Izračun razdalj med točkami na podlagi njihovih koordinat na ravnini je elementaren, na zemeljskem površju pa je nekoliko bolj zapleten: razmislili bomo o merjenju razdalje in začetnega azimuta med točkami brez transformacij projekcij. Najprej razumejmo terminologijo.

Uvod

Velika dolžina krožnega loka– najkrajša razdalja med katerima koli točkama na površini krogle, merjena vzdolž črte, ki povezuje ti dve točki (takšna črta se imenuje ortodromija) in poteka vzdolž površine krogle ali druge rotacijske površine. Sferična geometrija se razlikuje od običajne evklidske geometrije in tudi enačbe razdalje imajo drugačno obliko. V evklidski geometriji je najkrajša razdalja med dvema točkama ravna črta. Na krogli ni ravnih črt. Te črte na krogli so del velikih krogov - krogov, katerih središča sovpadajo s središčem krogle. Začetni azimut- azimut, pri čemer bo ob začetku premikanja od točke A, po velikem krogu za najkrajšo razdaljo do točke B, končna točka točka B. Pri premikanju od točke A do točke B vzdolž črte velikega kroga je azimut od trenutni položaj do končne točke B je konstanten in se spreminja. Začetni azimut je drugačen od konstantnega, po katerem se azimut od trenutne točke do končne točke ne spremeni, vendar sledi pot ni najkrajša razdalja med dvema točkama.

Skozi poljubni dve točki na površini krogle, če si nista neposredno nasproti (torej nista antipoda), je mogoče narisati edinstven veliki krog. Dve točki delita velik krog na dva loka. Dolžina kratkega loka je najkrajša razdalja med dvema točkama. Med dvema antipodalnima točkama je mogoče narisati neskončno veliko velikih krogov, vendar bo razdalja med njima enaka na katerem koli krogu in enaka polovici obsega kroga ali π*R, kjer je R polmer krogle.

Na ravnini (v pravokotnem koordinatnem sistemu) veliki krogi in njihovi fragmenti, kot je navedeno zgoraj, predstavljajo loke v vseh projekcijah, razen v gnomonični, kjer so veliki krogi ravne črte. V praksi to pomeni, da letala in drug zračni promet zaradi varčevanja z gorivom vedno uporabljajo pot najmanjše razdalje med točkami, to pomeni, da let poteka po veliki krožni razdalji, na letalu je videti kot lok.

Obliko Zemlje lahko opišemo kot kroglo, zato so enačbe razdalje velikega kroga pomembne za izračun najkrajše razdalje med točkami na Zemljinem površju in se pogosto uporabljajo v navigaciji. Izračun razdalje s to metodo je učinkovitejši in v mnogih primerih natančnejši od izračuna razdalje za projicirane koordinate (v pravokotnih koordinatnih sistemih), saj, prvič, ne zahteva pretvorbe geografskih koordinat v pravokotni koordinatni sistem (izvedite transformacije projekcij) in , drugič, številne projekcije, če so nepravilno izbrane, lahko povzročijo znatna popačenja dolžine zaradi narave popačenj projekcij. Znano je, da ne gre za kroglo, ampak za elipsoid, ki natančneje opiše obliko Zemlje, vendar ta članek obravnava izračun razdalj posebej na krogli; za izračune se uporablja krogla s polmerom 6.372.795 metrov. , kar lahko privede do napake pri izračunu razdalj reda velikosti 0,5 %.

Formule

Obstajajo trije načini za izračun sferične razdalje velikega kroga. 1. Sferični kosinusni izrek V primeru majhnih razdalj in majhne globine izračuna (število decimalnih mest) lahko uporaba formule povzroči velike napake pri zaokroževanju. φ1, λ1; φ2, λ2 - zemljepisna širina in dolžina dveh točk v radianih Δλ - razlika v koordinatah v zemljepisni dolžini Δδ - kotna razlika Δδ = arccos (sin φ1 sin φ2 + cos φ1 cos φ2 cos Δλ) Za pretvorbo kotne razdalje v metriko morate pomnožite kotno razliko s polmerom Zemlje (6372795 metrov), bodo enote končne razdalje enake enotam, v katerih je izražen polmer (v tem primeru metri). 2. Haversinusna formula Uporablja se za izogibanje težavam na kratkih razdaljah. 3. Modifikacija za antipode Za prejšnjo formulo velja tudi problem antipodnih točk, za rešitev katerega se uporablja naslednja modifikacija.

Moja implementacija na PHP

// Določitev polmera Zemlje ("EARTH_RADIUS", 6372795); /* * Razdalja med dvema točkama * $φA, $λA - širina, dolžina 1. točke, * $φB, $λB - širina, dolžina 2. točke * Napisano na podlagi http://gis-lab.info/ qa/great-circles.html * Mihail Kobzarev< >* */ funkcija izračunaRazdaljo ($φA, $λA, $φB, $λB) ( // pretvori koordinate v radiane $lat1 = $φA * M_PI / 180; $lat2 = $φB * M_PI / 180; $long1 = $λA * M_PI / 180; $long2 = $λB * M_PI / 180; // kosinus in sinus razlike zemljepisne širine in dolžine $cl1 = cos($lat1); $cl2 = cos($lat2); $sl1 = sin($lat1 ) ; $sl2 = sin($lat2); $delta = $long2 - $long1; $cdelta = cos($delta); $sdelta = sin($delta); // izračuni dolžine velikega kroga $y = sqrt(pow ( $cl2 * $sdelta, 2) + pow($cl1 * $sl2 - $sl1 * $cl2 * $cdelta, 2)); $x = $sl1 * $sl2 + $cl1 * $cl2 * $cdelta; / / $ad = atan2($y, $x); $dist = $ad * EARTH_RADIUS; return $dist; ) Primer klica funkcije: $lat1 = 77.1539; $long1 = -139,398; $lat2 = -77,1804; $long2 = -139,55; echo izračunRazdalje($lat1, $long1, $lat2, $long2) . "metri"; // Vrni "17166029 metrov"

Članek povzet s strani

Predavanje: Formula za razdaljo med dvema točkama; enačba krogle

Razdalja med dvema točkama

Za iskanje razdalje med dvema točkama na premici v prejšnjem vprašanju smo uporabili formulo d = x 2 – x 1.

Toda kar zadeva letalo, je stvar drugačna. Ni dovolj samo najti razliko v koordinatah. Za iskanje razdalje med točkami z njihovimi koordinatami uporabite naslednjo formulo:

Na primer, če imate dve točki z določenimi koordinatami, lahko razdaljo med njima najdete na naslednji način:

A (4;-1), B (-4;6):

AB = ((4 + 4) 2 + (-1 – 6) 2) 1/2 ≈ 10,6.

To pomeni, da je za izračun razdalje med dvema točkama na ravnini potrebno najti koren vsote kvadratov koordinatnih razlik.

Če morate najti razdaljo med dvema točkama na ravnini, uporabite podobno formulo z dodatno koordinato:

Enačba krogle

Če želite definirati kroglo v prostoru, morate poznati koordinate njenega središča in njen polmer, da lahko uporabite naslednjo formulo:

Ta enačba ustreza krogli, katere središče je v izhodišču.

Če se središče krogle premakne za določeno število enot vzdolž osi, je treba uporabiti naslednjo formulo.

V §§5, 6 in 10 tega poglavja bomo obravnavali nekaj najpreprostejših problemov analitične geometrije, na katere se pogosto reducirajo številni kompleksnejši problemi. Eden takih problemov je problem razdalje med dvema točkama.

V pravokotnem koordinatnem sistemu, izbranem na ravnini, sta podani točki, razdaljo d med tema točkama izrazimo z njunima koordinatama.

Poiščemo projekciji točk A in B na koordinatne osi (slika 8). Bo imel:

Skozi eno od teh točk, na primer A, potegnemo premico vzporedno z abscisno osjo, dokler se ne preseka s premico v točki C

Iz pravokotnega trikotnika ACB dobimo:

(tu sta AC in CB dolžini stranic trikotnika ACB). Toda odkar

(poglavje 1, § 3), torej

Jasno je, da morate tukaj vzeti aritmetično vrednost korena.

Tako je razdalja med dvema danima točkama enaka kvadratnemu korenu vsote kvadratov razlik med istimi koordinatami teh točk.

Komentiraj. Če se te točke od A do B nahajajo na premici, vzporedni s koordinatno osjo, potem ne bomo dobili trikotnika ABC, vendar bo formula (3) veljavna tudi v tem primeru. Dejansko, če na primer točke od A do B ležijo na premici, vzporedni z osjo Ox, potem očitno (poglavje I, § 3). Enako lahko dobimo iz formule (3), saj v tem primeru

1. izrek. Za poljubni dve točki in ravnino je razdalja med njima izražena s formulo:

Na primer, če sta podani točki in , je razdalja med njima:

2. Območje trikotnika.

2. izrek. Za poljubne točke

ne leži na isti ravni črti, je površina trikotnika izražena s formulo:

Na primer, poiščimo območje trikotnika, ki ga tvorijo točke in.

Komentiraj.Če je površina trikotnika enaka nič, to pomeni, da točke ležijo na isti premici.

3. Delitev segmenta v danem razmerju.

Naj bo podan poljuben segment na ravnini in naj

– katero koli točko tega segmenta, razen končnih točk. Število, ki ga določa enakost, se imenuje odnos, na kateri točka deli segment.

Problem delitve segmenta v dani relaciji je: za dano relacijo in podane koordinate točk

in poiščite koordinate točke.

Izrek 3. Če točka deli odsek v razmerju

, potem so koordinate te točke določene s formulami: (1.3), kjer so koordinate točke, in so koordinate točke.

Posledica: Če je razpolovna točka odseka

, kjer je in, potem (1.4) (ker).

Na primer. Podane so točke in . Poiščite koordinate točke, ki je dvakrat bližje kot

Rešitev: Zahtevana točka deli odsek

v zvezi z od , Potem ,, dobil

Polarne koordinate

Za pravokotnim koordinatnim sistemom je najpomembnejši polarni koordinatni sistem. Sestavljen je iz določene točke, imenovane palica, in žarek, ki izhaja iz njega - polarna os. Poleg tega je nastavljena merilna enota za merjenje dolžin segmentov.

Naj bo podan polarni koordinatni sistem in naj bo poljubna točka na ravnini. Naj bo razdalja od točke

do točke; – kot, za katerega je treba zasukati polarno os, da se poravna z žarkom.

Polarne koordinate točke se imenujejo številke. V tem primeru se številka šteje za prvo koordinato in se kliče polarni radij, število je druga koordinata in se imenuje polarni kot.

Označeno z . Polarni radij ima lahko katero koli nenegativno vrednost:. Običajno se verjame, da se polarni kot spreminja v naslednjih mejah:. Vendar pa je v nekaterih primerih potrebno določiti kote, merjene od polarne osi v smeri urinega kazalca.

Razmerje med polarnimi koordinatami točke in njenimi pravokotnimi koordinatami.

Predpostavili bomo, da je izhodišče pravokotnega koordinatnega sistema na polu, pozitivna polos abscise pa sovpada s polarno osjo.

Naj – v pravokotnem koordinatnem sistemu in – v polarnem koordinatnem sistemu. Določeno – pravokotni trikotnik c. Potem (1,5). Te formule izražajo pravokotne koordinate v smislu polarnih.

Po drugi strani pa glede na Pitagorov izrek in

(1.6) – te formule izražajo polarne koordinate preko pravokotnih.

Upoštevajte, da formula določa dve vrednosti polarnega kota, saj. Izmed teh dveh vrednosti kota izberite tisto, pri kateri so enakosti izpolnjene.

Na primer, poiščimo polarne koordinate točke ..or, ker sem četrtina.

Primer 1: Poiščite točko, ki je simetrična točki

Glede na simetralo prvega koordinatnega kota.

rešitev:

Narišimo skozi točko A neposredno l 1, pravokotno na simetralo l prvi koordinatni kot. Pustiti . Na ravni črti l 1 odložite segment SA 1 , enako segmentu AC. Pravokotni trikotnik ASO in A 1 CO enaki drug drugemu (na dveh straneh). Iz tega sledi, da | OA| = |O.A. 1 |. Trikotniki ADO in OEA 1 sta tudi med seboj enaka (po hipotenuzi in ostrem kotu). To sklepamo | AD| = |OE| = 4,|OD| = |EA 1 | = 2, tj. točka ima koordinate x = 4, y = -2, tiste. A 1 (4;-2).

Upoštevajte, da obstaja splošna izjava: točka A 1, simetrično na točko glede na simetralo prvega in tretjega koordinatnega kota ima koordinate, tj .

Primer 2: Poiščite točko, v kateri je premica, ki poteka skozi točki in , bo presekal os Oh.

rešitev:

Koordinate želene točke Z Tukaj je ( x; 0). In od točk A,IN in Z ležijo na isti premici, mora biti pogoj izpolnjen (x 2 -x 1 )(l 3 -y 1 )-(x 3 -x 1 )(l 2 -y 1 ) = 0 (formula (1.2), površina trikotnika ABC enako nič!), kjer so koordinate točke A, – točk IN, – točk Z. Dobimo, tj. , . Zato bistvo Z ima koordinate ,, tj.

Primer 3: V polarnem koordinatnem sistemu so podane točke. Najti: A) razdalja med točkami in ; b) območje trikotnika OM 1 M 2 (PRIKAZ- palica).

rešitev:

a) Uporabimo formuli (1.1) in (1.5):

to je,.

b) z uporabo formule za površino trikotnika s stranicami A in b in kot med njima (), najdemo območje trikotnika OM 1 M 2 . .

Vsaka točka A na ravnini je označena s svojimi koordinatami (x, y). Sovpadajo s koordinatami vektorja 0A, ki izhaja iz točke 0 - izhodišča koordinat.

Naj bosta A in B poljubni točki na ravnini s koordinatama (x 1 y 1) oziroma (x 2, y 2).

Potem ima vektor AB očitno koordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Znano je, da je kvadrat dolžine vektorja enak vsoti kvadratov njegovih koordinat. Zato je razdalja d med točkama A in B ali, kar je enako, dolžina vektorja AB določena iz pogoja

d 2 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

$$ d = \sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) $$

Nastala formula vam omogoča, da najdete razdaljo med katerima koli točkama na ravnini, če so znane le koordinate teh točk.

Vsakič, ko govorimo o koordinatah določene točke na ravnini, mislimo na točno določen koordinatni sistem x0y. Na splošno lahko koordinatni sistem na ravnini izbiramo na različne načine. Tako lahko namesto koordinatnega sistema x0y upoštevamo koordinatni sistem xִy, ki ga dobimo kot rezultat vrtenja starih koordinatnih osi okoli začetne točke 0 v nasprotni smeri urnega kazalca puščice na vogalu α .

Če je imela določena točka na ravnini v koordinatnem sistemu x0y koordinate (x, y), bo imela v novem koordinatnem sistemu xִy drugačne koordinate (x, y).

Kot primer upoštevajte točko M, ki se nahaja na osi 0x in je od točke 0 ločena na razdalji 1.

Očitno ima ta točka v koordinatnem sistemu x0y koordinate (cos α ,greh α ), v koordinatnem sistemu xִy pa so koordinate (1,0).

Koordinate poljubnih dveh točk na ravnini A in B sta odvisni od tega, kako je določen koordinatni sistem v tej ravnini. In tukaj razdalja med tema točkama ni odvisna od načina podajanja koordinatnega sistema .

Drugi materiali