هر مشتق جزئی (توسط ایکسو توسط y) یک تابع از دو متغیر مشتق معمولی یک تابع از یک متغیر برای مقدار ثابت متغیر دیگر است:

(جایی که y= ثابت)،

(جایی که ایکس= ثابت).

بنابراین، مشتقات جزئی با استفاده از محاسبه می شوند فرمول ها و قوانین برای محاسبه مشتقات توابع یک متغیر، در حالی که متغیر دیگر ثابت را در نظر می گیریم.

اگر نیازی به تجزیه و تحلیل مثال ها و حداقل تئوری لازم برای این کار ندارید، بلکه فقط به یک راه حل برای مشکل خود نیاز دارید، به ادامه مطلب بروید ماشین حساب مشتق جزئی آنلاین .

اگر تمرکز کردن برای ردیابی جایی که ثابت در تابع است دشوار است، در حل پیش‌نویس مثال، به جای متغیری با مقدار ثابت، می‌توانید هر عددی را جایگزین کنید - سپس می‌توانید به سرعت مشتق جزئی را به عنوان محاسبه کنید. مشتق معمولی تابع یک متغیر. فقط باید به یاد داشته باشید که هنگام اتمام طراحی نهایی، ثابت (متغیر با مقدار ثابت) را به جای خود برگردانید.

ویژگی مشتقات جزئی که در بالا توضیح داده شد از تعریف مشتق جزئی که ممکن است در سؤالات امتحان ظاهر شود، ناشی می شود. بنابراین برای آشنایی با تعریف زیر می توانید مرجع نظری را باز کنید.

مفهوم تداوم عملکرد z= f(ایکس, y) در یک نقطه مشابه این مفهوم برای تابعی از یک متغیر تعریف شده است.

تابع z = f(ایکس, y) در یک نقطه اگر پیوسته نامیده می شود

تفاوت (2) را افزایش کل تابع می گویند z(در نتیجه افزایش هر دو آرگومان به دست می آید).

اجازه دهید تابع داده شود z= f(ایکس, y) و دوره

اگر تابع تغییر کند zزمانی اتفاق می افتد که فقط یکی از آرگومان ها تغییر کند، برای مثال، ایکس، با مقدار ثابتی از آرگومان دیگر y، سپس تابع یک افزایش دریافت می کند

افزایش جزئی تابع نامیده می شود f(ایکس, y) توسط ایکس.

در نظر گرفتن تغییر تابع zبسته به تغییر تنها یکی از آرگومان ها، به طور موثر به تابعی از یک متغیر تغییر می کنیم.

اگر حد محدودی وجود دارد

سپس مشتق جزئی تابع نامیده می شود f(ایکس, y) با استدلال ایکسو با یکی از نمادها نشان داده می شود

(4)

افزایش جزئی به طور مشابه تعیین می شود zتوسط y:

و مشتق جزئی f(ایکس, y) توسط y:

(6)

مثال 1.

راه حل. مشتق جزئی را با توجه به متغیر "x" پیدا می کنیم:

(yدرست شد)؛

مشتق جزئی را با توجه به متغیر "y" پیدا می کنیم:

(ایکسدرست شد).

همانطور که می بینید، فرقی نمی کند که تا چه حد متغیر ثابت باشد: در این مورد صرفاً یک عدد معین است که عاملی (مانند مشتق معمولی) متغیر است که با آن مشتق جزئی را پیدا می کنیم. . اگر متغیر ثابت در متغیری که مشتق جزئی را با آن می‌یابیم ضرب نشود، این ثابت تنها، بدون توجه به اینکه تا چه حد، مانند مشتق معمولی، از بین می‌رود.

مثال 2.یک تابع داده شده است

مشتقات جزئی را بیابید

(با X) و (توسط Y) و مقادیر آنها را در نقطه محاسبه کنید آ (1; 2).

راه حل. در ثابت yمشتق جمله اول به عنوان مشتق تابع توان یافت می شود ( جدول توابع مشتق یک متغیر):

.

در ثابت ایکسمشتق جمله اول به عنوان مشتق تابع نمایی و دومی - به عنوان مشتق یک ثابت است:

حال بیایید مقادیر این مشتقات جزئی را در نقطه محاسبه کنیم آ (1; 2):

می توانید راه حل مشکلات مشتق جزئی را در اینجا بررسی کنید ماشین حساب مشتق جزئی آنلاین .

مثال 3.مشتقات جزئی یک تابع را بیابید

راه حل. در یک مرحله پیدا می کنیم

(y ایکسگویی که برهان سینوس 5 است ایکس: به همین ترتیب، 5 قبل از علامت تابع ظاهر می شود).

(ایکسثابت است و در این مورد یک ضریب در است y).

می توانید راه حل مشکلات مشتق جزئی را در اینجا بررسی کنید ماشین حساب مشتق جزئی آنلاین .

مشتقات جزئی یک تابع از سه یا چند متغیر به طور مشابه تعریف می شوند.

اگر هر مجموعه از مقادیر ( ایکس; y; ...; تی) متغیرهای مستقل از مجموعه Dمربوط به یک مقدار خاص است تواز بسیاری E، آن توتابعی از متغیرها نامیده می شود ایکس, y, ..., تیو نشان دهند تو= f(ایکس, y, ..., تی).

برای توابع سه یا چند متغیر، هیچ تفسیر هندسی وجود ندارد.

مشتقات جزئی تابعی از چندین متغیر نیز با این فرض که فقط یکی از متغیرهای مستقل تغییر می کند، تعیین و محاسبه می شود، در حالی که بقیه ثابت هستند.

مثال 4.مشتقات جزئی یک تابع را بیابید

.

راه حل. yو zدرست شد:

ایکسو zدرست شد:

ایکسو yدرست شد:

خودتان مشتقات جزئی را پیدا کنید و سپس به راه حل ها نگاه کنید

مثال 5.

مثال 6.مشتقات جزئی یک تابع را بیابید.

مشتق جزئی تابعی از چندین متغیر یکسان است معنای مکانیکی همان مشتق تابع یک متغیر است، نرخ تغییر تابع نسبت به تغییر در یکی از آرگومان ها است.

مثال 8.مقدار کمی جریان پمسافران راه آهن را می توان با تابع بیان کرد

جایی که پ- تعداد مسافران، ن- تعداد ساکنان نقاط خبرنگار، آر- فاصله بین نقاط

مشتق جزئی یک تابع پتوسط آر، برابر

نشان می دهد که کاهش جریان مسافر با مجذور فاصله بین نقاط متناظر با تعداد ساکنین یکسان در نقاط نسبت معکوس دارد.

مشتق جزئی پتوسط ن، برابر

نشان می دهد که افزایش جریان مسافر متناسب با دو برابر تعداد ساکنان سکونتگاه ها در فاصله یکسان بین نقاط است.

می توانید راه حل مشکلات مشتق جزئی را در اینجا بررسی کنید ماشین حساب مشتق جزئی آنلاین .

دیفرانسیل کامل

حاصل ضرب یک مشتق جزئی و افزایش متغیر مستقل مربوطه را دیفرانسیل جزئی می گویند. دیفرانسیل های جزئی به صورت زیر نشان داده می شوند:

مجموع دیفرانسیل های جزئی برای همه متغیرهای مستقل، دیفرانسیل کل را نشان می دهد. برای تابعی از دو متغیر مستقل، دیفرانسیل کل با برابری بیان می شود

(7)

مثال 9.دیفرانسیل کامل یک تابع را پیدا کنید

راه حل. نتیجه استفاده از فرمول (7):

تابعی که در هر نقطه از یک دامنه معین دارای دیفرانسیل کلی باشد در آن حوزه قابل تمایز است.

دیفرانسیل کل را خودتان پیدا کنید و سپس به راه حل نگاه کنید

همانطور که در مورد یک تابع از یک متغیر، تمایزپذیری یک تابع در یک حوزه معین، مستلزم تداوم آن در این حوزه است، اما نه برعکس.

اجازه دهید بدون اثبات یک شرط کافی برای تمایزپذیری یک تابع را فرموله کنیم.

قضیه.اگر تابع z= f(ایکس, y) مشتقات جزئی پیوسته دارد

در یک منطقه معین، آنگاه در این ناحیه قابل تمایز است و دیفرانسیل آن با فرمول (7) بیان می شود.

می توان نشان داد که همانطور که در مورد تابعی از یک متغیر، دیفرانسیل تابع قسمت خطی اصلی افزایش تابع است، در مورد تابعی از چندین متغیر، دیفرانسیل کل اصلی، خطی با توجه به افزایش متغیرهای مستقل، بخشی از افزایش کل تابع.

برای تابعی از دو متغیر، افزایش کل تابع دارای شکل است

(8)

که در آن α و β در و بی نهایت کوچک هستند.

مشتقات جزئی مرتبه بالاتر

مشتقات و توابع جزئی f(ایکس, y) خود برخی از توابع متغیرهای مشابه هستند و به نوبه خود می توانند مشتقاتی نسبت به متغیرهای مختلف داشته باشند که به آنها مشتقات جزئی مرتبه بالاتر می گویند.

اجازه دهید تابع داده شود. از آنجایی که x و y متغیرهای مستقل هستند، یکی از آنها می تواند تغییر کند در حالی که دیگری مقدار خود را حفظ می کند. اجازه دهید به متغیر مستقل x یک افزایش بدهیم در حالی که مقدار y را بدون تغییر نگه داریم. سپس z یک افزایش دریافت می کند که به آن افزایش جزئی z نسبت به x می گویند و نشان داده می شود. بنابراین، .

به طور مشابه، افزایش جزئی z را بر y بدست می آوریم: .

افزایش کل تابع z با برابری تعیین می شود.

اگر حدی وجود داشته باشد، آن را مشتق جزئی تابع در نقطه ای نسبت به متغیر x می نامند و با یکی از نمادها نشان داده می شود:

.

مشتقات جزئی با توجه به x در یک نقطه معمولاً با نمادها نشان داده می شوند .

مشتق جزئی از با توجه به متغیر y به طور مشابه تعریف و نشان داده می شود:

بنابراین، مشتق جزئی یک تابع از چندین (دو، سه یا چند) متغیر به عنوان مشتق تابع یکی از این متغیرها تعریف می شود، مشروط بر اینکه مقادیر متغیرهای مستقل باقی مانده ثابت باشند. بنابراین، مشتقات جزئی یک تابع با استفاده از فرمول ها و قوانین محاسبه مشتقات تابع یک متغیر پیدا می شود (در این حالت، x یا y به ترتیب یک مقدار ثابت در نظر گرفته می شوند).

مشتقات جزئی را مشتقات جزئی مرتبه اول می نامند. آنها را می توان به عنوان توابع . این توابع می توانند مشتقات جزئی داشته باشند که به آنها مشتقات جزئی مرتبه دوم می گویند. آنها به شرح زیر تعریف و برچسب گذاری می شوند:

; ;

; .

دیفرانسیل های مرتبه 1 و 2 تابعی از دو متغیر.

دیفرانسیل کل یک تابع (فرمول 2.5) دیفرانسیل مرتبه اول نامیده می شود.

فرمول محاسبه دیفرانسیل کل به شرح زیر است:

(2.5) یا ، جایی که ،

دیفرانسیل های جزئی یک تابع

اجازه دهید تابع مشتقات جزئی پیوسته مرتبه دوم داشته باشد. دیفرانسیل مرتبه دوم با فرمول تعیین می شود. بیایید آن را پیدا کنیم:

از اینجا: . به طور نمادین اینگونه نوشته شده است:

.

انتگرال نامشخص.

ضد مشتق تابع، انتگرال نامعین، خواص.

تابع F(x) فراخوانی می شود ضد مشتقبرای یک تابع مفروض f(x)، اگر F"(x)=f(x)، یا چه چیزی یکسان است، اگر dF(x)=f(x)dx باشد.

قضیه. اگر تابع f(x)، که در بازه ای (X) با طول متناهی یا نامتناهی تعریف می شود، یک پاد مشتق به نام F(x) داشته باشد، در این صورت ضد مشتق های بی نهایت زیادی نیز دارد. همه آنها در عبارت F(x) + C قرار دارند که در آن C یک ثابت دلخواه است.

مجموعه ای از تمام پاد مشتق ها برای یک تابع معین f(x) که در یک بازه معین یا بر روی یک قطعه با طول متناهی یا نامتناهی تعریف شده است، نامیده می شود. انتگرال نامعیناز تابع f(x) [یا از عبارت f(x)dx ] و با نماد نشان داده می شود.

اگر F(x) یکی از پاد مشتق های f(x) باشد، طبق قضیه ضد مشتق

، که در آن C یک ثابت دلخواه است.

با تعریف یک پاد مشتق، F"(x)=f(x) و بنابراین dF(x)=f(x) dx. در فرمول (7.1)، f(x) تابع انتگرال نامیده می شود و f( x) dx یک عبارت انتگرال نامیده می شود.

تابعی از دو متغیر را در نظر بگیرید:

از آنجایی که متغیرهای $x$ و $y$ مستقل هستند، برای چنین تابعی می‌توانیم مفهوم مشتق جزئی را معرفی کنیم:

مشتق جزئی تابع $f$ در نقطه $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ با توجه به متغیر $x$ است حد

\[(((f)")_(x))=\ underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \راست))(\Delta x)\]

به طور مشابه، می توانید مشتق جزئی را با توجه به متغیر $y$ تعریف کنید:

\[(((f)")_(y))=\ underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) ;((y)_(0))+\Delta y \راست))(\Delta y)\]

به عبارت دیگر، برای یافتن مشتق جزئی تابعی از چندین متغیر، باید تمام متغیرهای دیگر به جز متغیر مورد نظر را ثابت کنید و سپس مشتق معمولی را با توجه به این متغیر مورد نظر پیدا کنید.

این منجر به تکنیک اصلی برای محاسبه چنین مشتقاتی می شود: به سادگی فرض کنید که همه متغیرها به جز این یک ثابت هستند، و سپس تابع را همانطور که یک "معمولی" را متمایز می کنید - با یک متغیر متمایز کنید. مثلا:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \راست))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \راست))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \راست))_(y))^(\prime )=((\left((((x)^(2)) \راست))^(\ اول ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \راست))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\پایان (تراز کردن)$

بدیهی است که مشتقات جزئی با توجه به متغیرهای مختلف پاسخ های متفاوتی می دهند - این طبیعی است. درک این نکته بسیار مهمتر است که مثلاً در مورد اول ما با آرامش $10y$ را از زیر علامت مشتق حذف کردیم و در مورد دوم ما عبارت اول را کاملاً صفر کردیم. همه اینها به این دلیل اتفاق می افتد که همه حروف، به جز متغیری که توسط آن تمایز انجام می شود، ثابت در نظر گرفته می شوند: می توان آنها را خارج کرد، "سوزانید" و غیره.

"مشتق جزئی" چیست؟

امروز در مورد توابع چندین متغیر و مشتقات جزئی آنها صحبت خواهیم کرد. اول اینکه تابع چند متغیر چیست؟ تا به حال عادت کرده ایم که یک تابع را $y\left(x \right)$ یا $t\left(x \right)$ یا هر متغیر و یک تابع واحد از آن در نظر بگیریم. اکنون یک تابع خواهیم داشت، اما چندین متغیر. با تغییر $y$ و $x$، مقدار تابع تغییر خواهد کرد. به عنوان مثال، اگر $x$ دو برابر شود، مقدار تابع تغییر می کند و اگر $x$ تغییر کند، اما $y$ تغییر نکند، مقدار تابع به همین ترتیب تغییر می کند.

البته، تابعی از چندین متغیر، درست مانند تابع یک متغیر، قابل تفکیک است. با این حال، از آنجایی که متغیرهای متعددی وجود دارد، می توان با توجه به متغیرهای مختلف تفکیک کرد. در این مورد، قوانین خاصی به وجود می آیند که هنگام تمایز یک متغیر وجود نداشتند.

اول از همه، وقتی مشتق یک تابع را از هر متغیری محاسبه می کنیم، باید مشخص کنیم که مشتق را برای کدام متغیر محاسبه می کنیم - به این مشتق جزئی می گویند. برای مثال، ما تابعی از دو متغیر داریم و می‌توانیم آن را هم در $x$ و هم در $y$ محاسبه کنیم - دو مشتق جزئی برای هر یک از متغیرها.

ثانیاً، به محض اینکه یکی از متغیرها را ثابت کردیم و شروع به محاسبه مشتق جزئی با توجه به آن کردیم، سایر موارد موجود در این تابع ثابت در نظر گرفته می شوند. به عنوان مثال، در $z\left(xy \right)$، اگر مشتق جزئی را با توجه به $x$ در نظر بگیریم، هر جا که با $y$ روبرو شدیم، آن را ثابت در نظر می‌گیریم و با آن به این صورت رفتار می‌کنیم. به طور خاص، هنگام محاسبه مشتق یک محصول، می‌توانیم $y$ را از پرانتز خارج کنیم (یک ثابت داریم)، ​​و هنگام محاسبه مشتق یک مجموع، اگر در جایی مشتقی از یک عبارت حاوی $y$ و بدون $x$، مشتق این عبارت برابر با "صفر" به عنوان مشتق یک ثابت خواهد بود.

در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که من در مورد چیز پیچیده ای صحبت می کنم و بسیاری از دانش آموزان در ابتدا گیج می شوند. با این حال، هیچ چیز ماوراء طبیعی در مشتقات جزئی وجود ندارد، و اکنون با استفاده از مثال مسائل خاص این را خواهیم دید.

مشکلات رادیکال ها و چند جمله ای ها

وظیفه شماره 1

برای اینکه زمان را تلف نکنیم، از همان ابتدا با مثال های جدی شروع کنیم.

برای شروع، اجازه دهید این فرمول را به شما یادآوری کنم:

این مقدار جدول استانداردی است که از درس استاندارد می دانیم.

در این حالت، مشتق $z$ به صورت زیر محاسبه می شود:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \راست))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\چپ(\frac(y)(x) \راست))^(\prime ))_(x)\]

بیایید دوباره این کار را انجام دهیم، زیرا ریشه $x$ نیست، بلکه یک عبارت دیگر است، در این مورد $\frac(y)(x)$، سپس ابتدا از مقدار جدول استاندارد استفاده می کنیم، و سپس، زیرا ریشه نه $x $، و یک عبارت دیگر، باید مشتق خود را با توجه به همان متغیر در یکی دیگر از این عبارت ضرب کنیم. بیایید ابتدا موارد زیر را محاسبه کنیم:

\[((\left(\frac(y)(x) \راست))^(\prime ))_(x)=\frac((((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

به بیان خود باز می گردیم و می نویسیم:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \راست))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\چپ(\frac(y)(x) \راست))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \راست)\]

اساساً همین است. با این حال، ترک آن به این شکل اشتباه است: استفاده از چنین ساختاری برای محاسبات بیشتر ناخوشایند است، بنابراین اجازه دهید کمی آن را تغییر دهیم:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \راست)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

جواب پیدا شده است. حالا بیایید به $y$ بپردازیم:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \راست))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \راست))^(\prime ))_(y)\]

بیایید آن را جداگانه بنویسیم:

\[((\left(\frac(y)(x) \راست))^(\prime ))_(y)=\frac((((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

حال می نویسیم:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \راست))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \راست))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2)))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2)))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

انجام شده.

مشکل شماره 2

این مثال هم ساده تر و هم پیچیده تر از نمونه قبلی است. این پیچیده تر است زیرا اقدامات بیشتری وجود دارد، اما ساده تر است زیرا ریشه وجود ندارد و علاوه بر این، تابع با توجه به $x$ و $y$ متقارن است، یعنی. اگر $x$ و $y$ را مبادله کنیم، فرمول تغییر نخواهد کرد. این نکته محاسبه مشتق جزئی را ساده‌تر می‌کند. کافی است یکی از آنها را بشمارید و در دومی به سادگی $x$ و $y$ را تعویض کنید.

بریم به کسب و کار برسیم:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \راست ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \راست))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \راست)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست))^(\prime ) )_(x))((\چپ(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست))^(2)))\]

بیا بشماریم:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

با این حال، بسیاری از دانش آموزان این نماد را درک نمی کنند، بنابراین بیایید آن را به این صورت بنویسیم:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \راست))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

بنابراین، ما یک بار دیگر به جهانی بودن الگوریتم مشتق جزئی متقاعد شدیم: مهم نیست که چگونه آنها را محاسبه کنیم، اگر همه قوانین به درستی اعمال شوند، پاسخ یکسان خواهد بود.

حالا بیایید به یک مشتق جزئی دیگر از فرمول بزرگ خود نگاه کنیم:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \راست))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \راست))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

بیایید عبارات به دست آمده را در فرمول خود جایگزین کنیم و دریافت کنیم:

\[\frac(((\left(xy \راست))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ راست)-xy((\چپ(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست))^(\prime ))_(x))((\چپ (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست)-xy\cdot 2x)((\چپ((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \راست))((\ چپ(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست))^(2))=\frac(y\چپ(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \راست))(((\چپ(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست))^(2 )))\]

بر اساس $x$ شمارش شده است. و برای محاسبه $y$ از یک عبارت، بیایید دنباله ای از اقدامات مشابه را انجام ندهیم، بلکه از تقارن عبارت اصلی خود استفاده کنیم - ما به سادگی تمام $y$ را در عبارت اصلی خود با $x$ جایگزین می کنیم و بالعکس:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \راست))(( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست))^(2)))\]

به دلیل تقارن، این عبارت را خیلی سریعتر محاسبه کردیم.

تفاوت های ظریف راه حل

برای مشتقات جزئی، تمام فرمول های استانداردی که برای فرمول های معمولی استفاده می کنیم، کار می کنند، یعنی مشتق ضریب. با این حال، در همان زمان، ویژگی های خاصی به وجود می آید: اگر مشتق جزئی $x$ را در نظر بگیریم، وقتی آن را از $x$ بدست آوریم، آن را به عنوان یک ثابت در نظر می گیریم و بنابراین مشتق آن برابر با "صفر" خواهد بود. .

همانطور که در مورد مشتقات معمولی، ضریب (همان مشتق) را می توان به چندین روش مختلف محاسبه کرد. به عنوان مثال، همان ساختاری که ما فقط محاسبه کردیم را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

\[((\left(\frac(y)(x) \راست))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \راست)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \راست))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

در عین حال، از طرف دیگر، می توانید از فرمول مشتق جمع استفاده کنید. همانطور که می دانیم برابر است با مجموع مشتقات. برای مثال، بیایید موارد زیر را بنویسیم:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \راست))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

اکنون، با دانستن همه اینها، بیایید سعی کنیم با عبارات جدی تری کار کنیم، زیرا مشتقات جزئی واقعی فقط به چند جمله ای ها و ریشه ها محدود نمی شوند: مثلثات، لگاریتم و تابع نمایی نیز وجود دارد. حالا بیایید این کار را انجام دهیم.

مسائل مربوط به توابع مثلثاتی و لگاریتم

وظیفه شماره 1

اجازه دهید فرمول های استاندارد زیر را بنویسیم:

\[((\left(\sqrt(x) \راست))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \راست))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

مسلح به این دانش، بیایید سعی کنیم حل کنیم:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \راست))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\چپ (\cos \frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(x)=\]

بیایید یک متغیر را جداگانه بنویسیم:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\راست))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

بیایید به طراحی خود برگردیم:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

تمام شد، ما آن را برای $x$ پیدا کردیم، حالا بیایید محاسبات را برای $y$ انجام دهیم:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \راست))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\چپ (\cos \frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(y)=\]

دوباره، بیایید یک عبارت را محاسبه کنیم:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \راست)\]

به عبارت اصلی برمی گردیم و راه حل را ادامه می دهیم:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

انجام شده.

مشکل شماره 2

بیایید فرمول مورد نیاز خود را بنویسیم:

\[((\چپ(\ln x \راست))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

حالا بیایید با $x$ بشماریم:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \راست) \راست))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\چپ(x+\ln y \راست))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \راست)=\frac(1)(x+\ln y)\]

به قیمت x$ پیدا شد. ما با $y$ شمارش می کنیم:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \راست) \راست))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \راست))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \راست))\ ]

مشکل حل شده است.

تفاوت های ظریف راه حل

بنابراین، مهم نیست که مشتق جزئی از چه تابعی را بگیریم، قوانین ثابت باقی می‌مانند، صرف نظر از اینکه با مثلثات کار می‌کنیم، با ریشه یا لگاریتم.

قوانین کلاسیک کار با مشتقات استاندارد بدون تغییر باقی می مانند، یعنی مشتق یک مجموع و یک تفاوت، یک ضریب و یک تابع مختلط.

آخرین فرمول اغلب هنگام حل مسائل با مشتقات جزئی یافت می شود. تقریباً همه جا با آنها ملاقات می کنیم. هیچ‌وقت کار واحدی وجود نداشته است که به آن برخورد نکرده باشیم. اما مهم نیست از چه فرمولی استفاده می کنیم، هنوز یک نیاز دیگر اضافه شده است، یعنی ویژگی کار با مشتقات جزئی. هنگامی که یک متغیر را اصلاح می کنیم، بقیه ثابت هستند. به طور خاص، اگر مشتق جزئی عبارت $\cos \frac(x)(y)$ را با توجه به $y$ در نظر بگیریم، آنگاه $y$ متغیر است و $x$ در همه جا ثابت می‌ماند. همین کار برعکس عمل می کند. می توان آن را از علامت مشتق خارج کرد و مشتق خود ثابت برابر با "صفر" خواهد بود.

همه اینها به این واقعیت منجر می شود که مشتقات جزئی یک عبارت، اما با توجه به متغیرهای مختلف، می توانند کاملاً متفاوت به نظر برسند. به عنوان مثال، اجازه دهید به عبارات زیر نگاه کنیم:

\[((\left(x+\ln y \راست))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \راست))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

مسائل مربوط به توابع نمایی و لگاریتم

وظیفه شماره 1

برای شروع، بیایید فرمول زیر را بنویسیم:

\[((\left((((e)^(x)) \راست))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

با دانستن این واقعیت و همچنین مشتق یک تابع مختلط، بیایید سعی کنیم محاسبه کنیم. من اکنون آن را به دو روش مختلف حل می کنم. اولین و واضح ترین مشتق محصول است:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \راست) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \راست))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \راست))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(x)=\]

بیایید عبارت زیر را جداگانه حل کنیم:

\[((\left(\frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(x)=\frac((((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

ما به طرح اصلی خود باز می گردیم و راه حل را ادامه می دهیم:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

همه چیز، x$ محاسبه می شود.

با این حال، همانطور که قول داده بودم، اکنون سعی خواهیم کرد همین مشتق جزئی را به روش دیگری محاسبه کنیم. برای این کار به نکات زیر توجه کنید:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

بیایید آن را اینگونه بنویسیم:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \راست))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \راست))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \راست)\]

در نتیجه دقیقاً همان پاسخ را دریافت کردیم، اما مقدار محاسبات کمتر بود. برای انجام این کار، توجه به این نکته کافی بود که هنگام اجرای محصول، می توان شاخص ها را اضافه کرد.

حالا بیایید با $y$ بشماریم:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \راست) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \راست))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \راست))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(y)=\]

بیایید یک عبارت را جداگانه حل کنیم:

\[((\left(\frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(y)=\frac((((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

بیایید به حل ساختار اصلی خود ادامه دهیم:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

البته همین مشتق را می شد به روش دوم محاسبه کرد و جواب یکسان بود.

مشکل شماره 2

بیایید با $x$ بشماریم:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \راست))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \راست )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

بیایید یک عبارت را جداگانه محاسبه کنیم:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \راست) \راست))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2)+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \راست))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

بیایید به حل ساختار اصلی ادامه دهیم: $$

این پاسخ است.

باقی مانده است که با استفاده از $y$ به صورت قیاسی پیدا کنیم:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \راست))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

مثل همیشه، یک عبارت را جداگانه محاسبه می کنیم:

\[((\left(((x)^(2))+y \راست))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \راست) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

ما به حل طرح اصلی ادامه می دهیم:

همه چیز حساب شده است. همانطور که می بینید، بسته به اینکه کدام متغیر برای تمایز در نظر گرفته شود، پاسخ ها کاملا متفاوت است.

تفاوت های ظریف راه حل

در اینجا یک مثال قابل توجه از نحوه محاسبه مشتق یک تابع به دو روش مختلف آورده شده است. اینجا را نگاه کن:

\[(((z)")_(x))=\چپ(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \راست)=( (\left(((e)^(x)) \راست))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \راست))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ چپ (1+\frac(1)(y) \راست)\]

\[(((z)")_(x))=((\چپ(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \راست)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \راست))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \راست))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \راست)\ ]

هنگام انتخاب مسیرهای مختلف، ممکن است مقدار محاسبات متفاوت باشد، اما اگر همه چیز به درستی انجام شود، پاسخ یکسان خواهد بود. این برای مشتقات کلاسیک و جزئی صدق می کند. در عین حال، یک بار دیگر به شما یادآوری می کنم: بسته به اینکه مشتق از کدام متغیر گرفته شود، i.e. تمایز، پاسخ ممکن است کاملا متفاوت باشد. نگاه کن:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \راست) \راست))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2)+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \راست))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \راست) \راست))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2)+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \راست))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

در پایان، برای ادغام همه این مطالب، بیایید سعی کنیم دو مثال دیگر را محاسبه کنیم.

مسائل مربوط به توابع مثلثاتی و توابع با سه متغیر

وظیفه شماره 1

بیایید فرمول های زیر را بنویسیم:

\[((\left(((a)^(x)) \راست))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \راست))^(\prime ))=((e)^(x))\]

حال بیایید بیان خود را حل کنیم:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \راست))^(\prime ))_(x)=(3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \راست))^(\prime ))_(x)=\]

بیایید به طور جداگانه ساختار زیر را محاسبه کنیم:

\[((\left(x\cdot \sin y \راست))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ چپ (\sin y \راست))^(\prim ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

ما به حل عبارت اصلی ادامه می دهیم:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

این پاسخ نهایی متغیر خصوصی در $x$ است. حالا بیایید با $y$ بشماریم:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \راست))^(\prime ))_(y)=(3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \راست))^(\prime ))_(y)=\]

بیایید یک عبارت را جداگانه حل کنیم:

\[((\left(x\cdot \sin y \راست))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ چپ(\sin y \راست))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

بیایید ساختمان را تا آخر حل کنیم:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

مشکل شماره 2

در نگاه اول، این مثال ممکن است کاملاً پیچیده به نظر برسد زیرا سه متغیر وجود دارد. در واقع، این یکی از ساده ترین کارها در آموزش ویدیویی امروز است.

یافتن بر اساس $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \راست))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \راست))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \راست))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \راست))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y )) \راست))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

حالا بیایید به $y$ بپردازیم:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \راست))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \راست))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \راست))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \راست))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\چپ (y \راست))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

ما جواب را پیدا کرده ایم.

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند این است که با $z$ پیدا کنید:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \راست))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \راست))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \راست))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \راست))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

مشتق سوم را محاسبه کرده ایم که حل مسئله دوم را کامل می کند.

تفاوت های ظریف راه حل

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای در این دو مثال وجود ندارد. تنها چیزی که ما به آن متقاعد شده ایم این است که مشتق یک تابع مختلط اغلب استفاده می شود و بسته به اینکه کدام مشتق جزئی را محاسبه کنیم، پاسخ های متفاوتی دریافت می کنیم.

در آخرین کار، از ما خواسته شد که همزمان با تابعی از سه متغیر مقابله کنیم. هیچ اشکالی در این وجود ندارد، اما در نهایت ما متقاعد شدیم که همه آنها به طور قابل توجهی با یکدیگر متفاوت هستند.

امتیاز کلیدی

آخرین نکات از آموزش تصویری امروز به شرح زیر است:

1. مشتقات جزئی مانند مشتقات معمولی محاسبه می شوند، اما برای محاسبه مشتق جزئی با توجه به یک متغیر، سایر متغیرهای موجود در این تابع را به عنوان ثابت در نظر می گیریم.
2. هنگام کار با مشتقات جزئی، از فرمول های استاندارد مشابه با مشتقات معمولی استفاده می کنیم: مجموع، تفاوت، مشتق حاصلضرب و ضریب و البته مشتق از یک تابع مختلط.

البته تماشای این درس ویدیویی به تنهایی برای درک کامل این موضوع کافی نیست، بنابراین در حال حاضر در وب سایت من مجموعه ای از مشکلات برای این ویدیو به طور خاص به موضوع امروز اختصاص داده شده است - وارد شوید، دانلود کنید، این مشکلات را حل کنید و پاسخ را بررسی کنید. . و بعد از این هیچ مشکلی با مشتقات جزئی چه در امتحانات و چه در کار مستقل نخواهید داشت. البته، این آخرین درس در ریاضیات عالی نیست، بنابراین از وب سایت ما دیدن کنید، VKontakte را اضافه کنید، در YouTube مشترک شوید، لایک کنید و با ما همراه باشید!

مشتقات جزئی در مسائل مربوط به توابع چندین متغیر استفاده می شوند. قواعد یافتن دقیقاً مانند توابع یک متغیر است، تنها تفاوت این است که یکی از متغیرها باید در زمان تمایز ثابت (عدد ثابت) در نظر گرفته شود.

فرمول

مشتقات جزئی برای تابعی از دو متغیر $ z(x,y) $ به شکل زیر $ z"_x, z"_y $ نوشته می شوند و با استفاده از فرمول ها پیدا می شوند:

مشتقات جزئی مرتبه اول

$$ z"_x = \frac(\ z جزئی)(\ x جزئی) $$

$$ z"_y = \frac(\ z جزئی)(\جزئی y) $$

مشتقات جزئی مرتبه دوم

$$ z""_(xx) = \frac(\جزئی^2 z)(\جزئی x \جزئی x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\جزئی^2 z)(\جزئی y \جزئی y) $$

مشتق مختلط

$$ z""_(xy) = \frac(\جزئی^2 z)(\جزئی x \جزئی y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\جزئی^2 z)(\جزئی y \جزئی x) $$

مشتق جزئی یک تابع مختلط

الف) اجازه دهید $ z (t) = f(x(t)، y(t)) $، سپس مشتق یک تابع مختلط با فرمول تعیین می شود:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\ z جزئی)(\ x جزئی) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\ z جزئی)(\ جزئی y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

ب) اجازه دهید $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $، سپس مشتقات جزئی تابع با فرمول پیدا می شوند:

$$ \frac(\ جزئی z)(\ جزئی u) = \frac(\ z جزئی)(\ x جزئی) \cdot \frac(\ x جزئی)(\ u جزئی) + \frac(\ z جزئی)( \جزئی y) \cdot \frac(\بخشی y)(\جزئی u) $$

$$ \frac(\ z جزئی)(\ جزئی v) = \frac(\ z جزئی)(\ x جزئی) \cdot \frac(\ x جزئی)(\ جزئی v) + \frac(\ z جزئی)( \جزئی y) \cdot \frac(\جزئی y)(\جزئی v) $$

مشتقات جزئی یک تابع ضمنی

الف) اجازه دهید $ F(x,y(x)) = 0 $، سپس $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

ب) اجازه دهید $ F(x,y,z)=0 $، سپس $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z)؛ z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

نمونه هایی از راه حل ها

مثال 1

مشتقات جزئی مرتبه اول $z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ را پیدا کنید

راه حل

برای یافتن مشتق جزئی با توجه به $ x $، $ y $ را یک مقدار ثابت (عدد) در نظر می گیریم: $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ برای یافتن مشتق جزئی یک تابع با توجه به $y$، $y$ را با یک ثابت تعریف می کنیم: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ اگر نمی توانید مشکل خود را حل کنید، آن را برای ما ارسال کنید. ما راه حل دقیق ارائه خواهیم داد. شما می توانید پیشرفت محاسبات را مشاهده کرده و اطلاعاتی به دست آورید. این به شما کمک می کند نمره خود را به موقع از معلم خود بگیرید!

پاسخ

$$ z"_x = 2x+4y؛ z"_y = -2y+4x $$

مثال 2

مشتقات جزئی تابع مرتبه دوم $ z = e^(xy) $ را بیابید

راه حل

ابتدا باید مشتقات اول را پیدا کنید و سپس با دانستن آنها می توانید مشتقات مرتبه دوم را پیدا کنید. اجازه دهید $y$ یک ثابت باشد: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ حال اجازه دهید $ x $ را به عنوان یک مقدار ثابت تنظیم کنیم: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ با دانستن مشتقات اول، به طور مشابه دومی را پیدا می کنیم. $y$ را روی یک ثابت تنظیم کنید: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ $ x $ را روی یک ثابت قرار می دهیم: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ اکنون تنها چیزی که باقی می ماند یافتن مشتق مختلط است. شما می توانید $ z"_x $ را با $ y $ متمایز کنید، و می توانید $ z"_y $ را با $ x $ متمایز کنید، زیرا با قضیه $ z""_(xy) = z"""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

پاسخ

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

مثال 4

اجازه دهید $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ تابع ضمنی $ F(x,y,z) = 0 $ را تعریف کند. مشتقات جزئی مرتبه اول را پیدا کنید.

راه حل

تابع را با فرمت: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ می نویسیم و مشتقات را پیدا می کنیم: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

پاسخ

$$ z"_x = 3x^2 z - 4؛ z"_y = 3z^2; $$

نمونه هایی از محاسبه مشتقات مرتبه بالاتر توابع صریح در نظر گرفته شده است. فرمول های مفید برای محاسبه مشتقات مرتبه n ارائه شده است.

محتوا

تعیین مشتقات مرتبه بالاتر

در اینجا ما موردی را در نظر می گیریم که در آن متغیر y به طور صریح به متغیر x بستگی دارد:
.
با متمایز کردن تابع با توجه به متغیر x، مشتق مرتبه اول یا به سادگی مشتق را بدست می آوریم:
.
در نتیجه یک تابع جدید به دست می آوریم که مشتق از تابع است. با متمایز کردن این تابع جدید با توجه به متغیر x، مشتق مرتبه دوم را بدست می آوریم:
.
با تمایز تابع، یک مشتق مرتبه سوم به دست می آوریم:
.
و غیره. با افتراق تابع اصلی n بار، مشتق مرتبه n یا مشتق n ام را به دست می آوریم:
.

مشتقات را می توان نشان دادسکته مغزی، اعداد رومی، اعداد عربی در براکت یا کسری از دیفرانسیل. به عنوان مثال، مشتقات مرتبه سوم و چهارم را می توان به صورت زیر نشان داد:
;
.

در زیر فرمول هایی وجود دارد که ممکن است در محاسبه مشتقات مرتبه بالاتر مفید باشند.

فرمول های مفید برای مشتقات مرتبه n

مشتقات برخی از توابع ابتدایی:
;
;
;
;
.

مشتق از مجموع توابع:
,
ثابت ها کجا هستند

فرمول لایب نیتس مشتق حاصلضرب دو تابع:
,
جایی که
- ضرایب دو جمله ای

مثال 1

مشتقات مرتبه اول و دوم تابع زیر را بیابید:
.

مشتق مرتبه اول را پیدا می کنیم.ثابت را خارج از علامت مشتق می گیریم و فرمول را از جدول مشتقات اعمال می کنیم:
.
ما قانون تمایز توابع پیچیده را اعمال می کنیم:
.
اینجا .
ما قانون تمایز یک تابع پیچیده را اعمال می کنیم و از مشتقات یافت شده استفاده می کنیم:
.
اینجا .

.
برای یافتن مشتق مرتبه دوم، باید مشتق مشتق مرتبه اول، یعنی تابع:
.
برای جلوگیری از اشتباه گرفتن با نماد، اجازه دهید این تابع را با حرف نشان دهیم:
(A1.1) .
سپس مشتق مرتبه دوماز تابع اصلی مشتق تابع است:
.

یافتن مشتق تابع. این کار با استفاده از مشتق لگاریتمی ساده تر است. بیایید لگاریتم کنیم (A1.1):
.
حالا بیایید تفکیک کنیم:
(A1.2) .
اما ثابت است. مشتق آن صفر است. ما قبلا مشتق از را پیدا کرده ایم. ما مشتقات باقی مانده را با استفاده از قانون تمایز یک تابع مختلط پیدا می کنیم.
;
;
.
ما در (A1.2) جایگزین می کنیم:

.
از اینجا
.

;
.

مثال 2

مشتق مرتبه سوم را بیابید:
.

پیدا کردن مشتق مرتبه اول. برای این کار، ثابت را خارج از علامت مشتق گرفته و استفاده می کنیم جدول مشتقاتو اعمال کنید قانون برای یافتن مشتق تابع مختلط .

.
اینجا .
بنابراین، مشتق مرتبه اول را پیدا کردیم:
.

پیدا کردن مشتق مرتبه دوم. برای این کار مشتق . ما فرمول کسری مشتق را اعمال می کنیم.
.
مشتق مرتبه دوم:
.

حالا ما چیزی را که به دنبالش هستیم پیدا می کنیم مشتق مرتبه سوم. برای این کار تفکیک می کنیم.
;
;

.

مشتق مرتبه سوم برابر است با
.

مثال 3

مشتق مرتبه ششم تابع زیر را بیابید:
.

اگر براکت ها را باز کنید، مشخص می شود که تابع اصلی یک چند جمله ای درجه است. بیایید آن را به صورت چند جمله ای بنویسیم:
,
که در آن ضرایب ثابت هستند.

سپس فرمول nام مشتق تابع توان را اعمال می کنیم:
.
برای مشتق مرتبه ششم (n = 6 ) ما داریم:
.
از اینجا مشخص است که در . وقتی داریم:
.

ما از فرمول برای مشتق مجموع توابع استفاده می کنیم:

.
بنابراین، برای یافتن مشتق مرتبه ششم تابع اصلی، فقط باید ضریب چند جمله ای را در بالاترین درجه پیدا کنیم. ما آن را با ضرب بالاترین توان ها در حاصل جمع های تابع اصلی پیدا می کنیم:

.
از اینجا. سپس
.

مثال 4

مشتق nام یک تابع را پیدا کنید
.

راه حل >>>

مثال 5

مشتق nام تابع زیر را بیابید:
,
کجا و ثابت هستند.

در این مثال، انجام محاسبات با استفاده از اعداد مختلط راحت است. اجازه دهید عملکرد پیچیده ای داشته باشیم
(A5.1) ,
توابع متغیر واقعی x کجا و هستند.
- واحد خیالی، .
با افتراق (A.1) n بار، داریم:
(A5.2) .
گاهی اوقات پیدا کردن مشتق nام یک تابع آسانتر است. سپس مشتقات n ام توابع به عنوان قسمت های واقعی و خیالی مشتق nام تعریف می شوند:
;
.

بیایید از این تکنیک برای حل مثال خود استفاده کنیم. تابع را در نظر بگیرید
.
در اینجا ما از فرمول اویلر استفاده کرده ایم
,
و نامگذاری را معرفی کرد
.
سپس مشتق nام تابع اصلی با فرمول تعیین می شود:
.

بیایید مشتق nام تابع را پیدا کنیم
.
برای این کار فرمول را اعمال می کنیم:
.
در مورد ما
.
سپس
.

بنابراین، مشتق nام تابع مختلط را پیدا کردیم:
,
جایی که .
بیایید بخش واقعی تابع را پیدا کنیم.
برای انجام این کار، یک عدد مختلط را به صورت نمایی نشان می دهیم:
,
جایی که ؛
; .
سپس
;

.

راه حل مثال
.

اجازه دهید ، .
سپس ؛
.
در
,
,
.
و فرمول n ام مشتق کسینوس را بدست می آوریم:
.

,
جایی که
; .