Forelesning 1 Teori om funksjoner til to og flere variabler (TFNP). 1. Konseptet FNP. 2. FNP-grense. 3. Kontinuitet i FNP. 4. Første ordens partielle derivater. 5. Derivat av en kompleks funksjon. 6. Avledet av en implisitt funksjon. 7. Høyere ordens derivater.

1. Konseptet FNP. La settet D være et område på planet. Definisjon. Hvis et tall er assosiert, sier de at en numerisk funksjon D er gitt på settet D - definisjonsdomenet til funksjonen.

Hvis et punkt, så er kartleggingen spesifisert av to koordinater, en funksjon av 2 variabler Grafen til en slik funksjon vil være et sett med punkter med koordinatene x, y, z - en overflate i rommet.

Geometrisk tolkning av f(x, y). D – en del av planet 0 ХY z D – projeksjon av grafen til funksjonen f(x, y) på planet 0 ХY z f О x D x y y Grafen til funksjonen er en flate i rommet.

2. Begrensning av en funksjon av to variabler. La et punkt Et sett med punkter kalles slik som er et nabolag til et punkt

Definisjon. La punktet If da punktet P kalles et indre punkt i mengden D. Definisjon. Hvis alle punktene D er interne i dette settet, kalles det åpent. Definisjon. Ethvert åpent sett som inneholder et punkt kalles dets nabolag.

Definisjon. Et sett med hvilke som helst to punkter som kan forbindes med en kontinuerlig kurve som ligger i dette settet, kalles forbundet. Definisjon. Et åpent tilkoblet sett kalles en region.

La en funksjon i nærheten av et punkt være definert på noen (ikke nødvendigvis i selve punktet) Tall A kalles grensen for en funksjon da det har en tendens hvis

Betegnelse. Kommentar. Aspirasjon kan skje i henhold til enhver lov og retning, mens alle grenseverdier eksisterer og er lik A.

Eksempel. La oss vurdere funksjonen La oss vurdere tendensen som går gjennom t. (0, 0): langs rette linjer avhenger verdien av A av hvordan.

3. Kontinuitet i FNP. En funksjon kalles kontinuerlig i et punkt hvis hvis minst en av betingelsene 1 -3 brytes, så er det et diskontinuitetspunkt.

Knekkpunkter kan isoleres, danne bruddlinjer, bruddflater. Eksempel. a) Knekkpunkt – (isolert) b) – bruddlinje

Definisjon. Forskjellen kalles den totale økningen av funksjonen. Definisjon. Grensene kalles partielle deriverte av funksjonen (forutsatt at de eksisterer).

Reglene for beregning av partielle derivater av FNP faller sammen med de tilsvarende reglene for en funksjon av én variabel. Kommentar. Når du beregner den deriverte av FNP med hensyn til en av variablene, betraktes alle andre som konstanter. Eksempel.

Definisjon. Den primære (lineære) delen av den totale økningen av en funksjon i et punkt kalles full differensial fungerer på dette tidspunktet.

5. Derivat av en kompleks funksjon. La oss vurdere funksjonen der det vil si z er en kompleks funksjon av x, y. De partielle deriverte av en kompleks funksjon med hensyn til variablene x og y beregnes som følger: (som i tilfellet med en kompleks funksjon av én variabel).

Totalderivert a) hvor z er en kompleks funksjon av ett argument t. Da er den totale deriverte av funksjonen med hensyn til argumentet t.

Når man studerer mange mønstre innen naturvitenskap og økonomi, møter man funksjoner av to (eller flere) uavhengige variabler.

Definisjon (for en funksjon av to variabler).La X , Y Og Z - mengder. Hvis hvert par (x, y) elementer fra sett henholdsvis X Og Y i kraft av en eller annen lov f samsvarer med ett og bare ett element z fra mange Z , så sier de det en funksjon av to variabler er gitt z = f(x, y) .

Generelt domene til en funksjon av to variabler geometrisk kan representeres av et visst sett med punkter ( x; y) fly xOy .

De grunnleggende definisjonene knyttet til funksjoner til flere variabler er en generalisering av de tilsvarende definisjoner for en funksjon av én variabel .

En haug med D kalt domene til funksjonen z, og settet E – dens mange betydninger. Variabler x Og y i forhold til funksjon z kalles dets argumenter. Variabel z kalt den avhengige variabelen.

Private verdier av argumenter

tilsvarer funksjonens private verdi

Domene til en funksjon av flere variabler

Hvis funksjon av flere variabler (for eksempel to variabler) gitt av formelen z = f(x, y) , Det område av dens definisjon er settet av alle slike punkter i flyet x0y, som uttrykket for f(x, y) gir mening og aksepterer reelle verdier. De generelle reglene for domenet til en funksjon av flere variabler er utledet fra de generelle reglene for definisjonsdomene for en funksjon av en variabel. Forskjellen er at for en funksjon av to variabler er definisjonsdomenet et visst sett med punkter på planet, og ikke en rett linje, som for en funksjon av en variabel. For en funksjon av tre variabler er definisjonsdomenet det tilsvarende settet med punkter i tredimensjonalt rom, og for en funksjon n variabler - det tilsvarende settet med punkter i abstraktet n-dimensjonalt rom.

Domene til en funksjon av to variabler med en rot n grad

I tilfellet der en funksjon av to variabler er gitt av formelen og n - naturlig tall :

Hvis n er et partall, så er definisjonsdomenet til funksjonen settet med punkter i planet som tilsvarer alle verdier av det radikale uttrykket som er større enn eller lik null, dvs.

Hvis n er et oddetall, så er definisjonsdomenet til funksjonen settet med eventuelle verdier, det vil si hele planet x0y .

Domene til en potensfunksjon av to variabler med en heltallseksponent

:

Hvis en- positiv, da er definisjonsdomenet til funksjonen hele planet x0y ;

Hvis en- negativ, da er definisjonsdomenet til funksjonen settet med verdier som er forskjellig fra null: .

Domene til en potensfunksjon av to variabler med en brøkeksponent

I tilfellet når funksjonen er gitt av formelen :

hvis er positivt, er definisjonsdomenet til funksjonen settet av de punktene i planet der den tar verdier større enn eller lik null: ;

hvis - er negativ, er definisjonsdomenet til funksjonen settet av de punktene i planet der den tar verdier større enn null: .

Definisjonsdomene for en logaritmisk funksjon av to variabler

Logaritmisk funksjon av to variabler er definert forutsatt at argumentet er positivt, det vil si at domenet til definisjonen er settet med de punktene i planet der det tar verdier større enn null: .

Domene for definisjon av trigonometriske funksjoner av to variabler

Funksjon Domene - hele flyet x0y .

Funksjon Domene - hele flyet x0y .

Definisjonsdomenet for funksjonen er hele planet x0y

Funksjon Domene - hele flyet x0y, bortsett fra tallpar som tar verdier for.

Definisjonsdomene for inverse trigonometriske funksjoner av to variabler

Funksjon Domene .

Funksjon Domene - settet med punkter på flyet som .

Funksjon Domene - hele flyet x0y .

Funksjon Domene - hele flyet x0y .

Definisjonsdomenet til en brøk som funksjon av to variabler

Hvis en funksjon er gitt av formelen, er definisjonsdomenet til funksjonen alle punkter på planet der .

Domene til en lineær funksjon av to variabler

Hvis funksjonen er gitt av en formel av skjemaet z = øks + av + c , da er definisjonsdomenet til funksjonen hele planet x0y .

Eksempel 1.

Løsning. I henhold til reglene for definisjonsdomenet utgjør vi en dobbel ulikhet

Vi ganger hele ulikheten med og får

Det resulterende uttrykket spesifiserer definisjonsdomenet for denne funksjonen til to variabler.

Eksempel 2. Finn domenet til en funksjon av to variabler.

(Forelesning 1)

Funksjoner av 2 variabler.

Variabelen z kalles en funksjon av 2 variabler f(x,y), hvis for noen verdipar (x,y) G er en viss verdi av variabelen z assosiert.

Def. Et nabolag til punktet p 0 er en sirkel med et sentrum i punktet p 0 og en radius. = (x-x 0 ) 2 +(ååå 0 ) 2

av et vilkårlig lite tall, kan man spesifisere et tall ()>0 slik at for alle verdier av x og y, der avstanden fra t.p til p0 er mindre, gjelder følgende ulikhet: f(x,y) A , dvs. for alle punkt p som faller i nærheten av punkt p 0, med en radius, avviker verdien av funksjonen fra A med mindre enn i absolutt verdi. Og dette betyr at når punkt p nærmer seg punkt p 0 by hvem som helst

Kontinuitet i funksjon.

La funksjonen z=f(x,y) gis, p(x,y) er det aktuelle punktet, p 0 (x 0 ,y 0) er punktet som vurderes.

Def.

3) Grensen er lik verdien av funksjonen på dette punktet: = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );

s 0

Delvis avledet.

La oss gi argumentet x en økning på x; x+x, vi får punkt p 1 (x+x,y), beregn forskjellen mellom verdiene til funksjonen ved punkt p:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) delvis økning av funksjonen som tilsvarer økningen av argumentet x.

z= Lim x z

z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)

X x0 X

Definere en funksjon av flere variabler

Når man vurderer mange problemstillinger fra ulike kunnskapsfelt, er det nødvendig å studere slike avhengigheter mellom variabler når numeriske verdier en av dem er helt bestemt av verdiene til flere andre.

For eksempel Når man studerer den fysiske tilstanden til en kropp, må man observere endringer i dens egenskaper fra punkt til punkt. Hvert punkt i kroppen er spesifisert av tre koordinater: x, y, z. Derfor, ved å studere for eksempel tetthetsfordelingen, konkluderer vi med at tettheten til et legeme avhenger av tre variabler: x, y, z. Hvis den fysiske tilstanden til kroppen også endres over tid t, vil den samme tettheten avhenge av verdiene til fire variabler: x, y, z, t.

Et annet eksempel: produksjonskostnadene ved å produsere en enhet av en bestemt type produkt studeres. La være:

x - materialkostnader,

y - betalingskostnader lønn ansatte,

z - avskrivninger.

Det er åpenbart at produksjonskostnadene avhenger av verdiene til de navngitte parameterne x, y, z.

Definisjon 1.1 Hvis for hvert sett med verdier "n" variabler

fra noen sett D av disse samlingene tilsvarer dens unike verdi av variabelen z, da sier de at funksjonen er gitt på settet D

"n" variabler.

Settet D spesifisert i definisjon 1.1 kalles definisjonsdomenet eller eksistensdomenet til denne funksjonen.

Hvis en funksjon av to variable vurderes, så er samlingen av tall

betegnes som regel (x, y) og tolkes som punkter i Oxy-koordinatplanet, og definisjonsdomenet til funksjonen z = f (x, y) til to variabler er avbildet som et visst sett med punkter på Oxy-planet.

Så for eksempel definisjonsdomenet til funksjonen

er settet med punkter i oksyplanet hvis koordinater tilfredsstiller relasjonen

dvs. det er en sirkel med radius r med sentrum i origo.

For funksjon

definisjonsdomenet er punktene som tilfredsstiller betingelsen

dvs. ekstern i forhold til en gitt sirkel.

Ofte er funksjoner til to variable spesifisert implisitt, dvs. som en ligning

koble sammen tre variabler. I dette tilfellet kan hver av størrelsene x, y, z betraktes som en implisitt funksjon av de to andre.

Et geometrisk bilde (graf) av en funksjon av to variabler z = f (x, y) er et sett med punkter P (x, y, z) i det tredimensjonale rommet Oxyz, hvis koordinater tilfredsstiller ligningen z = f (x, y).

Grafen til en funksjon av kontinuerlige argumenter er som regel en viss overflate i Oxyz-rommet, som projiseres på koordinatplanet Oxy inn i definisjonsdomenet til funksjonen z= f (x, y).

Så for eksempel (fig. 1.1) grafen til funksjonen

er den øvre halvdelen av kulen, og grafen til funksjonen

Nedre halvdel av kulen.

Rute lineær funksjon z = ax + by + с er et plan i Oxyz-rommet, og grafen til funksjonen z = const er et plan parallelt med Oxyz-koordinatplanet.

Merk at det er umulig å visuelt skildre en funksjon av tre eller flere variabler i form av en graf i tredimensjonalt rom.

I det følgende vil vi hovedsakelig begrense oss til å vurdere funksjoner til to eller tre variabler, siden vurderingen av tilfellet med et større (men endelig) antall variabler utføres på samme måte.

Definisjon av en funksjon av flere variabler.

(Forelesning 1)

Variabelen u kalles f(x,y,z,..,t) hvis for et sett med verdier (x,y,z,..,t) er en veldefinert verdi av variabelen u assosiert.

Settet med samlinger av verdien til en variabel kalles definisjonsdomenet til en funksjon.

G - sett (x,y,z,..,t) - definisjonsdomene.

Funksjoner av 2 variabler.

Variabelen z kalles en funksjon av 2 variabler f(x,y), hvis for noen verdipar (x,y) О G er en viss verdi av variabelen z assosiert.

Grensen for en funksjon av 2 variabler.

La funksjonen z=f(x,y) gis, p(x,y) er det aktuelle punktet, p 0 (x 0 ,y 0) er punktet som vurderes.

Def. Et nabolag til punktet p 0 er en sirkel med sentrum i punktet p 0 og radius r. r= Ö (x-x 0 ) 2 +(ååå 0 ) 2 Ø

Tallet A kalles grensen for funksjonen | ved punktet p 0 hvis for noen

for et vilkårlig lite tall e, kan man spesifisere et tall r (e)>0 slik at for alle verdier av x og y, der avstanden fra t. p til p0 er mindre enn r, gjelder følgende ulikhet: ½f(x,y) - A½0, med radius r avviker verdien av funksjonen fra A med mindre enn e i absolutt verdi. Og dette betyr at når punkt p nærmer seg punkt p 0 by hvem som helst bane, nærmer verdien av funksjonen seg på ubestemt tid tallet A.

Kontinuitet i funksjon.

La funksjonen z=f(x,y) gis, p(x,y) er det aktuelle punktet, p 0 (x 0 ,y 0) er punktet som vurderes.

Def. Funksjonen z=f(x,y) kalles kontinuerlig ved t. p 0 hvis 3 betingelser er oppfylt:

1) funksjonen er definert på dette tidspunktet. f(po) = f(x,y);

2)f-i har en grense på dette tidspunktet.

3) Grensen er lik verdien av funksjonen på dette punktet: b = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y)= f(x 0 ,y 0 ) ;

sà s 0

Hvis minst 1 av kontinuitetsbetingelsene brytes, kalles punkt p et bruddpunkt. For funksjoner av 2 variabler kan det være separate bruddpunkter og hele bruddlinjer.

Begrepet grense og kontinuitet for funksjoner av et større antall variabler er definert på samme måte.

En funksjon av tre variabler kan ikke avbildes grafisk, i motsetning til en funksjon av to variabler.

For en 3-variabel funksjon kan det være diskontinuitetspunkter, diskontinuitetslinjer og diskontinuitetsflater.

Delvis avledet.

La oss vurdere funksjonen z=f(x,y), p(x,y) er punktet som vurderes.

La oss gi argumentet x inkrementet Dx; x+Dx, vi får punkt p 1 (x+Dx,y), beregn forskjellen i verdiene til funksjonen ved punkt p:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - delvis økning av funksjonen som tilsvarer økningen av argumentet x.

Def. Kvoten av den deriverte av en funksjon z=f(x,y) med hensyn til variabelen x kalles grensen for forholdet mellom den partielle økningen av denne funksjonen med hensyn til variabelen x til denne økningen når sistnevnte har en tendens til å null.

¶ z= Lim D x z

à ¶ z = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)

¶ x Dx® 0 Dx

På samme måte bestemmer vi kvotienten til den deriverte med hensyn til variabelen y.

Finne partielle derivater.

Ved bestemmelse av partielle deriverte endres kun én variabel hver gang, de resterende variablene behandles som konstanter. Som et resultat, hver gang vi vurderer en funksjon av bare en variabel, og den partielle deriverte faller sammen med den vanlige deriverte av denne funksjonen til en variabel. Derav regelen for å finne partielle deriverte: den partielle deriverte med hensyn til variabelen som vurderes søkes som den ordinære deriverte av en funksjon av denne ene variabelen, de resterende variablene behandles som konstanter. I dette tilfellet viser alle formler for å differensiere en funksjon av en variabel (derivert av en sum, produkt, kvotient) å være gyldige.

Begrepet en funksjon av flere variabler

Hvis hvert punkt X = (x 1, x 2, ... x n) fra settet (X) med punkter i n-dimensjonalt rom er assosiert med en veldefinert verdi av variabelen z, så sier de at den gitte funksjon av n variabler z = f(x 1, x 2, ... x n) = f (X).

I dette tilfellet kalles variablene x 1, x 2, ... x n uavhengige variabler eller argumenter funksjoner, z - avhengig variabel, og symbolet f angir korrespondanseloven. Settet (X) kalles definisjonsdomene funksjoner (dette er en viss delmengde av n-dimensjonalt rom).

For eksempel er funksjonen z = 1/(x 1 x 2) en funksjon av to variabler. Argumentene er variablene x 1 og x 2, og z er den avhengige variabelen. Definisjonsdomenet er hele koordinatplanet, med unntak av de rette linjene x 1 = 0 og x 2 = 0, dvs. uten x- og ordinatakser. Ved å erstatte et hvilket som helst punkt fra definisjonsdomenet i funksjonen, får vi i henhold til korrespondanseloven et visst antall. For eksempel å ta punktet (2; 5), dvs. x 1 = 2, x 2 = 5, får vi
z = 1/(2*5) = 0,1 (dvs. z(2; 5) = 0,1).

En funksjon av formen z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + … + a n x n + b, hvor a 1, a 2, … og n, b er konstante tall, kalles lineær. Det kan betraktes som summen av n lineære funksjoner av variablene x 1, x 2, ... x n. Alle andre funksjoner kalles ikke-lineær.

For eksempel er funksjonen z = 1/(x 1 x 2) ikke-lineær, og funksjonen z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – lineær.

Enhver funksjon z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) kan assosieres med n funksjoner av en variabel hvis vi fikser verdiene til alle variabler unntatt én.

For eksempel kan funksjoner av tre variable z = 1/(x 1 x 2 x 3) assosieres med tre funksjoner av én variabel. Hvis vi fikser x 2 = a og x 3 = b, vil funksjonen ha formen z = 1/(abx 1); hvis vi fikser x 1 = a og x 3 = b, vil det ha formen z = 1/(abx 2); hvis vi fikser x 1 = a og x 2 = b, vil det ha formen z = 1/(abx 3). I dette tilfellet har alle tre funksjonene samme form. Det er ikke alltid slik. For eksempel, hvis vi fikser x 2 = a for en funksjon av to variabler, vil det ha formen z = 5x 1 a, dvs. potensfunksjon, og hvis vi fikser x 1 = a, vil den ha formen, dvs. eksponentiell funksjon.

Rute funksjonen til to variable z = f(x, y) er settet med punkter i tredimensjonalt rom (x, y, z), hvis applikat z er relatert til abscissen x og ordinaten y av en funksjonell relasjon
z = f (x, y). Denne grafen representerer en overflate i tredimensjonalt rom (for eksempel som i figur 5.3).

Det kan bevises at hvis en funksjon er lineær (dvs. z = ax + by + c), så er grafen dens et plan i tredimensjonalt rom. Andre eksempler 3D-grafer Det anbefales å studere selvstendig ved hjelp av Kremers lærebok (s. 405-406).

Hvis det er mer enn to variabler (n variabler), da rute funksjon er et sett med punkter i (n+1)-dimensjonalt rom som x-koordinaten n+1 beregnes for i henhold til en gitt funksjonell lov. En slik graf kalles hyperoverflate(for en lineær funksjon – hyperplan), og det representerer også en vitenskapelig abstraksjon (det er umulig å skildre det).

Figur 5.3 – Graf over en funksjon av to variabler i tredimensjonalt rom

Plan overflate en funksjon av n variabler er et sett med punkter i n-dimensjonalt rom slik at ved alle disse punktene er verdien av funksjonen den samme og lik C. Selve tallet C kalles i dette tilfellet nivå.

Vanligvis, for samme funksjon, er det mulig å konstruere et uendelig antall plane overflater (tilsvarende forskjellige nivåer).

For en funksjon av to variabler tar den plane overflaten formen nivålinjer.

Tenk for eksempel på z = 1/(x 1 x 2). La oss ta C = 10, dvs. 1/(x 1 x 2) = 10. Deretter x 2 = 1/(10x 1), dvs. på planet vil nivålinjen ha formen vist i figur 5.4 som en heltrukket linje. Ved å ta et annet nivå, for eksempel C = 5, får vi nivålinjen i form av en graf av funksjonen x 2 = 1/(5x 1) (vist med en stiplet linje i figur 5.4).

Figur 5.4 - Funksjonsnivålinjer z = 1/(x 1 x 2)

La oss se på et annet eksempel. La z = 2x 1 + x 2. La oss ta C = 2, dvs. 2x 1 + x 2 = 2. Deretter x 2 = 2 - 2x 1, dvs. på planet vil nivålinjen ha form av en rett linje, representert i figur 5.5 med en heltrukket linje. Ved å ta et annet nivå, for eksempel C = 4, får vi en nivålinje i form av en rett linje x 2 = 4 - 2x 1 (vist med en stiplet linje i figur 5.5). Nivålinjen for 2x 1 + x 2 = 3 er vist i figur 5.5 som en stiplet linje.

Det er lett å verifisere at for en lineær funksjon av to variabler vil enhver nivålinje være en rett linje på planet, og alle nivålinjer vil være parallelle med hverandre.

Figur 5.5 - Funksjonsnivålinjer z = 2x 1 + x 2

) har vi allerede gjentatte ganger møtt partielle derivater av komplekse funksjoner som og vanskeligere eksempler. Så hva annet kan du snakke om?! ...Og alt er som i livet - det er ingen kompleksitet som ikke kan kompliseres =) Men matematikk er det matematikk er til for, for å passe mangfoldet i vår verden inn i en streng ramme. Og noen ganger kan dette gjøres med en enkelt setning:

Generelt har den komplekse funksjonen formen , Hvor, minst en av bokstaver representerer funksjon, som kan avhenge av vilkårlig antall variabler.

Det minste og enkleste alternativet er den lenge kjente komplekse funksjonen til en variabel, hvis derivat vi lærte å finne forrige semester. Du har også ferdigheter til å differensiere funksjoner (ta en titt på de samme funksjonene ) .

Derfor vil vi nå være interessert i akkurat saken. På grunn av den store variasjonen av komplekse funksjoner, er de generelle formlene for deres derivater svært tungvinte og vanskelige å fordøye. I denne forbindelse vil jeg begrense meg til spesifikke eksempler som du kan forstå generelt prinsipp finne disse derivatene:

Eksempel 1

Gitt en kompleks funksjon hvor . Påkrevd:
1) finn dens deriverte og skriv ned 1. ordens totale differensial;
2) beregn verdien av derivatet ved .

Løsning: Først, la oss se på selve funksjonen. Vi tilbys en funksjon avhengig av og , som igjen er funksjonerén variabel:

For det andre, la oss følge nøye med på selve oppgaven - vi må finne derivat, det vil si at vi ikke snakker om partielle derivater, som vi er vant til å finne! Siden funksjonen avhenger faktisk bare av én variabel, da betyr ordet "derivert". totalt derivat. Hvordan finne henne?

Det første man tenker på er direkte substitusjon og ytterligere differensiering. La oss erstatte å fungere:
, hvoretter det ikke er noen problemer med ønsket derivat:

Og følgelig den totale differensialen:

Denne løsningen er matematisk riktig, men en liten nyanse er at når problemet er formulert slik det er formulert, er det ingen som forventer slikt barbari av deg =) Men seriøst, her kan du virkelig finne feil. Tenk deg at en funksjon beskriver flukten til en humle, og de nestede funksjonene endres avhengig av temperaturen. Utføre en direkte erstatning , får vi bare privat informasjon, som kjennetegner fly, si, bare i varmt vær. Dessuten, hvis en person som ikke er kunnskapsrik om humler blir presentert med det ferdige resultatet og til og med fortalt hva denne funksjonen er, vil han aldri lære noe om den grunnleggende loven om flukt!

Så helt uventet hjalp vår summende bror oss å forstå betydningen og viktigheten av den universelle formelen:

Bli vant til "to-etasjers"-notasjonen for derivater - i oppgaven under vurdering er det de som er i bruk. I dette tilfellet bør man være det veldig ryddig i oppføringen: derivater med direkte symboler "de" er komplette derivater, og derivater med avrundede ikoner er partielle derivater. La oss starte med de siste:

Vel, med "halene" er alt generelt elementært:

La oss erstatte de funnet derivatene i formelen vår:

Når en funksjon i utgangspunktet foreslås på en intrikat måte, vil den være logisk (og dette er forklart ovenfor!) la resultatene være som de er:

Samtidig, i "sofistikerte" svar er det bedre å avstå fra selv minimale forenklinger (her ber det f.eks. fjernes 3 minuser)- og du har mindre arbeid, og din pelskledde venn gjennomgår gjerne oppgaven lettere.

En grovsjekk vil imidlertid ikke være overflødig. La oss erstatte inn i den funnet deriverte og utfør forenklinger:


(på det siste trinnet vi brukte trigonometriske formler , )

Som et resultat ble det samme resultatet oppnådd som med den "barbariske" løsningsmetoden.

La oss beregne den deriverte ved punktet. Først er det praktisk å finne ut "transit"-verdiene (funksjonsverdier ) :

Nå utarbeider vi de endelige beregningene, som i dette tilfellet kan utføres på forskjellige måter. Jeg bruker en interessant teknikk der 3. og 4. "etasje" er forenklet ikke i henhold til de vanlige reglene, men transformeres som kvotienten av to tall:

Og selvfølgelig er det synd å ikke sjekke med en mer kompakt notasjon :

Svar:

Det hender at problemet er foreslått i en "semi-generell" form:

"Finn den deriverte av funksjonen hvor »

Det vil si at "hoved"-funksjonen ikke er gitt, men dens "innlegg" er ganske spesifikke. Svaret skal gis i samme stil:

Dessuten kan tilstanden være litt kryptert:

"Finn den deriverte av funksjonen »

I dette tilfellet trenger du på egenhånd angi nestede funksjoner med noen passende bokstaver, for eksempel gjennom og bruk samme formel:

Forresten om bokstavbetegnelser. Jeg har gjentatte ganger oppfordret til ikke å "klamre seg til bokstaver" som om de var en livredder, og nå er dette spesielt aktuelt! Ved å analysere forskjellige kilder om emnet, fikk jeg generelt inntrykk av at forfatterne "gikk gale" og begynte nådeløst å kaste elever inn i matematikkens stormfulle avgrunn =) Så tilgi meg :))

Eksempel 2

Finn den deriverte av en funksjon , Hvis

Andre betegnelser skal ikke være forvirrende! Hver gang du møter en oppgave som denne, må du svare på to enkle spørsmål:

1) Hva er "hoved"-funksjonen avhengig av? I dette tilfellet avhenger funksjonen "zet" av to funksjoner ("y" og "ve").

2) Hvilke variabler er nestede funksjoner avhengig av? I dette tilfellet avhenger begge "innleggene" bare av "X".

Så du bør ikke ha noen problemer med å tilpasse formelen til denne oppgaven!

En kort løsning og svar på slutten av timen.

Ytterligere eksempler på den første typen finner du i Ryabushkos problembok (IDZ 10.1), vel, vi er på vei mot funksjon av tre variabler:

Eksempel 3

Gitt en funksjon hvor .
Beregn derivert ved punkt

Formelen for den deriverte av en kompleks funksjon, som mange gjetter, har en beslektet form:

Bestem deg når du har gjettet det =)

Bare i tilfelle vil jeg gi en generell formel for funksjonen:
, selv om du i praksis neppe vil se noe lengre enn eksempel 3.

I tillegg er det noen ganger nødvendig å skille mellom en "avkortet" versjon - som regel en funksjon av formen eller. Jeg overlater dette spørsmålet til deg å studere på egen hånd - kom med noen enkle eksempler, tenk, eksperimenter og utled forkortede formler for derivater.

Hvis noe fortsatt er uklart, vennligst les sakte på nytt og forstå første del av leksjonen, for nå vil oppgaven bli mer komplisert:

Eksempel 4

Finn de partielle deriverte av en kompleks funksjon, hvor

Løsning: denne funksjonen har formen , og etter direkte substitusjon og vi får den vanlige funksjonen til to variabler:

Men slik frykt er ikke bare ikke akseptert, men man ønsker ikke lenger å skille =) Derfor vil vi bruke ferdige formler. For å hjelpe deg raskt å forstå mønsteret, vil jeg gjøre noen notater:

Se nøye på bildet fra topp til bunn og venstre til høyre...

Først, la oss finne de partielle derivatene av "hoved"-funksjonen:

Nå finner vi "X"-derivertene av "liners":

og skriv ned den siste "X"-deriverten:

På samme måte med "spillet":

Og

Du kan holde deg til en annen stil - finn alle "halene" på en gang og skriv ned begge derivatene.

Svar:

Om substitusjon på en eller annen måte tenker jeg ikke på det i det hele tatt =) =), men du kan justere resultatene litt. Selv om igjen, hvorfor? – bare gjøre det vanskeligere for læreren å sjekke.

Om nødvendig, da full differensial her er det skrevet i henhold til den vanlige formelen, og forresten, det er på dette trinnet at lett kosmetikk blir passende:


Dette er... ...en kiste på hjul.

På grunn av populariteten til typen kompleks funksjon som vurderes, er det et par oppgaver for uavhengig løsning. Et enklere eksempel i en "semi-generell" form er for å forstå selve formelen;-):

Eksempel 5

Finn de partielle deriverte av funksjonen, hvor

Og mer komplisert - med inkludering av differensieringsteknikker:

Eksempel 6

Finn hele differensialen til en funksjon , Hvor

Nei, jeg prøver ikke å "sende deg til bunnen" i det hele tatt - alle eksempler er hentet fra ekte arbeid, og "på åpent hav" kan du komme over alle bokstaver. I alle fall må du analysere funksjonen (svare på 2 spørsmål – se ovenfor), presentere det i generelt syn og modifiser forsiktig partielle derivatformler. Du er kanskje litt forvirret nå, men du vil forstå selve prinsippet for konstruksjonen deres! Fordi de virkelige utfordringene bare begynner :)))

Eksempel 7

Finn partielle deriverte og lag den komplette differensialen til en kompleks funksjon
, Hvor

Løsning: "hoved"-funksjonen har formen og avhenger fortsatt av to variabler - "x" og "y". Men sammenlignet med eksempel 4 har en annen nestet funksjon blitt lagt til, og derfor er de partielle deriverte formlene også forlenget. Som i det eksemplet, for en bedre visualisering av mønsteret, vil jeg fremheve de "hoved" partielle derivatene i forskjellige farger:

Og igjen, studer posten nøye fra topp til bunn og fra venstre til høyre.

Siden problemet er formulert i en "semi-generell" form, er alt vårt arbeid i hovedsak begrenset til å finne partielle derivater av innebygde funksjoner:

En førsteklassing kan håndtere:

Og til og med hele differensialen ble ganske fin:

Jeg tilbød deg bevisst ingen spesifikk funksjon - slik at unødvendig rot ikke skulle forstyrre en god forståelse av skjematisk diagram oppgaver.

Svar:

Ganske ofte kan du finne "blandet størrelse" investeringer, for eksempel:

Her er "hoved"-funksjonen, selv om den har formen , fortsatt avhengig av både "x" og "y". Derfor fungerer de samme formlene - bare noen partielle derivater vil være lik null. Dessuten gjelder dette også for funksjoner som , der hver "liner" avhenger av én variabel.

En lignende situasjon oppstår i de to siste eksemplene av leksjonen:

Eksempel 8

Finn den totale differensialen til en kompleks funksjon i et punkt

Løsning: betingelsen er formulert på en «budsjettmessig» måte, og vi må merke de nestede funksjonene selv. Jeg tror dette er et godt alternativ:

"Innlegg" inneholder ( MERK FØLGENDE!) TRE bokstaver er den gode gamle "X-Y-Z", som betyr at "hoved"-funksjonen faktisk avhenger av tre variabler. Det kan formelt skrives om som , og de partielle derivatene i dette tilfellet bestemmes av følgende formler:

Vi skanner, vi fordyper oss i, vi fanger ....

I vår oppgave:

Definisjon. Variabel z(med endringsområde Z) kalt funksjon av to uavhengige variabler x,y i overflod M, hvis hvert par ( x,y) fra mange M z fra Z.

Definisjon. En haug med M, der variablene er spesifisert x,y, kalt domene til funksjonen, sett Z – funksjonsområde, og seg selv x,y- henne argumenter.

Betegnelser: z = f(x,y), z = z(x,y).

Eksempler.

Definisjon . Variabel z(med endringsområde Z) kalt funksjon av flere uavhengige variabler i overflod M, hvis hvert sett med tall fra settet M i henhold til en regel eller lov tildeles én bestemt verdi z fra Z. Begrepene argumenter, definisjonsdomene og verdidomene introduseres på samme måte som for en funksjon av to variabler.

Betegnelser: z = f, z = z.

Kommentar. Siden et par tall ( x,y) kan betraktes som koordinatene til et bestemt punkt på planet, vil vi deretter bruke begrepet "punkt" for et par argumenter til en funksjon av to variabler, samt for et ordnet sett med tall som er argumenter til en funksjon av flere variabler.

Geometrisk representasjon av en funksjon av to variabler

Vurder funksjonen

z = f(x,y), (15.1)

definert på et eller annet område M på O-planet xy. Deretter settet med punkter i tredimensjonalt rom med koordinater ( x,y,z), hvor , er grafen til en funksjon av to variabler. Siden ligning (15.1) definerer en viss overflate i tredimensjonalt rom, vil det være det geometrisk bilde den aktuelle funksjonen.

Funksjon Domene z = f(x,y) i de enkleste tilfellene er det enten en del av planet avgrenset av en lukket kurve, og punktene til denne kurven (grensene til regionen) kan eller ikke tilhører definisjonsdomenet, eller hele planet, eller, til slutt et sett med flere deler av xOy-planet.

z = f(x,y)

Eksempler inkluderer likningene til planet z = ax + by + c

og andre ordens overflater: z = x² + y² (revolusjonsparaboloid),

(kjegle) osv.

Kommentar. For en funksjon av tre eller flere variabler vil vi bruke begrepet "overflate inn n-dimensjonalt rom», selv om det er umulig å skildre en slik overflate.

Nivålinjer og overflater

For en funksjon av to variabler gitt av ligning (15.1), kan vi vurdere et sett med punkter ( x,y) O fly xy, for hvilket z får samme konstante verdi, altså z= konst. Disse punktene danner en linje på planet kalt nivålinje.

Eksempel.

Finn nivålinjene for overflaten z = 4 – x² - y². Ligningene deres ser ut som x² + y² = 4 – c(c=const) – likninger av konsentriske sirkler med et senter i origo og med radier . For eksempel når Med=0 får vi en sirkel x² + y² = 4.

For en funksjon av tre variabler u = u(x, y, z) ligningen u(x, y, z) = c definerer en overflate i tredimensjonalt rom, som kalles jevn overflate.

Eksempel.

For funksjon u = 3x + 5y – 7z–12 plane flater vil være en familie av parallelle plan gitt av ligning 3 x + 5y – 7z –12 + Med = 0.

Begrensning og kontinuitet for en funksjon av flere variabler

La oss introdusere konseptet δ-nabolag poeng M 0 (x 0, y 0) på O-planet xy som en sirkel med radius δ med sentrum i et gitt punkt. På samme måte kan vi definere et δ-nabolag i tredimensjonalt rom som en kule med radius δ med sentrum i punktet M 0 (x 0, y 0, z 0). Til n-dimensjonalt rom vil vi kalle δ-nabolaget til et punkt M 0 sett med poeng M med koordinater som tilfredsstiller betingelsen

hvor er koordinatene til punktet M 0 . Noen ganger kalles dette settet en "ball" i n-dimensjonalt rom.

Definisjon. Tallet A kalles grense funksjoner til flere variabler f på punktet M 0 hvis slik at | f(M) – A| < ε для любой точки M fra δ-nabolaget M 0 .

Betegnelser: .

Det må tas i betraktning at i dette tilfellet punktet M kan nærme seg M 0, relativt sett, langs en hvilken som helst bane inne i δ-området til punktet M 0 . Derfor bør man skille grensen for en funksjon av flere variabler i generell forstand fra den såkalte gjentatte grenser oppnådd ved påfølgende passasjer til grensen for hvert argument separat.

Eksempler.

Kommentar. Det kan bevises at fra eksistensen av en grense på et gitt punkt i vanlig forstand og eksistensen på dette punktet av grenser for individuelle argumenter, følger eksistensen og likheten av gjentatte grenser. Det motsatte utsagnet er ikke sant.

Definisjon Funksjon f kalt kontinuerlige på punktet M 0 hvis (15,2)

Hvis vi introduserer notasjonen, kan betingelse (15.2) skrives om i formen (15.3)

Definisjon . Indre punkt M 0 funksjonsdomene z = f(M) kalt bruddpunkt funksjon hvis betingelsene (15.2), (15.3) ikke er oppfylt på dette tidspunktet.

Kommentar. Mange diskontinuitetspunkter kan dannes på et fly eller i rommet linjer eller bruddflate.

Eksempler.

Egenskaper til grenser og kontinuerlige funksjoner

Siden definisjonene av grense og kontinuitet for en funksjon av flere variabler praktisk talt sammenfaller med de tilsvarende definisjonene for en funksjon av en variabel, er alle egenskapene til grenser og kontinuerlige funksjoner bevist i første del av kurset bevart for funksjoner av flere variabler. , nemlig:

1) Hvis de eksisterer, så eksisterer de og (hvis).

2) Hvis en og for noen Jeg det er grenser og det er hvor M 0, så er det en grense for en kompleks funksjon ved , hvor er koordinatene til punktet R 0 .

3) Hvis funksjonene f(M) Og g(M) kontinuerlig på et punkt M 0, så er funksjonene på dette tidspunktet også kontinuerlige f(M) + g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(Hvis g(M 0) ≠ 0).

4) Hvis funksjonene er kontinuerlige på punktet P 0, og funksjonen er kontinuerlig på punktet M 0, hvor , så er den komplekse funksjonen kontinuerlig på punktet R 0 .

5) Funksjonen er kontinuerlig i et lukket begrenset område D, tar sine største og minste verdier i denne regionen.

6) Hvis funksjonen er kontinuerlig i et lukket begrenset område D, tar verdier i denne regionen EN Og I, så tar hun i området D og eventuell mellomverdi som ligger mellom EN Og I.

7) Hvis funksjonen er kontinuerlig i et lukket begrenset område D, tar verdier av forskjellige tegn i denne regionen, så er det en i det minste ett poeng fra området D, hvori f = 0.

Partielle derivater

La oss vurdere å endre en funksjon når du spesifiserer en økning til bare ett av argumentene - x i, og la oss kalle det .

Definisjon . Delvis avledet fungerer etter argument x i kalt .

Betegnelser: .

Dermed er den partielle deriverte av en funksjon av flere variabler faktisk definert som den deriverte av funksjonen én variabel – x i. Derfor er alle egenskapene til derivater bevist for en funksjon av en variabel gyldige for den.

Kommentar. I den praktiske beregningen av partielle deriverte bruker vi de vanlige reglene for å differensiere en funksjon av en variabel, forutsatt at argumentet som differensiering utføres med er variabelt, og de resterende argumentene er konstante.

Eksempler .

1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = xy,

Geometrisk tolkning av partielle deriverte av en funksjon av to variabler

Tenk på overflateligningen z = f(x,y) og tegne et fly x = konst. La oss velge et punkt på skjæringslinjen mellom planet og overflaten M(x,y). Hvis du gir argumentet påøke Δ på og betrakt punktet T på kurven med koordinater ( x, y+Δ y, z+Δy z), deretter tangenten til vinkelen dannet av sekanten MT med den positive retningen til O-aksen på, vil være lik . Går vi til grensen ved , finner vi at den partielle deriverte er lik tangenten til vinkelen dannet av tangenten til den resulterende kurven i punktet M med positiv retning av O-aksen u. Følgelig er den partielle deriverte lik tangenten til vinkelen med O-aksen X tangent til kurven oppnådd som et resultat av seksjonering av overflaten z = f(x,y) flyet y = konst.

Differensierbarhet av en funksjon av flere variabler

Når vi studerer problemstillinger knyttet til differensiabilitet, vil vi begrense oss til tilfellet med en funksjon av tre variabler, siden alle bevisene for mer variabler utføres på samme måte.

Definisjon . Full økning funksjoner u = f(x, y, z) kalt

Teorem 1. Hvis partielle derivater eksisterer på punktet ( x 0, y 0, z 0) og i noen av dens nabolag og er kontinuerlige på punktet ( x 0 , y 0 , z 0) da er begrenset (siden deres moduler ikke overstiger 1).

Deretter kan inkrementet til en funksjon som tilfredsstiller betingelsene i teorem 1 representeres som: , (15.6)

Definisjon . Hvis funksjonen øker u = f (x, y, z) på punktet ( x 0 , y 0 , z 0) kan representeres i formen (15.6), (15.7), så kalles funksjonen differensierbar på dette punktet, og uttrykket er den lineære hoveddelen av inkrementet eller full differensial den aktuelle funksjonen.

Betegnelser: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Akkurat som i tilfellet med en funksjon av en variabel, anses differensialene til uavhengige variabler som deres vilkårlige inkrementer, derfor

Merknad 1. Så, utsagnet "funksjonen er differensierbar" er ikke ekvivalent med utsagnet "funksjonen har partielle derivater" - for differensierbarhet kreves også kontinuiteten til disse derivatene på det aktuelle punktet.

.

Vurder funksjonen og velg x 0 = 1, y 0 = 2. Deretter Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = -0,03. La oss finne

Derfor, gitt det f ( 1, 2) = 3, får vi.