تابع خطیتابع فرم نامیده می شود y = kx + b، بر روی مجموعه تمام اعداد واقعی تعریف شده است. اینجا ک- شیب (عدد واقعی)، ب – مدت آزاد (عدد واقعی)، ایکس- متغیر مستقل

در حالت خاص، اگر k = 0، یک تابع ثابت بدست می آوریم y = بکه نمودار آن یک خط مستقیم موازی با محور Ox است که از نقطه ای با مختصات می گذرد. (0؛ ب).

اگر b = 0، سپس تابع را دریافت می کنیم y = kx، که است تناسب مستقیم

ب – طول قطعه، که توسط یک خط مستقیم در امتداد محور Oy قطع می شود و از مبدأ شمارش می شود.

معنی هندسی ضریب ک – زاویه شیبمستقیم به جهت مثبت محور Ox، در خلاف جهت عقربه های ساعت در نظر گرفته شده است.

ویژگی های تابع خطی:

1) دامنه تعریف تابع خطی کل محور واقعی است.

2) اگر k ≠ 0، سپس محدوده مقادیر تابع خطی کل محور واقعی است. اگر k = 0، سپس محدوده مقادیر تابع خطی از عدد تشکیل شده است ب;

3) یکنواختی و عجیب بودن یک تابع خطی به مقادیر ضرایب بستگی دارد کو ب.

آ) b ≠ 0، k = 0،از این رو، y = b – زوج؛

ب) b = 0، k ≠ 0،از این رو y = kx – فرد؛

ج) b ≠ 0، k ≠ 0،از این رو y = kx + b - تابع شکل کلی.

د) b = 0، k = 0،از این رو y = 0 - هر دو توابع زوج و فرد.

4) تابع خطی خاصیت تناوب را ندارد.

5) نقاط تقاطع با محورهای مختصات:

گاو: y = kx + b = 0، x = -b/k، از این رو (-b/k؛ 0)- نقطه تقاطع با محور آبسیسا.

اوه: y = 0k + b = b، از این رو (0؛ ب)– نقطه تقاطع با محور ارتین.

توجه: اگر b = 0و k = 0، سپس تابع y = 0برای هر مقدار از متغیر به صفر می رسد ایکس. اگر b ≠ 0و k = 0، سپس تابع y = ببرای هیچ مقداری از متغیر ناپدید نمی شود ایکس.

6) فواصل ثبات علامت به ضریب k بستگی دارد.

آ) k > 0; kx + b > 0، kx > -b، x > -b/k.

y = kx + b- مثبت وقتی ایکساز جانب (-b/k؛ +∞),

y = kx + b- منفی وقتی ایکساز جانب (-∞؛ -b/k).

ب) ک< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.

y = kx + b- مثبت وقتی ایکساز جانب (-∞؛ -b/k),

y = kx + b- منفی وقتی ایکساز جانب (-b/k؛ +∞).

ج) k = 0، b > 0; y = kx + bمثبت در کل محدوده تعریف،

k = 0، b< 0; y = kx + b در کل محدوده تعریف منفی است.

7) فواصل یکنواختی یک تابع خطی به ضریب بستگی دارد ک.

k > 0، از این رو y = kx + bدر کل دامنه تعریف افزایش می یابد،

ک< 0 ، از این رو y = kx + bدر کل دامنه تعریف کاهش می یابد.

8) نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. برای ساخت یک خط مستقیم، دانستن دو نقطه کافی است. موقعیت خط مستقیم در صفحه مختصات به مقادیر ضرایب بستگی دارد کو ب. در زیر جدولی وجود دارد که به وضوح این موضوع را نشان می دهد.

یک تابع خطی تابعی به شکل y=kx+b است که x متغیر مستقل است، k و b هر عددی هستند.
نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است.

1. برای رسم نمودار تابع،ما به مختصات دو نقطه متعلق به نمودار تابع نیاز داریم. برای پیدا کردن آنها، باید دو مقدار x بگیرید، آنها را در معادله تابع جایگزین کنید و از آنها برای محاسبه مقادیر y مربوطه استفاده کنید.

برای مثال، برای رسم تابع y= x+2، راحت است که x=0 و x=3 را در نظر بگیریم، سپس مختصات این نقاط برابر با y=2 و y=3 خواهد بود. امتیاز A(0;2) و B(3;3) را بدست می آوریم. بیایید آنها را به هم وصل کنیم و نموداری از تابع y= x+2 بدست آوریم:

2. در فرمول y=kx+b عدد k را ضریب تناسب می نامند:
اگر k>0 باشد، تابع y=kx+b افزایش می یابد
اگر ک
ضریب b جابجایی نمودار تابع را در امتداد محور OY نشان می دهد:
اگر b>0 باشد، نمودار تابع y=kx+b از نمودار تابع y=kx با جابجایی b واحد به سمت بالا در امتداد محور OY به دست می آید.
اگر ب
شکل زیر نمودار توابع y=2x+3 را نشان می دهد. y= ½ x+3; y=x+3

توجه داشته باشید که در تمام این توابع ضریب k بالای صفر،و توابع هستند افزایش می یابد.علاوه بر این، هر چه مقدار k بیشتر باشد، زاویه تمایل خط مستقیم به جهت مثبت محور OX بیشتر است.

در همه توابع b=3 - و می بینیم که تمام نمودارها محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کنند.

حال نمودارهای توابع y=-2x+3 را در نظر بگیرید. y=- ½ x+3; y=-x+3

این بار در همه توابع ضریب k کمتر از صفرو توابع در حال کاهش هستند.ضریب b=3 و نمودارها مانند حالت قبل محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کنند.

نمودارهای توابع y=2x+3 را در نظر بگیرید. y=2x; y=2x-3

اکنون در تمام معادلات تابع ضرایب k برابر با 2 است. و سه خط موازی به دست آوردیم.

اما ضرایب b متفاوت است و این نمودارها محور OY را در نقاط مختلف قطع می کنند:
نمودار تابع y=2x+3 (b=3) محور OY را در نقطه (0;3) قطع می کند.
نمودار تابع y=2x (b=0) محور OY را در نقطه (0;0) - مبدا قطع می کند.
نمودار تابع y=2x-3 (b=-3) محور OY را در نقطه (0;-3) قطع می کند.

بنابراین، اگر نشانه های ضرایب k و b را بدانیم، بلافاصله می توانیم تصور کنیم که نمودار تابع y=kx+b چگونه است.
اگر k 0

اگر k>0 و b>0، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k>0 و b، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k، سپس نمودار تابع y=kx+b به شکل زیر است:

اگر k=0، سپس تابع y=kx+b به تابع y=b تبدیل می شود و نمودار آن به شکل زیر است:

مختصات تمام نقاط نمودار تابع y=b برابر با b است اگر b=0، سپس نمودار تابع y=kx (نسبت مستقیم) از مبدأ عبور می کند:

3. اجازه دهید به طور جداگانه نمودار معادله x=a را یادداشت کنیم.نمودار این معادله یک خط مستقیم موازی با محور OY است که تمام نقاط آن دارای ابسیسا x=a هستند.

برای مثال نمودار معادله x=3 به شکل زیر است:
توجه!معادله x=a یک تابع نیست، بنابراین یک مقدار آرگومان با مقادیر مختلف تابع مطابقت دارد که با تعریف یک تابع مطابقت ندارد.

4. شرط موازی بودن دو خط:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 با نمودار تابع y=k 2 x+b 2 موازی است اگر k 1 =k 2

5. شرط عمود بودن دو خط مستقیم:

نمودار تابع y=k 1 x+b 1 بر نمودار تابع y=k 2 x+b 2 عمود است اگر k 1 *k 2 =-1 یا k 1 =-1/k 2

6. نقاط تلاقی نمودار تابع y=kx+b با محورهای مختصات.

با محور OY. آبسیسا هر نقطه متعلق به محور OY برابر با صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OY، باید به جای x، صفر را در معادله تابع جایگزین کنید. y=b می گیریم. یعنی نقطه تقاطع با محور OY مختصات (0; b) دارد.

با محور OX: اردین هر نقطه متعلق به محور OX صفر است. بنابراین، برای یافتن نقطه تقاطع با محور OX، باید به جای y، صفر را در معادله تابع جایگزین کنید. 0=kx+b می گیریم. بنابراین x=-b/k. یعنی نقطه تقاطع با محور OX دارای مختصات (-b/k;0) است:

تعریف تابع خطی

اجازه دهید تعریف تابع خطی را معرفی کنیم

تعریف

تابعی به شکل $y=kx+b$ که $k$ غیر صفر است، تابع خطی نامیده می شود.

نمودار یک تابع خطی یک خط مستقیم است. عدد $k$ را شیب خط می نامند.

وقتی $b=0$ تابع خطی تابع تناسب مستقیم $y=kx$ نامیده می شود.

شکل 1 را در نظر بگیرید.

برنج. 1. معنای هندسی شیب یک خط

مثلث ABC را در نظر بگیرید. می بینیم که $ВС=kx_0+b$. بیایید نقطه تقاطع خط $y=kx+b$ را با محور $Ox$ پیدا کنیم:

\ \

بنابراین $AC=x_0+\frac(b)(k)$. بیایید نسبت این اضلاع را پیدا کنیم:

\[\frac(BC)(AC)=\frac(kx_0+b)(x_0+\frac(b)(k))=\frac(k(kx_0+b))((kx)_0+b)=k \]

از سوی دیگر، $\frac(BC)(AC)=tg\angle A$.

بنابراین، می توانیم نتیجه گیری زیر را داشته باشیم:

نتیجه

معنای هندسی ضریب $k$. ضریب زاویه ای خط مستقیم $k$ برابر است با مماس زاویه میل این خط مستقیم بر محور $Ox$.

مطالعه تابع خطی $f\left(x\right)=kx+b$ و نمودار آن

ابتدا تابع $f\left(x\right)=kx+b$ را در نظر بگیرید که در آن $k > 0$ است.

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx+b\right))"=k>0$. از این رو، این تابعدر کل دامنه تعریف افزایش می یابد. هیچ نقطه افراطی وجود ندارد.
2. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=-\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=+\infty $
3. نمودار (شکل 2).

برنج. 2. نمودارهای تابع $y=kx+b$، برای $k > 0$.

حالا تابع $f\left(x\right)=kx$ را در نظر بگیرید که در آن $k است

1. دامنه تعریف همه اعداد است.
2. محدوده مقادیر همه اعداد است.
3. $f\left(-x\right)=-kx+b$. تابع نه زوج است و نه فرد.
4. برای $x=0،f\left(0\right)=b$. وقتی $y=0.0=kx+b،\ x=-\frac(b)(k)$.

نقاط تقاطع با محورهای مختصات: $\left(-\frac(b)(k)،0\right)$ و $\left(0,\ b\right)$

1. $f"\left(x\right)=(\left(kx\right))"=k
2. $f^("")\left(x\right)=k"=0$. بنابراین، تابع نقطه عطف ندارد.
3. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty) kx\ )=+\infty $, $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) kx\ )=-\infty $
4. نمودار (شکل 3).