ชุดนูนและคุณสมบัติเพื่อที่จะศึกษาคุณสมบัติของเซตส่วนนูน จำเป็นต้องให้คำจำกัดความของเซตส่วนนูนอย่างเข้มงวด ก่อนหน้านี้ ชุดนูนถูกกำหนดให้เป็นเซตที่เมื่อรวมกับจุดสองจุดใดๆ แล้ว จะมีส่วนที่เชื่อมต่อกัน

ลักษณะทั่วไปของแนวคิดของเซ็กเมนต์สำหรับหลายจุดคือการรวมกันเชิงเส้นนูน

จุด X เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นนูนคะแนน, หากตรงตามเงื่อนไข

ชุดของคะแนนคือ นูน,ถ้ามันพร้อมกับจุดสองจุดใด ๆ ที่มีการรวมกันเชิงเส้นนูนตามอำเภอใจ

เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทต่อไปนี้เกี่ยวกับการเป็นตัวแทนของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนได้

ทฤษฎีบท 1.1 รูปทรงหลายเหลี่ยม n มิตินูนคือผลรวมเชิงเส้นนูนของจุดมุม

จากทฤษฎีบท 1.1 จะได้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนถูกสร้างขึ้นโดยจุดมุมหรือจุดยอดของมัน: ส่วนที่ 2 จุด, สามเหลี่ยม 3 จุด, จัตุรมุข 4 จุด ฯลฯ ในเวลาเดียวกัน บริเวณรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนซึ่งเป็นเซตที่ไม่มีขอบเขต ไม่ได้กำหนดไว้โดยเฉพาะจากจุดมุมของมัน จุดใดๆ ของมันไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นตรงของจุดมุมได้

คุณสมบัติของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นก่อนหน้านี้ มีการพิจารณารูปแบบต่างๆ ของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น และแสดงให้เห็นว่าปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นใดๆ สามารถแสดงได้ว่าเป็นปัญหาทั่วไปหรือปัญหามาตรฐาน

เพื่อยืนยันคุณสมบัติของปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นและวิธีการแก้ไขขอแนะนำให้พิจารณาสัญกรณ์อีกสองประเภทของปัญหา Canonical

แบบฟอร์มการบันทึกเมทริกซ์:

ที่นี่ กับ– เมทริกซ์แถว ก– เมทริกซ์ระบบ เอ็กซ์– เมทริกซ์คอลัมน์ของตัวแปร ใน– คอลัมน์เมทริกซ์ของสมาชิกอิสระ:

รูปแบบการบันทึกแบบเวกเตอร์:

โดยที่เวกเตอร์สอดคล้องกับคอลัมน์ของสัมประสิทธิ์ของค่าที่ไม่รู้จัก

ได้รับการกำหนดไว้ข้างต้น แต่ไม่ได้รับการพิสูจน์ใน ปริทัศน์ทฤษฎีบทถัดไป

ทฤษฎีบท 1.2 ชุดของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับระบบข้อจำกัดของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นนั้นเป็นรูปนูน

การพิสูจน์:อนุญาต - วิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้สองประการของ PLP ซึ่งกำหนดไว้ในรูปแบบเมทริกซ์ แล้ว . ให้เราพิจารณาการรวมกันของการแก้ปัญหาเชิงเส้นนูนเช่น

และแสดงว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาของระบบด้วย (1.3) อย่างแท้จริง

เช่น. สารละลาย เอ็กซ์เป็นไปตามระบบ (1.3) แต่ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา เอ็กซ์>0 เช่น การแก้ปัญหาเป็นไปตามเงื่อนไขที่ไม่เป็นลบ

ดังนั้นจึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่าชุดของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นนั้นนูนหรือแม่นยำกว่านั้นคือแสดงถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนหรือบริเวณรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนซึ่งเราจะเรียกต่อไปด้วยเทอมเดียว - รูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลาย

คำตอบสำหรับคำถาม ณ จุดใดของรูปทรงหลายเหลี่ยมของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ ทางออกที่ดีที่สุดปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีให้ไว้ในทฤษฎีบทพื้นฐานต่อไปนี้

ทฤษฎีบท 1.3 หากปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด ฟังก์ชันเชิงเส้นจะนำค่าสูงสุดไปที่จุดมุมหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลาย หากฟังก์ชันเชิงเส้นรับค่าสูงสุดที่จุดมุมมากกว่าหนึ่งจุด ก็จะรับค่าดังกล่าวที่จุดใดๆ ที่เป็นผลรวมเชิงเส้นแบบนูนของจุดเหล่านี้

การพิสูจน์:เราจะถือว่าคำตอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมมีขอบเขต ให้เราแสดงจุดมุมของมันด้วย , และทางออกที่ดีที่สุดก็คือผ่าน เอ็กซ์*- แล้ว ฉ(X*)³ เอฟ(เอ็กซ์)สำหรับทุกจุด เอ็กซ์รูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลาย ถ้า เอ็กซ์*เป็นจุดมุม จากนั้นส่วนแรกของทฤษฎีบทก็จะถูกพิสูจน์

สมมุติว่า เอ็กซ์*ไม่ใช่จุดมุม ตามทฤษฎีบท 1.1 เอ็กซ์*สามารถแสดงเป็นผลรวมเชิงเส้นนูนของจุดมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลายได้เช่น

เพราะ เอฟ(เอ็กซ์)คือฟังก์ชันเชิงเส้น เราได้

ในการสลายตัวนี้ เราเลือกค่าสูงสุดจากค่าต่างๆ ให้มันตรงกับจุดมุม เอ็กซ์ เค(1 ปอนด์ เค£ ร)- ลองแสดงมันด้วย เอ็มเหล่านั้น. . ให้เราแทนที่แต่ละค่าในนิพจน์ (1.5) ด้วยค่าสูงสุดนี้ ม.แล้ว

โดยสมมุติ เอ็กซ์* เป็นทางออกที่ดีที่สุด ดังนั้นในอีกด้านหนึ่ง แต่ได้รับการพิสูจน์แล้วในอีกด้านหนึ่ง
ฉ(X*)£ เอ็มดังนั้น ที่ไหน เอ็กซ์ เค– จุดมุม จึงมีจุดมุม เอ็กซ์ เคซึ่งฟังก์ชันเชิงเส้นรับค่าสูงสุด

เพื่อพิสูจน์ส่วนที่สองของทฤษฎีบท ให้เราสมมติว่าฟังก์ชันวัตถุประสงค์รับค่าสูงสุดที่จุดมุมมากกว่าหนึ่งจุด เช่น ที่จุดต่างๆ , ที่ไหน , แล้ว

อนุญาต เอ็กซ์– ผลรวมเชิงเส้นนูนของจุดมุมเหล่านี้ เช่น

ในกรณีนี้ เมื่อพิจารณาถึงฟังก์ชันแล้ว เอฟ(เอ็กซ์)– เชิงเส้น เราได้

เหล่านั้น. ฟังก์ชันเชิงเส้น เอฟรับค่าสูงสุด ณ จุดใดก็ได้ เอ็กซ์ซึ่งเป็นผลรวมเชิงเส้นนูนของจุดมุม

ความคิดเห็นข้อกำหนดที่ขอบเขตของรูปทรงหลายเหลี่ยมของคำตอบอยู่ในทฤษฎีบทถือเป็นสิ่งสำคัญ เนื่องจากในกรณีของขอบเขตรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ไม่มีขอบเขต ดังที่ระบุไว้ในทฤษฎีบท 1.1 ไม่ใช่ทุกจุดของขอบเขตดังกล่าวจะสามารถแสดงด้วยผลรวมเชิงเส้นตรงนูนของจุดมุมของมันได้

ทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้วถือเป็นพื้นฐาน เนื่องจากเป็นแนวทางพื้นฐานในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ตามทฤษฎีบทนี้ แทนที่จะศึกษาชุดวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ที่ไม่มีที่สิ้นสุดเพื่อค้นหาคำตอบที่เหมาะสมที่สุดที่ต้องการ จำเป็นต้องศึกษาจุดมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมในจำนวนจำกัดเท่านั้น

ทฤษฎีบทถัดไปกล่าวถึงวิธีการวิเคราะห์ในการหาจุดมุม

ทฤษฎีบท 1.4 วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้แต่ละข้อของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรงจะสอดคล้องกับจุดมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลาย และในทางกลับกัน ไปยังจุดแต่ละมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลายนั้นก็จะสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้

การพิสูจน์:ให้เป็นวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้ของระบบข้อจำกัดของ LLP (1.4) ซึ่งในข้อแรก ตองค์ประกอบเป็นตัวแปรหลักและส่วนที่เหลือ พี - ทีส่วนประกอบ – ​​ตัวแปรที่ไม่ใช่หลักเท่ากับศูนย์ในโซลูชันพื้นฐาน (หากไม่เป็นเช่นนั้น ตัวแปรที่เกี่ยวข้องก็สามารถกำหนดหมายเลขใหม่ได้) มาแสดงกันเถอะ เอ็กซ์

สมมติว่าตรงกันข้ามคือ อะไร เอ็กซ์ไม่ใช่จุดมุม แล้วชี้. เอ็กซ์สามารถแสดงได้ด้วยจุดภายในของส่วนที่เชื่อมต่อสองจุดที่แตกต่างกันซึ่งไม่ตรงกัน เอ็กซ์,คะแนน

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือการรวมกันของจุดเชิงเส้นนูน รูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลายเช่น

โดยที่ (เราสันนิษฐานว่า เพราะไม่เช่นนั้นจุด เอ็กซ์ตรงกับประเด็น เอ็กซ์ 1 หรือ เอ็กซ์ 2).

ให้เราเขียนความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ (1.6) ในรูปแบบพิกัด:

เพราะ ตัวแปรและสัมประสิทธิ์ทั้งหมดไม่เป็นลบจากนั้นจากค่าสุดท้าย พี-ทีความเท่าเทียมกันเป็นไปตามนั้น กล่าวคือ ในการตัดสินใจ เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 และ เอ็กซ์ค่าระบบสมการ (1.4) พี - ทีส่วนประกอบจะเท่ากับศูนย์ในกรณีนี้ ส่วนประกอบเหล่านี้ถือได้ว่าเป็นค่าของตัวแปรที่ไม่ใช่ตัวแปรหลัก แต่ค่าของตัวแปรที่ไม่ใช่พื้นฐานจะกำหนดค่าของตัวแปรหลักโดยเฉพาะดังนั้น

ดังนั้นทุกอย่าง ปส่วนประกอบในโซลูชั่น เอ็กซ์ 1 , เอ็กซ์ 2 และ เอ็กซ์ตรงกันและด้วยเหตุนี้คะแนน เอ็กซ์ 1 และ เอ็กซ์ 2 ผสานซึ่งขัดแย้งกับสมมติฐาน เพราะฉะนั้น, เอ็กซ์– จุดมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลาย

ให้เราพิสูจน์ข้อความสนทนา ให้เป็นจุดมุมของสารละลายรูปทรงหลายเหลี่ยมและเป็นอันดับแรก ตพิกัดเป็นบวก มาแสดงกันเถอะ เอ็กซ์– วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้ ไม่ใช่จุดมุมซึ่งขัดแย้งกับสภาพ ดังนั้นสมมติฐานของเราจึงไม่ถูกต้องคือ เวกเตอร์มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและ เอ็กซ์เป็นวิธีการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐานที่ยอมรับได้ (1.4)

ข้อพิสูจน์ที่สำคัญตามมาโดยตรงจากทฤษฎีบท 1.3 และ 1.4: หากปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด มันก็จะเกิดขึ้นพร้อมกัน อย่างน้อยด้วยหนึ่งในโซลูชันพื้นฐานที่ยอมรับได้

ดังนั้น, เหมาะสมที่สุด ฟังก์ชันเชิงเส้นควรค้นหาปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นจากวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่เป็นไปได้ในจำนวนจำกัด

ลองพิจารณาปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นหลัก (LPLP): ค้นหาค่าที่ไม่เป็นลบของตัวแปร x1, x2, ..., xn, เป็นไปตามเงื่อนไข m - ความเท่าเทียมกัน

และเพิ่มฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรเหล่านี้ให้สูงสุด

เพื่อความง่าย เราถือว่าเงื่อนไขทั้งหมด (1) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น (r=m) และเราจะดำเนินการให้เหตุผลภายใต้สมมติฐานนี้

ลองเรียกโซลูชันที่ยอมรับได้ของ OLP ชุดของค่าที่ไม่เป็นลบ x1, x2, ..., xn ที่ตรงตามเงื่อนไข (1) มาเรียกโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดตัวใดตัวหนึ่งที่ยอมรับได้ซึ่งเพิ่มฟังก์ชันสูงสุด (2) เราจำเป็นต้องค้นหาทางออกที่ดีที่สุด

ปัญหานี้จะมีทางแก้ไขเสมอหรือไม่? ไม่ไม่เสมอไป

ZLP ไม่สามารถแก้ไขได้ (ไม่มีวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด):

เนื่องจากความไม่เข้ากันของระบบข้อจำกัด เหล่านั้น. ระบบไม่มีวิธีแก้ปัญหาเดียว ดังแสดงในรูปที่ 1

รูปที่ 1 - ความไม่สอดคล้องกันของระบบข้อจำกัด

เนื่องจากฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในชุดโซลูชันไม่มีขอบเขต กล่าวอีกนัยหนึ่ง เมื่อแก้ LLP ที่ค่าสูงสุด ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์มีแนวโน้มที่จะเป็นอนันต์ และในกรณีของ LLP ที่ค่าต่ำสุด - ถึงลบอนันต์ ดังแสดงในรูปที่ 2

รูปที่ 2 - ความไม่มีขอบเขตของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ในชุดโซลูชัน

ZLP สามารถแก้ไขได้:

ชุดการแก้ปัญหาประกอบด้วยจุดเดียว นอกจากนี้ยังเหมาะสมที่สุด ดังแสดงในรูปที่ 3

รูปที่ 3 - ชุดวิธีแก้ปัญหาประกอบด้วยจุดเดียว

ทางออกที่ดีที่สุดเพียงทางเดียวสำหรับ ZLP เส้นตรงที่สอดคล้องกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ตำแหน่งขีดจำกัดตัดกับเซตของคำตอบที่จุดหนึ่ง ดังแสดงในรูปที่ 4

รูปที่ 4 - ทางออกที่ดีที่สุดเท่านั้น

ทางออกที่ดีที่สุดของ ZLP นั้นไม่ได้มีลักษณะเฉพาะ เวกเตอร์ N ตั้งฉากกับด้านหนึ่งของเซตคำตอบ ในกรณีนี้ จุดใดๆ บนส่วน AB จะเหมาะสมที่สุด ดังแสดงในรูปที่ 5

รูปที่ 5 - ทางออกที่ดีที่สุดไม่ได้มีลักษณะเฉพาะ

การแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นโดยใช้วิธีซิมเพล็กซ์

วิธีซิมเพล็กซ์เป็นอัลกอริธึมสำหรับการแก้ปัญหา LP ที่ใช้การแจงนับจุดมุมของขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ในทิศทางของการปรับปรุงค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ C วิธีซิมเพล็กซ์เป็นวิธีหลักในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

การใช้วิธีนี้ในโครงการประกาศนียบัตรเพื่อแก้ไขปัญหา LP เกิดจากปัจจัยดังต่อไปนี้:

วิธีการนี้เป็นสากล ใช้ได้กับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นในรูปแบบมาตรฐาน

ลักษณะอัลกอริธึมของวิธีการช่วยให้สามารถตั้งโปรแกรมและนำไปใช้งานโดยใช้วิธีการทางเทคนิคได้สำเร็จ

จุดสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์มักจะบรรลุที่จุดมุมของขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้เสมอ ประการแรก พบวิธีแก้ปัญหาเบื้องต้น (อ้างอิง) ที่เป็นไปได้บางประการ เช่น จุดมุมใด ๆ ของขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ ขั้นตอนของวิธีการช่วยให้คุณสามารถตอบคำถามว่าโซลูชันนี้เหมาะสมที่สุดหรือไม่ ถ้าใช่แสดงว่าปัญหาได้รับการแก้ไขแล้ว หาก "ไม่" แสดงว่ามีการเปลี่ยนแปลงไปยังจุดมุมที่อยู่ติดกันของขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ โดยที่ค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะดีขึ้น กระบวนการแจกแจงจุดมุมของขอบเขตของการแก้ปัญหาที่เป็นไปได้จะถูกทำซ้ำจนกระทั่งพบจุดที่สอดคล้องกับส่วนปลายสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

เนื่องจากจำนวนจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมมีจำกัด ในขั้นตอนจำนวนจำกัด จึงรับประกันได้ว่าจะหาค่าที่เหมาะสมที่สุดหรือกำหนดความจริงที่ว่าปัญหาไม่สามารถแก้ไขได้

ระบบข้อจำกัดในที่นี้คือระบบสมการเชิงเส้นซึ่งมีจำนวนที่ไม่ทราบ ปริมาณมากขึ้นสมการ หากอันดับของระบบเท่ากัน ก็สามารถเลือกสิ่งที่ไม่ทราบซึ่งแสดงในรูปของสิ่งที่ไม่ทราบที่เหลือได้ เพื่อให้แน่ใจ โดยปกติจะถือว่ามีการเลือกสิ่งที่ไม่ทราบลำดับแรกติดต่อกัน ตัวแปรที่ไม่รู้จัก (ตัวแปร) เหล่านี้เรียกว่าพื้นฐาน ที่เหลือไม่มีค่าใช้จ่าย จำนวนตัวแปรพื้นฐานจะเท่ากับจำนวนข้อจำกัดเสมอ

ด้วยการกำหนดค่าบางอย่างให้กับตัวแปรอิสระและการคำนวณค่าของค่าพื้นฐาน (แสดงในรูปของค่าอิสระ) จะได้รับวิธีแก้ปัญหาต่างๆ สำหรับระบบข้อ จำกัด สิ่งที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือคำตอบที่ได้รับในกรณีที่ตัวแปรอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวเรียกว่าพื้นฐาน โซลูชันพื้นฐานเรียกว่าโซลูชันพื้นฐานที่ยอมรับได้หรือโซลูชันสนับสนุนหากค่าของตัวแปรไม่เป็นลบ เป็นไปตามข้อจำกัดทั้งหมด

เมื่อมีระบบที่มีข้อจำกัด ก็จะพบวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานสำหรับระบบนี้ หากวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานแรกที่ค้นพบเป็นไปได้ ก็จะมีการตรวจสอบความเหมาะสมที่สุด หากไม่เหมาะสมที่สุด จะต้องเปลี่ยนไปใช้โซลูชันพื้นฐานอื่นที่เป็นไปได้

วิธีซิมเพล็กซ์รับประกันว่าด้วยวิธีแก้ปัญหาใหม่นี้ รูปแบบเชิงเส้น หากไปไม่ถึงค่าที่เหมาะสมที่สุดก็จะเข้าใกล้มัน พวกเขาทำเช่นเดียวกันกับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่เป็นไปได้ใหม่ จนกว่าพวกเขาจะพบวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุด

หากพบว่าวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานแรกกลายเป็นสิ่งที่ยอมรับไม่ได้ จากนั้นใช้วิธีซิมเพล็กซ์ การเปลี่ยนไปใช้วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานอื่น ๆ จนกระทั่งในขั้นตอนการแก้ปัญหาบางอย่าง วิธีแก้ปัญหาพื้นฐานกลายเป็นที่ยอมรับได้ หรือสามารถสรุปเกี่ยวกับความไม่สอดคล้องกันได้ ของระบบข้อจำกัด

ดังนั้นการประยุกต์ใช้วิธีซิมเพล็กซ์จึงแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน:

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้สำหรับระบบที่มีข้อจำกัดหรือสร้างข้อเท็จจริงของความไม่สอดคล้องกันของระบบ

ค้นหาแนวทางแก้ไขที่เหมาะสมที่สุดในกรณีที่ระบบมีข้อจำกัดความเข้ากันได้

อัลกอริทึมสำหรับการย้ายไปยังแนวทางแก้ไขที่เป็นไปได้ถัดไปมีดังนี้:

ในเส้นสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ หมายเลขลบที่น้อยที่สุดจะถูกเลือกเมื่อค้นหาค่าสูงสุด หมายเลขซีเรียลของสัมประสิทธิ์คือ หากไม่มีเลย แสดงว่าวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานดั้งเดิมนั้นเหมาะสมที่สุด

ในบรรดาองค์ประกอบของเมทริกซ์ที่มีหมายเลขคอลัมน์ (คอลัมน์นี้เรียกว่าคอลัมน์นำหน้าหรือคอลัมน์แก้ไข) จะมีการเลือกองค์ประกอบที่เป็นบวก หากไม่มีเลย ฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะไม่จำกัดในช่วงค่าที่อนุญาตของตัวแปร และปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข

ในบรรดาองค์ประกอบที่เลือกของคอลัมน์นำของเมทริกซ์จะมีการเลือกค่าของอัตราส่วนของคำศัพท์อิสระที่สอดคล้องกับองค์ประกอบนี้น้อยที่สุด องค์ประกอบนี้เรียกว่าชั้นนำและเส้นที่อยู่นั้นเรียกว่าชั้นนำ

ตัวแปรพื้นฐานที่สอดคล้องกับแถวขององค์ประกอบนำจะต้องถูกโอนไปยังหมวดหมู่อิสระและจะต้องป้อนตัวแปรอิสระที่สอดคล้องกับคอลัมน์ขององค์ประกอบนำในจำนวนตัวแปรพื้นฐาน โซลูชันใหม่ถูกสร้างขึ้นโดยมีตัวแปรพื้นฐานจำนวนใหม่

เงื่อนไขสำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพสูงสุดของแผนเมื่อแก้ไขปัญหาให้สูงสุด: ไม่มีองค์ประกอบเชิงลบในค่าสัมประสิทธิ์ของฟังก์ชันวัตถุประสงค์

ดำเนินการปรับโมเดลเชิงเส้นให้เหมาะสมใน MS Excel วิธีเริม- การค้นหาโซลูชันอ้างอิงสำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นอย่างมีจุดมุ่งหมาย อัลกอริธึมวิธีซิมเพล็กซ์ใช้ในการสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนในพื้นที่หลายมิติ จากนั้นแจกแจงจุดยอดเพื่อค้นหาค่าที่มากที่สุด ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์.

วิธีการที่มีประสิทธิภาพ การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสร้างพื้นฐานของการเขียนโปรแกรมทั้งจำนวนเต็มและไม่เชิงเส้นเพื่อแก้ไขปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น อย่างไรก็ตาม วิธีการเหล่านี้ต้องใช้เวลาในการคำนวณนานกว่า

การบรรยายครั้งต่อไปจะหารือในตัวอย่างโดยละเอียดของการแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมทั่วไปและการตัดสินใจด้านการจัดการโดยใช้โปรแกรมเสริม MS Excel "ค้นหาวิธีแก้ไข" งานที่แก้ไขได้ดีที่สุดด้วยเครื่องมือนี้มีคุณสมบัติหลักสามประการ:

• มีเป้าหมายเดียวที่เกี่ยวข้องกับการใช้งานกับพารามิเตอร์อื่น ๆ ของระบบซึ่งจำเป็นต้องได้รับการปรับให้เหมาะสม (เพื่อค้นหาค่าสูงสุด ต่ำสุด หรือค่าตัวเลขที่แน่นอน)
• มีข้อจำกัดซึ่งมักแสดงออกมาในรูปของความไม่เท่าเทียมกัน (เช่น ปริมาณวัตถุดิบที่ใช้ต้องไม่เกินสต็อกวัตถุดิบในคลังสินค้า หรือเวลาทำงานของเครื่องจักรต่อวันไม่ควรเกิน 24 ชั่วโมง ลบด้วยการบำรุงรักษา เวลา);
• มีชุดของค่าตัวแปรอินพุตที่มีอิทธิพลต่อค่าและข้อจำกัดที่ปรับให้เหมาะสม

พารามิเตอร์ของงานถูกจำกัดตามตัวบ่งชี้ขีดจำกัดต่อไปนี้:

• จำนวนไม่ทราบ - 200;
• จำนวนข้อจำกัดทางสูตรสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบ – 100;
• จำนวนเงื่อนไขจำกัดสำหรับสิ่งที่ไม่ทราบคือ 400

อัลกอริทึมในการค้นหาโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดประกอบด้วยหลายขั้นตอน:

• งานเตรียมการ
• การดีบักโซลูชัน
• การวิเคราะห์สารละลาย

ลำดับของงานเตรียมการที่จำเป็นที่ดำเนินการเมื่อแก้ไขปัญหาการสร้างแบบจำลองทางเศรษฐศาสตร์และคณิตศาสตร์โดยใช้ MS Excel จะแสดงในแผนภาพบล็อกของรูปที่ 1.6

ข้าว. 1.6.

จากแผนงานเตรียมการทั้งห้าประเด็น มีเพียงจุดที่ห้าเท่านั้นที่สามารถทำให้เป็นทางการได้ งานที่เหลือต้องใช้ความคิดสร้างสรรค์ และผู้คนก็สามารถทำได้ด้วยวิธีที่ต่างกันออกไป ให้เราอธิบายสั้น ๆ ถึงสาระสำคัญของถ้อยคำของรายการแผน

เมื่อตั้งค่าปัญหา จะทราบค่าสัมประสิทธิ์เป้าหมายและค่าสัมประสิทธิ์ที่ทำให้เป็นมาตรฐาน ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ ค่าสัมประสิทธิ์ที่สร้างฟังก์ชันวัตถุประสงค์คือค่าของกำไรปกติต่อชั้นวางประเภท ( ) และประเภทชั้นวางเดียว ( - ค่าสัมประสิทธิ์ที่ทำให้เป็นมาตรฐานคือบรรทัดฐานของการใช้วัสดุและเวลาของเครื่องจักรต่อชั้นวางแต่ละประเภท เมทริกซ์มีลักษณะดังนี้:

นอกจากนี้จะทราบถึงคุณค่าของทรัพยากรอยู่เสมอ ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ นี่คือบอร์ดที่จัดหามาหนึ่งสัปดาห์และความสามารถในการใช้เวลาของเครื่องจักร: , - บ่อยครั้งในปัญหาค่าของตัวแปรจำเป็นต้องถูกจำกัด ดังนั้นจึงจำเป็นต้องกำหนดขีดจำกัดล่างและบนของช่วงการเปลี่ยนแปลง

ดังนั้นในกล่องโต้ตอบของโปรแกรมเพิ่มประสิทธิภาพ "ค้นหาวิธีแก้ปัญหา" เราจะต้องตั้งค่าอัลกอริธึมเป้าหมายต่อไปนี้:

ฟังก์ชั่นเป้าหมายเท่ากับผลคูณของเวกเตอร์ของค่าตัวแปรที่ต้องการโดยเวกเตอร์ของสัมประสิทธิ์เป้าหมาย

ค่าสัมประสิทธิ์ที่ทำให้เป็นมาตรฐานสำหรับเวกเตอร์ของค่าตัวแปรที่ต้องการไม่ควรเกินค่าของเวกเตอร์ทรัพยากรที่กำหนด

ค่าตัวแปรต้องอยู่ภายในขีดจำกัดที่ระบุขององค์ประกอบเริ่มต้นของระบบ

จำนวนองค์ประกอบเริ่มต้นของระบบ

จำนวนประเภททรัพยากรที่ระบุ

จำเป็นต้องมีการแก้ไขจุดบกพร่องเมื่อโปรแกรมแสดงข้อความเกี่ยวกับผลลัพธ์เชิงลบ (รูปที่ 1.7):

ข้าว. 1.7.

• หากไม่ได้รับวิธีแก้ปัญหาที่ยอมรับได้ ให้ปรับแบบจำลองข้อมูลต้นฉบับ
• ถ้าไม่ได้รับ ทางออกที่ดีที่สุดจากนั้นจึงแนะนำข้อจำกัดเพิ่มเติม

ปัญหาของโปรแกรม ทางออกที่ดีที่สุดเป็นเพียงแบบจำลองของปัญหาที่แท้จริงเท่านั้น ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาด้วยตัวมันเอง เมื่อสร้างแบบจำลอง มีการตั้งสมมติฐานหลายประการเกี่ยวกับสถานการณ์จริงให้ง่ายขึ้น ทำให้สามารถจัดกระบวนการให้เป็นระเบียบได้ โดยแสดงความสัมพันธ์เชิงปริมาณจริงโดยประมาณระหว่างพารามิเตอร์ของระบบและเป้าหมาย และถ้าพารามิเตอร์จริงแตกต่างจากที่มีอยู่ในโมเดล แล้วโซลูชันจะเปลี่ยนไปอย่างไร? หากต้องการทราบสิ่งนี้ ก่อนตัดสินใจฝ่ายบริหาร จะต้องดำเนินการวิเคราะห์โซลูชันแบบจำลอง

การวิเคราะห์ ทางออกที่ดีที่สุดที่มีอยู่ในโปรแกรม แสดงถึงขั้นตอนสุดท้ายของการสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการทางเศรษฐกิจ ช่วยให้ตรวจสอบความสอดคล้องของโมเดลกับกระบวนการได้ละเอียดยิ่งขึ้น รวมถึงความน่าเชื่อถือของโซลูชันที่ดีที่สุด มันขึ้นอยู่กับข้อมูล ทางออกที่ดีที่สุดและรายงานที่ออกในส่วน “ค้นหาแนวทางแก้ไข” แต่ไม่ได้แยกหรือแทนที่การวิเคราะห์แผนแบบดั้งเดิมจากมุมมองทางเศรษฐกิจก่อนตัดสินใจของฝ่ายบริหาร

การวิเคราะห์ทางเศรษฐศาสตร์มีเป้าหมายดังต่อไปนี้:

• การกำหนดผลที่ตามมาที่เป็นไปได้ในระบบโดยรวมและองค์ประกอบเมื่อเปลี่ยนพารามิเตอร์โมเดล
• การประเมินความเสถียรของแผนที่เหมาะสมที่สุดสำหรับการเปลี่ยนแปลงในแต่ละพารามิเตอร์ของปัญหา: หากการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์ส่วนใหญ่ไม่เสถียรการรับประกันการใช้งานและความสำเร็จของการคำนวณที่เหมาะสมที่สุดจะลดลง
• ดำเนินการคำนวณตัวแปรและรับตัวเลือกแผนใหม่โดยไม่ต้องแก้ไขปัญหาจากพื้นฐานเดิมโดยใช้การปรับเปลี่ยน

วิธีการวิเคราะห์ที่เป็นไปได้แสดงไว้ในแผนภาพในรูปที่ 1.8

หลังจากได้รับโซลูชันที่เหมาะสมที่สุดแล้ว จะมีการวิเคราะห์ตามรายงานที่ได้รับ การวิเคราะห์ความเสถียร- การศึกษาอิทธิพลของการเปลี่ยนแปลงในพารามิเตอร์แบบจำลองแต่ละแบบต่อตัวบ่งชี้ของแนวทางแก้ไขที่ดีที่สุด การวิเคราะห์ขีดจำกัด- การวิเคราะห์การเปลี่ยนแปลงที่อนุญาตในแผนที่เหมาะสมที่สุด ซึ่งแผนยังคงเหมาะสมที่สุด

โดยให้มีความรับผิดชอบในการยอมรับทางเศรษฐกิจ การตัดสินใจของฝ่ายบริหารผู้จัดการจะต้องตรวจสอบให้แน่ใจว่าแผนผลลัพธ์ที่เหมาะสมที่สุดเป็นเพียงแผนที่ถูกต้องเท่านั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ตามแบบจำลอง จำเป็นต้องได้รับคำตอบสำหรับคำถามต่อไปนี้:

• “จะเกิดอะไรขึ้นถ้า…”
• "ต้องใช้อะไร..."

การวิเคราะห์เพื่อตอบคำถามแรกเรียกว่า การวิเคราะห์ตัวแปร- การวิเคราะห์เพื่อตอบคำถามที่สองเรียกว่า โซลูชันที่กำหนดเอง

การวิเคราะห์ตัวแปรอาจเป็นประเภทต่อไปนี้:

• พาราเมตริก- การวิเคราะห์ซึ่งประกอบด้วยการแก้ปัญหาค่าต่าง ๆ ของพารามิเตอร์บางตัว
• การวิเคราะห์โครงสร้าง- เมื่อมีการค้นหาวิธีแก้ไขปัญหาการปรับให้เหมาะสมภายใต้โครงสร้างข้อจำกัดที่แตกต่างกัน
• การวิเคราะห์หลายเกณฑ์เป็นวิธีการแก้ปัญหาโดยใช้ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่แตกต่างกัน
• การวิเคราะห์ด้วยข้อมูลเริ่มต้นแบบมีเงื่อนไข- เมื่อข้อมูลเริ่มต้นที่ใช้ในการแก้ไขปัญหาขึ้นอยู่กับการปฏิบัติตามเงื่อนไขเพิ่มเติม

หลังการวิเคราะห์ควรนำเสนอผลลัพธ์ในรูปแบบกราฟิกและควรรวบรวมรายงานพร้อมคำแนะนำในการตัดสินใจโดยคำนึงถึงสถานการณ์ทางเศรษฐกิจโดยเฉพาะ

ปัจจุบัน โปรแกรมการศึกษาเฉพาะทางที่เกี่ยวข้องกับเศรษฐศาสตร์ การเงิน และการจัดการมีสาขาวิชาที่เรียกว่า "วิธีการตัดสินใจที่เหมาะสมที่สุด" ภายในสาขาวิชานี้ นักเรียนจะศึกษาด้านคณิตศาสตร์ของการเพิ่มประสิทธิภาพ การวิจัยการดำเนินงาน การตัดสินใจ และการสร้างแบบจำลอง คุณสมบัติหลักระเบียบวินัยนี้ถูกกำหนดโดยการศึกษาร่วมกันของวิธีการทางคณิตศาสตร์พร้อมกับการประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาทางเศรษฐกิจ

งานการเพิ่มประสิทธิภาพ: ข้อมูลทั่วไป

หากเราพิจารณากรณีทั่วไป ความหมายของปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุดก็คือการค้นหาสิ่งที่เรียกว่าวิธีแก้ปัญหาที่เหมาะสมที่สุดซึ่งจะเพิ่ม (ลด) ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ให้สูงสุดภายใต้เงื่อนไขข้อจำกัดบางประการ

ปัญหาการปรับให้เหมาะสมสามารถแบ่งออกเป็นสองประเภท ขึ้นอยู่กับคุณสมบัติของฟังก์ชัน:

• ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้น (ฟังก์ชันทั้งหมดเป็นแบบเชิงเส้น)
• ปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้น (อย่างน้อยหนึ่งฟังก์ชันไม่เป็นเชิงเส้น)

กรณีพิเศษของปัญหาการปรับให้เหมาะสมคือปัญหาการเขียนโปรแกรมแบบเศษส่วนเชิงเส้น ไดนามิก และสุ่ม

ปัญหาการปรับให้เหมาะสมที่ได้รับการศึกษามากที่สุดคือปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น (LPP) ซึ่งโซลูชันใช้ค่าจำนวนเต็มเท่านั้น

PPP: การกำหนด, การจำแนกประเภท

ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นในกรณีทั่วไปประกอบด้วยการค้นหาค่าต่ำสุด (สูงสุด) ของฟังก์ชันเชิงเส้นภายใต้ข้อจำกัดเชิงเส้นบางอย่าง

ZLP ทั่วไปคือปัญหาของแบบฟอร์ม

ภายใต้ข้อจำกัด

โดยที่ตัวแปรคือจำนวนจริงที่กำหนด, ฟังก์ชันวัตถุประสงค์, คือแผนปัญหา, (*)-(***) คือข้อจำกัด

คุณลักษณะที่สำคัญของ ZLP คือบรรลุถึงจุดสุดยอดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ที่ขอบเขตของขอบเขตของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้

การประยุกต์วิธีการแก้ปัญหาที่เหมาะสมเชิงเศรษฐศาสตร์ในทางปฏิบัติพบได้ในการแก้ปัญหาประเภทต่อไปนี้:

• ปัญหาเกี่ยวกับสารผสม (เช่น การวางแผนองค์ประกอบของผลิตภัณฑ์)
• ปัญหาการจัดสรรทรัพยากรที่เหมาะสมที่สุดในการวางแผนการผลิต

PAP: ตัวอย่าง

ปัญหาส่วนผสม

วิธีแก้ปัญหาของสารผสมคือการหาชุดที่ถูกที่สุดซึ่งประกอบด้วยวัสดุเริ่มต้นบางชนิดที่ให้ส่วนผสมที่มีคุณสมบัติตามที่ต้องการ

ปัญหาการจัดสรรทรัพยากร

ทางบริษัทผลิต nผลิตภัณฑ์ต่าง ๆ ซึ่งการผลิตต้องใช้ มทรัพยากรประเภทต่างๆ ปริมาณสำรองของทรัพยากรที่ใช้แล้วมีจำกัดและมีจำนวนตามลำดับ ข 1, ข 2,…, ข มลูกศิษย์ นอกจากนี้ยังทราบค่าสัมประสิทธิ์ทางเทคโนโลยีอีกด้วย ไอจซึ่งแสดงจำนวนหน่วย ฉัน- ทรัพยากรที่จำเป็นต้องใช้ในการผลิตหนึ่งหน่วยของผลิตภัณฑ์ เจ-ประเภทที่ () กำไรที่องค์กรได้รับเมื่อขายสินค้า เจ-ประเภทที่ มีจำนวน ซีเจหน่วยการเงิน มีความจำเป็นต้องจัดทำแผนสำหรับการผลิตผลิตภัณฑ์ซึ่งผลกำไรขององค์กรในระหว่างการดำเนินการจะยิ่งใหญ่ที่สุด

ปัญหาเกี่ยวกับการผสมและการจัดสรรทรัพยากรมักเขียนในรูปแบบตาราง

ทรัพยากร	ความต้องการ			เงินสำรอง
	บี 1	…	บีเอ็น
เอ 1				ข 1
…				…
เช้า				ข ม
กำไร	ค 1	…	ซีเอ็น

ปัญหาการผสมและการจัดสรรทรัพยากรสามารถแก้ไขได้หลายวิธี:

• วิธีกราฟิก (ในกรณีที่มีตัวแปรจำนวนน้อยใน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์);
• วิธีซิมเพล็กซ์ (หากจำนวนตัวแปรในแบบจำลองทางคณิตศาสตร์มากกว่าสอง)

ปัญหาการขนส่งหมายถึงคลาสของงานที่มีโครงสร้างเฉพาะบางอย่าง ปัญหาการขนส่งที่ง่ายที่สุดคือปัญหาการขนส่งสินค้าไปยังจุดหมายปลายทางจากจุดออกเดินทางที่ ต้นทุนขั้นต่ำเพื่อการขนส่งสินค้าทั้งหมด

เพื่อความชัดเจนและง่ายต่อการรับรู้สภาพของปัญหาการขนส่งมักจะเขียนไว้ในตารางต่อไปนี้:

โดยทั่วไป การแก้ปัญหาการขนส่งจะดำเนินการในหลายขั้นตอน:

• ขั้นที่ 1: การสร้างแผนอ้างอิงเบื้องต้น
• ด่าน II: การตรวจสอบแผนอ้างอิงเพื่อความเหมาะสมที่สุด
• ด่าน III: การชี้แจงแผนอ้างอิงหากไม่เหมาะสมที่สุด

มีหลายวิธีในการรับแผนอ้างอิงเริ่มต้น เช่น วิธีมุมตะวันตกเฉียงเหนือ วิธี Vogel และวิธีการต้นทุนขั้นต่ำ

แผนได้รับการตรวจสอบเพื่อความเหมาะสมที่สุดโดยใช้วิธีการที่เป็นไปได้:

- สำหรับเซลล์ที่ถูกครอบครอง
- สำหรับเซลล์ว่าง

หากแผนไม่เหมาะสม วงจรจะถูกสร้างขึ้นและกระจายการขนส่งอีกครั้ง

บทสรุป

ไม่สามารถครอบคลุมทฤษฎีและการปฏิบัติทั้งหมดของวิธีการแก้ปัญหาที่ดีที่สุดภายในกรอบของบทความเดียวได้ ดังนั้นจึงมีเพียงบางประเด็นเท่านั้นที่ได้รับการพิจารณาซึ่งช่วยให้เราสามารถให้แนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับระเบียบวินัย ปัญหา และวิธีการในการแก้ปัญหาเหล่านี้

นอกจากนี้ เป็นเรื่องน่าสังเกตว่าในการตรวจสอบวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับสำหรับปัญหาการปรับให้เหมาะสม คุณสามารถใช้ Add-in “Solution Search” ของแพ็คเกจ MS Excel ได้อย่างมีประสิทธิภาพมาก แต่นั่นเป็นอีกเรื่องหนึ่ง ในความเป็นจริง เช่นเดียวกับการพิจารณาโดยละเอียดเกี่ยวกับวิธีการแก้ไขปัญหาการปรับให้เหมาะสม

ต่อไปนี้เป็นหนังสือเรียนหลายเล่มสำหรับศึกษาวิธีการแก้ปัญหาที่ดีที่สุด:

1. Bandi B. พื้นฐานของการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น: ทรานส์ จากอังกฤษ – อ.: วิทยุและการสื่อสาร, 2532. – 176 น.
2. เครเมอร์ เอ็น.ช. การวิจัยปฏิบัติการทางเศรษฐศาสตร์: Proc. คู่มือสำหรับมหาวิทยาลัย / N.Sh. เครเมอร์ ปริญญาตรี ปุตโก, ไอ.เอ็ม. Trishin, M.N. ฟรีดแมน; เอ็ด ศาสตราจารย์ น.ช. เครเมอร์. – อ.: เอกภาพ, 2548. – 407 น.

โซลูชันวิธีการเพิ่มประสิทธิภาพแบบกำหนดเอง

เราสามารถช่วยคุณแก้ไขปัญหาต่างๆ โดยใช้วิธีแก้ไขปัญหาที่เหมาะสมที่สุด คุณสามารถสั่งซื้อวิธีแก้ไขปัญหาบนเว็บไซต์ของเรา คุณเพียงแค่ต้องระบุกำหนดเวลาและแนบไฟล์พร้อมกับงาน คำสั่งซื้อของคุณฟรี

การเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาวิธีการหาค่าต่ำสุดหรือสูงสุดของฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรจำนวนจำกัด โดยมีเงื่อนไขว่าตัวแปรต้องเป็นไปตามข้อจำกัดจำนวนจำกัดในรูปแบบของสมการเชิงเส้นหรืออสมการเชิงเส้น

ดังนั้น ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไป (GLP) จึงสามารถกำหนดได้ดังนี้

ค้นหาค่าของตัวแปรจริงที่ต้องการ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์

รับค่าต่ำสุดบนเซตของจุดที่มีพิกัดตรงกัน ระบบข้อจำกัด

ดังที่ทราบกันดีว่าการรวบรวมค่าตามลำดับ nตัวแปร , , … แสดงด้วยจุดในปริภูมิ n มิติ ต่อไปนี้เราจะกล่าวถึงประเด็นนี้ เอ็กซ์=( , , … ).

ในรูปแบบเมทริกซ์ ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นสามารถกำหนดได้ดังนี้

, ก– เมทริกซ์ขนาด

จุด เอ็กซ์=( , , … ) เรียกว่า ตรงตามเงื่อนไขทุกประการ จุดที่ถูกต้อง - เซตของจุดที่ยอมรับได้ทั้งหมดเรียกว่า พื้นที่ที่ถูกต้อง .

ทางออกที่ดีที่สุด (แผนที่เหมาะสมที่สุด)ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นเรียกว่าวิธีแก้ปัญหา เอ็กซ์=( , , … ) ที่เป็นของขอบเขตที่ยอมรับได้และเป็นของฟังก์ชันเชิงเส้น ถามใช้ค่าที่เหมาะสมที่สุด (สูงสุดหรือต่ำสุด)

ทฤษฎีบท- ชุดของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับระบบข้อจำกัดของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นนั้นเป็นรูปนูน

เซตของจุดเรียกว่า นูน ถ้ามันพร้อมกับจุดสองจุดใดๆ ของมัน จะมีผลรวมเชิงเส้นตรงนูนออกมาตามอำเภอใจ

จุด เอ็กซ์เรียกว่า การรวมกันเชิงเส้นนูน คะแนนหากตรงตามเงื่อนไข

ชุดของวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดสำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นคือบริเวณรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ซึ่งต่อจากนี้เราจะเรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลาย .

ทฤษฎีบท- หาก ZLP มีคำตอบที่เหมาะสมที่สุด ฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะใช้ค่าสูงสุด (ต่ำสุด) ที่จุดยอดจุดใดจุดหนึ่งของรูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลาย ถ้าฟังก์ชันวัตถุประสงค์รับค่าสูงสุด (ต่ำสุด) ที่มากกว่าหนึ่งจุด ฟังก์ชันวัตถุประสงค์ก็จะรับค่านี้ที่จุดใดๆ ที่เป็นผลรวมเชิงเส้นนูนของจุดเหล่านี้

ท่ามกลางโซลูชั่นมากมายของระบบ มสมการเชิงเส้นที่อธิบายรูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลายซึ่งเรียกว่าวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานนั้นมีความโดดเด่น

โซลูชั่นพื้นฐานของระบบ มสมการเชิงเส้นที่มีตัวแปร n ตัวเป็นคำตอบที่ทั้งหมด นาโนเมตรตัวแปรที่ไม่ใช่แกนหลักจะเป็นศูนย์ ในปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น วิธีแก้ปัญหาดังกล่าวเรียกว่า โซลูชันพื้นฐานที่ยอมรับได้ (แผนอ้างอิง)

ทฤษฎีบท- แต่ละวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้สำหรับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นตรงจะสอดคล้องกับจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลาย และในทางกลับกัน กับแต่ละจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมของสารละลายนั้นสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่ยอมรับได้

ข้อพิสูจน์ที่สำคัญตามมาจากทฤษฎีบทข้างต้น:

ถ้าปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นมีวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด มันก็จะสอดคล้องกับวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่เป็นไปได้อย่างน้อยหนึ่งข้อ

ดังนั้น ฟังก์ชันเชิงเส้นที่เหมาะสมที่สุดของเป้าหมายของปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นจะต้องค้นหาจากจำนวนที่จำกัดของวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานที่เป็นไปได้