas aprēķināšanai. Galvenā problēma, kas rodas DVRF praktiskajā ieviešanā, ir lielais skaitļošanas operāciju skaits, kas ir proporcionāls N2. Lai gan ilgi pirms datoru parādīšanās tika piedāvātas vairākas efektīvas skaitļošanas shēmas, kas varētu ievērojami samazināt skaitļošanas operāciju skaitu, īstu revolūciju radīja 1965. gadā publicētais Kūlija un Tūkija raksts ar praktisku algoritmu ātrai (operāciju skaits). Nlog 2 N) DVRF aprēķini. Pēc tam tika izstrādāti daudzi pamatidejas varianti, uzlabojumi un papildinājumi, veidojot algoritmu klasi, kas pazīstama kā ātrā Furjē transformācija. FFT pamatideja ir sadalīt N-punktu DVRF divos vai vairākos mazākos DVRF, no kuriem katru var aprēķināt atsevišķi un pēc tam lineāri summēt ar pārējiem, lai iegūtu sākotnējās N-punktu secības DVRF.
Atveidosim diskrēto Furjē transformāciju (DFFT) formā

, (35)

kur vērtību W N =exp(-j2 /N) sauc par pagrieziena koeficientu (turpmāk šajā sadaļā izlases periods ir T=1). Atlasīsim elementus ar pāra un nepāra skaitļiem no secības x[n]

. (36)

Bet kopš tā laika
. Tāpēc (36) var rakstīt formā

, (37)

kur katrs vārds ir transformācija ar garumu N/2

(38)

Ņemiet vērā, ka secība (WN/2) nk ir periodiska k ar periodu N/2. Tāpēc, lai gan skaitlim k izteiksmē (37) ir vērtības no 0 līdz N-1, katra no summām tiek aprēķināta k vērtībām no 0 līdz N/2-1. Ir iespējams novērtēt Furjē transformācijas aprēķināšanai nepieciešamo komplekso reizināšanas un saskaitīšanas operāciju skaitu saskaņā ar algoritmu (37)-(38). Divas N/2 punktu Furjē transformācijas saskaņā ar formulām (38) ietver 2(N/2) 2 reizināšanu un aptuveni tādu pašu saskaitījumu skaitu. Apvienojot divas N/2 punktu transformācijas, izmantojot formulu (37), ir vajadzīgas vēl N reizināšanas un N saskaitīšanas reizes. Tāpēc, lai aprēķinātu Furjē transformāciju visām k N vērtībām, ir jāveic N+N 2 /2 reizināšanas un saskaitīšanas. Tajā pašā laikā tiešajam aprēķinam, izmantojot formulu (35), ir nepieciešams N 2 reizināt un saskaitīt. Jau N>2 nevienādība N+N 2 /2 ir izpildīta< N 2 , и, таким образом, вычисления по алгоритму (37)-(38) требуют меньшего числа математических операций по сравнению с прямым вычислением преобразования Фурье по формуле (35). Так как вычисление N-точечного преобразования Фурье через два N/2-точечных приводит к экономии вычислительных операций, то каждое из N/2-точечных ДПФ следует вычислять путем сведения их к N/4-точечным преобразованиям:

, (39)
(40)

Šajā gadījumā, ņemot vērā secības W nk N/4 periodiskumu k ar periodu N/4, summas (40) ir jāaprēķina tikai k vērtībām no 0 līdz N/4-1. Tāpēc, lai aprēķinātu secību X[k], izmantojot formulas (37), (39) un (40), ir vajadzīgas, kā to ir viegli aprēķināt, jau 2N+N 2 /4 reizināšanas un saskaitīšanas darbības.
Sekojot šim ceļam, aprēķinu X[k] apjomu var samazināt arvien vairāk. Pēc m=log 2 N izvērsumiem nonākam pie formas divpunktu Furjē transformācijām

(41)

kur "viena punkta transformācijas" X 1 ir vienkārši signāla x[n] paraugi:

X 1 = x[q]/N, q=0,1,...,N-1. (42)

Rezultātā mēs varam uzrakstīt FFT algoritmu, kas acīmredzamu iemeslu dēļ tiek saukts laika retināšanas algoritms :

X 2 = (x[p] + W k 2 x)/N,

kur k=0,1, p=0,1,...,N/2 -1;

X 2N/M = X N/M + W k 2N/M X N/M ,

kur k=0,1,...,2N/M-1, p=0,1,...,M/2-1;

X[k] = X N [k] = X N/2 + W k N X N/2, (43)

kur k=0,1,...,N-1

Katrā aprēķinu posmā tiek veiktas N kompleksās reizināšanas un saskaitīšanas. Un tā kā sākotnējās sekvences sadalīšanas skaits pusgarās apakšsekvencēs ir vienāds ar log 2 N, tad kopējais reizināšanas-saskaitīšanas operāciju skaits FFT algoritmā ir vienāds ar Nlog 2 N. Lielam N ir ievērojams ietaupījums skaitļošanas operācijās, salīdzinot ar tiešiem DFT aprēķiniem. Piemēram, ja N = 2 10 = 1024, darbību skaits tiek samazināts 117 reizes.
Mūsu aplūkotais laika decimēšanas FFT algoritms ir balstīts uz Furjē transformācijas aprēķināšanu, veidojot ievades secības x[n] apakšsecības. Tomēr ir iespējams izmantot arī Furjē transformācijas X[k] apakšsecības dekompozīcijas. FFT algoritmu, kas balstīts uz šo procedūru, sauc par c biežuma retināšana. Jūs varat lasīt vairāk par ātro Furjē transformāciju, piemēram, in.

Nejauši procesi un jaudas spektrālais blīvums

Diskrēts nejaušs process x var uzskatīt par noteiktu reālu vai sarežģītu diskrētu laika (vai telpisku) secību kopu vai kopu, no kurām katru var novērot kāda eksperimenta rezultātā (n ir laika indekss, i ir novērojuma skaitlis). Viena novērojuma rezultātā iegūtā secība tiks apzīmēta ar x[n]. Vidējā ansambļa aprēķināšanas darbība (t.i. statistiskā vidējā aprēķināšana) apzīmē operators<>. Tādējādi - nejaušā procesa x[n] vidējā vērtība brīdī n. Autokorelācija nejaušu procesu divos dažādos laikos n1 un n2 nosaka izteiksme r xx = .

Nejaušs process tiek saukts par stacionāru plašā nozīmē, ja tā vidējā vērtība ir nemainīga (neatkarīga no laika), un autokorelācija ir atkarīga tikai no laika indeksu starpības m=n1-n2 (laika nobīde vai aizkave starp paraugiem). Tādējādi plaši stacionāram diskrētam nejaušam procesam x[n] ir raksturīga nemainīga vidējā vērtība =Un autokorelācijas secība(automātiskā pārnesumkārba)

r xx [m] =< xx*[n] >. (44)

Ņemsim vērā šādas automātiskās pārnesumkārbas īpašības:

r xx |r xx [m]| , r xx [-m] = r* xx [m] , (45)

kas ir spēkā visiem m.
Jaudas spektrālais blīvums (PSD) ir definēts kā autokorelācijas secības diskrēta laika Furjē transformācija (DTFT).

. (46)

PSD, kura platums tiek pieņemts ierobežots līdz ±1/2T Hz, ir periodiska frekvences funkcija ar periodu 1/T Hz. Funkcija PSD apraksta nejauša procesa jaudas frekvences sadalījumu. Lai apstiprinātu tam izvēlēto nosaukumu, apsveriet apgriezto DVFT

(47)

aprēķināts pie m=0

(48)

Autokorelācija pie nulles nobīdes raksturo vidējā jauda nejaušs process. Saskaņā ar (48) laukums zem līknes P xx (f) raksturo vidējo jaudu, tāpēc P xx (f) ir blīvuma funkcija (jauda uz frekvences vienību), kas raksturo jaudas frekvences sadalījumu. Pārveidojumu pāri (46) un (47) bieži sauc Vīnera-Hinčina teorēma diskrēta laika gadījumā. Tā kā r xx [-m]=r* xx [m], tad PSD ir jābūt stingri reālai pozitīvai funkcijai. Ja ACP ir stingri reāla funkcija, tad r xx [-m]=r xx [m] un PSD var ierakstīt Furjē kosinusa transformācijas formā

,

kas arī nozīmē, ka P xx (f) = P xx (-f), t.i. SPM ir vienmērīga funkcija.
Līdz šim, nosakot nejauša procesa vidējo vērtību, korelāciju un jaudas spektrālo blīvumu, mēs izmantojām statistisko vidējo noteikšanu visā ansamblī. Tomēr praksē parasti nav iespējams iegūt vajadzīgā procesa realizāciju kopumu, no kura varētu aprēķināt šos statistiskos raksturlielumus. Visas statistiskās īpašības vēlams novērtēt, izmantojot vienu parauga realizāciju x(t), aizstājot y ansambļa vidējais laiks vidējais. Īpašību, kas ļauj veikt šādu nomaiņu, sauc par ergoditāti. Nejaušs process tiek uzskatīts par ergodisku, ja ar varbūtību, kas vienāda ar vienu, visus tā statistiskos raksturlielumus var paredzēt no vienas ansambļa realizācijas, izmantojot laika vidējo. Citiem vārdiem sakot, gandrīz visu iespējamo procesa realizāciju laika vidējie lielumi saplūst ar varbūtību vienu uz to pašu nemainīgo vērtību - ansambļa vidējo

. (49)

Šis ierobežojums, ja tāds pastāv, tuvojas patiesajam vidējam tad un tikai tad, ja vidējā laika novirze tiecas uz nulli, kas nozīmē, ka spēkā ir šāds nosacījums:

. (50)

Šeit c xx [m] ir procesa x[n] kovariācijas patiesā vērtība.
Tāpat, novērojot procesa paraugu x[n] reizinājuma vērtību divos laika punktos, var sagaidīt, ka vidējā vērtība būs vienāda ar

(51)

Ergodicitātes pieņēmums ļauj mums ne tikai, veicot vidējo vērtību, ieviest vidējās un autokorelācijas definīcijas, bet arī sniegt līdzīgu jaudas spektrālā blīvuma definīciju.

. (52)

Šo līdzvērtīgo PSD formu iegūst, statistiski vidējo svērto datu kopas DVFT moduli dalītu ar datu ieraksta garumu gadījumā, ja paraugu skaits palielinās līdz bezgalībai. Šeit ir nepieciešama statistiskā vidējā aprēķināšana, jo pats DVFT ir nejaušs mainīgais, kas mainās katrā x[n] realizācijā. Lai parādītu, ka (52) ir ekvivalents Vīnera-Khinčina teorēmai, mēs attēlojam DVFT moduļa kvadrātu kā divu sēriju reizinājumu un mainām summēšanas un statistiskās vidējās noteikšanas darbību secību:

(53)

Izmantojot slaveno izteicienu

, (54)

sakarību (53) var reducēt uz šādu:

(55)

Ņemiet vērā, ka pēdējā atvasināšanas posmā (55) tika izmantots pieņēmums, ka autokorelācijas secība “sairst”, lai

. (56)

Saistība starp divām PSD definīcijām (46) un (52) ir skaidri parādīta diagrammā, kas parādīta 4. attēlā.
Ja izteiksmē (52) mēs neņemam vērā matemātiskās gaidas darbību, mēs iegūstam SPM novērtējumu

, (57)

ko sauc paraugu spektrs.

Rīsi. 4. Saistība starp divām jaudas spektrālā blīvuma novērtēšanas metodēm

Spektrālās novērtēšanas periodogrammas metode

Iepriekš mēs ieviesām divas formālas līdzvērtīgas metodes jaudas spektrālā blīvuma (PSD) noteikšanai. Netiešā metode ir balstīta uz bezgalīgas datu secības izmantošanu, lai aprēķinātu autokorelācijas secību, kuras Furjē transformācija dod vēlamo PSD. Tiešā metode PSD noteikšanai ir balstīta uz Furjē transformācijas kvadrātā moduļa aprēķināšanu bezgalīgai datu secībai, izmantojot atbilstošu statistisko vidējo aprēķinu. PSD, kas iegūts bez šādas vidējās noteikšanas, izrādās neapmierinošs, jo šāda novērtējuma vidējā kvadrātiskā kļūda ir salīdzināma ar tā vidējo vērtību. Tagad mēs apsvērsim vidējās metodes, kas nodrošina vienmērīgus un statistiski stabilus spektra aprēķinus ierobežotam paraugu skaitam. VPD aplēses, kas balstītas uz tiešu datu transformāciju un sekojošu vidējo aprēķinu, sauc par periodogrammām. Tiek izsaukti PSD aprēķini, kuriem korelācijas aplēses vispirms tiek veidotas no sākotnējiem datiem korelogramma. Izmantojot jebkuru PSD aplēses metodi, lietotājam ir jāpieņem daudzi kompromisu lēmumi, lai iegūtu statistiski stabilus spektrālos aprēķinus ar augstāko iespējamo izšķirtspēju no ierobežota skaita paraugu. Šie kompromisi ietver (bet ne tikai) datu svēršanas un korelācijas aprēķinu loga izvēli, kā arī laika domēna un frekvences domēna vidējās noteikšanas parametrus, kas līdzsvaro prasības sānu daivu samazināšanai svēršanas dēļ, efektīvas vidējās noteikšanas veikšanai un nodrošinot pieņemamu spektrālo izšķirtspēju. Attēlā 5 ir diagramma, kurā parādīti galvenie posmi periodogramma metodi

Rīsi. 5. PSD novērtēšanas galvenie posmi, izmantojot periodogrammas metodi

Metodes pielietošana sākas ar N datu paraugu savākšanu, kas tiek ņemti ar T sekunžu intervālu katram paraugam, kam seko (pēc izvēles) tendenču samazināšanas solis. Lai iegūtu statistiski stabilu spektrālo novērtējumu, pieejamie dati ir jāsadala segmentos, kas pārklājas (ja iespējams), un pēc tam katram šādam segmentam iegūto paraugu spektru vidējā vērtība. Šīs vidējās vērtības noteikšanas parametri tiek mainīti, atbilstoši izvēloties paraugu skaitu segmentā (NSAMP) un paraugu skaitu, par kuriem jāpārvieto nākamā segmenta sākums (NSHIFT), sk. 6. Segmentu skaits tiek izvēlēts atkarībā no spektrālā novērtējuma nepieciešamās gluduma (dispersijas) pakāpes un nepieciešamās spektrālās izšķirtspējas. Neliela NSAMP parametra vērtība rada vairāk segmentu, kuros tiks veikta vidējā vērtība, un tādējādi tiks iegūti aprēķini ar mazāku dispersiju, bet arī mazāku frekvences izšķirtspēju. Segmenta garuma palielināšana (NSAMP parametrs) palielina izšķirtspēju, protams, tāpēc, ka palielinās aplēses dispersija mazāka vidējo rādītāju skaita dēļ. Atgriešanās bultiņa 5. attēlā norāda uz nepieciešamību veikt vairākas atkārtotas datu caurlaides dažādos garumos un segmentu skaitā, kas ļauj iegūt vairāk informācijas par pētāmo procesu.

6. att. Datu sadalīšana segmentos, lai aprēķinātu periodogrammu

Logs

Viens no svarīgākajiem jautājumiem, kas ir kopīgs visām klasiskajām spektrālās novērtēšanas metodēm, ir saistīts ar datu svēršanu. Logu veidošana tiek izmantota, lai kontrolētu blakus lāpstiņas efektus spektrālos aprēķinos. Ņemiet vērā, ka ir ērti uzskatīt esošo galīgo datu ierakstu par daļu no atbilstošās bezgalīgās secības, kas redzama caur lietoto logu. Tādējādi novēroto datu secību x 0 [n] no N paraugiem var matemātiski uzrakstīt kā bezgalīgas secības x[n] un taisnstūra loga funkcijas reizinājumu.

X 0 [n]=x[n] taisnais[n].
Tas rada acīmredzamu pieņēmumu, ka visi nenovērotie paraugi ir vienādi ar nulli neatkarīgi no tā, vai tas tā ir. Svērtās secības diskrēta laika Furjē transformācija ir vienāda ar secības x[n] un taisnstūra loga taisnstūra[n] pārveidojumu konvolūciju.

X 0 (f)=X(f)*D N (f) , kur
D N (f) = Texp(-j2pfT)sin(pfTN)/sin(pfT).

Funkcija D N (f), ko sauc par diskrēto sinc funkciju jeb Dirihleta kodolu, ir taisnstūra funkcijas DCFT. Novērotas ierobežotas secības transformācija ir bezgalīgas secības transformācijas izkropļota versija. Taisnstūra loga ietekme uz diskrēta laika sinusoīdu ar frekvenci f 0 ir parādīta 7. attēlā.

7. att. Diskrētā laika Furjē transformācijas novirzes ilustrācija noplūdes dēļ datu svēršanas dēļ: a, b - sākotnējās un svērtās secības; b, d - to Furjē transformācijas.

No attēla var redzēt, ka bezgalīgās sinusoidālās viļņu secības DTFT asās spektrālās virsotnes tiek paplašinātas, pateicoties konvolūcijai ar loga transformāciju. Tādējādi loga svērtās secības spektrālo maksimumu minimālo platumu nosaka šī loga galvenās transformācijas daivas platums, un tas nav atkarīgs no datiem. Sānu daivas logu transformācijas mainīs blakus esošo spektrālo pīķu amplitūdas (dažreiz sauktas par caurplūdēm). Tā kā DVFT ir periodiska funkcija, blakus periodu sānu daivu superpozīcija var izraisīt papildu novirzes. Palielinot paraugu ņemšanas biežumu, tiek samazināts sānu daivas aliasing efekts. Līdzīgi kropļojumi, protams, tiks novēroti nesinusoidālu signālu gadījumā. Asiņošana ne tikai rada amplitūdas kļūdas diskrētu signālu spektros, bet arī var maskēt klātbūtni vāji signāli. Var piedāvāt vairākas citas loga funkcijas, kas var samazināt sānu daiviņas salīdzinājumā ar taisnstūra logu. Sānu daivu līmeņa samazināšana samazinās spektrālā aplēses nobīdi, taču tas ir saistīts ar loga spektra galvenās daivas paplašināšanu, kas, protams, noved pie izšķirtspējas pasliktināšanās. Līdz ar to arī šeit ir jāizvēlas kāds kompromiss starp galvenās daivas platumu un sānu daivu līmeni. Logu kvalitātes novērtēšanai tiek izmantoti vairāki parametri. Tradicionālais rādītājs ir galvenās daivas joslas platums ar pusi jaudas. Otrais rādītājs ir līdzvērtīgs joslas platums, kas tika ieviests iepriekš. Sānu daivu īpašību novērtēšanai tiek izmantoti arī divi indikatori. Pirmais ir to maksimālais līmenis, otrais ir sabrukšanas ātrums, kas raksturo ātrumu, ar kādu sānu daivas samazinās līdz ar attālumu no galvenās daivas. 3. tabulā parādītas dažu bieži lietotu diskrēta laika loga funkciju definīcijas, bet 4. tabulā parādītas to īpašības.
3. tabula. Tipisku N punktu diskrētā laika logu definīcijasMaks. sānu daivas līmenis, dB -31,5

. (46)

Korelogrammas metode PSD novērtējums ir vienkārši aizvietot izteiksmē (46) ierobežotu vērtību secību autokorelācijas novērtējumam ( korelogrammas) nezināmu patieso autokorelācijas vērtību bezgalīgas secības vietā. Plašāku informāciju par spektrālās novērtēšanas korelogrammas metodi var atrast.

Literatūra

1. Rabiner L., Gould B. Digitālās signālu apstrādes teorija un pielietojums. M.: Mir, 1978.

2. Mārpls jaunākais. S.L. Digitālā spektrālā analīze un tās pielietojumi: Tulk. no angļu valodas -M.: Mir, 1990.

3. Goldbergs L.M., Matjuškins B.D., Poļaks M.N. Digitālā apstrāde signāli - M.: Radio un sakari, 1990.

4. Otnes R., Enokson L. Lietišķā laika rindu analīze - M.: Mir, 1982.

Spektrālā analīze

Spektrālā analīze ir plaša datu apstrādes metožu klase, kuras pamatā ir to frekvenču attēlojums jeb spektrs. Spektru iegūst, sākotnējo funkciju, kas ir atkarīga no laika (laikrindas) vai telpiskām koordinātām (piemēram, attēla), sadalot kādas periodiskas funkcijas pamatā. Visbiežāk spektrālajai apstrādei tiek izmantots Furjē spektrs, kas iegūts uz sinusa bāzes (Furjē sadalīšanās, Furjē transformācija).

Furjē transformācijas galvenā nozīme ir tāda, ka patvaļīgas formas sākotnējā neperiodiskā funkcija, kuru nevar aprakstīt analītiski un tāpēc ir grūti apstrādāt un analizēt, tiek attēlota kā sinusu vai kosinusu kopa ar dažādām frekvencēm, amplitūdām un sākuma vērtību. fāzes.

Citiem vārdiem sakot, sarežģīta funkcija tiek pārveidota par daudzām vienkāršākām. Katrs sinusa vilnis (vai kosinusa vilnis) ar noteiktu frekvenci un amplitūdu, kas iegūts Furjē izplešanās rezultātā, tiek saukts spektrālā sastāvdaļa vai harmonisks. Veidojas spektrālās sastāvdaļas Furjē spektrs.

Vizuāli Furjē spektrs ir parādīts diagrammas veidā, uz kura pa horizontālo asi ir attēlota apļveida frekvence, kas apzīmēta ar grieķu burtu “omega”, un spektrālo komponentu amplitūda, ko parasti apzīmē ar latīņu burtu A. , tiek attēlots pa vertikālo asi. Tad katru spektrālo komponenti var attēlot kā skaitli, pozīciju, kas horizontāli atbilst tās frekvencei, un augstumu – tās amplitūdu. Tiek saukta harmonika ar nulles frekvenci pastāvīga sastāvdaļa(laika attēlojumā tā ir taisna līnija).

Pat vienkārša spektra vizuālā analīze var daudz pastāstīt par tās funkcijas raksturu, uz kuras pamata tas tika iegūts. Ir intuitīvi skaidrs, ka straujas sākotnējo datu izmaiņas rada komponentus spektrā ar augsts frekvenci, un lēnos - ar zems. Tāpēc, ja tā komponentu amplitūda strauji samazinās, palielinoties frekvencei, tad sākotnējā funkcija (piemēram, laikrinda) ir gluda, un, ja spektrā ir augstfrekvences komponenti ar lielu amplitūdu, tad sākotnējā funkcija saturēs krasas svārstības. . Tādējādi laikrindai tas var norādīt uz lielu nejaušības komponentu, tajā aprakstīto procesu nestabilitāti vai trokšņa klātbūtni datos.

Spektrālās apstrādes pamatā ir spektra manipulācijas. Patiešām, ja samazina (nomāc) augstfrekvences komponentu amplitūdu un pēc tam, pamatojoties uz mainīto spektru, atjauno sākotnējo funkciju, veicot apgrieztu Furjē transformāciju, tad tas kļūs vienmērīgāks augstfrekvences noņemšanas dēļ. komponents.

Piemēram, laika rindai tas nozīmē, ka ir jānoņem informācija par ikdienas pārdošanu, kas ir ļoti jutīga pret nejaušiem faktoriem, un jāatstāj konsekventākas tendences, piemēram, sezonalitāte. Gluži pretēji, jūs varat nomākt zemfrekvences komponentus, kas noņems lēnas izmaiņas un atstās tikai ātras. Laikrindas gadījumā tas nozīmēs sezonālās komponentes nomākšanu.

Šādā veidā izmantojot spektru, jūs varat sasniegt vēlamās izmaiņas sākotnējos datos. Visbiežāk izmanto laika rindu izlīdzināšanai, noņemot vai samazinot spektra augstfrekvences komponentu amplitūdu.

Lai manipulētu ar spektriem, tiek izmantoti filtri - algoritmi, kas var kontrolēt spektra formu, nomākt vai uzlabot tā sastāvdaļas. Galvenā īpašums jebkura filtru ir tā amplitūdas-frekvences reakcija (AFC), kuras forma nosaka spektra transformāciju.

Ja filtrs šķērso tikai spektrālos komponentus, kuru frekvence ir zem noteiktas robežfrekvences, tad to sauc par zemas caurlaidības filtru (LPF), un to var izmantot, lai izlīdzinātu datus, attīrītu tos no trokšņiem un anomālām vērtībām.

Ja filtrs šķērso spektrālos komponentus virs noteiktas robežfrekvences, to sauc par augstas caurlaidības filtru (HPF). To var izmantot, lai apspiestu lēnas izmaiņas, piemēram, sezonalitāti datu sērijās.

Turklāt tiek izmantoti daudzi citi filtru veidi: vidējas caurlaidības filtri, apturēšanas filtri un joslas caurlaides filtri, kā arī sarežģītākas, kuras izmanto signālu apstrādē radioelektronikā. Veida un formas izvēle frekvences reakcija filtru, jūs varat sasniegt vēlamo sākotnējo datu transformāciju, izmantojot spektrālo apstrādi.

Veicot datu frekvenču filtrēšanu, lai izlīdzinātu un noņemtu troksni, ir pareizi jānorāda zemas caurlaidības filtra joslas platums. Ja izvēlaties to pārāk augstu, izlīdzināšanas pakāpe nebūs pietiekama, un troksnis netiks pilnībā apslāpēts. Ja tas ir par šauru, tad līdz ar troksni ienes arī izmaiņas noderīga informācija. Ja iekšā tehniskajiem lietojumiem Filtru optimālo raksturlielumu noteikšanai ir stingri kritēriji, tad analītiskajās tehnoloģijās nepieciešams izmantot galvenokārt eksperimentālās metodes.

Spektrālā analīze ir viena no efektīvākajām un attīstītākajām datu apstrādes metodēm. Frekvences filtrēšana ir tikai viens no daudzajiem lietojumiem. Turklāt to izmanto korelācijas un statistiskajā analīzē, signālu un funkciju sintēzē, modeļu veidošanā utt.

Analīzes metodes pamatā bija tā sauktā Furjē sērija. Sērija sākas ar sarežģītu formu sadalīšanu vienkāršās. Furjē parādīja, ka sarežģītu viļņu formu var attēlot kā vienkāršu viļņu summu. Parasti vienādojumus, kas apraksta klasiskās sistēmas, var viegli atrisināt katram no šiem vienkāršajiem viļņiem. Turklāt Furjē parādīja, kā šie vienkāršus risinājumus var apkopot, lai iegūtu risinājumu visai sarežģītai problēmai kopumā. (Matemātiski runājot, Furjē rinda ir metode, kas attēlo funkciju kā harmoniku - sinusa un kosinusu summu, tāpēc Furjē analīzi sauca arī par "harmonisko analīzi".)

Saskaņā ar Furjē hipotēzi, nav tādas funkcijas, ko nevarētu izvērst trigonometriskā rindā. Apskatīsim, kā šo sadalīšanu var veikt. Apsveriet šādu ortonormālo funkciju sistēmu intervālā [–π, π]: (1, cos(t),
grēks (t),
cos (2t),
grēks (2t),
cos (3t),
grēks(3t), …,
cos(nt),
grēks(nt),... ).

Vadoties pēc tā, ka šī sistēma funkcija ir ortonormāla, funkciju f(t) intervālā [π, –π] var tuvināt šādi:

f(t) = α0 + α1
cos(t) + α2
cos(2t) +
α3 cos(3t) + …

... + β1
sin(t) + β2
sin(2t) + β3
grēks(3t)+… (6)

Koeficientus α n, β n aprēķina, izmantojot funkcijas un bāzes funkcijas skalāro reizinājumu saskaņā ar iepriekš apspriestajām formulām, un tos izsaka šādi:

α 0 = , 1> =
,

α n = , cos(nt) > =
,

β n = , sin(nt) > =
.

Izteiksmi (6) var uzrakstīt saspiestā formā šādi:

f(t) = a 0/2 + a 1 cos(t) + a 2 cos(2t) + a 3 cos(3t) + …

B 1 grēks(t) + b 2 grēks(2t) + b 3 grēks(3t)+… (7)

a 0 = 2α 0 =
,

un n =
α n =
, (8)

b n=
β n=
. (9)

Tā kā pie n = 0 cos(0) = 1, konstante a 0 /2 izsaka vispārējā forma koeficients a n, ja n = 0.

Koeficientus a n un b n sauc par Furjē koeficientiem, bet funkcijas f(t) attēlojumu pēc formulas (7) sauc par Furjē sērijas izvēršanu. Dažreiz Furjē sērijas paplašinājumu, kas parādīts šajā formā, sauc par īstu Furjē sērijas izplešanos, un koeficientus sauc par reālajiem Furjē koeficientiem. Termins “īsts” ir ieviests, lai atšķirtu šo sadalīšanos no sarežģītas sadalīšanās.

Analizēsim izteiksmes (8) un (9). Koeficients 0 apzīmē funkcijas f(t) vidējo vērtību segmentā [–π,π] vai signāla konstanto komponentu f(t). Koeficientia n un b n (pie n> 0) ir funkcijas (signāla) f(t) kosinusa un sinusa komponentu amplitūdas ar leņķisko frekvenci, kas vienāda ar n. Citiem vārdiem sakot, šie koeficienti nosaka signālu frekvences komponentu lielumu. Piemēram, ja mēs runājam par zemfrekvences skaņas signālu (piemēram, basģitāras skaņu), tas nozīmē, ka koeficienti a n un b n ir lielāki mazākām n vērtībām un otrādi - augstiem. frekvences skaņas vibrācijas (piemēram, vijoles skaņa) tās ir lielākas lielākām n vērtībām.

Garākā perioda (vai zemākās frekvences) svārstības, ko attēlo a 1 cos(t) un b 1 sin(t) summa, sauc par pamatfrekvences vai pirmās harmonikas svārstībām. Svārstības ar periodu, kas vienāds ar pusi no pamatfrekvences perioda, ir otrā harmonika, svārstības ar periodu, kas vienāds ar 1/n no pamatfrekvences, ir n-harmonika. Tādējādi, izmantojot funkcijas f(t) paplašināšanu Furjē sērijā, mēs varam veikt pāreju no laika domēna uz frekvenču domēnu. Šī pāreja parasti ir nepieciešama, lai identificētu signāla pazīmes, kas ir “neredzamas” laika domēnā.

Lūdzu, ņemiet vērā, ka formulas (8) un (9) ir piemērojamas periodiskam signālam ar periodu, kas vienāds ar 2π. Vispārīgā gadījumā periodisku signālu ar periodu T var izvērst Furjē sērijā, tad izvēršanā izmanto segmentu [–T/2, T/2]. Pirmās harmonikas periods ir vienāds ar T un komponenti ir formā cos(2πt/T) un sin(2πt/T), n-harmonikas komponenti ir cos(2πtn/T) un sin(2πtn/T). ).

Funkciju f(t) intervālā [–T/2,T/2] var tuvināt šādi:

f(t) = a 0/2 + a 1 cos(2πt/T) + a 2 cos(4πt/T) + a 3 cos(6πt/T) + …

B 1 sin(2πt/T) + b 2 sin(4πt/T) + b 3 sin(6πt/T)+…, (10)

a n =
,

b n=
.

Ja pirmās harmonikas leņķisko frekvenci apzīmējam kā ω 0 = 2π/T, tad n-harmoniskās sastāvdaļas iegūst formu cos(ω 0 nt), sin(ω 0 nt) un

f(t) = a 0/2 + a 1 cos(ω 0 t) + a 2 cos(2ω 0 t) + a 3 cos(3ω 0 t) + …

B 1 sin(ω 0 t) + b 2 sin(2ω 0 t) + b 3 sin(3ω 0 t)+…=

=
, (11)

kur Furjē koeficientus aprēķina, izmantojot šādas formulas:

a n =
,

b n =
.

Jebkuru sarežģītas formas vilni var attēlot kā vienkāršu viļņu summu.

Džozefs Furjē vēlējās matemātiskā izteiksmē aprakstīt, kā siltums iziet cauri cietiem objektiem ( cm. Siltuma apmaiņa). Viņa interese par siltumu, iespējams, radās, atrodoties Ziemeļāfrikā: Furjē pavadīja Napoleonu franču ekspedīcijā uz Ēģipti un kādu laiku tur dzīvoja. Lai sasniegtu savu mērķi, Furjē bija jāizstrādā jaunas matemātiskās metodes. Viņa pētījumu rezultāti tika publicēti 1822. gadā darbā “Siltuma analītiskā teorija” ( Théorie analytique de la chaleur), kur viņš paskaidroja, kā analizēt sarežģītas fiziskas problēmas, sadalot tās vienkāršāku problēmu sērijā.

Analīzes metode balstījās uz t.s Furjē sērija. Saskaņā ar interferences principu sērija sākas ar sarežģītas formas sadalīšanos vienkāršās - piemēram, zemes virsmas izmaiņas tiek izskaidrotas ar zemestrīci, komētas orbītas izmaiņas - ar ietekmi. Vairāku planētu pievilkšanās dēļ siltuma plūsmas izmaiņas ir saistītas ar tā izeju cauri neregulāras formas šķērslim, kas izgatavots no siltumizolējoša materiāla. Furjē parādīja, ka sarežģītu viļņu formu var attēlot kā vienkāršu viļņu summu. Parasti vienādojumus, kas apraksta klasiskās sistēmas, var viegli atrisināt katram no šiem vienkāršajiem viļņiem. Pēc tam Furjē parādīja, kā šos vienkāršos risinājumus var apkopot, lai sniegtu risinājumu visai sarežģītajai problēmai. (Matemātiski runājot, Furjē rinda ir metode, kas attēlo funkciju kā harmoniku — sinusa un kosinusa viļņu summu, tāpēc Furjē analīzi sauca arī par “harmonisko analīzi”.)

Pirms datoru parādīšanās divdesmitā gadsimta vidū Furjē metodes un līdzīgas metodes bija labākais ierocis zinātniskajā arsenālā, uzbrūkot dabas sarežģītībām. Kopš sarežģīto Furjē metožu parādīšanās zinātnieki ir spējuši tās izmantot, lai atrisinātu ne tikai vienkāršus uzdevumus, ko var atrisināt, tieši piemērojot Ņūtona mehānikas likumus un citus fundamentālos vienādojumus. Daudzi lielie Ņūtona zinātnes sasniegumi 19. gadsimtā faktiski nebūtu bijuši neiespējami bez Furjē aizsākto metožu izmantošanas. Pēc tam šīs metodes tika izmantotas dažādu jomu problēmu risināšanai – no astronomijas līdz mašīnbūvei.

Žans Batists Džozefs Fūrijs
Žans Batists Džozefs Furjē, 1768-1830

Franču matemātiķis. Dzimis Auxerre; deviņu gadu vecumā viņš palika bāreņos. Jau agrā vecumā viņš izrādīja spējas matemātikā. Furjē ieguva izglītību baznīcas skolā un militārajā skolā, pēc tam strādāja par matemātikas skolotāju. Visu mūžu viņš aktīvi iesaistījās politikā; 1794. gadā tika arestēts par terora upuru aizstāvēšanu. Pēc Robespjēra nāves viņš tika atbrīvots no cietuma; piedalījās slavenās Politehniskās skolas (Ecole Polytechnique) izveidē Parīzē; viņa amats nodrošināja viņam atspēriena punktu Napoleona režīma laikā. Viņš pavadīja Napoleonu uz Ēģipti un tika iecelts par Lejasēģiptes gubernatoru. Pēc atgriešanās Francijā 1801. gadā viņš tika iecelts par vienas provinces gubernatoru. 1822. gadā viņš kļuva par Francijas Zinātņu akadēmijas pastāvīgo sekretāru, kas ir ietekmīgs amats Francijas zinātnes pasaulē.