V opisni geometriji se površina obravnava kot niz zaporednih položajev gibljive črte ali druge površine v prostoru. Črta, ki se giblje v prostoru in tvori površino, se imenuje generatrisa. Generatorji so lahko ravni ali ukrivljeni. Generacijske krivulje so lahko konstantne ali spremenljive, na primer naravno spreminjajoče se.

Enako površino v številnih primerih lahko štejemo za nastalo zaradi gibanja različnih generatric. Na primer, krožni valj je mogoče oblikovati: prvič, z vrtenjem ravne črte glede na fiksno os, vzporedno z generatriko; drugič, s premikanjem kroga, katerega središče se premika vzdolž ravne črte, pravokotne na ravnino kroga; tretjič, s premočrtnim gibanjem krogle.

Pri upodabljanju ploskve na risbi so prikazani le nekateri od številnih možnih položajev generatrise. Na sl. 8.1 prikazuje površino generatrise AB. Med svojim gibanjem ostane generatrisa vzporedna s smerjo MN in hkrati prečka neko ukrivljeno črto CDE. Torej gibanje generatrix AB voden v prostoru s črto CDE.

Črta ali črte, katerih presečišče je predpogoj za gibanje generatrike med oblikovanjem površine, se imenuje vodilo ali vodila.

Na sl. 8.2 prikazuje površino, ki nastane zaradi gibanja ravne črte AB vzdolž dveh vodil - naravnost O1<⅞ (ABE O jaz O 2) in prostorsko krivuljo F.G.L. ne seka črte O1 0 2.

Včasih se črta uporablja kot vodilo, po katerem se premika neka točka, značilna za generatriko, vendar ne leži na njej, na primer središče kroga.

Iz različnih oblik generatric, vodil in vzorcev oblikovanja določene površine so izbrane tiste, ki so najbolj preproste in priročne za prikaz površine na risbi in reševanje problemov, povezanih z njo.

Včasih se za definiranje površine uporablja koncept "površinske determinante", s katerim pomenijo niz neodvisnih pogojev, ki enolično določajo površino. Med pogoji, ki jih vsebuje determinanta, ločimo geometrijski del (točke, premice, ploskve) in zakon (algoritem) za oblikovanje ploskve po geometrijskem delu determinante.

Oglejmo si kratko klasifikacijo ukrivljenih površin, sprejeto v opisni geometriji.

Ravnane razvite površine. Površino, ki jo lahko tvori ravna črta, imenujemo črtasta ploskev. Če je lahko gladkasto površino razporediti tako, da so vse njene točke poravnane z ravnino brez kakršnih koli poškodb na površini (raztrganine ali gube), potem se imenuje razvita. Med razvite ploskve sodijo le tiste ploskve z linijo, pri katerih so sosednje premočrtne generatrise med seboj vzporedne ali sekajo ali se dotikajo neke prostorske krivulje. Vse druge površine z linijo in vse površine brez linij so razvrščene kot nerazvojne površine.

Razvojne ploskve so cilindrične, stožčaste, s povratnim rebrom ali trupom. Na valjasti površini so generatrise vedno vzporedne, vodilo je ena ukrivljena črta. Slika na risbi cilindrične površine, ki je bila prej prikazana v prostoru (glej sliko 8.1), je predstavljena na sl. 8.3. Posebni primeri so ravni krožni valj, nagnjeni krožni valj (glej sliko 9.17, vodilo je krog, katerega ravnina se nahaja pod kotom na os valja in s središčem na njegovi osi). Za stožčaste površine imajo vse premočrtne generatrise skupno fiksno točko - oglišče, vodilo - katera koli ukrivljena črta. Primer slike stožca

površine na risbi - sl. 8.4, projekcije oglišč G", G", vodnik C"D"E", C"D"E". Posebni primeri - ravni krožni stožec, nagnjeni krožni stožec - glej sl. 10.10, prav. Pri površinah s povratnim robom ali trupom se premočrtne generatrise dotikajo enega ukrivljenega vodila.

Ravnane nerazvojne površine: cilindroid, konoid, hiperbolični paraboloid (poševna ravnina). Površina, imenovana cilindroid, nastane s premikanjem ravne črte, ki v vseh svojih položajih ostane vzporedna z določeno dano ravnino (»ravnina vzporednosti«) in seka dve ukrivljeni črti (dve vodili). Površina, imenovana konoid, nastane s premikanjem ravne črte, ki v vseh svojih legah ostane vzporedna z določeno ravnino (»ravnina vzporednosti«) in seka dve vodili, od katerih je eno krivulja, drugo pa ravna črta (slika 8.5, glej tudi sliko 8.2). Ravnina vzporednosti na sl. 8.5 je ravnina π1;

vodila – krivulja s projekcijami E"G"F, E"G"F, ravna črta s projekcijami O",0",O",0. V posebnem primeru, če je ukrivljeno vodilo cilindrična vijačnica z osjo, ki sovpada s premočrtnim vodilom, je nastala površina vijačni konoid, obravnavan spodaj. Risba hiperboličnega paraboloida, imenovanega poševna ravnina, je prikazana na sl. 8.6. Nastanek te površine je mogoče obravnavati kot rezultat gibanja pravokotne generatrike vzdolž dveh vodil - prečkanje ravnih črt, vzporednih z določeno ravnino vzporednosti. Na sl. 8.6 ravnina vzporednosti - ravnina projekcije - vodila - ravne črte s projekcijami M"N", M"N" in F"G", F"G".

Površine brez linij. Delimo jih na površine s konstantno generatriso in s spremenljivo generatriso.

Površine s konstantno generatriko pa delimo na vrtilne ploskve z ukrivljeno generatriso, na primer krogla, torus, vrtilni elipsoid itd., in na ciklične površine, na primer površine ukrivljenih cevi s konstanto. presek, vzmeti.

Površine s spremenljivo generatriso delimo na površine drugega reda, ciklične ploskve s spremenljivo generatriso in okvirne ploskve. Risba površine drugega reda - elipsoida - je prikazana na sl. 8.7. Generatrisa elipsoida je deformabilna elipsa. Dve vodili sta dve sekajoči se elipsi, katerih ravnini sta pravokotni in ena os je skupna. Generatris seka vodila na skrajnih točkah svojih osi.

Pri premikanju ostane ravnina tvorne elipse vzporedna z ravnino, ki jo tvorita dve sekajoči se osi vodilnih elips.

Ciklične površine s spremenljivo generatriko imajo generatriko - krog spremenljivega polmera, vodilo - krivuljo, po kateri se premika središče generatrike, ravnina generatrike je pravokotna na vodilo. Površina okvirja ni definirana z gibljivo generatriko, temveč z določenim številom črt na površini.

Običajno so takšne črte ravne krivulje,

katerih ravnini sta med seboj vzporedni. Dve skupini takšnih črt se sekata in tvorita ravninski okvir površine. Presečišča črt tvorijo točkovni okvir ploskve. Točkovni okvir ploskve lahko podamo tudi s koordinatami površinskih točk. Površine okvirjev se pogosto uporabljajo pri izdelavi ladijskih trupov, letal, avtomobilov in valjev za katodne cevi.

Od teh površin bomo podrobneje obravnavali vijačno površino.

Površine šibkih in močnih diskontinuitet (II. del, I. poglavje, 4. odstavek). Prekinitve kontinuitete (, §§ 18, 19).

Pogoji na površinah močne diskontinuitete v materialnem mediju in v elektromagnetnem polju (VII. poglavje, §§ 4, 5; , § 35). Tangencialne diskontinuitete in udarni valovi (, § 18, 19).

Hidrostatika

Ravnovesje tekočine in plina v polju potencialnih masnih sil. Arhimedov zakon. Ravnotežje in stabilnost lebdečih teles in atmosfere (VIII § 1; , I. del, III. poglavje, §§ 1-4, 8).

Gibanje idealne nestisljive tekočine

Splošna teorija zveznih potencialnih gibanj nestisljive tekočine (VIII. poglavje, § 12). Lastnosti harmoničnih funkcij (VIII. poglavje, § 12). Polisemija potenciala v večpovezanih področjih (I. del, I. poglavje, § 18). Kinematični problem poljubnega gibanja togega telesa v neomejeni prostornini idealne nestisljive tekočine (poglavje VIII, § 14). Energija, gibalna količina in vrtilna količina tekočine, ko se v njej giblje trdno telo (VIII. poglavje, § 15). Gibanje krogle v idealni tekočini (VIII. poglavje, § 13).

Sile vpliva idealne tekočine na telo, ki se giblje v neomejeni masi tekočine (VIII. poglavje, § 16). Osnove teorije dodanih mas (VIII. poglavje, § 15). D'Alembertov paradoks (VIII. poglavje, §§ 8, 16).

Ravninsko gibanje idealne tekočine. Trenutna funkcija. Uporaba metod teorije analitičnih funkcij kompleksne spremenljivke za reševanje ravninskih problemov hidrodinamike in aerodinamike (I. del, III. poglavje, §§ 11-16; §§ 39, 40). Stacionarni tok tekočine okoli valja in profila (, § 41). Chaplyginove formule in izrek Žukovskega (I. del, VI. poglavje, §§ 5, 6; , § 44). Pravilo Žukovskega in Čapligina za določanje kroženja okoli kril z ostrim zadnjim robom (I. del, VI. poglavje, 7. odstavek; , 41. odstavek). Neenakomeren tok okoli profilov (poglavje I, §§ 1-5).

Ravninski problemi pri tokovih curkov. Tok okoli teles z ločevanjem curka. Sheme Kirchhoffa, Efrosa in drugih (I. del, VI. poglavje, 16. odstavek; , 47. odstavek; V. poglavje, 4. odstavek).

Določanje polja hitrosti iz danih vrtincev in virov (I. del, V. poglavje, 11. odstavek; VIII. poglavje, 26. odstavek). Formule Bio-Savart. Premični in obročasti vrtinci (I. del, V. poglavje, §§ 12-15; VIII. poglavje, 27. odstavek). Zakoni porazdelitve tlaka, sile, ki povzročajo prisilno gibanje premočrtnih vrtincev v ravninskem toku (poglavje VIII, § 28).

Postavitev problema in glavni rezultati teorije končnega razpona krila. Naležna črta in naležna ploskev (VII. poglavje, 27. odstavek; , 68. odstavek).

Postavitev Cauchy-Poissonovega problema o valovih na površini težke nestisljive tekočine (I. del, VIII. poglavje, §§ 2, 3; , § 24). Harmonični valovi. Fazna in skupinska hitrost. Disperzija valov (I. del, VII. poglavje, § 8; , § 24; , §§ 11.1, 11.2, 11.4). Prenos energije s progresivnimi valovi (I. del, VII. poglavje, §§ 18-19; , § 11.6). Teorija plitve vode (, § 108; , § 13.10). Boussinesqove in Korteweg-de-Vriesove enačbe. Nelinearni valovi. Soliton (, §§ 13.11, 13.12; , § 24).

Gibanje viskozne tekočine. Teorija mejne plasti.

Turbulenca

Laminarno gibanje nestisljive viskozne tekočine. Couettejev in Poiseuilleov tok (II. del, II. poglavje, 11. in 12. odstavek; VIII. poglavje, 21. odstavek). Pretok viskozne tekočine v difuzorju (V. poglavje, §§ 6, 9; poglavje X, §§ 3, 4; , § 23). Vrtinska difuzija (poglavje VIII, § 30).

Stokesov in Oseenov približek. Problem gibanja krogle v viskozni tekočini v Stokesovi formulaciji (II. del, II. poglavje, 23. in 25. odstavek; VIII. poglavje, 20. odstavek; , 20. odstavek).

Laminarna mejna plast (pogl. VIII, § 23; pogl. VII, § 1). Blasiusov problem (pogl. VIII, § 24; pogl. VII, § 5). Integralne relacije in približne metode, ki temeljijo na njihovi uporabi v teoriji laminarne mejne plasti (, § 89). Pojav ločevanja mejne plasti (, § 86; , §§ 39, 40; , poglavje VII, § 2). Stabilnost mejne plasti (, § 41; , poglavje XVI, §§ 2, 3). Izmenjava toplote s tokom na podlagi teorije mejne plasti (VI. poglavje, § 2; §§ 114-116; poglavje XII, §§ 1, 4).

Turbulenca (, § 95). Reynoldsova izkušnja. Reynoldsove enačbe (poglavje VIII, § 22). Turbulentni prenos toplote in snovi (, §§ 97, 98). Polempirične teorije turbulence (, § 98;, pogl. XIX, §§ 2-4; (, pogl. III, § 4).). Profil hitrosti v mejni plasti. Logaritemski zakon (, § 120;, pogl. XIX, § 5). Neposredna numerična rešitev enačb mehanike tekočin v prisotnosti turbulence ().

V prejšnjih poglavjih smo obravnavali samo tokove, pri katerih je porazdelitev vseh količin (hitrosti, tlaka, gostote itd.) v plinu zvezna. Možna pa so tudi gibanja, pri katerih nastanejo diskontinuitete v porazdelitvi teh količin.

Na nekaterih površinah pride do prekinitve gibanja plina; Pri prehodu skozi takšno površino te količine doživijo skok. Te površine imenujemo diskontinuitetne površine. Med neenakomernim gibanjem plina površine diskontinuitete na splošno ne ostanejo mirujoče; Poudariti je treba, da hitrost gibanja razpočne površine nima nobene zveze s hitrostjo gibanja samega plina. Delci plina lahko med premikanjem prehajajo skozi to površino in jo prečkajo.

Na lomnih površinah morajo biti izpolnjeni določeni robni pogoji.

Za oblikovanje teh pogojev razmislite o nekem elementu površine diskontinuitete in uporabite koordinatni sistem, povezan s tem elementom, z osjo, usmerjeno normalno nanj.

Prvič, obstajati mora neprekinjen tok materiala na površini razpoke: količina plina, ki vstopi na eni strani, mora biti enaka količini plina, ki zapusti drugo stran površine. Pretok plina skozi obravnavani površinski element (na enoto površine) je torej enak pogoju, ko se indeksa 1 in 2 nanašata na obe strani površine diskontinuitete.

Spodaj bomo z oglatimi oklepaji označili razliko v vrednostih katere koli količine na obeh straneh diskontinuitetne površine; Torej,

in nastali pogoj bo zapisan v obrazcu

Končno mora obstajati neprekinjen tok gibalne količine, to pomeni, da morajo biti sile, s katerimi plini delujejo drug na drugega na obeh straneh razpočne površine, enake. Tok gibalne količine skozi enoto površine je enak (glej § 7)

Normalni vektor je usmerjen vzdolž osi, zato kontinuiteta A - komponent toka gibalne količine vodi do pogoja

in kontinuiteta y- in -komponent daje

Enačbe (84.1-4) predstavljajo celoten sistem robnih pogojev na površini diskontinuitete. Iz njih lahko takoj sklepamo, da obstajata dve vrsti diskontinuitetnih površin.

V prvem primeru ni toka snovi skozi površino diskontinuitete. To pomeni, da Ker ni nič, to pomeni, da mora obstajati

Pogoja (84.2) in (84.4) sta v tem primeru samodejno izpolnjena, pogoj (84.3) pa daje. Tako sta na površini diskontinuitete v tem primeru normalna komponenta hitrosti in tlak plina zvezna:

Tangencialne hitrosti in gostota (pa tudi druge termodinamične količine razen tlaka) lahko doživijo poljuben skok. Takšne diskontinuitete bomo imenovali tangencialne.

V drugem primeru je tok snovi in ​​z njim drugačen od nič. Potem iz (84.1) in (84.4) imamo:

t.j. tangencialna hitrost je zvezna na površini diskontinuitete. Gostota, tlak (in s tem druge termodinamične količine) in normalna hitrost doživijo skok, skoki v teh količinah pa so povezani z razmerji (84.1-3). V pogoju (84.2) lahko na podlagi (84.1) zmanjšamo in namesto tega zaradi kontinuitete v zapišemo v. Tako morajo na površini diskontinuitete v obravnavanem primeru obstajati naslednji pogoji:

Motnje te vrste imenujemo udarni valovi.

Če se zdaj vrnemo k fiksnemu koordinatnemu sistemu, moramo namesto tega povsod zapisati razliko med normalno komponento hitrosti plina na diskontinuirano površino in hitrostjo same površine, ki je po definiciji usmerjena vzdolž normale nanjo:

Hitrosti in in so vzete glede na fiksni referenčni sistem. Hitrost je hitrost gibanja plina glede na površino razpoke; sicer lahko rečemo, da obstaja hitrost širjenja same površine pretrganja glede na plin. Upoštevajte, da je ta hitrost različna glede na plin na obeh straneh površine (če pride do razpoke).

Tangencialne diskontinuitete, pri katerih pride do preskoka tangencialnih komponent hitrosti, smo obravnavali že v § 29. Tam je bilo dokazano, da so v nestisljivi tekočini takšne diskontinuitete nestabilne in jih je treba erodirati v turbulentno območje. Podobna študija za stisljivo tekočino kaže, da se taka nestabilnost pojavlja tudi v splošnem primeru poljubnih hitrosti (glej problem 1).

Poseben primer tangencialnih diskontinuitet so diskontinuitete, pri katerih je hitrost zvezna in skok doživi le gostota (in z njo druge termodinamične količine razen tlaka); takšne vrzeli imenujemo kontakt. Kar je bilo povedano zgoraj o nestabilnosti, zanje ne velja.

Prekinite črte (napaka). Ta operacija vam omogoča, da narišete strukturno črto, ki ima na vsaki točki dve oznaki. Ta strukturna črta se imenuje prelomna črta. Primer prelomne črte je podporna stena inmeja(tabla, za prebivalce Sankt Peterburga - robnik :)). Na obrobo lahko podpišete dvojne oznakeposebna ekipa.

Ko pokličete funkcijo, se prikaže pogovorno okno, kjer morate določiti zahtevane parametre.

Če izberete "Vzemi fiksno vrednost nadmorske višine," vnesite številsko vrednost za višino.

Ko izberete "Take by Surface", na seznamu izberite ime obstoječe površine.

Vrsta prelomne črte - levo ali desno.

nasvet. Ko je izbrano potrditveno polje »Shrani vrednost razlike višine«, se zgornja nadmorska višina določi na ta način: vrednost razlike se doda spodnji nadmorski višini, zgornje nadmorske višine pa postane nemogoče urejati. Če ga morate urediti, izklopite potrditveno polje za razlike in vklopite potrditveno polje za to oznako - na voljo bo za urejanje.

Vrednosti višine in razlike lahko spremljate in urejate v pogovornem oknu:

To okno se prikaže, ko programski poziv »Vnesite prvo točko ali [Možnosti (P)]:« določi točko.

Zapomni si, v kateri vrednosti je bil vnos. Ob naslednjem klicu okna se začne vnos iz shranjenega polja.

Možno je onemogočiti kljukico, ki je neznana - prvi stolpec potrditvenih polj.

Ko je vnesena celotna lomna črta, se neznane višine izračunajo iz znanih višin, če je to mogoče.

Zadnji stolpec potrditvenih polj je osnovna oznaka za ponovni izračun (potrditvena polja na levi so smiselna).

Če se osnovna oznaka ne spremeni, spremeni pa se ena od neosnovnih znamk, se druga neosnovna znamka preračuna. In če je osnova spodnja ali zgornja in jo spremeniš, se spremeni srednja; če je osnova srednja in jo spremenite, se privzeto spremeni zgornja.

Če izključite eno od potrditvenih polj v prvem stolpcu, se pomen osnovne oznake izgubi.

Obstaja več izbirnih gumbov, ki ponujajo kljukico za začetni vnos. Če je izbrana možnost »Zadnja«, je predlagana zadnja vnesena višina.

Prelomna črta je poseben objekt, geon. Horizontalni odmik med vrhom in dnom je nastavljen v pogovornem oknu "Nastavitve površine" na zavihku "Nastavitve prelomne črte" v razdelku "Dodatni parametri prelomne črte" s parametrom "Količina premika prelomne črte med gradnjo".

Na koncu risanja prelomne črte se pojavi potrditvena zahteva naslednjega tipa:

"Določite stran zamika prelomne črte s piko<Линия разрыва (Правая)>ali :".

Uporabnik s točko označi smer premika konstrukcijske črte (za udobje vnosa točke se od zadnje vnesene točke konstrukcijske črte do podane točke pojavi gumijasta črta) ali pa potrdi vrsto podanega premika. na začetku (kateri koli drug vnos).

Pri zapenjanju (na primer _Nea) se pripenjanje izvede na dnu prelomne črte.

Naslednje funkcije so bile dodane strukturni prelomni liniji:

§ možnost zaskočitve na zgornjo vrstico,

§ prikaz strani prestavljanja,

§ možnost nastavitve vrednosti premika pri konstrukciji površine (zadostuje 0,01),

§ z ukazom _Explode se pretvori v dve geoliniji.

ZAPISKI PREDAVANJA IZ MATANALIZE

Funkcije več spremenljivk. Geometrična predstavitev funkcije dveh spremenljivk. Ravne črte in površine. Limit in zveznost funkcij več spremenljivk, njihove lastnosti. Parcialni odvodi, njihove lastnosti in geometrijski pomen.

Opredelitev 1.1. Spremenljivka z (z območjem spremembe Z) klical funkcija dveh neodvisnih spremenljivk x,y v izobilju M, če vsak par ( x,y) od mnogih M z od Z.

Opredelitev 1.2. Kup M, v katerem so podane spremenljivke x,y, klical domena funkcije, in sebe x,y- njo argumenti.

Oznake: z = f(x, l), z = z(x, l).

Primeri.

Komentiraj. Od par številk ( x,y) lahko štejemo za koordinate določene točke na ravnini; kasneje bomo izraz "točka" uporabljali za par argumentov za funkcijo dveh spremenljivk, pa tudi za urejen niz števil
, ki so argumenti za funkcijo več spremenljivk.

Opredelitev 1.3. . Spremenljivka z (z območjem spremembe Z) klical funkcija več neodvisnih spremenljivk
v izobilju M, če je vsak niz števil
od mnogih M v skladu z nekim pravilom ali zakonom je določena določena vrednost z od Z. Pojma argumentov in domene uvedemo na enak način kot za funkcijo dveh spremenljivk.

Oznake: z = f
,z = z
.

Geometrična predstavitev funkcije dveh spremenljivk.

Upoštevajte funkcijo

z = f(x, l) , (1.1)

določeno na nekem področju M na ravnini O xy. Nato množica točk v tridimenzionalnem prostoru s koordinatami ( x, l, z) , kjer je graf funkcije dveh spremenljivk. Ker enačba (1.1) določa določeno površino v tridimenzionalnem prostoru, bo to geometrijska podoba obravnavane funkcije.

z = f(x,y)

M l

Komentiraj. Za funkcijo treh ali več spremenljivk bomo uporabili izraz »površina v n-dimenzionalni prostor«, čeprav je takšno površino nemogoče upodobiti.

Ravne črte in površine.

Za funkcijo dveh spremenljivk, podano z enačbo (1.1), lahko upoštevamo niz točk ( x,y) O letalo xy, za katerega z zavzema isto konstantno vrednost, tj z= konst. Te točke tvorijo premico na ravnini, imenovani nivojska linija.

Primer.

Poiščite nivojske črte za površino z = 4 – x² - l². Njihove enačbe izgledajo takole x² + l² = 4 – c (c=const) – enačbe koncentričnih krogov s središčem v izhodišču in s polmeri
. Na primer, kdaj z=0 dobimo krog x² + l² = 4.

Za funkcijo treh spremenljivk u = u (x, l, z) enačba u (x, l, z) = c definira površino v tridimenzionalnem prostoru, ki se imenuje ravna površina.

Primer.

Za funkcijo u = 3x + 5l – 7z–12 ravne površine bodo družina vzporednih ravnin, podanih z enačbami

3x + 5l – 7z –12 + z = 0.

Limit in zveznost funkcije več spremenljivk.

Predstavimo koncept δ-soseske točke M 0 (X 0 , y 0 ) na ravnini O xy kot krog s polmerom δ s središčem v dani točki. Podobno lahko definiramo δ-sosesko v tridimenzionalnem prostoru kot kroglo polmera δ s središčem v točki M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) . Za n-dimenzionalni prostor bomo imenovali δ-okolica točke M 0 niz točk M s koordinatami
, ki izpolnjuje pogoj

Kje
- koordinate točk M 0 . Včasih se ta sklop imenuje "krogla". n-dimenzionalni prostor.

Opredelitev 1.4.Število A se imenuje omejitev funkcije več spremenljivk f
na točki M 0 če

tako da | f(M) – A| < ε для любой точки M iz δ-soseščine M 0 .

Oznake:
.

Upoštevati je treba, da je v tem primeru točka M se morda približuje M 0, relativno rečeno, vzdolž katere koli trajektorije znotraj δ-soseščine točke M 0 . Zato je treba mejo funkcije več spremenljivk v splošnem pomenu razlikovati od ti ponavljajoče se meje pridobljen z zaporednimi prehodi do meje za vsak argument posebej.

Primeri.

Komentiraj. Dokaže se lahko, da iz obstoja meje na dani točki v običajnem pomenu in obstoja na tej točki meje na posamezne argumente sledi obstoj in enakost ponavljajočih se mej. Obratna trditev ne drži.

Opredelitev 1.5. funkcija f
klical neprekinjeno na točki M 0
, Če
(1.2)

Če uvedemo notacijo

Ta pogoj (1.2) lahko prepišemo v obliki

(1.3)

Opredelitev 1.6. Notranja točka M 0 domena funkcije z = f (M) klical prelomna točka funkcijo, če pogoji (1.2), (1.3) na tej točki niso izpolnjeni.

Komentiraj. Na ravnini ali v prostoru lahko nastane veliko diskontinuitetnih točk vrstice oz površina zloma.