1. prednáška Teória funkcií dvoch a viacerých premenných (TFNP). 1. Pojem FNP. 2. FNP limit. 3. Kontinuita FNP. 4. Parciálne derivácie prvého rádu. 5. Derivácia komplexnej funkcie. 6. Derivácia implicitnej funkcie. 7. Deriváty vyššieho rádu.

1. Pojem FNP. Nech množina D je oblasť v rovine. Definícia. Ak je číslo asociované, potom hovoria, že na množine D je daná číselná funkcia D - definičný obor funkcie.

Ak bod, tak zobrazenie je určené dvomi súradnicami, funkciou 2 premenných.Grafom takejto funkcie bude množina bodov so súradnicami x,y,z - plocha v priestore.

Geometrická interpretácia f(x, y). D – nejaká časť roviny 0 ХY z D – priemet grafu funkcie f(x, y) do roviny 0 ХY z f О x D x y y Grafom funkcie je plocha v priestore.

2. Limita funkcie dvoch premenných. Nech bod Množina bodov sa nazýva taká, ktorá je okolím bodu

Definícia. Nech bod If potom bod P nazývame vnútorným bodom množiny D. Definícia. Ak sú všetky body D interné v tejto množine, potom sa nazýva otvorená. Definícia. Akákoľvek otvorená množina obsahujúca bod sa nazýva jeho okolie.

Definícia. Množina ľubovoľných dvoch bodov, ktoré môžu byť spojené súvislou krivkou ležiacou v tejto množine, sa nazýva spojená. Definícia. Otvorená pripojená množina sa nazýva región.

Nech je funkcia v okolí bodu definovaná v nejakom (nie nevyhnutne v samotnom bode). Číslo A sa nazýva limita funkcie, pretože má tendenciu

Označenie. Komentujte. Ašpirácia môže nastať podľa akéhokoľvek zákona a smeru, pričom existujú všetky limitné hodnoty a sú rovné A.

Príklad. Uvažujme funkciu Uvažujme tendenciu prechádzajúcu cez t (0, 0): pozdĺž priamych čiar závisí hodnota A od toho, ako.

3. Kontinuita FNP. Funkcia sa nazýva spojitá v bode, ak je porušená aspoň jedna z podmienok 1-3, potom ide o bod nespojitosti.

Body zlomu môžu byť izolované, tvoria zlomové čiary, zlomové plochy. Príklad. a) Bod zlomu – (izolovaný) b) - čiara zlomu

Definícia. Rozdiel sa nazýva celkový prírastok funkcie. Definícia. Limity sa nazývajú parciálne derivácie funkcie (za predpokladu, že existujú).

Pravidlá pre výpočet parciálnych derivácií FNP sa zhodujú s príslušnými pravidlami pre funkciu jednej premennej. Komentujte. Pri výpočte derivácie FNP vzhľadom na jednu z premenných sa všetky ostatné považujú za konštanty. Príklad.

Definícia. Volá sa hlavná (lineárna) časť celkového prírastku funkcie v bode úplný diferenciál funkcie v tomto bode.

5. Derivácia komplexnej funkcie. Uvažujme funkciu, kde t.j. z je komplexná funkcia x, y. Parciálne derivácie komplexnej funkcie vzhľadom na premenné x a y sa vypočítajú takto: (ako v prípade komplexnej funkcie jednej premennej).

Totálna derivácia a) kde t.j. z je komplexná funkcia jedného argumentu t. Potom je celková derivácia funkcie vzhľadom na argument t.

Pri štúdiu mnohých zákonitostí v prírodných vedách a ekonómii sa stretávame s funkciami dvoch (alebo viacerých) nezávislých premenných.

Definícia (pre funkciu dvoch premenných).Nechaj X , Y A Z - zástupy. Ak každý pár (X, r) prvky zo sád resp X A Y na základe nejakého zákona f zhoduje sa s jedným a iba jedným prvkom z od mnohých Z , potom to hovoria je daná funkcia dvoch premenných z = f(X, r) .

Všeobecne doména funkcie dvoch premenných geometricky môže byť reprezentovaná určitou množinou bodov ( X; r) lietadlo xOy .

Základné definície týkajúce sa funkcií viacerých premenných sú zovšeobecnením zodpovedajúcich definície funkcie jednej premennej .

Kopa D volal doména funkcie z a súpravu E – jeho mnoho významov. Premenné X A r vo vzťahu k funkcii z sa nazývajú jeho argumenty. Variabilné z nazývaná závislá premenná.

Súkromné ​​hodnoty argumentov

zodpovedá súkromnej hodnote funkcie

Doména funkcie viacerých premenných

Ak funkcia viacerých premenných (napríklad dvoch premenných) daný vzorcom z = f(X, r) , To oblasť jeho definície je množina všetkých takýchto bodov roviny x0r, pre ktorý výraz f(X, r) dáva zmysel a akceptuje skutočné hodnoty. Všeobecné pravidlá pre definičný obor funkcie viacerých premenných sú odvodené od všeobecných pravidiel pre doména definície funkcie jednej premennej. Rozdiel je v tom, že pre funkciu dvoch premenných je doménou definície určitá množina bodov v rovine a nie priamka, ako pri funkcii jednej premennej. Pre funkciu troch premenných je doménou definície zodpovedajúca množina bodov v trojrozmernom priestore a pre funkciu n premenné - zodpovedajúca množina bodov abstraktu n-rozmerný priestor.

Doména funkcie dvoch premenných s koreňom n stupeň

V prípade, že funkcia dvoch premenných je daná vzorcom a n - prirodzené číslo :

Ak n je párne číslo, potom doménou definície funkcie je množina bodov roviny zodpovedajúcich všetkým hodnotám radikálneho výrazu, ktoré sú väčšie alebo rovné nule, tj.

Ak n je nepárne číslo, potom doménou definície funkcie je množina ľubovoľných hodnôt, teda celá rovina x0r .

Oblasť mocninnej funkcie dvoch premenných s celočíselným exponentom

:

Ak a- kladné, potom definičným oborom funkcie je celá rovina x0r ;

Ak a- záporné, potom doménou definície funkcie je množina hodnôt odlišných od nuly: .

Oblasť mocninnej funkcie dvoch premenných s zlomkovým exponentom

V prípade, keď je funkcia daná vzorcom :

ak je kladné, potom doménou definície funkcie je množina tých bodov v rovine, v ktorých nadobúda hodnoty väčšie alebo rovné nule: ;

ak - je záporné, potom doménou definície funkcie je množina tých bodov v rovine, v ktorých nadobúda hodnoty väčšie ako nula: .

Oblasť definície logaritmickej funkcie dvoch premenných

Logaritmická funkcia dvoch premenných je definovaný za predpokladu, že jeho argument je kladný, to znamená, že doménou jeho definície je množina tých bodov v rovine, v ktorých nadobúda hodnoty väčšie ako nula: .

Oblasť definície goniometrických funkcií dvoch premenných

Funkčná doména - celé lietadlo x0r .

Funkčná doména - celé lietadlo x0r .

Definičný obor funkcie je celá rovina x0r

Funkčná doména - celé lietadlo x0r s výnimkou dvojíc čísel, pre ktoré nadobúdajú hodnoty.

Oblasť definície inverzných goniometrických funkcií dvoch premenných

Funkčná doména .

Funkčná doména - súbor bodov na rovine, pre ktoré .

Funkčná doména - celé lietadlo x0r .

Funkčná doména - celé lietadlo x0r .

Oblasť definície zlomku ako funkcie dvoch premenných

Ak je funkcia daná vzorcom, potom definičným oborom funkcie sú všetky body roviny, v ktorej .

Oblasť lineárnej funkcie dvoch premenných

Ak je funkcia daná vzorcom tvaru z = sekera + podľa + c , potom definičným oborom funkcie je celá rovina x0r .

Príklad 1

Riešenie. Podľa pravidiel pre definičný obor skladáme dvojitú nerovnosť

Vynásobíme celú nerovnosť a dostaneme

Výsledný výraz špecifikuje definičný obor tejto funkcie dvoch premenných.

Príklad 2 Nájdite definičný obor funkcie dvoch premenných.

(1. prednáška)

Funkcie 2 premenných.

Premenná z sa nazýva funkcia 2 premenných f(x,y), ak je pre ľubovoľnú dvojicu hodnôt (x,y) G priradená určitá hodnota premennej z.

Def. Okolie bodu p 0 je kružnica so stredom v bode p 0 a polomerom. = (x-x 0 ) 2 + (oooh 0 ) 2

z ľubovoľne malého čísla možno zadať číslo ()>0 tak, že pre všetky hodnoty x a y, pre ktoré je vzdialenosť od t.p do p0 menšia, platí nasledujúca nerovnosť: f(x,y) A , t.j. pre všetky body p spadajúce do blízkosti bodu p 0 s polomerom sa hodnota funkcie líši od A o menej ako v absolútnej hodnote. A to znamená, že keď sa bod p priblíži k bodu p 0 o ktokoľvek

Kontinuita funkcie.

Nech je daná funkcia z=f(x,y), p(x,y) je aktuálny bod, p 0 (x 0 ,y 0) je uvažovaný bod.

Def.

3) Limita sa rovná hodnote funkcie v tomto bode: = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );

pp 0

Čiastočná derivácia.

Dajme argumentu x prírastok x; x+x, dostaneme bod p 1 (x+x,y), vypočítame rozdiel medzi hodnotami funkcie v bode p:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) čiastočný prírastok funkcie zodpovedajúci prírastku argumentu x.

z= Lim X z

z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)

X x 0 X

Definovanie funkcie viacerých premenných

Pri zvažovaní mnohých problémov z rôznych oblastí poznania je potrebné študovať takéto závislosti medzi premennými kedy číselné hodnoty jeden z nich je úplne určený hodnotami niekoľkých ďalších.

Napríklad Pri štúdiu fyzického stavu tela je potrebné pozorovať zmeny v jeho vlastnostiach z bodu do bodu. Každý bod telesa je určený tromi súradnicami: x, y, z. Preto pri štúdiu povedzme distribúcie hustoty sme dospeli k záveru, že hustota telesa závisí od troch premenných: x, y, z. Ak sa v priebehu času t zmení aj fyzický stav tela, potom bude rovnaká hustota závisieť od hodnôt štyroch premenných: x, y, z, t.

Ďalší príklad: skúmajú sa výrobné náklady na výrobu jednotky určitého typu produktu. Nechať byť:

x - náklady na materiál,

y - náklady na platbu mzdy zamestnanci,

z - odpisy.

Je zrejmé, že výrobné náklady závisia od hodnôt menovaných parametrov x, y, z.

Definícia 1.1 Ak pre každú množinu hodnôt „n“ premenných

z nejakej množiny D týchto kolekcií zodpovedá jej jedinečná hodnota premennej z, potom hovoria, že funkcia je daná na množine D

"n" premenné.

Množina D špecifikovaná v definícii 1.1 sa nazýva doména definície alebo doména existencie tejto funkcie.

Ak sa uvažuje funkcia dvoch premenných, potom súbor čísel

označujú sa spravidla (x, y) a interpretujú sa ako body roviny súradníc Oxy a definičný obor funkcie z = f (x, y) dvoch premenných je znázornený ako určitá množina bodov. na rovine Oxy.

Takže napríklad doména definície funkcie

je množina bodov roviny Oxy, ktorých súradnice vyhovujú vzťahu

je to kružnica s polomerom r so stredom v počiatku.

Pre funkciu

doménou definície sú body, ktoré spĺňajú podmienku

teda vonkajší vzhľadom na daný kruh.

Funkcie dvoch premenných sú často špecifikované implicitne, t.j. ako rovnica

prepojenie troch premenných. V tomto prípade možno každú z veličín x, y, z považovať za implicitnú funkciu ostatných dvoch.

Geometrický obraz (graf) funkcie dvoch premenných z = f (x, y) je množina bodov P (x, y, z) v trojrozmernom priestore Oxyz, ktorých súradnice spĺňajú rovnicu z = f (x, y).

Grafom funkcie spojitých argumentov je spravidla určitá plocha v priestore Oxyz, ktorá sa premieta na súradnicovú rovinu Oxy do definičného oboru funkcie z= f (x, y).

Takže napríklad (obr. 1.1) graf funkcie

je horná polovica gule a graf funkcie

Spodná polovica gule.

Rozvrh lineárna funkcia z = ax + by + с je rovina v priestore Oxyz a graf funkcie z = const je rovina rovnobežná s rovinou súradníc Oxyz.

Všimnite si, že nie je možné vizuálne zobraziť funkciu troch alebo viacerých premenných vo forme grafu v trojrozmernom priestore.

V nasledujúcom texte sa obmedzíme najmä na úvahy o funkciách dvoch alebo troch premenných, keďže úvahy o prípade väčšieho (ale konečného) počtu premenných sa vykonávajú podobne.

Definícia funkcie viacerých premenných.

(1. prednáška)

Premenná u sa nazýva f(x,y,z,..,t), ak je pre ľubovoľnú množinu hodnôt (x,y,z,..,t) priradená dobre definovaná hodnota premennej u.

Množina kolekcií hodnoty premennej sa nazýva doména definície funkcie.

G - množina (x,y,z,..,t) - doména definície.

Funkcie 2 premenných.

Premenná z sa nazýva funkcia 2 premenných f(x,y), ak pre ľubovoľnú dvojicu hodnôt (x,y) О G je priradená určitá hodnota premennej z.

Limita funkcie 2 premenných.

Nech je daná funkcia z=f(x,y), p(x,y) je aktuálny bod, p 0 (x 0 ,y 0) je uvažovaný bod.

Def. Okolie bodu p 0 je kružnica so stredom v bode p 0 a polomerom r. r= Ö (x-x 0 ) 2 + (oooh 0 ) 2 Ø

Číslo A sa nazýva limita funkcie | v bode p 0, ak existuje

pre ľubovoľne malé číslo e možno zadať číslo r (e)>0 tak, že pre všetky hodnoty x a y, pre ktoré je vzdialenosť od t. p do p0 menšia ako r, platí nasledujúca nerovnosť: ½f(x,y) - A½0, s polomerom r sa hodnota funkcie líši od A o menej ako e v absolútnej hodnote. A to znamená, že keď sa bod p priblíži k bodu p 0 o ktokoľvek cestu, hodnota funkcie sa neurčito približuje k číslu A.

Kontinuita funkcie.

Nech je daná funkcia z=f(x,y), p(x,y) je aktuálny bod, p 0 (x 0 ,y 0) je uvažovaný bod.

Def. Funkcia z=f(x,y) sa nazýva spojitá pri t. p 0, ak sú splnené 3 podmienky:

1) funkcia je definovaná v tomto bode. f(p0) = f(x,y);

2) f-i má v tomto bode limit.

3) Limita sa rovná hodnote funkcie v tomto bode: b = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y)= f(x 0 ,y 0 ) ;

pà p 0

Ak je porušená aspoň jedna z podmienok kontinuity, potom sa bod p nazýva bod zlomu. Pre funkcie 2 premenných môžu existovať samostatné body prerušenia a celé čiary prerušenia.

Pojem limita a spojitosť pre funkcie väčšieho počtu premenných je definovaný podobne.

Funkciu troch premenných nie je možné znázorniť graficky, na rozdiel od funkcie 2 premenných.

Pre 3-premennú funkciu môžu existovať body diskontinuity, čiary diskontinuity a plochy diskontinuity.

Čiastočná derivácia.

Uvažujme funkciu z=f(x,y), p(x,y) je bod, o ktorom sa uvažuje.

Dajme argumentu x prírastok Dx; x+Dx, dostaneme bod p 1 (x+Dx,y), vypočítame rozdiel v hodnotách funkcie v bode p:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - čiastočný prírastok funkcie zodpovedajúci prírastku argumentu x.

Def. Podiel derivácie funkcie z=f(x,y) vzhľadom na premennú x sa nazýva limita pomeru čiastočného prírastku tejto funkcie vzhľadom na premennú x k tomuto prírastku, keď táto má tendenciu k nula.

¶ z= Lim D X z

à ¶ z = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)

¶ X DX® 0 DX

Podobne určíme kvocient derivácie vzhľadom na premennú y.

Hľadanie parciálnych derivácií.

Pri určovaní parciálnych derivácií sa vždy mení len jedna premenná, zvyšné premenné sa považujú za konštanty. Výsledkom je, že zakaždým, keď uvažujeme funkciu len jednej premennej a parciálna derivácia sa zhoduje s obvyklou deriváciou tejto funkcie jednej premennej. Z toho vyplýva pravidlo hľadania parciálnych derivácií: parciálna derivácia vzhľadom na uvažovanú premennú sa hľadá ako obyčajná derivácia funkcie tejto jednej premennej, so zvyšnými premennými sa zaobchádza ako s konštantami. V tomto prípade sa ukážu ako platné všetky vzorce na derivovanie funkcie jednej premennej (derivát sumy, súčinu, kvocientu).

Pojem funkcie viacerých premenných

Ak je každý bod X = (x 1, x 2, ... x n) z množiny (X) bodov n-rozmerného priestoru spojený s jednou presne definovanou hodnotou premennej z, potom hovoria, že daný funkcia n premenných z = f (x 1, x 2, ... x n) = f (X).

V tomto prípade sa volajú premenné x 1, x 2, ... x n nezávislé premenné alebo argumenty funkcie, z - závislá premenná a symbol f označuje korešpondenčný zákon. Množina (X) sa nazýva doména definície funkcie (ide o určitú podmnožinu n-rozmerného priestoru).

Napríklad funkcia z = 1/(x 1 x 2) je funkciou dvoch premenných. Jeho argumenty sú premenné x 1 a x 2 a z je závislá premenná. Definičný obor je celá súradnicová rovina s výnimkou priamok x 1 = 0 a x 2 = 0, t.j. bez osí x a ordinátov. Dosadením ľubovoľného bodu z definičného oboru do funkcie získame podľa korešpondenčného zákona určité číslo. Napríklad zobrať bod (2; 5), t.j. x 1 = 2, x 2 = 5, dostaneme
z = 1/(2x5) = 0,1 (t.j. z(2; 5) = 0,1).

Funkcia tvaru z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b, kde a 1, a 2,..., a n, b sú konštantné čísla, sa nazýva lineárne. Možno ho považovať za súčet n lineárnych funkcií premenných x 1, x 2, ... x n. Všetky ostatné funkcie sú volané nelineárne.

Napríklad funkcia z = 1/(x 1 x 2) je nelineárna a funkcia z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – lineárne.

Akákoľvek funkcia z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) môže byť spojená s n funkciami jednej premennej, ak zafixujeme hodnoty všetkých premenných okrem jednej.

Napríklad funkcie troch premenných z = 1/(x 1 x 2 x 3) môžu byť spojené s tromi funkciami jednej premennej. Ak zafixujeme x 2 = a a x 3 = b, potom funkcia bude mať tvar z = 1/(abx 1); ak zafixujeme x 1 = a a x 3 = b, potom bude mať tvar z = 1/(abx 2); ak zafixujeme x 1 = a a x 2 = b, potom bude mať tvar z = 1/(abx 3). V tomto prípade majú všetky tri funkcie rovnaký tvar. Nie je to vždy tak. Ak napríklad pre funkciu dvoch premenných zafixujeme x 2 = a, potom bude mať tvar z = 5x 1 a, t.j. mocninovú funkciu a ak zafixujeme x 1 = a, tak bude mať tvar, t.j. exponenciálna funkcia.

Rozvrh funkcia dvoch premenných z = f(x, y) je množina bodov v trojrozmernom priestore (x, y, z), ktorých aplikácia z súvisí s úsečkou x a y y funkčným vzťahom
z = f (x, y). Tento graf predstavuje nejaký povrch v trojrozmernom priestore (napríklad ako na obrázku 5.3).

Dá sa dokázať, že ak je funkcia lineárna (t.j. z = ax + by + c), potom jej graf je rovina v trojrozmernom priestore. Ďalšie príklady 3D grafy Odporúča sa študovať samostatne pomocou Kremerovej učebnice (s. 405-406).

Ak existujú viac ako dve premenné (n premenných), potom harmonogram funkcia je množina bodov v (n+1)-rozmernom priestore, pre ktoré je vypočítaná súradnica x n+1 v súlade s daným funkčným zákonom. Takýto graf je tzv hyperpovrch(pre lineárnu funkciu - nadrovina), a zároveň predstavuje vedeckú abstrakciu (nie je možné ju zobraziť).

Obrázok 5.3 – Graf funkcie dvoch premenných v trojrozmernom priestore

Rovný povrch funkcia n premenných je množina bodov v n-rozmernom priestore taká, že vo všetkých týchto bodoch je hodnota funkcie rovnaká a rovná C. Samotné číslo C sa v tomto prípade nazýva tzv. úrovni.

Zvyčajne je pre tú istú funkciu možné zostrojiť nekonečné množstvo úrovňových plôch (zodpovedajúcich rôznym úrovniam).

Pre funkciu dvoch premenných má rovný povrch tvar úrovňové čiary.

Uvažujme napríklad z = 1/(x 1 x 2). Vezmime si C = 10, t.j. 1/(x 1 x 2) = 10. Potom x 2 = 1/(10x 1), t.j. v rovine bude mať vodorovná čiara tvar zobrazený na obrázku 5.4 ako plná čiara. Ak vezmeme inú úroveň, napríklad C = 5, dostaneme čiaru úrovne vo forme grafu funkcie x 2 = 1/(5x 1) (na obrázku 5.4 je znázornená bodkovaná čiara).

Obrázok 5.4 - Čiary úrovne funkcií z = 1/(x 1 x 2)

Pozrime sa na ďalší príklad. Nech z = 2x 1 + x 2. Vezmime si C = 2, t.j. 2x 1 + x 2 = 2. Potom x 2 = 2 - 2x 1, t.j. v rovine bude mať vodorovná čiara tvar priamky, znázornenej na obrázku 5.5 plnou čiarou. Ak vezmeme ďalšiu úroveň, napríklad C = 4, dostaneme čiaru úrovne v tvare priamky x 2 = 4 - 2x 1 (na obrázku 5.5 je znázornená bodkovaná čiara). Čiara úrovne pre 2x 1 + x 2 = 3 je znázornená na obrázku 5.5 ako bodkovaná čiara.

Je ľahké overiť, že pre lineárnu funkciu dvoch premenných bude akákoľvek úrovňová čiara priamkou v rovine a všetky čiary úrovne budú navzájom rovnobežné.

Obrázok 5.5 - Čiary úrovne funkcií z = 2x 1 + x 2

) sme sa už opakovane stretli s parciálnymi deriváciami zložitých funkcií ako aj zložitejšie príklady. Tak o čom ešte môžete hovoriť?! ...A všetko je ako v živote - neexistuje zložitosť, ktorá by sa nedala skomplikovať =) Ale matematika je to, na čo je matematika, aby sa rozmanitosť nášho sveta vtesnala do prísneho rámca. A niekedy sa to dá urobiť jednou vetou:

Vo všeobecnosti má komplexná funkcia formu , Kde, aspoň jeden písmen predstavuje funkciu, čo môže závisieť od svojvoľný počet premenných.

Minimálna a najjednoduchšia možnosť je dlho známa komplexná funkcia jednej premennej, ktorých derivát sme sa naučili, ako nájsť minulý semester. Máte tiež schopnosti rozlišovať funkcie (pozrite sa na rovnaké funkcie ) .

Preto nás teraz bude zaujímať len prípad. Vzhľadom na veľkú rozmanitosť komplexných funkcií sú všeobecné vzorce ich derivátov veľmi ťažkopádne a ťažko stráviteľné. V tejto súvislosti sa obmedzím na konkrétne príklady, z ktorých to pochopíte všeobecný princíp nájsť tieto deriváty:

Príklad 1

Vzhľadom na zložitú funkciu, kde . Požadovaný:
1) nájdite jeho deriváciu a zapíšte celkový diferenciál 1. rádu;
2) vypočítajte hodnotu derivátu pri .

Riešenie: Najprv sa pozrime na samotnú funkciu. Je nám ponúknutá funkcia v závislosti od a , ktoré zase sú funkcie jedna premenná:

Po druhé, venujme veľkú pozornosť samotnej úlohe - musíme ju nájsť derivát, teda nehovoríme o parciálnych deriváciách, na ktoré sme zvyknutí! Od funkcie v skutočnosti závisí len od jednej premennej, potom slovo „derivát“ znamená celkový derivát. Ako ju nájsť?

Prvá vec, ktorá príde na myseľ, je priama substitúcia a ďalšia diferenciácia. Poďme nahradiť k funkcii:
, po ktorom nie sú žiadne problémy s požadovaným derivátom:

A teda celkový diferenciál:

Toto riešenie je matematicky správne, ale malá nuansa je v tom, že keď je problém formulovaný tak, ako je formulovaný, nikto od vás nečaká také barbarstvo =) Ale vážne, tu sa dá naozaj nájsť chyba. Predstavte si, že funkcia opisuje let čmeliaka a vnorené funkcie sa menia v závislosti od teploty. Vykonávanie priamej substitúcie , dostaneme len súkromné ​​informácie, ktorý charakterizuje let povedzme len v horúcom počasí. Navyše, ak človeku, ktorý sa v čmeliakoch nevyzná, dostane hotový výsledok a dokonca mu povie, aká je táto funkcia, potom sa nikdy nedozvie nič o základnom zákone letu!

Takže úplne nečakane nám náš bzučiaci brat pomohol pochopiť význam a dôležitosť univerzálneho vzorca:

Zvyknite si na „dvojposchodovú“ notáciu pre deriváty - v posudzovanej úlohe sa používajú práve oni. V tomto prípade by mal byť jeden veľmi úhľadné v položke: deriváty s priamymi symbolmi „de“ sú úplné deriváty a deriváty so zaoblenými ikonami sú parciálne deriváty. Začnime tými poslednými:

No, s „chvosty“ je všetko vo všeobecnosti elementárne:

Nahraďte nájdené deriváty do nášho vzorca:

Keď je funkcia pôvodne navrhnutá zložitým spôsobom, bude to logické (a to je vysvetlené vyššie!) výsledky nechajte tak, ako sú:

Zároveň je v „sofistikovaných“ odpovediach lepšie zdržať sa aj minimálnych zjednodušení (tu sa napríklad žiada odstrániť 3 mínusy)- a máte menej práce a váš chlpatý priateľ si s radosťou prejde úlohu ľahšie.

Hrubá kontrola však nebude zbytočná. Poďme nahradiť do nájdeného derivátu a vykonajte zjednodušenia:


(v poslednom kroku, ktorý sme použili trigonometrické vzorce , )

Výsledkom bol rovnaký výsledok ako pri metóde „barbarského“ riešenia.

Vypočítajme deriváciu v bode. Najprv je vhodné zistiť „tranzitné“ hodnoty (hodnoty funkcií ) :

Teraz zostavíme konečné výpočty, ktoré je v tomto prípade možné vykonať rôznymi spôsobmi. Používam zaujímavú techniku, v ktorej sú 3. a 4. „poschodie“ zjednodušené nie podľa bežných pravidiel, ale sú transformované ako podiel dvoch čísel:

A, samozrejme, je hriech neskontrolovať pomocou kompaktnejšieho zápisu :

Odpoveď:

Stáva sa, že problém je navrhnutý v „polovšeobecnej“ forme:

"Nájdite deriváciu funkcie kde »

To znamená, že „hlavná“ funkcia nie je daná, ale jej „vložky“ sú dosť špecifické. Odpoveď by mala byť daná rovnakým štýlom:

Okrem toho môže byť podmienka mierne zašifrovaná:

„Nájdite deriváciu funkcie »

V tomto prípade potrebujete sám za seba označte vnorené funkcie nejakými vhodnými písmenami, napríklad cez a použite rovnaký vzorec:

Mimochodom, o písmenových označeniach. Opakovane som naliehal, aby sme „nelipli na listoch“, ako keby to boli záchranné zložky, a teraz je to obzvlášť dôležité! Pri analýze rôznych zdrojov na danú tému som vo všeobecnosti nadobudol dojem, že sa autori „zbláznili“ a začali nemilosrdne hádzať študentov do búrlivej priepasti matematiky =) Tak mi to prepáčte :))

Príklad 2

Nájdite deriváciu funkcie , Ak

Iné označenia by nemali byť mätúce! Zakaždým, keď narazíte na takúto úlohu, musíte odpovedať na dve jednoduché otázky:

1) Od čoho závisí „hlavná“ funkcia? V tomto prípade funkcia „zet“ závisí od dvoch funkcií („y“ a „ve“).

2) Od akých premenných závisia vnorené funkcie? V tomto prípade obe „vložky“ závisia iba od „X“.

Takže by ste nemali mať problém prispôsobiť vzorec tejto úlohe!

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Ďalšie príklady prvého typu nájdete v Ryabushkova problémová kniha (IDZ 10.1), no, smerujeme funkcia troch premenných:

Príklad 3

Daná funkcia, kde .
Vypočítajte deriváciu v bode

Vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie, ako mnohí hádajú, má príbuznú formu:

Rozhodnite sa, keď uhádnete =)

Pre každý prípad uvediem všeobecný vzorec pre funkciu:
, aj keď v praxi pravdepodobne neuvidíte nič dlhšie ako príklad 3.

Okrem toho je niekedy potrebné rozlíšiť „skrátenú“ verziu - spravidla funkciu formy resp. Túto otázku nechávam na vás, aby ste si ju preštudovali sami – vymyslite jednoduché príklady, premýšľajte, experimentujte a odvodzujte skrátené vzorce pre derivácie.

Ak vám niečo stále nie je jasné, prečítajte si, prosím, znova a pochopte prvú časť lekcie, pretože teraz sa úloha skomplikuje:

Príklad 4

Nájdite parciálne derivácie komplexnej funkcie, kde

Riešenie: túto funkciu má tvar a po priamej substitúcii dostaneme obvyklú funkciu dvoch premenných:

Ale takýto strach sa nielenže neakceptuje, ale človek už nechce rozlišovať =) Preto použijeme hotové vzorce. Aby som vám pomohol rýchlo pochopiť vzor, ​​urobím niekoľko poznámok:

Pozrite sa pozorne na obrázok zhora nadol a zľava doprava….

Najprv nájdime parciálne derivácie „hlavnej“ funkcie:

Teraz nájdeme „X“ deriváty „vložiek“:

a zapíšte si konečnú deriváciu „X“:

Podobne s „hrou“:

A

Môžete sa držať iného štýlu - nájdite všetky „chvosty“ naraz a potom zapíšte oba deriváty.

Odpoveď:

O substitúcii nejako nad tým vôbec nepremýšľam =) =), ale výsledky môžete trochu upraviť. Aj keď, opäť, prečo? – len sťažiť učiteľovi kontrolu.

V prípade potreby potom úplný diferenciál tu je to napísané podľa obvyklého vzorca a mimochodom, práve v tomto kroku sa ľahká kozmetika stáva vhodnou:


Toto je... ...rakva na kolesách.

Vzhľadom na popularitu uvažovaného typu komplexnej funkcie existuje niekoľko úloh na samostatné riešenie. Jednoduchší príklad v „polovšeobecnej“ forme slúži na pochopenie samotného vzorca;-):

Príklad 5

Nájdite parciálne derivácie funkcie, kde

A komplikovanejšie - so zahrnutím diferenciačných techník:

Príklad 6

Nájdite úplný diferenciál funkcie , Kde

Nie, vôbec sa vás nesnažím „poslať dnu“ – všetky príklady sú prevzaté skutočná práca, a „na šírom mori“ môžete naraziť na akékoľvek písmená. V každom prípade budete musieť analyzovať funkciu (zodpovedanie 2 otázok – pozri vyššie), prezentujte ho v všeobecný pohľad a starostlivo upravovať parciálne derivačné vzorce. Možno ste teraz trochu zmätení, ale pochopíte samotný princíp ich konštrukcie! Pretože skutočné výzvy ešte len začínajú :)))

Príklad 7

Nájdite parciálne derivácie a vytvorte úplný diferenciál komplexnej funkcie
, Kde

Riešenie: funkcia „hlavná“ má tvar a stále závisí od dvoch premenných – „x“ a „y“. V porovnaní s príkladom 4 však pribudla ďalšia vnorená funkcia, a preto sa predĺžili aj vzorce parciálnej derivácie. Ako v tomto príklade, pre lepšiu vizualizáciu vzoru zvýrazním „hlavné“ čiastočné deriváty v rôznych farbách:

A znova si pozorne preštudujte záznam zhora nadol a zľava doprava.

Keďže problém je formulovaný v „polovšeobecnej“ forme, celá naša práca sa v podstate obmedzuje na hľadanie parciálnych derivácií vložených funkcií:

Žiak prvého stupňa zvládne:

A dokonca aj plný diferenciál dopadol celkom dobre:

Zámerne som vám neponúkol žiadnu konkrétnu funkciu – aby zbytočný neporiadok nenarúšal dobré pochopenie schematický diagramúlohy.

Odpoveď:

Pomerne často môžete nájsť „zmiešané“ investície, napríklad:

Tu funkcia „hlavná“, hoci má tvar , stále závisí od „x“ aj „y“. Preto fungujú rovnaké vzorce – akurát niektoré parciálne derivácie sa budú rovnať nule. Navyše to platí aj pre funkcie ako napr , v ktorom každá „vložka“ závisí od jednej premennej.

Podobná situácia nastáva v posledných dvoch príkladoch lekcie:

Príklad 8

Nájdite celkový diferenciál komplexnej funkcie v bode

Riešenie: podmienka je formulovaná „rozpočtovým“ spôsobom a vnorené funkcie si musíme označiť sami. Myslím, že toto je dobrá možnosť:

„Vložky“ obsahujú ( POZOR!) TRI písmená sú staré dobré „X-Y-Z“, čo znamená, že funkcia „hlavná“ v skutočnosti závisí od troch premenných. Môže byť formálne prepísaný ako a parciálne deriváty sú v tomto prípade určené nasledujúcimi vzorcami:

Skenujeme, ponoríme sa do, zachytávame….

V našej úlohe:

Definícia. Variabilné z(s oblasťou zmeny Z) volal funkcia dvoch nezávislých premenných x, y v hojnosti M, ak každý pár ( x, y) od mnohých M z od Z.

Definícia. Kopa M, v ktorom sú špecifikované premenné x,y, volal doména funkcie, sada Z – funkčný rozsah a oni sami x, y- jej argumenty.

Označenia: z = f(x,y), z = z(x,y).

Príklady.

Definícia . Variabilné z(s oblasťou zmeny Z) volal funkcie viacerých nezávislých premenných v hojnosti M, ak každá množina čísel z množiny M podľa nejakého pravidla alebo zákona je priradená jedna konkrétna hodnota z od Z. Pojmy argumenty, doména definície a doména hodnoty sú zavedené rovnakým spôsobom ako pre funkciu dvoch premenných.

Označenia: z = f, z = z.

Komentujte. Keďže pár čísel ( x, y) možno považovať za súradnice určitého bodu v rovine, následne budeme termín „bod“ používať pre dvojicu argumentov funkcie dvoch premenných, ako aj pre usporiadanú množinu čísel, ktoré sú argumentmi funkcie viacerých premenných.

Geometrická reprezentácia funkcie dvoch premenných

Zvážte funkciu

z = f(x,y), (15.1)

definované v nejakej oblasti M na lietadle O xy. Potom množina bodov v trojrozmernom priestore so súradnicami ( x,y,z), kde , je graf funkcie dvoch premenných. Keďže rovnica (15.1) definuje určitý povrch v trojrozmernom priestore, bude geometrický obraz príslušnú funkciu.

Funkčná doména z = f(x,y) v najjednoduchších prípadoch je to buď časť roviny ohraničená uzavretou krivkou a body tejto krivky (hranice oblasti) môžu, ale nemusia patriť do definičnej oblasti, alebo do celej roviny, resp. nakoniec súbor niekoľkých častí roviny xOy.

z = f(x,y)

Príklady zahŕňajú rovnice roviny z = ax + by + c

a povrchy druhého rádu: z = x² + r² (paraboloid rotácie),

(kužeľ) atď.

Komentujte. Pre funkciu troch alebo viacerých premenných budeme používať termín „povrchový dnu n-rozmerný priestor“, aj keď nie je možné zobraziť takýto povrch.

Vyrovnané línie a povrchy

Pre funkciu dvoch premenných danú rovnicou (15.1) môžeme uvažovať množinu bodov ( x,y) O lietadlo xy, pre ktoré z nadobúda rovnakú konštantnú hodnotu, tj z= konšt. Tieto body tvoria na rovine priamku tzv nivelačná čiara.

Príklad.

Nájdite čiary úrovne povrchu z = 4 – X² - r². Ich rovnice vyzerajú X² + r² = 4 – c(c=const) – rovnice sústredných kružníc so stredom v počiatku a s polomermi . Napríklad kedy s=0 dostaneme kruh X² + r² = 4.

Pre funkciu troch premenných u = u(x, y, z) rovnica u(x, y, z) = c definuje povrch v trojrozmernom priestore, ktorý je tzv rovný povrch.

Príklad.

Pre funkciu u = 3X + 5r – 7z–12 rovných plôch bude rad rovnobežných rovín daných rovnicami 3 X + 5r – 7z –12 + s = 0.

Limita a spojitosť funkcie viacerých premenných

Predstavme si koncept δ-oblasti bodov M 0 (x 0, y 0) na lietadle O xy ako kružnica s polomerom δ so stredom v danom bode. Podobne môžeme definovať δ-okolie v trojrozmernom priestore ako guľu s polomerom δ so stredom v bode M 0 (x 0, y 0, z 0). Pre n-rozmerný priestor budeme nazývať δ-okolie bodu M 0 sada bodov M so súradnicami spĺňajúcimi podmienku

kde sú súradnice bodu M 0 Niekedy sa táto súprava nazýva „loptička“. n-rozmerný priestor.

Definícia. Volá sa číslo A limit funkcie viacerých premenných f v bode M 0 ak taká, že | f(M) – A| < ε для любой точки M z δ-susedstva M 0 .

Označenia: .

Treba brať do úvahy, že v tomto prípade bod M môže sa blížiť M 0, relatívne povedané, pozdĺž akejkoľvek trajektórie vo vnútri δ-okolia bodu M 0 Preto treba rozlišovať limitu funkcie viacerých premenných vo všeobecnom zmysle od tzv opakované limity získané postupnými prechodmi na limit pre každý argument samostatne.

Príklady.

Komentujte. Dá sa dokázať, že z existencie limity v danom bode v obvyklom zmysle a existencie limitov v tomto bode na jednotlivé argumenty vyplýva existencia a rovnosť opakovaných limitov. Opačné tvrdenie nie je pravdivé.

Definícia Funkcia f volal nepretržitý v bode M 0 ak (15.2)

Ak zavedieme zápis , tak podmienku (15.2) môžeme prepísať do tvaru (15.3)

Definícia . Vnútorný bod M 0 funkčná doména z = f(M) volal bod zlomu funkciu, ak v tomto bode nie sú splnené podmienky (15.2), (15.3).

Komentujte. V rovine alebo v priestore sa môže vytvoriť veľa bodov nespojitosti linky alebo lomová plocha.

Príklady.

Vlastnosti limity a spojité funkcie

Keďže definície limity a spojitosti pre funkciu viacerých premenných sa prakticky zhodujú s príslušnými definíciami funkcie jednej premennej, potom pre funkcie viacerých premenných sú zachované všetky vlastnosti limity a spojitosti overené v prvej časti kurzu. , menovite:

1) Ak existujú, potom existujú a (ak).

2) Ak a pre akékoľvek i sú hranice a je kde M 0, potom existuje limita komplexnej funkcie na , kde sú súradnice bodu R 0 .

3) Ak funkcie f(M) A g(M) súvislý v bode M 0, potom sú v tomto bode aj funkcie spojité f(M) + g(M), kf(M), f(M)g(M), f(M)/g(M)(Ak g(M 0) ≠ 0).

4) Ak sú funkcie v bode spojité P 0 a funkcia je v bode spojitá M 0, kde , potom je komplexná funkcia v bode spojitá R 0.

5) Funkcia je nepretržitá v uzavretom ohraničenom priestore D, má svoje najväčšie a najmenšie hodnoty v tomto regióne.

6) Ak je funkcia nepretržitá v uzavretom obmedzenom priestore D, nadobúda hodnoty v tomto regióne A A IN, potom zaberie oblasť D a akákoľvek stredná hodnota ležiaca medzi nimi A A IN.

7) Ak je funkcia nepretržitá v uzavretom obmedzenom priestore D, nadobúda hodnoty rôznych znakov v tejto oblasti, potom je tu a najmenej jeden bod z oblasti D, kde f = 0.

Parciálne deriváty

Uvažujme o zmene funkcie pri zadávaní prírastku iba jedného z jej argumentov - x i, a nazvime to .

Definícia . Čiastočná derivácia funguje argumentom x i volal .

Označenia: .

Parciálna derivácia funkcie viacerých premenných je teda vlastne definovaná ako derivácia funkcie jedna premenná – x i. Preto sú pre ňu platné všetky vlastnosti derivácií dokázané pre funkciu jednej premennej.

Komentujte. Pri praktickom výpočte parciálnych derivácií používame obvyklé pravidlá pre derivovanie funkcie jednej premennej za predpokladu, že argument, ktorým sa derivácia vykonáva, je premenlivý a ostatné argumenty sú konštantné.

Príklady .

1. z = 2X² + 3 xy –12r² + 5 X – 4r +2,

2. z = xy,

Geometrická interpretácia parciálnych derivácií funkcie dvoch premenných

Zvážte rovnicu povrchu z = f(x,y) a nakreslite rovinu x = konšt. Vyberme bod na priesečníku roviny a plochy M(x,y). Ak uvediete argument pri prírastok Δ pri a zvážte bod T na krivke so súradnicami ( x, y+Δ y, z+Δy z), potom dotyčnica uhla, ktorý zviera sečna MT s kladným smerom osi O pri, sa bude rovnať . Prechodom na limitu v bode , zistíme, že parciálna derivácia sa rovná dotyčnici uhla, ktorý zviera dotyčnica k výslednej krivke v bode M s kladným smerom osi O u. V súlade s tým sa parciálna derivácia rovná dotyčnici uhla s osou O X dotyčnica ku krivke získanej ako výsledok delenia povrchu z = f(x,y) lietadlo y = konšt.

Diferencovateľnosť funkcie viacerých premenných

Pri štúdiu otázok súvisiacich s diferencovateľnosťou sa obmedzíme na prípad funkcie troch premenných, keďže všetky dôkazy pre viac premenné sa vykonávajú rovnakým spôsobom.

Definícia . Úplný prírastok funkcie u = f(x, y, z) volal

Veta 1. Ak v bode existujú parciálne deriváty ( x 0, y 0, z 0) a v niektorých jeho štvrtiach a sú súvislé v bode ( x 0, y 0, z 0), potom sú obmedzené (keďže ich moduly nepresahujú 1).

Potom prírastok funkcie, ktorá spĺňa podmienky vety 1, možno znázorniť ako: , (15.6)

Definícia . Ak sa funkcia zvýši u = f (x, y, z) v bode ( x 0, y 0, z 0) môže byť reprezentovaná vo forme (15.6), (15.7), potom sa funkcia volá diferencovateľné v tomto bode a výraz je hlavná lineárna časť prírastku alebo úplný diferenciál príslušnú funkciu.

Označenia: du, df (x 0, y0, z 0).

Rovnako ako v prípade funkcie jednej premennej sa diferenciály nezávislých premenných považujú za ich ľubovoľné prírastky, preto

Poznámka 1. Takže tvrdenie „funkcia je diferencovateľná“ nie je ekvivalentné s tvrdením „funkcia má parciálne derivácie“ – pre diferenciovateľnosť sa vyžaduje aj kontinuita týchto derivácií v danom bode.

.

Zvážte funkciu a vyberte si x 0 = 1, y 0 = 2. Potom Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = -0,03. Poďme nájsť

Preto vzhľadom na to f ( 1, 2) = 3, dostaneme.