แม้ว่าการเชื่อมต่อนี้ดูไม่ชัดเจนในครั้งแรก (คณิตศาสตร์วิทยาศาสตร์ดูเหมือนจะเป็นสิ่งหนึ่งและเศรษฐศาสตร์และการเงินก็เป็นอีกเรื่องหนึ่ง) แต่เมื่อคุณศึกษาประวัติความเป็นมาของ "การค้นพบ" ของตัวเลขนี้ ทุกอย่างจะชัดเจนขึ้น ในความเป็นจริง ไม่ว่าวิทยาศาสตร์จะถูกแบ่งออกเป็นสาขาต่างๆ ที่ดูเหมือนไม่เกี่ยวข้องกันอย่างไร กระบวนทัศน์ทั่วไปจะยังคงเหมือนเดิม (โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับสังคมผู้บริโภค - คณิตศาสตร์ "ผู้บริโภค")

เริ่มต้นด้วยคำจำกัดความ e คือฐานของลอการิทึมธรรมชาติ ค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ จำนวนอตรรกยะ และจำนวนอดิศัย บางครั้งเลข e เรียกว่า เลขออยเลอร์ หรือ เลขเนเปียร์ แสดงด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก "e"

เนื่องจากฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียล e^x ได้รับการบูรณาการและทำให้เกิดความแตกต่าง "ในตัวเอง" ลอการิทึมที่มีฐาน e จึงได้รับการยอมรับว่าเป็นธรรมชาติ (แม้ว่าชื่อของ "ความเป็นธรรมชาติ" จะเป็นที่น่าสงสัยอย่างมาก เนื่องจากคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีพื้นฐานมาจากสิ่งที่ประดิษฐ์ขึ้นเอง อันแยกขาดจากหลักการสมมติของธรรมชาติ ไม่ใช่หลักธรรมชาติเลย)

หมายเลขนี้บางครั้งเรียกว่า Nepier เพื่อเป็นเกียรติแก่นักวิทยาศาสตร์ชาวสก็อตแลนด์ Napier ผู้เขียนงาน "Description of the Amazing Table of Logarithms" (1614) อย่างไรก็ตาม ชื่อนี้ไม่ถูกต้องทั้งหมด เนื่องจากเนเปียร์ไม่ได้ใช้หมายเลขดังกล่าวโดยตรง

ค่าคงที่ปรากฏครั้งแรกโดยปริยายในภาคผนวกของงานแปลภาษาอังกฤษของงานดังกล่าวข้างต้นของ Napier ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1618 เบื้องหลัง เนื่องจากมีเพียงตารางลอการิทึมธรรมชาติที่กำหนดจากการพิจารณาทางจลนศาสตร์ แต่ไม่มีค่าคงที่ในตัวมันเอง

ค่าคงที่นั้นคำนวณครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส Bernoulli (ตามฉบับอย่างเป็นทางการในปี 1690) ในขณะที่แก้ปัญหามูลค่าจำกัดของรายได้ดอกเบี้ย เขาพบว่าหากจำนวนเงินเดิมคือ 1 ดอลลาร์ (สกุลเงินนั้นไม่สำคัญเลย) และทบต้น 100% ต่อปีหนึ่งครั้ง ณ สิ้นปี จำนวนเงินสุดท้ายจะเป็น 2 ดอลลาร์ แต่หากดอกเบี้ยเดียวกันทบต้นปีละสองครั้ง ดังนั้น 1 ดอลลาร์จะถูกคูณด้วย 1.5 สองครั้ง ผลลัพธ์ที่ได้คือ 1.00 ดอลลาร์ x 1.5² = 2.25 ดอลลาร์ ดอกเบี้ยทบต้นรายไตรมาสส่งผลให้ได้ 1.00 ดอลลาร์ x 1.254 = 2.44140625 ดอลลาร์ และต่อๆ ไป เบอร์นูลลีแสดงให้เห็นว่าหากความถี่ในการคำนวณดอกเบี้ยเพิ่มขึ้นอย่างไม่สิ้นสุด ดอกเบี้ยรับในกรณีของดอกเบี้ยทบต้นก็มีขีดจำกัด และขีดจำกัดนี้จะเท่ากับ 2.71828...

$1.00×(1+1/12)12 = $2.613035…

$1.00×(1+1/365)365 = $2.714568… - ในขีดจำกัดจำนวน e

ดังนั้น ตัวเลข e ในอดีตหมายถึงกำไรประจำปีสูงสุดที่เป็นไปได้ที่ 100% ต่อปี และความถี่สูงสุดของการแปลงดอกเบี้ยเป็นทุน และกฎของจักรวาลเกี่ยวอะไรกับมัน? หมายเลข e เป็นหนึ่งในองค์ประกอบสำคัญในรากฐานของเศรษฐกิจการเงินของดอกเบี้ยเงินกู้ในสังคมผู้บริโภคซึ่งตั้งแต่เริ่มต้นแม้ในระดับปรัชญาทางจิตคณิตศาสตร์ทั้งหมดที่ใช้ในปัจจุบันได้รับการปรับเปลี่ยนและทำให้คมชัดขึ้นหลายศตวรรษ ที่ผ่านมา.

การใช้ค่าคงที่นี้เป็นครั้งแรกที่ทราบด้วยตัวอักษร b ปรากฏอยู่ในจดหมายของไลบ์นิซถึงฮอยเกนส์ ปี 1690-1691

ออยเลอร์เริ่มใช้ตัวอักษร e ในปี 1727 ปรากฏครั้งแรกในจดหมายจากออยเลอร์ถึงนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Goldbach ลงวันที่ 25 พฤศจิกายน พ.ศ. 2274 และการตีพิมพ์ครั้งแรกพร้อมจดหมายฉบับนี้คืองานของเขา "กลศาสตร์หรือวิทยาศาสตร์แห่งการเคลื่อนที่อธิบายเชิงวิเคราะห์ ” 1736 ดังนั้น e จึงมักเรียกว่าเลขออยเลอร์ แม้ว่านักวิชาการบางคนจะใช้ตัวอักษร c ในภายหลัง แต่ตัวอักษร e ถูกใช้บ่อยขึ้นและเป็นชื่อมาตรฐานในปัจจุบัน

ยังไม่ทราบแน่ชัดว่าเหตุใดจึงเลือกตัวอักษร e บางทีนี่อาจเป็นเพราะความจริงที่ว่าคำว่าเลขชี้กำลัง ("บ่งชี้", "เลขชี้กำลัง") ขึ้นต้นด้วย ข้อเสนอแนะอีกประการหนึ่งก็คือ ตัวอักษร a, b, c และ d ถูกใช้โดยทั่วไปอยู่แล้วเพื่อวัตถุประสงค์อื่น และ e เป็นตัวอักษร "อิสระ" ตัวแรก เป็นที่น่าสังเกตว่าตัวอักษร e เป็นอักษรตัวแรกในนามสกุลออยเลอร์

แต่ไม่ว่าในกรณีใด การบอกว่าตัวเลข e เกี่ยวข้องกับกฎสากลของจักรวาลและธรรมชาตินั้นเป็นเรื่องไร้สาระ ตัวเลขนี้ตามแนวคิดแล้ว ในตอนแรกเชื่อมโยงกับระบบเครดิตและการเงิน และโดยเฉพาะอย่างยิ่งผ่านตัวเลขนี้ (แต่ไม่เพียงเท่านั้น) อุดมการณ์ของระบบเครดิตและระบบการเงินที่มีอิทธิพลทางอ้อมต่อการก่อตัวและการพัฒนาของคณิตศาสตร์อื่นๆ ทั้งหมด และ ผ่านวิทยาศาสตร์อื่น ๆ ทั้งหมด (ท้ายที่สุดแล้วโดยไม่มีข้อยกเว้น วิทยาศาสตร์คำนวณบางสิ่งโดยใช้กฎและวิธีการของคณิตศาสตร์) จำนวน e มีบทบาทสำคัญในแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล ซึ่งจริง ๆ แล้วมันยังเชื่อมโยงกับอุดมการณ์และปรัชญาในการเพิ่มรายได้ดอกเบี้ยให้สูงสุด (ใคร ๆ ก็สามารถพูดได้ว่ามันเชื่อมโยงกันโดยไม่รู้ตัว) ลอการิทึมธรรมชาติเกี่ยวข้องกันอย่างไร? การสร้าง e เป็นค่าคงที่ (พร้อมกับสิ่งอื่นใด) นำไปสู่การก่อตัวของการเชื่อมโยงโดยนัยในการคิด ตามที่คณิตศาสตร์ที่มีอยู่ทั้งหมดไม่สามารถแยกออกจากระบบการเงินได้! และในแง่นี้จึงไม่น่าแปลกใจเลยที่ชาวสลาฟโบราณ (และไม่เพียงเท่านั้น) จัดการได้ดีอย่างสมบูรณ์แบบโดยไม่มีค่าคงที่จำนวนที่ไม่ลงตัวและเหนือธรรมชาติและถึงแม้จะไม่มีตัวเลขและตัวเลขโดยทั่วไปก็ตาม (ตัวอักษรทำหน้าที่เป็นตัวเลขในสมัยโบราณ) ตรรกะที่แตกต่างกัน การคิดที่แตกต่างกันในระบบในกรณีที่ไม่มีเงิน (และดังนั้นทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับมัน) ทำให้สิ่งที่กล่าวมาทั้งหมดนั้นไม่จำเป็นเลย

การอธิบาย e ว่า "ค่าคงที่ประมาณเท่ากับ 2.71828..." ก็เหมือนกับการเรียก pi ว่า "จำนวนอตรรกยะประมาณเท่ากับ 3.1415..." นี่เป็นเรื่องจริงอย่างไม่ต้องสงสัย แต่ประเด็นนี้ยังคงหลบเลี่ยงเราอยู่

Pi คืออัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง ซึ่งเป็นค่าเดียวกันสำหรับวงกลมทั้งหมด. มันเป็นสัดส่วนพื้นฐานทั่วไปของวงกลมทั้งหมด และด้วยเหตุนี้จึงเกี่ยวข้องกับการคำนวณเส้นรอบวง พื้นที่ ปริมาตร และพื้นที่ผิวสำหรับวงกลม ทรงกลม ทรงกระบอก ฯลฯ Pi แสดงให้เห็นว่าวงกลมทั้งหมดมีความสัมพันธ์กัน ไม่ต้องพูดถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ได้มาจากวงกลม (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์)

ตัวเลข e คืออัตราส่วนการเติบโตขั้นพื้นฐานสำหรับกระบวนการที่มีการเติบโตอย่างต่อเนื่องทั้งหมดหมายเลข e ช่วยให้คุณใช้อัตราการเติบโตแบบง่าย (ซึ่งความแตกต่างจะปรากฏเฉพาะในช่วงปลายปีเท่านั้น) และคำนวณองค์ประกอบของตัวบ่งชี้นี้ การเติบโตปกติ ซึ่งทุกๆ นาโนวินาที (หรือเร็วกว่านั้น) ทุกอย่างจะเติบโตเล็กน้อย มากกว่า.

ตัวเลข e เกี่ยวข้องกับระบบการเติบโตทั้งแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลและแบบคงที่ เช่น จำนวนประชากร การสลายกัมมันตภาพรังสี การคำนวณเปอร์เซ็นต์ และอื่นๆ อีกมากมาย แม้แต่ระบบขั้นบันไดที่ไม่เติบโตสม่ำเสมอก็สามารถประมาณได้โดยใช้ตัวเลข e

เช่นเดียวกับที่ตัวเลขใดๆ ที่สามารถมองว่าเป็นเวอร์ชัน "มาตราส่วน" ของ 1 (หน่วยฐาน) วงกลมใดๆ ก็ถือเป็นเวอร์ชัน "มาตราส่วน" ของวงกลมหน่วย (ที่มีรัศมี 1) และปัจจัยการเติบโตใดๆ ก็ตามสามารถมองได้ว่าเป็นเวอร์ชัน "ปรับขนาด" ของ e (ปัจจัยการเติบโต "หน่วย")

ดังนั้นตัวเลข e จึงไม่ใช่ตัวเลขสุ่มที่สุ่มเลือก ตัวเลข e รวบรวมแนวคิดที่ว่าระบบที่มีการเติบโตอย่างต่อเนื่องทั้งหมดเป็นแบบปรับขนาดของหน่วยวัดเดียวกัน

แนวคิดเรื่องการเติบโตแบบก้าวกระโดด

เรามาเริ่มต้นด้วยการดูระบบพื้นฐานกันก่อนว่า คู่ผสมในช่วงระยะเวลาหนึ่ง ตัวอย่างเช่น:

• แบคทีเรียแบ่งตัวและเพิ่มจำนวนเป็นสองเท่าทุกๆ 24 ชั่วโมง
• เราจะได้เส้นบะหมี่เป็นสองเท่าถ้าเราแบ่งมันออกเป็นสองส่วน
• เงินของคุณจะเพิ่มเป็นสองเท่าทุกปีหากคุณทำกำไรได้ 100% (โชคดี!)

และดูเหมือนว่านี้:

การหารด้วยสองหรือสองเท่าเป็นความก้าวหน้าที่ง่ายมาก แน่นอนว่าเราสามารถเพิ่มเป็นสามหรือสี่เท่าได้ แต่การสองเท่าจะสะดวกกว่าสำหรับการอธิบาย

ในทางคณิตศาสตร์ หากเรามีการหาร x เราจะได้ผลลัพธ์ที่ดีกว่าตอนเริ่มต้น 2^x เท่า หากสร้างพาร์ติชั่นเพียง 1 พาร์ติชั่น เราจะได้เพิ่มอีก 2^1 เท่า หากมี 4 พาร์ติชั่น เราจะได้ 2^4=16 ส่วน สูตรทั่วไปมีลักษณะดังนี้:

ความสูง= 2 x

กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเพิ่มขึ้นสองเท่าคือการเพิ่มขึ้น 100% เราสามารถเขียนสูตรนี้ใหม่ได้ดังนี้:

ความสูง= (1+100%) x

นี่คือความเท่าเทียมกันแบบเดียวกัน เราเพิ่งแบ่ง "2" ออกเป็นส่วนต่างๆ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วคือตัวเลขนี้: ค่าเริ่มต้น (1) บวก 100% ฉลาดใช่มั้ย?

แน่นอน เราสามารถแทนที่ตัวเลขอื่นๆ (50%, 25%, 200%) แทน 100% และรับสูตรการเติบโตสำหรับสัมประสิทธิ์ใหม่นี้ สูตรทั่วไปสำหรับคาบ x ของอนุกรมเวลาจะเป็นดังนี้:

ความสูง = (1+การเจริญเติบโต)x

ซึ่งหมายความว่าเราใช้อัตราผลตอบแทน (1 + กำไร) "x" คูณกัน

มาดูกันดีกว่า

สูตรของเราถือว่าการเติบโตเกิดขึ้นในขั้นตอนที่ไม่ต่อเนื่อง แบคทีเรียของเรารอแล้วรอ แล้วก็แบม! และในนาทีสุดท้ายพวกมันก็มีจำนวนเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่า กำไรจากดอกเบี้ยเงินฝากของเราจะปรากฏขึ้นอย่างน่าอัศจรรย์หลังจากผ่านไป 1 ปี จากสูตรที่เขียนไว้ข้างต้น กำไรจะเพิ่มขึ้นตามขั้นตอน จุดสีเขียวปรากฏขึ้นอย่างกะทันหัน

แต่โลกก็ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป ถ้าเราขยายเข้าไป เราจะเห็นว่าเพื่อนที่เป็นแบคทีเรียของเราแบ่งตัวอยู่ตลอดเวลา:

เพื่อนสีเขียวไม่ได้เกิดขึ้นจากความว่างเปล่า เขาค่อยๆ เติบโตจากพ่อแม่สีน้ำเงิน หลังจากผ่านไป 1 ช่วง (24 ชั่วโมงในกรณีของเรา) เพื่อนสีเขียวก็สุกเต็มที่แล้ว เมื่อโตเต็มที่แล้วเขาก็กลายเป็นสมาชิกสีน้ำเงินเต็มฝูงและสามารถสร้างเซลล์สีเขียวใหม่ได้ด้วยตัวเอง

ข้อมูลนี้จะเปลี่ยนสมการของเราในทางใดทางหนึ่งหรือไม่?

ไม่. ในกรณีของแบคทีเรีย เซลล์สีเขียวที่มีรูปร่างครึ่งเซลล์ยังคงไม่สามารถทำอะไรได้จนกว่าพวกเขาจะเติบโตและแยกจากพ่อแม่สีน้ำเงินโดยสิ้นเชิง ดังนั้นสมการจึงถูกต้อง

ก่อนที่จะแนะนำแนวคิดของลอการิทึมธรรมชาติ ลองพิจารณาแนวคิดของจำนวนคงที่ $e$ ก่อน

หมายเลข $e$

คำจำกัดความ 1

หมายเลข $e$เป็นค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นตัวเลขอดิศัย และเท่ากับ $e\ประมาณ 2.718281828459045\ldots$

คำจำกัดความ 2

พ้นคือตัวเลขที่ไม่ใช่รากของพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม

หมายเหตุ 1

สูตรสุดท้ายอธิบาย ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง.

เรียกหมายเลข e เช่นกัน ตัวเลขออยเลอร์, และบางเวลา เบอร์เนเปียร์.

โน้ต 2

ในการจำตัวเลขตัวแรกของตัวเลข $e$ มักใช้นิพจน์ต่อไปนี้: "$2$, $7$, สองเท่าของลีโอ ตอลสตอย". แน่นอนว่าเพื่อให้สามารถใช้งานได้ต้องจำไว้ว่า Leo Tolstoy เกิดที่ $1,828$ เป็นตัวเลขเหล่านี้ที่ทำซ้ำสองครั้งในมูลค่าของตัวเลข $e$ หลังจำนวนเต็มส่วน $2$ และ ส่วนทศนิยม $7$

เราเริ่มพิจารณาแนวคิดของจำนวน $e$ เมื่อศึกษาลอการิทึมธรรมชาติอย่างแม่นยำ เนื่องจากมันอยู่ที่ฐานของลอการิทึม $\log_(e)⁡a$ ซึ่งโดยปกติจะเรียกว่า เป็นธรรมชาติและเขียนมันในรูปแบบ $\ln ⁡a$

ลอการิทึมธรรมชาติ

บ่อยครั้งในการคำนวณจะใช้ลอการิทึมซึ่งมีฐานเป็นตัวเลข $е$

คำจำกัดความที่ 4

เรียกว่าลอการิทึมที่มีฐาน $e$ เป็นธรรมชาติ.

เหล่านั้น. ลอการิทึมธรรมชาติสามารถแสดงเป็น $\log_(e)⁡a$ แต่ในทางคณิตศาสตร์ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้สัญกรณ์ $\ln ⁡a$

คุณสมบัติของลอการิทึมธรรมชาติ

เพราะ ลอการิทึมของฐานใด ๆ ของเอกภาพจะเท่ากับ $0$ ดังนั้นลอการิทึมธรรมชาติของเอกภาพจะเท่ากับ $0$:

ลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลข $е$ เท่ากับ 1:

ลอการิทึมธรรมชาติของผลคูณของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลรวมของลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขเหล่านี้:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$

ลอการิทึมธรรมชาติของผลหารของตัวเลขสองตัวจะเท่ากับผลต่างของลอการิทึมธรรมชาติของตัวเลขเหล่านี้:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$

ลอการิทึมธรรมชาติของกำลังของตัวเลขสามารถแสดงเป็นผลคูณของเลขชี้กำลังและลอการิทึมธรรมชาติของจำนวนซับลอการิทึม:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$

ตัวอย่างที่ 1

ลดรูปนิพจน์ $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$

สารละลาย.

ขอให้เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมผลคูณกับลอการิทึมตัวแรกในตัวเศษและส่วน และคุณสมบัติของลอการิทึมกำลังกับลอการิทึมที่สองของตัวเศษและส่วน:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

ลองเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน และใช้คุณสมบัติ $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

คำตอบ: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาค่าของนิพจน์ $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$

สารละลาย.

ลองใช้สูตรสำหรับผลรวมของลอการิทึม:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

คำตอบ: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

ตัวอย่างที่ 3

คำนวณค่าของนิพจน์ลอการิทึม $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$

สารละลาย.

ลองใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของกำลัง:

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 ดอลลาร์

คำตอบ: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$.

ตัวอย่างที่ 4

ลดความซับซ้อนของนิพจน์ลอการิทึม $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

เราใช้คุณสมบัติของลอการิทึมของผลหารกับลอการิทึมแรก:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

ลองเปิดวงเล็บและนำเสนอคำศัพท์ที่คล้ายกัน:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

คำตอบ: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

แต่ละฟังก์ชั่น อีทดสอบค่าที่ระบุและส่งกลับ TRUE หรือ FALSE ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ว่างเปล่าส่งกลับค่าบูลีน TRUE หากค่าที่กำลังทดสอบเป็นการอ้างอิงไปยังเซลล์ว่าง มิฉะนั้นจะส่งกลับค่าบูลีน FALSE

ฟังก์ชั่น อีใช้เพื่อรับข้อมูลเกี่ยวกับค่าก่อนทำการคำนวณหรือดำเนินการอื่นๆ กับค่านั้น ตัวอย่างเช่น หากต้องการดำเนินการอื่นเมื่อเกิดข้อผิดพลาด คุณสามารถใช้ฟังก์ชันนี้ได้ ข้อผิดพลาดร่วมกับฟังก์ชัน ถ้า:

= ถ้า( ข้อผิดพลาด(A1); "เกิดข้อผิดพลาด."; A1*2)

สูตรนี้จะตรวจสอบข้อผิดพลาดในเซลล์ A1 เมื่อเกิดข้อผิดพลาดฟังก์ชัน ถ้าส่งคืนข้อความ "เกิดข้อผิดพลาด" หากไม่มีข้อผิดพลาดฟังก์ชัน ถ้าคำนวณผลคูณ A1*2

ไวยากรณ์

ว่างเปล่า(ค่า)

EOS(มูลค่า)

ข้อผิดพลาด(ค่า)

ELOGIC (มูลค่า)

UNM(ค่า)

NETTEXT(ค่า)

ETEXT(ค่า)

อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน อีอธิบายไว้ด้านล่าง

ความหมายอาร์กิวเมนต์ที่จำเป็น กำลังตรวจสอบค่า ค่าของอาร์กิวเมนต์นี้อาจเป็นเซลล์ว่าง ค่าความผิดพลาด ค่าบูลีน ข้อความ ตัวเลข การอ้างอิงไปยังวัตถุใดๆ ที่อยู่ในรายการ หรือชื่อของวัตถุดังกล่าว

การทำงาน	ส่งกลับค่า TRUE ถ้า
	อาร์กิวเมนต์ค่าอ้างอิงถึงเซลล์ว่าง
	อาร์กิวเมนต์ค่าอ้างอิงถึงค่าความผิดพลาดใดๆ ที่ไม่ใช่ #N/A
	อาร์กิวเมนต์ค่าอ้างอิงถึงค่าความผิดพลาดใดๆ (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME?, หรือ #EMPTY!)
	อาร์กิวเมนต์ค่าอ้างอิงถึงค่าบูลีน
	อาร์กิวเมนต์ค่าอ้างอิงถึงค่าความผิดพลาด #N/A (ไม่มีค่า)
อีเนเท็กซ์	อาร์กิวเมนต์ค่าอ้างอิงถึงองค์ประกอบใดๆ ที่ไม่ใช่ข้อความ (โปรดทราบว่าฟังก์ชันจะส่งกลับค่า TRUE ถ้าอาร์กิวเมนต์อ้างถึงเซลล์ว่าง)
	อาร์กิวเมนต์ค่าอ้างอิงถึงตัวเลข
	อาร์กิวเมนต์ค่าอ้างอิงถึงข้อความ

หมายเหตุ

อาร์กิวเมนต์ในฟังก์ชัน อีจะไม่กลับใจใหม่ ตัวเลขใดๆ ที่อยู่ในเครื่องหมายคำพูดจะถือเป็นข้อความ ตัวอย่างเช่น ในฟังก์ชันอื่นๆ ส่วนใหญ่ที่ต้องใช้อาร์กิวเมนต์ตัวเลข ค่าข้อความ"19" จะแปลงเป็นเลข 19 อย่างไรก็ตามในสูตร ISNUMBER("19") ค่านี้จะไม่ถูกแปลงจากข้อความเป็นตัวเลขและฟังก์ชัน ISNUMBERส่งคืน FALSE

การใช้ฟังก์ชั่น อีสะดวกในการตรวจสอบผลลัพธ์การคำนวณในสูตร ผสมผสานคุณสมบัติเหล่านี้เข้ากับฟังก์ชั่น ถ้าคุณสามารถค้นหาข้อผิดพลาดในสูตรได้ (ดูตัวอย่างด้านล่าง)

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

คัดลอกข้อมูลตัวอย่างจากตารางต่อไปนี้และวางลงในเซลล์ A1 ของแผ่นงาน Excel ใหม่ หากต้องการแสดงผลลัพธ์ของสูตร ให้เลือกสูตรแล้วกด F2 จากนั้นกด Enter หากจำเป็น ให้เปลี่ยนความกว้างของคอลัมน์เพื่อดูข้อมูลทั้งหมด

คัดลอกข้อมูลตัวอย่างจากตารางด้านล่างและวางลงในเซลล์ A1 ของแผ่นงาน Excel ใหม่ หากต้องการแสดงผลลัพธ์ของสูตร ให้เลือกสูตรแล้วกด F2 จากนั้นกด Enter หากจำเป็น ให้เปลี่ยนความกว้างของคอลัมน์เพื่อดูข้อมูลทั้งหมด

ข้อมูล
สูตร	คำอธิบาย	ผลลัพธ์
ว่างเปล่า(A2)	ตรวจสอบว่าเซลล์ C2 ว่างเปล่าหรือไม่
ข้อผิดพลาด(A4)	ตรวจสอบว่าค่าในเซลล์ A4 (#REF!) เป็นค่าความผิดพลาดหรือไม่
	ตรวจสอบว่าค่าในเซลล์ A4 (#REF!) เป็นค่าความผิดพลาด #N/A หรือไม่
	ตรวจสอบว่าค่าในเซลล์ A6 (#N/A) เป็นค่าความผิดพลาด #N/A หรือไม่
	ตรวจสอบว่าค่าในเซลล์ A6 (#N/A) เป็นค่าความผิดพลาดหรือไม่
ISNUMBER(A5)	ทดสอบว่าค่าในเซลล์ A5 (330.92) เป็นตัวเลขหรือไม่
ETEXT(A3)	ตรวจสอบว่าค่าในเซลล์ A3 ("Region1") เป็นข้อความหรือไม่

ย (x) = อีเอ็กซ์อนุพันธ์ซึ่งเท่ากับฟังก์ชันนั้นเอง

เลขชี้กำลังจะแสดงเป็น หรือ

หมายเลขจ

พื้นฐานของระดับเลขชี้กำลังคือ หมายเลขจ. นี่คือจำนวนอตรรกยะ ก็ประมาณเท่าๆ กัน
จ ≈ 2,718281828459045...

หมายเลข e ถูกกำหนดผ่านขีดจำกัดของลำดับ นี่คือสิ่งที่เรียกว่า ขีด จำกัด ที่ยอดเยี่ยมที่สอง:
.

ตัวเลข e สามารถแสดงเป็นอนุกรมได้:
.

กราฟเอ็กซ์โปเนนเชียล

กราฟเอ็กซ์โปเนนเชียล y = e x

กราฟแสดงเลขชี้กำลัง จในระดับหนึ่ง เอ็กซ์.
ย (x) = อีเอ็กซ์
กราฟแสดงให้เห็นว่าเลขชี้กำลังเพิ่มขึ้นอย่างซ้ำซากจำเจ

สูตร

สูตรพื้นฐานเหมือนกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานเป็นองศา e

;
;
;

การแสดงออกของฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลที่มีฐานใดก็ได้ของดีกรี a ถึงเอ็กซ์โพเนนเชียล:
.

ค่านิยมส่วนตัว

ปล่อยให้คุณ (x) = อีเอ็กซ์. แล้ว
.

คุณสมบัติเลขชี้กำลัง

เลขชี้กำลังมีคุณสมบัติของฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่มีฐานกำลัง จ > 1 .

โดเมน ชุดของค่า

เลขยกกำลัง y (x) = อีเอ็กซ์กำหนดไว้สำหรับ x ทั้งหมด
ขอบเขตของคำจำกัดความ:
- ∞ < x + ∞ .
ความหมายมากมายของมัน:
0 < y < + ∞ .

สุดขั้ว, เพิ่มขึ้น, ลดลง

เอ็กซ์โปเนนเชียลเป็นฟังก์ชันที่เพิ่มขึ้นแบบซ้ำซาก ดังนั้นจึงไม่มีเอ็กซ์ตรีม คุณสมบัติหลักแสดงอยู่ในตาราง

ฟังก์ชันผกผัน

ค่าผกผันของเลขชี้กำลังคือลอการิทึมธรรมชาติ
;
.

อนุพันธ์ของเลขชี้กำลัง

อนุพันธ์ จในระดับหนึ่ง เอ็กซ์เท่ากับ จในระดับหนึ่ง เอ็กซ์ :
.
อนุพันธ์ของลำดับที่ n:
.
การหาสูตร > > >

บูรณาการ

จำนวนเชิงซ้อน

ดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนโดยใช้ สูตรของออยเลอร์:
,
หน่วยจินตภาพอยู่ที่ไหน:
.

นิพจน์ผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิก

; ;
.

นิพจน์ที่ใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

; ;
;
.

การขยายซีรีย์พาวเวอร์

อ้างอิง:
ใน. บรอนสไตน์ เค.เอ. Semendyaev คู่มือคณิตศาสตร์สำหรับวิศวกรและนักศึกษา "Lan", 2552