1. lekcija Divu un vairāku mainīgo funkciju teorija (TFNP). 1. FNP jēdziens. 2. FNP ierobežojums. 3. FNP nepārtrauktība. 4. Pirmās kārtas daļējie atvasinājumi. 5. Sarežģītas funkcijas atvasinājums. 6. Netiešās funkcijas atvasinājums. 7. Augstākas kārtas atvasinājumi.

1. FNP jēdziens. Lai kopa D ir plaknes apgabals. Definīcija. Ja ir saistīts skaitlis, tad viņi saka, ka uz kopas D ir dota skaitliska funkcija D - funkcijas definīcijas domēns.

Ja punkts, tad kartējumu nosaka divas koordinātas, 2 mainīgo funkcija Šādas funkcijas grafiks būs punktu kopa ar koordinātām x, y, z - virsma telpā.

F(x, y) ģeometriskā interpretācija. D – kāda plaknes daļa 0 ХY z D – funkcijas f(x, y) grafika projekcija uz plakni 0 ХY z f О x D x y y Funkcijas grafiks ir virsma telpā.

2. Divu mainīgo funkcijas robeža. Lai punkts Punktu kopu sauc par tādu, kas ir punkta apkārtne

Definīcija. Lai punktu Ja tad punktu P sauc par kopas D iekšējo punktu. Definīcija. Ja visi punkti D ir šīs kopas iekšējie, tad to sauc par atvērtu. Definīcija. Jebkuru atvērtu kopu, kurā ir punkts, sauc par tās apkārtni.

Definīcija. Jebkuru divu punktu kopu, kuru var savienot ar nepārtrauktu līkni, kas atrodas šajā kopā, sauc par savienotu. Definīcija. Atvērtu savienotu kopu sauc par reģionu.

Ļaujiet funkcijai, kas atrodas punkta tuvumā, ir definēta kādā punktā (ne obligāti pašā punktā A tiek saukta par funkcijas robežu, ja tā ir).

Apzīmējums. komentēt. Aspirācija var notikt saskaņā ar jebkuru likumu un virzienu, kamēr visas robežvērtības pastāv un ir vienādas ar A.

Piemērs. Aplūkosim funkciju Apskatīsim tendenci, kas iet caur t (0, 0): pa taisnēm A vērtība ir atkarīga no kā.

3. FNP nepārtrauktība. Funkciju sauc par nepārtrauktu punktā, ja tiek pārkāpts vismaz viens no nosacījumiem 1-3, tad tas ir pārtraukuma punkts.

Lūzuma vietas var izolēt, veidot lūzuma līnijas, lauzt virsmas. Piemērs. a) Pārrāvuma punkts – (izolēts) b) – lūzuma līnija

Definīcija. Atšķirību sauc par funkcijas kopējo pieaugumu. Definīcija. Ierobežojumus sauc par funkcijas daļējiem atvasinājumiem (pieņemot, ka tie pastāv).

FNP daļējo atvasinājumu aprēķināšanas noteikumi sakrīt ar atbilstošajiem viena mainīgā lieluma funkcijas noteikumiem. komentēt. Aprēķinot FNP atvasinājumu attiecībā pret vienu no mainīgajiem, visi pārējie tiek uzskatīti par konstantēm. Piemērs.

Definīcija. Tiek izsaukta galvenā (lineārā) funkcijas kopējā pieauguma daļa punktā pilns diferenciālis funkcijas šajā brīdī.

5. Sarežģītas funkcijas atvasinājums. Apskatīsim funkciju, kur, t.i., z ir x, y kompleksa funkcija. Sarežģītas funkcijas daļējos atvasinājumus attiecībā pret mainīgajiem x un y aprēķina šādi: (kā viena mainīgā kompleksās funkcijas gadījumā).

Kopējais atvasinājums a) kur t.i., z ir viena argumenta t kompleksa funkcija. Tad ir funkcijas kopējais atvasinājums attiecībā pret argumentu t.

Pētot daudzus dabaszinātņu un ekonomikas modeļus, rodas divu (vai vairāku) neatkarīgu mainīgo funkcijas.

Definīcija (divu mainīgo funkcijai).Ļaujiet X , Y Un Z - daudzām. Ja katrs pāris (x, y) elementi no kopām X Un Y saskaņā ar kādu likumu f atbilst vienam un tikai vienam elementam z no daudziem Z , tad viņi tā saka ir dota divu mainīgo funkcija z = f(x, y) .

Vispār divu mainīgo funkcijas domēns ģeometriski var attēlot ar noteiktu punktu kopu ( x; y) lidmašīna xOy .

Pamatdefinīcijas, kas attiecas uz vairāku mainīgo funkcijām, ir atbilstošo vispārinājums viena mainīgā funkcijas definīcijas .

ķekars D sauca funkcijas domēns z, un komplekts E – tās daudzās nozīmes. Mainīgie x Un y saistībā ar funkciju z tiek saukti par tā argumentiem. Mainīgs z sauc par atkarīgo mainīgo.

Argumentu privātās vērtības

atbilst funkcijas privātajai vērtībai

Vairāku mainīgo funkcijas domēns

Ja vairāku mainīgo (piemēram, divu mainīgo) funkcija dots pēc formulas z = f(x, y) , Tas definīcijas jomā ir visu šādu plaknes punktu kopa x0g, kurai izteiksme f(x, y) ir jēga un pieņem īstās vērtības. Vairāku mainīgo funkcijas domēna vispārīgie noteikumi ir atvasināti no vispārīgajiem noteikumiem par viena mainīgā funkcijas definīcijas joma. Atšķirība ir tāda, ka divu mainīgo funkcijai definīcijas domēns ir noteikta punktu kopa plaknē, nevis taisna līnija, kā viena mainīgā funkcijai. Trīs mainīgo funkcijai definīcijas apgabals ir atbilstošā punktu kopa trīsdimensiju telpā, un funkcijai n mainīgie - atbilstošā kopsavilkuma punktu kopa n- dimensiju telpa.

Divu mainīgo ar sakni funkcijas domēns n th grāds

Gadījumā, ja divu mainīgo funkciju uzrāda formula un n - dabiskais skaitlis :

Ja n ir pāra skaitlis, tad funkcijas definīcijas apgabals ir plaknes punktu kopa, kas atbilst visām radikālas izteiksmes vērtībām, kas ir lielākas vai vienādas ar nulli, tas ir

Ja n ir nepāra skaitlis, tad funkcijas definīcijas domēns ir jebkuru vērtību kopa, tas ir, visa plakne x0g .

Divu mainīgo ar veselu eksponentu jaudas funkcijas domēns

:

Ja a- pozitīvs, tad funkcijas definīcijas domēns ir visa plakne x0g ;

Ja a- negatīvs, tad funkcijas definīcijas domēns ir vērtību kopa, kas atšķiras no nulles: .

Divu mainīgo ar daļēju eksponentu jaudas funkcijas domēns

Gadījumā, ja funkcija ir dota ar formulu :

ja ir pozitīvs, tad funkcijas definīcijas apgabals ir to plaknes punktu kopa, kuros tā iegūst vērtības, kas ir lielākas par nulli vai vienādas ar to: ;

ja - ir negatīvs, tad funkcijas definīcijas apgabals ir to plaknes punktu kopa, kuros tā iegūst vērtības, kas lielākas par nulli: .

Divu mainīgo logaritmiskās funkcijas definīcijas joma

Divu mainīgo logaritmiskā funkcija ir definēts ar nosacījumu, ka tā arguments ir pozitīvs, tas ir, tā definīcijas apgabals ir to plaknes punktu kopa, kuros tas iegūst vērtības, kas lielākas par nulli: .

Divu mainīgo trigonometrisko funkciju definīcijas joma

Funkciju domēns - visa lidmašīna x0g .

Funkciju domēns - visa lidmašīna x0g .

Funkcijas definīcijas domēns ir visa plakne x0g

Funkciju domēns - visa lidmašīna x0g, izņemot skaitļu pārus, kuriem ir vajadzīgas vērtības.

Divu mainīgo apgriezto trigonometrisko funkciju definīcijas joma

Funkciju domēns .

Funkciju domēns - punktu kopa plaknē, kurai .

Funkciju domēns - visa lidmašīna x0g .

Funkciju domēns - visa lidmašīna x0g .

Daļas kā divu mainīgo funkciju definīcijas domēns

Ja funkcija ir dota ar formulu, tad funkcijas definīcijas domēns ir visi plaknes punkti, kuros .

Divu mainīgo lineāras funkcijas domēns

Ja funkcija ir dota ar formas formulu z = cirvis + autors + c , tad funkcijas definīcijas apgabals ir visa plakne x0g .

1. piemērs.

Risinājums. Saskaņā ar definīcijas jomas noteikumiem mēs veidojam dubultu nevienādību

Mēs reizinām visu nevienlīdzību ar un iegūstam

Iegūtā izteiksme norāda divu mainīgo šīs funkcijas definīcijas domēnu.

2. piemērs. Atrodiet divu mainīgo funkcijas domēnu.

(1. lekcija)

2 mainīgo funkcijas.

Mainīgo z sauc par 2 mainīgo f(x,y) funkciju, ja jebkuram vērtību pārim (x,y) G ir saistīta noteikta mainīgā z vērtība.

Def. Punkta p 0 apkārtne ir aplis, kura centrs atrodas punktā p 0 un rādiuss. = (x-x 0 ) 2 + (oo 0 ) 2

no patvaļīgi maza skaitļa var norādīt skaitli ()>0 tā, ka visām x un y vērtībām, kurām attālums no t.p līdz p0 ir mazāks, pastāv šāda nevienādība: f(x,y) A , t.i. visiem punktiem p, kas atrodas punkta p 0 tuvumā, ar rādiusu, funkcijas vērtība no A atšķiras mazāk nekā absolūtā vērtībā. Un tas nozīmē, ka tad, kad punkts p tuvojas punktam p 0 par jebkurš

Funkciju nepārtrauktība.

Dota funkcija z=f(x,y), p(x,y) ir pašreizējais punkts, p 0 (x 0 ,y 0) ir apskatāmais punkts.

Def.

3) Robeža ir vienāda ar funkcijas vērtību šajā punktā: = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y) = f(x 0 ,y 0 );

lpp 0

Daļējs atvasinājums.

Piešķirsim argumentam x pieaugumu no x; x+x, iegūstam punktu p 1 (x+x,y), aprēķinām starpību starp funkcijas vērtībām punktā p:

x z = f(p1)-f(p) = f(x+x,y) - f(x,y) funkcijas daļējs pieaugums, kas atbilst argumenta x pieaugumam.

z= Lim x z

z = Lim f(x+x,y) - f(x,y)

X x 0 X

Vairāku mainīgo funkcijas definēšana

Apsverot daudzus jautājumus no dažādām zināšanu jomām, ir nepieciešams izpētīt šādas atkarības starp mainīgajiem, kad skaitliskās vērtības vienu no tiem pilnībā nosaka vairāku citu vērtības.

Piemēram Pētot ķermeņa fizisko stāvokli, ir jānovēro tā īpašību izmaiņas no punkta uz punktu. Katru ķermeņa punktu nosaka trīs koordinātes: x, y, z. Tāpēc, pētot, teiksim, blīvuma sadalījumu, secinām, ka ķermeņa blīvums ir atkarīgs no trim mainīgajiem lielumiem: x, y, z. Ja laika gaitā t mainās arī ķermeņa fiziskais stāvoklis, tad tas pats blīvums būs atkarīgs no četru mainīgo vērtībām: x, y, z, t.

Vēl viens piemērs: tiek pētītas noteikta veida preces vienības ražošanas izmaksas. Ļaujiet būt:

x - materiālu izmaksas,

y - maksājumu izmaksas algas darbinieki,

z - nolietojuma izmaksas.

Ir skaidrs, ka ražošanas izmaksas ir atkarīgas no nosaukto parametru x, y, z vērtībām.

Definīcija 1.1 Ja katrai vērtību kopai ir "n" mainīgie

no kādas šo kolekciju kopas D atbilst tās unikālajai mainīgā z vērtībai, tad viņi saka, ka funkcija ir dota kopai D

"n" mainīgie.

Definīcijā 1.1 norādīto kopu D sauc par šīs funkcijas definīcijas vai eksistences domēnu.

Ja aplūko divu mainīgo funkciju, tad skaitļu kolekcija

parasti tiek apzīmēti ar (x, y) un tiek interpretēti kā Oxy koordinātu plaknes punkti, un divu mainīgo funkcijas z = f (x, y) definīcijas apgabals tiek attēlots kā noteikta punktu kopa. lidmašīnā Oxy.

Tā, piemēram, funkcijas definīcijas domēns

ir Oxy plaknes punktu kopa, kuras koordinātas atbilst sakarībai

i., tas ir aplis ar rādiusu r, kura centrs atrodas sākuma punktā.

Funkcijai

definīcijas joma ir punkti, kas atbilst nosacījumam

i., ārējā attiecībā pret doto apli.

Bieži vien divu mainīgo funkcijas tiek norādītas netieši, t.i., kā vienādojums

savieno trīs mainīgos. Šajā gadījumā katru no lielumiem x, y, z var uzskatīt par pārējo divu netiešo funkciju.

Divu mainīgo z = f (x, y) funkcijas ģeometrisks attēls (grafiks) ir punktu kopa P (x, y, z) trīsdimensiju telpā Oxyz, kuras koordinātas apmierina vienādojumu z = f (x, y).

Nepārtrauktu argumentu funkcijas grafiks, kā likums, ir noteikta virsma Oxyz telpā, kas tiek projicēta uz koordinātu plakni Oxy funkcijas z= f (x, y) definīcijas apgabalā.

Tā, piemēram, (1.1. att.) funkcijas grafiks

ir sfēras augšējā puse un funkcijas grafiks

Sfēras apakšējā puse.

Grafiks lineārā funkcija z = ax + by + с ir Oxyz telpas plakne, un funkcijas z = const grafiks ir plakne, kas ir paralēla Oxyz koordinātu plaknei.

Ņemiet vērā, ka trīs vai vairāku mainīgo funkciju nav iespējams vizuāli attēlot grafika veidā trīsdimensiju telpā.

Tālāk mēs galvenokārt aprobežosimies ar divu vai trīs mainīgo funkciju izskatīšanu, jo lielāka (bet ierobežota) mainīgo skaita gadījuma izskatīšana tiek veikta līdzīgi.

Vairāku mainīgo funkcijas definīcija.

(1. lekcija)

Mainīgo u sauc par f(x,y,z,..,t), ja jebkurai vērtību kopai (x,y,z,..,t) ir saistīta labi definēta mainīgā u vērtība.

Mainīgā lieluma vērtību kolekciju kopu sauc par funkcijas definīcijas domēnu.

G - kopa (x,y,z,..,t) - definīcijas domēns.

2 mainīgo funkcijas.

Mainīgo z sauc par 2 mainīgo f(x,y) funkciju, ja jebkuram vērtību pārim (x,y) О G ir saistīta noteikta mainīgā z vērtība.

Funkcijas robeža no 2 mainīgajiem.

Dota funkcija z=f(x,y), p(x,y) ir pašreizējais punkts, p 0 (x 0 ,y 0) ir apskatāmais punkts.

Def. Punkta p 0 apkārtne ir aplis, kura centrs atrodas punktā p 0 un rādiuss r. r= Ö (x-x 0 ) 2 + (oo 0 ) 2 Ø

Skaitlis A tiek saukts par funkcijas | robežu punktā p 0, ja tāds ir

patvaļīgi mazam skaitlim e var norādīt tādu skaitli r (e)>0, ka visām x un y vērtībām, kurām attālums no t līdz p0 ir mazāks par r, pastāv šāda nevienādība: ½f(x,y) - A½0, ar rādiusu r , funkcijas vērtība atšķiras no A mazāk nekā e absolūtā vērtībā. Un tas nozīmē, ka tad, kad punkts p tuvojas punktam p 0 par jebkurš ceļš, funkcijas vērtība bezgalīgi tuvojas skaitlim A.

Funkciju nepārtrauktība.

Dota funkcija z=f(x,y), p(x,y) ir pašreizējais punkts, p 0 (x 0 ,y 0) ir apskatāmais punkts.

Def. Funkciju z=f(x,y) sauc par nepārtrauktu pie t p 0, ja ir izpildīti 3 nosacījumi:

1) funkcija ir definēta šajā punktā. f(p 0) = f(x,y);

2) f-i šajā brīdī ir ierobežojums.

3) Robeža ir vienāda ar funkcijas vērtību šajā punktā: b = f(x 0 ,y 0);

Lim f(x,y)= f(x 0 ,y 0 ) ;

lppà lpp 0

Ja tiek pārkāpts vismaz 1 no nepārtrauktības nosacījumiem, tad punktu p sauc par pārtraukuma punktu. 2 mainīgo funkcijām var būt atsevišķi pārtraukuma punkti un visas pārtraukuma līnijas.

Līdzīgi tiek definēts ierobežojuma un nepārtrauktības jēdziens lielāka skaita mainīgo funkcijām.

Trīs mainīgo funkciju nevar attēlot grafiski, atšķirībā no 2 mainīgo funkcijas.

Trīs mainīgo funkcijai var būt pārtraukuma punkti, pārtraukuma līnijas un pārtraukumu virsmas.

Daļējs atvasinājums.

Apskatīsim funkciju z=f(x,y), p(x,y) ir apskatāmais punkts.

Piešķirsim argumentam x pieaugumu Dx; x+Dx, iegūstam punktu p 1 (x+Dx,y), aprēķiniet funkcijas vērtību starpību punktā p:

D x z = f(p1)-f(p) = f(x+Dx,y) - f(x,y) - daļējs funkcijas pieaugums, kas atbilst argumenta x pieaugumam.

Def. Funkcijas z=f(x,y) atvasinājuma koeficients attiecībā pret mainīgo x tiek saukts par šīs funkcijas daļējā pieauguma attiecības robežu attiecībā pret mainīgo x pret šo pieaugumu, ja pēdējam ir tendence nulle.

¶ z= Lim D x z

à ¶ z = Lim f(x+ D x,y) - f(x,y)

¶ x Dx® 0 Dx

Līdzīgi mēs nosakām atvasinājuma koeficientu attiecībā pret mainīgo y.

Daļējo atvasinājumu atrašana.

Nosakot daļējos atvasinājumus, katru reizi mainās tikai viens mainīgais, pārējie mainīgie tiek uzskatīti par konstantēm. Rezultātā katru reizi mēs uzskatām tikai viena mainīgā funkciju, un daļējais atvasinājums sakrīt ar šīs funkcijas parasto viena mainīgā atvasinājumu. Tādējādi daļēju atvasinājumu atrašanas noteikums: daļējais atvasinājums attiecībā uz aplūkojamo mainīgo tiek meklēts kā šī viena mainīgā funkcijas parastais atvasinājums, pārējie mainīgie tiek uzskatīti par konstantēm. Šajā gadījumā visas formulas viena mainīgā funkcijas diferencēšanai (summas, reizinājuma, koeficienta atvasinājums) izrādās derīgas.

Vairāku mainīgo funkcijas jēdziens

Ja katrs punkts X = (x 1, x 2, ... x n) no n-dimensiju telpas punktu kopas (X) ir saistīts ar vienu labi definētu mainīgā z vērtību, tad viņi saka, ka dotais n mainīgo funkcija z = f(x 1, x 2, ...x n) = f (X).

Šajā gadījumā tiek izsaukti mainīgie x 1, x 2, ... x n neatkarīgi mainīgie vai argumenti funkcijas, z - atkarīgais mainīgais, un simbols f apzīmē korespondences likums. Tiek izsaukta kopa (X). definīcijas joma funkcijas (šī ir noteikta n-dimensiju telpas apakškopa).

Piemēram, funkcija z = 1/(x 1 x 2) ir divu mainīgo funkcija. Tās argumenti ir mainīgie x 1 un x 2, un z ir atkarīgais mainīgais. Definīcijas apgabals ir visa koordinātu plakne, izņemot taisnes x 1 = 0 un x 2 = 0, t.i. bez x un ordinātu asīm. Aizvietojot funkcijā jebkuru punktu no definīcijas apgabala, saskaņā ar atbilstības likumu mēs iegūstam noteiktu skaitli. Piemēram, ņemot punktu (2; 5), t.i. x 1 = 2, x 2 = 5, mēs iegūstam
z = 1/(2*5) = 0,1 (t.i., z(2; 5) = 0,1).

Tiek izsaukta funkcija formā z = a 1 x 1 + a 2 x 2 + ... + a n x n + b, kur a 1, a 2,... un n, b ir nemainīgi skaitļi. lineārs. To var uzskatīt par mainīgo x 1, x 2, ... x n n lineāro funkciju summu. Visas pārējās funkcijas tiek izsauktas nelineārs.

Piemēram, funkcija z = 1/(x 1 x 2) ir nelineāra, un funkcija z =
= x 1 + 7x 2 - 5 – lineārs.

Jebkuru funkciju z = f (X) = f(x 1, x 2, ... x n) var saistīt ar viena mainīgā n funkcijām, ja mēs nofiksējam visu mainīgo, izņemot vienu, vērtības.

Piemēram, trīs mainīgo z = 1/(x 1 x 2 x 3) funkcijas var saistīt ar viena mainīgā trīs funkcijām. Ja fiksēsim x 2 = a un x 3 = b, tad funkcija iegūs formu z = 1/(abx 1); ja fiksēsim x 1 = a un x 3 = b, tad tas iegūs formu z = 1/(abx 2); ja fiksēsim x 1 = a un x 2 = b, tad tas iegūs formu z = 1/(abx 3). Šajā gadījumā visām trim funkcijām ir vienāda forma. Ne vienmēr tā ir. Piemēram, ja divu mainīgo funkcijai fiksēsim x 2 = a, tad tā iegūs formu z = 5x 1 a, t.i. jaudas funkcija, un, ja fiksēsim x 1 = a, tad tā iegūs formu, t.i. eksponenciālā funkcija.

Grafiks divu mainīgo z = f(x, y) funkcija ir punktu kopa trīsdimensiju telpā (x, y, z), kuras pielietojums z ir saistīts ar abscisu x un ordinātu y ar funkcionālu sakarību
z = f (x, y). Šis grafiks attēlo kādu virsmu trīsdimensiju telpā (piemēram, kā 5.3. attēlā).

Var pierādīt, ka, ja funkcija ir lineāra (t.i., z = ax + by + c), tad tās grafiks ir plakne trīsdimensiju telpā. Citi piemēri 3D grafiki Ieteicams mācīties patstāvīgi, izmantojot Krēmera mācību grāmatu (405.-406. lpp.).

Ja ir vairāk nekā divi mainīgie (n mainīgie), tad grafiks funkcija ir punktu kopa (n+1)-dimensiju telpā, kurai saskaņā ar doto funkcionālo likumu tiek aprēķināta x koordināte n+1. Tādu grafiku sauc hipervirsma(lineārajai funkcijai - hiperplāns), un tas arī atspoguļo zinātnisku abstrakciju (to nav iespējams attēlot).

5.3. attēls – divu mainīgo funkcijas grafiks trīsdimensiju telpā

Līmeņa virsma n mainīgo funkcija ir tādu punktu kopa n-dimensiju telpā, ka visos šajos punktos funkcijas vērtība ir vienāda un vienāda ar C. Pats skaitlis C šajā gadījumā tiek saukts līmenī.

Parasti vienai un tai pašai funkcijai ir iespējams konstruēt bezgalīgi daudz līmeņu virsmu (atbilst dažādiem līmeņiem).

Divu mainīgo funkcijai līdzenuma virsma iegūst formu līmeņa līnijas.

Piemēram, apsveriet z = 1/(x 1 x 2). Ņemsim C = 10, t.i. 1/(x 1 x 2) = 10. Tad x 2 = 1/(10x 1), t.i. plaknē līmeņa līnija iegūs 5.4. attēlā parādīto formu kā nepārtraukta līnija. Ņemot citu līmeni, piemēram, C = 5, iegūstam līmeņa līniju funkcijas x 2 = 1/(5x 1) grafika veidā (5.4. attēlā parādīts ar punktētu līniju).

5.4. attēls — funkciju līmeņa līnijas z = 1/(x 1 x 2)

Apskatīsim citu piemēru. Pieņemsim, ka z = 2x1 + x 2. Ņemsim C = 2, t.i. 2x 1 + x 2 = 2. Tad x 2 = 2 - 2x 1, t.i. plaknē līmeņa līnija būs taisna, kas 5.5. attēlā attēlota ar nepārtrauktu līniju. Ņemot citu līmeni, piemēram, C = 4, iegūstam līmeņa līniju taisnas līnijas formā x 2 = 4 - 2x 1 (attēlā 5.5. parādīta ar punktētu līniju). Līmeņa līnija 2x 1 + x 2 = 3 ir parādīta 5.5. attēlā kā punktēta līnija.

Ir viegli pārbaudīt, vai divu mainīgo lineārai funkcijai jebkura līmeņa līnija būs taisna plaknē un visas līmeņa līnijas būs paralēlas viena otrai.

5.5. attēls — funkciju līmeņa līnijas z = 2x 1 + x 2

) mēs jau vairākkārt esam saskārušies ar sarežģītu funkciju daļējiem atvasinājumiem, piemēram, un sarežģītākiem piemēriem. Par ko tad vēl var runāt?! ...Un viss ir kā dzīvē - nav tādas sarežģītības, kas nevarētu būt sarežģīta =) Bet matemātika ir domāta matemātikai, lai mūsu pasaules daudzveidību iekļautu stingros rāmjos. Un dažreiz to var izdarīt ar vienu teikumu:

Kopumā sarežģītajai funkcijai ir forma , Kur, vismaz viens burtu apzīmē funkciju, kas var būt atkarīgs no patvaļīgi mainīgo lielumu skaits.

Minimālā un vienkāršākā iespēja ir viena mainīgā sen pazīstamā kompleksā funkcija, kura atvasinājums mēs uzzinājām, kā atrast pagājušajā semestrī. Jums ir arī prasmes atšķirt funkcijas (apskatiet tās pašas funkcijas ) .

Tādējādi tagad mēs būsim ieinteresēti tikai šajā gadījumā. Sarežģītu funkciju daudzveidības dēļ to atvasinājumu vispārīgās formulas ir ļoti apgrūtinošas un grūti sagremojamas. Šajā sakarā es aprobežošos ar konkrētiem piemēriem, no kuriem jūs varat saprast vispārējs princips atrast šos atvasinājumus:

1. piemērs

Dota kompleksa funkcija kur . Nepieciešams:
1) atrodiet tā atvasinājumu un pierakstiet 1. kārtas kopējo diferenciāli;
2) aprēķina atvasinājuma vērtību pie .

Risinājums: Vispirms apskatīsim pašu funkciju. Mums tiek piedāvāta funkcija atkarībā no un , kas savukārt ir funkcijas viens mainīgais:

Otrkārt, pievērsīsim īpašu uzmanību pašam uzdevumam – mums tiek prasīts atrast atvasinājums, tas ir, mēs nerunājam par daļējiem atvasinājumiem, kurus esam pieraduši atrast! Kopš funkcijas faktiski ir atkarīgs tikai no viena mainīgā, tad vārds “atvasinājums” nozīmē kopējais atvasinājums. Kā viņu atrast?

Pirmā lieta, kas nāk prātā, ir tieša aizstāšana un tālāka diferenciācija. Aizstāsim darboties:
, pēc kura nav problēmu ar vēlamo atvasinājumu:

Un attiecīgi kopējā starpība:

Šis risinājums ir matemātiski pareizs, bet maza nianse ir tāda, ka tad, kad problēma ir formulēta tā, kā tā ir formulēta, tad neviens no tevis tādu barbarismu negaida =) Bet ja nopietni, tad te tiešām var atrast vainu. Iedomājieties, ka funkcija apraksta kamenes lidojumu, un ligzdotās funkcijas mainās atkarībā no temperatūras. Veicot tiešu aizstāšanu , mēs tikai saņemam privāta informācija, kas raksturo lidojumu, teiksim, tikai karstā laikā. Turklāt, ja cilvēkam, kurš nav zinošs par kamenēm, tiek pasniegts gatavo rezultātu un pat pateikts, kas ir šī funkcija, tad viņš nekad neko neuzzinās par lidojuma pamatlikumu!

Tātad, pilnīgi negaidīti, mūsu rosīgais brālis palīdzēja mums saprast universālās formulas nozīmi un nozīmi:

Pierodiet pie atvasinājumu apzīmējuma “divstāvu” – aplūkojamā uzdevumā tie tiek izmantoti. Šajā gadījumā vajadzētu būt ļoti veikls ierakstā: atvasinājumi ar tiešajiem simboliem “de” ir pilnīgi atvasinājumi, un atvasinājumi ar noapaļotām ikonām ir daļēji atvasinājumi. Sāksim ar pēdējiem:

Nu ar “astēm” viss kopumā ir elementāri:

Aizstāsim atrastos atvasinājumus mūsu formulā:

Ja funkcija sākotnēji tiek piedāvāta sarežģītā veidā, tas būs loģiski (un tas ir paskaidrots iepriekš!) atstājiet rezultātus tādus, kādi tie ir:

Tajā pašā laikā “sarežģītās” atbildēs labāk atturēties no pat minimāliem vienkāršojumiem (šeit, piemēram, lūdz noņemt 3 mīnusus)- un jums ir mazāk darba, un jūsu pūkains draugs labprāt pārskatīs uzdevumu vieglāk.

Tomēr aptuvena pārbaude nebūs lieka. Aizstāsim atrastajā atvasinājumā un veikt vienkāršojumus:


(pēdējā darbībā mēs izmantojām trigonometriskās formulas , )

Rezultātā tika iegūts tāds pats rezultāts kā ar “barbarisko” risinājuma metodi.

Aprēķināsim atvasinājumu punktā. Vispirms ir ērti noskaidrot “tranzīta” vērtības (funkciju vērtības ) :

Tagad mēs sastādām galīgos aprēķinus, kurus šajā gadījumā var veikt dažādos veidos. Es izmantoju interesantu paņēmienu, kurā 3. un 4. “stāvs” tiek vienkāršots nevis pēc parastajiem noteikumiem, bet tiek pārveidots kā divu skaitļu koeficients:

Un, protams, būtu grēks nepārbaudīt, izmantojot kompaktāku apzīmējumu :

Atbilde:

Gadās, ka problēma tiek piedāvāta “daļēji vispārīgā” formā:

"Atrodiet funkcijas kur atvasinājumu »

Tas ir, “galvenā” funkcija nav dota, bet tās “ieliktņi” ir diezgan specifiski. Atbilde jāsniedz tādā pašā stilā:

Turklāt nosacījumu var nedaudz šifrēt:

"Atrodiet funkcijas atvasinājumu »

Šajā gadījumā jums ir nepieciešams paša spēkiem apzīmējiet ligzdotās funkcijas ar dažiem piemērotiem burtiem, piemēram, caur un izmantojiet to pašu formulu:

Starp citu, par burtu apzīmējumiem. Jau vairākkārt esmu mudinājis “neturēties pie burtiem” it kā tie būtu glābēji, un tagad tas ir īpaši aktuāli! Analizējot dažādus avotus par šo tēmu, man vispār radās iespaids, ka autori “trakojās” un sāka nežēlīgi mest skolēnus vētrainajā matemātikas bezdibenī =) Tāpēc piedodiet :))

2. piemērs

Atrodiet funkcijas atvasinājumu , Ja

Citi apzīmējumi nedrīkst būt mulsinoši! Katru reizi, kad saskaraties ar šādu uzdevumu, jums ir jāatbild uz diviem vienkāršiem jautājumiem:

1) No kā ir atkarīga “galvenā” funkcija?Šajā gadījumā funkcija “zet” ir atkarīga no divām funkcijām (“y” un “ve”).

2) No kādiem mainīgajiem ir atkarīgas ligzdotās funkcijas?Šajā gadījumā abi “ieliktņi” ir atkarīgi tikai no “X”.

Tāpēc jums nevajadzētu radīt grūtības, pielāgojot formulu šim uzdevumam!

Īss risinājums un atbilde nodarbības beigās.

Papildu pirmā veida piemērus var atrast Rjabuško problēmu grāmata (IDZ 10.1), labi, mēs ejam uz trīs mainīgo funkciju:

3. piemērs

Dota funkcija, kur .
Aprēķināt atvasinājumu punktā

Sarežģītas funkcijas atvasinājuma formulai, kā daudzi min, ir saistīta forma:

Izlemiet, kad uzminējāt =)

Katram gadījumam es sniegšu vispārīgu funkcijas formulu:
, lai gan praksē jūs, visticamāk, neredzēsit kaut ko garāku par 3. piemēru.

Turklāt dažreiz ir jānošķir “saīsināta” versija - kā likums, formas funkcija vai. Es atstāju šo jautājumu jums, lai izpētītu savu - izdomājiet dažus vienkāršus piemērus, domājiet, eksperimentējiet un atvasiniet atvasinājumu saīsinātas formulas.

Ja kaut kas joprojām nav skaidrs, lūdzu, lēnām pārlasiet un izprotiet nodarbības pirmo daļu, jo tagad uzdevums kļūs sarežģītāks:

4. piemērs

Atrodiet kompleksas funkcijas daļējos atvasinājumus, kur

Risinājums: šī funkcija ir forma , un pēc tiešas aizstāšanas mēs iegūstam parasto divu mainīgo funkciju:

Bet tādas bailes ne tikai nepieņem, bet arī vairs negribas atšķirt =) Tāpēc izmantosim gatavas formulas. Lai palīdzētu jums ātri saprast modeli, es izdarīšu dažas piezīmes:

Uzmanīgi apskatiet attēlu no augšas uz leju un no kreisās uz labo...

Vispirms atradīsim “galvenās” funkcijas daļējos atvasinājumus:

Tagad mēs atrodam “lainer” atvasinājumus “X”:

un pierakstiet galīgo “X” atvasinājumu:

Līdzīgi ar "spēli":

Un

Varat pieturēties pie cita stila - atrodiet visas “astes” uzreiz un pēc tam pierakstiet abus atvasinājumus.

Atbilde:

Par aizstāšanu kaut kā es par to vispār nedomāju =) =), bet jūs varat nedaudz pielāgot rezultātus. Lai gan, atkal, kāpēc? – tikai apgrūtina skolotāja pārbaudi.

Ja nepieciešams, tad pilns diferenciālisšeit tas ir uzrakstīts pēc parastās formulas, un, starp citu, tieši šajā posmā vieglā kosmētika kļūst piemērota:


Tas ir... ...zārks uz riteņiem.

Ņemot vērā aplūkojamā sarežģītās funkcijas veida popularitāti, patstāvīgam risinājumam ir daži uzdevumi. Vienkāršāks piemērs “daļēji vispārīgā” formā ir pašas formulas izpratnei;-):

5. piemērs

Atrodiet funkcijas daļējos atvasinājumus, kur

Un vēl sarežģītāk - ar diferenciācijas paņēmienu iekļaušanu:

6. piemērs

Atrodiet funkcijas pilno diferenciāli , Kur

Nē, es nemaz nemēģinu “nosūtīt jūs uz leju” - visi piemēri ir ņemti no īsts darbs, un “atklātā jūrā” var sastapt jebkurus burtus. Jebkurā gadījumā jums būs jāanalizē funkcija (atbildot uz 2 jautājumiem – skatīt augstāk), iesniedziet to vispārējs skats un rūpīgi modificē daļējas atvasinājumu formulas. Iespējams, tagad būsiet nedaudz apjukuši, bet sapratīsiet pašu to uzbūves principu! Jo īstie izaicinājumi tikai sākas :))))

7. piemērs

Atrodiet daļējus atvasinājumus un izveidojiet kompleksās funkcijas pilnīgu diferenciāli
, Kur

Risinājums: funkcijai “galvenā” ir forma un tā joprojām ir atkarīga no diviem mainīgajiem lielumiem – “x” un “y”. Bet, salīdzinot ar 4. piemēru, ir pievienota vēl viena ligzdotā funkcija, un tāpēc tiek pagarinātas arī daļējas atvasinājuma formulas. Tāpat kā šajā piemērā, lai labāk vizualizētu modeli, es izcelšu “galvenos” daļējos atvasinājumus dažādās krāsās:

Un atkal uzmanīgi izpētiet ierakstu no augšas uz leju un no kreisās uz labo pusi.

Tā kā problēma ir formulēta “daļēji vispārīgā” formā, viss mūsu darbs būtībā aprobežojas ar iegulto funkciju daļēju atvasinājumu atrašanu:

Pirmklasnieks var tikt galā ar:

Un pat pilnais diferenciālis izrādījās diezgan jauks:

Es jums apzināti nepiedāvāju nekādu konkrētu funkciju - lai liekas nekārtības netraucētu labi izprast shematiska diagramma uzdevumus.

Atbilde:

Diezgan bieži var atrast “jaukta lieluma” investīcijas, piemēram:

Šeit funkcija “galvenā”, lai gan tai ir forma , tomēr ir atkarīga gan no “x”, gan no “y”. Tāpēc darbojas tās pašas formulas - tikai daži daļēji atvasinājumi būs vienādi ar nulli. Turklāt tas attiecas arī uz tādām funkcijām kā , kurā katrs “laineris” ir atkarīgs no viena mainīgā lieluma.

Līdzīga situācija rodas pēdējos divos nodarbības piemēros:

8. piemērs

Atrodiet kompleksās funkcijas kopējo diferenciāli punktā

Risinājums: nosacījums ir formulēts “budžeta” veidā, un mums pašiem ir jāmarķē ligzdotās funkcijas. Manuprāt šis ir labs variants:

“Ievietojumi” satur ( UZMANĪBU!) TRĪS burti ir vecais labais “X-Y-Z”, kas nozīmē, ka “galvenā” funkcija faktiski ir atkarīga no trim mainīgajiem. To var formāli pārrakstīt kā , un daļējos atvasinājumus šajā gadījumā nosaka ar šādām formulām:

Mēs skenējam, iedziļināmies, tveram….

Mūsu uzdevumā:

Definīcija. Mainīgs z(ar maiņas zonu Z) sauca divu neatkarīgu mainīgo funkcija x,y pārpilnībā M, ja katrs pāris ( x,y) no daudziem M z no Z.

Definīcija. ķekars M, kurā ir norādīti mainīgie x,y, sauca funkcijas domēns, komplekts Z – funkciju diapazons, un paši x,y- viņa argumenti.

Apzīmējumi: z = f(x,y), z = z(x,y).

Piemēri.

Definīcija . Mainīgs z(ar maiņas zonu Z) sauca vairāku neatkarīgu mainīgo funkciju pārpilnībā M, ja katra skaitļu kopa no kopas M saskaņā ar kādu noteikumu vai likumu tiek piešķirta viena noteikta vērtība z no Z. Argumentu, definīcijas jomas un vērtības jēdzieni tiek ieviesti tāpat kā divu mainīgo funkciju gadījumā.

Apzīmējumi: z = f, z = z.

komentēt. Tā kā pāris skaitļi ( x,y) var uzskatīt par noteikta plaknes punkta koordinātām, mēs pēc tam izmantosim terminu “punkts” divu mainīgo funkcijas argumentu pārim, kā arī sakārtotai skaitļu kopai, kas ir funkcijas argumenti. no vairākiem mainīgajiem.

Divu mainīgo funkcijas ģeometriskais attēlojums

Apsveriet funkciju

z = f(x,y), (15.1)

noteiktā apgabalā M O plaknē xy. Tad punktu kopa trīsdimensiju telpā ar koordinātām ( x,y,z), kur , ir divu mainīgo funkcijas grafiks. Tā kā vienādojums (15.1) definē noteiktu virsmu trīsdimensiju telpā, tas būs ģeometrisks attēls attiecīgo funkciju.

Funkciju domēns z = f(x,y) visvienkāršākajos gadījumos tā ir vai nu plaknes daļa, ko ierobežo slēgta līkne, un šīs līknes punkti (apgabala robežas) var piederēt vai nepiederēt definīcijas apgabalam, vai arī visa plakne, vai visbeidzot, vairāku xOy plaknes daļu komplekts.

z = f(x,y)

Piemēri ietver plaknes vienādojumus z = ax + ar + c

un otrās kārtas virsmas: z = x² + y² (revolūcijas paraboloīds),

(konuss) utt.

komentēt. Trīs vai vairāku mainīgo funkcijai mēs izmantosim terminu “virsma iekšā n-dimensiju telpa”, lai gan tādu virsmu nav iespējams attēlot.

Līmeņa līnijas un virsmas

Divu mainīgo funkcijai, kas dota ar vienādojumu (15.1), mēs varam uzskatīt punktu kopu ( x,y) Ak lidmašīna xy, par kuru z iegūst to pašu nemainīgo vērtību, tas ir z= konst. Šie punkti veido līniju plaknē, ko sauc līmeņa līnija.

Piemērs.

Atrodiet virsmas līmeņa līnijas z = 4 – x² - y². Viņu vienādojumi ir x² + y² = 4 – c(c=const) – koncentrisku apļu vienādojumi ar centru izcelsmē un ar rādiusiem . Piemēram, kad Ar=0 mēs iegūstam apli x² + y² = 4.

Trīs mainīgo funkcijai u = u(x, y, z) vienādojums u(x, y, z) = c definē virsmu trīsdimensiju telpā, ko sauc līdzenu virsmu.

Piemērs.

Funkcijai u = 3x + 5y – 7z–12 līmeņa virsmas būs paralēlu plakņu saime, kas dota ar 3. vienādojumu x + 5y – 7z –12 + Ar = 0.

Vairāku mainīgo funkcijas ierobežojums un nepārtrauktība

Iepazīstinām ar koncepciju δ-apkaimes punktus M 0 (x 0, y 0) O plaknē xy kā aplis ar rādiusu δ ar centru noteiktā punktā. Līdzīgi mēs varam definēt δ apkārtni trīsdimensiju telpā kā lodi ar rādiusu δ ar centru punktā M 0 (x 0, y 0, z 0). Priekš n-dimensiju telpu mēs sauksim par punkta δ-apkārtni M 0 punktu komplekts M ar nosacījumu atbilstošām koordinātām

kur ir punkta koordinātas M 0 . Dažreiz šo komplektu sauc par "bumbiņu". n- dimensiju telpa.

Definīcija. Tiek izsaukts cipars A ierobežojums vairāku mainīgo funkcijas f punktā M 0 ja tāds, ka | f(M) – A| < ε для любой точки M no δ-apkaimes M 0 .

Apzīmējumi: .

Jāņem vērā, ka šajā gadījumā punkts M var tuvoties M 0, relatīvi runājot, pa jebkuru trajektoriju punkta δ apkārtnē M 0 . Tāpēc būtu jānošķir vairāku mainīgo funkcijas robeža vispārējā nozīmē no t.s atkārtoti ierobežojumi kas iegūti ar secīgiem fragmentiem līdz robežai katram argumentam atsevišķi.

Piemēri.

komentēt. Var pierādīt, ka no robežas esamības noteiktā punktā parastajā izpratnē un robežu esamības šajā punktā uz atsevišķiem argumentiem izriet atkārtotu robežu esamība un vienlīdzība. Apgrieztais apgalvojums nav patiess.

Definīcija Funkcija f sauca nepārtraukts punktā M 0 ja (15.2)

Ja ieviešam apzīmējumu , tad nosacījumu (15.2) var pārrakstīt formā (15.3)

Definīcija . Iekšējais punkts M 0 funkciju domēns z = f (M) sauca pārtraukuma punkts funkcija, ja nosacījumi (15.2), (15.3) šajā punktā nav izpildīti.

komentēt. Plaknē vai telpā var veidoties daudzi pārrāvuma punkti līnijas vai lūzuma virsma.

Piemēri.

Robežu un nepārtrauktu funkciju īpašības

Tā kā robežas un nepārtrauktības definīcijas vairāku mainīgo funkcijai praktiski sakrīt ar atbilstošajām definīcijām viena mainīgā funkcijai, tad vairāku mainīgo funkcijām tiek saglabātas visas kursa pirmajā daļā pierādītās robežu un nepārtrauktības funkciju īpašības. , proti:

1) Ja tās pastāv, tad tās pastāv (ja).

2) Ja a un jebkuram i ir robežas un ir kur M 0, tad ir sarežģītas funkcijas robeža pie , kur ir punkta koordinātas R 0 .

3) Ja funkcijas f(M) Un g(M) nepārtraukti kādā punktā M 0, tad arī šajā punktā funkcijas ir nepārtrauktas f(M)+g(M), kf(M), f(M) g(M), f(M)/g(M)(Ja g (M 0) ≠ 0).

4) Ja funkcijas punktā ir nepārtrauktas P 0, un funkcija ir nepārtraukta punktā M 0, kur , tad kompleksā funkcija ir nepārtraukta punktā R 0.

5) Funkcija ir nepārtraukta slēgtā ierobežotā zonā D, ņem savas lielākās un mazākās vērtības šajā reģionā.

6) Ja funkcija ir nepārtraukta slēgtā ierobežotā zonā D, ņem vērtības šajā reģionā A Un IN, tad viņa uzņem apgabalu D un jebkura starpvērtība, kas atrodas starp A Un IN.

7) Ja funkcija ir nepārtraukta slēgtā ierobežotā zonā D, ņem dažādu zīmju vērtības šajā reģionā, tad ir a vismaz vienu punktu no apgabala D, kurā f = 0.

Daļēji atvasinājumi

Apsvērsim funkcijas nomaiņu, norādot pieaugumu tikai vienam no tās argumentiem - x i, un sauksim to .

Definīcija . Daļējs atvasinājums funkcijas pēc argumenta x i sauca .

Apzīmējumi: .

Tādējādi vairāku mainīgo funkcijas daļējais atvasinājums faktiski tiek definēts kā funkcijas atvasinājums viens mainīgais – x i. Tāpēc uz to ir derīgas visas viena mainīgā funkcijai pierādītās atvasinājumu īpašības.

komentēt. Praktiskajā daļējo atvasinājumu aprēķinā mēs izmantojam parastos noteikumus viena mainīgā funkcijas diferencēšanai, pieņemot, ka arguments, pēc kura tiek veikta diferencēšana, ir mainīgs, bet pārējie argumenti ir nemainīgi.

Piemēri .

1. z = 2x² + 3 xy –12y² + 5 x – 4y +2,

2. z = xy,

Divu mainīgo funkcijas daļēju atvasinājumu ģeometriskā interpretācija

Apsveriet virsmas vienādojumu z = f(x,y) un uzzīmē plakni x = konst. Izvēlieties punktu uz plaknes un virsmas krustošanās līnijas M(x,y). Ja jūs sniedzat argumentu plkst pieaugums Δ plkst un apsveriet punktu T līknē ar koordinātām ( x, y+Δ y, z+Δy z), tad leņķa pieskare, ko veido sekants MT ar O ass pozitīvo virzienu plkst, būs vienāds ar . Pārejot uz robežu pie , mēs atklājam, ka daļējais atvasinājums ir vienāds ar leņķa tangensu, ko veido iegūtās līknes pieskares punktā punktā M ar pozitīvu O ass virzienu u. Attiecīgi daļējais atvasinājums ir vienāds ar leņķa tangensu ar O asi X pieskares līknei, kas iegūta virsmas sadalīšanas rezultātā z = f(x,y) lidmašīna y= konst.

Vairāku mainīgo funkcijas diferenciācija

Pētot jautājumus, kas saistīti ar diferenciāciju, mēs aprobežosimies ar trīs mainīgo funkcijas gadījumu, jo visi pierādījumi vairāk mainīgie tiek veikti tādā pašā veidā.

Definīcija . Pilns pieaugums funkcijas u = f(x, y, z) sauca

1. teorēma. Ja punktā () pastāv daļēji atvasinājumi x 0, y 0, z 0) un dažos tās apkaimēs un ir nepārtrauktas punktā ( x 0, y 0, z 0), tad ir ierobežoti (jo to moduļi nepārsniedz 1).

Tad tādas funkcijas pieaugumu, kas atbilst 1. teorēmas nosacījumiem, var attēlot kā: , (15.6)

Definīcija . Ja funkcija palielinās u = f (x, y, z) punktā ( x 0 , y 0 , z 0) var attēlot formā (15.6), (15.7), tad funkcija tiek izsaukta diferencējamsšajā brīdī, un izteiksme ir pieauguma galvenā lineārā daļa vai pilns diferenciālis attiecīgo funkciju.

Apzīmējumi: du, df (x 0 , y 0 , z 0).

Tāpat kā viena mainīgā funkcijas gadījumā, neatkarīgo mainīgo diferenciāļi ir to patvaļīgi pieaugumi, tāpēc

1. piezīme. Tātad apgalvojums “funkcija ir diferencējama” nav līdzvērtīgs apgalvojumam “funkcijai ir daļēji atvasinājumi” – diferencējamībai ir nepieciešama arī šo atvasinājumu nepārtrauktība attiecīgajā punktā.

.

Apsveriet funkciju un izvēlieties x 0 = 1, y 0 = 2. Tad Δ x = 1,02 – 1 = 0,02; Δ y = 1,97 – 2 = –0,03. Atradīsim

Tāpēc, ņemot vērā to f ( 1, 2) = 3, mēs iegūstam.