Aj keď sa táto súvislosť na prvý pohľad zdá byť úplne nezrejmá (zdalo by sa, že vedecká matematika je jedna vec a ekonómia a financie sú niečo úplne iné), ale akonáhle si preštudujete históriu „objavu“ tohto čísla, všetko bude zrejmé. V skutočnosti, bez ohľadu na to, ako sú vedy rozdelené do rôznych zdanlivo nesúvisiacich odvetví, všeobecná paradigma bude stále rovnaká (najmä pre konzumnú spoločnosť - „spotrebnú“ matematiku).

Začnime s definíciou. e je základ prirodzeného logaritmu, matematická konštanta, iracionálne a transcendentálne číslo. Niekedy sa číslo e nazýva Eulerovo číslo alebo Napierovo číslo. Označuje sa malým latinským písmenom „e“.

Keďže exponenciálna funkcia e^x je integrovaná a diferencovaná „do seba“, logaritmy založené na základe e sú akceptované ako prirodzené (hoci samotný názov „prirodzenosť“ by mal byť veľmi pochybný, pretože celá matematika je v podstate založená na umelo vymyslených tie, odvedené od prírody fiktívne princípy, a už vôbec nie na prirodzených).

Toto číslo sa niekedy nazýva Nepier na počesť škótskeho vedca Napiera, autora diela „Popis úžasnej tabuľky logaritmov“ (1614). Tento názov však nie je úplne správny, keďže Napier priamo nepoužil samotné číslo.

Konštanta sa prvýkrát objavuje mlčky v prílohe k anglickému prekladu vyššie uvedeného Napierovho diela, publikovaného v roku 1618. V zákulisí, pretože obsahuje iba tabuľku prirodzených logaritmov určených z KINEMATICKÝCH úvah, ale samotná konštanta nie je prítomná.

Samotnú konštantu ako prvý vypočítal švajčiarsky matematik Bernoulli (podľa oficiálnej verzie v roku 1690) pri riešení problému limitnej hodnoty ÚROKOVÉHO PRÍJMU. Zistil, že ak bola pôvodná suma 1 dolár (mena je úplne nepodstatná) a zložená 100 % ročne raz na konci roka, konečná suma by bola 2 doláre. Ak sa však ten istý úrok zloží dvakrát ročne, potom sa 1 dolár vynásobí dvakrát 1,5, výsledkom čoho je 1,00 dolára x 1,5² = 2,25 dolára. Výsledkom zloženého úroku štvrťročne je 1,00 USD x 1,254 = 2,44140625 USD atď. Bernoulli ukázal, že ak sa frekvencia výpočtu úrokov NEKONEČNE ZVYŠUJE, tak úrokový výnos v prípade zloženého úročenia má hranicu - a táto hranica sa rovná 2,71828...

1,00 USD×(1+1/12)12 = 2,613035 USD…

1,00 USD×(1+1/365)365 = 2,714568… - v limite číslo e

Číslo e teda vlastne historicky znamená maximálny možný ROČNÝ ZISK na úrovni 100 % ročne a maximálnu frekvenciu kapitalizácie úrokov. A čo s tým majú spoločné zákony Vesmíru? Číslo e je jedným z dôležitých stavebných kameňov pri zakladaní peňažnej ekonomiky úročenia pôžičiek v konzumnej spoločnosti, v rámci ktorej sa od samého začiatku, dokonca aj na mentálnej filozofickej úrovni, niekoľko storočí upravovala a vyostrovala všetka dnes používaná matematika. pred.

Prvé známe použitie tejto konštanty, kde bola označená písmenom b, sa objavuje v Leibnizových listoch Huygensovi, 1690-1691.

Euler začal používať písmeno e v roku 1727, prvýkrát sa objavilo v liste Eulera nemeckému matematikovi Goldbachovi z 25. novembra 1731 a prvou publikáciou s týmto listom bola jeho práca „Mechanika alebo veda o pohybe, vysvetlená analyticky. “, 1736. Podľa toho sa e zvyčajne nazýva Eulerovo číslo. Hoci niektorí vedci následne používali písmeno c, písmeno e sa používalo častejšie a dnes je štandardným označením.

Nie je presne známe, prečo bolo zvolené písmeno e. Možno je to spôsobené tým, že slovo exponenciálny („indikatívny“, „exponenciálny“) ním začína. Ďalším návrhom je, že písmená a, b, c a d sa už pomerne bežne používali na iné účely a e bolo prvé „voľné“ písmeno. Je tiež pozoruhodné, že písmeno e je prvé písmeno v priezvisku Euler.

Ale v každom prípade povedať, že číslo e nejako súvisí s univerzálnymi zákonmi vesmíru a prírody, je jednoducho absurdné. Toto číslo samotným pojmom bolo spočiatku viazané na úverový a finančný menový systém a najmä prostredníctvom tohto čísla (ale nielen) ideológia úverového a finančného systému nepriamo ovplyvňovala formovanie a rozvoj všetkej ďalšej matematiky a prostredníctvom nej všetky ostatné vedy (napokon, bez výnimky, veda niečo vypočítava pomocou pravidiel a prístupov matematiky). Číslo e hrá dôležitú úlohu v diferenciálnom a integrálnom počte, ktorý je prostredníctvom neho vlastne spojený aj s ideológiou a filozofiou maximalizácie úrokových výnosov (možno povedať, že podvedome). Ako súvisí prirodzený logaritmus? Stanovenie e ako konštanty (spolu so všetkým ostatným) viedlo k vytvoreniu implicitných súvislostí v myslení, podľa ktorých celá existujúca matematika jednoducho nemôže existovať izolovane od peňažného systému! A v tomto svetle nie je vôbec prekvapujúce, že starí Slovania (a nielen oni) si dokonale poradili bez konštánt, iracionálnych a transcendentálnych čísel a dokonca aj bez čísel a čísel vôbec (písmená v dávnych dobách fungovali ako čísla), iná logika, iné myslenie v systéme pri nedostatku peňazí (a teda všetkého s tým spojeného) robí všetko z vyššie uvedeného jednoducho zbytočné.

Opísať e ako „konštantu približne rovnajúcu sa 2,71828...“ je ako nazvať pi „iracionálne číslo približne rovné 3,1415...“. To je nepochybne pravda, ale pointa nám stále uniká.

Pi je pomer obvodu k priemeru, rovnaký pre všetky kruhy. Je to základná proporcia spoločná pre všetky kruhy, a preto sa podieľa na výpočte obvodu, plochy, objemu a plochy povrchu pre kruhy, gule, valce atď. Pi ukazuje, že všetky kružnice spolu súvisia, nehovoriac o goniometrických funkciách odvodených od kružníc (sínus, kosínus, tangens).

Číslo e je základný rastový pomer pre všetky nepretržite rastúce procesy.Číslo e vám umožňuje zobrať jednoduché tempo rastu (kde je rozdiel viditeľný až na konci roka) a vypočítať zložky tohto ukazovateľa, normálny rast, v ktorom s každou nanosekundou (alebo ešte rýchlejšie) všetko trochu rastie. viac.

Číslo e sa podieľa na systémoch exponenciálneho aj konštantného rastu: populácia, rádioaktívny rozpad, percentuálny výpočet a mnoho, mnoho ďalších. Dokonca aj stupňovité systémy, ktoré nerastú rovnomerne, možno aproximovať pomocou čísla e.

Rovnako ako akékoľvek číslo možno považovať za „zmenenú“ verziu 1 (základná jednotka), každý kruh možno považovať za „zmenenú“ verziu jednotkového kruhu (s polomerom 1). A každý rastový faktor možno považovať za "zmenenú" verziu e ("jednotkový" rastový faktor).

Takže číslo e nie je náhodné číslo. Číslo e stelesňuje myšlienku, že všetky neustále rastúce systémy sú škálované verzie tej istej metriky.

Koncept exponenciálneho rastu

Začnime tým, že sa pozrieme na základný systém, ktorý štvorhra na určitú dobu. Napríklad:

• Baktérie sa rozdelia a „zdvojnásobia“ každých 24 hodín
• Dvakrát toľko rezancov dostaneme, ak ich prelomíme na polovicu
• Vaše peniaze sa každý rok zdvojnásobia, ak dosiahnete 100% zisk (šťastie!)

A vyzerá to asi takto:

Delenie dvoma alebo zdvojnásobenie je veľmi jednoduchý postup. Samozrejme, môžeme ztrojnásobiť alebo zoštvornásobiť, ale na vysvetlenie je vhodnejšie zdvojnásobenie.

Matematicky, ak máme x dielikov, skončíme s 2^x krát viac dobra, ako sme začali. Ak sa vytvorí iba 1 oddiel, dostaneme 2^1-krát viac. Ak sú 4 oddiely, dostaneme 2^4=16 dielov. Všeobecný vzorec vyzerá takto:

výška= 2 x

Inými slovami, zdvojnásobenie je 100 % nárast. Tento vzorec môžeme prepísať takto:

výška= (1+100 %) x

Toto je rovnaká rovnosť, len sme rozdelili „2“ na jednotlivé časti, čo je v podstate toto číslo: počiatočná hodnota (1) plus 100%. Inteligentné, však?

Samozrejme, môžeme nahradiť akékoľvek iné číslo (50 %, 25 %, 200 %) namiesto 100 % a získať vzorec rastu pre tento nový koeficient. Všeobecný vzorec pre x období časového radu bude:

výška = (1+rast) X

To jednoducho znamená, že mieru návratnosti (1 + zisk) použijeme „x“ krát za sebou.

Poďme sa na to pozrieť bližšie

Náš vzorec predpokladá, že rast prebieha v diskrétnych krokoch. Naše baktérie čakajú a čakajú a potom bum! a na poslednú chvíľu sa ich počet zdvojnásobí. Náš zisk z úroku z vkladu sa magicky objaví presne po 1 roku. Na základe vyššie napísaného vzorca zisky rastú postupne. Zelené bodky sa objavia náhle.

Ale svet nie je vždy taký. Ak priblížime, vidíme, že naši bakteriálni priatelia sa neustále delia:

Zelený chlapík nevzniká z ničoho: pomaly vyrastá z modrého rodiča. Po 1 časovom období (v našom prípade 24 hodín) je zelený kamarát už plne zrelý. Po dozretí sa stáva plnohodnotným modrým členom stáda a sám môže vytvárať nové zelené bunky.

Zmení táto informácia nejakým spôsobom našu rovnicu?

Nie. V prípade baktérií polovytvorené zelené bunky ešte nič nezmôžu, kým nevyrastú a úplne sa neoddelia od svojich modrých rodičov. Takže rovnica je správna.

Pred predstavením konceptu prirodzeného logaritmu uvažujme o koncepte konštantného čísla $e$.

Číslo $e$

Definícia 1

Číslo $e$ je matematická konštanta, ktorá je transcendentálnym číslom a rovná sa $e\cca 2,718281828459045\ldots$.

Definícia 2

Transcendentné je číslo, ktoré nie je koreňom polynómu s celočíselnými koeficientmi.

Poznámka 1

Posledný vzorec opisuje druhá úžasná hranica.

Nazýva sa aj číslo e Eulerove čísla, a niekedy Napierove čísla.

Poznámka 2

Na zapamätanie prvých číslic čísla $e$ sa často používa nasledujúci výraz: "2 $, 7 $, dvakrát Lev Tolstoj". Samozrejme, aby ste ho mohli použiť, je potrebné pamätať na to, že Lev Tolstoj sa narodil v $1828$.Práve tieto čísla sa dvakrát opakujú v hodnote čísla $e$ po celočíselnej časti $2$ a desatinná časť 7 $.

Koncept čísla $e$ sme začali uvažovať pri štúdiu prirodzeného logaritmu práve preto, že je na báze logaritmu $\log_(e)⁡a$, ktorý sa zvyčajne nazýva prirodzené a napíšte ho v tvare $\ln ⁡a$.

Prirodzený logaritmus

Pri výpočtoch sa často používajú logaritmy, ktorých základom je číslo $е$.

Definícia 4

Volá sa logaritmus so základom $e$ prirodzené.

Tie. prirodzený logaritmus možno označiť ako $\log_(e)⁡a$, ale v matematike sa bežne používa zápis $\ln ⁡a$.

Vlastnosti prirodzeného logaritmu

Pretože logaritmus k ľubovoľnému základu jednoty sa rovná $ 0 $, potom sa prirodzený logaritmus jednoty rovná $ 0 $:

Prirodzený logaritmus čísla $е$ sa rovná jednej:

Prirodzený logaritmus súčinu dvoch čísel sa rovná súčtu prirodzených logaritmov týchto čísel:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Prirodzený logaritmus podielu dvoch čísel sa rovná rozdielu prirodzených logaritmov týchto čísel:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Prirodzený logaritmus mocniny čísla možno znázorniť ako súčin exponentu a prirodzeného logaritmu sublogaritmického čísla:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Príklad 1

Zjednodušte výraz $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

Riešenie.

Aplikujme vlastnosť súčinového logaritmu na prvý logaritmus v čitateľovi a menovateli a vlastnosť mocninného logaritmu na druhý logaritmus čitateľa a menovateľa:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

Otvorme zátvorky a predstavme podobné výrazy a tiež použijeme vlastnosť $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

Odpoveď: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

Príklad 2

Nájdite hodnotu výrazu $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.

Riešenie.

Použime vzorec pre súčet logaritmov:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Odpoveď: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

Príklad 3

Vypočítajte hodnotu logaritmického výrazu $2 \lg ⁡0,1+3 \ln⁡ e^5$.

Riešenie.

Použime vlastnosť logaritmu mocniny:

2 $ \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 dolárov.

Odpoveď: $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Príklad 4

Zjednodušte logaritmický výraz $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

Na prvý logaritmus aplikujeme vlastnosť logaritmu kvocientu:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

Otvorme zátvorky a predstavme podobné výrazy:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Odpoveď: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

Každá z funkcií E otestuje zadanú hodnotu a vráti hodnotu TRUE alebo FALSE v závislosti od výsledku. Napríklad funkcia PRÁZDNY vráti boolovskú hodnotu TRUE, ak je testovaná hodnota odkazom na prázdnu bunku; v opačnom prípade sa vráti boolovská hodnota FALSE.

Funkcie E sa používajú na získanie informácií o hodnote pred vykonaním výpočtu alebo inej akcie s ňou. Funkciu môžete použiť napríklad na vykonanie inej akcie, keď sa vyskytne chyba CHYBA v kombinácii s funkciou AK:

= AK( CHYBA(A1); "Došlo k chybe."; A1*2)

Tento vzorec kontroluje chybu v bunke A1. Keď sa vyskytne chyba, funkcia AK vráti správu "Vyskytla sa chyba." Ak nie sú žiadne chyby, funkcia AK vypočíta súčin A1*2.

Syntax

PRÁZDNY(hodnota)

EOS(hodnota)

ERROR(hodnota)

ELOGIC(hodnota)

UNM(hodnota)

NETTEXT(hodnota)

ETEXT(hodnota)

argument funkcie E sú popísané nižšie.

význam Požadovaný argument. Hodnota, ktorá sa kontroluje. Hodnota tohto argumentu môže byť prázdna bunka, chybová hodnota, boolovská hodnota, text, číslo, odkaz na ktorýkoľvek z uvedených objektov alebo názov takéhoto objektu.

Funkcia	Vráti hodnotu TRUE, ak
	Argument hodnota odkazuje na prázdnu bunku
	Argument hodnota odkazuje na akúkoľvek chybovú hodnotu inú ako #N/A
	Argument hodnota odkazuje na akúkoľvek chybovú hodnotu (#N/A, #HODNOTA!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? alebo #PRÁZDNY!)
	Argument value odkazuje na boolovskú hodnotu
	Argument hodnota odkazuje na chybovú hodnotu #N/A (hodnota nie je k dispozícii)
ENETEXT	Argument hodnota odkazuje na akýkoľvek prvok, ktorý nie je textom. (Všimnite si, že funkcia vráti TRUE, ak argument odkazuje na prázdnu bunku.)
	Argument hodnota odkazuje na číslo
	Argument hodnota odkazuje na text

Poznámky

Argumenty vo funkciách E nie sú konvertované. Akékoľvek čísla v úvodzovkách sa považujú za text. Napríklad vo väčšine ostatných funkcií, ktoré vyžadujú číselný argument, textová hodnota„19“ sa prevedie na číslo 19. Vo vzorci však ISNUMBER("19") táto hodnota sa neprevedie z textu na číslo a funkcia ISNUMBER vráti FALSE.

Používanie funkcií E Je vhodné kontrolovať výsledky výpočtov vo vzorcoch. Kombinácia týchto vlastností s funkciou AK, môžete nájsť chyby vo vzorcoch (pozri príklady nižšie).

Príklady

Príklad 1

Skopírujte vzorové údaje z nasledujúcej tabuľky a prilepte ich do bunky A1 nového excelového hárka. Ak chcete zobraziť výsledky vzorcov, vyberte ich a stlačte F2 a potom stlačte Enter. V prípade potreby zmeňte šírku stĺpcov, aby ste videli všetky údaje.

Skopírujte vzorové údaje z tabuľky nižšie a prilepte ich do bunky A1 nového excelového hárka. Ak chcete zobraziť výsledky vzorcov, vyberte ich a stlačte F2 a potom stlačte Enter. V prípade potreby zmeňte šírku stĺpcov, aby ste videli všetky údaje.

Údaje
Vzorec	Popis	Výsledok
PRÁZDNY(A2)	Skontroluje, či je bunka C2 prázdna
CHYBA(A4)	Skontroluje, či je hodnota v bunke A4 (#REF!) chybná
	Skontroluje, či hodnota v bunke A4 (#REF!) je chybová hodnota #N/A
	Skontroluje, či hodnota v bunke A6 (#N/A) je chybovou hodnotou #N/A
	Skontroluje, či je hodnota v bunke A6 (#N/A) chybnou hodnotou
ISNUMBER(A5)	Testuje, či je hodnota v bunke A5 (330,92) číslo
ETEXT(A3)	Skontroluje, či hodnota v bunke A3 ("Region1") je text

r (x) = e x, ktorej derivácia sa rovná samotnej funkcii.

Exponent je označený ako , alebo .

Číslo e

Základom stupňa exponentu je číslo e. Toto je iracionálne číslo. Je približne rovnaký
e ≈ 2,718281828459045...

Číslo e je určené cez limitu postupnosti. Ide o tzv druhá úžasná hranica:
.

Číslo e môže byť tiež reprezentované ako séria:
.

Exponenciálny graf

Exponenciálny graf, y = e x .

Graf ukazuje exponenciálu e do istej miery X.
r (x) = e x
Graf ukazuje, že exponent rastie monotónne.

Vzorce

Základné vzorce sú rovnaké ako pre exponenciálnu funkciu so základňou stupňa e.

;
;
;

Vyjadrenie exponenciálnej funkcie s ľubovoľným základom stupňa a prostredníctvom exponenciály:
.

Súkromné ​​hodnoty

Nechajte y (x) = e x. Potom
.

Vlastnosti exponentov

Exponent má vlastnosti exponenciálnej funkcie s mocninou e > 1 .

Doména, množina hodnôt

Exponent y (x) = e x definované pre všetky x.
Jeho doména definície:
- ∞ < x + ∞ .
Jeho mnoho významov:
0 < y < + ∞ .

Extrémy, pribúdajúce, klesajúce

Exponenciála je monotónne rastúca funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Jeho hlavné vlastnosti sú uvedené v tabuľke.

Inverzná funkcia

Prevrátená hodnota exponentu je prirodzený logaritmus.
;
.

Derivácia exponentu

Derivát e do istej miery X rovná e do istej miery X :
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodzovanie vzorcov >> >

Integrálne

Komplexné čísla

Operácie s komplexnými číslami sa vykonávajú pomocou Eulerove vzorce:
,
kde je imaginárna jednotka:
.

Vyjadrenia prostredníctvom hyperbolických funkcií

; ;
.

Výrazy využívajúce goniometrické funkcie

; ;
;
.

Rozšírenie výkonového radu

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.