Katrs daļējs atvasinājums (pēc x un līdz y) no divu mainīgo lieluma funkcijas ir parastais viena mainīgā funkcijas atvasinājums otra mainīgā fiksētai vērtībai:

(Kur y= konst.),

(Kur x= const).

Tāpēc daļējie atvasinājumi tiek aprēķināti, izmantojot formulas un noteikumi viena mainīgā funkciju atvasinājumu aprēķināšanai, vienlaikus ņemot vērā citu mainīgo konstanti.

Ja jums nav nepieciešama piemēru analīze un tam nepieciešamā minimālā teorija, bet nepieciešams tikai jūsu problēmas risinājums, dodieties uz tiešsaistes daļēju atvasinājumu kalkulators .

Ja ir grūti koncentrēties, lai izsekotu, kur funkcijā atrodas konstante, tad piemēra risinājuma projektā mainīgā vietā ar fiksētu vērtību var aizstāt jebkuru skaitli – tad var ātri aprēķināt daļējo atvasinājumu kā viena mainīgā funkcijas parastais atvasinājums. Pabeidzot galīgo dizainu, jums vienkārši jāatceras atgriezt konstantu (mainīgo ar fiksētu vērtību) savā vietā.

Iepriekš aprakstītā daļējo atvasinājumu īpašība izriet no daļēja atvasinājuma definīcijas, kas var parādīties eksāmena jautājumos. Tāpēc, lai iepazītos ar tālāk sniegto definīciju, varat atvērt teorētisko atsauci.

Funkcijas nepārtrauktības jēdziens z= f(x, y) punktā ir definēts līdzīgi šim jēdzienam viena mainīgā funkcijai.

Funkcija z = f(x, y) sauc par nepārtrauktu punktā, ja

Starpību (2) sauc par funkcijas kopējo pieaugumu z(to iegūst abu argumentu pieauguma rezultātā).

Lai funkcija ir dota z= f(x, y) un punkts

Ja mainās funkcija z notiek, ja mainās tikai viens no argumentiem, piemēram, x, ar cita argumenta fiksētu vērtību y, tad funkcija saņems pieaugumu

sauc par daļēju funkcijas pieaugumu f(x, y) Autors x.

Apsverot funkcijas maiņu z atkarībā no tā, vai tiek mainīts tikai viens no argumentiem, mēs faktiski maināmies uz viena mainīgā funkciju.

Ja ir noteikta robeža

tad to sauc par funkcijas daļējo atvasinājumu f(x, y) ar argumentu x un ir norādīts ar vienu no simboliem

(4)

Daļēju pieaugumu nosaka līdzīgi z Autors y:

un daļējs atvasinājums f(x, y) Autors y:

(6)

1. piemērs.

Risinājums. Mēs atrodam daļēju atvasinājumu attiecībā uz mainīgo "x":

(y fiksēts);

Mēs atrodam daļēju atvasinājumu attiecībā uz mainīgo "y":

(x fiksēts).

Kā redzat, nav nozīmes tam, cik lielā mērā mainīgais ir fiksēts: šajā gadījumā tas ir vienkārši noteikts skaitlis, kas ir faktors (tāpat kā parasta atvasinājuma gadījumā) mainīgajam, ar kuru mēs atrodam daļējo atvasinājumu. . Ja fiksēto mainīgo nereizina ar mainīgo, ar kuru mēs atrodam daļējo atvasinājumu, tad šī vientuļā konstante, neatkarīgi no tā, cik lielā mērā, tāpat kā parastā atvasinājuma gadījumā, pazūd.

2. piemērs. Dota funkcija

Atrodiet daļējus atvasinājumus

(ar X) un (ar Y) un aprēķiniet to vērtības punktā A (1; 2).

Risinājums. Pie fiksēta y pirmā vārda atvasinājums tiek atrasts kā jaudas funkcijas atvasinājums ( viena mainīgā atvasināto funkciju tabula):

.

Pie fiksēta x pirmā vārda atvasinājums tiek atrasts kā eksponenciālās funkcijas atvasinājums, bet otrais - kā konstantes atvasinājums:

Tagad aprēķināsim šo daļējo atvasinājumu vērtības punktā A (1; 2):

Daļēju atvasinājumu problēmu risinājumu varat pārbaudīt vietnē tiešsaistes daļēju atvasinājumu kalkulators .

3. piemērs. Atrast funkcijas daļējos atvasinājumus

Risinājums. Vienā solī mēs atrodam

(y x, it kā sinusa arguments būtu 5 x: tādā pašā veidā 5 parādās pirms funkcijas zīmes);

(x ir fiksēts un šajā gadījumā ir reizinātājs pie y).

Daļēju atvasinājumu problēmu risinājumu varat pārbaudīt vietnē tiešsaistes daļēju atvasinājumu kalkulators .

Trīs vai vairāku mainīgo funkcijas daļējie atvasinājumi tiek definēti līdzīgi.

Ja katra vērtību kopa ( x; y; ...; t) neatkarīgi mainīgie no kopas D atbilst vienai noteiktai vērtībai u no daudziem E, Tas u sauc par mainīgo funkciju x, y, ..., t un apzīmē u= f(x, y, ..., t).

Trīs vai vairāku mainīgo funkcijām nav ģeometriskas interpretācijas.

Tiek noteikti un aprēķināti arī vairāku mainīgo funkcijas daļējie atvasinājumi, pieņemot, ka mainās tikai viens no neatkarīgiem mainīgajiem, bet pārējie ir fiksēti.

4. piemērs. Atrast funkcijas daļējos atvasinājumus

.

Risinājums. y Un z fiksēts:

x Un z fiksēts:

x Un y fiksēts:

Atrodiet daļējus atvasinājumus pats un pēc tam skatieties risinājumus

5. piemērs.

6. piemērs. Atrodiet funkcijas daļējos atvasinājumus.

Vairāku mainīgo funkcijas daļējam atvasinājumam ir vienāds mehāniskā nozīme ir tāda pati kā viena mainīgā funkcijas atvasinājums, ir funkcijas izmaiņu ātrums attiecībā pret izmaiņām vienā no argumentiem.

8. piemērs. Plūsmas kvantitatīvā vērtība P dzelzceļa pasažierus var izteikt ar funkciju

Kur P- pasažieru skaits, N– korespondentpunktu iedzīvotāju skaits, R- attālums starp punktiem.

Funkcijas daļējs atvasinājums P Autors R, vienāds

parāda, ka pasažieru plūsmas samazinājums ir apgriezti proporcionāls attāluma kvadrātam starp atbilstošiem punktiem ar vienādu iedzīvotāju skaitu punktos.

Daļējs atvasinājums P Autors N, vienāds

parāda, ka pasažieru plūsmas pieaugums ir proporcionāls divreiz lielākam apdzīvotu vietu iedzīvotāju skaitam vienādā attālumā starp punktiem.

Daļēju atvasinājumu problēmu risinājumu varat pārbaudīt vietnē tiešsaistes daļēju atvasinājumu kalkulators .

Pilns diferenciālis

Daļēja atvasinājuma un atbilstošā neatkarīgā mainīgā pieauguma reizinājumu sauc par daļēju diferenciāli. Daļējas atšķirības tiek apzīmētas šādi:

Visu neatkarīgo mainīgo daļējo diferenciāļu summa dod kopējo diferenciāli. Divu neatkarīgu mainīgo funkcijai kopējo diferenciāli izsaka ar vienādību

(7)

9. piemērs. Atrodiet funkcijas pilno diferenciāli

Risinājums. Formulas (7) izmantošanas rezultāts:

Tiek uzskatīts, ka funkcija, kurai ir kopējā diferenciālis katrā noteikta domēna punktā, ir diferencējama šajā domēnā.

Atrodiet kopējo starpību pats un pēc tam skatiet risinājumu

Tāpat kā viena mainīgā funkcijas gadījumā, funkcijas diferenciācija noteiktā domēnā nozīmē tās nepārtrauktību šajā jomā, bet ne otrādi.

Formulēsim bez pierādījuma pietiekamu funkcijas diferencējamības nosacījumu.

Teorēma. Ja funkcija z= f(x, y) ir nepārtraukti daļēji atvasinājumi

dotajā reģionā, tad tas šajā reģionā ir diferencējams un tā diferenciālis tiek izteikts ar formulu (7).

Var parādīt, ka, tāpat kā viena mainīgā funkcijas gadījumā, funkcijas diferenciālis ir galvenā funkcijas pieauguma lineārā daļa, tā arī vairāku mainīgo funkcijas gadījumā kopējā diferenciāle ir galvenā, lineāra attiecībā pret neatkarīgo mainīgo pieaugumu, daļa no funkcijas kopējā pieauguma.

Divu mainīgo funkcijai funkcijas kopējam pieaugumam ir forma

(8)

kur α un β ir bezgalīgi mazi pie un .

Augstākas kārtas daļēji atvasinājumi

Daļēji atvasinājumi un funkcijas f(x, y) paši ir dažas vienu un to pašu mainīgo funkcijas, un, savukārt, tiem var būt atvasinājumi attiecībā uz dažādiem mainīgajiem, kurus sauc par augstākas kārtas daļējiem atvasinājumiem.

Lai funkcija ir dota. Tā kā x un y ir neatkarīgi mainīgie, viens no tiem var mainīties, bet otrs saglabā savu vērtību. Piešķirsim neatkarīgajam mainīgajam x pieaugumu, saglabājot y vērtību nemainīgu. Tad z saņems pieaugumu, ko sauc par daļēju z pieaugumu attiecībā pret x un apzīmē ar . Tātad,.

Līdzīgi mēs iegūstam z daļēju pieaugumu pār y: .

Funkcijas z kopējo pieaugumu nosaka vienādība .

Ja ir robeža, tad to sauc par funkcijas daļēju atvasinājumu punktā attiecībā pret mainīgo x un apzīmē ar vienu no simboliem:

.

Daļēji atvasinājumi attiecībā pret x punktā parasti tiek apzīmēti ar simboliem .

Daļējais atvasinājums attiecībā pret mainīgo y tiek definēts un apzīmēts līdzīgi:

Tādējādi vairāku (divu, trīs vai vairāku) mainīgo funkcijas daļējs atvasinājums tiek definēts kā viena no šiem mainīgajiem funkcijas atvasinājums ar nosacījumu, ka atlikušo neatkarīgo mainīgo vērtības ir nemainīgas. Tāpēc funkcijas daļējie atvasinājumi tiek atrasti, izmantojot formulas un noteikumus viena mainīgā funkcijas atvasinājumu aprēķināšanai (šajā gadījumā x vai y tiek uzskatīti par konstantu vērtību attiecīgi).

Daļējos atvasinājumus sauc par pirmās kārtas daļējiem atvasinājumiem. Tās var uzskatīt par funkcijām. Šīm funkcijām var būt daļēji atvasinājumi, kurus sauc par otrās kārtas daļējiem atvasinājumiem. Tie ir definēti un marķēti šādi:

; ;

; .

Divu mainīgo funkcijas 1. un 2. kārtas diferenciāļi.

Funkcijas kopējo diferenciāli (formula 2.5) sauc par pirmās kārtas diferenciāli.

Kopējās starpības aprēķināšanas formula ir šāda:

(2.5) vai , Kur,

funkcijas daļējas atšķirības.

Lai funkcijai ir nepārtraukti otrās kārtas daļējie atvasinājumi. Otrās kārtas diferenciāli nosaka pēc formulas. Atradīsim to:

No šejienes: . Simboliski tas ir rakstīts šādi:

.

NENOTEIKTS INTEGRĀLS.

Funkcijas antiatvasinājums, nenoteikts integrālis, īpašības.

Tiek izsaukta funkcija F(x). antiderivatīvs dotai funkcijai f(x), ja F"(x)=f(x), vai, kas ir tas pats, ja dF(x)=f(x)dx.

Teorēma. Ja funkcijai f(x), kas definēta kādā ierobežota vai bezgalīga garuma intervālā (X), ir viens antiatvasinājums F(x), tad tai ir arī bezgalīgi daudz antiatvasinājumu; tie visi ir ietverti izteiksmē F(x) + C, kur C ir patvaļīga konstante.

Tiek saukta visu antiatvasinājumu kopa noteiktai funkcijai f(x), kas definēta noteiktā intervālā vai uz ierobežota vai bezgalīga garuma segmenta. nenoteikts integrālis no funkcijas f(x) [vai no izteiksmes f(x)dx ] un tiek apzīmēts ar simbolu .

Ja F(x) ir viens no f(x) antiatvasinājumiem, tad saskaņā ar antiatvasinājumu teorēmu

, kur C ir patvaļīga konstante.

Pēc antiatvasinājuma definīcijas F"(x)=f(x) un līdz ar to dF(x)=f(x) dx. Formulā (7.1) f(x) sauc par integrand funkciju, un f( x) dx sauc par integrand izteiksmi.

Apsveriet divu mainīgo funkciju:

Tā kā mainīgie $x$ un $y$ ir neatkarīgi, tad šādai funkcijai varam ieviest daļēja atvasinājuma jēdzienu:

Funkcijas $f$ daļējais atvasinājums punktā $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ attiecībā pret mainīgo $x$ ir robeža

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \labais))(\Delta x)\]

Līdzīgi varat definēt daļēju atvasinājumu attiecībā pret mainīgo $y$:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Citiem vārdiem sakot, lai atrastu vairāku mainīgo funkcijas daļēju atvasinājumu, ir jālabo visi pārējie mainīgie, izņemot vēlamo, un pēc tam jāatrod parastais atvasinājums attiecībā uz šo vēlamo mainīgo.

Tas noved pie galvenās šādu atvasinājumu aprēķināšanas tehnikas: vienkārši pieņemsim, ka visi mainīgie, izņemot šo, ir konstantes, un pēc tam diferencējiet funkciju tā, kā jūs atšķirtu “parasto” — ar vienu mainīgo. Piemēram:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) )) \labais))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ pirmskaitlis ))_(y)+10x\cpunkts ((\kreisais(y \labais))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(līdzināt)$

Acīmredzot daļēji atvasinājumi attiecībā uz dažādiem mainīgajiem sniedz dažādas atbildes - tas ir normāli. Daudz svarīgāk ir saprast, kāpēc, teiksim, pirmajā gadījumā mēs mierīgi noņēmām $10y$ no zem atvasinātās zīmes, bet otrajā gadījumā mēs pilnībā no nulles pirmo terminu. Tas viss notiek tāpēc, ka visi burti, izņemot mainīgo, pēc kura tiek veikta diferenciācija, tiek uzskatīti par konstantēm: tos var izņemt, “sadedzināt” utt.

Kas ir "daļējs atvasinājums"?

Šodien mēs runāsim par vairāku mainīgo funkcijām un to daļējiem atvasinājumiem. Pirmkārt, kāda ir vairāku mainīgo funkcija? Līdz šim mēs esam pieraduši uzskatīt funkciju kā $y\left(x \right)$ vai $t\left(x \right)$, vai jebkuru mainīgo un vienu tā funkciju. Tagad mums būs viena funkcija, bet vairāki mainīgie. Mainoties $y$ un $x$, mainīsies funkcijas vērtība. Piemēram, ja $x$ dubultojas, funkcijas vērtība mainīsies, un, ja $x$ mainās, bet $y$ nemainās, funkcijas vērtība mainīsies tāpat.

Protams, vairāku mainīgo funkciju, tāpat kā viena mainīgā funkciju, var diferencēt. Tomēr, tā kā ir vairāki mainīgie, ir iespējams diferencēt pēc dažādiem mainīgajiem. Šajā gadījumā rodas īpaši noteikumi, kas nepastāvēja, diferencējot vienu mainīgo.

Pirmkārt, kad mēs aprēķinām funkcijas atvasinājumu no jebkura mainīgā, mums ir jānorāda, kuram mainīgajam mēs aprēķinām atvasinājumu - to sauc par daļējo atvasinājumu. Piemēram, mums ir divu mainīgo funkcija, un mēs to varam aprēķināt gan $x$, gan $y$ - divi daļēji atvasinājumi katram mainīgajam.

Otrkārt, tiklīdz esam fiksējuši vienu no mainīgajiem un sākam aprēķināt daļējo atvasinājumu attiecībā pret to, tad visi pārējie šajā funkcijā iekļautie tiek uzskatīti par konstantēm. Piemēram, $z\left(xy \right)$, ja mēs uzskatām daļējo atvasinājumu attiecībā pret $x$, tad visur, kur sastopamies ar $y$, mēs to uzskatām par konstanti un traktējam kā tādu. Jo īpaši, aprēķinot produkta atvasinājumu, mēs varam izņemt $y$ no iekavām (mums ir konstante), un, aprēķinot summas atvasinājumu, ja kaut kur mēs iegūstam izteiksmes atvasinājumu, kas satur $ y$ un nesatur $x$, tad šīs izteiksmes atvasinājums būs vienāds ar “nulle” kā konstantes atvasinājums.

No pirmā acu uzmetiena var šķist, ka es runāju par kaut ko sarežģītu, un daudzi skolēni sākumā ir neizpratnē. Tomēr daļējos atvasinājumos nav nekā pārdabiska, un tagad mēs to redzēsim, izmantojot konkrētu problēmu piemēru.

Problēmas ar radikāļiem un polinomiem

Uzdevums Nr.1

Lai netērētu laiku, sāksim no paša sākuma ar nopietniem piemēriem.

Sākumā ļaujiet man jums atgādināt šo formulu:

Šī ir standarta tabulas vērtība, ko mēs zinām no standarta kursa.

Šajā gadījumā atvasinājumu $z$ aprēķina šādi:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Darīsim to vēlreiz, jo sakne nav $x$, bet kāda cita izteiksme, šajā gadījumā $\frac(y)(x)$, tad vispirms izmantosim standarta tabulas vērtību un tad, jo sakne ir nevis $x $ un citu izteiksmi, mums ir jāreizina mūsu atvasinājums ar citu šīs izteiksmes vērtību attiecībā uz to pašu mainīgo. Vispirms aprēķināsim sekojošo:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)"))_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Mēs atgriežamies pie mūsu izteiksmes un rakstām:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

Būtībā tas arī viss. Tomēr ir nepareizi to atstāt šādā formā: šādu konstrukciju ir neērti izmantot turpmākiem aprēķiniem, tāpēc nedaudz pārveidosim:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Atbilde ir atrasta. Tagad tiksim galā ar $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Pierakstīsim to atsevišķi:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Tagad mēs pierakstām:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Gatavs.

Problēma Nr.2

Šis piemērs ir gan vienkāršāks, gan sarežģītāks nekā iepriekšējais. Tas ir sarežģītāk, jo ir vairāk darbību, bet tas ir vienkāršāk, jo nav saknes un turklāt funkcija ir simetriska attiecībā pret $x$ un $y$, t.i. ja apmainīsim $x$ un $y$, formula nemainīsies. Šī piezīme vēl vairāk vienkāršos mūsu aprēķinu par daļējo atvasinājumu, t.i. pietiek ar vienu no tiem saskaitīt, bet otrajā vienkārši samainīt $x$ un $y$.

Sāksim pie lietas:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \labais)-xy((\kreisais(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \labais))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Skaitīsim:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Tomēr daudzi skolēni nesaprot šo apzīmējumu, tāpēc rakstīsim to šādi:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Tādējādi mēs atkal esam pārliecināti par daļējā atvasinājuma algoritma universālumu: neatkarīgi no tā, kā mēs tos aprēķinām, ja visi noteikumi tiek piemēroti pareizi, atbilde būs vienāda.

Tagad apskatīsim vēl vienu daļēju atvasinājumu no mūsu lielās formulas:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left(((()) x)^(2)) \labais))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Aizstāsim iegūtās izteiksmes savā formulā un iegūsim:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ pa labi)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \pa labi))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((((()) x)^(2))+((y)^(2))+1 \pa labi))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ pa kreisi(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \pa labi))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \pa labi))(((\kreisais(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \labais))^(2 )))\]

Pamatojoties uz saskaitītajiem $x$. Un, lai aprēķinātu $y$ no vienas un tās pašas izteiksmes, neizpildīsim to pašu darbību secību, bet izmantosim mūsu sākotnējās izteiksmes simetriju — mēs vienkārši aizstājam visus $y$ mūsu sākotnējā izteiksmē ar $x$ un otrādi:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Simetrijas dēļ mēs šo izteiksmi aprēķinājām daudz ātrāk.

Risinājuma nianses

Daļējiem atvasinājumiem darbojas visas standarta formulas, kuras mēs izmantojam parastajiem, proti, koeficienta atvasinājums. Tomēr tajā pašā laikā rodas specifiskas pazīmes: ja mēs uzskatām $x$ daļējo atvasinājumu, tad, iegūstot to no $x$, mēs to uzskatām par konstanti, un tāpēc tā atvasinājums būs vienāds ar "nulle" .

Tāpat kā parasto atvasinājumu gadījumā, koeficientu (to pašu atvasinājumu) var aprēķināt vairākos dažādos veidos. Piemēram, to pašu konstrukciju, kuru mēs tikko aprēķinājām, var pārrakstīt šādi:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Tajā pašā laikā, no otras puses, varat izmantot formulu no atvasinātās summas. Kā zināms, tas ir vienāds ar atvasinājumu summu. Piemēram, uzrakstīsim sekojošo:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Tagad, zinot to visu, mēģināsim strādāt ar nopietnākām izteiksmēm, jo ​​reālie daļējie atvasinājumi neaprobežojas tikai ar polinomiem un saknēm: ir arī trigonometrija, logaritmi un eksponenciālā funkcija. Tagad darīsim to.

Trigonometrisko funkciju un logaritmu uzdevumi

Uzdevums Nr.1

Uzrakstīsim šādas standarta formulas:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Apbruņojušies ar šīm zināšanām, mēģināsim atrisināt:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Izrakstīsim vienu mainīgo atsevišķi:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Atgriezīsimies pie mūsu dizaina:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Tas ir viss, mēs to atradām par $x$, tagad veiksim aprēķinus par $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Atkal aprēķināsim vienu izteiksmi:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \pa labi)\]

Mēs atgriežamies pie sākotnējās izteiksmes un turpinām risinājumu:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Gatavs.

Problēma Nr.2

Pierakstīsim nepieciešamo formulu:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Tagad saskaitīsim ar $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right)))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Atrasts par $x$. Mēs skaitam ar $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right)))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Problēma ir atrisināta.

Risinājuma nianses

Tātad, neatkarīgi no tā, kādu funkciju mēs ņemam daļēju atvasinājumu, noteikumi paliek nemainīgi neatkarīgi no tā, vai mēs strādājam ar trigonometriju, ar saknēm vai ar logaritmiem.

Klasiskie noteikumi darbam ar standarta atvasinājumiem paliek nemainīgi, proti, summas un starpības atvasinājums, koeficients un kompleksā funkcija.

Pēdējā formula visbiežāk sastopama, risinot uzdevumus ar daļējiem atvasinājumiem. Mēs viņus sastopam gandrīz visur. Nekad nav bijis neviena uzdevuma, kurā mēs ar to nebūtu saskārušies. Bet neatkarīgi no tā, kādu formulu mēs izmantojam, mums joprojām ir pievienota vēl viena prasība, proti, darba īpatnība ar daļējiem atvasinājumiem. Kad mēs labojam vienu mainīgo, visi pārējie ir konstantes. Jo īpaši, ja ņemam vērā izteiksmes $\cos \frac(x)(y)$ daļējo atvasinājumu attiecībā pret $y$, tad $y$ ir mainīgais, un $x$ visur paliek nemainīgs. Tas pats darbojas otrādi. To var izņemt no atvasinājuma zīmes, un pašas konstantes atvasinājums būs vienāds ar “nulle”.

Tas viss noved pie tā, ka vienas un tās pašas izteiksmes daļējie atvasinājumi, bet attiecībā uz dažādiem mainīgajiem, var izskatīties pilnīgi atšķirīgi. Piemēram, apskatīsim šādus izteicienus:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Problēmas ar eksponenciālajām funkcijām un logaritmiem

Uzdevums Nr.1

Lai sāktu, uzrakstīsim šādu formulu:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Zinot šo faktu, kā arī sarežģītas funkcijas atvasinājumu, mēģināsim aprēķināt. Tagad es to atrisināšu divos dažādos veidos. Pirmais un acīmredzamākais ir produkta atvasinājums:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Atsevišķi atrisināsim šādu izteiksmi:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Mēs atgriežamies pie mūsu sākotnējā dizaina un turpinām ar risinājumu:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

Viss, $x$ ir aprēķināts.

Taču, kā jau solīju, tagad mēģināsim šo pašu daļējo atvasinājumu aprēķināt savādāk. Lai to izdarītu, ņemiet vērā tālāk norādīto.

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Rakstīsim šādi:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Rezultātā saņēmām tieši tādu pašu atbildi, taču aprēķinu apjoms izrādījās mazāks. Lai to izdarītu, pietika atzīmēt, ka, veicot produktu, indikatorus var pievienot.

Tagad skaitīsim ar $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Atrisināsim vienu izteiksmi atsevišķi:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Turpināsim risināt mūsu sākotnējo konstrukciju:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Protams, šo pašu atvasinājumu varētu aprēķināt arī otrā veidā, un atbilde būtu tāda pati.

Problēma Nr.2

Skaitīsim ar $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Aprēķināsim vienu izteiksmi atsevišķi:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Turpināsim risināt sākotnējo konstrukciju: $$

Šī ir atbilde.

Atliek pēc analoģijas atrast, izmantojot $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Kā vienmēr, mēs aprēķinām vienu izteiksmi atsevišķi:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Mēs turpinām pamata dizaina risināšanu:

Viss ir aprēķināts. Kā redzat, atkarībā no tā, kurš mainīgais tiek ņemts diferencēšanai, atbildes ir pilnīgi atšķirīgas.

Risinājuma nianses

Šeit ir spilgts piemērs tam, kā vienas un tās pašas funkcijas atvasinājumu var aprēķināt divos dažādos veidos. Apskatīt šeit:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ pa kreisi(1+\frac(1)(y)\right)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cpunkts ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Izvēloties dažādus ceļus, aprēķinu apjoms var būt atšķirīgs, taču atbilde, ja viss ir izdarīts pareizi, būs viena. Tas attiecas gan uz klasiskajiem, gan daļējiem atvasinājumiem. Tajā pašā laikā vēlreiz atgādinu: atkarībā no tā, kurš mainīgais tiek ņemts atvasinājums, t.i. diferenciācija, atbilde var izrādīties pavisam cita. Skaties:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Noslēgumā, lai konsolidētu visu šo materiālu, mēģināsim aprēķināt vēl divus piemērus.

Trigonometrisko funkciju un trīs mainīgo funkciju uzdevumi

Uzdevums Nr.1

Pierakstīsim šādas formulas:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Tagad atrisināsim mūsu izteiksmi:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Atsevišķi aprēķināsim šādu konstrukciju:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ pa kreisi(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Mēs turpinām atrisināt sākotnējo izteiksmi:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Šī ir privātā mainīgā galīgā atbilde uz $x$. Tagad skaitīsim ar $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Atrisināsim vienu izteiksmi atsevišķi:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ pa kreisi(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Atrisināsim savu konstrukciju līdz galam:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Problēma Nr.2

No pirmā acu uzmetiena šis piemērs var šķist diezgan sarežģīts, jo ir trīs mainīgie. Patiesībā šis ir viens no vienkāršākajiem uzdevumiem šodienas video pamācībā.

Atrast pēc $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \labais))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \labais))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Tagad tiksim galā ar $y$:

\[(((t)")_(y))=((\kreisais(x\cpunkts ((e)^(y))+y\cpunkts ((e)^(z)) \labais))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \labais))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cpunkts ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left) (y \labais))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Mēs esam atraduši atbildi.

Tagad atliek tikai atrast pēc $z$:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e)) )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Mēs esam aprēķinājuši trešo atvasinājumu, kas pabeidz otrās problēmas risinājumu.

Risinājuma nianses

Kā redzat, šajos divos piemēros nav nekā sarežģīta. Vienīgais, par ko esam pārliecināti, ir tas, ka kompleksās funkcijas atvasinājums tiek izmantots bieži un atkarībā no tā, kādu daļējo atvasinājumu mēs aprēķinām, mēs saņemam dažādas atbildes.

Pēdējā uzdevumā mums tika lūgts izprast trīs mainīgo funkciju vienlaikus. Tam nav nekā slikta, taču pašās beigās mēs pārliecinājāmies, ka tie visi būtiski atšķiras viens no otra.

Galvenie punkti

Pēdējās atziņas no šodienas video pamācības ir šādas:

1. Daļējos atvasinājumus aprēķina tāpat kā parastos, bet, lai aprēķinātu daļējo atvasinājumu attiecībā pret vienu mainīgo, visus pārējos šajā funkcijā iekļautos mainīgos ņemam par konstantēm.
2. Strādājot ar daļējiem atvasinājumiem, mēs izmantojam tās pašas standarta formulas kā ar parastajiem atvasinājumiem: summa, starpība, reizinājuma un koeficienta atvasinājums un, protams, kompleksās funkcijas atvasinājums.

Protams, ar šīs video nodarbības noskatīšanos vien nepietiek, lai pilnībā izprastu šo tēmu, tāpēc šobrīd manā mājaslapā ir šim video problēmu kopums, kas īpaši veltīts šodienas tēmai – ienāc, lejupielādē, atrisini šīs problēmas un pārbaudi atbildi. . Un pēc tam jums nebūs problēmu ar daļējiem atvasinājumiem ne eksāmenos, ne patstāvīgajā darbā. Protams, šī nav pēdējā augstākās matemātikas nodarbība, tāpēc apmeklējiet mūsu vietni, pievienojiet VKontakte, abonējiet YouTube, atzīmējiet Patīk un palieciet kopā ar mums!

Daļēji atvasinājumi tiek izmantoti problēmās, kas saistītas ar vairāku mainīgo funkcijām. Meklēšanas noteikumi ir tieši tādi paši kā viena mainīgā funkcijām, ar vienīgo atšķirību, ka viens no mainīgajiem ir jāuzskata par konstanti (nemainīgs skaitlis) diferenciācijas brīdī.

Formula

Daļēji atvasinājumi divu mainīgo $ z(x,y) $ funkcijai ir uzrakstīti šādā formā $ z"_x, z"_y $ un tiek atrasti, izmantojot formulas:

Pirmās kārtas daļēji atvasinājumi

$$ z"_x = \frac(\partial z)(\partial x) $$

$$ z"_y = \frac(\partial z)(\partial y) $$

Otrās kārtas daļēji atvasinājumi

$$ z""_(xx) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial x) $$

$$ z""_(yy) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial y) $$

Jaukts atvasinājums

$$ z""_(xy) = \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y) $$

$$ z""_(yx) = \frac(\partial^2 z)(\partial y \partial x) $$

Sarežģītas funkcijas daļējs atvasinājums

a) Pieņemsim, ka $ z (t) = f(x(t), y(t)) $, tad kompleksās funkcijas atvasinājumu nosaka pēc formulas:

$$ \frac(dz)(dt) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(dx)(dt) + \frac(\partial z)(\partial y) \cdot \frac (dy)(dt)$$

b) Lai $ z (u,v) = z(x(u,v),y(u,v)) $, tad funkcijas daļējos atvasinājumus atrod pēc formulas:

$$ \frac(\partial z)(\partial u) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial u) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial u) $$

$$ \frac(\partial z)(\partial v) = \frac(\partial z)(\partial x) \cdot \frac(\partial x)(\partial v) + \frac(\partial z)( \partial y) \cdot \frac(\partial y)(\partial v) $$

Netiešas funkcijas daļēji atvasinājumi

a) Lai $ F(x,y(x)) = 0 $, tad $$ \frac(dy)(dx) = -\frac(f"_x)(f"_y) $$

b) Lai $ F(x,y,z)=0 $, tad $$ z"_x = - \frac(F"_x)(F"_z); z"_y = - \frac(F"_y)( F"_z) $$

Risinājumu piemēri

1. piemērs

Atrast pirmās kārtas daļējos atvasinājumus $ z (x,y) = x^2 - y^2 + 4xy + 10 $

Risinājums

Lai atrastu daļējo atvasinājumu attiecībā pret $ x $, mēs uzskatīsim, ka $ y $ ir nemainīga vērtība (skaitlis): $$ z"_x = (x^2-y^2+4xy+10)"_x = 2x - 0 + 4y + 0 = 2x+4y $$ Lai atrastu funkcijas daļējo atvasinājumu attiecībā pret $y$, mēs definējam $y$ ar konstanti: $$ z"_y = (x^2-y^2+4xy+10)"_y = -2y+4x $$ Ja nevarat atrisināt savu problēmu, nosūtiet to mums. Mēs nodrošināsim detalizētu risinājumu. Varēsiet apskatīt aprēķina gaitu un iegūt informāciju. Tas palīdzēs jums laikus saņemt atzīmi no skolotāja!

Atbilde

$$ z"_x = 2x+4y; z"_y = -2y+4x $$

2. piemērs

Atrodiet otrās kārtas funkcijas $ z = e^(xy) $ daļējos atvasinājumus

Risinājums

Vispirms jāatrod pirmie atvasinājumi, un tad, tos zinot, var atrast otrās kārtas atvasinājumus. Lai $y$ ir konstante: $$ z"_x = (e^(xy))"_x = e^(xy) \cdot (xy)"_x = ye^(xy) $$ Tagad iestatīsim $ x $ kā nemainīgu vērtību: $$ z"_y = (e^(xy))"_y = e^(xy) \cdot (xy)"_y = xe^(xy) $$ Zinot pirmos atvasinājumus, mēs līdzīgi atrodam otro. Iestatiet $y$ uz konstanti: $$ z""_(xx) = (z"_x)"_x = (ye^(xy))"_x = (y)"_x e^(xy) + y(e^(xy))"_x = 0 + ye^(xy)\cdot (xy)"_x = y^2e^(xy) $$ Mēs iestatām $ x $ uz konstanti: $$ z""_(yy) = (z"_y)"_y = (xe^(xy))"_y = (x)"_y e^(xy) + x(e^(xy))"_y = 0 + x^2e^(xy) = x^2e^(xy) $$ Tagad atliek tikai atrast jaukto atvasinājumu. Jūs varat atšķirt $ z"_x $ ar $ y $, un jūs varat atšķirt $ z"_y $ ar $ x $, jo pēc teorēmas $ z""_(xy) = z""_(yx) $ $$ z""_(xy) = (z"_x)"_y = (ye^(xy))"_y = (y)"_y e^(xy) + y (e^(xy))"_y = ye^(xy)\cdot (xy)"_y = yxe^(xy) $$

Atbilde

$$ z"_x = ye^(xy); z"_y = xe^(xy); z""_(xy) = yxe^(xy) $$

4. piemērs

Ļaujiet $ 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ definēt netiešo funkciju $ F(x,y,z) = 0 $. Atrodiet pirmās kārtas daļējos atvasinājumus.

Risinājums

Mēs ierakstām funkciju šādā formātā: $ F(x,y,z) = 3x^3z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5 = 0 $ un atrodam atvasinājumus: $$ z"_x (y,z - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_x = 3 x^2 z - 4 $$ $$ z"_y (x,y - const) = (x^3 z - 2z^2 + 3yz^2-4x+z-5)"_y = 3z^2 $$

Atbilde

$$ z"_x = 3x^2 z - 4; z"_y = 3z^2; $$

Tiek aplūkoti eksplicītu funkciju augstākas kārtas atvasinājumu aprēķināšanas piemēri. Dotas noderīgas formulas n-tās kārtas atvasinājumu aprēķināšanai.

Saturs

Augstākas kārtas atvasinājumu noteikšana

Šeit mēs aplūkojam gadījumu, kad mainīgais y ir tieši atkarīgs no mainīgā x:
.
Diferencējot funkciju attiecībā pret mainīgo x, mēs iegūstam pirmās kārtas atvasinājumu vai vienkārši atvasinājumu:
.
Rezultātā mēs iegūstam jaunu funkciju, kas ir funkcijas atvasinājums. Atšķirot šo jauno funkciju attiecībā pret mainīgo x, mēs iegūstam otrās kārtas atvasinājumu:
.
Diferencējot funkciju, iegūstam trešās kārtas atvasinājumu:
.
Un tā tālāk. Diferencējot sākotnējo funkciju n reizes, iegūstam n-tās kārtas atvasinājumu jeb n-to atvasinājumu:
.

Atvasinājumus var apzīmēt triepieni, romiešu cipari, arābu cipari iekavās vai frakcijas no diferenciāļiem. Piemēram, trešās un ceturtās kārtas atvasinājumus var apzīmēt šādi:
;
.

Tālāk ir norādītas formulas, kas var būt noderīgas augstākas kārtas atvasinājumu aprēķināšanai.

Noderīgas formulas n-tās kārtas atvasinājumiem

Dažu elementāru funkciju atvasinājumi:
;
;
;
;
.

Funkciju summas atvasinājums:
,
kur ir konstantes.

Leibnica formula divu funkciju reizinājuma atvasinājums:
,
Kur
- binomiālie koeficienti.

1. piemērs

Atrodiet šādas funkcijas pirmās un otrās kārtas atvasinājumus:
.

Mēs atrodam pirmās kārtas atvasinājumu. Mēs ņemam konstanti ārpus atvasinājuma zīmes un piemērojam formulu no atvasinājumu tabulas:
.
Mēs piemērojam sarežģītu funkciju diferenciācijas likumu:
.
Šeit .
Mēs izmantojam sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu un izmantojam atrastos atvasinājumus:
.
Šeit .

.
Lai atrastu otrās kārtas atvasinājumu, mums jāatrod pirmās kārtas atvasinājuma atvasinājums, tas ir, funkcijas:
.
Lai izvairītos no pārpratumiem ar apzīmējumu, apzīmēsim šo funkciju ar burtu:
(A1.1) .
Tad otrās kārtas atvasinājums no sākotnējās funkcijas ir funkcijas atvasinājums:
.

Funkcijas atvasinājuma atrašana. To ir vieglāk izdarīt, izmantojot logaritmisko atvasinājumu. Logaritmēsim (A1.1):
.
Tagad atšķirsim:
(A1.2) .
Bet tas ir nemainīgs. Tās atvasinājums ir nulle. Mēs jau esam atraduši atvasinājumu no. Atlikušos atvasinājumus atrodam, izmantojot sarežģītas funkcijas diferenciācijas likumu.
;
;
.
Mēs aizstājam ar (A1.2):

.
No šejienes
.

;
.

2. piemērs

Atrodiet trešās kārtas atvasinājumu:
.

Pirmās kārtas atvasinājuma atrašana. Lai to izdarītu, mēs ņemam konstanti ārpus atvasinājuma zīmes un lietojam atvasinājumu tabula un pieteikties noteikums sarežģītas funkcijas atvasinājuma atrašanai .

.
Šeit .
Tātad, mēs atradām pirmās kārtas atvasinājumu:
.

Otrās kārtas atvasinājuma atrašana. Lai to izdarītu, mēs atrodam atvasinājumu no . Mēs izmantojam atvasinātās daļas formulu.
.
Otrās kārtas atvasinājums:
.

Tagad mēs atrodam to, ko meklējam trešās kārtas atvasinājums. Lai to izdarītu, mēs atšķiram.
;
;

.

Trešās kārtas atvasinājums ir vienāds ar
.

3. piemērs

Atrodiet šādas funkcijas sestās kārtas atvasinājumu:
.

Atverot iekavas, būs skaidrs, ka sākotnējā funkcija ir pakāpes polinoms. Rakstīsim to kā polinomu:
,
kur ir nemainīgi koeficienti.

Tālāk mēs izmantojam formulu jaudas funkcijas n-tajam atvasinājumam:
.
Sestās kārtas atvasinājumam (n = 6 ) mums ir:
.
No tā ir skaidrs, ka plkst. Kad mums ir:
.

Mēs izmantojam formulu funkciju summas atvasināšanai:

.
Tādējādi, lai atrastu sākotnējās funkcijas sestās kārtas atvasinājumu, mums ir jāatrod tikai polinoma koeficients visaugstākajā pakāpē. Mēs to atrodam, reizinot augstākās pakāpes sākotnējās funkcijas summu reizinājumus:

.
No šejienes. Tad
.

4. piemērs

Atrodiet funkcijas n-to atvasinājumu
.

Risinājums >>>

5. piemērs

Atrodiet šādas funkcijas n-to atvasinājumu:
,
kur un ir konstantes.

Šajā piemērā ir ērti veikt aprēķinus, izmantojot kompleksos skaitļus. Ļaujiet mums veikt kādu sarežģītu funkciju
(A5.1) ,
kur un ir reālā mainīgā x funkcijas;
- iedomātā vienība,.
Diferencējot (A.1) n reizes, mums ir:
(A5.2) .
Dažreiz ir vieglāk atrast funkcijas n-to atvasinājumu. Tad funkciju n-tie atvasinājumi tiek definēti kā n-tā atvasinājuma reālās un iedomātās daļas:
;
.

Izmantosim šo paņēmienu, lai atrisinātu mūsu piemēru. Apsveriet funkciju
.
Šeit mēs izmantojām Eilera formulu
,
un ieviesa apzīmējumu
.
Tad sākotnējās funkcijas n-to atvasinājumu nosaka pēc formulas:
.

Atradīsim funkcijas n-to atvasinājumu
.
Lai to izdarītu, mēs izmantojam formulu:
.
Mūsu gadījumā
.
Tad
.

Tātad, mēs atradām kompleksās funkcijas n-to atvasinājumu:
,
Kur.
Atradīsim funkcijas reālo daļu.
Lai to izdarītu, mēs attēlojam kompleksu skaitli eksponenciālā formā:
,
Kur;
; .
Tad
;

.

Risinājuma piemērs
.

Ļaujiet,.
Tad ;
.
plkst.
,
,
.
Un mēs iegūstam kosinusa n-tā atvasinājuma formulu:
.

,
Kur
; .