حساب باینری

نام پارامتر	معنی
موضوع مقاله:	حساب باینری
روبریک (دسته موضوعی)	علوم کامپیوتر

سیستم اعداد باینری

سیستم های اعداد مورد استفاده در هنگام کار با کامپیوتر

پایه P = 2. الفبا شامل دو رقم باینری است: 0، 1. هر عدد C = C n C n-1 ...C 1 C 0 C -1 C -m مجموع توان های عدد P = 2 است. ،

C = C n × 2 n + C n-1 × 2 n-1 +…+ C 1 × 2 1 + C 0 × 2 0 +C -1 × 2 -1 +…+C -m × 2 -m

مثال 3.6.

101011.11 2 =1×2 5 + 0×2 4 + 1×2 3 + 0×2 2 +1×2 1 + 1×2 0 +1×2 -1 + 1×2 -2 = 32+8 +2 +1+0.5+0.25=43.75 10.

وزن ارقام در سیستم اعداد باینری 1، 4، 8.16، ... در سمت چپ نقطه اعشار و 0.5 است. 0.25; 0.125; 0.625;... در سمت راست اعشار.

گاهی اوقات در برنامه نویسی استفاده می شود هگزادسیمالنشانه گذاری. برای نمایش اعداد بزرگتر از 9 در سیستم اعداد هگزادسیمال، از حروف لاتین A، B، C، D، E، F استفاده می شود.تصاویر 16 عدد اول در سیستم اعداد اعشاری، باینری و هگزادسیمال در جدول آورده شده است. 2.

جدول کد در سیستم های مختلفحساب مرده

جدول 2

سیستم اعشاری	سیستم دودویی	سیستم هگزادسیمال	سیستم اعشاری	سیستم دودویی	سیستم هگزادسیمال
					آ
					ب
					سی
					دی
					E
					اف

اعشاری باینریسیستم اعداد به دلیل سهولت تبدیل به سیستم اعشاری و بالعکس در رایانه های مدرن رایج شده است. در جایی استفاده می شود که توجه اصلی نه به سادگی ساخت فنی دستگاه، بلکه به راحتی کاربر معطوف است. در این سیستم اعداد، تمام ارقام اعشاری به طور جداگانه توسط چهار رقم باینری کدگذاری می شوند.

مثال 3.7.

عدد اعشاری 9703 در BCD به این صورت است: 1001 0111 0000 0011.

مزیت سیستم اعداد باینری نسبت به سیستم اعداد اعشاری از دیدگاه یک کامپیوتر دیجیتال به شرح زیر است:

• عناصر با دو حالت پایدار مورد نیاز است.
• عملیات حسابی به طور قابل توجهی ساده شده است.
• 1.5 برابر تجهیزات کمتر مورد نیاز است.
• به شما امکان می دهد از دستگاه منطق ریاضی برای تجزیه و تحلیل و سنتز مدارها استفاده کنید.

معایب سیستم اعداد باینری به شرح زیر است:

• طول ضبط تعداد زیاد؛
• هنگام ورود و خروج اطلاعات، تبدیل به سیستم اعداد اعشاری الزامی است.

بیایید ببینیم که چگونه عملیات اساسی در حساب باینری انجام می شود.

قواعد حساب در همه سیستم های اعداد موقعیتی یکسان است، ᴛ.ᴇ. علاوه بر این، ضرب و تفریق از پایین ترین ارقام شروع می شود، تقسیم - از بالاترین.

هنگام جمع کردن، واحد حمل به ارقام مهم ترین رقم مجاور اضافه می شود. با تفریق، یک واحد وام گرفتن در بالاترین رقم دو واحد در پایین ترین رقم مجاور به دست می آید.

مثال 3.8

ضرب اعداد باینری شبیه ضرب اعداد اعشاری است، اما... اگر فقط در 0 و 1 ضرب کنیم، ضرب به عمل شیفت و جمع کاهش می یابد.

مثال 3.9

حساب باینری - مفهوم و انواع. طبقه بندی و ویژگی های دسته "حساب باینری" 2017، 2018.

- محاسبات باینری

زیرا فرآیندهای اطلاعاتی V سیستم های دیجیتالفقط مقادیر 0 و 1 را بگیرید، سپس نمایش داده ها با استفاده از اعداد باینری انجام می شود. جمع و تفریق اعداد باینری و همچنین تمامی عملیات های حسابی دیگر طبق قوانینی انجام می شود که... .

- سیستم اعداد باینری و حساب باینری

در سیستم اعداد باینری، می توانید همان عملیات را با اعداد انجام دهید که در سیستم اعداد اعشاری انجام می شود. جمع بر اساس همان اصل در سیستم اعداد اعشاری انجام می شود: فقط اگر یک رقم معین مقداری تولید کند که در آن جا نمی شود، آنگاه...

, مسابقه "ارائه برای درس"

ارائه برای درس

عقب به جلو

توجه! پیش نمایشاسلایدها فقط برای اهداف اطلاعاتی هستند و ممکن است تمام ویژگی های ارائه را نشان ندهند. اگر شما علاقه مندید این کارلطفا نسخه کامل را دانلود کنید.

اهداف درس: (اسلاید 2)

1. دانش آموزان را با سیستم اعداد باینری آشنا کنید.
2. ایجاد مهارت در انجام عملیات حسابی با اعداد باینری

در طول کلاس ها

اول. شروع درس

معلم: برای تسلط بهتر بر سیستم اعداد باینری، باید بر انجام عملیات حسابی روی اعداد باینری تسلط داشته باشید.

همه سیستم های اعداد موقعیتی "یکسان" هستند، یعنی در همه آنها عملیات حسابی طبق قوانین یکسان انجام می شود:

• همان قوانین حساب معتبر است: جابجایی، انجمنی، توزیعی.
• قواعد جمع و تفریق و ضرب و تقسیم صحیح است.
• قوانین انجام عملیات حسابی بر اساس جداول جمع و ضرب است.

بیایید به قوانین انجام عملیات حسابی نگاه کنیم

II. یادگیری مطالب جدید

هنگام تقسیم بر یک ستون، باید ضرب و تفریق را به عنوان نتایج میانی انجام دهید. اما در سیستم اعداد باینری، ضرب‌های میانی به ضرب مقسوم علیه در 0 یا 1 کاهش می‌یابد، بنابراین سخت‌ترین عملیات تفریق باقی می‌ماند، که باید انجام آن را به دقت یاد بگیرید.

III. تلفیق مطالب آموخته شده (اسلاید 12)

بچه ها خودشان کار را انجام می دهند. سپس اسلاید را با پاسخ ها باز کنید.

پاسخ ها. (اسلاید 13)

IV. تکالیف (اسلاید 14)

1. قوانین انجام عملیات حسابی در سیستم اعداد باینری را بیاموزید.

2. مراحل زیر را دنبال کنید:

1. 110010+11,01
2. 1111001-1101
3. 10101,1*11
4. 10101110:101

خانه \ مستندات \ برای معلم علوم کامپیوتر

هنگام استفاده از مطالب این سایت - و گذاشتن بنر الزامی است!!!

حساب باینری

اعدادی که ما به استفاده از آنها عادت داریم اعشاری و اعدادی که استفاده می کنیم اعشاری نامیده می شوند. این به این دلیل است که هر عدد را می توان از مجموعه ای از اعداد حاوی 10 کاراکتر - اعداد - "0123456789" تشکیل داد.

ریاضیات به گونه ای توسعه یافت که این مجموعه خاص به مجموعه اصلی تبدیل شد، اما حساب اعشاری تنها نیست. اگر فقط پنج رقم بگیریم، بر اساس آنها می توانیم حساب پنج رقمی و از هفت رقم - حساب هفت رقمی بسازیم. در زمینه های دانش مربوط به تجهیزات کامپیوترمعمولاً از حساب استفاده می شود که در آن اعداد از شانزده رقم تشکیل شده اند، بر این اساس، این حساب را هگزادسیمال می نامند. برای اینکه بفهمیم یک عدد در محاسبات غیر اعشاری چیست، ابتدا متوجه می شویم که یک عدد در حساب اعشاری چیست.

به عنوان مثال، عدد 246 را در نظر بگیرید. این علامت به این معنی است که در این عدد دو صد، چهار ده و شش یک وجود دارد. بنابراین، می توانیم برابری زیر را بنویسیم:

246 = 200 + 40 + 6 = 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0

در اینجا، علائم مساوی سه روش برای نوشتن یک عدد را از هم جدا می کند. شکل سوم علامت گذاری اکنون برای ما جالب تر است: 2 * 10 2 + 4 * 10 1 + 6 * 10 0. ساختار آن به صورت زیر است:

شماره ما سه رقمی است. رقم اول "2" عدد 3 است. بنابراین در توان دوم در 10 ضرب می شود. رقم بعدی "4" دارای شماره سریال 2 است و در عدد اول در 10 ضرب می شود. از قبل مشخص است که ارقام در ده به توان یک کمتر از شماره سریال رقم ضرب می شوند. با درک موارد فوق، می توانیم فرمول کلی برای نمایش یک عدد اعشاری را بنویسیم. اجازه دهید یک عدد با N رقم داده شود. نشان خواهیم داد رقم iاز طریق یک i. سپس عدد را می توان به شکل زیر نوشت: a n a n-1 ....a 2 a 1 . این اولین فرم است و فرم سوم ورودی به این صورت خواهد بود:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 10 n-1 + a n-1 * 10 n-2 + …. + a 2 * 10 1 + a 1 * 10 0

که در آن i یک شخصیت از مجموعه "0123456789" است

نقش ده در این ضبط به وضوح قابل مشاهده است. ده مبنای تشکیل اعداد است. و اتفاقاً به آن "پایه سیستم اعداد" می گویند و خود سیستم اعداد به همین دلیل است که به آن "اعشاری" می گویند. البته عدد ده خاصیت خاصی ندارد. به راحتی می توانیم ده را با هر عدد دیگری جایگزین کنیم. به عنوان مثال، یک عدد در سیستم اعداد پنج رقمی را می توان به صورت زیر نوشت:

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 5 n-1 + a n-1 * 5 n-2 + …. + a 2 * 5 1 + a 1 * 5 0

که در آن i یک شخصیت از مجموعه "01234" است

به طور کلی 10 را با هر عدد دیگری جایگزین می کنیم و یک سیستم اعداد کاملاً متفاوت و حسابی متفاوت بدست می آوریم. اگر 10 با 2 جایگزین شود ساده ترین محاسبات به دست می آید.

a n a n-1 ….a 2 a 1 = a n * 2 n-1 + a n-1 * 2 n-2 + …. + a 2 * 2 1 + a 1 * 2 0

که در آن i یک شخصیت از مجموعه "01" است

این سیستم ساده ترین سیستم ممکن است، زیرا در آن هر عددی فقط از دو رقم 0 و 1 تشکیل می شود. واضح است که ساده تر از این نمی تواند باشد. نمونه هایی از اعداد باینری: 10، 111، 101.

سوال خیلی مهم آیا می توان یک عدد باینری را به عنوان یک عدد اعشاری نشان داد و بالعکس؟ عدد اعشاریآن را به صورت دودویی نمایش دهید.

باینری تا اعشاری. خیلی ساده است. روش چنین ترجمه ای با روش ما در نوشتن اعداد ارائه شده است. برای مثال، عدد باینری زیر 1011 را در نظر می گیریم. اجازه دهید آن را به توان های دو بسط دهیم. موارد زیر را دریافت می کنیم:

1011 = 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0

بیایید تمام اقدامات ضبط شده را انجام دهیم و دریافت کنیم:

1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 1 * 2 0 = 8 + 0+ 2 + 1 = 11. بنابراین، ما می گیریم که 1011 (دودویی) = 11 (اعشاری). ناراحتی جزئی سیستم باینری بلافاصله قابل مشاهده است. همین عدد که در سیستم اعشاری با یک رقم در سیستم دودویی نوشته می شود، برای ثبت آن به چهار رقم نیاز دارد. اما این قیمت برای سادگی است (هیچ چیز رایگان ارائه نمی شود). اما سیستم باینری سود زیادی در عملیات حسابی به ارمغان می آورد. و این را بعدا خواهیم دید.

اعداد دودویی زیر را به صورت اعشاری بیان کنید.

الف) 10010 ب) 11101 ج) 1010 ج) 1110 د) 100011 ه) 1100111 و) 1001110

جمع اعداد باینری

روش جمع ستون به طور کلی مانند یک عدد اعشاری است. یعنی جمع به صورت بیتی انجام می شود و با کمترین رقم قابل توجه شروع می شود. اگر هنگام جمع دو رقم، SUM بزرگتر از نه باشد، رقم = SUM - 10 نوشته می شود و کل قسمت (SUM / 10) در مهم ترین رقم اضافه می شود. (چند عدد را در یک ستون اضافه کنید، به یاد داشته باشید که چگونه این کار انجام می شود.) در مورد یک عدد باینری هم همینطور. یکی یکی اضافه کنید و با کمترین رقم شروع کنید. اگر نتیجه بیش از 1 باشد، 1 یادداشت می شود و 1 به مهم ترین رقم اضافه می شود (آنها می گویند "از بالای سر من").

بیایید مثال را انجام دهیم: 10011 + 10001.

دسته اول: 1+1 = 2. 0 و 1 را همانطور که به ذهن می رسد می نویسیم.

دسته دوم: 1+0+1 (واحد حفظ شده) =2. 0 و 1 را یادداشت کردیم، به ذهنم رسید.

دسته سوم: 0+0+1 (واحد حفظ شده) = 1. 1 بنویسید.

دسته چهارم 0+0=0. ما 0 می نویسیم.

دسته پنجم 1+1=2. 0 را یادداشت می کنیم و به رقم ششم 1 اضافه می کنیم.

بیایید هر سه عدد را به سیستم اعشاری تبدیل کنیم و صحت جمع را بررسی کنیم.

10011 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 1*2 1 + 1*2 0 = 16 + 2 + 1 =19

10001 = 1*2 4 + 0*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 16 + 1 = 17

100100 = 1*2 5 + 0*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 0*2 0 =32+4=36

17 + 19 = 36 برابری صحیح

مثال هایی برای راه حل های مستقل:

الف) 11001 + 101 =

ب) 11001 + 11001 =

ج) 1001 + 111 =

ه) 10011 + 101 =

ه) 11011 + 1111 =

ه) 11111 + 10011 =

نحوه تبدیل عدد اعشاری به باینری عملیات بعدی تفریق است. اما کمی بعد به این عملیات می پردازیم و اکنون روش تبدیل عدد اعشاری به باینری را در نظر خواهیم گرفت.

برای تبدیل یک عدد اعشاری به باینری، باید آن را به توان دو گسترش داد. اما اگر بسط در توان های ده فوراً به دست آید، چگونگی گسترش در توان های دو نیاز به کمی تفکر دارد. ابتدا بیایید نحوه انجام این کار را با استفاده از روش انتخاب بررسی کنیم. بیایید عدد اعشاری را 12 در نظر بگیریم.

گام یک. 2 2 = 4، این کافی نیست. همچنین 2 3 = 8 کافی نیست، اما 2 4 = 16 در حال حاضر زیاد است. بنابراین، ما 2 3 = 8 را ترک می کنیم. 12 - 8 = 4. اکنون باید آن را به عنوان توان دو 4 نشان دهید.

مرحله دو. 4 = 2 2 .

سپس عدد ما 12 = 2 3 + 2 2 است. بالاترین رقم دارای عدد 4، بالاترین درجه = 3 است، بنابراین، باید اصطلاحاتی با توان های دو 1 و 0 وجود داشته باشد. اما ما به آنها نیاز نداریم، بنابراین برای اینکه از شر درجه های غیر ضروری خلاص شویم و موارد ضروری را ترک کنیم. ، عدد را به این صورت می نویسیم: 1*2 3 + 1* 2 2 +0*2 1 + 0*2 0 = 1100 - این نمایش باینری عدد 12 است. به راحتی می توان متوجه شد که هر توان متوالی برابر است با بزرگترین توان دو که کمتر از عدد تجزیه شده است. برای تجمیع روش، اجازه دهید به مثال دیگری نگاه کنیم. شماره 23.

مرحله 1. نزدیکترین توان دو 2 4 = 16 است. 23 -16 = 7.

مرحله 2. نزدیکترین توان دو 2 2 = 4. 7 - 4 = 3

مرحله 3. نزدیکترین توان دو 2 1 = 2. 3 - 2 = 1

مرحله 4. نزدیکترین توان دو 2 0 = 1 1 - 1 = 0

بسط زیر را دریافت می کنیم: 1*2 4 + 0*2 3 +1*2 2 +1*2 1 +1*2 0

و عدد باینری مورد نظر ما 10111 است

روشی که در بالا مورد بحث قرار گرفت، مشکلی که به آن اختصاص داده شده را به خوبی حل می کند، اما روشی وجود دارد که بسیار بهتر الگوریتم شده است. الگوریتم این روش در زیر نوشته شده است:

تا زمانی که NUMBER بزرگتر از صفر است، انجام دهید

NEXT DIGIT = باقیمانده NUMBER تقسیم بر 2

NUMBER = قسمت صحیح NUMBER تقسیم بر 2

هنگامی که این الگوریتم کار خود را کامل کرد، دنباله اعداد بعدی محاسبه شده یک عدد باینری را نشان می دهد. مثلا با عدد 19 کار کنیم.

شروع الگوریتم NUMBER = 19

رقم بعدی = 1

رقم بعدی = 1

رقم بعدی = 0

رقم بعدی = 0

رقم بعدی = 1

بنابراین، در نتیجه، عدد زیر 10011 را داریم. توجه داشته باشید که دو روش مورد بحث در ترتیب به دست آوردن ارقام بعدی متفاوت هستند. در روش اول، رقم اول دریافتی، مهم ترین رقم عدد باینری است و در روش دوم، رقم اول دریافتی، برعکس، کم اهمیت ترین رقم را دارد.

اعداد اعشاری را به دو صورت به دودویی تبدیل کنید

الف) 14 ب) 29 ج) 134 د) 158 و) 1190 گرم) 2019

نحوه تبدیل کسری به عدد اعشاری

مشخص است که هر عدد گویا را می توان به صورت اعشاری و کسری معمولی نشان داد. کسری معمولی، یعنی کسری از شکل A/B، می تواند منظم و نامناسب باشد. کسری مناسب نامیده می شود اگر A<В и неправильной если А>که در.

اگر یک عدد گویا با کسری نامناسب نشان داده شود و صورت کسری بر مخرج بر یک کل تقسیم شود، این عدد گویا یک عدد صحیح است و در سایر موارد، یک جزء کسری ظاهر می شود. قسمت کسری اغلب یک عدد بسیار طولانی و حتی نامتناهی است (یک کسر متناوب نامتناهی، برای مثال 20/6)، بنابراین در مورد قسمت کسری، ما فقط وظیفه ترجمه یک نمایش را به دیگری نداریم، بلکه ترجمه با یک دقت خاصی

قانون دقت. فرض کنید یک عدد اعشاری به شما داده شده است که می تواند به صورت کسری اعشاری با دقت N رقم نمایش داده شود. برای اینکه عدد باینری متناظر با دقت یکسانی داشته باشد، باید علامت های M را در آن بنویسیم، به طوری که

اکنون بیایید سعی کنیم قانون ترجمه را بدست آوریم و ابتدا به مثال 5401 نگاه کنیم

راه حل:

قسمت صحیح را طبق قوانینی که قبلاً برایمان شناخته شده است به دست می آوریم و برابر است با عدد باینری 101. و قسمت کسری را در توان های 2 گسترش می دهیم.

مرحله 1: 2 -2 = 0.25; 0.401 - 0.25 = 0.151. - این باقی مانده است.

گام 2:اکنون باید 0.151 را به عنوان توان دو نشان دهیم. بیایید این کار را انجام دهیم: 2 -3 = 0.125; 0.151 - 0.125 = 0.026

بنابراین، بخش کسری اصلی را می توان به صورت 2 -2 +2 -3 نشان داد. در این عدد باینری هم می توان همین را نوشت: 0.011. اولین رقم کسری صفر است، این به این دلیل است که در بسط ما توان 2 -1 وجود ندارد.

از مرحله اول و دوم مشخص می شود که این نمایش دقیق نیست و ممکن است ادامه گسترش مطلوب باشد. بیایید به قانون نگاه کنیم. می گوید آنقدر به علامت M نیاز داریم که 10 3 کمتر از 2 M باشد. یعنی 1000<2 M . То есть в двоичном разложении у нас должно быть не менее десяти знаков, так как 2 9 = 512 и только 2 10 = 1024. Продолжим процесс.

مرحله 3:اکنون با عدد 0.026 کار می کنیم. نزدیکترین توان دو به این عدد 2 -6 = 0.015625 است. 0.026 - 0.015625 = 0.010375 اکنون عدد باینری دقیق تر ما: 0.011001 است. در حال حاضر شش مکان بعد از نقطه اعشار وجود دارد، اما این هنوز کافی نیست، بنابراین ما یک مرحله دیگر را انجام می دهیم.

مرحله 4:اکنون با شماره 0.010375 کار می کنیم. نزدیکترین توان دو به این عدد 2 -7 = 0.0078125 است.

0,010375 - 0,0078125 = 0,0025625

مرحله 5:اکنون با شماره 0.0025625 کار می کنیم. نزدیکترین توان دو به این عدد 2 -9 = 0.001953125 است.

0,0025625 - 0,001953125 = 0,000609375

آخرین باقیمانده به دست آمده کمتر از 2 -10 است و اگر بخواهیم به تقریب عدد اصلی ادامه دهیم، به 2 -11 نیاز داریم، اما این در حال حاضر از دقت لازم فراتر رفته است، و بنابراین می توان محاسبات را متوقف کرد و نمایش دودویی نهایی را نشان داد. قسمت کسری را می توان نوشت.

0,401 = 0,011001101

همانطور که می بینید، تبدیل قسمت کسری یک عدد اعشاری به باینری کمی پیچیده تر از تبدیل قسمت صحیح است. جدول توان دو در پایان سخنرانی.

حالا بیایید الگوریتم تبدیل را بنویسیم:

داده های اولیه الگوریتم: از طریق A، کسر اعشاری مناسب را که به صورت اعشاری نوشته شده است، نشان خواهیم داد. اجازه دهید این کسر حاوی N کاراکتر باشد.

الگوریتم

اقدام 1. تعداد ارقام باینری مورد نیاز M را از نابرابری 10 N تعیین کنید.< 2 M

اقدام 2: چرخه محاسبه ارقام نمایش باینری (اعداد بعد از صفر). عدد رقمی با علامت K نشان داده می شود.

1. عدد رقمی = 1
2. اگر 2 -K > A

سپس صفر را به عدد باینری اضافه می کنیم

• 1 را به عدد باینری اضافه کنید
• A = A - 2 -K

1. K = K + 1
2. اگر K > M

• سپس الگوریتم تکمیل می شود
• در غیر این صورت به نقطه 2 بروید.

اعداد اعشاری را به باینری تبدیل کنید

الف) 3.6 ب) 12.0112 ج) 0.231 د) 0.121 د) 23.0091

تفریق اعداد باینری همچنین اعداد را در یک ستون کم می کنیم و قاعده کلی مانند اعداد اعشاری است که تفریق ذره ذره انجام می شود و اگر در محل کافی نبود در بالاترین آن انجام می شود. بیایید مثال زیر را حل کنیم:

دسته اول. 1 - 0 = 1. 1 را یادداشت می کنیم.

دسته دوم 0 -1. یکی گم شده است. ما آن را در رده بزرگسالان اشغال می کنیم. یک واحد از یک رقم ارشد به یک عدد کوچک می رود، مانند دو واحد (زیرا رقم ارشد با یک دو درجه بالاتر نشان داده می شود) 2-1 = 1. 1 را یادداشت می کنیم.

دسته سوم. ما یک واحد از این رتبه را اشغال کردیم، بنابراین اکنون در رتبه 0 نیاز به اشغال واحد بالاترین رتبه وجود دارد. 2-1 = 1. 1 را یادداشت می کنیم.

بیایید نتیجه را در سیستم اعشاری بررسی کنیم

1101 - 110 = 13 - 6 = 7 (111) برابری صحیح.

روش جالب دیگر برای انجام تفریق، مفهوم کد مکمل دو است که به شما امکان می دهد تفریق را به جمع کاهش دهید. نتیجه یک عدد در کد مکمل دو بسیار ساده است: عدد را می گیریم، صفرها را با یک جایگزین می کنیم، برعکس، یک ها را با صفر جایگزین می کنیم و یک را به کم اهمیت ترین رقم اضافه می کنیم. به عنوان مثال، 10010، کد اضافی 011011 خواهد بود.

قانون تفریق از طریق متمم دو بیان می کند که تفریق را می توان با جمع جایگزین کرد اگر عدد فرعی با عددی در متمم دو جایگزین شود.

مثال: 34 - 22 = 12

بیایید این مثال را به صورت باینری بنویسیم. 100010 - 10110 = 1100

کد اضافی شماره 10110 به این صورت خواهد بود

01001 + 00001 = 01010. سپس مثال اصلی را می توان با جمع به این صورت جایگزین کرد: 100010 + 01010 = 101100 بعد، باید یک واحد را در مهمترین رقم کنار بگذارید. اگر این کار را انجام دهیم، 001100 به دست می آید. بیایید صفرهای ناچیز را کنار بگذاریم و 1100 بگیریم، یعنی مثال به درستی حل شد.

تفریق را انجام دهید. به روش معمول و در کد اضافی، با تبدیل اعداد اعشاری به باینری:

با تبدیل نتیجه باینری به سیستم اعداد اعشاری بررسی کنید.

ضرب در سیستم اعداد باینری

ابتدا به واقعیت جالب زیر توجه کنید. برای ضرب یک عدد باینری در 2 (اعشار دو در سیستم باینری 10 است) کافی است یک صفر به سمت چپ عدد در حال ضرب اضافه کنید.

مثال. 10101 * 10 = 101010

معاینه.

10101 = 1*2 4 + 0*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 +1*2 0 = 16 + 4 + 1 = 21

101010 =1*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 +1*2 1 +0*2 0 = 32 + 8 + 2 = 42

اگر به یاد داشته باشیم که هر عدد باینری را می توان به توان های دو بسط داد، مشخص می شود که ضرب در سیستم اعداد باینری به ضرب در 10 کاهش می یابد (یعنی اعشاری 2) و بنابراین، ضرب یک سری از متوالی است. تغییر می کند. قاعده کلی این است که مانند اعداد اعشاری، ضرب دودویی به صورت بیتی انجام می شود. و به ازای هر رقم ضریب دوم یک صفر در سمت راست ضریب اول اضافه می شود. مثال (هنوز در یک ستون نیست):

1011 * 101 این ضرب را می توان به مجموع ضرب های سه رقمی کاهش داد:

1011 * 1 + 1011 * 0 + 1011 * 100 = 1011 +101100 = 110111 همین را می توان در ستونی مانند زیر نوشت:

معاینه:

101 = 5 (اعشاری)

1011 = 11 (اعشاری)

110111 = 55 (اعشاری)

5*11 = 55 برابری صحیح

خودت تصمیم بگیر

الف) 1101 * 1110 =

ب) 1010 * 110 =

ه) 101011 * 1101 =

ه) 10010 * 1001 =

نکته: به هر حال، جدول ضرب در سیستم باینری فقط از یک مورد 1 * 1 = 1 تشکیل شده است.

تقسیم در سیستم اعداد باینری

ما قبلاً به سه عمل نگاه کرده‌ایم و فکر می‌کنم از قبل واضح است که به طور کلی، اعمال روی اعداد باینری با اعمال روی اعداد اعشاری تفاوت کمی دارند. تنها تفاوت این است که دو عدد وجود دارد نه ده، اما این فقط عملیات حسابی را ساده می کند. در مورد تقسیم نیز وضعیت به همین صورت است، اما برای درک بهتر، الگوریتم تقسیم را با جزئیات بیشتری تحلیل خواهیم کرد. فرض کنید باید دو عدد اعشاری را تقسیم کنیم، برای مثال 234 تقسیم بر 7. چگونه این کار را انجام دهیم.

ما به سمت راست (از مهم ترین رقم) تعدادی از ارقام را انتخاب می کنیم که عدد حاصل تا حد امکان کوچکتر و در عین حال بزرگتر از مقسوم علیه باشد. 2 کوچکتر از مقسوم علیه است، بنابراین عدد مورد نیاز ما 23 است. سپس عدد حاصل را با یک باقیمانده بر مقسوم علیه تقسیم می کنیم. نتیجه زیر را می گیریم:

عملیات توصیف شده را آنقدر تکرار می کنیم که باقیمانده حاصل از مقسوم علیه کمتر شود. وقتی این اتفاق می‌افتد، عددی که در زیر خط به‌دست می‌آید، ضریب است و آخرین باقیمانده، باقی‌مانده عملیات است. پس عمل تقسیم یک عدد باینری دقیقا به همین صورت انجام می شود. بیایید تلاش کنیم

مثال: 10010111 / 101

ما به دنبال عددی هستیم که رقم اول آن بزرگتر از مقسوم علیه باشد. این عدد چهار رقمی 1001 است. برجسته شده است با حروف درشت. اکنون باید یک مقسوم علیه عدد انتخاب شده پیدا کنید. و در اینجا ما دوباره در مقایسه با سیستم اعشاری برنده هستیم. واقعیت این است که مقسوم علیه انتخاب شده لزوما یک عدد است و ما فقط دو عدد داریم. از آنجایی که 1001 به وضوح بزرگتر از 101 است، پس همه چیز با مقسوم علیه مشخص است: 1. اجازه دهید مرحله عملیات را انجام دهیم.

بنابراین، باقیمانده عملیات تکمیل شده 100 است. این عدد کمتر از 101 است، بنابراین برای انجام مرحله تقسیم دوم، باید رقم بعدی را به 100 اضافه کنید، این رقم 0 است. حالا عدد زیر را داریم:

1000 بزرگتر از 101 است، بنابراین در مرحله دوم مجدداً عدد 1 را به ضریب اضافه می کنیم و نتیجه زیر را می گیریم (برای صرفه جویی در فضا بلافاصله رقم بعدی را حذف می کنیم).

مرحله سوم. عدد حاصل 110 بزرگتر از 101 است، بنابراین در این مرحله 1 را به ضریب می نویسیم.

عدد 11 به دست آمده کمتر از 101 است، بنابراین عدد 0 را در ضریب می نویسیم و عدد بعدی را پایین می آوریم. اینطور معلوم می شود:

عدد حاصل بزرگتر از 101 است، بنابراین عدد 1 را در ضریب می نویسیم و دوباره اعمال را انجام می دهیم. این عکس معلوم می شود:

1

0

باقیمانده 10 کمتر از 101 است، اما ارقام ما در سود سهام تمام شده است، بنابراین 10 باقیمانده نهایی است و 1110 ضریب مورد نیاز است.

بیایید اعداد اعشاری را بررسی کنیم

این به پایان می‌رسد که ساده‌ترین عملیات حسابی را که برای استفاده از حساب باینری باید بدانید، به پایان می‌رساند و اکنون سعی می‌کنیم به این سوال پاسخ دهیم که «چرا به حساب باینری نیاز است؟» البته قبلاً نشان داده شد که نوشتن یک عدد در سیستم باینری به طور قابل توجهی عملیات حسابی را ساده می کند، اما در عین حال خود ضبط بسیار طولانی تر می شود که ارزش ساده سازی حاصل را کاهش می دهد، بنابراین لازم است به دنبال آن باشید. مسائلی که حل آنها در اعداد باینری بسیار ساده تر است.

وظیفه 1: بازیابی همه نمونه ها

اغلب اوقات مشکلاتی وجود دارد که در آنها باید بتوانید تمام ترکیبات ممکن را از یک مجموعه معین از اشیاء بسازید. به عنوان مثال، این وظیفه:

با توجه به یک توده سنگ بزرگ، سنگ ها را به دو دسته بچینید تا جرم این دو شمع تا حد امکان برابر باشد.

این وظیفه را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

گزیده ای از سنگ ها را از یک توده بزرگ پیدا کنید به طوری که جرم کل آن تا حد ممکن با نصف جرم شمع بزرگ تفاوت داشته باشد.

از این دست وظایف بسیار زیادی وجود دارد. و همه آنها، همانطور که قبلاً گفته شد، به توانایی به دست آوردن تمام ترکیبات ممکن (از این پس آنها را نمونه می گوییم) از یک مجموعه معین از عناصر تشکیل می دهند. و اکنون به روش کلی بدست آوردن تمام نمونه های ممکن با استفاده از عملیات جمع دودویی می پردازیم. بیایید با یک مثال شروع کنیم. اجازه دهید مجموعه ای از سه شی وجود داشته باشد. بیایید تمام نمونه های ممکن را بسازیم. ما اشیاء را با شماره سریال نشان خواهیم داد. یعنی موارد زیر وجود دارد: 1، 2، 3.

نمونه ها: (0, 0, 1); (0، 1، 0)؛ (0، 1، 1)؛ (100)؛ (1، 0، 1)؛ (1، 1، 0)؛ (1، 1، 1)؛

اگر موقعیت با عدد بعدی یک باشد، به این معنی است که عنصری با عددی برابر با این موقعیت در انتخاب وجود دارد و اگر یک عدد صفر باشد، عنصر موجود نیست. به عنوان مثال، نمونه (0، 1، 0)؛ از یک عنصر با شماره 2 تشکیل شده است و انتخاب آن (1، 1، 0) است. از دو عنصر با اعداد 1 و 2 تشکیل شده است.

این مثال به وضوح نشان می دهد که یک نمونه را می توان به عنوان یک عدد باینری نشان داد. علاوه بر این، به راحتی می توان فهمید که تمام اعداد باینری ممکن یک، دو و سه رقمی در بالا نوشته شده اند. بیایید آنها را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

001; 010; 011; 100; 101; 110; 111

1; 10; 11; 100; 101; 110; 111

ما یک سری اعداد باینری متوالی دریافت کرده ایم که هر کدام از اعداد قبلی با جمع کردن یکی به دست می آیند. می توانید این را بررسی کنید. با استفاده از این الگوی مشاهده شده می توانیم الگوریتم زیر را برای به دست آوردن نمونه بسازیم.

داده های ورودی الگوریتم

با توجه به مجموعه ای از اشیاء N - قطعات. در ادامه این مجموعه را مجموعه عناصر اولیه می نامیم. بیایید تمام عناصر مجموعه اصلی را از 1 به N شماره گذاری کنیم. بیایید یک عدد باینری از N صفرهای ناچیز بسازیم. 0000… 0 N این عدد باینری صفر نشان دهنده نمونه صفر است که فرآیند نمونه برداری با آن آغاز می شود. ارقام یک عدد از راست به چپ شمرده می شوند، یعنی چپ ترین رقم مهم ترین رقم است.

بیایید موافقت کنیم که این عدد باینری را با حروف بزرگ باینری نشان دهیم

الگوریتم

اگر یک عدد باینری کاملاً از یک ها تشکیل شده باشد

سپس الگوریتم را متوقف می کنیم

• طبق قواعد حساب باینری، یک عدد را به یک عدد باینری اضافه می کنیم.
• همانطور که در بالا توضیح داده شد، از عدد باینری حاصل، نمونه بعدی را می سازیم.

مسئله 2: یافتن اعداد اول بزرگ

برای شروع، به یاد داشته باشیم که عدد اول یک عدد طبیعی است که فقط بر 1 و خودش بخش پذیر است. مثال هایی از اعداد اول: 1، 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31

پیدا کردن اعداد اول بزرگ یک مسئله ریاضی بسیار مهم است. اعداد اول بزرگ برای برخی از الگوریتم های رمزگذاری برای رمزگذاری ایمن پیام ها ضروری هستند. علاوه بر این، نه تنها به اعداد زیاد، بلکه به تعداد بسیار زیاد نیز نیاز است. هرچه این عدد بزرگتر باشد، رمزی که بر روی این عدد ساخته شده است قابل اعتمادتر است.

توجه داشته باشید. رمز قوی رمزی است که رمزگشایی آن به زمان بسیار زیادی نیاز دارد.

چرا؟ عدد اول به عنوان کلید رمزگذاری و رمزگشایی عمل می کند. علاوه بر این، می دانیم که اعداد اول در سری رخ می دهند اعداد طبیعینه خیلی اوقات تعداد آنها در بین هزاران اول بسیار زیاد است ، سپس تعداد آنها به سرعت شروع به کاهش می کند. بنابراین، اگر یک عدد نه چندان بزرگ را به عنوان کلید در نظر بگیریم، رمزگشا با کمک یک عدد نه خیلی بزرگ، کامپیوتر سریعقادر خواهد بود در مدت زمان محدودی به آن برسید (با آزمایش همه موارد ساده به عنوان کلید یکی پس از دیگری).

اگر یک کد ساده، به عنوان مثال 150 کاراکتر را بگیرید، می توانید یک کد نسبتا قابل اعتماد به دست آورید. با این حال، پیدا کردن یک چنین ساده چندان آسان نیست. فرض کنید که یک عدد خاص A (بسیار بزرگ) باید از نظر اولیه بودن بررسی شود. این همان جستجوی مقسوم‌کننده‌های آن است. اگر بتوانیم مقسوم علیه هایی را در محدوده 2 تا جذر A پیدا کنیم، اول نیست. بیایید تعداد اعدادی را که باید برای توانایی تقسیم عدد A آزمایش شوند، تخمین بزنیم.

فرض کنید عدد A 150 رقم دارد. جذر آن حداقل 75 کاراکتر داشته باشد. برای برشمردن چنین تعدادی از مقسوم‌کننده‌های ممکن، به مقدار زیادی نیاز داریم کامپیوتر قدرتمندو مقدار زیادی از زمان، به این معنی که مشکل عملا غیر قابل حل است.

با این چگونه روبرو میشوید.

اولاً می توانید یاد بگیرید که به سرعت تقسیم پذیری یک عدد بر عدد دیگر را بررسی کنید و ثانیاً می توانید سعی کنید عدد A را به گونه ای انتخاب کنید که اول با درجه احتمال بالا باشد. معلوم می شود این امکان پذیر است. مرسن ریاضیدان کشف کرد که اعداد به شکل زیر هستند

آنها ساده با درجه احتمال بالا هستند.

برای درک عبارت نوشته شده در بالا، بیایید بشماریم که چند عدد اول در هزار اول و چند عدد مرسن در همان هزار عدد اول هستند. بنابراین، اعداد مرسن در هزار اول به شرح زیر است:

2 1 - 1 = 1 ; 2 2 -1 = 3 ; 2 3 - 1 = 7 ; 2 4 - 1 = 15; 2 5 - 1 = 31 ; 2 6 -1 = 63;

2 7 - 1 =127 ; 2 8 -1 = 255; 2 9 - 1 = 511;

اعداد اول با پررنگ مشخص شده اند. 5 عدد اول برای 9 عدد مرسن وجود دارد. به عنوان درصد، این 5/9 * 100 = 55.6٪ است. در عین حال، برای هر 1000 عدد طبیعی اول، تنها 169 عدد اول وجود دارد. به عنوان درصد، این 169/1000 * 100 = 16.9٪ است. یعنی در هزار اول، بر حسب درصد، اعداد اول در بین اعداد مرسن تقریباً 4 برابر بیشتر از اعداد طبیعی ساده یافت می شوند.

___________________________________________________________

حالا بیایید یک عدد مرسن خاص را در نظر بگیریم، به عنوان مثال 2 4 - 1. اجازه دهید آن را به صورت یک عدد باینری بنویسیم.

2 4 - 1 = 10000 - 1 = 1111

بیایید عدد مرسن زیر 2 5 -1 را گرفته و به صورت یک عدد باینری بنویسیم. موارد زیر را دریافت می کنیم:

2 5 -1 = 100000 - 1 = 11111

از قبل واضح است که تمام اعداد مرسن دنباله ای از یک ها هستند و این واقعیت خود سود بزرگی به همراه دارد. اولاً در سیستم اعداد باینری بدست آوردن عدد مرسن بعدی بسیار ساده است، فقط یک عدد را به عدد بعدی اضافه کنید و ثانیاً جستجوی مقسوم علیه در سیستم دودویی بسیار راحت تر از سیستم اعشاری است.

تبدیل سریع اعشاری به باینری

یکی از مشکلات اصلی استفاده از سیستم اعداد باینری، مشکل در تبدیل عدد اعشاری به باینری است. این یک کار کاملاً کار فشرده است. البته، ترجمه اعداد کوچک سه یا چهار رقمی چندان دشوار نیست، اما برای اعداد اعشاری با 5 رقم یا بیشتر این کار از قبل دشوار است. یعنی ما به راهی برای تبدیل سریع اعداد اعشاری بزرگ به باینری نیاز داریم.

این روش توسط ریاضیدان فرانسوی لژاندر ابداع شد. مثلاً عدد 11183445 به شما داده می شود. آن را بر 64 تقسیم می کنیم، باقیمانده 21 به دست می آید و ضریب آن 174741 می شود. این عدد را دوباره بر 64 تقسیم می کنیم، باقیمانده 21 و ضریب 2730 به دست می آوریم. 2730 تقسیم بر 64 باقیمانده 42 و ضریب 42 به دست می آید اما 64 در باینری برابر 1000000، 21 در باینری برابر با 10101 و 42 برابر با 101010 است، بنابراین عدد اصلی به صورت باینری به صورت زیر نوشته می شود:

101010 101010 010101 010101

برای روشن شدن بیشتر، در اینجا یک مثال دیگر با عدد کوچکتر آورده شده است. بیایید نمایش دودویی عدد 235 را تبدیل کنیم. 235 را با باقیمانده تقسیم بر 64 کنید. ما گرفتیم:

QUANTIATE = 3، باینری 11 یا 000011

REMAINDER = 43، باینری 101011

سپس 235 = 11101011. بیایید این نتیجه را بررسی کنیم:

11101011 = 2 7 + 2 6 + 2 5 + 2 3 + 2 1 + 2 0 = 128+64+32+8+2+1 = 235

یادداشت:

1. به راحتی می توان فهمید که عدد باینری نهایی شامل تمام باقیمانده ها و در مرحله آخر، هر دو باقی مانده و ضریب است.
2. ضریب قبل از باقی مانده نوشته می شود.
3. اگر ضریب یا باقیمانده حاصل کمتر از 6 رقم در نمایش دودویی داشته باشد (6 صفر حاوی نمایش دودویی عدد 64 = 1000000) باشد، صفرهای ناچیز به آن اضافه می شود.

و یک مثال پیچیده دیگر. شماره 25678425 است.

مرحله 1: 25678425 تقسیم بر 64

خصوصی = 401225

باقیمانده = 25 = 011001

مرحله 2: 401225 تقسیم بر 64

ضریب = 6269

باقیمانده = 9 = 001001

مرحله 3: 6269 تقسیم بر 64

ضریب = 97

باقیمانده = 61 = 111101

مرحله 4: 97 تقسیم بر 64

ضریب = 1 = 000001

باقیمانده = 33 = 100001

نتیجه شماره = 1.100001.111101.001001.011001

در این عدد، نتایج میانی درج شده در آن با یک نقطه از هم جدا می شوند.

تبدیل اعداد به نمایش باینری:

ضمیمه: جدول 1

		0,015625
		0,0078125
		0,00390625
		0,001953125
		0,0009765625
		0,00048828125
		0,000244140625
		0,0001220703125
		0,00006103515625
		0,000030517578125
		0,0000152587890625
		0,00000762939453125
		0,000003814697265625
		0,0000019073486328125
		0,00000095367431640625
		0,000000476837158203125

انجام عملیات حسابی در هر سیستم اعداد موقعیتی طبق قوانین مشابهی انجام می شود که در سیستم اعداد اعشاری استفاده می شود.

همانطور که در سیستم اعداد اعشاری، برای انجام عملیات حسابی باید جداول جمع (تفریق) و ضرب را بدانید.

جدول جمع، تفریق و ضرب برای سیستم اعداد باینری

اضافه کردن اعداد باینری

جمع در سیستم اعداد باینری از قوانین مشابه در سیستم اعداد اعشاری پیروی می کند. دو عدد در ستونی که با جداکننده اعداد صحیح و کسری تراز شده است نوشته می شود و در صورت لزوم در سمت راست با صفرهای ناچیز تکمیل می شود. جمع از سمت راست ترین رقم شروع می شود. دو واحد درجه پایین در یک واحد درجه بالاتر ترکیب می شوند.

مثال: 1011,1 2 + 1010,11 2

وقتی بیش از دو عدد اضافه می شود، وضعیت نیز جالب است. در این صورت انتقال از طریق چندین رقم امکان پذیر است.
مثال: 111,1 2 + 111 2 + 101,1 2

هنگام جمع کردن در محل یکها (بیت 0)، 4 عدد وجود دارد که در صورت ترکیب، می دهند 100 2 . بنابراین، از رقم صفر به رقم اول منتقل می شود 0 ، و در دوم - 1 .
وضعیت مشابهی در رقم دوم ایجاد می شود، جایی که با در نظر گرفتن دو واحد منتقل شده، عدد به دست می آید. 5 = 101 2 . 1 در دسته دوم باقی می ماند، 0 به سومین و 1 به چهارم منتقل شد

تفریق اعداد باینری

در مواردی که یک واحد از رده ارشد مشغول به کار است، دو واحد از رده اول را می دهد. اگر یک واحد بعد از چند دسته مطالعه شود، در تمام دسته های صفر متوسط ​​یک واحد و در دسته ای که برای آن مطالعه شده است، دو واحد می دهد.
مثال: 10110,01 2 — 1001,1 2

عملیات محاسباتی در تمامی سیستم های اعداد موقعیتی بر اساس همان قوانینی انجام می شود که برای شما کاملاً شناخته شده است.

اضافه شدن.بیایید جمع اعداد در سیستم اعداد باینری را در نظر بگیریم. بر اساس جدولی برای جمع اعداد باینری تک رقمی است :

توجه به این نکته مهم است که هنگام جمع دو عدد، رقم سرریز می شود و به مهم ترین رقم منتقل می شود. سرریز رقم زمانی اتفاق می افتد که مقدار عدد موجود در آن مساوی یا بزرگتر از پایه شود.

جمع اعداد باینری چند بیتی مطابق با جدول جمع بالا و با در نظر گرفتن انتقال احتمالی از ارقام مرتبه پایین به ارقام مرتبه بالا انجام می شود.

به عنوان مثال، بیایید اعداد باینری 110 2 و 11 2 را به یک ستون اضافه کنیم. :

بیایید صحت محاسبات را با اضافه کردن در سیستم اعداد اعشاری بررسی کنیم. بیایید اعداد باینری را به سیستم اعداد اعشاری تبدیل کنیم و سپس آنها را اضافه کنیم:

110 2 =1*2 2 + 1*2 1 + 0*2 0 = 6 10 ;

11 2 = 1*2 1 + 1*2 0 = 3 10 ;

6 10 + 3 10 = 9 10 .

حالا بیایید نتیجه جمع دودویی را به یک عدد اعشاری تبدیل کنیم:

1001 2 = 1*2 3 +0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 9 10 /

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم - اضافه کردن به درستی انجام شد.

منها کردن.بیایید به تفریق اعداد باینری نگاه کنیم. بر اساس جدولی برای تفریق اعداد باینری تک رقمی است. وقتی عدد بزرگتر (1) را از عدد کوچکتر (0) کم می کنیم، از بالاترین رقم وام گرفته می شود. در جدول، وام با یک خط مشخص شده است:

تفریق اعداد باینری چند بیتی مطابق با جدول تفریق بالا و با در نظر گرفتن وام‌گیری‌های احتمالی از مهم‌ترین بیت‌ها انجام می‌شود. به عنوان مثال، بیایید اعداد باینری 110 2 و 11 2 را کم کنیم:

ضرب.ضرب بر اساس جدول ضرب اعداد باینری تک رقمی است:

ضرب اعداد باینری چند رقمی مطابق با جدول ضرب فوق با توجه به طرح معمول استفاده شده در سیستم اعداد اعشاری با ضرب متوالی ضرب در ارقام ضریب اتفاق می‌افتد. به عنوان مثال، بیایید اعداد باینری را ضرب کنیم و:

بخش.عملیات تقسیم با استفاده از الگوریتمی مشابه الگوریتم انجام عملیات تقسیم در سیستم اعداد اعشاری انجام می شود. به عنوان مثال، اجازه دهید عدد باینری 110 2 و 11 2 را تقسیم کنیم: