Konvexní množiny a jejich vlastnosti. Abychom mohli studovat vlastnosti konvexní množiny, je nutné konvexní množinu přesně definovat. Dříve byla konvexní množina definována jako množina, která spolu s libovolnými dvěma svými body obsahuje segment spojující je.

Zobecněním pojmu úsečka pro více bodů je jejich konvexní lineární kombinace.

Bod X se nazývá konvexní lineární kombinace body, pokud jsou splněny podmínky

Sada bodů je konvexní, jestliže spolu s libovolnými dvěma svými body obsahuje jejich libovolnou konvexní, lineární kombinaci.

Můžeme dokázat následující větu o zobrazení konvexního mnohostěnu.

Věta 1.1. Konvexní n-rozměrný mnohostěn je konvexní lineární kombinace jeho rohových bodů.

Z věty 1.1 vyplývá, že konvexní mnohostěn je generován svými rohovými body nebo vrcholy: úsečka dvěma body, trojúhelník třemi, čtyřstěn čtyřmi body atd. Zároveň konvexní polyedrická oblast, která je neomezenou množinou, není jednoznačně definována svými rohovými body: žádný z jejích bodů nelze reprezentovat jako konvexní lineární kombinaci rohových bodů.

Vlastnosti úlohy lineárního programování. Dříve byly zvažovány různé formy problému lineárního programování a ukázalo se, že jakýkoli problém lineárního programování může být reprezentován jako obecný nebo kanonický problém.

Pro doložení vlastností problému lineárního programování a metod jeho řešení je vhodné zvážit další dva typy zápisu kanonické úlohy.

Maticový záznamový formulář:

Tady S- řádková matice, A- matice systému, X– maticový sloupec proměnných, V– maticový sloupec volných členů:

Vektorová forma záznamu:

kde vektory odpovídají sloupcům koeficientů pro neznámé.

Bylo to formulováno výše, ale nebylo prokázáno obecný pohled další věta.

Věta 1.2. Množina všech možných řešení systému omezení úlohy lineárního programování je konvexní.

Důkaz: Nechat - dvě proveditelná řešení PLP, uvedená v maticové formě. Pak . Uvažujme konvexní lineární kombinaci řešení, tzn.

a ukázat, že je to také přípustné řešení soustavy (1.3). Vskutku

tj. řešení X vyhovuje systému (1.3). Ale od té doby X>0, tzn. řešení splňuje podmínku nezápornosti.

Bylo tedy prokázáno, že množina všech proveditelných řešení problému lineárního programování je konvexní, přesněji řečeno představuje konvexní mnohostěn nebo konvexní mnohostěn, který budeme dále nazývat jedním pojmem - mnohostěn řešení.

Odpověď na otázku, v jakém bodě mnohostěnu řešení je možná optimální řešení problém lineárního programování je uveden v následující základní větě.

Věta 1.3. Pokud má problém lineárního programování optimální řešení, pak lineární funkce nabývá maximální hodnoty v jednom z rohových bodů mnohostěnu řešení. Pokud lineární funkce nabývá maximální hodnoty ve více než jednom rohovém bodě, pak ji nabývá v libovolném bodě, který je konvexní lineární kombinací těchto bodů.

Důkaz: Budeme předpokládat, že mnohostěn řešení je ohraničený. Označme jeho rohové body pomocí , a optimální řešení je přes X*. Pak F(X*)³ F(X) za všechny body X mnohostěn řešení. Li X* je rohový bod, pak je dokázána první část věty.

Pojďme to předstírat X* není tedy rohový bod na základě věty 1.1 X* lze znázornit jako konvexní lineární kombinaci rohových bodů mnohostěnu řešení, tzn.

Protože F(X) je lineární funkce, dostáváme

Při tomto rozkladu volíme mezi hodnotami maximum. Nechte to odpovídat rohovému bodu Xk(1 £ k£ R); označme to tím M, těch. . Nahraďte každou hodnotu ve výrazu (1.5) touto maximální hodnotou M. Pak

Podle předpokladu X* je tedy na jednu stranu optimální řešení, ale na druhou stranu se to prokázalo
F(X*)£ M, tedy, , kde Xk– rohový bod. Existuje tedy rohový bod Xk, ve kterém lineární funkce nabývá své maximální hodnoty.

Abychom dokázali druhou část věty, předpokládejme, že účelová funkce nabývá maximální hodnoty ve více než jednom rohovém bodě, například v bodech , Kde , Pak

Nechat X– konvexní lineární kombinace těchto rohových bodů, tzn.

V tomto případě s ohledem na funkci F(X)– lineární, dostáváme

těch. lineární funkce F nabývá maximální hodnoty v libovolném bodě X, což je konvexní lineární kombinace rohových bodů.

Komentář. Požadavek, aby mnohostěn řešení byl ve větě ohraničen, je zásadní, protože v případě neomezené mnohostěnné oblasti, jak je uvedeno ve větě 1.1, nelze každý bod takové oblasti znázornit konvexní lineární kombinací jejích rohových bodů.

Osvědčený teorém je základní, protože ukazuje základní způsob řešení problémů lineárního programování. Podle této věty je totiž místo studia nekonečné množiny proveditelných řešení k nalezení požadovaného optimálního řešení mezi nimi nutné studovat pouze konečný počet rohových bodů mnohostěnu řešení.

Další věta je věnována analytické metodě hledání rohových bodů.

Věta 1.4. Každému přípustnému základnímu řešení úlohy lineárního programování odpovídá rohový bod mnohostěnu řešení a naopak každému rohovému bodu mnohostěnu řešení odpovídá přípustné základní řešení.

Důkaz: Nechť je přípustné základní řešení systému omezení LLP (1.4), ve kterém první T složka jsou hlavní proměnné a zbytek p - t komponenta – nehlavní proměnné rovné nule v základním řešení (pokud tomu tak není, pak lze odpovídající proměnné přečíslovat). Pojďme si to ukázat X

Předpokládejme opak, tj. Co X není rohový bod. Pak bod X může být reprezentován vnitřním bodem segmentu spojujícího dva různé, které se neshodují X, body

jinými slovy, konvexní lineární kombinace bodů mnohostěn řešení, tzn.

kde (předpokládáme, že , protože jinak bod X se shoduje s pointou X 1 nebo X 2).

Zapišme vektorovou rovnost (1.6) v souřadnicovém tvaru:

Protože všechny proměnné a koeficienty jsou nezáporné, pak od posledního p-t rovnosti z toho vyplývá, že , tzn. v rozhodnutích X 1 , X 2 a X soustava rovnic (1.4) hodnoty p - t složky jsou v tomto případě rovné nule. Tyto složky lze považovat za hodnoty neprimárních proměnných. Ale hodnoty nezákladních proměnných jednoznačně určují hodnoty hlavních, proto

Takže všechno P součást řešení X 1 , X 2 a X shodují, a tedy i body X 1 a X 2 sloučit, což je v rozporu s předpokladem. Proto, X– rohový bod mnohostěnu řešení.

Dokažme opačné tvrzení. Dovolit být rohový bod řešení mnohostěnu a jeho první T souřadnice jsou kladné. Pojďme si to ukázat X– přípustné základní řešení. není rohový bod, což je v rozporu s podmínkou. Proto je náš předpoklad nesprávný, tzn. vektory jsou lineárně nezávislé a X je přípustné základní řešení problému (1.4).

Důležitý důsledek vyplývá přímo z vět 1.3 a 1.4: pokud má problém lineárního programování optimální řešení, pak se shoduje, podle alespoň, s jedním z jeho přípustných základních řešení.

Tak, optimální lineární funkce Problémy lineárního programování je třeba hledat mezi konečným počtem jeho proveditelných základních řešení.

Podívejme se na hlavní problém lineárního programování (LPLP): najděte nezáporné hodnoty proměnných x1, x2, ..., xn, splňující m podmínek - rovnosti

a maximalizace lineární funkce těchto proměnných

Pro jednoduchost předpokládáme, že všechny podmínky (1) jsou lineárně nezávislé (r=m), a naše úvahy budeme provádět za tohoto předpokladu.

Přípustným řešením OLP označme libovolnou množinu nezáporných hodnot x1, x2, ..., xn, která splňuje podmínky (1), optimálním označme to z přípustných řešení, které maximalizuje funkci (2). Musíme najít optimální řešení.

Má tento problém vždy řešení? Ne vždy.

ZLP je neřešitelný (nemá optimální řešení):

Kvůli nekompatibilitě omezovacího systému. Tito. systém nemá jediné řešení, jak je znázorněno na obrázku 1.

Obrázek 1 - Nejednotnost systému omezení

Vzhledem k neohraničenosti účelové funkce na množině řešení. Jinými slovy, při řešení LLP v maximu má hodnota účelové funkce tendenci k nekonečnu a v případě LLP v min - k minus nekonečnu, jak je znázorněno na obrázku 2.

Obrázek 2 - Neohraničenost účelové funkce na množině řešení

ZLP je řešitelné:

Sada řešení se skládá z jednoho bodu. Je také optimální, jak ukazuje obrázek 3.

Obrázek 3 - Sada řešení se skládá z jednoho bodu

Jediné optimální řešení ZLP. Přímka odpovídající účelové funkci v mezní poloze se protíná s množinou řešení v jednom bodě, jak je znázorněno na obrázku 4.

Obrázek 4 - Jediné optimální řešení

Optimální řešení ZLP není ojedinělé. Vektor N je kolmý k jedné ze stran množiny řešení. V tomto případě je optimální jakýkoli bod na segmentu AB, jak je znázorněno na obrázku 5.

Obrázek 5 - Optimální řešení není jedinečné

Řešení úloh lineárního programování simplexovou metodou

Simplexová metoda je algoritmus pro řešení úlohy LP, který implementuje výčet rohových bodů oblasti možných řešení ve směru zlepšování hodnoty účelové funkce C. Simplexová metoda je hlavní v lineárním programování.

Použití této metody v diplomovém projektu k řešení problému LP je způsobeno následujícími faktory:

Metoda je univerzální, použitelná na jakýkoli problém lineárního programování v kanonické formě;

Algoritmická povaha metody umožňuje její úspěšné naprogramování a implementaci pomocí technických prostředků.

Extrém účelové funkce je vždy dosažen v rohových bodech oblasti možných řešení. Nejprve se najde nějaké proveditelné výchozí (referenční) řešení, tzn. jakýkoli rohový bod regionu proveditelných řešení. Postup metody umožňuje odpovědět na otázku, zda je toto řešení optimální. Pokud ano, problém je vyřešen. Pokud „ne“, dojde k přechodu na sousední rohový bod oblasti možných řešení, kde se hodnota účelové funkce zlepší. Proces výčtu rohových bodů oblasti proveditelných řešení se opakuje, dokud není nalezen bod, který odpovídá extrému účelové funkce.

Vzhledem k tomu, že počet vrcholů mnohostěnu je omezený, v konečném počtu kroků je zaručeno nalezení optimální hodnoty nebo zjištění, že problém je neřešitelný.

Systém omezení je zde systémem lineárních rovnic, ve kterých je počet neznámých více množství rovnic. Pokud je hodnost systému stejná, pak je možné vybrat neznámé, které jsou vyjádřeny pomocí zbývajících neznámých. Pro jistotu se obvykle předpokládá, že jsou vybrány první po sobě jdoucí neznámé. Tyto neznámé (proměnné) se nazývají základní, ostatní jsou volné. Počet základních proměnných se vždy rovná počtu omezení.

Přiřazením určitých hodnot volným proměnným a výpočtem hodnot základních (vyjádřených jako volné) se získají různá řešení systému omezení. Zvláště zajímavá jsou řešení získaná v případě, kdy jsou volné proměnné rovny nule. Taková řešení se nazývají základní. Základní řešení se nazývá přípustné základní řešení nebo podpůrné řešení, pokud jsou hodnoty jeho proměnných nezáporné. Splňuje všechna omezení.

Díky systému omezení lze nalézt jakékoli základní řešení tohoto systému. Pokud se první nalezené základní řešení ukáže jako proveditelné, pak se zkontroluje jeho optimálnost. Pokud to není optimální, pak se přechází na jiné proveditelné základní řešení.

Simplexová metoda zaručuje, že s tímto novým řešením se lineární forma, pokud nedosáhne optima, přiblíží. Udělají totéž s novým proveditelným základním řešením, dokud nenajdou řešení, které je optimální.

Pokud se první nalezené základní řešení ukáže jako nepřijatelné, pak se pomocí simplexové metody přechází k jiným základním řešením, dokud se v některém kroku řešení základní řešení neukáže jako přijatelné, nebo lze vyvodit závěr o nekonzistentnosti. systému omezení.

Aplikace simplexové metody je tedy rozdělena do dvou fází:

Nalezení přijatelného základního řešení systému omezení nebo zjištění faktu jeho nekonzistence;

Nalezení optimálního řešení v případě kompatibility systému omezení.

Algoritmus pro přechod na další možné řešení je následující:

V řadě koeficientů účelové funkce se při hledání maxima volí nejmenší záporné číslo. Pořadové číslo koeficientu je . Pokud žádné není, pak je optimální původní základní řešení;

Mezi prvky matice s číslem sloupce (tento sloupec se nazývá úvodní nebo rozlišovací sloupec) jsou vybrány kladné prvky. Pokud žádné neexistují, pak je účelová funkce neomezená v rozsahu přípustných hodnot proměnných a problém nemá řešení;

Mezi vybranými prvky vedoucího sloupce matice je vybrán ten, pro který je hodnota poměru odpovídajícího volného členu k tomuto prvku minimální. Tento prvek se nazývá proklad a čára, ve které se nachází, se nazývá proklad;

Základní proměnná odpovídající řádku vedoucího prvku musí být převedena do kategorie volných a volná proměnná odpovídající sloupci vedoucího prvku musí být vložena do počtu základních. Je konstruováno nové řešení obsahující nové počty základních proměnných.

Podmínka optimálnosti plánu při řešení úlohy na maximum: mezi koeficienty účelové funkce nejsou záporné prvky.

Provádí se optimalizace lineárních modelů v MS Excel simplexní metoda- cílevědomé hledání referenčních řešení problému lineárního programování. Algoritmus simplexové metody sestává z konstrukce konvexního mnohostěnu ve vícerozměrném prostoru a následného vyčíslení jeho vrcholů, aby se našla extrémní hodnota. Objektivní funkce.

Efektivní prostředky lineární programování tvoří základ celočíselného i nelineárního programování pro řešení složitějších optimalizačních problémů. Tyto metody však vyžadují delší dobu výpočtu.

V následujících přednáškách budou podrobně rozebrány příklady řešení typických optimalizačních problémů a rozhodování managementu pomocí doplňku MS Excel "Hledat řešení". Úlohy, které tento nástroj nejlépe řeší, mají tři hlavní vlastnosti:

• existuje jediný cíl, funkčně související s ostatními parametry systému, který je potřeba optimalizovat (nalézt jeho maximum, minimum nebo určitou číselnou hodnotu);
• existují omezení, obvykle vyjádřená ve formě nerovností (např. objem použitých surovin nesmí překročit zásoby surovin ve skladu, nebo provozní doba stroje za den by neměla být delší než 24 hodin minus údržba čas);
• existuje sada hodnot vstupních proměnných, které ovlivňují optimalizované hodnoty a omezení.

Parametry úloh jsou omezeny na následující limitní ukazatele:

• počet neznámých – 200;
• počet vzorových omezení na neznámé – 100;
• počet omezujících podmínek pro neznámé je 400.

Algoritmus pro nalezení optimálních řešení zahrnuje několik fází:

• přípravné práce;
• ladění řešení;
• analýza řešení.

Posloupnost nezbytných přípravných prací prováděných při řešení úloh ekonomického a matematického modelování pomocí MS Excel ukazuje blokové schéma na obrázku 1.6.

Rýže. 1.6.

Z pěti bodů plánu přípravných prací je formalizovatelný pouze pátý bod. Zbytek práce vyžaduje kreativitu – a různí lidé to mohou dělat různými způsoby. Pojďme si stručně vysvětlit podstatu znění položek plánu.

Při zadávání úlohy jsou známy cílové koeficienty a normalizované koeficienty. V předchozím příkladu byly koeficienty tvořící účelovou funkci hodnoty normalizovaného zisku na polici typu ( ) a jeden typ police ( ). Normalizované koeficienty byly normy spotřeby materiálu a strojního času na polici každého typu. Matrix vypadal takto:

Kromě toho jsou hodnoty zdrojů vždy známy. V předchozím příkladu se jednalo o týdenní zásobu desek a možnost využívat strojový čas: , . V problémech je často třeba omezit hodnoty proměnných. Proto je nutné určit spodní a horní hranici rozsahu jejich změn.

V dialogovém okně optimalizačního programu "Hledat řešení" tedy musíme nastavit následující cílový algoritmus:

Cílová funkce je rovna součinu vektoru požadovaných hodnot proměnných vektorem cílových koeficientů

Normalizované koeficienty pro vektor požadovaných hodnot proměnných by neměly překročit hodnotu daného vektoru zdroje

Hodnoty proměnných musí být v rámci stanovených limitů počtu počátečních prvků systému

Počet počátečních prvků systému

Počet zadaných typů zdrojů

Ladění řešení je nutné, když program zobrazí zprávu o negativních výsledcích (obrázek 1.7):

Rýže. 1.7.

• pokud není dosaženo přijatelného řešení, pak upravte zdrojový datový model;
• pokud nebyl přijat optimální řešení a poté zavést další omezení.

Problémy s programem optimální řešení pouze pro model skutečného problému, nikoli pro řešení problému samotného. Při konstrukci modelu byly učiněny různé zjednodušující předpoklady o reálné situaci. To umožnilo formalizovat proces a přibližně zobrazit reálné kvantitativní vztahy mezi parametry systému a cílem. A pokud se skutečné parametry liší od těch zahrnutých v modelu, jak se pak změní řešení? Abychom to zjistili, před rozhodnutím managementu je provedena analýza modelového řešení.

Analýza optimální řešení, zabudovaný do programu, představuje konečnou fázi matematického modelování ekonomických procesů. Umožňuje hlubší kontrolu souladu modelu s procesem a také spolehlivost optimálního řešení. Vychází z dat optimální řešení a zprávy, které jsou vydávány v „Hledat řešení“. Nevylučuje však ani nenahrazuje tradiční analýzu plánu z ekonomického hlediska před přijetím rozhodnutí managementu.

Ekonomická analýza má následující cíle:

• stanovení možných důsledků v systému jako celku a jeho prvcích při změně parametru modelu;
• posouzení stability optimálního plánu vůči změnám jednotlivých parametrů problému: pokud není stabilní vůči změnám většiny parametrů, snižuje se záruka jeho realizace a dosažení vypočítaného optima;
• provedení variantních výpočtů a získání nových možností plánu bez opětovného vyřešení problému z původního podkladu pomocí úprav.

Možné metody analýzy jsou uvedeny v diagramu na obrázku 1.8.

Po získání optimálního řešení je na základě obdržených zpráv analyzováno. Analýza stability- studium vlivu změn jednotlivých parametrů modelu na ukazatele optimálního řešení. Limitní analýza- rozbor přípustných změn optimálního plánu, kdy plán zůstává optimální.

Vzhledem k odpovědnosti přijímat ekonomické manažerské rozhodnutí, manažer se musí ujistit, že výsledný optimální plán je jediný správný. K tomu je na základě modelu nutné získat odpovědi na následující otázky:

• "co se stane, když..."
• "co je potřeba k tomu..."

Analýza k zodpovězení první otázky se nazývá variantní analýza; se nazývá analýza k zodpovězení druhé otázky řešení na míru.

Analýza variant může být následujících typů:

• Parametrické- analýza, která spočívá v řešení problému pro různé hodnoty určitého parametru.
• Strukturální analýza- když se hledá řešení optimalizačního problému pod jinou strukturou omezení.
• Multikriteriální analýza je řešením problému pomocí různých objektivních funkcí.
• Analýza s podmíněnými počátečními daty- když počáteční data použitá k vyřešení problému závisí na splnění dalších podmínek.

Po provedení analýzy by měly být výsledky prezentovány v grafické podobě a měla by být zpracována zpráva s doporučeními pro rozhodování s přihlédnutím ke konkrétní ekonomické situaci.

V současné době je součástí vzdělávacího programu oborů souvisejících s ekonomikou, financemi a managementem disciplína s názvem „Metody optimálního rozhodování“. V rámci této disciplíny studenti studují matematickou stránku optimalizace, operačního výzkumu, rozhodování a modelování. hlavní rys Tato disciplína je určena společným studiem matematických metod s jejich aplikací při řešení ekonomických problémů.

Úlohy optimalizace: obecné informace

Pokud vezmeme v úvahu obecný případ, pak smyslem optimalizační úlohy je najít tzv. optimální řešení, které maximalizuje (minimalizuje) účelovou funkci za určitých omezujících podmínek.

V závislosti na vlastnostech funkcí lze optimalizační problémy rozdělit do dvou typů:

• úloha lineárního programování (všechny funkce jsou lineární);
• problém nelineárního programování (alespoň jedna z funkcí není lineární).

Speciálními případy optimalizačních problémů jsou problémy zlomkového lineárního, dynamického a stochastického programování.

Nejvíce studovanými optimalizačními problémy jsou problémy lineárního programování (LPP), jejichž řešení nabývají pouze celočíselných hodnot.

PPP: formulace, klasifikace

Problém lineárního programování v obecném případě spočívá v nalezení minima (maxima) lineární funkce za určitých lineárních omezení.

Obecný ZLP je problém formy

pod omezeními

kde jsou proměnné, jsou daná reálná čísla, jsou účelová funkce, jsou plán problému, (*)-(***) jsou omezení.

Důležitým znakem ZLP je, že extrém účelové funkce je dosažen na hranici oblasti proveditelných řešení.

Praktické ekonomické aplikace metod optimálního řešení se nacházejí při řešení problémů následujících typů:

• problémy se směsmi (tj. plánování složení produktů);
• problémy optimální alokace zdrojů při plánování výroby;

PAP: příklady

Problém se směsí

Řešení problému směsí spočívá v nalezení nejlevnější sady, skládající se z určitých výchozích materiálů, které poskytují směs s požadovanými vlastnostmi.

Problém s alokací zdrojů

Společnost vyrábí n různé výrobky, jejichž výroba vyžaduje m různé druhy zdrojů. Zásoby použitých zdrojů jsou omezené a dosahují resp b 1, b 2,…, b m c.u. Kromě toho jsou známy technologické koeficienty a ij, které ukazují, kolik jednotek i-tý zdroj je nutný k výrobě jedné jednotky produktu j-tý typ (). Zisk, který podnik získá prodejem produktu j-tý typ, činí c j peněžní jednotky Je nutné sestavit plán výroby výrobků, při jejichž realizaci bude zisk podniku největší.

Problémy týkající se směsí a alokace zdrojů jsou často psány v tabulkové formě.

Zdroje	Potřeby			Rezervy
	B 1	…	Bn
A 1				b 1
…				…
Dopoledne				b m
Zisk	c 1	…	c n

Problémy se směsí a alokací zdrojů lze vyřešit několika způsoby:

• grafická metoda (v případě malého počtu proměnných v matematický model);
• simplexová metoda (pokud je počet proměnných v matematickém modelu větší než dvě).

Transportní problém se týká třídy úloh, které mají určitou specifickou strukturu. Nejjednodušším dopravním problémem je problém přepravy produktu do destinací z výchozích bodů na minimální náklady pro přepravu všech produktů.

Pro jasnost a snadnost vnímání je stav dopravního problému obvykle zapsán v následující tabulce:

Obecně se řešení dopravního problému provádí v několika fázích:

• Fáze I: sestavení původního referenčního plánu;
• Fáze II: kontrola optimálnosti referenčního plánu;
• Fáze III: vyjasnění referenčního plánu, pokud není optimální.

Existuje několik metod pro získání počátečního referenčního plánu, například metoda severozápadního rohu, Vogelova metoda a metoda minimálních nákladů.

Plán je zkontrolován z hlediska optimálnosti pomocí potenciální metody:

- pro obsazené buňky,
- pro neobsazené buňky.

Pokud plán není optimální, pak se sestaví koloběh a doprava se přerozdělí.

Závěr

V rámci jednoho článku není možné pokrýt celou teorii a praxi optimálních metod řešení, proto jsou zvažovány pouze některé body, které nám umožňují poskytnout obecnou představu o této disciplíně, problémech a metodách jejich řešení.

Navíc je dobré poznamenat, že pro kontrolu získaných řešení optimalizačních problémů lze velmi efektivně využít doplněk „Solution Search“ z balíku MS Excel. Ale to je ve skutečnosti jiný příběh, stejně jako podrobné zvážení metod řešení optimalizačních problémů.

Zde je několik učebnic pro studium optimálních metod řešení:

1. Bandi B. Základy lineárního programování: Trans. z angličtiny – M.: Radio and Communications, 1989. – 176 s.
2. Kremer N.Sh. Operační výzkum v ekonomii: Proc. příručka pro vysoké školy / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman; Ed. prof. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 407 s.

Řešení vlastních optimalizačních metod

Můžeme vám pomoci vyřešit jakékoli problémy pomocí optimálních metod řešení. Řešení problémů si můžete objednat na našem webu. Stačí uvést termín a přiložit soubor s úkolem. vaše objednávka je zdarma.

Lineární programování je obor matematiky, který studuje metody pro nalezení minima nebo maxima lineární funkce konečného počtu proměnných za předpokladu, že proměnné splňují konečný počet omezení ve formě lineárních rovnic nebo lineárních nerovností.

Obecný problém lineárního programování (GLP) lze tedy formulovat následovně.

Najděte hodnoty skutečných proměnných, pro které Objektivní funkce

má minimální hodnotu na množině bodů, jejichž souřadnice vyhovují systém omezení

Jak známo, uspořádaná sbírka hodnot n proměnné , , … jsou reprezentovány bodem v n-rozměrném prostoru. V následujícím budeme tento bod označovat X=( , , … ).

V maticové formě lze problém lineárního programování formulovat následovně:

, A- velikostní matice,

Tečka X Zavolá se =( , , … ), splňující všechny podmínky platný bod . Volá se množina všech přípustných bodů platná oblast .

Optimální řešení (optimální plán) problém lineárního programování se nazývá řešení X=( , , … ), patřící do přípustné oblasti a pro kterou je lineární funkce Q nabývá optimální (maximální nebo minimální) hodnoty.

Teorém. Množina všech možných řešení systému omezení úlohy lineárního programování je konvexní.

Množina bodů se nazývá konvexní , pokud spolu s libovolnými dvěma svými body obsahuje jejich libovolnou konvexní lineární kombinaci.

Tečka X volal konvexní lineární kombinace bodů, pokud jsou splněny podmínky

Množina všech proveditelných řešení problému lineárního programování je konvexní polyedrická oblast, kterou budeme dále nazývat mnohostěn řešení .

Teorém. Pokud má ZLP optimální řešení, pak účelová funkce nabývá maximální (minimální) hodnoty v jednom z vrcholů mnohostěnu řešení. Pokud účelová funkce nabývá maximální (minimální) hodnoty ve více než jednom bodě, pak tuto hodnotu nabývá v libovolném bodě, který je konvexní lineární kombinací těchto bodů.

Mezi mnoha řešeními systému m lineární rovnice popisující mnohostěn řešení, rozlišují se tzv. základní řešení.

Základní řešení systému m lineární rovnice s n proměnnými je řešení, ve kterém vše n-m vedlejší proměnné jsou nulové. V úlohách lineárního programování se taková řešení nazývají přípustná základní řešení (referenční plány).

Teorém. Každé přípustné základní řešení úlohy lineárního programování odpovídá vrcholu mnohostěnu řešení a naopak každému vrcholu mnohostěnu řešení odpovídá přípustné základní řešení.

Z výše uvedených teorémů vyplývá důležitý důsledek:

Pokud má problém lineárního programování optimální řešení, pak se shoduje s alespoň jedním z jeho proveditelných základních řešení.

Optimum lineární funkce cíle problému lineárního programování je tedy třeba hledat mezi konečným počtem jeho proveditelných základních řešení.