سخنرانی 1 نظریه توابع دو و چند متغیر (TFNP). 1. مفهوم FNP. 2. حد FNP. 3. تداوم FNP. 4. مشتقات جزئی مرتبه اول. 5. مشتق تابع مختلط. 6. مشتق تابع ضمنی. 7. مشتقات مرتبه بالاتر.

1. مفهوم FNP. بگذارید مجموعه D یک منطقه در صفحه باشد. تعریف. اگر عددی مرتبط باشد، می گویند که یک تابع عددی D در مجموعه D داده می شود - دامنه تعریف تابع.

اگر یک نقطه، نقشه برداری با دو مختصات مشخص می شود، تابعی از 2 متغیر. نمودار چنین تابعی مجموعه ای از نقاط با مختصات x، y، z - یک سطح در فضا خواهد بود.

تفسیر هندسی f(x,y). D – قسمتی از صفحه 0 ХY z D – طرح نمودار تابع f(x, y) بر روی صفحه 0 ХY z f О x D x y y نمودار تابع یک سطح در فضا است.

2. حد یک تابع از دو متغیر. بگذارید یک نقطه مجموعه ای از نقاط را طوری نامیده شود که همسایگی یک نقطه باشد

تعریف. بگذارید نقطه If سپس نقطه P را نقطه داخلی مجموعه D نامیده شود. تعریف. اگر تمام نقاط D درون این مجموعه باشند، آن را باز می نامند. تعریف. هر مجموعه باز که حاوی یک نقطه باشد، همسایگی آن نامیده می شود.

تعریف. به مجموعه ای از هر دو نقطه ای که بتوان آنها را با یک منحنی پیوسته در این مجموعه متصل کرد، متصل نامیده می شود. تعریف. یک مجموعه متصل باز منطقه نامیده می شود.

اجازه دهید یک تابع در همسایگی یک نقطه در مقداری تعریف شود (نه لزوماً در خود نقطه).

تعیین. اظهار نظر. آسپیراسیون می تواند بر اساس هر قانون و جهتی رخ دهد، در حالی که تمام مقادیر محدود کننده وجود دارند و برابر با A هستند.

مثال. بیایید تابع را در نظر بگیریم بیایید گرایش عبور از t را در نظر بگیریم (0، 0): در امتداد خطوط مستقیم، مقدار A به چگونگی بستگی دارد.

3. تداوم FNP. اگر حداقل یکی از شرایط 1-3 نقض شود، یک تابع در یک نقطه پیوسته نامیده می شود، آنگاه یک نقطه ناپیوستگی است.

نقاط شکست را می توان جدا کرد، خطوط شکست را تشکیل داد، سطوح را شکست. مثال. الف) نقطه شکست – (منزوی) ب) – خط شکست

تعریف. تفاوت را افزایش کل تابع می نامند. تعریف. محدودیت ها مشتقات جزئی تابع نامیده می شوند (با فرض وجود).

قوانین محاسبه مشتقات جزئی FNP با قوانین مربوطه برای تابعی از یک متغیر منطبق است. اظهار نظر. هنگام محاسبه مشتق FNP با توجه به یکی از متغیرها، بقیه به عنوان ثابت در نظر گرفته می شوند. مثال.

تعریف. قسمت اصلی (خطی) افزایش کل یک تابع در یک نقطه نامیده می شود دیفرانسیل کاملدر این نقطه عمل می کند.

5. مشتق تابع مختلط. بیایید تابعی را در نظر بگیریم که در آن z یک تابع مختلط از x، y است. مشتقات جزئی یک تابع مختلط با توجه به متغیرهای x و y به صورت زیر محاسبه می شوند: (مانند تابع مختلط یک متغیر).

مشتق کل a) که در آن z یک تابع مختلط از یک آرگومان t است. سپس مشتق کل تابع با توجه به آرگومان t است.

هنگام مطالعه الگوهای بسیاری در علوم طبیعی و اقتصاد، فرد با توابع دو (یا چند) متغیر مستقل روبرو می شود.

تعریف (برای تابعی از دو متغیر).اجازه دهید ایکس , Y و ز - انبوهی اگر هر زوج (ایکس, y) عناصر از مجموعه ها به ترتیب ایکس و Y به موجب برخی قانون f با یک و تنها یک عنصر مطابقت دارد z از بسیاری ز ، سپس آنها می گویند تابعی از دو متغیر داده شده است z = f(ایکس, y) .

به طور کلی دامنه تابعی از دو متغیر هندسی را می توان با مجموعه ای از نقاط نشان داد ( ایکس; y) سطح xOy .

تعاریف اساسی مربوط به توابع چندین متغیر، تعمیم موارد مربوطه است تعاریف تابعی از یک متغیر .

یک دسته از Dتماس گرفت دامنه تابع z، و مجموعه E – معانی متعدد آن. متغیرها ایکسو yدر رابطه با عملکرد zاستدلال های آن نامیده می شوند. متغیر zمتغیر وابسته نامیده می شود.

ارزش های خصوصی آرگومان ها

با مقدار خصوصی تابع مطابقت دارد

دامنه تابعی از چندین متغیر

اگر تابع چندین متغیر (مثلاً دو متغیر) توسط فرمول ارائه شده است z = f(ایکس, y) ، آن حوزه تعریف آن مجموعه تمام چنین نقاطی از هواپیما است x0y، که برای آن عبارت f(ایکس, y) منطقی می شود و می پذیرد ارزش های واقعی. قوانین کلی برای دامنه یک تابع از چندین متغیر از قوانین کلی برای مشتق شده است دامنه تعریف تابع یک متغیر. تفاوت در این است که برای تابعی از دو متغیر، دامنه تعریف مجموعه معینی از نقاط روی صفحه است و نه یک خط مستقیم، مانند تابعی از یک متغیر. برای تابعی از سه متغیر، دامنه تعریف مجموعه نقاط متناظر در فضای سه بعدی و برای یک تابع است. nمتغیرها - مجموعه متناظر از نقاط چکیده n-فضای بعدی

دامنه تابعی از دو متغیر با ریشه nدرجه ام

در موردی که تابعی از دو متغیر با فرمول و داده می شود n - عدد طبیعی :

اگر nیک عدد زوج است، سپس دامنه تعریف تابع مجموعه نقاط صفحه مربوط به تمام مقادیر عبارت رادیکال است که بزرگتر یا مساوی صفر هستند، یعنی

اگر nیک عدد فرد است، سپس دامنه تعریف تابع مجموعه ای از هر مقدار است، یعنی کل صفحه x0y .

دامنه تابع توان دو متغیر با توان عدد صحیح

:

اگر آ- مثبت، سپس دامنه تعریف تابع کل صفحه است x0y ;

اگر آ- منفی است، سپس دامنه تعریف تابع مجموعه مقادیر متفاوت از صفر است: .

دامنه تابع توان دو متغیر با توان کسری

در حالتی که تابع با فرمول داده می شود :

اگر مثبت باشد، دامنه تعریف تابع مجموعه ای از نقاط صفحه است که در آن مقادیر بزرگتر یا مساوی صفر می گیرد:

اگر - منفی باشد، دامنه تعریف تابع مجموعه ای از نقاط صفحه است که در آن مقادیر بزرگتر از صفر می گیرد: .

دامنه تعریف تابع لگاریتمی دو متغیر

تابع لگاریتمی دو متغیر به شرطی تعریف می شود که آرگومان آن مثبت باشد، یعنی دامنه تعریف آن مجموعه ای از نقاط صفحه است که در آن مقادیر بزرگتر از صفر می گیرد: .

دامنه تعریف توابع مثلثاتی دو متغیر

دامنه تابع - کل هواپیما x0y .

دامنه تابع - کل هواپیما x0y .

دامنه تعریف تابع کل صفحه است x0y

دامنه تابع - کل هواپیما x0y، به جز جفت اعدادی که برای آنها مقادیر می گیرد.

حوزه تعریف توابع مثلثاتی معکوس دو متغیر

دامنه تابع .

دامنه تابع - مجموعه ای از نقاط در هواپیما که برای آن .

دامنه تابع - کل هواپیما x0y .

دامنه تابع - کل هواپیما x0y .

دامنه تعریف کسری به عنوان تابعی از دو متغیر

اگر تابعی با فرمول داده شود، دامنه تعریف تابع تمام نقاط صفحه ای است که در آن .

دامنه یک تابع خطی از دو متغیر

اگر تابع با فرمولی از فرم داده شود z = تبر + توسط + ج ، سپس دامنه تعریف تابع کل صفحه است x0y .

مثال 1.

راه حل. با توجه به قوانین حوزه تعریف، یک نابرابری مضاعف ایجاد می کنیم

کل نابرابری را ضرب می کنیم و بدست می آوریم

عبارت به دست آمده دامنه تعریف این تابع از دو متغیر را مشخص می کند.

مثال 2.دامنه تابعی از دو متغیر را پیدا کنید.

(سخنرانی 1)

توابع 2 متغیر.

متغیر z تابعی از 2 متغیر f(x,y) نامیده می شود، اگر برای هر جفت مقدار (x,y) G مقدار مشخصی از متغیر z مرتبط باشد.

Def.همسایگی نقطه p 0 دایره ای با مرکز در نقطه p 0 و شعاع است. = (x-x 0 ) 2 +(اوه 0 ) 2

از یک عدد دلخواه کوچک، می توان یک عدد ()> 0 را مشخص کرد به طوری که برای تمام مقادیر x و y که فاصله t.p تا p0 کمتر است، نابرابری زیر برقرار است: f(x,y) A ، یعنی برای تمام نقاط p که در مجاورت نقطه p 0 قرار دارند، با شعاع، مقدار تابع با A کمتر از مقدار مطلق متفاوت است. و این بدان معنی است که وقتی نقطه p به نقطه p 0 نزدیک می شود هر کسی

تداوم عملکرد.

اجازه دهید تابع z=f(x,y) داده شود، p(x,y) نقطه فعلی است، p 0 (x 0 ,y 0) نقطه مورد بررسی است.

Def.

3) حد برابر است با مقدار تابع در این نقطه: = f(x 0 ,y 0);

لیم f(x,y) = f(x 0 ، y 0 );

pp 0

مشتق جزئی.

بیایید به آرگومان x یک افزایش x بدهیم. x+x، نقطه p 1 (x+x,y) را دریافت می کنیم، تفاوت بین مقادیر تابع را در نقطه p محاسبه می کنیم:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) افزایش جزئی تابع مربوط به افزایش آرگومان x.

z= لیم ایکس z

z = لیم f(x+x,y) - f(x,y)

X x0 X

تعریف تابعی از چندین متغیر

هنگام در نظر گرفتن بسیاری از موضوعات از حوزه های مختلف دانش، بررسی این گونه وابستگی ها بین متغیرها ضروری است مقادیر عددییکی از آنها به طور کامل توسط مقادیر چندین مورد دیگر تعیین می شود.

مثلاهنگام مطالعه وضعیت فیزیکی یک جسم، باید تغییرات در خواص آن را از نقطه به نقطه مشاهده کرد. هر نقطه از بدن با سه مختصات x، y، z مشخص می شود. بنابراین، مثلاً با مطالعه توزیع چگالی، به این نتیجه می‌رسیم که چگالی یک جسم به سه متغیر x، y، z بستگی دارد. اگر وضعیت فیزیکی بدن نیز در طول زمان t تغییر کند، همان چگالی به مقادیر چهار متغیر x، y، z، t بستگی دارد.

مثالی دیگر: هزینه های تولید برای تولید یک واحد از نوع خاصی از محصول مورد مطالعه قرار می گیرد. بگذار:

x - هزینه مواد،

y - هزینه های پرداخت دستمزدکارمندان،

z - هزینه های استهلاک.

بدیهی است که هزینه های تولید به مقادیر پارامترهای نامگذاری شده x، y، z بستگی دارد.

تعریف 1.1اگر برای هر مجموعه مقادیر "n" متغیر باشد

از برخی از مجموعه‌های D این مجموعه‌ها با مقدار منحصربه‌فرد آن از متغیر z مطابقت دارد، سپس می‌گویند که تابع در مجموعه D داده می‌شود.

متغیرهای "n".

مجموعه D مشخص شده در تعریف 1.1 دامنه تعریف یا دامنه وجود این تابع نامیده می شود.

اگر تابعی از دو متغیر در نظر گرفته شود، مجموعه اعداد

معمولاً (x, y) نشان داده می شوند و به عنوان نقاط صفحه مختصات Oxy تفسیر می شوند و دامنه تعریف تابع z = f (x, y) دو متغیر به عنوان مجموعه مشخصی از نقاط نشان داده می شود. در هواپیمای اکسی

بنابراین، برای مثال، دامنه تعریف تابع

مجموعه ای از نقاط صفحه اکسی است که مختصات آن رابطه را برآورده می کند

یعنی دایره ای به شعاع r است که مرکز آن در مبدا است.

برای عملکرد

دامنه تعریف، نقاطی است که شرط را برآورده می کند

یعنی خارجی با توجه به یک دایره مشخص.

اغلب توابع دو متغیر به طور ضمنی مشخص می شوند، به عنوان مثال، به عنوان یک معادله

اتصال سه متغیر در این حالت، هر یک از کمیت های x، y، z را می توان تابع ضمنی دو عدد دیگر دانست.

یک تصویر هندسی (گراف) تابعی از دو متغیر z = f (x, y) مجموعه ای از نقاط P (x, y, z) در فضای سه بعدی Oxyz است که مختصات آن معادله z = f را برآورده می کند. (x، y).

نمودار تابعی از آرگومان های پیوسته، به عنوان یک قاعده، یک سطح مشخص در فضای Oxyz است که بر روی صفحه مختصات Oxy در حوزه تعریف تابع z= f (x, y) پیش بینی می شود.

بنابراین، برای مثال، (شکل 1.1) نمودار تابع

نیمه بالایی کره و نمودار تابع است

نیمه پایین کره.

برنامه تابع خطی z = ax + by + с صفحه ای در فضای Oxyz است و نمودار تابع z = const صفحه ای موازی با صفحه مختصات Oxyz است.

توجه داشته باشید که نمی توان به صورت تصویری تابعی از سه یا چند متغیر را در قالب یک نمودار در فضای سه بعدی به تصویر کشید.

در ادامه، ما عمدتاً خود را به در نظر گرفتن توابع دو یا سه متغیر محدود می کنیم، زیرا در نظر گرفتن مورد تعداد بیشتر (اما محدود) متغیرها به طور مشابه انجام می شود.

تعریف تابعی از چند متغیر.

(سخنرانی 1)

اگر برای هر مجموعه ای از مقادیر (x,y,z,..,t) مقدار مشخصی از متغیر u مرتبط باشد، متغیر u f(x,y,z,..,t) نامیده می شود.

مجموعه ای از مجموعه های مقدار یک متغیر، دامنه تعریف یک تابع نامیده می شود.

G - مجموعه (x,y,z,..,t) - دامنه تعریف.

توابع 2 متغیر.

متغیر z تابعی از 2 متغیر f(x,y) نامیده می شود، اگر برای هر جفت مقدار (x,y) О G مقدار مشخصی از متغیر z مرتبط باشد.

حد یک تابع از 2 متغیر.

اجازه دهید تابع z=f(x,y) داده شود، p(x,y) نقطه فعلی است، p 0 (x 0 ,y 0) نقطه مورد بررسی است.

Def.همسایگی نقطه p 0 دایره ای با مرکز در نقطه p 0 و شعاع r است. r= Ö (x-x 0 ) 2 +(اوه 0 ) 2 Ø

عدد A را حد تابع | در نقطه p 0 می گویند

برای یک عدد دلخواه کوچک e، می توان یک عدد r (e)> 0 را مشخص کرد، به طوری که برای همه مقادیر x و y، که فاصله t. p تا p0 کمتر از r است، نابرابری زیر برقرار است: ½f(x,y) - A½0، با شعاع r، مقدار تابع با A کمتر از e در مقدار مطلق متفاوت است. و این بدان معنی است که وقتی نقطه p به نقطه p 0 نزدیک می شود هر کسیمسیر، مقدار تابع به طور نامحدود به عدد A نزدیک می شود.

تداوم عملکرد.

اجازه دهید تابع z=f(x,y) داده شود، p(x,y) نقطه فعلی است، p 0 (x 0 ,y 0) نقطه مورد بررسی است.

Def.تابع z=f(x,y) در t p 0 پیوسته نامیده می شود اگر 3 شرط وجود داشته باشد:

1) تابع در این نقطه تعریف شده است. f(p 0) = f(x,y);

2) f-i در این نقطه محدودیت دارد.

3) حد برابر با مقدار تابع در این نقطه است: b = f(x 0 ,y 0);

حد f(x,y)= f(x 0 ، y 0 ) ;

پà پ 0

اگر حداقل یک مورد از شرایط پیوستگی نقض شود، نقطه p را نقطه شکست می نامند. برای توابع 2 متغیر، می توان نقاط شکست جداگانه و کل خطوط شکست وجود داشت.

مفهوم حد و تداوم برای توابع تعداد بیشتری از متغیرها به طور مشابه تعریف شده است.

یک تابع از سه متغیر را نمی توان به صورت گرافیکی نشان داد، برخلاف تابعی از 2 متغیر.

برای یک تابع 3 متغیری، می توان نقاط ناپیوستگی، خطوط ناپیوستگی و سطوح ناپیوستگی وجود داشت.

مشتق جزئی.

بیایید تابع z=f(x,y) را در نظر بگیریم، p(x,y) نقطه مورد بررسی است.

بیایید آرگومان x را افزایش Dx بدهیم. x+Dx، نقطه p 1 (x+Dx,y) را می گیریم، تفاوت مقادیر تابع را در نقطه p محاسبه می کنیم:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - افزایش جزئی تابع مربوط به افزایش آرگومان x.

Def. ضریب مشتق یک تابع z=f(x,y) نسبت به متغیر x حد نسبت افزایش جزئی این تابع نسبت به متغیر x به این افزایش نامیده می شود، زمانی که دومی تمایل به افزایش دارد. صفر

¶ z= لیم D ایکس z

à ¶ z = لیم f(x+ D x,y) - f(x,y)

¶ ایکس Dایکس® 0 Dایکس

به طور مشابه، ضریب مشتق را با توجه به متغیر y تعیین می کنیم.

یافتن مشتقات جزئی

هنگام تعیین مشتقات جزئی، هر بار فقط یک متغیر تغییر می کند، متغیرهای باقی مانده به عنوان ثابت در نظر گرفته می شوند. در نتیجه، هر بار تابعی از یک متغیر را در نظر می گیریم و مشتق جزئی با مشتق معمول این تابع یک متغیر منطبق می شود. از این رو قاعده یافتن مشتقات جزئی: مشتق جزئی با توجه به متغیر مورد نظر به عنوان مشتق معمولی تابعی از این یک متغیر جستجو می شود، متغیرهای باقیمانده به عنوان ثابت تلقی می شوند. در این حالت، تمام فرمول‌های متمایز کردن تابع یک متغیر (مشتق مجموع، حاصلضرب، ضریب) معتبر هستند.

مفهوم تابعی از چندین متغیر

اگر هر نقطه X = (x 1, x 2, ... x n) از مجموعه (X) نقاط فضای n بعدی با یک مقدار کاملاً تعریف شده از متغیر z همراه باشد، آنگاه می گویند که داده شده تابع n متغیر z = f(x 1، x 2، ...x n) = f (X).

در این حالت متغیرهای x 1, x 2, ... x n فراخوانی می شوند متغیرهای مستقلیا استدلال هاتوابع، z - متغیر وابسته، و نماد f نشان می دهد قانون مکاتبات. مجموعه (X) نامیده می شود حوزه تعریفتوابع (این زیر مجموعه خاصی از فضای n بعدی است).

برای مثال، تابع z = 1/(x 1 x 2) تابعی از دو متغیر است. آرگومان های آن متغیرهای x 1 و x 2 هستند و z متغیر وابسته است. دامنه تعریف کل صفحه مختصات است، به استثنای خطوط مستقیم x 1 = 0 و x 2 = 0، یعنی. بدون محورهای x و ordinate. با جایگزینی هر نقطه از دامنه تعریف به تابع، طبق قانون مطابقت، عدد معینی به دست می آید. به عنوان مثال، در نظر گرفتن نقطه (2؛ 5)، یعنی. x 1 = 2، x 2 = 5، دریافت می کنیم
z = 1/(2*5) = 0.1 (یعنی z(2; 5) = 0.1).

تابعی به شکل z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b که در آن a 1، a 2،... و n، b اعداد ثابت هستند، نامیده می شود. خطی. می توان آن را مجموع n تابع خطی متغیرهای x 1, x 2, ... x n در نظر گرفت. همه توابع دیگر فراخوانی می شوند غیر خطی.

برای مثال، تابع z = 1/(x 1 x 2) غیر خطی است و تابع z =
= x 1 + 7x 2 - 5 - خطی.

هر تابع z = f (X) = f(x 1، x 2، ... x n) را می توان با n تابع یک متغیر مرتبط کرد اگر مقادیر همه متغیرها به جز یک متغیر را ثابت کنیم.

به عنوان مثال، توابع سه متغیر z = 1/(x 1 x 2 x 3) را می توان با سه تابع از یک متغیر مرتبط کرد. اگر x 2 = a و x 3 = b را ثابت کنیم، تابع به شکل z = 1/(abx 1) خواهد بود. اگر x 1 = a و x 3 = b را ثابت کنیم، به شکل z = 1/(abx 2) خواهد بود. اگر x 1 = a و x 2 = b را ثابت کنیم، به شکل z = 1/(abx 3) خواهد بود. در این حالت، هر سه تابع یک شکل هستند. همیشه اینطور نیست. به عنوان مثال، اگر برای تابعی از دو متغیر x 2 = a را ثابت کنیم، آنگاه به شکل z = 5x 1 a خواهد بود، یعنی. تابع توان، و اگر x 1 = a را ثابت کنیم، به شکلی در می آید، یعنی. تابع نمایی

برنامهتابع دو متغیر z = f(x,y) مجموعه ای از نقاط در فضای سه بعدی (x,y,z) است که z کاربرد آن با یک رابطه تابعی به ابسیسا x مربوط می شود و ترتیب y با یک رابطه تابعی است.
z = f (x، y). این نمودار سطحی را در فضای سه بعدی نشان می دهد (به عنوان مثال، مانند شکل 5.3).

می توان ثابت کرد که اگر یک تابع خطی باشد (یعنی z = ax + توسط + c)، پس نمودار آن صفحه ای در فضای سه بعدی است. نمونه های دیگر نمودارهای سه بعدیمطالعه مستقل با استفاده از کتاب درسی کرمر (ص 405-406) توصیه می شود.

اگر بیش از دو متغیر (n متغیر) وجود داشته باشد، پس برنامهتابع مجموعه ای از نقاط در فضای بعدی (n+1) است که مختصات x n+1 مطابق با قانون تابعی داده شده محاسبه می شود. چنین نموداری نامیده می شود فوق سطحی(برای یک تابع خطی - ابر هواپیما) و همچنین بیانگر یک انتزاع علمی است (تصویر آن غیرممکن است).

شکل 5.3 - نمودار یک تابع از دو متغیر در فضای سه بعدی

سطح ترازتابعی از n متغیر مجموعه ای از نقاط در فضای n بعدی است به طوری که در تمام این نقاط مقدار تابع یکسان و برابر با C باشد. خود عدد C در این حالت نامیده می شود. مرحله.

معمولاً برای یک تابع، می توان تعداد بی نهایت سطح تراز (مرتبط با سطوح مختلف) ساخت.

برای تابعی از دو متغیر، سطح تراز شکل می گیرد خطوط سطح.

به عنوان مثال، z = 1/(x 1 x 2) را در نظر بگیرید. بیایید C = 10 را در نظر بگیریم، یعنی. 1/(x 1 x 2) = 10. سپس x 2 = 1/(10x1)، یعنی. در صفحه، خط تراز به شکل یک خط ثابت در شکل 5.4 نشان داده شده است. با گرفتن یک سطح دیگر، به عنوان مثال، C = 5، ما خط تراز را به شکل نمودار تابع x 2 = 1/(5x 1) به دست می آوریم (با یک خط نقطه چین در شکل 5.4 نشان داده شده است).

شکل 5.4 - خطوط سطح تابع z = 1/(x 1 x 2)

بیایید به مثال دیگری نگاه کنیم. بگذارید z = 2x 1 + x 2 باشد. بیایید C = 2 را در نظر بگیریم، یعنی. 2x 1 + x 2 = 2. سپس x 2 = 2 - 2x 1، یعنی. در صفحه، خط تراز به شکل یک خط مستقیم است که در شکل 5.5 با یک خط ثابت نشان داده شده است. با گرفتن یک سطح دیگر، به عنوان مثال، C = 4، یک خط تراز به شکل یک خط مستقیم x 2 = 4 - 2x 1 به دست می آوریم (با یک خط نقطه چین در شکل 5.5 نشان داده شده است). خط تراز برای 2x 1 + x 2 = 3 در شکل 5.5 به صورت یک خط نقطه چین نشان داده شده است.

به راحتی می توان تأیید کرد که برای یک تابع خطی از دو متغیر، هر خط تراز یک خط مستقیم در صفحه خواهد بود و تمام خطوط تراز موازی با یکدیگر خواهند بود.

شکل 5.5 - خطوط سطح تابع z = 2x 1 + x 2

) قبلاً مکرراً با مشتقات جزئی توابع پیچیده مانند و نمونه های دشوارتر مواجه شده ایم. پس در مورد چه چیز دیگری می توانید صحبت کنید؟! ... و همه چیز مانند زندگی است - هیچ پیچیدگی وجود ندارد که نتوان آن را پیچیده کرد =) اما ریاضیات همان چیزی است که ریاضیات برای آن است تا تنوع دنیای ما را در یک چارچوب دقیق قرار دهد. و گاهی این کار را می توان با یک جمله انجام داد:

به طور کلی تابع مختلط دارای فرم است ، جایی که، حداقل یکیاز حروف نشان می دهد تابع، که ممکن است بستگی به دلخواهتعداد متغیرها

حداقل و ساده ترین گزینه، تابع پیچیده یک متغیر است، مشتق آنما یاد گرفتیم که چگونه ترم گذشته را پیدا کنیم. شما همچنین مهارت های متمایز کردن عملکردها را دارید (به همین عملکردها نگاهی بیندازید ) .

بنابراین، اکنون ما فقط به این مورد علاقه مند خواهیم بود. به دلیل تنوع زیاد توابع پیچیده، فرمول های کلی مشتقات آنها بسیار دست و پا گیر هستند و هضم آنها دشوار است. در این زمینه، من به مثال های خاصی که می توانید از آنها بفهمید، اکتفا می کنم اصل کلییافتن این مشتقات:

مثال 1

با توجه به یک تابع پیچیده که در آن . ضروری:
1) مشتق آن را پیدا کنید و دیفرانسیل کل مرتبه 1 را بنویسید.
2) مقدار مشتق را در .

راه حل: ابتدا اجازه دهید به خود تابع نگاه کنیم. به ما یک تابع بسته به و ارائه می شود که به نوبه خود توابع هستندیک متغیر:

ثانیاً، بیایید به خود وظیفه توجه زیادی داشته باشیم - ما باید پیدا کنیم مشتق، یعنی اصلاً از مشتقات جزئی صحبت نمی کنیم که به یافتن آنها عادت کرده ایم! از آنجایی که تابع در واقع فقط به یک متغیر بستگی دارد، سپس کلمه "مشتق" به معنی است مشتق کل. چگونه او را پیدا کنیم؟

اولین چیزی که به ذهن می رسد جایگزینی مستقیم و تمایز بیشتر است. جایگزین کنیم برای عملکرد:
، پس از آن هیچ مشکلی با مشتق مورد نظر وجود ندارد:

و بر این اساس، دیفرانسیل کل:

این راه حل از نظر ریاضی درست است، اما یک نکته کوچک این است که وقتی مسئله به شکلی که فرمول بندی شده است، هیچ کس از شما انتظار چنین وحشیگری را ندارد =) اما جدی، شما واقعاً می توانید در اینجا ایراد بگیرید. تصور کنید که یک تابع پرواز یک زنبور عسل را توصیف می کند و عملکردهای تو در تو بسته به دما تغییر می کنند. انجام تعویض مستقیم ، ما فقط می گیریم اطلاعات خصوصی، که پرواز را مشخص می کند، مثلاً، فقط در هوای گرم. علاوه بر این، اگر به فردی که در مورد زنبورها آگاهی ندارد، نتیجه نهایی ارائه شود و حتی به او گفته شود که این عملکرد چیست، هرگز چیزی در مورد قانون اساسی پرواز نمی‌آموزد!

بنابراین، به طور کاملاً غیرمنتظره، برادر وزوز ما به ما کمک کرد معنی و اهمیت فرمول جهانی را درک کنیم:

به نماد "دو طبقه" برای مشتقات عادت کنید - در کار مورد بررسی، آنها موارد مورد استفاده هستند. در این مورد، یکی باید باشد بسیار مرتبدر مدخل: مشتقات با نمادهای مستقیم “de” هستند مشتقات کامل، و مشتقات با نمادهای گرد هستند مشتقات جزئی. بیایید با آخرین ها شروع کنیم:

خوب، با "دم" همه چیز به طور کلی ابتدایی است:

بیایید مشتقات یافت شده را در فرمول خود جایگزین کنیم:

هنگامی که یک تابع در ابتدا به روشی پیچیده پیشنهاد می شود، منطقی خواهد بود (و این در بالا توضیح داده شده است!)نتایج را همانطور که هستند بگذارید:

در عین حال، در پاسخ های "پیچیده" بهتر است از ساده سازی های حداقلی خودداری شود. (در اینجا، برای مثال، التماس برای حذف 3 منهای)- و شما کار کمتری دارید و دوست پشمالوی شما خوشحال است که کار را آسان تر بررسی می کند.

با این حال، یک بررسی خشن اضافی نخواهد بود. جایگزین کنیم مشتق یافت شده را وارد کنید و ساده سازی ها را انجام دهید:


(در آخرین مرحله که استفاده کردیم فرمول های مثلثاتی , )

در نتیجه، همان نتیجه ای که با روش راه حل "بربر" به دست آمد.

بیایید مشتق را در نقطه محاسبه کنیم. ابتدا یافتن مقادیر "ترانزیت" راحت است (مقادیر تابع ) :

اکنون محاسبات نهایی را ترسیم می کنیم که در این مورد به روش های مختلف قابل انجام است. من از یک تکنیک جالب استفاده می کنم که در آن "طبقه های" 3 و 4 نه طبق قوانین معمول ساده شده اند، بلکه به صورت ضریب دو عدد تبدیل می شوند:

و البته، این گناه است که با استفاده از نمادهای فشرده تر بررسی نکنید :

پاسخ:

این اتفاق می افتد که مشکل به شکل "نیمه کلی" پیشنهاد می شود:

«مشتق تابع Where را پیدا کنید »

یعنی تابع "اصلی" داده نشده است، اما "درج" آن کاملاً خاص است. پاسخ را باید به همین سبک داد:

علاوه بر این، شرایط را می توان کمی رمزگذاری کرد:

"مشتق تابع را بیابید »

در این مورد شما نیاز دارید بدون کمک دیگریتوابع تو در تو را با حروف مناسب تعیین کنید، به عنوان مثال، through و از همان فرمول استفاده کنید:

به هر حال، در مورد تعیین حروف. من مکرراً اصرار کرده ام که "به حروف نچسبیم" گویی که آنها حافظ جان هستند و اکنون این امر به ویژه مهم است! با تجزیه و تحلیل منابع مختلف در مورد این موضوع، به طور کلی این تصور را داشتم که نویسندگان "دیوانه شده اند" و شروع به پرتاب بی رحمانه دانش آموزان به ورطه طوفانی ریاضیات کردند =) پس من را ببخش :))

مثال 2

مشتق یک تابع را پیدا کنید ، اگر

نام های دیگر نباید گیج کننده باشند! هر بار که با چنین کاری روبرو می شوید، باید به دو سوال ساده پاسخ دهید:

1) تابع "اصلی" به چه چیزی بستگی دارد؟در این حالت تابع zet به دو تابع (y و ve) بستگی دارد.

2) توابع تو در تو به چه متغیرهایی بستگی دارند؟در این مورد، هر دو "درج" فقط به "X" بستگی دارند.

بنابراین برای تطبیق فرمول با این کار هیچ مشکلی ندارید!

راه حل و پاسخ کوتاه در پایان درس.

نمونه های اضافی از نوع اول را می توان در کتاب مسائل ریابوشکو (IDZ 10.1)، خوب، ما به سمت تابع سه متغیر:

مثال 3

با توجه به تابعی که در آن .
محاسبه مشتق در نقطه

فرمول مشتق یک تابع مختلط، همانطور که بسیاری حدس می زنند، یک شکل مرتبط دارد:

وقتی حدس زدی تصمیم بگیر =)

در هر صورت، یک فرمول کلی برای تابع ارائه خواهم کرد:
، اگرچه در عمل بعید است چیزی طولانی تر از مثال 3 ببینید.

علاوه بر این، گاهی اوقات لازم است یک نسخه "قطع" را متمایز کنید - به عنوان یک قاعده، تابعی از فرم یا. من این سوال را برای شما می گذارم تا خودتان مطالعه کنید - چند مثال ساده بیاورید، فکر کنید، آزمایش کنید و فرمول های کوتاه شده برای مشتقات را استخراج کنید.

اگر چیزی هنوز نامشخص است، لطفا به آرامی قسمت اول درس را دوباره بخوانید و درک کنید، زیرا اکنون کار پیچیده تر می شود:

مثال 4

مشتقات جزئی یک تابع مختلط را پیدا کنید، جایی که

راه حل: این تابعشکل دارد و پس از جایگزینی مستقیم، تابع معمول دو متغیر را دریافت می کنیم:

اما چنین ترسی نه تنها پذیرفته نمی شود، بلکه دیگر نمی خواهد متمایز شود =) بنابراین از فرمول های آماده استفاده خواهیم کرد. برای کمک به درک سریع الگو، نکاتی را ذکر می کنم:

با دقت به تصویر از بالا به پایین و از چپ به راست نگاه کنید….

ابتدا، بیایید مشتقات جزئی تابع "اصلی" را پیدا کنیم:

اکنون مشتقات "X" از "Liners" را پیدا می کنیم:

و مشتق نهایی "X" را بنویسید:

به طور مشابه با "بازی":

و

می توانید به سبک دیگری بچسبید - همه "دم ها" را یکباره پیدا کنید و سپس هر دو مشتق را یادداشت کنید.

پاسخ:

در مورد تعویض من اصلاً به آن فکر نمی کنم =) =)، اما می توانید نتایج را کمی تغییر دهید. اگرچه باز هم چرا؟ - فقط بررسی را برای معلم دشوارتر کنید.

در صورت لزوم، پس دیفرانسیل کاملدر اینجا طبق فرمول معمول نوشته شده است و اتفاقاً در این مرحله است که لوازم آرایشی سبک مناسب می شود:


این یک تابوت روی چرخ است.

با توجه به محبوبیت نوع عملکرد پیچیده مورد بررسی، چند کار برای حل مستقل وجود دارد. یک مثال ساده تر در فرم "نیمه عمومی" برای درک خود فرمول است؛-):

مثال 5

مشتقات جزئی تابع را پیدا کنید، جایی که

و پیچیده تر - با گنجاندن تکنیک های تمایز:

مثال 6

دیفرانسیل کامل یک تابع را پیدا کنید ، جایی که

نه، من به هیچ وجه سعی نمی کنم "شما را به پایین بفرستم" - همه نمونه ها از آن گرفته شده اند کار واقعی، و "در دریاهای آزاد" می توانید با هر حرفی روبرو شوید. در هر صورت، شما باید تابع را تجزیه و تحلیل کنید (پاسخ به 2 سوال - بالا را ببینید)، آن را ارائه دهید نمای کلیو فرمول های مشتق جزئی را با دقت اصلاح کنید. شاید الان کمی گیج شده باشید، اما اصل ساخت آنها را متوجه خواهید شد! چون چالش های واقعی تازه شروع شده اند :)))

مثال 7

مشتقات جزئی را پیدا کنید و دیفرانسیل کامل یک تابع مختلط را ایجاد کنید
، جایی که

راه حل: تابع "main" شکل دارد و همچنان به دو متغیر "x" و "y" بستگی دارد. اما در مقایسه با مثال 4، تابع تو در تو دیگری اضافه شده است و بنابراین فرمول های مشتق جزئی نیز طولانی تر می شوند. مانند آن مثال، برای تجسم بهتر الگو، مشتقات جزئی "اصلی" را در رنگ های مختلف برجسته می کنم:

و دوباره رکورد را از بالا به پایین و از چپ به راست با دقت مطالعه کنید.

از آنجایی که مسئله به شکل «نیمه کلی» فرموله شده است، تمام کار ما اساساً محدود به یافتن مشتقات جزئی توابع تعبیه شده است:

یک دانش آموز کلاس اولی می تواند:

و حتی دیفرانسیل کامل بسیار زیبا بود:

من عمداً هیچ عملکرد خاصی را به شما پیشنهاد نکردم - به طوری که درهم و برهمی غیر ضروری در درک خوب اختلال ایجاد نکند نمودار شماتیکوظایف

پاسخ:

اغلب اوقات می توانید سرمایه گذاری های "مختلط" را پیدا کنید، به عنوان مثال:

در اینجا تابع "اصلی"، اگرچه شکل دارد، اما همچنان به "x" و "y" بستگی دارد. بنابراین، همان فرمول ها کار می کنند - فقط برخی از مشتقات جزئی برابر با صفر خواهند بود. علاوه بر این، این برای توابعی مانند نیز صادق است ، که در آن هر خط به یک متغیر بستگی دارد.

وضعیت مشابهی در دو مثال پایانی درس رخ می دهد:

مثال 8

دیفرانسیل کل یک تابع مختلط را در یک نقطه پیدا کنید

راه حل: شرط به روش "بودجه ای" فرموله شده است و ما باید خودمان توابع تودرتو را برچسب گذاری کنیم. به نظر من این گزینه خوبی است:

"درج" حاوی ( توجه!) سه حرف "X-Y-Z" خوب قدیمی هستند، به این معنی که تابع "اصلی" در واقع به سه متغیر بستگی دارد. می توان آن را به صورت رسمی بازنویسی کرد و مشتقات جزئی در این مورد با فرمول های زیر تعیین می شوند:

ما اسکن می کنیم، در آن می کاوشیم، ضبط می کنیم….

در وظیفه ما:

تعریف. متغیر z(با منطقه تغییر ز) تماس گرفت تابع دو متغیر مستقل x، yدر فراوانی م، اگر هر جفت ( x، y) از بسیاری م zاز جانب ز.

تعریف. یک دسته از م، که در آن متغیرها مشخص شده اند x,y,تماس گرفت دامنه تابع، مجموعه Z - محدوده عملکرد، و خودشون x، y- او استدلال ها.

نام گذاری ها: z = f(x,y), z = z(x,y).

مثال ها.

تعریف . متغیر z(با منطقه تغییر ز) تماس گرفت تابع چندین متغیر مستقلدر فراوانی م، اگر هر مجموعه از اعداد از مجموعه مبر اساس برخی قاعده یا قانون، یک مقدار مشخص اختصاص داده می شود zاز جانب ز.مفاهیم آرگومان ها، دامنه تعریف، و دامنه ارزش به همان شکلی که برای تابعی از دو متغیر معرفی می شوند.

نام گذاری ها: z = f, z = z.

اظهار نظر. از آنجایی که چند عدد ( x، y) را می توان مختصات یک نقطه خاص در صفحه در نظر گرفت، متعاقباً از عبارت "نقطه" برای یک جفت آرگومان برای یک تابع از دو متغیر و همچنین برای مجموعه مرتب شده ای از اعداد که آرگومان های یک تابع هستند استفاده خواهیم کرد. از چندین متغیر

نمایش هندسی یک تابع از دو متغیر

تابع را در نظر بگیرید

z = f(x,y), (15.1)

در برخی مناطق تعریف شده است مدر هواپیمای O xy. سپس مجموعه نقاط در فضای سه بعدی با مختصات ( x,y,z)، که در آن، نمودار یک تابع از دو متغیر است. از آنجایی که معادله (15.1) سطح معینی را در فضای سه بعدی تعریف می کند، خواهد بود تصویر هندسیتابع مورد نظر

دامنه تابع z = f(x,y)در ساده ترین موارد، یا بخشی از صفحه است که توسط یک منحنی بسته محدود شده است و نقاط این منحنی (مرزهای منطقه) ممکن است متعلق به حوزه تعریف یا کل صفحه باشد یا نباشد، یا در نهایت، مجموعه ای از چندین قسمت از صفحه xOy.

z = f(x,y)

به عنوان مثال می توان به معادلات هواپیما اشاره کرد z = تبر + توسط + c

و سطوح مرتبه دوم: z = x² + y² (پارابولوئید انقلاب)،

(مخروط) و غیره

اظهار نظر. برای تابعی از سه یا چند متغیر از عبارت "سطح در" استفاده می کنیم n-فضای بعدی» اگرچه نمی توان چنین سطحی را به تصویر کشید.

خطوط و سطوح تراز

برای تابعی از دو متغیر که در رابطه (15.1) داده شده است، می توانیم مجموعه ای از نقاط را در نظر بگیریم ( x,y)ای هواپیما xy، برای کدام zهمان مقدار ثابت را می گیرد، یعنی z= ثابت این نقاط خطی را در صفحه تشکیل می دهند که به آن می گویند خط سطح.

مثال.

خطوط سطح را برای سطح پیدا کنید z = 4 – ایکس² - y². معادلات آنها به نظر می رسد ایکس² + y² = 4 - ج(ج=const) - معادلات دایره های متحدالمرکز با مرکز در مبدا و با شعاع. مثلاً وقتی با=0 یک دایره می گیریم ایکس² + y² = 4.

برای تابعی از سه متغیر u = u(x، y، z)معادله u(x، y، z) = cسطحی را در فضای سه بعدی تعریف می کند که به آن می گویند سطح تراز.

مثال.

برای عملکرد u = 3ایکس + 5y – 7z– 12 سطح تراز خانواده ای از صفحات موازی خواهند بود که توسط معادله 3 ارائه می شوند ایکس + 5y – 7z –12 + با = 0.

محدودیت و تداوم یک تابع از چندین متغیر

بیایید مفهوم را معرفی کنیم δ-محله هانکته ها م 0 (x 0، y 0)در هواپیمای O xyبه صورت دایره ای با شعاع δ با مرکز در یک نقطه معین. به طور مشابه، می‌توانیم همسایگی δ را در فضای سه‌بعدی به‌عنوان توپی با شعاع δ با مرکز در نقطه تعریف کنیم. م 0 (x 0، y 0، z 0). برای nفضای بعدی را همسایگی δ یک نقطه می نامیم م 0 مجموعه امتیاز مبا مختصاتی که شرایط را برآورده می کند

مختصات نقطه کجاست م 0 . گاهی اوقات به این مجموعه "توپ" می گویند n-فضای بعدی

تعریف. عدد A نامیده می شود حدتوابع چندین متغیر fدر نقطه م 0 در صورتی که | f (M) - A| < ε для любой точки ماز δ-محله م 0 .

نام گذاری ها: .

باید در نظر گرفت که در این مورد نکته مممکن است نزدیک شود م 0، به طور نسبی، در امتداد هر مسیری در داخل همسایگی δ نقطه م 0 . بنابراین، باید حد تابع چند متغیر به معنای عام را از به اصطلاح تشخیص داد محدودیت های مکرربه‌وسیله‌ی قسمت‌های متوالی برای هر آرگومان به‌طور جداگانه به‌دست می‌آید.

مثال ها.

اظهار نظر. می توان ثابت کرد که از وجود حد در یک نقطه معین به معنای معمول و وجود حدود در این نقطه بر ادله فردی، وجود و برابری حدود مکرر حاصل می شود. جمله معکوس درست نیست.

تعریف تابع fتماس گرفت مداومدر نقطه م 0 اگر (15.2)

اگر نماد را معرفی کنیم، شرط (15.2) را می توان به شکل (15.3) بازنویسی کرد.

تعریف . نقطه درونی M 0دامنه تابع z = f(M)تماس گرفت نقطه شکستاگر شرایط (15.2)، (15.3) در این مرحله برآورده نشود، تابع است.

اظهار نظر. بسیاری از نقاط ناپیوستگی می توانند در یک صفحه یا در فضا ایجاد شوند خطوطیا سطح شکستگی.

مثال ها.

ویژگی های حدود و توابع پیوسته

از آنجایی که تعاریف حد و پیوستگی برای تابعی از چندین متغیر عملاً با تعاریف مربوطه برای تابعی از یک متغیر منطبق است، پس برای توابع چند متغیر، تمام خصوصیات حدود و توابع پیوسته اثبات شده در قسمت اول دوره حفظ می شود. ، برای مثال:

1) اگر وجود دارند، پس وجود دارند و (اگر).

2) اگر a و برای هر کدام منمحدودیت هایی وجود دارد و جایی وجود دارد M 0، سپس یک حد از یک تابع مختلط در وجود دارد، جایی که مختصات نقطه هستند آر 0 .

3) اگر توابع f (M)و g(M)پیوسته در یک نقطه م 0، سپس در این مرحله توابع نیز پیوسته هستند f(M) + g(M)، kf(M)، f(M) g(M)، f(M)/g(M)(اگر g(M 0) ≠ 0).

4) اگر توابع در نقطه پیوسته باشند P 0، و تابع در نقطه پیوسته است M 0، که در آن، تابع مختلط در نقطه پیوسته است R 0.

5) تابع در یک منطقه محدود بسته پیوسته است D، بزرگترین و کوچکترین مقادیر خود را در این منطقه می گیرد.

6) اگر تابع در یک ناحیه محدود بسته پیوسته باشد D، در این منطقه ارزش می گیرد آو که در، سپس او در منطقه می گیرد Dو هر مقدار میانی که بین آن قرار دارد آو که در.

7) اگر تابع در یک ناحیه محدود بسته پیوسته باشد D، مقادیر علائم مختلف را در این منطقه می گیرد، سپس یک وجود دارد حداقلیک نقطه از منطقه D، که در آن f = 0.

مشتقات جزئی

اجازه دهید تغییر یک تابع را در هنگام تعیین افزایش تنها به یکی از آرگومان های آن در نظر بگیریم - x i، و بیایید آن را صدا کنیم.

تعریف . مشتق جزئیتوابع با آرگومان x iنامیده شد .

نام گذاری ها: .

بنابراین، مشتق جزئی یک تابع از چندین متغیر در واقع به عنوان مشتق تابع تعریف می شود. یک متغیر – x i. بنابراین، تمام خواص مشتقات اثبات شده برای تابعی از یک متغیر برای آن معتبر است.

اظهار نظر. در محاسبه عملی مشتقات جزئی، از قوانین معمول برای متمایز کردن تابعی از یک متغیر استفاده می کنیم، با این فرض که آرگومانی که توسط آن تمایز انجام می شود متغیر است و آرگومان های باقی مانده ثابت هستند.

مثال ها .

1. z = 2ایکس² + 3 xy –12y² + 5 ایکس – 4y +2,

2. z = xy،

تفسیر هندسی مشتقات جزئی تابعی از دو متغیر

معادله سطح را در نظر بگیرید z = f(x,y)و یک هواپیما بکشید x =پایان اجازه دهید نقطه ای را در خط تقاطع صفحه و سطح انتخاب کنیم M(x,y). اگر استدلال بیاورید درافزایش Δ درو نقطه T را روی منحنی با مختصات در نظر بگیرید ( x، y+Δ y، z+Δy z) سپس مماس زاویه تشکیل شده توسط مقطع MT با جهت مثبت محور O در، برابر خواهد بود با . با عبور از حد در، در می یابیم که مشتق جزئی برابر است با مماس زاویه تشکیل شده توسط مماس بر منحنی حاصل در نقطه مبا جهت مثبت محور O توبر این اساس، مشتق جزئی برابر با مماس زاویه با محور O است ایکسمماس بر منحنی به دست آمده در نتیجه برش سطح z = f(x,y)سطح y =پایان

تمایز یک تابع از چندین متغیر

هنگام مطالعه مسائل مربوط به تمایز پذیری، خود را به مورد تابعی از سه متغیر محدود می کنیم، زیرا تمام اثبات های مربوط به بیشترمتغیرها به همین ترتیب انجام می شوند.

تعریف . افزایش کاملکارکرد u = f(x، y، z)تماس گرفت

قضیه 1. اگر مشتقات جزئی در نقطه ( x 0، y 0، z 0) و در برخی از محلات آن و در نقطه ( x 0، y 0، z 0) سپس محدود می شوند (زیرا ماژول های آنها از 1 تجاوز نمی کند).

سپس افزایش تابعی که شرایط قضیه 1 را برآورده می کند را می توان به صورت زیر نشان داد: (15.6)

تعریف . اگر تابع افزایش یابد u = f (x، y، z)در نقطه ( x 0، y 0، z 0)را می توان به شکل (15.6)، (15.7) نشان داد، سپس تابع فراخوانی می شود قابل تمایزدر این نقطه، و بیان است بخش خطی اصلی افزایشیا دیفرانسیل کاملتابع مورد نظر

نام گذاری ها: du، df (x 0، y 0، z 0).

همانطور که در مورد تابع یک متغیر، دیفرانسیل متغیرهای مستقل افزایش دلخواه آنها در نظر گرفته می شود، بنابراین

یادداشت 1. بنابراین، عبارت "تابع متمایزپذیر است" معادل عبارت "تابع مشتقات جزئی دارد" نیست - برای تمایزپذیری، تداوم این مشتقات در نقطه مورد نظر نیز مورد نیاز است.

.

تابع را در نظر بگیرید و انتخاب کنید x 0 = 1, y 0 = 2. سپس Δ x = 1.02 - 1 = 0.02; Δ y = 1.97 - 2 = -0.03. بیایید پیدا کنیم

بنابراین با توجه به اینکه f ( 1، 2) = 3، دریافت می کنیم.