Хэсэгчилсэн дериватив бүр ( xболон өөр yХоёр хувьсагчийн функцийн ) нь нэг хувьсагчийн функцийн бусад хувьсагчийн тогтмол утгын ердийн дериватив юм:

(Хаана y= const),

(Хаана x= const).

Тиймээс хэсэгчилсэн деривативуудыг ашиглан тооцоолно нэг хувьсагчийн функцийн деривативыг тооцоолох томъёо, дүрэм, нөгөө хувьсагчийн тогтмолыг авч үзвэл.

Хэрэв танд жишээнүүдийн дүн шинжилгээ, үүнд шаардагдах хамгийн бага онол шаардлагагүй, зөвхөн асуудлынхаа шийдэл хэрэгтэй бол дараах руу очно уу. Онлайн хэсэгчилсэн дериватив тооцоолуур .

Хэрэв функцийн тогтмол утга хаана байгааг хянахын тулд анхаарлаа төвлөрүүлэхэд хэцүү бол жишээний шийдлийн төсөлд тогтмол утгатай хувьсагчийн оронд дурын тоог орлуулж болно - тэгвэл та хэсэгчилсэн деривативыг хурдан тооцоолж болно. нэг хувьсагчийн функцийн ердийн дериватив. Эцсийн дизайныг дуусгахдаа тогтмолыг (тогтмол утгатай хувьсагч) байрандаа буцахаа санах хэрэгтэй.

Дээр дурдсан хэсэгчилсэн деривативын шинж чанар нь шалгалтын асуултуудад гарч болох хэсэгчилсэн деривативын тодорхойлолтоос үүдэлтэй. Тиймээс доорх тодорхойлолттой танилцахын тулд та онолын лавлагааг нээж болно.

Функцийн тасралтгүй байдлын тухай ойлголт z= е(x, y) цэг дээр нэг хувьсагчийн функцийн хувьд энэ ойлголттой адил тодорхойлогддог.

Чиг үүрэг z = е(x, y) хэрэв цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг

Ялгаа (2) функцийн нийт өсөлт гэж нэрлэдэг z(энэ нь хоёр аргументыг нэмэгдүүлсний үр дүнд олж авсан).

Функцийг өгье z= е(x, y) ба хугацаа

Хэрэв функц өөрчлөгдвөл zаргументуудын зөвхөн нэг нь өөрчлөгдөхөд тохиолддог, жишээлбэл, x, өөр аргументийн тогтмол утгатай y, дараа нь функц нь нэмэгдлийг хүлээн авна

функцийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэдэг е(x, y) By x.

Функцийн өөрчлөлтийг авч үзэх zАргументуудын зөвхөн нэгийг өөрчлөхөөс хамааран бид нэг хувьсагчийн функц руу үр дүнтэй өөрчлөгддөг.

Хэрэв хязгаарлагдмал хязгаар байгаа бол

тэгвэл функцийн хэсэгчилсэн дериватив гэнэ е(x, y) аргументаар xба тэмдэгтүүдийн аль нэгээр тэмдэглэгдсэн байна

(4)

Хэсэгчилсэн өсөлтийг ижил төстэй байдлаар тодорхойлно z By y:

болон хэсэгчилсэн дериватив е(x, y) By y:

(6)

Жишээ 1.

Шийдэл. Бид "x" хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олно.

(yтогтмол);

Бид "y" хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг олно.

(xтогтмол).

Таны харж байгаагаар хувьсагч нь ямар хэмжээгээр тогтмол байх нь хамаагүй: энэ тохиолдолд энэ нь хэсэгчилсэн деривативыг олох хувьсагчийн хүчин зүйл (энгийн деривативын хувьд) болох тодорхой тоо юм. . Хэрэв тогтмол хувьсагчийг хэсэгчилсэн деривативыг олох хувьсагчаар үржүүлээгүй бол энгийн деривативын хувьд энэ дан тогтмол нь ямар ч хэмжээгээр алга болно.

Жишээ 2.Функц өгсөн

Хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

(X-ээр) ба (Y-ээр) ба тэдгээрийн утгыг тухайн цэг дээр тооцоол А (1; 2).

Шийдэл. Тогтмол үед yэхний гишүүний деривативыг чадлын функцийн дериватив гэж олно ( нэг хувьсагчийн дериватив функцуудын хүснэгт):

.

Тогтмол үед xЭхний гишүүний деривативыг экспоненциал функцийн дериватив, хоёр дахь нь тогтмолын дериватив хэлбэрээр олно.

Одоо эдгээр хэсэгчилсэн деривативуудын утгыг цэг дээр тооцоолъё А (1; 2):

Та хэсэгчилсэн дериватив асуудлын шийдлийг эндээс шалгаж болно Онлайн хэсэгчилсэн дериватив тооцоолуур .

Жишээ 3.Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Шийдэл. Нэг алхамаар бид олдог

(y x, синусын аргумент 5 байсан мэт x: үүнтэй адил функцийн тэмдгийн өмнө 5 гарч ирнэ);

(xтогтмол бөгөөд энэ тохиолдолд үржүүлэгч байна y).

Та хэсэгчилсэн дериватив асуудлын шийдлийг эндээс шалгаж болно Онлайн хэсэгчилсэн дериватив тооцоолуур .

Гурав ба түүнээс дээш хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ижил төстэй байдлаар тодорхойлдог.

Хэрэв утгын багц бүр ( x; y; ...; т) олонлогоос хамааралгүй хувьсагч Дтодорхой нэг утгатай тохирч байна уолон хүнээс Э, Тэр ухувьсагчийн функц гэж нэрлэдэг x, y, ..., тболон тэмдэглэнэ у= е(x, y, ..., т).

Гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай функцүүдийн хувьд геометрийн тайлбар байхгүй.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг мөн бие даасан хувьсагчийн зөвхөн нэг нь өөрчлөгдөж, бусад нь тогтмол байна гэсэн таамаглалаар тодорхойлж, тооцдог.

Жишээ 4.Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

.

Шийдэл. yТэгээд zтогтмол:

xТэгээд zтогтмол:

xТэгээд yтогтмол:

Хэсэгчилсэн деривативуудыг өөрөө олж, дараа нь шийдлүүдийг хар

Жишээ 5.

Жишээ 6.Функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь ижил байна механик утга нь нэг хувьсагчийн функцийн деривативтай ижил байна, нь аргументуудын аль нэг дэх өөрчлөлттэй харьцуулахад функцын өөрчлөлтийн хурд юм.

Жишээ 8.Урсгалын тоон утга Птөмөр замын зорчигчдыг функцээр илэрхийлж болно

Хаана П- зорчигчдын тоо, Н- корреспондент цэгүүдийн оршин суугчдын тоо; Р- цэгүүдийн хоорондох зай.

Функцийн хэсэгчилсэн дериватив П By Р, тэнцүү

зорчигч урсгалын бууралт нь ижил тооны оршин суугчидтай харгалзах цэгүүдийн хоорондох зайны квадраттай урвуу пропорциональ байгааг харуулж байна.

Хэсэгчилсэн дериватив П By Н, тэнцүү

зорчигч урсгалын өсөлт нь цэг хоорондын ижил зайд байрлах суурин газрын оршин суугчдын тоо хоёр дахин их байгааг харуулж байна.

Та хэсэгчилсэн дериватив асуудлын шийдлийг эндээс шалгаж болно Онлайн хэсэгчилсэн дериватив тооцоолуур .

Бүрэн дифференциал

Хэсэгчилсэн деривативын үржвэр ба харгалзах бие даасан хувьсагчийн өсөлтийг хэсэгчилсэн дифференциал гэнэ. Хэсэгчилсэн дифференциалыг дараах байдлаар тэмдэглэв.

Бүх бие даасан хувьсагчийн хэсэгчилсэн дифференциалуудын нийлбэр нь нийт дифференциалыг өгдөг. Хоёр бие даасан хувьсагчийн функцийн хувьд нийт дифференциал нь тэгшитгэлээр илэрхийлэгдэнэ

(7)

Жишээ 9.Функцийн бүрэн дифференциалыг ол

Шийдэл. Томъёо (7) хэрэглэсний үр дүн:

Тодорхой домэйны цэг бүрт нийт дифференциалтай функцийг тухайн домайн дахь дифференциал гэж нэрлэдэг.

Нийт дифференциалыг өөрөө олоод шийдлийг харна уу

Нэг хувьсагчийн функцийн нэгэн адил тодорхой муж дахь функцийн ялгавартай байдал нь түүний энэ муж дахь тасралтгүй байдлыг илэрхийлдэг боловч эсрэгээр биш юм.

Функцийн дифференциал болох хангалттай нөхцөлийг нотолгоогүйгээр томъёолъё.

Теорем.Хэрэв функц z= е(x, y) тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай

тухайн мужид энэ мужид дифференциал болох ба түүний дифференциалыг (7) томъёогоор илэрхийлнэ.

Нэг хувьсагчийн функцийн хувьд функцийн дифференциал нь функцийн өсөлтийн үндсэн шугаман хэсэг болдогтой адил хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хувьд нийт дифференциал нь тодорхойлогддог болохыг харуулж болно. үндсэн, бие даасан хувьсагчдын өсөлтийн хувьд шугаман, функцийн нийт өсөлтийн нэг хэсэг.

Хоёр хувьсагчтай функцийн хувьд функцийн нийт өсөлт нь хэлбэртэй байна

(8)

Энд α ба β нь ба үед хязгааргүй бага байна.

Дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив

Хэсэгчилсэн дериватив ба функцууд е(x, y) нь өөрсдөө ижил хувьсагчийн зарим функцууд бөгөөд эргээд өөр өөр хувьсагчийн деривативтай байж болох бөгөөд тэдгээрийг дээд эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг.

Функцийг өгье. x ба y нь бие даасан хувьсагч тул тэдгээрийн нэг нь өөрчлөгдөж байхад нөгөө нь үнэ цэнээ хадгалж үлддэг. y-ийн утгыг хэвээр үлдээж, x бие даасан хувьсагчийг нэмэгдүүлье. Дараа нь z нь нэмэгдлийг хүлээн авах бөгөөд үүнийг x-тэй харьцуулсан z-ийн хэсэгчилсэн өсөлт гэж нэрлэдэг ба . Тиймээс, .

Үүний нэгэн адил бид z-ээс y-ийн хэсэгчилсэн өсөлтийг олж авна: .

z функцийн нийт өсөлтийг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Хэрэв хязгаар байгаа бол үүнийг х хувьсагчтай харьцах цэг дээрх функцийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэх ба тэмдэгтүүдийн аль нэгээр тэмдэглэнэ.

.

Нэг цэг дэх x-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативуудыг ихэвчлэн тэмдэгтээр тэмдэглэдэг .

y хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг дараах байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэнэ.

Ийнхүү хэд хэдэн (хоёр, гурав ба түүнээс дээш) хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь үлдсэн бие даасан хувьсагчийн утгууд тогтмол байх тохиолдолд эдгээр хувьсагчийн аль нэгийн функцийн дериватив гэж тодорхойлогддог. Тиймээс нэг хувьсагчийн функцийн деривативыг тооцоолох томъёо, дүрмийг ашиглан функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олдог (энэ тохиолдолд x эсвэл y нь тогтмол утга гэж тооцогддог).

Хэсэгчилсэн деривативыг нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг функц гэж үзэж болно. Эдгээр функцууд нь хэсэгчилсэн деривативтай байж болох бөгөөд тэдгээрийг хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Тэдгээрийг дараах байдлаар тодорхойлж, тэмдэглэв.

; ;

; .

Хоёр хувьсагчийн функцийн 1 ба 2-р зэрэглэлийн дифференциалууд.

Функцийн нийт дифференциалыг (томьёо 2.5) нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал гэнэ.

Нийт дифференциалыг тооцоолох томъёо нь дараах байдалтай байна.

(2.5) эсвэл , Хаана,

функцийн хэсэгчилсэн дифференциалууд.

Функц нь хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтэй байг. Хоёрдахь эрэмбийн дифференциалыг томъёогоор тодорхойлно. Үүнийг олцгооё:

Эндээс: . Бэлгэдлийн хувьд дараах байдлаар бичигдсэн байна.

.

ТОДОРХОЙГҮЙ ИНТЕГРАЛ.

Функцийн эсрэг дериватив, тодорхойгүй интеграл, шинж чанарууд.

F(x) функцийг дуудна эсрэг деривативӨгөгдсөн функцийн хувьд f(x), хэрэв F"(x)=f(x) бол, эсвэл, аль нь ижил, хэрэв dF(x)=f(x)dx бол.

Теорем. Хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй урттай зарим интервалд (X) тодорхойлогдсон f(x) функц нь нэг эсрэг дериватив, F(x) байвал энэ нь мөн төгсгөлгүй олон эсрэг деривативтэй байна; Эдгээр нь бүгд F(x) + C илэрхийлэлд агуулагдаж байгаа бөгөөд C нь дурын тогтмол юм.

Тодорхой интервалаар эсвэл төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй урттай сегмент дээр тодорхойлсон өгөгдсөн f(x) функцийн бүх эсрэг деривативуудын багцыг гэнэ. тодорхойгүй интеграл f(x) функцээс [эсвэл f(x)dx илэрхийллээс ] ба тэмдгээр тэмдэглэнэ.

Хэрэв F(x) нь f(x)-ийн эсрэг деривативуудын нэг бол эсрэг дериватив теоремын дагуу

, энд C нь дурын тогтмол юм.

Эсрэг деривативын тодорхойлолтоор F"(x)=f(x) ба иймд dF(x)=f(x) dx. (7.1) томъёонд f(x)-ийг интеграл функц гэж нэрлэдэг ба f( x) dx-ийг интеграл илэрхийлэл гэж нэрлэдэг.

Хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье:

$x$ ба $y$ хувьсагчид бие даасан байдаг тул ийм функцийн хувьд бид хэсэгчилсэн дериватив гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлж болно.

$f$ функцийн $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ цэг дэх $x$ хувьсагчийн хэсэгчилсэн дериватив нь хязгаар

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Дельта x;((y)_(0)) \баруун))(\Дельта x)\]

Үүнтэй адилаар та $y$ хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг тодорхойлж болно:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Дельта y \баруун))(\Дельта y)\]

Өөрөөр хэлбэл, хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативыг олохын тулд хүссэн хувьсагчаас бусад бүх хувьсагчдыг засах, дараа нь энэ хүссэн хувьсагчтай холбоотой энгийн деривативыг олох хэрэгтэй.

Энэ нь ийм деривативыг тооцоолох үндсэн аргад хүргэдэг: үүнээс бусад бүх хувьсагчийг тогтмол гэж төсөөлөөд дараа нь функцийг "энгийн" нэг хувьсагчаар ялгахтай адилаар ялга. Жишээлбэл:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \баруун))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \баруун))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \баруун))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \баруун))^(\ анхны ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \баруун))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\төгсгөл(зохицуулах)$

Мэдээжийн хэрэг, өөр өөр хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативууд өөр өөр хариулт өгдөг - энэ бол хэвийн зүйл. Эхний тохиолдолд бид үүсмэл тэмдгийн доороос 10y долларыг тайвнаар арилгаж, хоёр дахь тохиолдолд эхний нэр томъёог бүрмөсөн тэглэсэн шалтгааныг ойлгох нь илүү чухал юм. Энэ бүхэн нь ялгах хувьсагчаас бусад бүх үсгийг тогтмол гэж үздэгтэй холбоотой юм: тэдгээрийг гаргаж авах, "шатаах" гэх мэт.

"Хэсэгчилсэн дериватив" гэж юу вэ?

Өнөөдөр бид хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд болон тэдгээрийн хэсэгчилсэн деривативуудын талаар ярих болно. Нэгдүгээрт, хэд хэдэн хувьсагчийн функц гэж юу вэ? Өнөөг хүртэл бид функцийг $y\left(x \right)$ эсвэл $t\left(x \right)$ эсвэл ямар нэгэн хувьсагч, түүний нэг функц гэж үзэж дассан. Одоо бид нэг функцтэй, гэхдээ хэд хэдэн хувьсагчтай болно. $y$ болон $x$ өөрчлөгдөхөд функцийн утга өөрчлөгдөнө. Жишээлбэл, $x$ хоёр дахин нэмэгдвэл функцийн утга өөрчлөгдөх ба $x$ өөрчлөгдөх боловч $y$ өөрчлөгдөхгүй бол функцийн утга мөн адил өөрчлөгдөнө.

Мэдээжийн хэрэг, нэг хувьсагчийн функцтэй адил хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг ялгаж болно. Гэхдээ хэд хэдэн хувьсагч байдаг тул өөр өөр хувьсагчдаас хамааран ялгах боломжтой. Энэ тохиолдолд нэг хувьсагчийг ялгах үед байхгүй байсан тодорхой дүрмүүд гарч ирдэг.

Юуны өмнө бид аливаа хувьсагчаас функцийн деривативыг тооцоолохдоо ямар хувьсагчийн деривативыг тооцоолж байгаагаа зааж өгөх шаардлагатай - үүнийг хэсэгчилсэн дериватив гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, бид хоёр хувьсагчийн функцтэй бөгөөд бид үүнийг $x$ болон $y$-д хоёуланг нь тооцоолж болно - хувьсагч бүрийн хоёр хэсэгчилсэн дериватив.

Хоёрдугаарт, бид хувьсагчийн аль нэгийг тогтоож, түүнд хамаарах хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолж эхэлмэгц энэ функцэд багтсан бусад бүх зүйлийг тогтмол гэж үзнэ. Жишээлбэл, $z\left(xy \right)$-д, хэрэв бид $x$-тэй холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг авч үзвэл $y$-тай хаана ч тааралдвал бид үүнийг тогтмол гэж үзэж, ийм байдлаар авч үздэг. Ялангуяа, бүтээгдэхүүний деривативыг тооцоолохдоо хаалтнаас $y$-г авч болно (бид тогтмол байдаг), нийлбэрийн деривативыг тооцоолохдоо, хэрэв хаа нэгтээ $y$ агуулсан илэрхийллийн дериватив болон $x$ агуулаагүй бол энэ илэрхийллийн дериватив нь тогтмолын дериватив болох "тэг"-тэй тэнцүү байх болно.

Өнгөц харахад би ээдрээтэй зүйл ярьж байгаа юм шиг санагдаж, олон оюутнууд эхэндээ эргэлздэг. Гэсэн хэдий ч хэсэгчилсэн деривативуудад ер бусын зүйл байдаггүй бөгөөд одоо бид тодорхой асуудлын жишээн дээр үүнийг харах болно.

Радикал ба олон гишүүнттэй холбоотой асуудлууд

Даалгавар №1

Цаг алдахгүйн тулд эхнээс нь ноцтой жишээнүүдээс эхэлье.

Эхлэхийн тулд энэ томъёог танд сануулъя:

Энэ бол бидний стандарт курсээс мэддэг стандарт хүснэгтийн утга юм.

Энэ тохиолдолд $z$ деривативыг дараах байдлаар тооцоолно.

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\үндсэн ))_(x)\]

Үүнийг дахин хийцгээе, учир нь үндэс нь $x$ биш, харин өөр ямар нэгэн илэрхийлэл, энэ тохиолдолд $\frac(y)(x)$, дараа нь бид эхлээд стандарт хүснэгтийн утгыг ашиглана, дараа нь үндэс нь $x $ биш, мөн өөр илэрхийлэл бол бид ижил хувьсагчийн хувьд деривативыг энэ илэрхийллийн өөр нэгээр үржүүлэх хэрэгтэй. Эхлээд дараахь тооцоог хийцгээе.

\[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Бид илэрхийлэлдээ буцаж ирээд бичнэ:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)((x)^(2))) \баруун)\]

Үндсэндээ энэ л байна. Гэсэн хэдий ч үүнийг энэ хэлбэрээр үлдээх нь буруу юм: ийм бүтэц нь цаашдын тооцоололд ашиглахад тохиромжгүй тул үүнийг бага зэрэг өөрчилье:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \баруун)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Хариулт нь олдсон. Одоо $y$-тэй харьцъя:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\зүүн(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)\]

Үүнийг тусад нь бичье:

\[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Одоо бид бичнэ:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Дууслаа.

Асуудал №2

Энэ жишээ нь өмнөхөөсөө илүү энгийн бөгөөд илүү төвөгтэй юм. Энэ нь илүү төвөгтэй, учир нь илүү олон үйлдлүүд байдаг, гэхдээ энэ нь илүү хялбар байдаг, учир нь үндэс байхгүй бөгөөд үүнээс гадна функц нь $ x $ ба $ y $ -тай харьцуулахад тэгш хэмтэй байдаг, өөрөөр хэлбэл. хэрэв бид $x$ ба $y$-г солих юм бол томъёо өөрчлөгдөхгүй. Энэхүү тайлбар нь хэсэгчилсэн деривативын тооцоог илүү хялбарчлах болно, өөрөөр хэлбэл. тэдгээрийн аль нэгийг нь тоолоход хангалттай бөгөөд хоёр дахь нь зүгээр л $x$ болон $y$-г солино.

Ажилдаа орцгооё:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \баруун ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \баруун))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \баруун)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))\]

Тоолж үзье:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Гэсэн хэдий ч олон оюутнууд энэ тэмдэглэгээг ойлгодоггүй тул дараах байдлаар бичье.

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Тиймээс бид хэсэгчилсэн дериватив алгоритмын бүх нийтийн шинж чанартай гэдэгт дахин нэг удаа итгэлтэй байна: бид тэдгээрийг хэрхэн тооцож байгаагаас үл хамааран бүх дүрмийг зөв хэрэглэвэл хариулт нь ижил байх болно.

Одоо том томьёосоо өөр нэг хэсэгчилсэн деривативыг харцгаая:

\[(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \баруун))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Үүссэн илэрхийлэлүүдийг томъёонд орлуулаад дараахийг авцгаая.

\[\frac(((\left(xy \баруун))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ баруун)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\үндсэн ))_(x))(((\зүүн) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \баруун))(((\) зүүн(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \баруун))(((\зүүн(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2 )))\]

Тооцоолсон $x$-д үндэслэсэн. Мөн ижил илэрхийллээс $y$-г тооцоолохын тулд ижил дараалсан үйлдлүүдийг хийхгүй, харин анхны илэрхийлэлийнхээ тэгш хэмийн давуу талыг ашиглацгаая - бид зүгээр л анхны илэрхийлэл дэх бүх $y$-г $x$-ээр солих ба эсрэгээр:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \баруун))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(2)))\]

Тэгш хэмийн ачаар бид энэ илэрхийллийг илүү хурдан тооцоолсон.

Шийдлийн нюансууд

Хэсэгчилсэн деривативын хувьд энгийн томъёонд ашигладаг бүх стандарт томъёо, тухайлбал, хуваалтын дериватив нь ажилладаг. Гэсэн хэдий ч үүнтэй зэрэгцэн тодорхой шинж чанарууд гарч ирдэг: хэрэв бид $x$-ийн хэсэгчилсэн деривативыг авч үзвэл $x$-аас авахдаа үүнийг тогтмол гэж үздэг тул дериватив нь "тэг"-тэй тэнцүү байх болно. .

Энгийн деривативын нэгэн адил коэффициентийг (ижил дериватив) хэд хэдэн өөр аргаар тооцоолж болно. Жишээлбэл, бидний саяхан тооцоолсон барилгыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[((\left(\frac(y)(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \баруун)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Үүний зэрэгцээ, нөгөө талаас та нийлбэрийн деривативаас томъёог ашиглаж болно. Бидний мэдэж байгаагаар энэ нь деривативын нийлбэртэй тэнцүү юм. Жишээлбэл, дараах зүйлийг бичье.

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \баруун))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Одоо энэ бүгдийг мэдэж байгаа тул бодит хэсэгчилсэн дериватив нь зөвхөн олон гишүүнт ба үндэсээр хязгаарлагдахгүй тул илүү ноцтой илэрхийллүүдтэй ажиллахыг хичээцгээе: тригонометр, логарифм, экспоненциал функцүүд бас байдаг. Одоо үүнийг хийцгээе.

Тригонометрийн функц ба логарифмын асуудал

Даалгавар №1

Дараах стандарт томъёог бичье.

\[((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Энэхүү мэдлэгээр зэвсэглээд дараахь зүйлийг шийдэхийг хичээцгээе.

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\зүүн) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Нэг хувьсагчийг тусад нь бичье:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Загвартаа эргэн оръё:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Ингээд л бид үүнийг $x$-оор олсон, одоо $y$-ийн тооцоог хийцгээе:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \баруун))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\зүүн) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Дахин хэлэхэд нэг илэрхийлэлийг тооцоолъё:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \баруун)\]

Бид анхны илэрхийлэл рүү буцаж очоод шийдлийг үргэлжлүүлнэ:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Дууслаа.

Асуудал №2

Бидэнд хэрэгтэй томъёогоо бичье.

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Одоо $x$-оор тоолъё:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \баруун)=\frac(1)(x+\ln y)\]

$x$-оор олдсон. Бид $y$-оор тоолно:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \баруун)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \баруун))\ ]

Асуудал шийдэгдсэн.

Шийдлийн нюансууд

Тиймээс бид ямар функцийн хэсэгчилсэн деривативыг авсан бай, бид тригонометр, үндэс эсвэл логарифмтай ажиллаж байгаа эсэхээс үл хамааран дүрэм хэвээр байна.

Стандарт деривативтай ажиллах сонгодог дүрмүүд өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна, тухайлбал нийлбэр ба зөрүүний дериватив, хуваалт ба цогцолбор функц.

Сүүлийн томъёог хэсэгчилсэн деривативтай асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн олдог. Бид тэдэнтэй бараг хаа сайгүй уулздаг. Бидэнд хийгээгүй ажил гэж хэзээ ч байгаагүй. Гэхдээ бид ямар томьёог ашиглаж байгаагаас үл хамааран бидэнд өөр нэг шаардлага, тухайлбал хэсэгчилсэн деривативтай ажиллах онцлог нэмэгдсээр байна. Нэг хувьсагчийг засахад бусад нь тогтмол болно. Ялангуяа $\cos \frac(x)(y)$ илэрхийллийн хэсэгчилсэн деривативыг $y$-д хамааруулж авч үзвэл $y$ нь хувьсагч бөгөөд $x$ хаана ч тогтмол хэвээр байна. Үүнтэй ижил зүйл эсрэгээрээ ажилладаг. Үүнийг дериватив тэмдгээс гаргаж авах боломжтой бөгөөд тогтмолын дериватив нь өөрөө "тэг"-тэй тэнцүү байх болно.

Энэ бүхэн нь ижил илэрхийллийн хэсэгчилсэн деривативууд өөр өөр хувьсагчийн хувьд огт өөр харагдахад хүргэдэг. Жишээлбэл, дараах илэрхийллийг харцгаая.

\[((\left(x+\ln y \баруун))^(\анхны ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \баруун))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Экспоненциал функц ба логарифмын асуудал

Даалгавар №1

Эхлэхийн тулд дараах томьёог бичье.

\[(((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Энэ баримтыг, мөн нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг мэдэж байгаа тул тооцоолохыг хичээцгээе. Би одоо үүнийг хоёр өөр аргаар шийдэх болно. Эхний бөгөөд хамгийн тод нь бүтээгдэхүүний дериватив юм:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

Дараах илэрхийллийг тусад нь шийдье.

\[((\зүүн(\frac(x)(y) \баруун))^(\үндсэн ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Бид анхны загвартаа буцаж ирээд шийдлийг үргэлжлүүлнэ:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1) +\frac(1)(y)\баруун)\]

Бүх зүйл, $ x $ тооцоолсон.

Гэсэн хэдий ч, миний амласанчлан, одоо бид энэ хэсэгчилсэн деривативыг өөр аргаар тооцоолохыг хичээх болно. Үүнийг хийхийн тулд дараахь зүйлийг анхаарна уу.

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Үүнийг ингэж бичье.

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \баруун)\]

Үүний үр дүнд бид яг ижил хариултыг авсан боловч тооцооллын хэмжээ бага болсон. Үүнийг хийхийн тулд бүтээгдэхүүнийг гүйцэтгэхдээ үзүүлэлтүүдийг нэмж болно гэдгийг тэмдэглэхэд хангалттай байсан.

Одоо $y$-оор тоолъё:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

Нэг илэрхийллийг тусад нь шийдье:

\[((\зүүн(\frac(x)(y) \баруун))^(\үндсэн ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Анхны бүтээн байгуулалтаа үргэлжлүүлье:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \баруун)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Мэдээжийн хэрэг, ижил деривативыг хоёр дахь аргаар тооцоолж болох бөгөөд хариулт нь ижил байх болно.

Асуудал №2

$x$-оор тоолъё:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \баруун))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \баруун )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

Нэг илэрхийлэлийг тусад нь тооцоолъё:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Анхны бүтээн байгуулалтыг үргэлжлүүлэн шийдье: $$

Энэ бол хариулт юм.

Үүнийг $y$ ашиглан аналогиар олох хэвээр байна:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \баруун))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \баруун)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

Бид үргэлж нэг илэрхийлэлийг тусад нь тооцдог.

\[((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \баруун) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Бид үндсэн дизайныг үргэлжлүүлэн шийдэж байна:

Бүх зүйлийг тооцоолсон. Таны харж байгаагаар ямар хувьсагчийг ялгахдаа авахаас шалтгаалж хариултууд нь огт өөр байна.

Шийдлийн нюансууд

Ижил функцийн деривативыг хоёр өөр аргаар хэрхэн тооцоолох гайхалтай жишээ энд байна. Энд харах:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \баруун)=( (\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ зүүн(1+\фрак(1)(y) \баруун)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \баруун)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \баруун))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\зүүн(x+\frac(x)(y) \баруун))^(\үндсэн ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \баруун)\ ]

Өөр өөр замыг сонгохдоо тооцооллын хэмжээ өөр байж болох ч хэрэв бүх зүйл зөв хийгдсэн бол хариулт нь ижил байх болно. Энэ нь сонгодог болон хэсэгчилсэн деривативуудад хамаарна. Үүний зэрэгцээ би танд дахин нэг удаа сануулж байна: аль хувьсагчаас хамааран деривативыг авах, i.e. ялгах юм бол хариулт нь огт өөр болж магадгүй юм. Хараач:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \баруун) \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \баруун))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Эцэст нь хэлэхэд, энэ бүх материалыг нэгтгэхийн тулд өөр хоёр жишээг тооцоолохыг хичээцгээе.

Тригонометрийн функц, гурван хувьсагчтай функцтэй холбоотой асуудлууд

Даалгавар №1

Дараах томьёог бичье.

\[((\left(((a)^(x)) \баруун))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \баруун))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Одоо илэрхийллээ шийдье:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Дараахь бүтээцийг тусад нь тооцоолъё.

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ зүүн(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Бид анхны илэрхийлэлийг үргэлжлүүлэн шийдэж байна:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Энэ бол $x$ дээрх хувийн хувьсагчийн эцсийн хариулт юм. Одоо $y$-оор тоолъё:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Нэг илэрхийллийг тусад нь шийдье:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ зүүн(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Бүтээн байгуулалтаа эцэс хүртэл шийдье:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Асуудал №2

Өнгөц харахад энэ жишээ нь гурван хувьсагчтай учир нэлээд төвөгтэй мэт санагдаж магадгүй юм. Үнэндээ энэ бол өнөөдрийн видео хичээлийн хамгийн хялбар ажлуудын нэг юм.

$x$-р олох:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \баруун))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \баруун))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \баруун))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Одоо $y$-тэй харьцъя:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \баруун))^ (\үндсэн ))_(y)=((\зүүн(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\үндсэн ))_(y)+((\зүүн(y\cdot) ((e)^(z)) \баруун))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\зүүн) (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Бид хариултаа олсон.

Одоо $z$-оор олох л үлдлээ:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \баруун))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \баруун))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)) )^(z)) \баруун))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \баруун))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Бид гурав дахь деривативыг тооцоолсон бөгөөд энэ нь хоёр дахь асуудлын шийдлийг дуусгасан болно.

Шийдлийн нюансууд

Таны харж байгаагаар эдгээр хоёр жишээнд төвөгтэй зүйл байхгүй. Бидний итгэлтэй байгаа цорын ганц зүйл бол нийлмэл функцийн деривативыг ихэвчлэн ашигладаг бөгөөд аль хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохоос хамааран бид өөр өөр хариулт авдаг.

Сүүлчийн даалгаварт бид гурван хувьсагчийн функцтэй нэг дор ажиллахыг хүссэн. Үүнд буруу зүйл байхгүй, гэхдээ эцэст нь тэд бүгд бие биенээсээ эрс ялгаатай гэдэгт бид итгэлтэй байсан.

Гол оноо

Өнөөдрийн видео хичээлийн эцсийн дүгнэлтүүд дараах байдалтай байна.

1. Хэсэгчилсэн деривативыг ердийнхтэй ижил аргаар тооцдог боловч нэг хувьсагчтай холбоотой хэсэгчилсэн деривативыг тооцоолохын тулд бид энэ функцэд багтсан бусад бүх хувьсагчдыг тогтмол гэж авдаг.
2. Хэсэгчилсэн деривативтай ажиллахдаа бид ердийн деривативтай адил стандарт томьёог ашигладаг: нийлбэр, зөрүү, үржвэрийн дериватив ба категори, мэдээжийн хэрэг нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Мэдээжийн хэрэг, энэ видео хичээлийг дангаар нь үзэх нь энэ сэдвийг бүрэн ойлгоход хангалтгүй тул яг одоо миний вэбсайт дээр өнөөдрийн сэдэвт тусгайлан зориулсан энэхүү видеонд зориулсан багц асуудлууд байгаа - нэвтэрч, татаж аваад эдгээр асуудлыг шийдэж, хариултыг шалгаарай. . Үүний дараа та шалгалт эсвэл бие даасан ажилд хэсэгчилсэн деривативтай холбоотой ямар ч асуудал гарахгүй. Мэдээжийн хэрэг, энэ бол дээд математикийн сүүлийн хичээл биш тул манай вэбсайтад зочилж, ВКонтакте-г нэмж, YouTube-д бүртгүүлж, лайк дарж, бидэнтэй хамт байгаарай!

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийг хамарсан бодлогод хэсэгчилсэн деривативыг ашигладаг. Олдох дүрмүүд нь нэг хувьсагчийн функцтэй яг адилхан бөгөөд ялгаа нь ялгах үед хувьсагчдын аль нэгийг тогтмол (тогтмол тоо) гэж үзэх ёстой.

Томъёо

$ z(x,y) $ гэсэн хоёр хувьсагчийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг $ z"_x, z"_y $ хэлбэрээр дараах томъёогоор бичнэ.

Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив

$$ z"_x = \frac(\хэсэг z)(\хэсэг х) $$

$$ z"_y = \frac(\хэсэг z)(\хэсэг y) $$

Хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив

$$ z""_(xx) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х \хэсэг x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y \хэсэг y) $$

Холимог дериватив

$$ z""_(xy) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг х \хэсэг y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\хэсэг^2 z)(\хэсэг y \хэсэг x) $$

Нарийн төвөгтэй функцийн хэсэгчилсэн дериватив

a) $ z (t) = f(x(t), y(t)) $ гэж бодвол нийлмэл функцийн деривативыг дараах томъёогоор тодорхойлно.

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

б) $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $ байвал функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг дараах томъёогоор олно.

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Далд функцийн хэсэгчилсэн деривативууд

a) $ F(x,y(x)) = 0 $, дараа нь $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$ байг.

б) $ F(x,y,z)=0 $, тэгвэл $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Шийдлийн жишээ

Жишээ 1

$ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $ эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол.

Шийдэл

$ x $-ийн хэсэгчилсэн деривативыг олохын тулд $ y $ -ийг тогтмол утга (тоо) гэж үзнэ. $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ $y$-д хамаарах функцийн хэсэгчилсэн деривативыг олохын тулд $y$-ийг тогтмолоор тодорхойлно. $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Хэрэв та асуудлаа шийдэж чадахгүй бол бидэнд илгээнэ үү. Бид нарийвчилсан шийдлийг өгөх болно. Та тооцооллын явцыг харж, мэдээлэл авах боломжтой болно. Энэ нь таныг багшаасаа цаг тухайд нь дүнгээ авахад тусална!

Хариулт

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

Жишээ 2

$ z = e^(xy) $ 2-р эрэмбийн функцийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол

Шийдэл

Эхлээд та эхний деривативуудыг олох хэрэгтэй, дараа нь тэдгээрийг мэдсэнээр хоёр дахь эрэмбийн деривативуудыг олох боломжтой. $y$ тогтмол байг: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Одоо $ x $-г тогтмол утга болгон тохируулцгаая. $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Эхний деривативуудыг мэдсэнээр бид хоёр дахь нь адилхан олдог. $y$-г тогтмол болгох: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Бид $ x $-г тогтмол болгож тохируулсан: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Одоо зөвхөн холимог деривативыг олох л үлдлээ. Та $ z"_x $-г $ y $-оор ялгаж болно, мөн $ z"_y $-г $ x $-оор ялгаж болно, учир нь теоремоор $ z""_(xy) = z""_(yx) $ байна. $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = та^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Хариулт

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

Жишээ 4

$ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ $ F(x,y,z) = 0 $ далд функцийг тодорхойл. Эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг ол.

Шийдэл

Бид функцийг дараах форматаар бичнэ: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ ба деривативуудыг олно. $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Хариулт

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Илэрхий функцүүдийн дээд эрэмбийн деривативуудыг тооцоолох жишээг авч үзнэ. n-р эрэмбийн деривативыг тооцоолох ашигтай томъёог өгөв.

Агуулга

Дээд эрэмбийн деривативыг тодорхойлох

Энд бид y хувьсагч х хувьсагчаас тодорхой хамааралтай тохиолдлыг авч үзье.
.
Х хувьсагчтай холбоотой функцийг ялгахдаа бид нэгдүгээр эрэмбийн дериватив буюу зүгээр л деривативыг олж авна.
.
Үүний үр дүнд бид шинэ функцийг олж авдаг бөгөөд энэ нь функцийн дериватив юм. Энэхүү шинэ функцийг x хувьсагчийн хувьд ялгаж үзвэл бид хоёр дахь эрэмбийн деривативыг олж авна.
.
Функцийг ялгаж үзвэл бид гуравдахь эрэмбийн деривативыг олж авна.
.
гэх мэт. Анхны функцийг n удаа ялгаж, бид n-р дарааллын дериватив эсвэл n-р деривативыг олж авна.
.

Деривативуудыг тэмдэглэж болнозураас, Ромын тоо, араб тоо, хаалтанд эсвэл дифференциалын бутархай. Жишээлбэл, гурав, дөрөв дэх дарааллын деривативуудыг дараах байдлаар тэмдэглэж болно.
;
.

Доорх нь дээд эрэмбийн деривативыг тооцоолоход хэрэг болох томъёо юм.

n-р эрэмбийн деривативын ашигтай томьёо

Зарим энгийн функцүүдийн деривативууд:
;
;
;
;
.

Функцийн нийлбэрийн дериватив:
,
тогтмолууд хаана байна.

Лейбницийн томъёо хоёр функцийн үржвэрийн дериватив:
,
Хаана
- бином коэффициент.

Жишээ 1

Дараах функцийн нэг ба хоёрдугаар эрэмбийн деривативуудыг ол.
.

Бид эхний эрэмбийн деривативыг олдог.Бид тогтмолыг дериватив тэмдгийн гадна авч, деривативын хүснэгтээс томъёог хэрэглэнэ.
.
Бид нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрмийг ашигладаг.
.
Энд.
Бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг хэрэглэж, олсон деривативуудыг ашигладаг.
.
Энд.

.
Хоёрдахь эрэмбийн деривативыг олохын тулд бид нэгдүгээр эрэмбийн дериватив буюу функцийн деривативыг олох хэрэгтэй.
.
Тэмдэглэгээг төөрөгдүүлэхгүйн тулд энэ функцийг үсгээр тэмдэглэе.
(A1.1) .
Дараа нь хоёрдугаар эрэмбийн деривативанхны функцээс уг функцийн дериватив байна:
.

Функцийн деривативыг олох. Логарифмын дериватив ашиглан үүнийг хийхэд илүү хялбар байдаг. Логарифмчилье (A1.1):
.
Одоо ялгаж үзье:
(A1.2) .
Гэхдээ энэ нь тогтмол. Үүний дериватив нь тэг байна. Бид аль хэдийн деривативыг олсон. Бид цогцолбор функцийг ялгах дүрмийг ашиглан үлдсэн деривативуудыг олдог.
;
;
.
Бид (A1.2)-д орлоно:

.
Эндээс
.

;
.

Жишээ 2

Гурав дахь дарааллын деривативыг ол:
.

Эхний эрэмбийн деривативыг олох. Үүнийг хийхийн тулд бид деривативын тэмдгийн гадна тогтмолыг авч хэрэглэнэ деривативын хүснэгтмөн өргөдөл гаргана нийлмэл функцийн деривативыг олох дүрэм .

.
Энд.
Тиймээс бид эхний эрэмбийн деривативыг олсон:
.

Хоёрдахь эрэмбийн деривативыг олох. Үүнийг хийхийн тулд бид -ийн деривативыг олно. Бид дериватив бутархай томъёог ашигладаг.
.
Хоёрдахь эрэмбийн дериватив:
.

Одоо бид хайж байгаа зүйлээ оллоо Гурав дахь дарааллын дериватив. Үүнийг хийхийн тулд бид ялгадаг.
;
;

.

Гурав дахь дарааллын дериватив нь тэнцүү байна
.

Жишээ 3

Дараах функцийн зургаа дахь дарааллын деривативыг ол.
.

Хэрэв та хаалтыг нээвэл анхны функц нь олон гишүүнт зэрэгтэй байх нь тодорхой болно. Үүнийг олон гишүүнт байдлаар бичье:
,
тогтмол коэффициентүүд хаана байна.

Дараа нь бид чадлын функцийн n-р деривативын томъёог хэрэглэнэ.
.
Зургаа дахь дарааллын деривативын хувьд (n = 6 ) бидэнд байгаа:
.
Эндээс харахад . Бидэнд байгаа үед:
.

Бид функцын нийлбэрийн деривативын томъёог ашигладаг.

.
Тиймээс анхны функцийн зургаа дахь эрэмбийн деривативыг олохын тулд бид зөвхөн олон гишүүнтийн хамгийн дээд зэрэглэлийн коэффициентийг олох хэрэгтэй. Бид үүнийг анхны функцийн нийлбэрүүдийн үржвэрийн хамгийн дээд хүчийг үржүүлэх замаар олно.

.
Эндээс. Дараа нь
.

Жишээ 4

Функцийн n-р деривативыг ол
.

Шийдэл > > >

Жишээ 5

Дараах функцийн n-р деривативыг ол.
,
хаана ба тогтмолууд.

Энэ жишээнд нийлмэл тоо ашиглан тооцоолол хийхэд тохиромжтой. Зарим нэг нарийн төвөгтэй функцтэй болцгооё
(A5.1) ,
хаана ба нь бодит х хувьсагчийн функцууд;
- төсөөллийн нэгж, .
(A.1)-ийг n удаа ялгахад бидэнд:
(A5.2) .
Заримдаа функцийн n-р деривативыг олоход хялбар байдаг. Дараа нь функцүүдийн n-р деривативууд нь n-р деривативын бодит ба төсөөллийн хэсгүүдээр тодорхойлогдоно.
;
.

Энэ аргыг ашиглан жишээгээ шийдье. Функцийг авч үзье
.
Энд бид Эйлерийн томъёог ашигласан
,
болон тэмдэглэгээг танилцуулав
.
Дараа нь анхны функцийн n-р деривативыг дараах томъёогоор тодорхойлно.
.

Функцийн n-р деривативыг олъё
.
Үүнийг хийхийн тулд бид дараах томъёог хэрэглэнэ.
.
Манай тохиолдолд
.
Дараа нь
.

Тиймээс бид комплекс функцийн n-р деривативыг олсон.
,
Хаана.
Функцийн бодит хэсгийг олцгооё.
Үүнийг хийхийн тулд бид комплекс тоог экспоненциал хэлбэрээр илэрхийлнэ.
,
Хаана;
; .
Дараа нь
;

.

Жишээ шийдэл
.

Let, .
Дараа нь;
.
,
,
,
.
Мөн бид косинусын n-р деривативын томъёог олж авна.
.

,
Хаана
; .