Лекц 1 Хоёр ба хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн онол (TFNP). 1. FNP-ийн тухай ойлголт. 2. FNP хязгаар. 3. FNP-ийн тасралтгүй байдал. 4. Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив. 5. Комплекс функцийн дериватив. 6. Далд функцийн дериватив. 7. Дээд зэрэглэлийн дериватив.

1. FNP-ийн тухай ойлголт. D олонлогийг хавтгай дээрх муж болгоё. Тодорхойлолт. Хэрэв тоо холбогдсон бол D тоон функц D олонлог дээр өгөгдсөн гэж хэлдэг - функцийн тодорхойлолтын домэйн.

Хэрэв цэг бол зураглалыг хоёр координатаар тодорхойлно 2 хувьсагчийн функц Ийм функцийн график нь x, y, z координат бүхий цэгүүдийн багц байх болно - орон зай дахь гадаргуу.

f(x, y)-ийн геометрийн тайлбар. D – хавтгайн зарим хэсэг 0 ХY z D – f(x, y) функцийн графикийн 0 ХY z f О x D x y y хавтгай дээрх проекц Функцийн график нь орон зайн гадаргуу юм.

2. Хоёр хувьсагчийн функцийн хязгаар. Цэг Цэгийн ойр оршдог цэгүүдийн багц гэж нэрлэе

Тодорхойлолт. Хэрэв цэгийг үзье. Дараа нь P цэгийг олонлогийн дотоод цэг гэж нэрлэнэ D. Тодорхойлолт. Хэрэв бүх D цэгүүд энэ олонлогийн дотоод бол үүнийг нээлттэй гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолт. Цэг агуулсан аливаа нээлттэй олонлогийг түүний хөрш гэж нэрлэдэг.

Тодорхойлолт. Энэ олонлогт байрлах тасралтгүй муруйгаар холбогдож болох дурын хоёр цэгийн олонлогийг холбогдсон гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолт. Нээлттэй холбогдсон олонлогийг муж гэж нэрлэдэг.

Цэгтэй ойролцоо байгаа функцийг зарим үед тодорхойлъё (заавал тухайн цэг дээр биш) А тоог функцийн хязгаар гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь чиг хандлагатай байдаг.

Зориулалт. Сэтгэгдэл. Хүсэл эрмэлзэл нь ямар ч хууль, чиглэлийн дагуу тохиолдож болох бөгөөд бүх хязгаарлагдмал утгууд нь A-тай тэнцүү байдаг.

Жишээ. Функцийг авч үзье t-ээр дамжин өнгөрөх хандлагыг авч үзье.(0, 0): шулуун шугамын дагуу А-ийн утга нь яаж байгаагаас хамаарна.

3. FNP-ийн тасралтгүй байдал. Хэрэв 1 -3 нөхцлийн дор хаяж нэг нь зөрчигдсөн бол функцийг тухайн цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг.

Хагарлын цэгүүдийг тусгаарлаж, хугарлын шугам үүсгэж, гадаргууг эвдэж болно. Жишээ. a) Хагарлын цэг – (тусгаарлагдсан) b) - таслах шугам

Тодорхойлолт. Энэ ялгааг функцийн нийт өсөлт гэж нэрлэдэг. Тодорхойлолт. Хязгаарыг функцийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг (тэдгээрийг байгаа гэж үзвэл).

FNP-ийн хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолох дүрэм нь нэг хувьсагчийн функцийн харгалзах дүрмүүдтэй давхцдаг. Сэтгэгдэл. Хувьсагчийн аль нэгэнд хамаарах FNP-ийн деривативыг тооцоолохдоо бусад бүх зүйлийг тогтмол гэж үзнэ. Жишээ.

Тодорхойлолт. Нэг цэг дэх функцийн нийт өсөлтийн үндсэн (шугаман) хэсгийг дуудна бүрэн дифференциалэнэ үед функцууд.

5. Комплекс функцийн дериватив. z нь x, y-ийн нийлмэл функц болох функцийг авч үзье. x ба y хувьсагчтай холбоотой нийлмэл функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг дараах байдлаар тооцоолно: (нэг хувьсагчийн комплекс функцийн хувьд).

Нийт дериватив a) энд өөрөөр хэлбэл z нь нэг аргумент t-ийн нийлмэл функц юм. Дараа нь t аргументтай холбоотой функцийн нийт дериватив байна.

Байгалийн шинжлэх ухаан, эдийн засгийн олон хэв маягийг судлахдаа хоёр (эсвэл түүнээс дээш) бие даасан хувьсагчийн функцтэй тулгардаг.

Тодорхойлолт (хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд).Болъё X , Ю Тэгээд З - олон түмэн. Хэрэв хос бүр (x, y) олонлогоос тус тусын элементүүд X Тэгээд Ю ямар нэг хуулийн дагуу е нэг бөгөөд зөвхөн нэг элементтэй таарч байна z олон хүнээс З , дараа нь тэд ингэж хэлдэг хоёр хувьсагчийн функц өгөгдсөн z = е(x, y) .

Ерөнхийдөө хоёр хувьсагчийн функцийн домэйн геометрийн хувьд тодорхой цэгүүдээр дүрслэгдэж болно ( x; y) онгоц xOy .

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцтэй холбоотой үндсэн тодорхойлолтууд нь харгалзах ерөнхий ойлголт юм нэг хувьсагчийн функцийн тодорхойлолт .

Цөөн хэдэн Ддуудсан функцийн домэйн z, болон багц Э – түүний олон утгатай. Хувьсагч xТэгээд yфункцтэй холбоотой zтүүний аргументууд гэж нэрлэдэг. Хувьсагч zхамааралтай хувьсагч гэж нэрлэдэг.

Аргументуудын хувийн үнэ цэнэ

функцийн хувийн утгатай тохирч байна

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн домэйн

Хэрэв хэд хэдэн хувьсагчийн функц (жишээлбэл, хоёр хувьсагч) томъёогоор өгөгдсөн z = е(x, y) , Тэр түүний тодорхойлолтын талбар нь онгоцны бүх ийм цэгүүдийн багц юм x0y, үүний төлөө илэрхийлэл е(x, y) утга учиртай, хүлээн зөвшөөрдөг бодит үнэ цэнэ. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн домэйны ерөнхий дүрмүүдийг ерөнхий дүрмээс гаргаж авсан болно нэг хувьсагчийн функцийг тодорхойлох домэйн. Үүний ялгаа нь хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд тодорхойлолтын муж нь нэг хувьсагчийн функцийн хувьд шулуун шугам биш, хавтгай дээрх тодорхой цэгүүдийн багц юм. Гурван хувьсагчийн функцийн хувьд тодорхойлолтын муж нь гурван хэмжээст орон зай дахь цэгүүдийн харгалзах олонлог, функцийн хувьд nхувьсагч - хийсвэрийн холбогдох цэгүүдийн багц n- хэмжээст орон зай.

Үндэстэй хоёр хувьсагчийн функцийн домэйн n-р зэрэг

Хоёр хувьсагчийн функцийг томъёогоор өгсөн тохиолдолд ба n - натурал тоо :

Хэрэв nтэгш тоо бол функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгээс их буюу тэнцүү радикал илэрхийллийн бүх утгуудад тохирох хавтгайн цэгүүдийн багц юм.

Хэрэв nЭнэ нь сондгой тоо бол функцийн тодорхойлолтын муж нь аливаа утгын багц, өөрөөр хэлбэл бүхэл хавтгай юм. x0y .

Бүхэл тоон үзүүлэлттэй хоёр хувьсагчийн чадлын функцийн муж

:

Хэрэв а- эерэг бол функцийн тодорхойлолтын муж нь бүхэл бүтэн хавтгай байна x0y ;

Хэрэв а- сөрөг бол функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгээс ялгаатай утгуудын багц юм: .

Бутархай илтгэгчтэй хоёр хувьсагчийн чадлын функцийн муж

Функцийг томъёогоор өгсөн тохиолдолд :

Хэрэв эерэг бол функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгээс их буюу тэнцүү утгыг авах хавтгай дээрх цэгүүдийн багц юм: ;

Хэрэв - сөрөг байвал функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгээс их утгыг авах хавтгай дээрх цэгүүдийн багц юм: .

Хоёр хувьсагчийн логарифм функцийг тодорхойлох муж

Хоёр хувьсагчийн логарифм функц Аргумент нь эерэг байх тохиолдолд тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл түүний тодорхойлолтын хүрээ нь тэгээс их утгыг авдаг хавтгай дээрх цэгүүдийн багц юм: .

Хоёр хувьсагчийн тригонометрийн функцийг тодорхойлох талбар

Функцийн домэйн - бүхэл бүтэн онгоц x0y .

Функцийн домэйн - бүхэл бүтэн онгоц x0y .

Функцийн тодорхойлолтын муж нь бүхэл бүтэн хавтгай юм x0y

Функцийн домэйн - бүхэл бүтэн онгоц x0y, утгыг авдаг хос тооноос бусад.

Хоёр хувьсагчийн урвуу тригонометрийн функцийг тодорхойлох талбар

Функцийн домэйн .

Функцийн домэйн - хавтгай дээрх цэгүүдийн багц .

Функцийн домэйн - бүхэл бүтэн онгоц x0y .

Функцийн домэйн - бүхэл бүтэн онгоц x0y .

Хоёр хувьсагчийн функц болох бутархайг тодорхойлох домэйн

Хэрэв функц томъёогоор өгөгдсөн бол функцийн тодорхойлолтын муж нь хавтгайн бүх цэгүүд болно.

Хоёр хувьсагчийн шугаман функцийн муж

Хэрэв функц нь хэлбэрийн томъёогоор өгөгдсөн бол z = сүх + by + в , тэгвэл функцийн тодорхойлолтын муж нь бүхэл хавтгай байна x0y .

Жишээ 1.

Шийдэл. Тодорхойлолтын домэйны дүрмийн дагуу бид давхар тэгш бус байдлыг үүсгэдэг

Бид бүхэл тэгш бус байдлыг үржүүлж, авна

Үүссэн илэрхийлэл нь хоёр хувьсагчийн энэ функцийг тодорхойлох домэйныг тодорхойлдог.

Жишээ 2.Хоёр хувьсагчийн функцийн мужийг ол.

(Лекц 1)

2 хувьсагчийн функцууд.

Хэрэв (x,y) G хос утгын хувьд z хувьсагчийн тодорхой утга холбогдсон бол z хувьсагчийг f(x,y) 2 хувьсагчийн функц гэж нэрлэдэг.

Def. p 0 цэгийн хөрш нь p 0 цэгт төвтэй, радиустай тойрог юм. = (х-х 0 ) 2 +(өөөө 0 ) 2

t.p-ээс p0 хүртэлх зай бага байх x ба y-ийн бүх утгуудын хувьд дараах тэгш бус байдлыг хангахын тулд дурын жижиг тооны хувьд ()>0 тоог зааж өгч болно: f(x,y) A. , өөрөөр хэлбэл р 0 цэгийн ойролцоо радиустай бүх p цэгүүдийн хувьд функцийн утга нь үнэмлэхүй утгаас бага хэмжээгээр А-аас ялгаатай байна. Энэ нь p цэг нь р цэг рүү ойртох үед 0-оор байна гэсэн үг юм хэн ч

Функцийн тасралтгүй байдал.

z=f(x,y) функцийг өгье, p(x,y) нь одоогийн цэг, p 0 (x 0 ,y 0) нь авч үзэх цэг байна.

Def.

3) Хязгаар нь энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү байна: = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y) = f(x 0 , у 0 );

хх 0

Хэсэгчилсэн дериватив.

Аргумент x-д x-ийн өсөлтийг өгье; x+x, бид p 1 цэгийг (x+x,y) авна, p цэг дээрх функцийн утгуудын зөрүүг тооцоолно.

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) х аргументийн өсөлтөд харгалзах функцийн хэсэгчилсэн өсөлт.

z= Лим x z

z = Лим f(x+x,y) - f(x,y)

X x0 X

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг тодорхойлох

Мэдлэгийн янз бүрийн салбарын олон асуудлыг авч үзэхдээ хувьсагчдын хоорондын хамаарлыг судлах шаардлагатай тоон утгуудтэдгээрийн нэг нь бусад хэд хэдэн үнэлэмжээр бүрэн тодорхойлогддог.

ЖишээлбэлБиеийн төлөв байдлыг судлахдаа түүний шинж чанарын өөрчлөлтийг цэгээс цэг хүртэл ажиглах хэрэгтэй. Биеийн цэг бүрийг x, y, z гэсэн гурван координатаар тодорхойлно. Тиймээс нягтын тархалтыг судалж үзэхэд биеийн нягт нь x, y, z гэсэн гурван хувьсагчаас хамаардаг гэж дүгнэж байна. Хэрэв биеийн физик байдал t цаг хугацааны туршид өөрчлөгдвөл ижил нягтрал нь x, y, z, t гэсэн дөрвөн хувьсагчийн утгаас хамаарна.

Өөр нэг жишээ: тодорхой төрлийн бүтээгдэхүүний нэгжийг үйлдвэрлэх үйлдвэрлэлийн зардлыг судалдаг. Байцгаая:

x - материалын зардал,

y - төлбөрийн зардал цалинажилчид,

z - элэгдлийн шимтгэл.

Үйлдвэрлэлийн зардал нь x, y, z гэсэн нэрлэсэн параметрүүдийн утгаас хамаардаг нь ойлгомжтой.

Тодорхойлолт 1.1Хэрэв багц утгын хувьд "n" хувьсагч байвал

Эдгээр цуглуулгуудын зарим D олонлогоос z хувьсагчийн өвөрмөц утгатай тохирч байвал функц D олонлог дээр өгөгдсөн гэж тэд хэлдэг.

"n" хувьсагч.

Тодорхойлолт 1.1-д заасан D олонлогийг энэ функцийн тодорхойлолтын домэйн буюу оршин байх домэйн гэнэ.

Хэрэв хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзвэл тоонуудын цуглуулга

Дүрмээр бол (x, y) гэж тэмдэглэгдэж, Окси координатын хавтгайн цэгүүд гэж тайлбарлагддаг бөгөөд хоёр хувьсагчийн z = f (x, y) функцийн тодорхойлолтын мужийг тодорхой цэгүүдийн багц хэлбэрээр дүрсэлдэг. Окси хавтгай дээр.

Жишээлбэл, функцийн тодорхойлолтын домэйн

нь координатууд нь хамаарлыг хангадаг Окси хавтгайн цэгүүдийн багц юм

өөрөөр хэлбэл, энэ нь r радиустай тойрог бөгөөд төв нь эхэн дээрээ байна.

Функцийн хувьд

Тодорхойлолтын хүрээ нь нөхцөлийг хангасан цэгүүд юм

өөрөөр хэлбэл өгөгдсөн тойрогтой холбоотой гадаад.

Ихэнхдээ хоёр хувьсагчийн функцийг далд хэлбэрээр, өөрөөр хэлбэл тэгшитгэл хэлбэрээр зааж өгдөг.

гурван хувьсагчийг холбох. Энэ тохиолдолд x, y, z хэмжигдэхүүн бүрийг нөгөө хоёрын далд функц гэж үзэж болно.

z = f (x, y) хоёр хувьсагчийн функцийн геометрийн зураг (график) нь гурван хэмжээст Oxyz орон зай дахь P (x, y, z) цэгүүдийн багц бөгөөд тэдгээрийн координатууд нь z = f тэгшитгэлийг хангадаг. (x, y).

Үргэлжилсэн аргументуудын функцийн график нь дүрмээр бол z= f (x, y) функцийн тодорхойлолтын муж руу Oxy координатын хавтгайд проекцолсон Oxyz орон зай дахь тодорхой гадаргуу юм.

Тиймээс, жишээлбэл, (Зураг 1.1) функцийн график

нь бөмбөрцгийн дээд тал, функцийн график юм

Бөмбөрцгийн доод тал.

Хуваарь шугаман функц z = ax + by + с нь Oxyz орон зай дахь хавтгай ба z = const функцийн график нь Oxyz координатын хавтгайтай параллель хавтгай юм.

Гурав буюу түүнээс дээш хувьсагчийн функцийг гурван хэмжээст орон зайд график хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй гэдгийг анхаарна уу.

Дараах зүйлд бид голчлон хоёр буюу гурван хувьсагчийн функцийг авч үзэхээр хязгаарлах болно, учир нь илүү олон тооны (гэхдээ хязгаарлагдмал) хувьсагчийн хэргийг авч үзэх нь ижил төстэй байдлаар явагддаг.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн тодорхойлолт.

(Лекц 1)

Аливаа багц утгын (x,y,z,..,t) u хувьсагчийн сайн тодорхойлогдсон утга холбогдсон бол u хувьсагчийг f(x,y,z,..,t) гэж нэрлэдэг.

Хувьсагчийн утгын цуглуулгын багцыг функцийг тодорхойлох домэйн гэж нэрлэдэг.

G - багц (x,y,z,..,t) - тодорхойлолтын домэйн.

2 хувьсагчийн функцууд.

Хэрэв (x,y) О G хос утгын хувьд z хувьсагчийн тодорхой утга холбогдсон бол z хувьсагчийг f(x,y) 2 хувьсагчийн функц гэнэ.

2 хувьсагчийн функцийн хязгаар.

z=f(x,y) функцийг өгье, p(x,y) нь одоогийн цэг, p 0 (x 0 ,y 0) нь авч үзэх цэг байна.

Def. p 0 цэгийн хөрш нь p 0 цэгт төвтэй, r радиустай тойрог юм. r= Ö (х-х 0 ) 2 +(өөөө 0 ) 2 Ø

Хэрэв байгаа бол p 0 цэг дээрх А тоог | функцийн хязгаар гэнэ

дурын жижиг e тооны хувьд r (e)>0 тоог зааж өгч болох бөгөөд ингэснээр t. p-ээс p0 хүртэлх зай нь r-ээс бага байх x ба y-ийн бүх утгын хувьд дараахь тэгш бус байдал үүснэ. ½f(x,y) - A½0, r радиустай, функцийн утга нь үнэмлэхүй утгаараа A-аас e-ээс бага ялгаатай байна. Энэ нь p цэг нь р цэг рүү ойртох үед 0-оор байна гэсэн үг юм хэн чзам, функцийн утга нь А тоонд хязгааргүй ойртдог.

Функцийн тасралтгүй байдал.

z=f(x,y) функцийг өгье, p(x,y) нь одоогийн цэг, p 0 (x 0 ,y 0) нь авч үзэх цэг байна.

Def. 3 нөхцөл хангагдсан тохиолдолд z=f(x,y) функцийг t p 0 үед тасралтгүй гэж нэрлэнэ.

1) функц нь энэ цэг дээр тодорхойлогддог. f(p 0) = f(x,y);

2) f-i энэ үед хязгаартай.

3) Хязгаар нь энэ цэг дэх функцийн утгатай тэнцүү байна: b = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y)= f(x 0 , у 0 ) ;

хà х 0

Хэрэв тасралтгүй байдлын 1-ээс доошгүй нөхцөл зөрчигдсөн бол p цэгийг таслах цэг гэж нэрлэдэг. 2 хувьсагчийн функцүүдийн хувьд тусдаа таслах цэгүүд болон бүхэл таслах шугамууд байж болно.

Илүү олон тооны хувьсагчийн функцүүдийн хязгаар ба тасралтгүй байдлын тухай ойлголтыг мөн адил тодорхойлсон.

Гурван хувьсагчийн функцийг 2 хувьсагчийн функцээс ялгаатай нь графикаар дүрслэх боломжгүй.

3 хувьсагчтай функцийн хувьд тасархайн цэг, тасралтын шугам, тасалдлын гадаргуу байж болно.

Хэсэгчилсэн дериватив.

z=f(x,y) функцийг авч үзье, p(x,y) нь авч үзэх цэг юм.

Аргумент x-д Dx өсөлтийг өгье; x+Dx, бид p 1 цэгийг (x+Dx,y) авна, p цэг дээрх функцийн утгуудын зөрүүг тооцоолно.

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - х аргументийн өсөлтөд харгалзах функцийн хэсэгчилсэн өсөлт.

Def. z=f(x,y) функцийн деривативын х хувьсагчтай харьцуулсан хэсгийг х хувьсагчтай харьцуулсан энэ функцийн хэсэгчилсэн өсөлтийн сүүлийнх нь дараах хандлагатай байх үед энэ өсөлтийн харьцааны хязгаар гэнэ. тэг.

¶ z= Лим Д x z

à ¶ z = Лим f(x+ Д x,y) - f(x,y)

¶ x Дx® 0 Дx

Үүний нэгэн адил бид y хувьсагчтай холбоотой деривативын хэсгийг тодорхойлно.

Хэсэгчилсэн деривативуудыг олох.

Хэсэгчилсэн деривативыг тодорхойлохдоо зөвхөн нэг хувьсагч өөрчлөгдөх бүрт үлдсэн хувьсагчдыг тогтмол гэж үзнэ. Үүний үр дүнд бид зөвхөн нэг хувьсагчийн функцийг авч үзэх бүрт хэсэгчилсэн дериватив нь нэг хувьсагчийн энэ функцийн ердийн уламжлалтай давхцдаг. Эндээс хэсэгчилсэн деривативыг олох дүрэм: авч үзэж буй хувьсагчийн хэсэгчилсэн деривативыг энэ нэг хувьсагчийн функцийн ердийн дериватив гэж хайж, үлдсэн хувьсагчдыг тогтмол гэж үзнэ. Энэ тохиолдолд нэг хувьсагчийн функцийг ялгах бүх томъёо (нийлбэр, үржвэр, хуваалтын дериватив) хүчинтэй болно.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт

Хэрэв n хэмжээст орон зайн цэгүүдийн багцаас (X) X = (x 1, x 2, ... x n) цэг бүр нь z хувьсагчийн сайн тодорхойлсон нэг утгатай холбоотой бол тэд өгөгдсөн гэж хэлдэг. n хувьсагчийн функц z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

Энэ тохиолдолд x 1, x 2, ... x n хувьсагчдыг дуудна бие даасан хувьсагчидэсвэл аргументуудфункцууд, z - хамааралтай хувьсагч, мөн f тэмдэг нь тэмдэглэнэ захидал харилцааны хууль. Олонлогийг (X) гэж нэрлэдэг тодорхойлолтын домэйнфункцууд (энэ нь n хэмжээст орон зайн тодорхой дэд хэсэг юм).

Жишээлбэл, z = 1/(x 1 x 2) функц нь хоёр хувьсагчийн функц юм. Үүний аргументууд нь x 1 ба x 2 хувьсагчууд бөгөөд z нь хамааралтай хувьсагч юм. Тодорхойлолтын муж нь x 1 = 0 ба x 2 = 0 шулуун шугамуудаас бусад бүхэл бүтэн координатын хавтгай юм, өөрөөр хэлбэл. х ба ординат тэнхлэггүй. Тодорхойлолтын мужаас дурын цэгийг функцэд орлуулснаар захидал харилцааны хуулийн дагуу бид тодорхой тоог олж авна. Жишээлбэл, (2; 5) цэгийг авч үзвэл, i.e. x 1 = 2, x 2 = 5, бид олж авна
z = 1/(2*5) = 0.1 (жишээ нь z(2; 5) = 0.1).

a 1, a 2,..., n, b нь тогтмол тоо болох z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b хэлбэрийн функцийг гэнэ. шугаман. Үүнийг x 1, x 2, ... x n хувьсагчдын n шугаман функцын нийлбэр гэж үзэж болно. Бусад бүх функцийг дуудна шугаман бус.

Жишээлбэл, z = 1/(x 1 x 2) функц нь шугаман бус, z = функц нь
= x 1 + 7x 2 - 5 – шугаман.

Аливаа z = f (X) = f (x 1, x 2, ... x n) функцийг нэгээс бусад бүх хувьсагчийн утгыг засах юм бол нэг хувьсагчийн n функцтэй холбож болно.

Жишээлбэл, z = 1/(x 1 x 2 x 3) гэсэн гурван хувьсагчийн функцийг нэг хувьсагчийн гурван функцтэй холбож болно. Хэрэв бид x 2 = a ба x 3 = b-ийг засах юм бол функц нь z = 1/(abx 1) хэлбэрийг авна; хэрэв бид x 1 = a ба x 3 = b-ийг засвал z = 1/(abx 2) хэлбэрийг авна; хэрэв бид x 1 = a ба x 2 = b-ийг засвал z = 1/(abx 3) хэлбэрийг авна. Энэ тохиолдолд бүх гурван функц ижил хэлбэртэй байна. Энэ нь үргэлж тийм байдаггүй. Жишээлбэл, хэрэв хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд бид x 2 = a-г засах юм бол z = 5x 1 a хэлбэрийг авна, өөрөөр хэлбэл. чадлын функц, хэрэв бид x 1 = a-г засах юм бол энэ нь хэлбэрийг авна, өөрөөр хэлбэл. экспоненциал функц.

Хуваарьхоёр хувьсагчийн функц z = f(x, y) нь гурван хэмжээст орон зайн (x, y, z) цэгүүдийн олонлог бөгөөд тэдгээрийн хэрэглүүр z нь абсцисса х ба ординат у-тай функциональ хамаарлаар холбогддог.
z = f (x, y). Энэ график нь гурван хэмжээст орон зай дахь зарим гадаргууг (жишээлбэл, Зураг 5.3-т үзүүлсэн шиг) дүрсэлдэг.

Хэрэв функц шугаман бол (жишээ нь: z = ax + by + c) бол түүний график нь гурван хэмжээст орон зай дахь хавтгай болохыг баталж болно. Бусад жишээнүүд 3D графикуудКремерийн сурах бичгийг ашиглан бие даан суралцахыг зөвлөж байна (х. 405-406).

Хэрэв хоёроос олон хувьсагч (n хувьсагч) байвал хуваарьфункц гэдэг нь өгөгдсөн функциональ хуулийн дагуу x координат n+1-ийг тооцсон (n+1) хэмжээст орон зайн цэгүүдийн багц юм. Ийм графикийг нэрлэдэг хэт гадаргуу(шугаман функцийн хувьд - гиперплан), мөн энэ нь шинжлэх ухааны хийсвэрлэлийг илэрхийлдэг (үүнийг дүрслэх боломжгүй).

Зураг 5.3 – Гурван хэмжээст орон зай дахь хоёр хувьсагчийн функцийн график

Түвшин гадаргуу n хувьсагчийн функц нь эдгээр бүх цэгүүдэд функцийн утга C-тэй ижил бөгөөд тэнцүү байх n хэмжээст орон зайн цэгүүдийн багц юм. Энэ тохиолдолд C тоог өөрөө гэдэг. түвшин.

Ихэвчлэн ижил функцийн хувьд хязгааргүй тооны түвшний гадаргууг (өөр өөр түвшинд харгалзах) барих боломжтой байдаг.

Хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд түвшний гадаргуу хэлбэрийг авна түвшний шугамууд.

Жишээлбэл, z = 1/(x 1 x 2) гэж үзье. C = 10, өөрөөр хэлбэл, авч үзье. 1/(x 1 x 2) = 10. Дараа нь x 2 = 1/(10x 1), i.e. хавтгай дээр түвшний шугам нь 5.4-р зурагт үзүүлсэн хэлбэртэй цул шугам болно. Өөр түвшинг авч, жишээлбэл, C = 5, бид түвшний шугамыг х 2 = 1/(5х 1) функцийн график хэлбэрээр олж авна (Зураг 5.4-т тасархай шугамаар харуулсан).

Зураг 5.4 - Функцийн түвшний шугамууд z = 1/(x 1 x 2)

Өөр нэг жишээг харцгаая. z = 2x 1 + x 2 гэж үзье. C = 2, өөрөөр хэлбэл, авч үзье. 2x 1 + x 2 = 2. Дараа нь x 2 = 2 - 2x 1, i.e. хавтгай дээр түвшний шугам нь 5.5-р зурагт цул шугамаар дүрслэгдсэн шулуун шугам хэлбэртэй болно. Өөр түвшинг авч, жишээлбэл, C = 4, бид шулуун шугамын x 2 = 4 - 2x 1 (Зураг 5.5-т тасархай шугамаар харуулсан) хэлбэрээр түвшний шугамыг олж авдаг. 2x 1 + x 2 = 3 түвшний шугамыг 5.5-р зурагт тасархай шугамаар үзүүлэв.

Хоёр хувьсагчийн шугаман функцийн хувьд аливаа түвшний шугам нь хавтгай дээрх шулуун шугам байх ба бүх түвшний шугамууд хоорондоо параллель байх болно гэдгийг шалгахад хялбар байдаг.

Зураг 5.5 - Функцийн түвшний шугамууд z = 2x 1 + x 2

) бид аль хэдийн олон удаа төвөгтэй функцүүдийн хэсэгчилсэн деривативууд болон илүү хэцүү жишээнүүдтэй тулгарч байсан. Тэгэхээр өөр юу ярьж болох вэ?! ...Амьдралд бүх зүйл байдаг шиг - ээдрээтэй байж болохгүй төвөгтэй зүйл гэж байдаггүй =) Гэхдээ математик бол бидний ертөнцийн олон талт байдлыг хатуу хүрээнд багтаахын тулд математик юм. Заримдаа үүнийг нэг өгүүлбэрээр хийж болно:

Ерөнхийдөө цогц функц нь хэлбэртэй байдаг , Хаана, ядаж нэгүсгүүдийг төлөөлдөг функц, үүнээс хамаарч болно дур зоргоороохувьсагчийн тоо.

Хамгийн бага бөгөөд хамгийн энгийн сонголт бол нэг хувьсагчийн удаан хугацааны туршид танил болсон цогц функц юм. хэний деривативБид өнгөрсөн семестрийг хэрхэн олохыг сурсан. Та мөн функцүүдийг ялгах чадвартай (ижил функцуудыг харна уу ) .

Тиймээс, одоо бид зөвхөн хэргийг сонирхох болно. Маш олон төрлийн нарийн төвөгтэй функцүүдээс шалтгаалан тэдгээрийн деривативуудын ерөнхий томъёо нь маш төвөгтэй бөгөөд шингээхэд хэцүү байдаг. Үүнтэй холбогдуулан би та бүхний ойлгож чадах тодорхой жишээнүүдээс өөрийгөө хязгаарлах болно ерөнхий зарчимЭдгээр деривативуудыг олох нь:

Жишээ 1

Өгөгдсөн нарийн төвөгтэй функц хаана байна . Шаардлагатай:
1) түүний деривативыг олж, 1-р эрэмбийн нийт дифференциалыг бичнэ үү;
2) үед деривативын утгыг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд функцийг өөрөө харцгаая. Бидэнд болон -ээс хамаарах функцийг санал болгож байна, энэ нь эргээд функцууд юмнэг хувьсагч:

Хоёрдугаарт, даалгавраа өөрөө анхаарч үзье - бид олохыг шаарддаг дериватив, өөрөөр хэлбэл, бид олоход дассан хэсэгчилсэн деривативын талаар огт яриагүй байна! Функцээс хойш үнэндээ зөвхөн нэг хувьсагчаас хамаардаг бол "үүсмэл" гэсэн үг нийт дериватив. Түүнийг яаж олох вэ?

Оюун санаанд орж ирдэг хамгийн эхний зүйл бол шууд орлуулалт, цаашдын ялгаа юм. Орлуулж үзье ажиллах:
, үүний дараа хүссэн деривативтай холбоотой асуудал гарахгүй:

Үүний дагуу нийт дифференциал:

Энэ шийдэл нь математикийн хувьд зөв боловч нэг жижиг нюанс нь асуудлыг томъёолсон байдлаар нь томьёолоход хэн ч чамаас ийм зэрлэг байдлыг хүлээхгүй =) Гэхдээ эндээс та үнэхээр алдаа олж болно. Функц нь зөгийний нислэгийг дүрсэлж, үүрлэсэн функцууд нь температураас хамаарч өөрчлөгддөг гэж төсөөлөөд үз дээ. Шууд орлуулалт хийж байна , бид зөвхөн авдаг хувийн мэдээлэлЗөвхөн халуун цаг агаарт л нислэгийг тодорхойлдог. Түүгээр ч барахгүй зөгийний талаар мэдлэггүй хүнд эцсийн үр дүнг танилцуулж, энэ функц нь юу болохыг хэлж өгвөл тэр нислэгийн үндсэн хуулийн талаар хэзээ ч юу ч сурахгүй!

Тиймээс гэнэтийн байдлаар бидний шуугиан дэгдээсэн ах бүх нийтийн томъёоны утга, ач холбогдлыг ойлгоход бидэнд тусалсан:

Деривативын "хоёр давхар" тэмдэглэгээнд дасаарай - авч үзэж буй даалгаварт тэдгээр нь ашиглагдаж байгаа зүйл юм. Энэ тохиолдолд нэг нь байх ёстой маш цэвэрхэноруулгад: “de” шууд тэмдэгттэй деривативууд байна бүрэн дериватив, мөн дугуйрсан дүрс бүхий деривативууд байна хэсэгчилсэн дериватив. Сүүлийнхүүдээс эхэлье:

За, "сүүл" -тэй бол бүх зүйл ерөнхийдөө энгийн байдаг:

Олдсон деривативуудыг томъёонд орлъё:

Функцийг эхлээд нарийн төвөгтэй байдлаар санал болгоход энэ нь логик байх болно (мөн үүнийг дээр тайлбарласан болно!)Үр дүнг дараах байдлаар үлдээгээрэй.

Үүний зэрэгцээ, "нарийн" хариултуудад хамгийн бага хялбаршуулахаас татгалзах нь дээр. (жишээ нь эндээс 3 хасахыг гуйж байна)- Мөн та ажил багатай, үслэг найз чинь даалгавраа хялбархан хянаж байгаад баяртай байна.

Гэсэн хэдий ч бүдүүлэг шалгалт нь илүүдэхгүй байх болно. Орлуулж үзье олсон дериватив болгон хувиргаж, хялбаршуулах:


(сүүлийн шатанд бид ашигласан тригонометрийн томъёо , )

Үүний үр дүнд "барвар" уусмалын аргын адил үр дүнд хүрсэн.

Цэг дэх деривативыг тооцоолъё. Эхлээд "дамжин өнгөрөх" утгыг олж мэдэхэд тохиромжтой (функцийн утгууд ) :

Одоо бид эцсийн тооцоог гаргаж байгаа бөгөөд энэ тохиолдолд янз бүрийн аргаар хийж болно. Би 3, 4-р "давхарууд" -ыг ердийн дүрмийн дагуу хялбаршуулдаггүй, харин хоёр тооны харьцаа болгон хувиргадаг сонирхолтой техникийг ашигладаг.

Мэдээжийн хэрэг, илүү нягт тэмдэглэгээ ашиглан шалгахгүй байх нь нүгэл юм :

Хариулт:

Асуудлыг "хагас ерөнхий" хэлбэрээр санал болгодог.

"Үүний функцийн деривативыг ол »

Өөрөөр хэлбэл, "үндсэн" функцийг өгөөгүй боловч түүний "оруулга" нь нэлээд тодорхой юм. Хариултыг ижил хэв маягаар өгөх ёстой:

Түүнээс гадна нөхцөлийг бага зэрэг шифрлэж болно:

"Функцийн деривативыг ол »

Энэ тохиолдолд танд хэрэгтэй өөрийнхөөрөөүүрлэсэн функцуудыг зарим тохирох үсгээр, жишээлбэл, дамжуулан зааж өгнө мөн ижил томъёог ашиглана уу:

Дашрамд хэлэхэд үсгийн тэмдэглэгээний тухай. Би "захидалтай зууралдахгүй" байхыг дахин дахин уриалж байсан бөгөөд энэ нь одоо онцгой ач холбогдолтой юм! Энэ сэдвээр янз бүрийн эх сурвалжид дүн шинжилгээ хийхэд зохиолчид "галзуурч" оюутнуудыг математикийн шуургатай ангал руу хайр найргүй шидэж эхэлсэн гэсэн сэтгэгдэл надад төрсөн =) Тиймээс намайг уучлаарай :))

Жишээ 2

Функцийн деривативыг ол , Хэрэв

Бусад тэмдэглэгээ нь төөрөгдүүлэх ёсгүй! Та иймэрхүү ажилтай тулгарах бүртээ хоёр энгийн асуултанд хариулах хэрэгтэй:

1) "Үндсэн" функц нь юунаас хамаардаг вэ?Энэ тохиолдолд "zet" функц нь хоёр функцээс хамаарна ("y" ба "ve").

2) Үүрлэсэн функцүүд ямар хувьсагчдаас хамаардаг вэ?Энэ тохиолдолд "оруулга" хоёулаа зөвхөн "X" -ээс хамаарна.

Тиймээс энэ даалгаварт томъёог дасан зохицоход ямар ч бэрхшээл гарах ёсгүй!

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт.

Эхний төрлийн нэмэлт жишээг эндээс олж болно Рябушкогийн асуудлын ном (IDZ 10.1), бид тийшээ явж байна гурван хувьсагчийн функц:

Жишээ 3

Энд функц өгөгдсөн.
Цэг дэх деривативыг тооцоол

Олон хүмүүсийн таамаглаж байгаагаар нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

Таасан бол шийдээрэй =)

Ямар ч тохиолдолд би функцийн ерөнхий томъёог өгөх болно:
, гэхдээ практик дээр та жишээ 3-аас урт зүйлийг харах магадлал багатай.

Нэмж дурдахад заримдаа "тасарсан" хувилбарыг ялгах шаардлагатай байдаг - дүрмээр бол хэлбэрийн функц эсвэл. Би энэ асуултыг бие даан судлахын тулд танд үлдээж байна - энгийн жишээнүүд гаргаж, бодож, туршиж үзээд деривативын товчилсон томьёог гаргаж ав.

Хэрэв ямар нэг зүйл ойлгомжгүй хэвээр байвал хичээлийн эхний хэсгийг аажмаар дахин уншиж, ойлгоорой, учир нь одоо даалгавар илүү төвөгтэй болно.

Жишээ 4

Цогц функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол, энд

Шийдэл: энэ функцхэлбэртэй байна, шууд орлуулсны дараа бид хоёр хувьсагчийн ердийн функцийг авна:

Гэхдээ ийм айдас нь зөвхөн хүлээн зөвшөөрөгдөөгүй, гэхдээ хүн ялгахыг хүсэхгүй байна =) Тиймээс бид бэлэн томъёог ашиглах болно. Загварыг хурдан ойлгоход тань туслахын тулд би хэдэн тэмдэглэл хийх болно:

Зургийг дээрээс доош, зүүнээс баруун тийш анхааралтай ажиглаарай...

Эхлээд "үндсэн" функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё.

Одоо бид "доторлогооны" "X" деривативуудыг оллоо.

эцсийн "X" деривативыг бичнэ үү:

"Тоглоом"-той адил:

Тэгээд

Та өөр хэв маягийг баримталж болно - бүх "сүүл" -ийг нэг дор олоорой дараа нь хоёр деривативыг бич.

Хариулт:

Орлуулах тухай ямар нэг байдлаар би энэ талаар огт боддоггүй =) =), гэхдээ та үр дүнг бага зэрэг өөрчилж болно. Хэдийгээр дахин, яагаад? – зөвхөн багшийг шалгахад хэцүү болгодог.

Шаардлагатай бол тэгвэл бүрэн дифференциалЭнд үүнийг ердийн томъёоны дагуу бичсэн бөгөөд дашрамд хэлэхэд, энэ үе шатанд хөнгөн гоо сайхны бүтээгдэхүүн тохиромжтой болно.


Энэ бол... ... дугуйтай авс.

Харгалзан үзэж буй нарийн төвөгтэй функцүүдийн төрөл түгээмэл байдаг тул бие даан шийдвэрлэх хэд хэдэн даалгавар байдаг. "Хагас ерөнхий" хэлбэрийн энгийн жишээ бол томъёог өөрөө ойлгоход зориулагдсан болно;-):

Жишээ 5

Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол, хаана

Мөн илүү төвөгтэй - ялгах техникийг оруулснаар:

Жишээ 6

Функцийн бүрэн дифференциалыг ол , Хаана

Үгүй ээ, би чамайг "доод руу илгээх" гэж огт оролдоогүй - бүх жишээг авсан жинхэнэ ажил, мөн "илгэн далайд" та ямар ч үсэгтэй тааралдаж болно. Ямар ч тохиолдолд та функцэд дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй болно (2 асуултанд хариулах - дээрээс харна уу), дотор танилцуулна уу ерөнхий үзэлмөн хэсэгчилсэн дериватив томъёог анхааралтай өөрчлөх. Та одоо бага зэрэг эргэлзэж магадгүй, гэхдээ та тэдгээрийн барилгын зарчмыг ойлгох болно! Учир нь жинхэнэ сорилтууд дөнгөж эхэлж байна :)))

Жишээ 7

Хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, нийлмэл функцийн бүрэн дифференциалыг үүсгэ
, Хаана

Шийдэл: "үндсэн" функц нь хэлбэртэй бөгөөд "x" ба "y" гэсэн хоёр хувьсагчаас хамааралтай хэвээр байна. Гэхдээ 4-р жишээтэй харьцуулахад өөр үүрлэсэн функц нэмэгдсэн тул хэсэгчилсэн дериватив томъёог бас уртасгасан. Энэ жишээний нэгэн адил хэв маягийг илүү сайн харуулахын тулд би "үндсэн" хэсэгчилсэн деривативуудыг өөр өөр өнгөөр ​​тодруулах болно.

Дахин хэлэхэд бичлэгийг дээрээс доош, зүүнээс баруун тийш сайтар судлаарай.

Асуудлыг "хагас ерөнхий" хэлбэрээр томъёолсон тул бидний бүх ажил үндсэндээ суулгагдсан функцүүдийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олохоор хязгаарлагддаг.

Нэгдүгээр ангийн сурагч дараахь зүйлийг хийж чадна.

Бүрэн дифференциал ч гэсэн маш сайхан болсон:

Шаардлагагүй эмх замбараагүй байдал нь асуудлыг сайн ойлгоход саад болохгүйн тулд би танд ямар нэгэн тодорхой функцийг санаатайгаар санал болгоогүй. бүдүүвч диаграммдаалгавар.

Хариулт:

Та "холимог хэмжээтэй" хөрөнгө оруулалтыг ихэвчлэн олж болно, жишээлбэл:

Энд "үндсэн" функц нь хэлбэртэй боловч "x" ба "y" хоёроос хамаарна. Тиймээс ижил томъёонууд ажилладаг - зөвхөн зарим хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх болно. Түүгээр ч зогсохгүй, энэ нь функцүүдийн хувьд мөн адил юм , "доторлогоо" бүр нэг хувьсагчаас хамаардаг.

Хичээлийн сүүлийн хоёр жишээнд ижил төстэй нөхцөл байдал ажиглагдаж байна.

Жишээ 8

Цэг дэх цогц функцийн нийт дифференциалыг ол

Шийдэл: нөхцөлийг "төсвийн" хэлбэрээр томъёолсон бөгөөд бид үүрлэсэн функцүүдийг өөрсдөө шошголох ёстой. Энэ бол сайн сонголт гэж би бодож байна:

"Оруулга" нь ( АНХААР!) ГУРВАН үсэг нь хуучин сайн "X-Y-Z" бөгөөд энэ нь "үндсэн" функц нь гурван хувьсагчаас хамаардаг гэсэн үг юм. Үүнийг албан ёсоор гэж дахин бичиж болох бөгөөд энэ тохиолдолд хэсэгчилсэн деривативуудыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Бид сканнердаж, судалж, олж авдаг...

Бидний даалгаварт:

Тодорхойлолт. Хувьсагч z(өөрчлөх талбайтай З) дуудсан бие даасан хоёр хувьсагчийн функц x,yэлбэг дэлбэг М, хэрэв хос бүр ( x,y) олон хүнээс М z-аас З.

Тодорхойлолт. Цөөн хэдэн М, үүнд хувьсагчид тодорхойлогддог x,y,дуудсан функцийн домэйн, Z-г тохируулах функцийн хүрээ, мөн өөрсдөө x,y- тэр аргументууд.

Тэмдэглэл: z = f(x,y), z = z(x,y).

Жишээ.

Тодорхойлолт . Хувьсагч z(өөрчлөх талбайтай З) дуудсан хэд хэдэн бие даасан хувьсагчийн функцэлбэг дэлбэг М, хэрэв олонлогоос тоонуудын багц бүр Мзарим дүрэм, хуулийн дагуу тодорхой нэг утгыг оноодог z-аас З.Аргумент, тодорхойлолтын домэйн, утгын домэйн гэсэн ойлголтуудыг хоёр хувьсагчийн функцтэй ижил аргаар нэвтрүүлсэн.

Тэмдэглэл: z = f, z = z.

Сэтгэгдэл. Хоёр тооноос хойш ( x,y) нь хавтгай дээрх тодорхой цэгийн координат гэж үзэж болох юм бол бид дараа нь "цэг" гэсэн нэр томъёог хоёр хувьсагчийн функцийн аргументууд, түүнчлэн функцийн аргумент болох эрэмбэлэгдсэн тоонуудын хувьд ашиглах болно. хэд хэдэн хувьсагчтай.

Хоёр хувьсагчийн функцийн геометрийн дүрслэл

Функцийг авч үзье

z = f(x,y), (15.1)

зарим хэсэгт тодорхойлсон М O хавтгай дээр xy. Дараа нь координат бүхий гурван хэмжээст орон зай дахь цэгүүдийн багц ( x,y,z), энд , нь хоёр хувьсагчийн функцийн график юм. Тэгшитгэл (15.1) нь гурван хэмжээст орон зайд тодорхой гадаргууг тодорхойлдог тул ийм байх болно геометрийн дүрстухайн функц.

Функцийн домэйн z = f(x,y)хамгийн энгийн тохиолдолд, энэ нь битүү муруйгаар хязгаарлагдсан хавтгайн хэсэг бөгөөд энэ муруйн цэгүүд (бүс нутгийн хил хязгаар) нь тодорхойлолтын мужид, эсвэл бүхэл бүтэн хавтгайд хамаарах эсвэл хамаарахгүй байж болно, эсвэл, эцэст нь xOy онгоцны хэд хэдэн хэсгээс бүрдсэн багц.

z = f(x,y)

Жишээлбэл, хавтгайн тэгшитгэлүүд орно z = сүх + by + c

болон хоёрдугаар эрэмбийн гадаргуу: z = x² + y² (хувьсгалын параболоид),

(конус) гэх мэт.

Сэтгэгдэл. Гурав ба түүнээс дээш хувьсагчийн функцийн хувьд бид "гадаргуу" гэсэн нэр томъёог ашиглана n-хэмжээт орон зай” гэсэн хэдий ч ийм гадаргууг дүрслэх боломжгүй юм.

Түвшингийн шугам ба гадаргуу

(15.1) тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд бид цэгийн багцыг авч үзэж болно ( x,y)Ай онгоц xy, Үүний төлөө zижил тогтмол утгыг авдаг, өөрөөр хэлбэл z= const. Эдгээр цэгүүд гэж нэрлэгддэг хавтгай дээр шугам үүсгэдэг түвшний шугам.

Жишээ.

Гадаргуугийн түвшний шугамыг ол z = 4 – x² - y². Тэдний тэгшитгэл нь иймэрхүү харагдаж байна x² + y² = 4 – в(в=const) – эхэнд төвтэй, радиустай төвтэй тойргийн тэгшитгэлүүд. Жишээлбэл, хэзээ -тай=0 бид тойрог авдаг x² + y² = 4.

Гурван хувьсагчтай функцийн хувьд u = u(x, y, z)тэгшитгэл u(x, y, z) = cгэж нэрлэгддэг гурван хэмжээст орон зай дахь гадаргууг тодорхойлдог тэгш гадаргуу.

Жишээ.

Функцийн хувьд у = 3x + 5y – 7z-12 түвшний гадаргуу нь 3-р тэгшитгэлээр өгөгдсөн параллель хавтгайн бүлэг болно x + 5y – 7z –12 + -тай = 0.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал

Үзэл баримтлалыг танилцуулъя δ-хөршүүдоноо М 0 (x 0, y 0) O хавтгай дээр xyөгөгдсөн цэгт төвтэй δ радиустай тойрог хэлбэрээр. Үүний нэгэн адил бид гурван хэмжээст орон зай дахь δ-хөршийг цэг дээр төвтэй δ радиустай бөмбөг гэж тодорхойлж болно. М 0 (x 0, y 0, z 0). Учир нь nХэмжээст орон зайг бид цэгийн δ-хөрш гэж нэрлэнэ М 0 багц оноо Мнөхцөлийг хангасан координатуудтай

цэгийн координат хаана байна М 0 . Заримдаа энэ багцыг "бөмбөг" гэж нэрлэдэг n- хэмжээст орон зай.

Тодорхойлолт. А тоог дууддаг хязгаархэд хэдэн хувьсагчийн функцууд ецэг дээр М 0 тийм бол | f(M) – А| < ε для любой точки Мδ-хөршөөс М 0 .

Тэмдэглэл: .

Энэ тохиолдолд цэг гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй Мойртож магадгүй М 0, харьцангуйгаар хэлбэл, цэгийн δ-хөрш доторх аливаа траекторийн дагуу М 0 . Тиймээс хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаарыг ерөнхий утгаараа гэж нэрлэгддэгээс ялгах хэрэгтэй. давтагдсан хязгаартус тусад нь аргумент бүрийн хязгаар хүртэл дараалсан хэсгүүдээр олж авсан.

Жишээ.

Сэтгэгдэл. Өгөгдсөн цэг дээр ердийн утгаараа хязгаар оршин тогтнож, энэ цэг дээр хувь хүний ​​аргументууд дээр хязгаар оршин тогтнож байгаагаас давтан хязгаарын оршихуй ба тэгш байдал үүсдэг болохыг баталж болно. Урвуу мэдэгдэл нь үнэн биш юм.

Тодорхойлолт Чиг үүрэг едуудсан Үргэлжилсэнцэг дээр М 0 бол (15.2)

Хэрэв бид тэмдэглэгээг оруулбал (15.2) нөхцөлийг (15.3) хэлбэрээр дахин бичиж болно.

Тодорхойлолт . Дотоод цэг М 0функцийн домэйн z = f(M)дуудсан таслах цэгХэрэв энэ үед (15.2), (15.3) нөхцөл хангагдаагүй бол функц.

Сэтгэгдэл. Олон тооны тасалдал нь хавтгай эсвэл сансар огторгуйд үүсч болно шугамуудэсвэл хугарлын гадаргуу.

Жишээ.

Хязгаар ба тасралтгүй функцүүдийн шинж чанарууд

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдлын тодорхойлолтууд нь нэг хувьсагчийн функцийн харгалзах тодорхойлолтуудтай бараг давхцдаг тул хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн хувьд хичээлийн эхний хэсэгт батлагдсан хязгаар ба тасралтгүй функцүүдийн бүх шинж чанарууд хадгалагдана. , тухайлбал:

1) Хэрэв тэд байгаа бол тэдгээр нь байдаг ба (хэрэв).

2) Хэрэв a болон аль нэг нь бихязгаар байдаг, хаана байдаг М 0, тэгвэл цэгийн координатууд нь -д нийлмэл функцийн хязгаар байна Р 0 .

3) Хэрэв функцууд f(M)Тэгээд g(M)нэг цэг дээр тасралтгүй М 0, тэгвэл энэ үед функцууд мөн тасралтгүй байна f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(Хэрэв g(М 0) ≠ 0).

4) Хэрэв функцууд цэг дээр тасралтгүй байвал P 0, мөн функц нь цэг дээр тасралтгүй байна М 0, энд , тэгвэл цогцолбор функц цэг дээр тасралтгүй байна R 0.

5) Хаалттай хязгаарлагдмал талбайд функц тасралтгүй байна Д, энэ бүс нутагт хамгийн том, хамгийн бага утгыг авдаг.

6) Хэрэв функц нь хаалттай хязгаарлагдмал талбайд тасралтгүй байвал Д, энэ бүс нутагт үнэ цэнийг авдаг АТэгээд IN, дараа нь тэр бүсийг авдаг Дболон хооронд орших аливаа завсрын утга АТэгээд IN.

7) Хэрэв функц нь хаалттай хязгаарлагдмал талбайд тасралтгүй байвал Д, энэ бүс нутагт өөр өөр тэмдгийн утгыг авдаг, дараа нь байдаг ядажталбайгаас нэг цэг Д, үүнд е = 0.

Хэсэгчилсэн дериватив

Зөвхөн нэг аргументын өсөлтийг зааж өгөхдөө функцийг өөрчлөх талаар авч үзье - x i, тэгээд үүнийг нэрлэе.

Тодорхойлолт . Хэсэгчилсэн деривативаргументаар функцууд x iдуудсан.

Тэмдэглэл: .

Тиймээс хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь функцийн дериватив гэж тодорхойлогддог. нэг хувьсагч - x i. Иймд нэг хувьсагчийн функцэд батлагдсан деривативын бүх шинж чанарууд үүнд хүчинтэй байна.

Сэтгэгдэл. Хэсэгчилсэн деривативын практик тооцоонд бид нэг хувьсагчийн функцийг ялгах ердийн дүрмийг ашигладаг бөгөөд ялгах аргумент нь хувьсагч, үлдсэн аргументууд нь тогтмол байна гэж үздэг.

Жишээ .

1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = xy,

Хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативын геометрийн тайлбар

Гадаргуугийн тэгшитгэлийг авч үзье z = f(x,y)мөн онгоц зур x = const. Хавтгай ба гадаргуугийн огтлолцлын шугам дээрх цэгийг сонгоцгооё М(х,у). Хэрэв та аргумент өгвөл цагтөсөлт Δ цагтба муруйн T цэгийг координаттай ( x, y+Δ y, z+Δy z), дараа нь О тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй МТ секантын үүсгэсэн өнцгийн тангенс цагт, -тэй тэнцүү байх болно. -ийн хязгаарт хүрэхэд хэсэгчилсэн дериватив нь тухайн цэг дээр үүссэн муруй руу шүргэгчээр үүсгэсэн өнцгийн тангенстай тэнцүү болохыг олж мэднэ. М O тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй у.Үүний дагуу хэсэгчилсэн дериватив нь O тэнхлэгтэй өнцгийн тангенстай тэнцүү байна Xгадаргууг огтолсны үр дүнд олж авсан муруйн шүргэгч z = f(x,y)онгоц у = const.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн ялгавартай байдал

Дифференциалтай холбоотой асуудлыг судлахдаа бид гурван хувьсагчийн функцийн тохиолдлоор хязгаарлагдах болно, учир нь бүх нотолгоо нь илүүхувьсагчдыг ижил аргаар явуулдаг.

Тодорхойлолт . Бүрэн өсөлтфункцууд u = f(x, y, z)дуудсан

Теорем 1. Хэрэв цэг дээр хэсэгчилсэн деривативууд байгаа бол ( x 0, y 0, z 0) болон түүний зарим хороололд бөгөөд цэг дээр ( x 0 , y 0 , z 0) дараа нь хязгаарлагдмал (тэдгээрийн модулиуд 1-ээс хэтрэхгүй учраас).

Тэгвэл теорем 1-ийн нөхцлийг хангасан функцийн өсөлтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно: , (15.6)

Тодорхойлолт . Хэрэв функц нэмэгдвэл u = f (x, y, z)цэг дээр ( x 0 , y 0 , z 0)(15.6), (15.7) хэлбэрээр төлөөлж болно, дараа нь функц дуудагдана ялгах боломжтойэнэ үед, мөн илэрхийлэл байна өсөлтийн үндсэн шугаман хэсэгэсвэл бүрэн дифференциалтухайн функц.

Тэмдэглэл: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Нэг хувьсагчийн функцийн хувьд бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь тэдгээрийн дурын өсөлт гэж тооцогддог тул

Тайлбар 1. Тиймээс, "функцийг ялгах боломжтой" гэсэн мэдэгдэл нь "функц нь хэсэгчилсэн деривативтай" гэсэн үгтэй тэнцүү биш юм - дифференциалын хувьд эдгээр деривативуудын үргэлжлэл нь тухайн цэг дээр байх шаардлагатай.

.

Функцийг анхаарч үзээд сонгоно уу x 0 = 1, y 0 = 2. Дараа нь Δ x = 1.02 – 1 = 0.02; Δ у = 1.97 – 2 = -0.03. Олъё

Тиймээс үүнийг харгалзан үзсэн f ( 1, 2) = 3, бид олж авна.