اگرچه این ارتباط در نگاه اول کاملاً نامشخص به نظر می رسد (به نظر می رسد ریاضیات علمی یک چیز است و اقتصاد و امور مالی کاملاً چیز دیگری است) ، اما وقتی تاریخچه "کشف" این عدد را مطالعه کنید ، همه چیز آشکار می شود. در واقع، مهم نیست که چگونه علوم به شاخه های مختلف به ظاهر نامرتبط تقسیم می شوند، پارادایم کلی همچنان یکسان خواهد بود (به ویژه، برای جامعه مصرف کننده - ریاضیات "مصرف کننده").

بیایید با یک تعریف شروع کنیم. e پایه لگاریتم طبیعی، یک ثابت ریاضی، یک عدد غیر منطقی و ماورایی است. گاهی اوقات عدد e را عدد اویلر یا عدد ناپیر می نامند. با حرف کوچک لاتین "e" مشخص می شود.

از آنجایی که تابع نمایی e^x "در خود" ادغام و متمایز می شود، لگاریتم های مبتنی بر پایه e طبیعی پذیرفته می شوند (اگرچه نام "طبیعی بودن" باید در شک و تردید بزرگ باشد، زیرا همه ریاضیات اساساً بر اساس اختراع مصنوعی هستند. آنهایی که از اصول ساختگی طبیعت جدا شده اند و اصلاً از اصول طبیعی نیستند).

این عدد گاهی به افتخار دانشمند اسکاتلندی ناپیر، نویسنده اثر "توضیح جدول شگفت انگیز لگاریتم ها" (1614) نپیر نامیده می شود. با این حال، این نام کاملاً صحیح نیست، زیرا Napier مستقیماً از خود شماره استفاده نکرده است.

ثابت ابتدا به طور ضمنی در پیوستی به ترجمه انگلیسی اثر فوق الذکر ناپیر، منتشر شده در سال 1618 ظاهر می شود. در پشت صحنه، زیرا فقط شامل جدولی از لگاریتم های طبیعی است که از ملاحظات KINEMATIC تعیین شده اند، اما خود ثابت وجود ندارد.

خود ثابت برای اولین بار توسط ریاضیدان سوئیسی برنولی (طبق نسخه رسمی در سال 1690) در حالی که مشکل ارزش محدود کننده INTEREST INCOME را حل کرد، محاسبه شد. او دریافت که اگر مبلغ اولیه 1 دلار باشد (ارز کاملاً بی اهمیت است) و سالانه یک بار در پایان سال 100٪ ترکیب شود، مبلغ نهایی 2 دلار خواهد بود. اما اگر سود یکسان دو بار در سال ترکیب شود، آنگاه 1 دلار در 1.5 دو برابر ضرب می‌شود و به 1.00 x 1.5² = 2.25 دلار می‌رسد. سود مرکب سه ماهه به $1.00 x 1.254 = $2.44140625 و غیره منجر می شود. برنولی نشان داد که اگر فرکانس محاسبه بهره به طور نامحدود افزایش یابد، آنگاه درآمد بهره در مورد بهره مرکب دارای محدودیت است - و این حد برابر با 2.71828 است.

1.00$×(1+1/12)12 = 2.613035 دلار…

1.00$×(1+1/365)365 = 2.714568 دلار… - در محدوده عدد e

بنابراین، عدد e در واقع از نظر تاریخی به معنای حداکثر سود سالانه ممکن در 100٪ در سال و حداکثر فرکانس سرمایه گذاری بهره است. و قوانین جهان چه ربطی به آن دارند؟ عدد e یکی از اجزای سازنده مهم در بنیان اقتصاد پولی بهره وام در یک جامعه مصرفی است که تحت آن از همان ابتدا، حتی در سطح فلسفی ذهنی، تمام ریاضیات مورد استفاده امروزی چندین قرن تنظیم و تیز شد. پیش.

اولین استفاده شناخته شده از این ثابت، جایی که با حرف b نشان داده می شد، در نامه های لایب نیتس به هویگنس، 1690-1691 ظاهر می شود.

اویلر شروع به استفاده از حرف e در سال 1727 کرد، اولین بار در نامه ای از اویلر به ریاضیدان آلمانی گلدباخ به تاریخ 25 نوامبر 1731 ظاهر شد و اولین انتشار با این نامه اثر او "مکانیک یا علم حرکت، توضیح تحلیلی است. "، 1736. بر این اساس، e را معمولاً عدد اویلر می نامند. اگرچه برخی از محققان متعاقباً از حرف c استفاده کردند، اما حرف e بیشتر مورد استفاده قرار گرفت و امروزه نام استاندارد است.

دقیقاً مشخص نیست که چرا حرف e انتخاب شده است. شاید این به این دلیل است که کلمه نمایی ("نشان دهنده" ، "نمایی") با آن شروع می شود. پیشنهاد دیگر این است که حروف a، b، c و d قبلاً برای مقاصد دیگر تقریباً رایج بودند و e اولین حرف "رایگان" بود. همچنین قابل ذکر است که حرف e اولین حرف نام خانوادگی اویلر است.

اما در هر صورت، گفتن اینکه عدد e به نحوی با قوانین جهانی جهان و طبیعت مرتبط است، به سادگی پوچ است. خود این عدد در ابتدا با سیستم پولی اعتباری و مالی گره خورده بود و به ویژه از طریق این عدد (و نه تنها) ایدئولوژی سیستم اعتباری و مالی به طور غیرمستقیم بر شکل گیری و توسعه سایر ریاضیات و از طریق آن تأثیر گذاشت. همه علوم دیگر (بالاخره، بدون استثنا، علم چیزی را با استفاده از قوانین و رویکردهای ریاضیات محاسبه می کند). عدد e نقش مهمی در حساب دیفرانسیل و انتگرال ایفا می کند که از طریق آن در واقع با ایدئولوژی و فلسفه به حداکثر رساندن درآمد بهره نیز مرتبط است (حتی ممکن است بگوییم ناخودآگاه به هم متصل است). لگاریتم طبیعی چگونه به هم مرتبط است؟ استقرار e به عنوان یک ثابت (همراه با هر چیز دیگری) منجر به شکل گیری پیوندهای ضمنی در تفکر شد که طبق آن تمام ریاضیات موجود به سادگی نمی توانند جدا از آن وجود داشته باشند. سیستم پولی! و از این نظر، اصلاً تعجب آور نیست که اسلاوهای باستان (و نه تنها آنها) بدون اعداد ثابت، اعداد غیر منطقی و ماورایی و حتی بدون اعداد و اعداد به طور کلی به خوبی مدیریت می کردند (حروف در دوران باستان مانند اعداد عمل می کردند). منطق متفاوت، تفکر متفاوت در سیستم در غیاب پول (و بنابراین همه چیز مرتبط با آن) همه موارد فوق را به سادگی غیر ضروری می کند.

توصیف e به عنوان "ثابت تقریباً برابر با 2.71828..." مانند فراخوانی pi "عددی غیر منطقی تقریباً برابر با 3.1415..." است. این بدون شک درست است، اما نکته هنوز از ما دور است.

پی نسبت محیط به قطر است که برای همه دایره ها یکسان است. این یک نسبت اساسی است که برای همه دایره ها مشترک است و از این رو در محاسبه محیط، مساحت، حجم و سطح دایره ها، کره ها، استوانه ها و غیره نقش دارد. پی نشان می دهد که همه دایره ها به هم مرتبط هستند، به غیر از توابع مثلثاتی که از دایره ها (سینوس، کسینوس، مماس) مشتق شده اند.

عدد e نسبت رشد پایه برای تمامی فرآیندهای در حال رشد مداوم است.عدد e به شما این امکان را می‌دهد که یک نرخ رشد ساده را بگیرید (جایی که تفاوت فقط در پایان سال قابل مشاهده است) و اجزای این شاخص را محاسبه کنید، رشد نرمال، که در آن با هر نانوثانیه (یا حتی سریع‌تر) همه چیز کمی رشد می‌کند. بیشتر.

عدد e در هر دو سیستم رشد نمایی و ثابت دخیل است: جمعیت، واپاشی رادیواکتیو، محاسبه درصد، و بسیاری، بسیاری دیگر. حتی سیستم های پله ای که به طور یکنواخت رشد نمی کنند را می توان با استفاده از عدد e تقریب زد.

همانطور که هر عددی را می توان به عنوان نسخه "مقیاس شده" 1 (واحد پایه) در نظر گرفت، هر دایره ای را می توان نسخه "مقیاس شده" دایره واحد (با شعاع 1) در نظر گرفت. و هر عامل رشد را می توان به عنوان یک نسخه "مقیاس" از e (عامل رشد "واحد") مشاهده کرد.

بنابراین عدد e یک عدد تصادفی نیست که به طور تصادفی گرفته شود. عدد e مظهر این ایده است که همه سیستم‌هایی که به طور مداوم در حال رشد هستند، نسخه‌های مقیاس‌بندی شده‌ای از یک متریک هستند.

مفهوم رشد تصاعدی

بیایید با نگاه کردن به سیستم اصلی شروع کنیم دو برابر می شودبرای یک دوره زمانی مشخص مثلا:

• تعداد باکتری ها هر 24 ساعت تقسیم شده و "دوبرابر" می شود
• اگر آن ها را از وسط نصف کنیم دو برابر نودل به دست می آید
• اگر 100% سود کنید، هر سال پول شما دو برابر می شود (خوش شانس!)

و چیزی شبیه این به نظر می رسد:

تقسیم بر دو یا دو برابر کردن یک پیشرفت بسیار ساده است. البته می‌توانیم سه یا چهار برابر کنیم، اما دو برابر کردن برای توضیح راحت‌تر است.

از نظر ریاضی، اگر x تقسیم‌بندی داشته باشیم، 2^x برابر بهتر از آنچه که با آن شروع کرده‌ایم، به دست می‌آوریم. اگر فقط 1 پارتیشن ساخته شود، 2^1 برابر بیشتر می گیریم. اگر 4 پارتیشن باشد، 2^4=16 قسمت می گیریم. فرمول کلی به این صورت است:

ارتفاع= 2 x

به عبارت دیگر، دو برابر شدن، افزایش 100 درصدی است. می توانیم این فرمول را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

ارتفاع= (1+100%) x

این همان برابری است، ما فقط "2" را به اجزای آن تقسیم کردیم، که در اصل این عدد است: مقدار اولیه (1) به اضافه 100٪. باهوش، درسته؟

البته می توانیم هر عدد دیگری (50%، 25%، 200%) را به جای 100% جایگزین کنیم و فرمول رشد این ضریب جدید را بدست آوریم. فرمول کلی برای x دوره های سری زمانی خواهد بود:

ارتفاع = (1+رشد)ایکس

این به سادگی به این معنی است که ما از نرخ بازگشت، (1 + افزایش)، "x" بارها در یک ردیف استفاده می کنیم.

بیایید نگاه دقیق تری بیندازیم

فرمول ما فرض می کند که رشد در مراحل گسسته اتفاق می افتد. باکتری‌های ما منتظر می‌مانند و منتظر می‌مانند و سپس بام!، و در آخرین لحظه تعدادشان دو برابر می‌شود. سود ما از سود سپرده به طور جادویی دقیقاً پس از 1 سال ظاهر می شود. بر اساس فرمول نوشته شده در بالا، سود در مرحله رشد می کند. نقاط سبز به طور ناگهانی ظاهر می شوند.

اما دنیا همیشه اینطور نیست. اگر بزرگنمایی کنیم، می بینیم که دوستان باکتریایی ما دائماً در حال تقسیم هستند:

همنوع سبز از هیچ پدید نمی آید: او به آرامی از والد آبی رشد می کند. پس از 1 دوره زمانی (در مورد ما 24 ساعت)، دوست سبز در حال حاضر کاملا رسیده است. پس از بلوغ، او به یک عضو آبی کامل گله تبدیل می شود و می تواند خود سلول های سبز جدیدی ایجاد کند.

آیا این اطلاعات به هیچ وجه معادله ما را تغییر خواهد داد؟

جواب منفی. در مورد باکتری ها، سلول های سبز نیمه تشکیل شده هنوز نمی توانند کاری انجام دهند تا زمانی که بزرگ شوند و به طور کامل از والدین آبی خود جدا شوند. پس معادله درست است.

قبل از معرفی مفهوم لگاریتم طبیعی، اجازه دهید مفهوم عدد ثابت $e$ را در نظر بگیریم.

شماره $e$

تعریف 1

شماره $e$یک ثابت ریاضی است که یک عدد ماورایی است و برابر با $e\prox 2.718281828459045\ldots$ است.

تعریف 2

متعالیعددی است که ریشه یک چند جمله ای با ضرایب صحیح نیست.

یادداشت 1

آخرین فرمول توضیح می دهد دومین محدودیت فوق العاده.

عدد e نیز نامیده می شود اعداد اویلر، و گاهی اوقات اعداد ناپیر.

تبصره 2

برای به خاطر سپردن اولین ارقام عدد $e$ اغلب از عبارت زیر استفاده می شود: «2 دلار، 7 دلار، دو بار لئو تولستوی». البته برای اینکه بتوانید از آن استفاده کنید لازم به یادآوری است که لئو تولستوی متولد 1828 دلار است این اعداد هستند که به مقدار عدد $e$ بعد از قسمت عدد صحیح $2$ و دو بار تکرار می شوند. قسمت اعشاری 7 دلار.

ما شروع کردیم به در نظر گرفتن مفهوم عدد $e$ هنگام مطالعه لگاریتم طبیعی دقیقاً به این دلیل که در پایه لگاریتم $\log_(e)⁡a$ قرار دارد که معمولاً نامیده می شود. طبیعیو آن را به شکل $\ln ⁡a$ بنویسید.

لگاریتم طبیعی

اغلب در محاسبات از لگاریتم هایی استفاده می شود که مبنای آن عدد $е$ است.

تعریف 4

لگاریتمی با پایه $e$ نامیده می شود طبیعی.

آن ها لگاریتم طبیعی را می توان با $\log_(e)⁡a$ نشان داد، اما در ریاضیات استفاده از نماد $\ln ⁡a$ رایج است.

خواص لگاریتم طبیعی

زیرا لگاریتم هر پایه وحدت برابر با $0 است، سپس لگاریتم طبیعی وحدت برابر با $0 است:

لگاریتم طبیعی عدد $е$ برابر با یک است:

لگاریتم طبیعی حاصل ضرب دو عدد برابر است با مجموع لگاریتم طبیعی این اعداد:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

لگاریتم طبیعی ضریب دو عدد برابر است با اختلاف لگاریتم طبیعی این اعداد:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

لگاریتم طبیعی توان یک عدد را می توان به صورت حاصل ضرب توان و لگاریتم طبیعی عدد زیر لگاریتمی نشان داد:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

مثال 1

عبارت $\frac(2 \ln⁡4e-\ln⁡16)(\ln⁡5e-\frac(1)(2) \ln⁡25)$ را ساده کنید.

راه حل.

اجازه دهید ویژگی لگاریتم حاصلضرب را به لگاریتم اول در صورت و مخرج و خاصیت لگاریتم توانی را به لگاریتم دوم صورت و مخرج اعمال کنیم:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln⁡25)=\frac(2(\ln⁡4+\ln⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

بیایید پرانتزها را باز کنیم و اصطلاحات مشابهی را ارائه کنیم و همچنین ویژگی $\ln ⁡e=1$ را اعمال کنیم:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln⁡5)=\frac(2)( \ln⁡5+1-\ln⁡5)=2$.

پاسخ: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

مثال 2

مقدار عبارت $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ را بیابید.

راه حل.

بیایید فرمول مجموع لگاریتم ها را اعمال کنیم:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

پاسخ: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

مثال 3

مقدار عبارت لگاریتمی $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$ را محاسبه کنید.

راه حل.

بیایید خاصیت لگاریتم یک توان را اعمال کنیم:

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 دلار

پاسخ: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$.

مثال 4

عبارت لگاریتمی $\ln \frac(1)(8)-3 \ln⁡4$ را ساده کنید.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

ما به لگاریتم اول خاصیت لگاریتم ضریب را اعمال می کنیم:

$=6(\ln⁡3-\ln⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

بیایید پرانتز را باز کنیم و اصطلاحات مشابه را ارائه کنیم:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

پاسخ: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

هر یک از توابع Eمقدار مشخص شده را آزمایش می کند و بسته به نتیجه، TRUE یا FALSE را برمی گرداند. به عنوان مثال، تابع خالیاگر مقدار مورد آزمایش ارجاع به یک سلول خالی باشد، مقدار بولی را TRUE برمی گرداند. در غیر این صورت، مقدار بولی FALSE برگردانده می شود.

کارکرد Eبرای به دست آوردن اطلاعات در مورد یک مقدار قبل از انجام محاسبات یا اقدامات دیگر بر روی آن استفاده می شود. به عنوان مثال، برای انجام یک عمل متفاوت در هنگام بروز خطا، می توانید از تابع استفاده کنید خطادر ترکیب با تابع اگر:

= IF( ERROR(A1)؛ "خطایی رخ داده است."؛ A1*2)

این فرمول خطا در سلول A1 را بررسی می کند. هنگامی که یک خطا رخ می دهد، تابع اگرپیغام "خطایی رخ داد" را برمی گرداند. اگر خطایی وجود نداشته باشد، تابع اگرحاصلضرب A1*2 را محاسبه می کند.

نحو

خالی (مقدار)

EOS (مقدار)

ERROR(مقدار)

ELOGIC (ارزش)

UNM (مقدار)

NETTEXT (مقدار)

ETEXT (مقدار)

آرگومان تابع Eدر زیر شرح داده شده است.

معنیاستدلال لازم مقدار در حال بررسی مقدار این آرگومان می تواند یک سلول خالی، یک مقدار خطا، یک مقدار بولی، متن، یک عدد، ارجاع به هر یک از اشیاء فهرست شده یا نام چنین شیئی باشد.

تابع	اگر TRUE را برمی گرداند
	آرگومان مقدار به یک سلول خالی اشاره دارد
	آرگومان مقدار به هر مقدار خطای غیر از #N/A اشاره دارد
	آرگومان مقدار به هر مقدار خطا اشاره دارد (#N/A، #VALUE!، #REF!، #DIV/0!، #NUM!، #NAME؟، یا #EMPTY!)
	آرگومان ارزش به یک مقدار بولی اشاره دارد
	آرگومان مقدار به مقدار خطای #N/A اشاره دارد (مقدار در دسترس نیست)
ENETEXT	آرگومان مقدار به هر عنصری اشاره دارد که متن نیست. (توجه داشته باشید که اگر آرگومان به یک سلول خالی اشاره کند، تابع TRUE را برمی گرداند.)
	آرگومان ارزش به یک عدد اشاره دارد
	آرگومان ارزش به متن اشاره دارد

یادداشت

آرگومان ها در توابع Eتبدیل نمی شوند. هر عددی که در علامت نقل قول قرار می گیرد به عنوان متن تلقی می شود. به عنوان مثال، در اکثر توابع دیگری که به آرگومان عددی نیاز دارند، مقدار متن"19" به عدد 19 تبدیل می شود. با این حال، در فرمول ISNUMBER("19") این مقدار از متن به عدد و تابع تبدیل نمی شود ISNUMBER FALSE را برمی گرداند.

با استفاده از توابع Eبررسی نتایج محاسبات در فرمول ها راحت است. ترکیب این ویژگی ها با عملکرد اگر، می توانید خطاها را در فرمول ها پیدا کنید (نمونه های زیر را ببینید).

مثال ها

مثال 1

داده های نمونه را از جدول زیر کپی کرده و در سلول A1 یک کاربرگ جدید اکسل قرار دهید. برای نمایش نتایج فرمول ها، آنها را انتخاب کرده و F2 را فشار دهید و سپس Enter را فشار دهید. در صورت لزوم، عرض ستون ها را تغییر دهید تا همه داده ها مشاهده شوند.

داده های نمونه را از جدول زیر کپی کرده و در سلول A1 یک کاربرگ جدید اکسل قرار دهید. برای نمایش نتایج فرمول ها، آنها را انتخاب کرده و F2 را فشار دهید و سپس Enter را فشار دهید. در صورت لزوم، عرض ستون ها را تغییر دهید تا همه داده ها مشاهده شوند.

داده ها
فرمول	شرح	نتیجه
خالی (A2)	خالی بودن سلول C2 را بررسی می کند
خطا (A4)	بررسی می کند که آیا مقدار در سلول A4 (#REF!) یک مقدار خطا است یا خیر
	بررسی می کند که آیا مقدار در سلول A4 (#REF!) مقدار خطای #N/A است یا خیر
	بررسی می کند که آیا مقدار در سلول A6 (#N/A) مقدار خطای #N/A است یا خیر
	بررسی می کند که آیا مقدار در سلول A6 (#N/A) یک مقدار خطا است یا خیر
ISNUMBER(A5)	آزمایش می کند که آیا مقدار سلول A5 (330.92) یک عدد است یا خیر
ETEXT(A3)	بررسی می کند که آیا مقدار در سلول A3 ("Region1") متن است یا خیر

y (x) = e x، که مشتق آن برابر با خود تابع است.

توان به صورت , یا نشان داده می شود.

شماره e

مبنای درجه توان است شماره e. این یک عدد غیر منطقی است. تقریباً برابر است
ه ≈ 2,718281828459045...

عدد e از طریق حد دنباله تعیین می شود. این به اصطلاح است دومین محدودیت فوق العاده:
.

عدد e را می توان به صورت یک سری نیز نشان داد:
.

نمودار نمایی

نمودار نمایی، y = e x.

نمودار نمایی را نشان می دهد هتا یک درجه ایکس.
y (x) = e x
نمودار نشان می دهد که توان به طور یکنواخت افزایش می یابد.

فرمول ها

فرمول های پایه مانند تابع نمایی با پایه درجه e است.

;
;
;

بیان یک تابع نمایی با پایه دلخواه درجه a از طریق نمایی:
.

ارزش های خصوصی

اجازه دهید y (x) = e x. سپس
.

ویژگی های توان

توان دارای ویژگی های تابع نمایی با پایه توان است ه > 1 .

دامنه، مجموعه ای از مقادیر

توان y (x) = e xبرای همه x تعریف شده است.
حوزه تعریف آن:
- ∞ < x + ∞ .
معانی متعدد آن:
0 < y < + ∞ .

افراط، افزایش، کاهش

تابع نمایی یک تابع افزایشی یکنواخت است، بنابراین هیچ مادونی ندارد. خواص اصلی آن در جدول ارائه شده است.

تابع معکوس

معکوس توان لگاریتم طبیعی است.
;
.

مشتق توان

مشتق هتا یک درجه ایکسمساوی با هتا یک درجه ایکس :
.
مشتق از مرتبه n:
.
استخراج فرمول ها > > >

انتگرال

اعداد مختلط

عملیات با اعداد مختلط با استفاده از فرمول های اویلر:
,
واحد خیالی کجاست:
.

عبارات از طریق توابع هذلولی

; ;
.

عبارات با استفاده از توابع مثلثاتی

; ;
;
.

گسترش سری پاور

منابع:
که در. برونشتاین، ک.آ. Semendyaev، کتابچه راهنمای ریاضیات برای مهندسین و دانشجویان، "Lan"، 2009.