Izliektās kopas un to īpašības. Lai pētītu izliektas kopas īpašības, ir jāsniedz stingra izliektas kopas definīcija. Iepriekš izliekta kopa tika definēta kā kopa, kas kopā ar jebkuriem diviem punktiem satur segmentu, kas tos savieno.

Vairāku punktu segmenta jēdziena vispārinājums ir to izliekta lineārā kombinācija.

Tiek izsaukts punkts X izliekta lineāra kombinācija punktus, ja nosacījumi ir izpildīti

Punktu kopums ir izliekta, ja tas kopā ar jebkuriem diviem tā punktiem satur to patvaļīgu izliekto lineāro kombināciju.

Mēs varam pierādīt šādu teorēmu par izliekta daudzskaldņa attēlojumu.

Teorēma 1.1. Izliekts n-dimensiju daudzskaldnis ir tā stūra punktu izliekta lineāra kombinācija.

No 1.1. teorēmas izriet, ka izliekts daudzskaldnis tiek ģenerēts ar tā stūra punktiem vai virsotnēm: segmentu ar diviem punktiem, trijstūri ar trim, tetraedru ar četriem punktiem utt. Tajā pašā laikā izliekts daudzskaldnis apgabals, kas ir neierobežota kopa, nav unikāli definēts ar stūra punktiem: nevienu no tā punktiem nevar attēlot kā izliektu lineāru stūra punktu kombināciju.

Lineārās programmēšanas uzdevuma īpašības. Iepriekš tika aplūkotas dažādas lineārās programmēšanas problēmas formas un parādīts, ka jebkuru lineārās programmēšanas problēmu var attēlot kā vispārīgu vai kanonisku problēmu.

Lai pamatotu lineārās programmēšanas problēmas īpašības un tās risināšanas metodes, ieteicams apsvērt vēl divus kanoniskās problēmas apzīmējuma veidus.

Matricas ierakstīšanas forma:

Šeit AR- rindu matrica, A- sistēmas matrica, X– mainīgo lielumu matricas kolonna, IN- brīvo dalībnieku matricas kolonna:

Ieraksta vektora forma:

kur vektori atbilst nezināmo koeficientu kolonnām.

Tas tika formulēts iepriekš, bet nav pierādīts vispārējs skats nākamā teorēma.

Teorēma 1.2. Lineārās programmēšanas problēmas ierobežojumu sistēmas visu iespējamo risinājumu kopa ir izliekta.

Pierādījums:Ļaujiet - divi iespējami PLP risinājumi, kas norādīti matricas formā. Tad . Apskatīsim izliektu lineāru risinājumu kombināciju, t.i.

un parādīt, ka tas ir arī pieļaujams sistēmas (1.3.) risinājums. Patiešām

t.i. risinājums X atbilst sistēmai (1.3). Bet kopš tā laika X>0, t.i. risinājums apmierina nenegatīvisma nosacījumu.

Tātad ir pierādīts, ka visu iespējamo lineārās programmēšanas problēmas risinājumu kopa ir izliekta, precīzāk, tā attēlo izliektu daudzskaldni vai izliektu daudzskaldņu apgabalu, ko turpmāk sauksim ar vienu terminu - risinājumu daudzskaldnis.

Atbilde uz jautājumu, kurā risinājumu daudzskaldņa punktā ir iespējama optimāls risinājums Lineārās programmēšanas problēma ir dota sekojošā fundamentālajā teorēmā.

Teorēma 1.3. Ja lineārās programmēšanas uzdevumam ir optimāls risinājums, tad lineārā funkcija iegūst maksimālo vērtību vienā no risinājuma daudzskaldņa stūra punktiem. Ja lineārai funkcijai ir maksimālā vērtība vairāk nekā vienā stūra punktā, tad tā ņem to jebkurā punktā, kas ir šo punktu izliekta lineāra kombinācija.

Pierādījums: Mēs pieņemsim, ka risinājuma daudzskaldnis ir ierobežots. Apzīmēsim tā stūra punktus ar , un optimālais risinājums ir cauri X*. Tad F(X*)³ F(X) visiem punktiem X risinājumu daudzskaldnis. Ja X* ir stūra punkts, tad ir pierādīta teorēmas pirmā daļa.

Izliksimies tā X* nav stūra punkts, tad, pamatojoties uz teorēmu 1.1 X* var attēlot kā risinājuma daudzskaldņa stūra punktu izliektu lineāru kombināciju, t.i.

Jo F(X) ir lineāra funkcija, mēs iegūstam

Šajā sadalījumā mēs izvēlamies maksimumu no vērtībām. Ļaujiet tai atbilst stūra punktam Xk(1 £ k£ R); apzīmēsim to ar M, tie. . Aizstāsim katru izteiksmes vērtību (1.5) ar šo maksimālo vērtību M. Tad

Pēc pieņēmuma X* ir optimālais risinājums, tāpēc, no vienas puses, bet, no otras puses, ir pierādīts, ka
F(X*)£ M, tāpēc, , kur Xk– stūra punkts. Tātad ir stūra punkts Xk, kurā lineārā funkcija iegūst maksimālo vērtību.

Lai pierādītu teorēmas otro daļu, pieņemsim, ka mērķa funkcija iegūst maksimālo vērtību vairāk nekā vienā stūra punktā, piemēram, punktos , Kur , Tad

Ļaujiet X– šo stūra punktu izliekta lineāra kombinācija, t.i.

Šajā gadījumā, ņemot vērā, ka funkcija F(X)- lineāri, mēs saņemam

tie. lineārā funkcija Fņem maksimālo vērtību patvaļīgā punktā X, kas ir izliekta lineāra stūra punktu kombinācija.

komentēt. Prasība, lai teorēmā risinājuma daudzskaldnis būtu ierobežots, ir būtiska, jo neierobežota daudzskaldņa apgabala gadījumā, kā norādīts 1.1. teorēmā, ne katru šāda apgabala punktu var attēlot ar tā stūra punktu izliektu lineāru kombināciju.

Pierādītā teorēma ir būtiska, jo tā norāda uz fundamentālu veidu, kā atrisināt lineārās programmēšanas problēmas. Patiešām, saskaņā ar šo teorēmu, tā vietā, lai pētītu bezgalīgu iespējamo risinājumu kopu, lai starp tiem atrastu vēlamo optimālo risinājumu, ir nepieciešams izpētīt tikai ierobežotu skaitu risinājuma daudzskaldņa stūra punktu.

Nākamā teorēma ir veltīta analītiskajai stūra punktu atrašanas metodei.

Teorēma 1.4. Katrs lineārās programmēšanas uzdevuma pieļaujamais pamatrisinājums atbilst risinājuma daudzskaldņa stūra punktam, un otrādi, katram risinājuma daudzskaldņa stūra punktam atbilst pieļaujamais bāzes risinājums.

Pierādījums:Ļaut būt Mūžizglītības programmas ierobežojumu sistēmas (1.4) pieļaujamam pamatrisinājumam, kurā pirmais T komponents ir galvenie mainīgie un pārējie p - t komponents – negalvenie mainīgie, kas pamatrisinājumā ir vienādi ar nulli (ja tas tā nav, tad atbilstošos mainīgos var pārnumurēt). Parādīsim to X

Pieņemsim pretējo, t.i. Kas X nav stūra punkts. Tad norādiet X var attēlot ar segmenta iekšējo punktu, kas savieno divus dažādus, kas nesakrīt ar X, punktus

citiem vārdiem sakot, izliekta lineāra punktu kombinācija risinājumu daudzskaldnis, t.i.

kur (mēs pieņemam, ka , jo pretējā gadījumā punkts X sakrīt ar punktu X 1 vai X 2).

Uzrakstīsim vektora vienādību (1.6) koordinātu formā:

Jo visi mainīgie un koeficienti nav negatīvi, tad no pēdējā p-t vienādības no tā izriet, ka t.i. lēmumos X 1 , X 2 un X vienādojumu sistēmas (1.4) vērtības p - t komponenti šajā gadījumā ir vienādi ar nulli. Šos komponentus var uzskatīt par neprimāro mainīgo vērtībām. Bet nepamata mainīgo vērtības unikāli nosaka galveno mainīgo vērtības, tāpēc

Tātad viss P sastāvdaļa šķīdumos X 1 , X 2 un X sakrīt, un tāpēc punkti X 1 un X 2 sapludināšana, kas ir pretrunā ar pieņēmumu. Tāpēc X– šķīduma daudzskaldņa stūra punkts.

Pierādīsim pretējo apgalvojumu. Ļaut būt stūra punkts risinājuma daudzskaldnis un tā pirmais T koordinātas ir pozitīvas. Parādīsim to X– pieļaujamais pamata risinājums. nav stūra punkts, kas ir pretrunā ar nosacījumu. Tāpēc mūsu pieņēmums ir nepareizs, t.i. vektori ir lineāri neatkarīgi un X ir pieļaujams problēmas (1.4.) pamata risinājums.

No 1.3. un 1.4. teorēmas tieši izriet svarīgs secinājums: ja lineārās programmēšanas problēmai ir optimāls risinājums, tad tas sakrīt, saskaņā ar vismaz, ar vienu no tā pieļaujamajiem pamata risinājumiem.

Tātad, optimāls lineārā funkcija Lineārās programmēšanas problēmas jāmeklē starp ierobežotu skaitu tās īstenojamo pamata risinājumu.

Apskatīsim galveno lineārās programmēšanas problēmu (LPLP): atrodiet mainīgo x1, x2, ..., xn nenegatīvās vērtības, izpildot m nosacījumus - vienādības.

un šo mainīgo lielumu lineārās funkcijas maksimizēšana

Vienkāršības labad mēs pieņemam, ka visi nosacījumi (1) ir lineāri neatkarīgi (r = m), un mēs veiksim savu argumentāciju saskaņā ar šo pieņēmumu.

Sauksim par OLP pieļaujamo risinājumu jebkuru nenegatīvu vērtību kopu x1, x2, ..., xn, kas atbilst nosacījumiem (1). Par optimālo sauksim vienu no pieļaujamajiem risinājumiem, kas maksimāli palielina funkciju (2). Mums ir jāatrod optimālais risinājums.

Vai šai problēmai vienmēr ir risinājums? Nē ne vienmēr.

ZLP ir neatrisināms (tam nav optimāla risinājuma):

Ierobežojumu sistēmas nesaderības dēļ. Tie. sistēmai nav viena risinājuma, kā parādīts 1. attēlā.

1. attēls. Ierobežojumu sistēmas nekonsekvence

Sakarā ar mērķa funkcijas neierobežotību risinājumu kopā. Citiem vārdiem sakot, risinot LLP pie max, mērķa funkcijas vērtībai ir tendence uz bezgalību, bet LLP gadījumā min - līdz mīnus bezgalībai, kā parādīts 2. attēlā.

2. attēls. Mērķa funkcijas neierobežotība risinājumu kopai

ZLP ir atrisināms:

Risinājumu kopa sastāv no viena punkta. Tas ir arī optimāls, kā parādīts 3. attēlā.

3. attēls – risinājumu kopa sastāv no viena punkta

Vienīgais optimālais risinājums ZLP. Taisne, kas atbilst mērķa funkcijai robežpozīcijā, krustojas ar risinājumu kopu vienā punktā, kā parādīts 4. attēlā.

4. attēls – vienīgais optimālais risinājums

ZLP optimālais risinājums nav unikāls. Vektors N ir perpendikulārs vienai no risinājuma kopas malām. Šajā gadījumā jebkurš punkts segmentā AB ir optimāls, kā parādīts 5. attēlā.

5. attēls. Optimālais risinājums nav unikāls

Lineārās programmēšanas uzdevumu risināšana, izmantojot simplekso metodi

Simpleksā metode ir LP problēmas risināšanas algoritms, kas realizē iespējamo risinājumu apgabala stūra punktu uzskaiti mērķa funkcijas C vērtības uzlabošanas virzienā. Lineārajā programmēšanā galvenā ir simpleksa metode.

Šīs metodes izmantošana diplomprojektā LP problēmas risināšanai ir saistīta ar šādiem faktoriem:

Metode ir universāla, piemērojama jebkurai lineārai programmēšanas problēmai kanoniskā formā;

Metodes algoritmiskais raksturs ļauj to veiksmīgi programmēt un ieviest, izmantojot tehniskos līdzekļus.

Mērķa funkcijas ekstrēmums vienmēr tiek sasniegts iespējamo risinājumu apgabala stūra punktos. Vispirms tiek atrasts kāds realizējams sākotnējais (atsauces) risinājums, t.i. jebkuru iespējamo risinājumu reģiona stūra punktu. Metodes procedūra ļauj atbildēt uz jautājumu, vai šis risinājums ir optimāls. Ja jā, tad problēma ir atrisināta. Ja “nē”, tad tiek veikta pāreja uz blakus esošo iespējamo risinājumu apgabala stūra punktu, kur uzlabojas mērķa funkcijas vērtība. Iespējamo risinājumu apgabala stūra punktu uzskaitīšanas process tiek atkārtots, līdz tiek atrasts punkts, kas atbilst mērķa funkcijas galējībai.

Tā kā daudzskaldņa virsotņu skaits ir ierobežots, tad ierobežotā soļu skaitā tiek garantēts, ka tiks atrasta optimālā vērtība vai konstatēts fakts, ka problēma nav atrisināma.

Ierobežojumu sistēma šeit ir lineāru vienādojumu sistēma, kurā ir nezināmo skaits lielāks daudzums vienādojumi. Ja sistēmas rangs ir vienāds, tad ir iespējams atlasīt nezināmos, kas izteikti atlikušo nezināmo izteiksmē. Lai pārliecinātos, parasti tiek pieņemts, ka tiek atlasīti pirmie secīgie nezināmie. Šos nezināmos (mainīgos) sauc par pamata, pārējie ir bezmaksas. Pamata mainīgo skaits vienmēr ir vienāds ar ierobežojumu skaitu.

Piešķirot noteiktas vērtības brīvajiem mainīgajiem un aprēķinot pamatvērtības (izteiktas brīvajos), tiek iegūti dažādi ierobežojumu sistēmas risinājumi. Īpaši interesanti ir risinājumi, kas iegūti gadījumā, ja brīvie mainīgie ir vienādi ar nulli. Šādus risinājumus sauc par pamata. Pamatrisinājumu sauc par pieļaujamo pamatrisinājumu vai atbalsta risinājumu, ja tā mainīgo vērtības nav negatīvas. Tas atbilst visiem ierobežojumiem.

Izmantojot ierobežojumu sistēmu, tiek atrasts jebkurš šīs sistēmas pamata risinājums. Ja pirmais atrastais pamata risinājums izrādās izpildāms, tad tiek pārbaudīts tā optimālums. Ja tas nav optimāls, tiek veikta pāreja uz citu iespējamu pamata risinājumu.

Simpleksa metode garantē, ka ar šo jauno risinājumu lineārā forma, ja tā nesasniegs optimālo, tai pietuvosies. Viņi dara to pašu ar jauno iespējamo pamata risinājumu, līdz atrod optimālu risinājumu.

Ja pirmais atrastais pamatrisinājums izrādās nepieņemams, tad, izmantojot simpleksa metodi, tiek veikta pāreja uz citiem pamatrisinājumiem, līdz kādā risinājuma solī pamatrisinājums izrādās pieņemams vai var izdarīt secinājumu par neatbilstību. ierobežojumu sistēmu.

Tādējādi simpleksās metodes pielietošana ir sadalīta divos posmos:

Pieņemama ierobežojumu sistēmas pamata risinājuma atrašana vai tās neatbilstības fakta konstatēšana;

Optimālā risinājuma atrašana ierobežojumu sistēmas saderības gadījumā.

Algoritms pārejai uz nākamo iespējamo risinājumu ir šāds:

Mērķa funkcijas koeficientu rindā, atrodot maksimumu, tiek izvēlēts mazākais negatīvais skaitlis. Koeficienta kārtas numurs ir . Ja tāda nav, tad oriģinālais pamata risinājums ir optimāls;

Starp matricas elementiem ar kolonnas numuru (šo kolonnu sauc par vadošo vai izšķirošo kolonnu) ir atlasīti pozitīvie elementi. Ja tādu nav, tad mērķa funkcija ir neierobežota mainīgo lielumu pieļaujamo vērtību diapazonā un problēmai nav risinājumu;

No atlasītajiem matricas galvenās kolonnas elementiem tiek atlasīts tas, kuram atbilstošā brīvā vārda attiecības vērtība pret šo elementu ir minimāla. Šo elementu sauc par vadošo, un līniju, kurā tas atrodas, sauc par vadošo;

Vadošā elementa rindai atbilstošais pamatmainīgais ir jāpārceļ uz brīvo kategoriju, un brīvais mainīgais, kas atbilst vadošā elementa kolonnai, jāievada pamatmateriālu skaitā. Tiek izveidots jauns risinājums, kas satur jaunus pamata mainīgo skaitu.

Nosacījums plāna optimālumam, maksimāli risinot problēmu: starp mērķa funkcijas koeficientiem nav negatīvu elementu.

Tiek veikta lineāro modeļu optimizācija programmā MS Excel simpleksa metode- mērķtiecīga lineārās programmēšanas problēmas atsauces risinājumu meklēšana. Simpleksās metodes algoritms ir saistīts ar izliekta daudzskaldņa konstruēšanu daudzdimensiju telpā un pēc tam tā virsotņu uzskaitīšanu, lai atrastu galējo vērtību mērķa funkcija.

Efektīvi līdzekļi lineārā programmēšana veido gan veselu skaitļu, gan nelineāras programmēšanas pamatu sarežģītāku optimizācijas problēmu risināšanai. Tomēr šīm metodēm ir nepieciešams ilgāks aprēķina laiks.

Turpmākajās lekcijās tiks detalizēti apspriesti piemēri tipisku optimizācijas problēmu risināšanai un vadības lēmumu pieņemšanai, izmantojot MS Excel pievienojumprogrammu "Meklēt risinājumu". Uzdevumiem, kurus vislabāk var atrisināt ar šo rīku, ir trīs galvenās īpašības:

• ir viens mērķis, funkcionāli saistīts ar citiem sistēmas parametriem, kuru nepieciešams optimizēt (lai atrastu tā maksimālo, minimālo vai noteiktu skaitlisko vērtību);
• pastāv ierobežojumi, kas parasti izteikti nevienlīdzības veidā (piemēram, izlietoto izejvielu apjoms nedrīkst pārsniegt noliktavā esošo izejvielu krājumu, vai arī mašīnas darbības laiks dienā nedrīkst būt ilgāks par 24 stundām mīnus apkopes laiks);
• ir ievades mainīgo vērtību kopa, kas ietekmē optimizētās vērtības un ierobežojumus.

Uzdevumu parametri ir ierobežoti līdz šādiem robežrādītājiem:

• nezināmo skaits – 200;
• formulas ierobežojumu skaits nezināmajiem – 100;
• ierobežojošo nosacījumu skaits nezināmajiem ir 400.

Optimālo risinājumu atrašanas algoritms ietver vairākus posmus:

• sagatavošanas darbi;
• risinājuma atkļūdošana;
• risinājumu analīze.

Nepieciešamo sagatavošanās darbu secība, risinot ekonomiskās un matemātiskās modelēšanas uzdevumus, izmantojot MS Excel, parādīta 1.6.attēla blokshēmā.

Rīsi. 1.6.

No pieciem sagatavošanas darba plāna punktiem formalizējams ir tikai piektais punkts. Pārējais darbs prasa radošumu – un dažādi cilvēki to var paveikt dažādi. Īsi izskaidrosim plāna punktu formulējuma būtību.

Uzstādot problēmu, ir zināmi mērķa koeficienti un normalizētie koeficienti. Iepriekšējā piemērā koeficienti, kas veido mērķa funkciju, bija normalizētās peļņas vērtības uz vienu tipa plauktu ( ) un viens plaukta veids ( ). Normalizētie koeficienti bija materiāla patēriņa un mašīnas laika normas uz katra veida plauktu. Matrica izskatījās šādi:

Turklāt resursu vērtības vienmēr ir zināmas. Iepriekšējā piemērā tas bija dēļu krājums nedēļā un iespēja izmantot mašīnas laiku: , . Bieži vien problēmās ir jāierobežo mainīgo lielumu vērtības. Tāpēc ir jānosaka to izmaiņu diapazona apakšējā un augšējā robeža.

Tādējādi optimizācijas programmas dialoglodziņā "Meklēt risinājumu" ir jāiestata šāds mērķa algoritms:

Mērķa funkcija ir vienāda ar vēlamo mainīgo vērtību vektora reizinājumu ar mērķa koeficientu vektoru

Normalizētie koeficienti nepieciešamo mainīgo vērtību vektoram nedrīkst pārsniegt dotā resursa vektora vērtību

Mainīgajām vērtībām jāatrodas noteiktajā sistēmas sākotnējo elementu skaita robežās

Sistēmas sākotnējo elementu skaits

Norādīto resursu veidu skaits

Risinājuma atkļūdošana ir nepieciešama, ja programma parāda ziņojumu par negatīviem rezultātiem (1.7. attēls):

Rīsi. 1.7.

• ja netiek iegūts pieņemams risinājums, tad koriģē avota datu modeli;
• ja nav saņemts optimāls risinājums, pēc tam ieviesiet papildu ierobežojumus.

Programmas problēmas optimāls risinājums tikai reālās problēmas modelim, nevis pašas problēmas risinājumam. Veidojot modeli, tika izteikti dažādi vienkāršojoši pieņēmumi par reālo situāciju. Tas ļāva formalizēt procesu, aptuveni attēlojot reālas kvantitatīvās attiecības starp sistēmas parametriem un mērķi. Un, ja reālie parametri atšķiras no modelī iekļautajiem, tad kā mainīsies risinājums? Lai to noskaidrotu, pirms vadības lēmuma pieņemšanas tiek veikta modeļa risinājuma analīze.

Analīze optimāls risinājums, kas iebūvēts programmā, atspoguļo ekonomisko procesu matemātiskās modelēšanas pēdējo posmu. Tas ļauj padziļināti pārbaudīt modeļa atbilstību procesam, kā arī optimālā risinājuma uzticamību. Tas ir balstīts uz datiem optimāls risinājums un ziņojumi, kas tiek izsniegti sadaļā “Risinājuma meklēšana”. Taču tas neizslēdz un neaizstāj tradicionālo plāna analīzi no ekonomiskā viedokļa pirms vadības lēmuma pieņemšanas.

Ekonomiskajai analīzei ir šādi mērķi:

• iespējamo seku noteikšana sistēmā kopumā un tās elementos, mainot modeļa parametru;
• optimālā plāna stabilitātes novērtējums atsevišķo problēmas parametru izmaiņām: ja tas nav stabils pret lielāko daļu parametru izmaiņām, tiek samazināta tā īstenošanas un aprēķinātā optimālā sasniegšanas garantija;
• variantu aprēķinu veikšana un jaunu plāna variantu iegūšana, neatrisinot problēmu no sākotnējās bāzes, izmantojot korekcijas.

Iespējamās analīzes metodes ir parādītas diagrammā 1.8. attēlā.

Pēc optimālā risinājuma iegūšanas tas tiek analizēts, pamatojoties uz saņemtajām atskaitēm. Stabilitātes analīze- atsevišķu modeļa parametru izmaiņu ietekmes uz optimālā risinājuma rādītājiem izpēte. Ierobežojumu analīze- pieļaujamo izmaiņu analīze optimālajā plānā, kurā plāns paliek optimāls.

Ņemot vērā atbildību pieņemt ekonomisko vadības lēmums, vadītājam jāpārliecinās, ka iegūtais optimālais plāns ir vienīgais pareizais. Lai to izdarītu, pamatojoties uz modeli, ir jāiegūst atbildes uz šādiem jautājumiem:

• "Kas notiks, ja..."
• "Kas vajadzīgs, lai..."

Tiek izsaukta analīze, lai atbildētu uz pirmo jautājumu variantu analīze; tiek izsaukta analīze, lai atbildētu uz otro jautājumu pielāgoti risinājumi.

Variantu analīze var būt šāda veida:

• Parametrisks- analīze, kas sastāv no problēmas risināšanas dažādām noteikta parametra vērtībām.
• Strukturālā analīze- ja optimizācijas problēmas risinājums tiek meklēts saskaņā ar atšķirīgu ierobežojumu struktūru.
• Daudzkritēriju analīze ir problēmas risinājums, izmantojot dažādas mērķa funkcijas.
• Analīze ar nosacītajiem sākuma datiem- kad problēmas risināšanai izmantotie sākotnējie dati ir atkarīgi no atbilstības papildu nosacījumiem.

Pēc analīzes rezultāti jāatspoguļo grafiskā veidā un jāsastāda pārskats ar ieteikumiem lēmumu pieņemšanai, ņemot vērā konkrēto ekonomisko situāciju.

Šobrīd ar ekonomiku, finansēm un vadību saistīto specialitāšu izglītības programmā ir iekļauta disciplīna “Optimālu lēmumu metodes”. Šīs disciplīnas ietvaros studenti apgūst optimizācijas, operāciju izpētes, lēmumu pieņemšanas un modelēšanas matemātisko pusi. galvenā iezīmeŠo disciplīnu nosaka kopīga matemātisko metožu izpēte ar to pielietojumu ekonomisko problēmu risināšanā.

Optimizācijas uzdevumi: vispārīga informācija

Ja aplūkojam vispārīgo gadījumu, tad optimizācijas problēmas jēga ir atrast tā saukto optimālo risinājumu, kas maksimāli palielina (minimizē) mērķa funkciju noteiktos ierobežojuma apstākļos.

Atkarībā no funkciju īpašībām optimizācijas problēmas var iedalīt divos veidos:

• lineārās programmēšanas problēma (visas funkcijas ir lineāras);
• nelineāras programmēšanas problēma (vismaz viena no funkcijām nav lineāra).

Īpaši optimizācijas problēmu gadījumi ir daļēji lineāras, dinamiskas un stohastiskas programmēšanas problēmas.

Visvairāk pētītās optimizācijas problēmas ir lineārās programmēšanas problēmas (LPP), kuru risinājumiem ir vajadzīgas tikai veselas vērtības.

PPP: formulējums, klasifikācija

Lineārās programmēšanas problēma vispārīgā gadījumā sastāv no lineārās funkcijas minimuma (maksimuma) atrašanas saskaņā ar noteiktiem lineāriem ierobežojumiem.

Vispārējs ZLP ir formas problēma

saskaņā ar ierobežojumiem

kur ir mainīgie, vai dotie reālie skaitļi, ir mērķa funkcija, ir problēmas plāns, (*)-(***) ir ierobežojumi.

Svarīga ZLP iezīme ir tā, ka mērķfunkcijas galējība tiek sasniegta uz iespējamo risinājumu apgabala robežas.

Optimālu risinājumu metožu praktiskie ekonomiskie pielietojumi ir atrodami šādu veidu problēmu risināšanā:

• problēmas ar maisījumiem (t.i., produktu sastāva plānošana);
• optimālas resursu sadales problēmas ražošanas plānošanā;

PAP: piemēri

Maisījuma problēma

Maisījumu problēmas risinājums ir atrast lētāko komplektu, kas sastāv no noteiktiem izejmateriāliem, kas nodrošina maisījumu ar vēlamajām īpašībām.

Resursu piešķiršanas problēma

Uzņēmums ražo n dažādi produkti, kuru ražošanai nepieciešams m dažāda veida resursi. Izmantoto resursu rezerves ir ierobežotas un attiecīgi apmērs b 1, b 2,…, b m c.u. Turklāt ir zināmi tehnoloģiskie koeficienti a ij, kas parāda, cik vienību i-th resurss ir nepieciešams, lai saražotu vienu produkta vienību j-th tips (). Peļņa, ko uzņēmums saņem, pārdodot preci j-th tips, summas līdz c j naudas vienības Nepieciešams izstrādāt produktu ražošanas plānu, kura īstenošanas laikā uzņēmuma peļņa būs vislielākā.

Problēmas, kas saistītas ar maisījumiem un resursu piešķiršanu, bieži tiek rakstītas tabulas veidā.

Resursi	Vajadzības			Rezerves
	B 1	…	Bn
A 1				b 1
…				…
Am				b m
Peļņa	c 1	…	c n

Sajaukuma un resursu piešķiršanas problēmas var atrisināt vairākos veidos:

• grafiskā metode (ja ir neliels skaits mainīgo matemātiskais modelis);
• simpleksa metode (ja mainīgo skaits matemātiskajā modelī ir lielāks par diviem).

Transporta problēma attiecas uz uzdevumu klasi, kam ir noteikta specifiska struktūra. Vienkāršākā transporta problēma ir problēma, kas saistīta ar preces transportēšanu uz galamērķi no izbraukšanas punktiem plkst minimālās izmaksas visu produktu transportēšanai.

Skaidrības un uztveres viegluma labad transporta problēmas stāvoklis parasti ir rakstīts šādā tabulā:

Kopumā transporta problēmas risināšana tiek veikta vairākos posmos:

• I posms: sākotnējā atsauces plāna izstrāde;
• II posms: atskaites plāna optimāluma pārbaude;
• III posms: atsauces plāna precizēšana, ja tas nav optimāls.

Sākotnējā atskaites plāna iegūšanai ir vairākas metodes, piemēram, ziemeļrietumu stūra metode, Vogela metode un minimālo izmaksu metode.

Plāna optimizācija tiek pārbaudīta, izmantojot potenciālo metodi:

- aizņemtām kamerām,
- neaizņemtām kamerām.

Ja plāns nav optimāls, tad tiek uzbūvēts cikls un transportēšana tiek pārdalīta.

Secinājums

Viena raksta ietvaros nav iespējams aptvert visu optimālo risināšanas metožu teoriju un praksi, tāpēc tiek apskatīti tikai daži punkti, kas ļauj sniegt vispārēju priekšstatu par šo disciplīnu, problēmām un to risināšanas metodēm.

Turklāt ir labi atzīmēt, ka, lai pārbaudītu iegūtos optimizācijas problēmu risinājumus, ļoti efektīvi var izmantot MS Excel pakotnes pievienojumprogrammu “Solution Search”. Bet patiesībā tas ir cits stāsts, kā arī detalizēts optimizācijas problēmu risināšanas metožu apsvērums.

Šeit ir vairākas mācību grāmatas optimālo risinājumu metožu izpētei:

1. Bandi B. Lineārās programmēšanas pamati: Trans. no angļu valodas – M.: Radio un sakari, 1989. – 176 lpp.
2. Krēmers N.Sh. Operāciju izpēte ekonomikā: Proc. rokasgrāmata universitātēm / N.Sh. Krēmers, B.A. Putko, I.M. Trišins, M.N. Frīdmens; Ed. prof. N.Sh. Krēmers. – M.: VIENOTĪBA, 2005. – 407 lpp.

Pielāgotu optimizācijas metožu risinājums

Mēs varam palīdzēt atrisināt visas problēmas, izmantojot optimālas risināšanas metodes. Problēmu risinājumus varat pasūtīt mūsu mājaslapā. Jums tikai jānorāda termiņš un jāpievieno fails ar uzdevumu. jūsu pasūtījums ir bezmaksas.

Lineārā programmēšana ir matemātikas nozare, kas pēta metodes, kā atrast ierobežota skaita mainīgo lielumu lineāras funkcijas minimumu vai maksimumu, ja mainīgie apmierina ierobežotu skaitu ierobežojumu lineāru vienādojumu vai lineāro nevienādību veidā.

Tādējādi vispārējo lineārās programmēšanas problēmu (GLP) var formulēt šādi.

Atrodiet reālo mainīgo vērtības, kurām mērķa funkcija

iegūst minimālo vērtību punktu kopai, kuru koordinātas atbilst ierobežojumu sistēma

Kā zināms, sakārtota vērtību kolekcija n mainīgie , , … ir attēlots ar punktu n-dimensiju telpā. Tālāk mēs apzīmēsim šo punktu X=( , , … ).

Matricas formā lineārās programmēšanas problēmu var formulēt šādi:

, A- izmēru matrica,

Punkts X=( , , … ), kas atbilst visiem nosacījumiem, tiek izsaukts derīgs punkts . Tiek izsaukta visu pieļaujamo punktu kopa derīga platība .

Optimāls risinājums (optimālais plāns) Lineārās programmēšanas problēmu sauc par risinājumu X=( , , … ), kas pieder pie pieļaujamā reģiona un kam lineārā funkcija Jņem optimālo (maksimālo vai minimālo) vērtību.

Teorēma. Lineārās programmēšanas problēmas ierobežojumu sistēmas visu iespējamo risinājumu kopa ir izliekta.

Punktu kopa tiek saukta izliekts , ja tas kopā ar jebkuriem diviem punktiem satur to patvaļīgo izliekto lineāro kombināciju.

Punkts X sauca izliekta lineāra kombinācija punktu, ja nosacījumi ir izpildīti

Visu iespējamo risinājumu kopums lineārās programmēšanas problēmai ir izliekts daudzskaldnis apgabals, ko turpmāk sauksim risinājumu daudzskaldnis .

Teorēma. Ja ZLP ir optimāls risinājums, tad mērķa funkcija uzņem maksimālo (minimālo) vērtību vienā no risinājuma daudzskaldņa virsotnēm. Ja mērķa funkcija iegūst maksimālo (minimālo) vērtību vairāk nekā vienā punktā, tad tā ņem šo vērtību jebkurā punktā, kas ir šo punktu izliekta lineāra kombinācija.

Starp daudzajiem sistēmas risinājumiem m lineāros vienādojumus, kas apraksta atrisinājumu daudzskaldni, izšķir tā sauktos pamatrisinājumus.

Sistēmas pamata risinājums m lineārie vienādojumi ar n mainīgajiem ir risinājums, kurā visi n-m mainīgie, kas nav galvenie, ir nulle. Lineārās programmēšanas uzdevumos šādus risinājumus sauc pieļaujamie pamatrisinājumi (atsauces plāni).

Teorēma. Katrs lineārās programmēšanas uzdevuma pieļaujamais pamatrisinājums atbilst risinājuma daudzskaldņa virsotnei, un otrādi, katrai risinājuma daudzskaldņa virsotnei atbilst pieļaujamais pamata risinājums.

No iepriekšminētajām teorēmām izriet svarīgs secinājums:

Ja lineārās programmēšanas problēmai ir optimāls risinājums, tad tas sakrīt ar vismaz vienu no tās iespējamajiem pamata risinājumiem.

Līdz ar to lineārās programmēšanas problēmas mērķa lineārās funkcijas optimums ir jāmeklē starp galīgo skaitu tās īstenojamo pamata risinājumu.