Konvekse sett og deres egenskaper. For å studere egenskapene til et konveks sett, er det nødvendig å gi en streng definisjon av et konveks sett. Tidligere ble et konveks sett definert som et sett som sammen med to av punktene inneholder et segment som forbinder dem.

En generalisering av konseptet med et segment for flere punkter er deres konvekse lineære kombinasjon.

Punkt X kalles konveks lineær kombinasjon poeng, dersom vilkårene er oppfylt

Settet med poeng er konveks, hvis den, sammen med to av punktene, inneholder deres vilkårlige konvekse, lineære kombinasjon.

Vi kan bevise følgende teorem om representasjonen av et konveks polyeder.

Teorem 1.1. Et konveks n-dimensjonalt polyeder er en konveks lineær kombinasjon av hjørnepunktene.

Fra setning 1.1 følger det at et konveks polyeder er generert av dets hjørnepunkter eller toppunkter: et segment med to punkter, en trekant med tre, et tetraeder med fire punkter, etc. Samtidig er en konveks polyedrisk region, som er et ubegrenset sett, ikke unikt definert av hjørnepunktene: noen av punktene kan ikke representeres som en konveks lineær kombinasjon av hjørnepunkter.

Egenskaper for et lineært programmeringsproblem. Tidligere ble ulike former for et lineært programmeringsproblem vurdert og det ble vist at ethvert lineært programmeringsproblem kan representeres som et generelt eller kanonisk problem.

For å underbygge egenskapene til det lineære programmeringsproblemet og metoder for å løse det, er det tilrådelig å vurdere ytterligere to typer notasjon av det kanoniske problemet.

Matriseregistreringsskjema:

Her MED– radmatrise, EN– systemmatrise, X– matrise-kolonne av variabler, I– matrise-kolonne med gratis medlemmer:

Vektorform for opptak:

hvor vektorene tilsvarer kolonnene med koeffisienter for de ukjente.

Det ble formulert ovenfor, men ikke bevist i generelt syn neste teorem.

Teorem 1.2. Settet med alle mulige løsninger på systemet med begrensninger for et lineært programmeringsproblem er konveks.

Bevis: La - to mulige løsninger av PLP, gitt i matriseform. Deretter . La oss vurdere en konveks lineær kombinasjon av løsninger, dvs.

og vise at det også er en tillatt systemløsning (1.3). Faktisk

dvs. løsning X tilfredsstiller system (1.3). Men siden da X>0, dvs. løsningen tilfredsstiller betingelsen om ikke-negativitet.

Så det har blitt bevist at settet med alle mulige løsninger på et lineært programmeringsproblem er konveks, eller mer presist, det representerer et konveks polyeder eller et konveks polyederområde, som vi videre vil kalle med ett begrep - polyeder av løsninger.

Svaret på spørsmålet på hvilket punkt av polyederet av løsninger er mulig optimal løsning lineær programmeringsoppgave er gitt i følgende grunnleggende teorem.

Teorem 1.3. Hvis et lineært programmeringsproblem har en optimal løsning, tar den lineære funksjonen sin maksimale verdi ved et av hjørnepunktene til løsningspolyederet. Hvis en lineær funksjon tar en maksimal verdi ved mer enn ett hjørnepunkt, tar den den på et hvilket som helst punkt som er en konveks lineær kombinasjon av disse punktene.

Bevis: Vi vil anta at løsningspolyederet er avgrenset. La oss betegne dens hjørnepunkter med , og den optimale løsningen er igjennom X*. Deretter F(X*)³ F(X) for alle punkter X polyeder av løsninger. Hvis X* er et hjørnepunkt, så er første del av teoremet bevist.

La oss late som det X* er ikke et hjørnepunkt, basert på setning 1.1 X* kan representeres som en konveks lineær kombinasjon av hjørnepunktene til løsningspolyederet, dvs.

Fordi F(X) er en lineær funksjon, får vi

I denne dekomponeringen velger vi maksimum blant verdiene. La det svare til hjørnepunktet Xk(1 £ k£ R); la oss betegne det med M, de. . La oss erstatte hver verdi i uttrykk (1.5) med denne maksimalverdien M. Deretter

Ved antagelse X* er derfor den optimale løsningen på den ene siden, men på den annen side er det bevist at
F(X*)£ M, derfor, hvor Xk– hjørnepunkt. Så det er et hjørnepunkt Xk, der den lineære funksjonen tar sin maksimale verdi.

For å bevise den andre delen av teoremet, la oss anta at objektivfunksjonen har en maksimal verdi ved mer enn ett hjørnepunkt, for eksempel ved punkter , Hvor , Deretter

La X– en konveks lineær kombinasjon av disse hjørnepunktene, dvs.

I dette tilfellet, gitt at funksjonen F(X)– lineær, får vi

de. lineær funksjon F tar maksimalverdien på et vilkårlig punkt X, som er en konveks lineær kombinasjon av hjørnepunkter.

Kommentar. Kravet om at løsningspolyederet er avgrenset i teoremet er vesentlig, siden i tilfelle av et ubegrenset polyederområde, som nevnt i teorem 1.1, kan ikke hvert punkt i et slikt område representeres av en konveks lineær kombinasjon av hjørnepunktene.

Det beviste teoremet er grunnleggende, siden det indikerer en grunnleggende måte å løse lineære programmeringsproblemer. Faktisk, ifølge denne teoremet, i stedet for å studere et uendelig sett med mulige løsninger for å finne den ønskede optimale løsningen blant dem, er det nødvendig å studere bare et begrenset antall hjørnepunkter av løsningspolyederet.

Det neste teoremet er viet den analytiske metoden for å finne hjørnepunkter.

Teorem 1.4. Hver tillatt grunnløsning av et lineært programmeringsproblem tilsvarer et hjørnepunkt av løsningspolyederet, og omvendt, til hvert hjørnepunkt i løsningspolyederet tilsvarer det en tillatt basisløsning.

Bevis: La være en akseptabel grunnleggende løsning av systemet med restriksjoner av LLP (1.4), der den første T komponent er hovedvariablene og resten p - t komponent – ​​ikke-hovedvariabler lik null i grunnløsningen (hvis dette ikke er tilfelle, kan de tilsvarende variablene omnummereres). La oss vise det X

La oss anta det motsatte, dvs. Hva X er ikke et hjørnepunkt. Så pek X kan representeres av det indre punktet til et segment som forbinder to forskjellige som ikke sammenfaller med X, poeng

med andre ord, en konveks lineær kombinasjon av punkter polyeder av løsninger, dvs.

hvor (vi antar at , fordi ellers er poenget X sammenfaller med poenget X 1 eller X 2).

La oss skrive vektorlikheten (1.6) i koordinatform:

Fordi alle variabler og koeffisienter er ikke-negative, da fra sist p-t likheter følger det at , dvs. i vedtak X 1 , X 2 og X ligningssystem (1.4) verdier p - t komponenter er lik null i dette tilfellet. Disse komponentene kan betraktes som verdiene til ikke-primære variabler. Men verdiene til ikke-grunnleggende variabler bestemmer unikt verdiene til de viktigste, derfor,

Altså alt P komponent i løsninger X 1 , X 2 og X sammenfaller, og derfor punktene X 1 og X 2 fusjonere, noe som motsier antagelsen. Derfor, X– hjørnepunkt av løsningspolyederet.

La oss bevise det motsatte utsagnet. La være hjørnepunktet for løsningspolyederet og dets første T koordinatene er positive. La oss vise det X– tillatt grunnløsning. er ikke et hjørnepunkt, som motsier betingelsen. Derfor er vår antagelse feil, dvs. vektorene er lineært uavhengige og X er en akseptabel grunnleggende løsning på problem (1.4).

En viktig konsekvens følger direkte av teoremene 1.3 og 1.4: hvis et lineært programmeringsproblem har en optimal løsning, så er det sammenfallende iht i det minste, med en av de tillatte grunnleggende løsningene.

Så, optimal lineær funksjon Lineære programmeringsproblemer bør søkes blant et begrenset antall av dets gjennomførbare grunnleggende løsninger.

La oss vurdere det viktigste lineære programmeringsproblemet (LPLP): finn ikke-negative verdier av variablene x1, x2, ..., xn, som tilfredsstiller m betingelser - likheter

og maksimere den lineære funksjonen til disse variablene

For enkelhets skyld antar vi at alle betingelser (1) er lineært uavhengige (r=m), og vi vil føre resonnementet vårt under denne forutsetningen.

La oss kalle en tillatt løsning av OLP ethvert sett med ikke-negative verdier x1, x2, ..., xn som tilfredsstiller betingelsene (1). La oss kalle optimal den av de tillatte løsningene som maksimerer funksjonen (2). Vi må finne den optimale løsningen.

Har dette problemet alltid en løsning? Nei ikke alltid.

ZLP er uløselig (har ikke en optimal løsning):

På grunn av inkompatibiliteten til restriksjonssystemet. De. systemet har ikke en eneste løsning, som vist i figur 1.

Figur 1 - Inkonsekvens av restriksjonssystemet

På grunn av den ubegrensede objektivfunksjonen på settet med løsninger. Med andre ord, når du løser LLP ved maks, har verdien av objektivfunksjonen en tendens til uendelig, og i tilfelle av LLP ved min - til minus uendelig, som vist i figur 2.

Figur 2 - Uavgrensning av objektivfunksjonen på settet med løsninger

ZLP er løsbar:

Løsningssettet består av ett enkelt punkt. Det er også optimalt, som vist i figur 3.

Figur 3 - Settet med løsninger består av ett punkt

Den eneste optimale løsningen på ZLP. Den rette linjen som tilsvarer objektivfunksjonen ved grenseposisjonen skjærer med løsningssettet på ett punkt, som vist i figur 4.

Figur 4 - Den eneste optimale løsningen

Den optimale løsningen til ZLP er ikke unik. Vektor N er vinkelrett på en av sidene av løsningssettet. I dette tilfellet er et hvilket som helst punkt på segmentet AB optimalt, som vist i figur 5.

Figur 5 - Den optimale løsningen er ikke unik

Løse lineære programmeringsproblemer ved hjelp av simpleksmetoden

Simplexmetoden er en algoritme for å løse et LP-problem som implementerer oppregning av hjørnepunktene i regionen med gjennomførbare løsninger i retning av å forbedre verdien av objektivfunksjonen C. Simplexmetoden er den viktigste innen lineær programmering.

Bruken av denne metoden i et diplomprosjekt for å løse LP-problemet skyldes følgende faktorer:

Metoden er universell, anvendelig for ethvert lineært programmeringsproblem i kanonisk form;

Metodens algoritmiske natur gjør at den kan programmeres og implementeres på en vellykket måte ved hjelp av tekniske midler.

Det ytterste av målfunksjonen oppnås alltid ved hjørnepunktene i regionen med gjennomførbare løsninger. Først og fremst er det funnet en mulig innledende (referanse)løsning, dvs. ethvert hjørnepunkt i regionen med gjennomførbare løsninger. Fremgangsmåten for metoden lar deg svare på spørsmålet om denne løsningen er optimal. Hvis ja, er problemet løst. Hvis "nei", foretas en overgang til det tilstøtende hjørnepunktet i regionen med gjennomførbare løsninger, hvor verdien av målfunksjonen forbedres. Prosessen med å telle opp hjørnepunktene i regionen med gjennomførbare løsninger gjentas inntil et punkt er funnet som tilsvarer ytterpunktet til den objektive funksjonen.

Siden antall toppunkter i polyederet er begrenset, er det garantert å finne den optimale verdien i et begrenset antall trinn eller fastslå at problemet er uløselig.

Systemet av begrensninger her er et system av lineære ligninger der antall ukjente mer mengde ligninger. Hvis rangeringen av systemet er lik, er det mulig å velge ukjente som uttrykkes i form av de gjenværende ukjente. For å være sikker, antas det vanligvis at de første påfølgende ukjente er valgt. Disse ukjente (variablene) kalles grunnleggende, resten er gratis. Antall grunnleggende variabler er alltid lik antall begrensninger.

Ved å tilordne visse verdier til frie variabler og beregne verdiene til de grunnleggende (uttrykt i form av frie), oppnås ulike løsninger på systemet med begrensninger. Av spesiell interesse er løsningene som oppnås i tilfellet når de frie variablene er lik null. Slike løsninger kalles grunnleggende. En basisløsning kalles en tillatt grunnløsning eller støtteløsning hvis verdiene til dens variabler er ikke-negative. Den oppfyller alle begrensninger.

Ved å ha et system med begrensninger, finnes enhver grunnleggende løsning på dette systemet. Hvis den første grunnleggende løsningen som ble funnet viser seg å være gjennomførbar, sjekkes den for optimalitet. Dersom det ikke er optimalt, så gjøres en overgang til en annen gjennomførbar grunnløsning.

Simplexmetoden garanterer at med denne nye løsningen vil den lineære formen, hvis den ikke når det optimale, nærme seg den. Det samme gjør de med den nye gjennomførbare basisløsningen til de finner en løsning som er optimal.

Hvis den første basisløsningen som ble funnet viser seg å være uakseptabel, vil man ved hjelp av simpleksmetoden gå over til andre basisløsninger, inntil den grunnleggende løsningen ved et eller annet løsningstrinn viser seg å være akseptabel, eller det kan trekkes en konklusjon om inkonsekvensen. av restriksjonssystemet.

Dermed er bruken av simpleksmetoden delt inn i to stadier:

Finne en akseptabel grunnleggende løsning på et system av begrensninger eller fastslå dets inkonsekvens;

Å finne den optimale løsningen når det gjelder kompatibilitet av systemet med begrensninger.

Algoritmen for å gå til neste mulige løsning er som følger:

I linjen med koeffisienter til objektivfunksjonen velges det minste negative tallet når man finner maksimum. Serienummeret til koeffisienten er . Hvis det ikke er noen, er den opprinnelige grunnløsningen optimal;

Blant elementene i matrisen med kolonnenummeret (denne kolonnen kalles ledende eller løsende kolonne), er positive elementer valgt. Hvis det ikke er noen, er den objektive funksjonen ubegrenset i området av tillatte verdier for variablene, og problemet har ingen løsninger;

Blant de valgte elementene i den ledende kolonnen i matrisen, velges den som verdien av forholdet mellom den tilsvarende frie termen til dette elementet er minimal. Dette elementet kalles ledende, og linjen det er plassert i kalles ledende;

Grunnvariabelen som tilsvarer raden til det ledende elementet skal overføres til kategorien fri, og den frie variabelen som tilsvarer kolonnen til det ledende elementet må legges inn i antallet grunnleggende. En ny løsning er konstruert som inneholder nye antall grunnleggende variabler.

Betingelse for optimaliteten til planen når du løser problemet maksimalt: det er ingen negative elementer blant koeffisientene til målfunksjonen.

Optimalisering av lineære modeller i MS Excel gjennomføres simpleks metode- målrettet søk etter referanseløsninger til et lineært programmeringsproblem. Simplex metodealgoritmen kommer ned til å konstruere et konveks polyeder i et flerdimensjonalt rom, og deretter telle toppene for å finne en ekstrem verdi objektiv funksjon.

Effektive midler lineær programmering danne grunnlaget for både heltalls- og ikke-lineær programmering for å løse mer komplekse optimaliseringsproblemer. Disse metodene krever imidlertid lengre beregningstider.

Påfølgende forelesninger vil i detalj diskutere eksempler på å løse typiske optimaliseringsproblemer og ta ledelsesbeslutninger ved å bruke MS Excel-tillegget "Søk etter en løsning". Oppgavene som best løses med dette verktøyet har tre hovedegenskaper:

• det er et enkelt mål, funksjonelt relatert til andre parametere i systemet, som må optimaliseres (for å finne maksimum, minimum eller en viss numerisk verdi);
• det er begrensninger, vanligvis uttrykt i form av ulikheter (for eksempel kan volumet av råvarer som brukes ikke overstige lageret av råvarer på lageret, eller driftstiden til maskinen per dag bør ikke være mer enn 24 timer minus vedlikehold tid);
• det er et sett med inngangsvariabelverdier som påvirker de optimaliserte verdiene og restriksjonene.

Parametrene for oppgavene er begrenset til følgende grenseindikatorer:

• antall ukjente – 200;
• antall formelbegrensninger for ukjente – 100;
• antall begrensningsbetingelser for ukjente er 400.

Algoritmen for å finne optimale løsninger inkluderer flere stadier:

• forberedende arbeid;
• feilsøke løsningen;
• løsningsanalyse.

Sekvensen av nødvendig forberedende arbeid utført ved løsning av problemer med økonomisk og matematisk modellering ved bruk av MS Excel er vist i blokkdiagrammet i figur 1.6.

Ris. 1.6.

Av de fem punktene i den forberedende arbeidsplanen er kun det femte punktet formaliserbart. Resten av arbeidet krever kreativitet – og forskjellige mennesker kan gjøre det på forskjellige måter. La oss kort forklare essensen av ordlyden til planpostene.

Ved innstilling av problemet er målkoeffisientene og normaliserte koeffisientene kjent. I det forrige eksemplet var koeffisientene som danner objektivfunksjonen verdiene av normalisert fortjeneste per type hylle ( ) og én hylletype ( ). De normaliserte koeffisientene var normene for materialforbruk og maskintid per hylle av hver type. Matrisen så slik ut:

I tillegg er ressursverdiene alltid kjent. I forrige eksempel var dette en ukes forsyning av brett og muligheten til å bruke maskintid: , . Ofte i problemer må verdiene til variabler begrenses. Derfor er det nødvendig å bestemme de nedre og øvre grensene for rekkevidden av endringene deres.

Derfor, i dialogboksen til optimaliseringsprogrammet "Søk etter en løsning" må vi angi følgende målalgoritme:

Målfunksjonen er lik produktet av vektoren av ønskede variabelverdier med vektoren av målkoeffisienter

De normaliserte koeffisientene for vektoren til nødvendige variabelverdier bør ikke overstige verdien til den gitte ressursvektoren

Variabelverdiene må være innenfor de angitte grensene for antall innledende elementer i systemet

Antall innledende elementer i systemet

Antall ressurstyper spesifisert

Det er nødvendig å feilsøke løsningen når programmet viser en melding om negative resultater (Figur 1.7):

Ris. 1.7.

• hvis en akseptabel løsning ikke oppnås, så juster kildedatamodellen;
• hvis ikke mottatt optimal løsning, innfør deretter ytterligere begrensninger.

Programutgavene optimal løsning bare for en modell av det virkelige problemet, og ikke en løsning på selve problemet. Ved konstruksjonen av modellen ble det gjort ulike forenklingsantakelser om den reelle situasjonen. Dette gjorde det mulig å formalisere prosessen, tilnærmet vise reelle kvantitative forhold mellom systemparametrene og målet. Og hvis de virkelige parameterne er forskjellige fra de som er inkludert i modellen, hvordan vil løsningen endre seg? For å finne ut av dette gjennomføres en analyse av modellløsningen før man tar en ledelsesbeslutning.

Analyse optimal løsning, innebygd i programmet, representerer den siste fasen av matematisk modellering av økonomiske prosesser. Det gir mulighet for en dypere sjekk av modellens samsvar med prosessen, samt påliteligheten til den optimale løsningen. Det er basert på data optimal løsning og rapporter som utstedes i "Søk etter en løsning". Men det utelukker eller erstatter ikke den tradisjonelle analysen av planen fra et økonomisk perspektiv før man tar en ledelsesbeslutning.

Økonomisk analyse har følgende mål:

• bestemmelse av mulige konsekvenser i systemet som helhet og dets elementer ved endring av en modellparameter;
• vurdering av stabiliteten til den optimale planen til endringer i individuelle parametere for problemet: hvis den ikke er stabil for endringer i de fleste parametere, reduseres garantien for implementering og oppnåelse av det beregnede optimale;
• gjennomføre variantberegninger og innhente nye planalternativer uten å løse problemet på nytt fra opprinnelig grunnlag ved hjelp av justeringer.

Mulige analysemetoder er presentert i diagrammet i figur 1.8.

Etter å ha oppnådd den optimale løsningen, analyseres den basert på de mottatte rapportene. Stabilitetsanalyse- studie av påvirkningen av endringer i individuelle modellparametere på indikatorene for den optimale løsningen. Grenseanalyse- analyse av tillatte endringer i den optimale planen, der planen forblir optimal.

Gitt ansvaret for å akseptere økonomisk ledelsesbeslutning, må lederen sørge for at den resulterende optimale planen er den eneste riktige. For å gjøre dette, basert på modellen, er det nødvendig å få svar på følgende spørsmål:

• "hva skjer hvis..."
• "hva skal til for å..."

Analyse for å svare på det første spørsmålet kalles variantanalyse; analyse for å svare på det andre spørsmålet kalles tilpassede løsninger.

Variantanalyse kan være av følgende typer:

• Parametrisk- analyse, som består i å løse et problem for forskjellige verdier av en bestemt parameter.
• Struktur analyse- når en løsning på et optimaliseringsproblem søkes under en annen struktur av begrensninger.
• Multikriterieanalyse er en løsning på et problem ved hjelp av ulike objektive funksjoner.
• Analyse med betinget startdata- når de første dataene som brukes for å løse et problem, avhenger av overholdelse av tilleggsbetingelser.

Etter analysen bør resultatene presenteres i grafisk form og det bør utarbeides en rapport med anbefalinger for å ta beslutninger som tar hensyn til den konkrete økonomiske situasjonen.

Foreløpig inkluderer utdanningsprogrammet for spesialiteter knyttet til økonomi, finans og ledelse en disiplin kalt "Methods of Optimal Decisions". Innenfor denne disiplinen studerer studentene den matematiske siden av optimalisering, operasjonsforskning, beslutningstaking og modellering. hovedfunksjon Denne disiplinen er bestemt av felles studiet av matematiske metoder med deres anvendelse for å løse økonomiske problemer.

Optimaliseringsoppgaver: generell informasjon

Hvis vi vurderer det generelle tilfellet, så er meningen med optimaliseringsproblemet å finne den såkalte optimale løsningen som maksimerer (minimerer) den objektive funksjonen under visse begrensningsbetingelser.

Avhengig av egenskapene til funksjonene kan optimaliseringsproblemer deles inn i to typer:

• lineært programmeringsproblem (alle funksjoner er lineære);
• ikke-lineært programmeringsproblem (minst en av funksjonene er ikke lineær).

Spesielle tilfeller av optimaliseringsproblemer er brøk-lineære, dynamiske og stokastiske programmeringsproblemer.

De mest studerte optimaliseringsproblemene er lineære programmeringsproblemer (LPP), hvis løsninger kun tar heltallsverdier.

PPP: formulering, klassifisering

Det lineære programmeringsproblemet i det generelle tilfellet består i å finne minimum (maksimum) av en lineær funksjon under visse lineære begrensninger.

En generell ZLP er et formproblem

under restriksjoner

hvor er variablene, er de gitte reelle tallene, er den objektive funksjonen, er problemplanen, (*)-(***) er begrensningene.

Et viktig trekk ved ZLP er at det ytterste av den objektive funksjonen oppnås ved grensen til regionen med gjennomførbare løsninger.

Praktiske økonomiske anvendelser av optimale løsningsmetoder finnes for å løse problemer av følgende typer:

• problemer med blandinger (dvs. planlegging av sammensetningen av produkter);
• problemer med optimal ressursallokering i produksjonsplanlegging;

PAP: eksempler

Blandingsproblem

Løsningen på problemet med blandinger består i å finne det billigste settet, bestående av visse utgangsmaterialer som gir en blanding med de ønskede egenskapene.

Ressursfordelingsproblem

Selskapet produserer n ulike produkter, produksjonen som krever m ulike typer ressurser. Beholdningen av brukte ressurser er begrenset og utgjør hhv b 1, b 2,…, b m c.u. I tillegg er teknologiske koeffisienter kjent en ij, som viser hvor mange enheter Jeg-ressursen kreves for å produsere én produktenhet j-th type (). Fortjenesten som en bedrift får ved salg av et produkt j-th type, utgjør c j pengeenheter Det er nødvendig å utarbeide en plan for produksjon av produkter, hvis fortjeneste under gjennomføringen vil være størst.

Problemer som involverer blandinger og ressursallokering er ofte skrevet i tabellform.

Ressurser	Behov			Reserver
	B 1	…	Bn
A 1				b 1
…				…
Er				b m
Profitt	c 1	…	c n

Blandings- og ressursallokeringsproblemer kan løses på flere måter:

• grafisk metode (i tilfelle av et lite antall variabler i matematisk modell);
• simpleksmetoden (hvis antallet variabler i en matematisk modell er mer enn to).

Transportproblemet refererer til en klasse av oppgaver som har en viss spesifikk struktur. Det enkleste transportproblemet er problemet med å frakte et produkt til destinasjoner fra avgangssteder kl minimumskostnader for transport av alle produkter.

For klarhet og enkel oppfatning er tilstanden til transportproblemet vanligvis skrevet i følgende tabell:

Generelt løses et transportproblem i flere stadier:

• Trinn I: konstruksjon av den opprinnelige referanseplanen;
• Trinn II: kontroll av referanseplanen for optimalitet;
• Trinn III: avklaring av referanseplanen dersom den ikke er optimal.

Det er flere metoder for å få den innledende referanseplanen, for eksempel metoden nordvestlige hjørne, Vogel-metoden og minimumskostnadsmetoden.

Planen kontrolleres for optimalitet ved å bruke den potensielle metoden:

- for okkuperte celler,
- for ledige celler.

Hvis planen ikke er optimal, bygges en syklus og transporten omfordeles.

Konklusjon

Det er ikke mulig å dekke hele teorien og praksisen til optimale løsningsmetoder innenfor rammen av en artikkel, derfor vurderes det bare noen punkter som lar oss gi en generell idé om denne disiplinen, problemene og metodene for å løse dem.

I tillegg er det godt å merke seg at for å sjekke de oppnådde løsningene på optimaliseringsproblemer, kan du veldig effektivt bruke "Solution Search"-tillegget til MS Excel-pakken. Men det er faktisk en annen historie, som er en detaljert vurdering av metoder for å løse optimaliseringsproblemer.

Her er flere lærebøker for å studere optimale løsningsmetoder:

1. Bandi B. Grunnleggende om lineær programmering: Trans. fra engelsk – M.: Radio og kommunikasjon, 1989. – 176 s.
2. Kremer N.Sh. Operations Research in Economics: Proc. håndbok for universiteter / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman; Ed. prof. N.Sh. Kremer. – M.: UNITY, 2005. – 407 s.

Løsning av tilpassede optimaliseringsmetoder

Vi kan hjelpe deg med å løse eventuelle problemer ved å bruke optimale løsningsmetoder. Du kan bestille løsninger på problemer på vår nettside. Du trenger bare å angi fristen og legge ved filen med oppgaven. bestillingen din er gratis.

Lineær programmering er en gren av matematikken som studerer metoder for å finne minimum eller maksimum av en lineær funksjon av et endelig antall variabler, forutsatt at variablene tilfredsstiller et begrenset antall begrensninger i form av lineære ligninger eller lineære ulikheter.

Dermed kan det generelle lineære programmeringsproblemet (GLP) formuleres som følger.

Finn verdier av reelle variabler for hvilke objektiv funksjon

tar en minimumsverdi på settet med punkter hvis koordinater tilfredsstiller system av restriksjoner

Som kjent en ordnet samling av verdier n variabler , , … er representert av et punkt i n-dimensjonalt rom. I det følgende vil vi betegne dette punktet X=( , , … ).

I matriseform kan det lineære programmeringsproblemet formuleres som følger:

, EN– størrelsesmatrise,

Punktum X=( , , … ), som tilfredsstiller alle betingelser, kalles gyldig poeng . Settet med alle tillatte poeng kalles gyldig område .

Optimal løsning (optimal plan) et lineært programmeringsproblem kalles en løsning X=( , , … ), som tilhører den tillatte regionen og for hvilken den lineære funksjonen Q tar den optimale (maksimum eller minimum) verdien.

Teorem. Settet med alle mulige løsninger på systemet med begrensninger for et lineært programmeringsproblem er konveks.

Settet med punkter kalles konveks , hvis den, sammen med to av sine punkter, inneholder deres vilkårlige konvekse lineære kombinasjon.

Punktum X kalt konveks lineær kombinasjon poeng dersom vilkårene er oppfylt

Settet med alle mulige løsninger på et lineært programmeringsproblem er en konveks polyedral region, som vi heretter vil kalle polyeder av løsninger .

Teorem. Hvis ZLP har en optimal løsning, tar objektivfunksjonen den maksimale (minimum) verdien ved en av toppunktene til løsningspolyederet. Hvis objektivfunksjonen tar en maksimal (minimum) verdi ved mer enn ett punkt, tar den denne verdien på et hvilket som helst punkt som er en konveks lineær kombinasjon av disse punktene.

Blant de mange løsningene til systemet m lineære ligninger som beskriver polyederet av løsninger, de såkalte grunnleggende løsningene skilles.

Grunnleggende løsning av systemet m lineære ligninger med n variabler er en løsning der alle n-m ikke-kjernevariabler er null. I lineære programmeringsproblemer kalles slike løsninger tillatte grunnløsninger (referanseplaner).

Teorem. Hver tillatt grunnleggende løsning på et lineært programmeringsproblem tilsvarer et toppunkt av løsningspolyederet, og omvendt, til hvert toppunkt av løsningspolyederet tilsvarer det en tillatt grunnleggende løsning.

En viktig konsekvens følger av teoremene ovenfor:

Hvis et lineært programmeringsproblem har en optimal løsning, faller det sammen med minst en av dets gjennomførbare grunnleggende løsninger.

Følgelig må det optimale av den lineære funksjonen til målet for et lineært programmeringsproblem søkes blant det endelige antallet av dets gjennomførbare grunnleggende løsninger.