필터의 임펄스 응답. 유한 임펄스 응답을 갖춘 디지털 필터. 데이터 평활화. 중앙값 필터링
유한 임펄스 응답을 갖춘 48개의 디지털 필터. kih 필터 계산.
유한 임펄스 응답 필터 (비재귀적 필터, FIR 필터) 또는 FIR 필터(FIR은 유한 임펄스 응답 - 유한 임펄스 응답으로 약칭됨) - 선형 디지털 필터 유형 중 하나이며 시간 제한이 특징입니다. 충동 반응(어느 시점부터 정확히 0이 됩니다). 이러한 필터는 피드백이 없기 때문에 비재귀적 필터라고도 합니다. 이러한 필터의 전달 함수의 분모는 특정 상수입니다.
필터의 입력 신호와 출력 신호 간의 관계를 설명하는 차이 방정식: 여기서 피- 필터 순서, 엑스(N) - 입력 신호, 와이(N)는 출력 신호이고, 비 나- 필터 계수. 즉, 출력 신호 샘플의 값은 스케일링된 값의 합에 의해 결정됩니다. 피이전 독서. 다르게 말할 수 있습니다. 언제든지 필터 출력 값은 입력의 순간 값에 대한 응답 값과 점진적으로 감소하는 모든 응답의 합입니다. 피여전히 출력에 영향을 미치는 이전 신호 샘플(이후 피-카운트하면 펄스 전이 함수는 이미 언급한 대로 0과 같아지므로 이후의 모든 항은 피-th도 0이 됩니다.) 이전 방정식을 더 넓은 형식으로 작성해 보겠습니다.
필터 커널을 찾기 위해 우리는
엑스(N) = δ( N)
여기서 δ( N) - 델타 함수. 그러면 FIR 필터의 임펄스 응답은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
임펄스 응답의 Z 변환은 FIR 필터의 전달 함수를 제공합니다.
]속성
FIR 필터에는 때때로 IIR 필터보다 사용하는 것이 더 나은 여러 가지 유용한 속성이 있습니다. 그 중 일부는 다음과 같습니다.
FIR 필터는 강력합니다.
FIR 필터는 구현 시 피드백이 필요하지 않습니다.
FIR 필터의 위상을 선형으로 만들 수 있습니다.
FIR 필터의 직접 형태
FIR 필터는 곱셈기, 덧셈기, 지연 블록의 세 가지 요소를 사용하여 구현할 수 있습니다. 그림에 표시된 옵션은 유형 1 FIR 필터를 직접 구현한 것입니다.
FIR 필터의 직접 형태 구현
예제 프로그램
다음은 C로 작성된 FIR 필터 프로그램의 예입니다.
/* 128개 탭에 대한 FIR 필터 */
float fir_filter(플로트 입력)
정적 플로트 샘플;
acc = 0.0f; /* 배터리 */
/* 곱하고 누적하기 */
(i = 0; 나는< 128; i++) {
acc += (h[i] * 샘플[i]);
/* 출구 */
/* 지연된 신호를 이동 */
(i = 127; i > 0; i--)
샘플[i] = 샘플;
49 데이터 평활화. 이동 평균.
50 데이터 평활화. 포물선 평활화.
51 데이터 평활화. 스펜서 스무딩.
52 데이터 평활화. 중앙값 필터링.
이동 평균화, 포물선 평활화, 스펜서 평활화, 중앙값 필터링
시간이 지남에 따라 천천히 변하는 물리적 프로세스의 매개변수를 결정하는 방법을 개발할 때 중요한 작업은 1차 컨버터의 출력에서 수신된 처리된 신호에 중첩되는 잡음 효과 또는 무작위 간섭의 영향을 제거하는 것입니다.
이 효과를 제거하려면 데이터 평활화를 적용하면 됩니다. 이러한 평활화의 가장 간단한 방법 중 하나는 산술 평균화입니다. 이를 사용할 때 이산 함수(처리된 데이터 배열)의 각 값은 다음 식에 따라 계산됩니다.
산술 평균화(홀수)를 위한 포인트 수는 어디에 있습니까?
처리 전 함수의 값입니다.
예를 들어 다음 표현식에 따라 5, 7, 9 및 11점에서 2도 포물선을 사용하여 매우 효과적인 평활화 방법이 있습니다.
또는 7, 9, 11, 13점의 4도 포물선:
실제 적용에서는 15점 Spencer 평활화와 같은 다른 효과적인 방법을 사용하면 좋은 결과를 얻을 수 있습니다.
이러한 표현식에 복소수 지수 를 대체함으로써 해당 변환의 전달 함수를 결정할 수 있습니다.
산술 평균의 경우
괄호 안의 표현식은 분모를 사용한 기하학적 수열을 나타내므로 이 표현식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
.
이 공식은 저역 통과 필터의 전달 특성을 나타내며 평균화에 관련된 항이 많을수록 신호의 고주파수 잡음 구성 요소가 더 많이 억제된다는 것을 보여줍니다(그림 6.1 참조).
그러나 시간 추세를 처리할 때 주파수의 의미론적 개념은 신호를 처리할 때의 유사한 개념과 다릅니다. 이는 시간 추세를 연구할 때 관심 있는 것은 주파수 구성이 아니라 변화 유형(증가, 감소, 불변성, 주기성 등)이라는 사실로 설명됩니다.
소위 휴리스틱 알고리즘을 사용하는 것도 데이터를 평활화하는 데 매우 효과적입니다.
그 중 하나가 중앙값 필터링입니다. 정수가 홀수인 차원의 슬라이딩 시간 창에서 구현하는 동안 중앙 요소는 값의 오름차순으로 정렬된 시퀀스의 중간 요소로 대체됩니다. 시간 창 내에 떨어지는 신호. 중앙값 필터링의 장점은 부드럽게 변하는 신호의 왜곡이 거의 없이 지속 시간을 초과하지 않는 임펄스 잡음을 제거할 수 있다는 것입니다. 이 소음 억제 방법은 엄격한 수학적 정당성은 없지만 계산의 단순성과 얻은 결과의 효율성으로 인해 널리 사용되었습니다.
그림 6.1 - 전달 특성 그래프
m=5, 7, 9, 11에 대한 산술 평균 연산
또 다른 흥미로운 평활화 알고리즘은 중앙값 평균화입니다. 그 본질은 다음과 같습니다. 크기(-홀수 정수)의 슬라이딩 시간 창에서 데이터 배열의 요소는 오름차순으로 정렬된 다음 첫 번째와 마지막 요소가 정렬된 시퀀스에서 제거됩니다(<). Центральный элемент временного окна из последовательности сглаживаемых данных заменяется значением, вычисляемым как
이 방법을 사용하면 펄스 및 무선 주파수 간섭을 억제하고 우수한 신호 평활화를 얻을 수 있습니다.
| " |
가장 간단한 디지털 필터, 즉 상수 매개변수가 있는 필터를 고려해 보겠습니다.
디지털 필터의 입력 신호는 간격을 두고 일련의 숫자 값 형태로 제공됩니다(그림 4.1, a). 각각의 다음 신호 값이 디지털 필터에 수신되면 출력 신호의 다음 값이 계산됩니다. 계산 알고리즘은 매우 다양할 수 있습니다. 계산 과정에서 입력 신호의 마지막 값 외에도 사용할 수 있습니다.
입력 및 출력 신호의 이전 값: 디지털 필터의 출력 신호도 간격을 따르는 숫자 값의 시퀀스입니다. 이 간격은 디지털 신호 처리 장치 전체에서 동일합니다.
쌀. 4.1. 디지털 필터의 입력 및 출력 신호
따라서 단일 펄스 형태의 가장 간단한 신호를 디지털 필터의 입력에 적용하면 (그림 4.2, a)
그런 다음 출력에서 우리는 간격을 두고 숫자 값의 이산 시퀀스 형태로 신호를 얻습니다.
기존 아날로그 회로와 유사하게 이 응답 신호를 필터의 임펄스 응답이라고 부릅니다(그림 4.2, b). 아날로그 회로의 임펄스 응답과 달리 이 기능은 차원이 없습니다.
쌀. 4.2. 디지털 필터의 단위 임펄스 및 임펄스 응답
필터 입력에 임의의 이산 신호를 적용해 보겠습니다(그림 1). 4.1, a), 이는 이산 값의 집합입니다.
첫 번째 요소의 동작 하에서 필터의 출력에 곱해지는 시퀀스가 형성되고, 동작 하에서 시퀀스가 곱해지고 양 등만큼 오른쪽으로 이동됩니다. 결과적으로 출력은 다음을 얻습니다. 시퀀스
따라서 출력 신호는 입력 신호와 임펄스 응답의 이산 컨볼루션으로 정의됩니다. 이러한 점에서 디지털 필터는 출력 신호가 입력 신호와 임펄스 응답의 컨볼루션과 동일한 기존 회로와 유사합니다.
공식 (4.1)은 디지털 필터링 알고리즘이다. 필터의 임펄스 응답이 유한 개수의 항을 갖는 수열로 설명되면 필터는 그림 1에 표시된 회로 형태로 구현될 수 있습니다. 4.3. 여기서 문자는 시간(셀당)에 대한 신호 지연 요소를 나타냅니다. -신호에 해당 계수를 곱하는 요소.
그림에 표시된 다이어그램. 4.3은 디지털 필터의 전기 회로가 아닙니다. 이 다이어그램은 디지털 필터링 알고리즘을 그래픽으로 표현한 것이며 신호 처리 중에 수행되는 산술 연산의 순서를 보여줍니다.
쌀. 4.3. 비재귀적 디지털 필터 회로
추상적인 숫자 시퀀스 형태로 신호를 처리하는 디지털 필터의 경우 "시간 지연"이라는 개념이 완전히 정확하지 않습니다. 따라서 신호를 한 셀만큼 지연시키는 요소는 일반적으로 변환 언어로 신호 지연을 나타내는 기호와 함께 디지털 필터 회로에 표시됩니다. 다음에서 우리는 이 표기법을 고수할 것입니다.
그림 1에 표시된 디지털 필터 회로로 돌아가 보겠습니다. 4.3, 입력 신호의 값만 계산에 사용되는 필터를 단순 필터 또는 비재귀 필터라고 합니다.
비재귀 필터 알고리즘은 필터의 임펄스 응답을 알면 쉽게 작성할 수 있습니다. 알고리즘을 실제로 구현하려면 임펄스 응답에 유한한 수의 항이 포함되어야 합니다. 임펄스 응답에 무한한 수의 항이 포함되어 있지만 값이 빠르게 감소하는 경우 유한한 수의 항으로 제한하여 값이 작은 항을 삭제할 수 있습니다. 임펄스 응답 요소의 값이 감소하지 않으면 비재귀 필터 알고리즘은 실현 불가능합니다.
쌀. 4.4. -체인
예를 들어 -회로와 유사한 가장 간단한 디지털 필터를 생각해 보십시오(그림 4.4). 회로의 임펄스 응답은 다음과 같은 형식을 갖습니다.
해당 디지털 필터의 임펄스 응답을 표현하려면 다음과 같이 표현해야 합니다. 그러나 회로의 임펄스 응답은 차원을 갖고, 디지털 필터의 임펄스 응답은 차원이 없어야 합니다. 따라서 식 (4.2)에서 승수를 생략하고 디지털 필터의 임펄스 응답을 다음과 같은 형태로 쓴다.
이러한 임펄스 응답에는 무한히 많은 항이 포함되어 있지만 그 크기는 지수 법칙에 따라 감소하므로 다음과 같은 항으로 제한할 수 있습니다.
이제 필터 출력의 신호에 대한 표현식을 작성할 수 있습니다.
이 표현은 디지털 필터 알고리즘이기도 합니다. 이 필터의 다이어그램은 그림 1에 나와 있습니다. 4.5.
디지털 필터의 프로세스를 분석하는 두 번째 접근 방식은 기존 아날로그 회로를 분석하는 연산자 방법과 유사하지만 라플라스 변환 대신 -변환이 사용됩니다.
쌀. 4.5. -회로와 유사한 비재귀 디지털 필터의 회로
전기 회로의 전달 함수와 유사한 디지털 필터 매개변수를 정의해 보겠습니다. 이렇게 하려면 디지털 필터의 임펄스 응답에 변환을 적용합니다.
이 기능을 시스템 필터 기능이라고 합니다.
식 (4.1)에 따르면 디지털 필터 출력의 신호는 입력 신호의 이산 컨볼루션과 필터의 임펄스 응답과 같습니다. 이 표현식에 컨볼루션 정리를 적용하면 출력 신호 변환이 입력 신호 변환에 시스템 필터 함수를 곱한 것과 동일하다는 것을 얻을 수 있습니다.
따라서 시스템 기능은 디지털 필터의 전달 기능 역할을 합니다.
예를 들어 -회로와 유사한 1차 디지털 필터의 시스템 기능을 찾아보겠습니다.
디지털 필터를 통해 신호의 통과를 분석하는 세 번째 방법은 고전적인 미분 방정식 방법과 유사합니다. 주문 체인을 예로 들어 이 방법을 고려해 보겠습니다.
1차의 가장 간단한 아날로그 회로는 -회로(그림 4.4 참조)이며, 신호의 통과는 미분 방정식으로 설명됩니다.
이산 회로의 경우 미분 방정식(4.8) 대신 차등 방정식을 작성해야 합니다. 여기서 입력 및 출력 신호는 이산 시간 순간에 대해 지정되고 미분 대신 인접한 신호 값의 차이가 있어야 합니다. 나타나다. 이산 1차 회로의 경우 차이 방정식은 상당히 일반적인 형식으로 작성할 수 있습니다.
방정식에 변환을 적용해 보겠습니다.
시스템 필터 기능을 찾을 수 있는 곳
공식(4.10)은 1차 디지털 필터의 시스템 기능에 대한 상당히 일반적인 표현입니다. -회로에 해당하는 디지털 필터의 시스템 기능에 대해 이전에 얻은 식(4.7)과 일치하는 경우.
시스템 함수(4.10)에 해당하는 디지털 필터링 알고리즘을 찾아보자. 이를 위해 우리는 방정식 (4.9)를 풀었습니다.
이 알고리즘의 등가 다이어그램이 그림 1에 나와 있습니다. 4.6. 비재귀 필터(그림 4.5 참조)와 비교하여 여기에는 일종의 "피드백 회로"가 추가되었습니다. 이는 출력 신호의 값이 후속 작업에 사용됨을 의미합니다.
쌀. 4.6. -회로와 유사한 재귀 디지털 필터의 회로
계산. 이러한 유형의 필터를 재귀적이라고 합니다.
알고리즘(4.11)은 앞에서 고려한 비재귀 필터와 완전히 동일한 필터에 해당합니다. 그러나 비재귀 필터 알고리즘(4.4)을 사용하여 출력 신호의 하나의 값을 결정하려면 연산을 수행해야 하며, 재귀 필터 알고리즘(4.11)을 사용할 경우 두 가지 연산만 필요합니다. 이것이 재귀 필터의 주요 장점입니다. 또한 재귀 필터를 사용하면 "꼬리"를 버리지 않고도 임펄스 응답을 보다 정확하게 구현할 수 있으므로 더 높은 정확도로 신호를 처리할 수 있습니다. 재귀 필터를 사용하면 비재귀 필터로는 전혀 구현할 수 없는 알고리즘을 구현할 수 있습니다. 예를 들어 그림 1의 회로에 따라 작동하는 필터를 사용하면 다음과 같습니다. 4.6은 본질적으로 이상적인 누산기 적분기이며 형태의 임펄스 응답을 갖습니다. 이러한 특성을 가진 필터는 비재귀 방식을 사용하여 구현할 수 없습니다.
고려된 예는 긴 임펄스 응답을 갖는 디지털 필터를 생성하기 위해 비재귀적 알고리즘을 사용하는 것이 의미가 없음을 보여줍니다. 이러한 경우에는 재귀 필터를 사용하는 것이 더 적절합니다.
비재귀 알고리즘의 적용 영역은 적은 수의 항을 포함하는 임펄스 응답을 갖춘 디지털 필터를 구현하는 것입니다. 예를 들어 출력 신호가 입력 신호의 증분과 동일한 가장 간단한 미분자가 있습니다.
이러한 디지털 필터의 회로는 그림 1에 나와 있습니다. 4.7.
쌀. 4.7. 가장 간단한 디지털 미분기 회로
이제 다음 방정식으로 설명되는 일반적인 디지털 필터를 고려해 보겠습니다.
이 방정식은 순서의 차이 방정식과 다르게 다시 작성되는 경우 디지털 필터링 알고리즘으로 간주될 수 있습니다.
쌀. 4.8. 재귀적 디지털 차수 필터 회로
알고리즘(4.13)은 그림 1에 표시된 회로에 해당합니다. 4.8. 그러한 필터의 시스템 기능을 찾아보자. 이렇게 하려면 방정식에 변환을 적용합니다.
식 (4.14)을 사용하면 필터 회로 요소의 변동과 시스템 기능 간의 연결을 설정할 수 있습니다. 시스템 함수 분자의 계수는 다음에 대한 계수 값을 결정합니다.
(필터의 비재귀 부분), 분모의 계수에 따라 필터의 재귀 부분이 결정됩니다.
친구의 친구의 친구가 동일한 필터에 대한 도움이 필요했을 때 모든 것이 시작되었습니다. 제다이 방식을 통해 이에 대한 소문이 나에게 전해졌고 링크의 게시물에 대한 댓글에서 구독을 취소했습니다. 도움이 되는 것 같았어요. 글쎄요.
이 이야기는 나 자신이 DSP를 맡았을 때 세 번째 또는 그와 비슷한 것에 대한 기억을 불러일으켰고 디지털 필터의 작동 방식에 관심이 있지만 자연스럽게 두려움을 느끼는 모든 사람들을 위한 기사를 쓰도록 자극했습니다. -최고의 공식과 환각적인 그림(이미 교과서에 대해 말하는 것이 아닙니다).
일반적으로 내 경험상 교과서의 상황은 때때로 나무는 보고 숲은 볼 수 없다는 잘 알려진 문구로 설명됩니다. 즉, 그들이 Z 변환과 종종 두 개의 보드보다 긴 다항식을 나누는 공식으로 즉시 당신을 겁주기 시작하면 주제에 대한 관심이 매우 빨리 사라집니다. 간단한 것부터 시작하겠습니다. 다행스럽게도 무슨 일이 일어나고 있는지 이해하기 위해 길고 복잡한 표현을 설명할 필요가 전혀 없습니다.
먼저 몇 가지 간단한 기본 개념을 살펴보겠습니다.
1. 충동 반응.
4개의 핀이 있는 상자가 있다고 가정해 보겠습니다. 내부에 무엇이 있는지는 모르지만 왼쪽 두 터미널이 입구이고 오른쪽 두 터미널이 출구라는 것은 확실히 알고 있습니다. 매우 큰 진폭의 매우 짧은 펄스를 여기에 적용하고 출력에서 어떤 일이 일어나는지 살펴보겠습니다. 글쎄요, 이 사중극자 안에 무엇이 있는지는 확실하지 않습니다. 왜냐하면 그것을 어떻게 설명해야 할지 명확하지 않기 때문입니다. 하지만 적어도 우리는 뭔가를 보게 될 것입니다.
여기서는 이론적으로 큰(일반적으로 무한) 진폭의 짧은(일반적으로 말하면 무한히 짧은) 펄스를 델타 함수라고 말해야 합니다. 그런데 재미있는 점은 이것이 통합되어 있다는 것입니다. 끝없는함수는 1과 같습니다. 이것이 정규화입니다.
따라서 입력에 델타 함수를 적용한 사중극자 네트워크의 출력에서 본 것은 다음과 같습니다. 충동 반응이 쿼드러폴. 그러나 지금으로서는 이것이 우리에게 어떻게 도움이 될지는 확실하지 않지만, 얻은 결과를 기억하고 다음 흥미로운 개념으로 넘어가겠습니다.
2. 컨볼루션.
간단히 말해서 컨볼루션은 함수의 곱을 통합하는 수학적 연산입니다.
보시다시피 별표로 표시되어 있습니다. 또한 컨볼루션 중에 하나의 함수가 "앞으로" 순서로 수행되고 두 번째 함수는 "뒤에서 앞으로" 진행되는 것을 볼 수 있습니다. 물론, 인류에게 더 가치 있는 이산의 경우에는 모든 적분과 마찬가지로 컨볼루션도 합산됩니다.
그것은 일종의 지루한 수학적 추상화처럼 보일 것입니다. 그러나 실제로 묶음은 아마도 이 세상에서 가장 마법적인 현상일 것입니다. 사람의 탄생에 이어 두 번째로 놀라운 현상일 것입니다. 유일한 차이점은 대부분의 사람들이 최소한 10세까지는 아이들이 어디서 왔는지 알아낸다는 것입니다. 18, 컨볼루션이 무엇인지, 왜 그것이 유용하고 놀라운지에 대해 설명하는 동안 지구 인구의 상당 부분은 평생 동안 전혀 모릅니다.
따라서 이 연산의 강력한 점은 f가 임의의 입력 신호이고 g가 4포트 네트워크의 임펄스 응답이라면 이 두 함수의 컨볼루션 결과는 우리가 원하는 것과 유사할 것이라는 사실에 있습니다. 이 4포트 네트워크를 통해 신호 f를 전달하여 얻습니다.
즉, 임펄스 응답은 입력 효과와 관련된 4포트 네트워크의 모든 속성을 완벽하게 구현한 것이며, 이를 사용한 입력 신호의 컨볼루션을 통해 해당 출력 신호를 복원할 수 있습니다. 제 생각에는 이것은 정말 놀랍습니다!
3. 필터.
임펄스 응답과 컨볼루션을 사용하면 많은 흥미로운 작업을 수행할 수 있습니다. 예를 들어, 신호가 오디오인 경우 리버브, 에코, 코러스, 플랜저 등을 구성할 수 있습니다. 차별화하고 통합할 수 있습니다. 일반적으로 무엇이든 만들 수 있습니다. 지금 우리에게 가장 중요한 것은 물론 컨볼루션을 사용하여 필터를 쉽게 얻을 수도 있다는 것입니다.
디지털 필터 자체는 원하는 필터에 해당하는 임펄스 응답을 갖는 입력 신호의 컨볼루션입니다.
그러나 물론 임펄스 응답은 어떻게든 얻어져야 합니다. 물론 우리는 위에서 측정하는 방법을 이미 알아 냈지만 그러한 작업에서는 의미가 거의 없습니다. 이미 필터를 조립했다면 다른 것을 측정하는 이유는 그대로 사용할 수 있습니다. 게다가 디지털 필터의 가장 중요한 가치는 현실에서 얻을 수 없는(또는 달성하기 매우 어려운) 특성(예: 선형 위상)을 가질 수 있다는 것입니다. 따라서 여기서는 측정할 수 있는 방법이 전혀 없습니다. 단지 숫자만 세기만 하면 됩니다.
4. 임펄스 응답 획득.
이 시점에서 해당 주제에 대한 대부분의 출판물에서 저자는 산더미 같은 Z 변환과 다항식의 분수를 독자에게 쏟아 붓기 시작하여 독자를 완전히 혼란스럽게 만듭니다. 나는 이것을하지 않을 것입니다. 이 모든 것이 무엇인지, 왜 실제로 진보적 대중에게 그다지 필요하지 않은지 간략하게 설명하겠습니다.
필터에서 원하는 것을 결정하고 이를 설명하는 방정식을 만들었다고 가정해 보겠습니다. 다음으로, 임펄스 응답을 찾으려면 파생 방정식에 델타 함수를 대입하여 원하는 방정식을 얻을 수 있습니다. 유일한 문제는 델타 함수가 시간에 맞춰져 있기 때문에 이를 수행하는 방법입니다. 영형번째 지역은 교활한 시스템에 의해 주어지며 일반적으로 모든 종류의 무한대가 있습니다. 따라서 이 단계에서는 모든 것이 매우 어려운 것으로 드러납니다.
여기서 그들은 라플라스 변환과 같은 것이 있다는 것을 기억하게 됩니다. 그 자체로는 건포도 1파운드가 아닙니다. 무선 공학에서 이것이 허용되는 유일한 이유는 이러한 변환이 전환되는 논증의 공간에서 실제로 일부 사항이 더 단순해진다는 사실입니다. 특히, 시간 영역에서 우리에게 많은 문제를 안겨준 동일한 델타 함수는 매우 쉽게 표현됩니다. 단 하나뿐입니다!
Z 변환(일명 Laurent 변환)은 이산 시스템에 대한 라플라스 변환 버전입니다.
즉, 원하는 필터를 설명하는 함수에 라플라스 변환(또는 필요에 따라 Z 변환)을 적용하고 이를 결과 필터에 대체하고 다시 변환하여 임펄스 응답을 얻습니다. 쉬울 것 같아서 누구나 시도해 볼 수 있습니다. 이미 언급했듯이 라플라스 변환은 가혹한 일이며, 특히 그 반대의 경우이기 때문에 위험을 감수하지는 않겠습니다. 최후의 수단으로 남겨두고, 원하는 것을 얻을 수 있는 더 간단한 방법을 찾아보겠습니다. 그 중 몇 가지가 있습니다.
첫째, 우리는 자연의 또 다른 놀라운 사실을 떠올릴 수 있습니다. 진폭-주파수와 임펄스 특성은 훌륭하고 친숙한 푸리에 변환을 통해 서로 관련되어 있습니다. 이는 우리가 취향에 맞는 주파수 응답을 도출하고, 그로부터 역푸리에 변환(연속 또는 이산)을 취하여 이를 구현하는 시스템의 임펄스 응답을 얻을 수 있음을 의미합니다. 정말 놀랍습니다!
그러나 이것이 문제가 없지는 않을 것입니다. 첫째, 우리가 얻는 임펄스 반응은 무한할 가능성이 높기 때문에(이유에 대해서는 설명하지 않겠습니다. 이것이 세상이 돌아가는 방식입니다), 어느 시점에서 이를 차단하기 위한 의지적 결정을 내려야 합니다(설정). 그 지점 이후에는 0과 같습니다). 그러나 이것은 그런 일이 일어나지 않을 것입니다. 그 결과 예상대로 계산 된 필터의 주파수 응답이 왜곡되고 물결 모양이되고 주파수 컷오프가 흐려집니다.
이러한 효과를 최소화하기 위해 단축된 임펄스 응답에 다양한 평활화 창 기능이 적용됩니다. 결과적으로 주파수 응답은 일반적으로 훨씬 더 흐려지지만 불쾌한(특히 통과대역에서) 진동은 사라집니다. 
실제로 이러한 처리 후에 우리는 작동하는 임펄스 응답을 얻고 디지털 필터를 구축할 수 있습니다.
두 번째 계산 방법은 훨씬 더 간단합니다. 가장 널리 사용되는 필터의 임펄스 응답은 오랫동안 분석 형식으로 표현되어 왔습니다. 남은 것은 값을 대체하고 원하는 대로 결과에 창 기능을 적용하는 것입니다. 따라서 변환을 고려할 필요조차 없습니다.
물론 목표가 특정 회로의 동작을 에뮬레이트하는 것이라면 시뮬레이터에서 임펄스 응답을 얻을 수 있습니다.
여기서는 RC 회로의 입력에 1μs의 지속 시간으로 100500V(예, 100.5kV)의 펄스를 적용하고 임펄스 응답을 얻었습니다. 실제로는 이것이 불가능하다는 것이 분명하지만, 보시다시피 시뮬레이터에서는 이 방법이 훌륭하게 작동합니다.
5. 메모.
물론 소위 말하는 것에 적용되는 임펄스 응답 단축에 대해 위에서 말한 내용입니다. 유한 임펄스 응답 필터(FIR/FIR 필터). 선형 위상(임펄스 응답을 구성하기 위한 특정 조건에서)을 포함하여 필터링 중 신호 왜곡이 없고 절대적인 안정성을 보장하는 여러 가지 귀중한 속성을 가지고 있습니다. 무한 임펄스 응답 필터(IIR/IIR 필터)도 있습니다. 계산 측면에서 리소스 집약도는 낮지만 더 이상 나열된 이점이 없습니다.
다음 기사에서는 디지털 필터의 실제 구현에 대한 간단한 예를 살펴보고자 합니다.
노보시비르스크 주립 기술 대학
자동화 및 컴퓨터 공학부
데이터 수집 및 처리 시스템학과
분야 "이론 및 신호 처리"
실험실 작업 번호.10
디지털 필터
유한 임펄스 특성을 지닌
그룹: AT-33
옵션: 1 선생님:
학생:샤드리나 A.V. 협회 Shchetinin Yu.I.
작업의 목표: 평활 창 함수를 사용하여 유한 임펄스 응답 필터를 분석하고 합성하는 방법을 연구합니다.
작업 완료:
1. 필터 길이 및 값에 대한 직사각형 창 차단 주파수를 갖는 저역 통과 FIR 필터의 임펄스 응답 플롯입니다.
이상적인 이산 FIR 필터의 임펄스 응답은 무한한 길이를 가지며 다음의 음수 값에 대해 0이 아닙니다.
.
물리적으로 실행 가능한 필터를 얻으려면 임펄스 응답을 유한한 수로 제한한 다음 잘린 응답을 일정량만큼 오른쪽으로 이동해야 합니다.
값은 필터의 길이(크기)이며, 
– 필터 순서.
Matlab 스크립트(labrab101.m)
N = input("필터 길이를 입력하세요 N = ");
h = sin(wc.*(n-(N-1)/2))./(pi.*(n-(N-1)/2));
xlabel("참조 번호, n")
>> 서브플롯(2,1,1)
>> labrab101
필터 길이 입력 N = 15
>> title("N=15에 대한 FIR 필터의 임펄스 응답")
>> 서브플롯(2,1,2)
>> labrab101
필터 길이 입력 N = 50
>> title("N=50에 대한 FIR 필터의 임펄스 응답")
그림 1. 필터 길이 값에 대한 직사각형 창 차단 주파수를 갖는 저역 통과 FIR 필터의 임펄스 응답 플롯
코멘트:디지털 필터의 주파수 응답을 푸리에 급수로 간주하면 다음과 같습니다. 
, 이 계열의 계수는 필터의 임펄스 응답 값을 나타냅니다. 이 경우 푸리에 급수는 첫 번째 경우는 로, 두 번째는 -로 잘린 후, 잘린 특성이 표본 축을 따라 오른쪽으로 이동하여 인과 필터를 얻었습니다. 메인 로브의 너비가 2일 때, 그리고 -1일 때, 즉 필터 길이가 길어지면 임펄스 응답의 메인 로브가 좁아집니다. (을 사용하여) 사이드 로브의 레벨을 고려하면 증가함에 따라 절대값이 에서 로 증가합니다. 따라서 직사각형 창이 있는 필터의 이상적인 주파수 응답의 근사치를 사용할 때 메인 로브를 좁히고(따라서 전이 영역을 줄임) 사이드 로브의 레벨을 줄이는 것이 동시에 불가능하다는 결론을 내릴 수 있습니다. 필터의 통과대역과 저지대역의 리플). 직사각형 창에서 제어할 수 있는 유일한 매개변수는 크기이며, 이를 통해 메인 로브의 너비에 영향을 미칠 수 있지만 사이드 로브에는 큰 영향을 미치지 않습니다.
2. 함수를 사용하여 1단계의 임펄스 특성에 대한 DVFT를 계산합니다. 선형 스케일과 데시벨 단위의 주파수 응답 그래프 512 주파수 샘플. 필터의 통과대역, 천이대역, 저지대역입니다. 전이 대역 폭과 통과 대역 및 정지 대역의 주파수 응답 리플 수준에 대한 필터 차수의 영향입니다.
Matlab 함수(DTFT.m)
함수 = DTFT(x,M)
N = 최대(M, 길이(x));
% FFT를 2^m 크기로 축소
N = 2^(ceil(log(N)/log(2)));
% fft 계산
% 주파수 벡터
w = 2*pi*((0:(N-1))/N);
w = w - 2*pi*(w>=pi);
% -pi에서 +pi 범위로 FFT 이동
X = fftshift(X);
w = fftshift(w);
Matlab 스크립트(labrab102.m)
h1 = sin(wc.*(n1-(N1-1)/2))./(pi.*(n1-(N1-1)/2));
h2 = sin(wc.*(n2-(N2-1)/2))./(pi.*(n2-(N2-1)/2));
DTFT(h1,512);
DTFT(h2,512);
플롯(w./(2*pi),abs(H1)./max(abs(H1)),,"r")
xlabel("f, Hz"), ylabel("|H1|/max(|H1|)"), 그리드
플롯(w./(2*pi),abs(H2)./max(abs(H2)),,"b")
xlabel("f, Hz"), ylabel("|H2|/max(|H2|)"), 그리드
플롯(w./(2*pi),20*log10(abs(H1)),,"r")
title("N = 15에 대해 직사각형 윈도우를 갖는 저역 통과 FIR 필터의 주파수 응답")
xlabel("f, Hz"), ylabel("20lg(|H1|), dB"), 그리드
플롯(w./(2*pi),20*log10(abs(H2)),"b")
title("N = 50에 대해 직사각형 윈도우를 갖는 저역 통과 FIR 필터의 주파수 응답")
xlabel("f, Hz"), ylabel("20lg(|H2|), dB"), 그리드
그림 2. 필터 길이 값에 대한 직사각형 창 차단 주파수와 선형 척도를 사용하는 저역 통과 FIR 필터의 주파수 응답 플롯
그림 3. 필터 길이 값에 대한 직사각형 창 차단 주파수를 사용하고 로그 눈금으로 표시한 저역 통과 FIR 필터의 주파수 응답 플롯
코멘트:
1 번 테이블. 필터 길이에 대한 통과대역, 천이 영역 및 저지대역 범위
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필터 길이 |
대역폭, 헤르츠 |
전환 영역,Hz |
저지대역(Hz) |
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10강 "유한 임펄스 응답을 갖춘 디지털 필터" 물리적으로 구현 가능한 디지털 유한 임펄스 응답 필터(FIR 필터)의 전달 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. (10.1). 식 (10.1)으로 바꾸면 FIR 필터의 주파수 응답을 다음과 같은 형식으로 얻습니다. 어디 위상 지연필터는 다음과 같이 정의됩니다. 그룹 지연필터는 다음과 같이 정의됩니다. FIR 필터의 특징은 일정한 위상 및 그룹 지연을 구현하는 기능입니다. 선형 위상 응답 (10.5), 어디서 - 끊임없는. 이 조건이 충족되면 필터를 통과하는 신호의 모양이 왜곡되지 않습니다. 선형 위상 응답을 보장하는 조건을 도출하기 위해 (10.5)를 고려하여 FIR 필터의 주파수 응답을 작성합니다. 이 평등의 실수 부분과 허수 부분을 동일시하면 다음을 얻습니다. 두 번째 방정식을 첫 번째 방정식으로 나누면 다음을 얻습니다. 마침내 우리는 쓸 수 있습니다 이 방정식에는 두 가지 해가 있습니다. 처음에는ㅏ =0은 방정식에 해당합니다. 이 방정식은 임의의 방정식에 해당하는 고유한 해를 갖습니다. h(0)(sin(0)=0), n에 대해 h(n)=0 >0. 이 솔루션은 초기 시간에 임펄스 응답이 0이 아닌 단일 샘플을 갖는 필터에 해당합니다. 이러한 필터는 실제적으로 흥미롭지 않습니다. 우리는 다른 해결책을 찾을 것입니다. 이 경우 (10.8)의 분자와 분모를 교차곱하면 다음을 얻습니다. (10.11). 여기에서 우리는 이 방정식은 푸리에 급수 형태를 가지므로, 존재하는 경우 그 해는 고유합니다. 이 방정식의 해는 다음 조건을 충족해야 한다는 것을 쉽게 알 수 있습니다. (10.13), (10.14). 조건(10.13)에서 각 필터 차수에 대해 다음이 따릅니다. N 단 하나의 위상 지연이 있습니다ㅏ , 위상 응답의 엄격한 선형성이 달성될 수 있습니다. 조건(10.14)에 따르면 필터의 임펄스 응답은 홀수 점에 대해 대칭이어야 합니다. N , 간격의 중간점을 기준으로 합니다(그림 10.1).
이러한 필터의 주파수 응답(홀수에 대한 N ) 형식으로 작성할 수 있습니다. (10.15). 두 번째 금액으로 대체하기 m = N -1- n , 우리는 (10.16). h(n)= h(N -1-n ) 그러면 두 합계를 합칠 수 있습니다. 를 대체하면, 우리는 다음을 얻습니다. (10.18). 지정한다면 그럼 드디어 쓸 수 있겠네요 따라서 선형 위상 응답을 갖는 필터의 경우 다음과 같습니다. 짝수의 경우 N 마찬가지로 우리는 두 번째 합계에 대입하면 다음을 얻습니다. 대체를 하면, 우리는 얻는다 (10.24). 지정하여 우리는 마침내 가질 것이다 따라서 선형 위상 응답과 짝수 차수를 갖는 FIR 필터의 경우 N을 쓸 수 있다 다음에서는 단순화를 위해 홀수 순서의 필터만 고려하겠습니다. 필터 전달 함수를 합성할 때 일반적으로 초기 매개변수는 주파수 응답에 대한 요구 사항입니다. FIR 필터를 합성하는 기술에는 여러 가지가 있습니다. 그 중 일부를 살펴보겠습니다. 모든 디지털 필터의 주파수 응답은 주파수의 주기 함수이므로 푸리에 급수로 표현할 수 있습니다. 여기서 푸리에 급수의 계수는 동일합니다. 푸리에 급수(Fourier series)의 계수를 볼 수 있다. h(n )는 필터의 임펄스 응답 계수와 일치합니다. 따라서 필터의 필요한 주파수 응답에 대한 분석적 설명이 알려진 경우 임펄스 응답의 계수와 필터의 전달 함수를 쉽게 결정할 수 있습니다. 그러나 실제로는 이러한 필터의 임펄스 응답 길이가 무한하기 때문에 이는 실현 가능하지 않습니다. 또한 임펄스 응답이 다음에서 시작되므로 이러한 필터는 물리적으로 실현 가능하지 않습니다.¥ , 유한한 지연이 없어 이 필터를 물리적으로 실현할 수 있습니다. 주어진 주파수 응답에 근접한 FIR 필터를 얻는 한 가지 가능한 방법은 필터의 무한 푸리에 급수와 임펄스 응답을 자르는 것입니다. h(n)=0에서 . 그 다음에 전달 함수의 물리적 실현 가능성 H(z )는 곱셈을 통해 얻을 수 있습니다. H(z) on . 어디 (10.32). 이러한 전달 함수의 수정으로 필터의 진폭 특성은 변하지 않으며 군지연은 일정한 양만큼 증가합니다. 예를 들어, 다음 형식의 주파수 응답을 갖는 저역 통과 FIR 필터를 계산해 보겠습니다. (10.29)에 따라 필터 임펄스 응답 계수는 다음 식으로 설명됩니다. 이제 (10.31)에서 전달 함수에 대한 표현식을 얻을 수 있습니다. 어디 (10.36). 다양한 필터에 대해 계산된 필터의 진폭 특성 N 그림 10.2에 제시되어 있다.
그림 10.2 통과대역과 저지대역의 리플은 푸리에 급수의 느린 수렴으로 인해 발생하며, 이는 통과대역의 차단 주파수에서 함수의 불연속성으로 인해 발생합니다. 이러한 맥동은 다음과 같이 알려져 있습니다. 깁스 리플. 그림 10.2에서 증가함에 따라 N 낮은 주파수와 높은 주파수 모두에서 맥동 주파수가 증가하고 진폭이 감소합니다. 그러나 통과대역의 마지막 리플과 저지대역의 첫 번째 리플의 진폭은 거의 변하지 않습니다. 실제로 이러한 효과는 바람직하지 않은 경우가 많으므로 Gibbs 맥동을 줄이는 방법을 찾아야 합니다. 잘린 임펄스 응답 h(n )는 필요한 무한 임펄스 응답과 일부의 곱으로 표현될 수 있습니다. 창 기능 길이 n의 w(n)(그림 10.3)
푸리에 계열의 단순 절단을 고려한 경우에는 다음을 사용합니다. 직사각형 창 이 경우 필터의 주파수 응답은 복잡한 컨볼루션으로 표현될 수 있습니다. 이는 필요한 특성의 "흐릿한" 버전이 될 것임을 의미합니다. 문제는 동일한 필터 선택성으로 Gibbs 리플을 줄일 수 있는 창 기능을 찾는 것입니다. 이렇게 하려면 먼저 직사각형 창의 예를 사용하여 창 기능의 속성을 연구해야 합니다. 직사각형 창 함수의 스펙트럼은 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 직사각형 창 함수의 스펙트럼은 그림 10.4에 나와 있습니다.
그림 10.4 에서 스펙트럼의 주엽의 너비는 와 같습니다. 창 함수 스펙트럼에 사이드 로브가 있으면 필터의 주파수 응답에서 Gibbs 리플이 증가합니다. 통과대역에서 낮은 리플과 저지대역에서 높은 감쇠를 얻으려면 사이드 로브에 의해 제한되는 영역이 메인 로브에 의해 제한되는 영역의 작은 부분이어야 합니다. 결과적으로 메인 로브의 너비는 결과 필터의 전이 영역 너비를 결정합니다. 높은 필터 선택성을 위해서는 메인 로브의 폭이 최대한 작아야 합니다. 위에서 볼 수 있듯이 필터 차수가 증가함에 따라 메인 로브의 너비가 감소합니다. 따라서 적합한 창 함수의 속성은 다음과 같이 공식화될 수 있습니다. - 창 기능은 시간적으로 제한되어야 합니다. - 창 함수의 스펙트럼은 주파수 제한 함수에 가장 근접해야 합니다. 즉, 주엽 외부에는 최소한의 에너지가 있습니다. - 창 함수 스펙트럼의 메인 로브 폭은 가능한 한 작아야 합니다. 가장 일반적으로 사용되는 창 기능은 다음과 같습니다. 1. 직사각형 창. 위에서 논의되었습니다. 2. 해밍 윈도우. 어디 . 이 창을 Hann 창(해닝). 3. 블랙맨 창. 4. 바틀렛의 창. 지정된 창 함수를 사용하여 작성된 필터의 표시기는 표 10.1에 요약되어 있습니다.
리플 인자는 윈도우 함수의 스펙트럼에서 메인 로브의 진폭에 대한 사이드 로브의 최대 진폭의 비율로 정의됩니다. 실제 필터를 계산할 때 필요한 필터 차수와 가장 적절한 창 기능을 선택하려면 표 10.2의 데이터를 사용할 수 있습니다.
표 10.1에서 볼 수 있듯이 창 함수 스펙트럼의 리플 계수와 메인 로브 폭 사이에는 일정한 관계가 있습니다. 맥동 계수가 작을수록 메인 로브의 폭이 넓어지고 그에 따라 필터의 주파수 응답에서 전이 영역이 넓어집니다. 통과대역에서 낮은 리플을 보장하려면 적절한 리플 계수를 가진 창을 선택하고 증가된 필터 차수 N을 사용하여 필요한 전이 영역 폭을 제공해야 합니다. 이 문제는 Kaiser가 제안한 창을 사용하여 해결할 수 있습니다. 카이저 윈도우 함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
여기서 a는 독립 매개변수이고,
카이저 창의 매력적인 특성은 하나의 매개변수 a만 변경하면서 맥동 계수를 작은 값에서 큰 값으로 원활하게 변경할 수 있는 기능입니다. 이 경우 다른 창 기능과 마찬가지로 메인 로브의 너비는 필터 차수 N으로 조정될 수 있습니다. 실제 필터를 개발할 때 설정되는 주요 매개변수는 다음과 같습니다. 대역폭 - w p ; 장애물 스트립 - wa ; 통과대역에서 허용되는 최대 리플은 A p 입니다. 최소 저지대역 감쇠량 – A a ; -샘플링 주파수 - ws. 이러한 매개변수는 그림 10.5에 설명되어 있습니다. 이 경우 통과대역의 최대 리플은 다음과 같이 결정됩니다.
저지대역의 최소 감쇠는 다음과 같습니다. 카이저 윈도우를 사용하여 필터를 계산하는 비교적 간단한 절차에는 다음 단계가 포함됩니다. 1. 주파수 응답이 이상적인 경우 필터 h(n)의 임펄스 응답이 결정됩니다.
여기서 (10.49). 2. 매개변수 d는 다음과 같이 선택됩니다.
어디 3. A a 와 A p 의 참값은 공식 (10.46), (10.47)을 사용하여 계산됩니다. 4. 매개변수 a는 다음과 같이 선택됩니다.
5. 매개변수 D는 다음과 같이 선택됩니다.
6. 조건에서 필터 차수의 가장 작은 홀수 값을 선택합니다.
그 뒤를 따른다 필터의 임펄스 응답 샘플은 전달 함수의 계수이므로 조건(10.59)은 모든 필터 계수의 코드에 분수 부분과 부호 비트만 포함되고 정수 부분은 포함되지 않음을 의미합니다. 필터 계수의 소수 부분의 자릿수는 양자화된 계수로 필터 전달 함수를 충족하는 조건, 계수의 정확한 값으로 기준 전달 함수에 접근하기 위한 지정된 요구 사항으로부터 결정됩니다. 필터 입력 신호 샘플의 절대값은 일반적으로 다음과 같이 정규화됩니다. 선형 위상 응답을 갖는 FIR 필터에 대해 분석을 수행하는 경우 출력 신호를 계산하는 알고리즘은 다음과 같습니다. 필터 계수는 s k로 반올림됩니다. 이 알고리즘은 그림 10.5에 표시된 필터 블록 다이어그램에 해당합니다.
이 알고리즘을 구현하는 방법에는 두 가지가 있습니다. 첫 번째 경우에는 모든 곱셈 연산이 정확하게 수행되며 곱이 반올림되지 않습니다. 이 경우 곱의 비트 깊이는 s in +s k와 같습니다. 여기서 s in은 입력 신호의 비트 깊이이고 s k는 필터 계수의 비트 깊이입니다. 이 경우 그림 10.5에 표시된 필터의 블록 다이어그램은 실제 필터와 정확히 일치합니다. 알고리즘을 구현하는 두 번째 방법(10.61)에서는 곱셈 연산의 각 결과가 반올림됩니다. 상품은 약간의 오차가 있는 것으로 계산됩니다. 이 경우 곱의 반올림으로 인해 발생하는 오류를 고려하도록 알고리즘(10.61)을 변경해야 합니다. 필터 출력 신호의 샘플 값이 첫 번째 방법(곱의 정확한 값 포함)을 사용하여 계산되면 출력 노이즈의 분산은 다음과 같이 결정됩니다.
저것들. 입력 신호의 반올림 노이즈의 분산과 필터 계수 값에 따라 달라집니다. 여기에서 다음과 같이 입력 신호의 필요한 비트 수를 찾을 수 있습니다.
s in 및 sk의 알려진 값을 사용하여 출력 신호 코드의 소수 부분에 필요한 비트 수를 다음과 같이 결정할 수 있습니다. 두 번째 방법을 사용하여 출력 신호 샘플의 값을 계산하면 각 곱을 s d 자리로 반올림할 때 각 곱셈기에 의해 생성되는 반올림 노이즈의 분산은 다음의 자릿수 용량으로 표현될 수 있습니다. 제품 필터 출력 SNR 출력의 DR 입력 및 신호 대 잡음비. 데시벨 단위의 입력 신호의 동적 범위는 다음과 같이 정의됩니다.
여기서 A max 및 A min은 필터 입력 신호의 최대 및 최소 진폭입니다. 데시벨로 표현되는 필터 출력의 신호 대 잡음비는 다음과 같이 정의됩니다.
진폭 A min을 갖는 필터의 출력 정현파 신호 전력의 평균 제곱근 값을 결정하고, (10.77) 필터 출력의 잡음 전력을 결정합니다. A max =1인 (10.75) 및 (10.76)으로부터 필터 출력 잡음의 분산에 대한 표현식을 얻습니다. 이 필터 출력 잡음 분산 값은 필터의 입력 및 출력 신호의 비트 깊이를 계산하는 데 사용할 수 있습니다.  무료 프로그램과 유용한 팁의 세계 2024 whatsappss.ru | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(10.2),
- 진폭-주파수 응답(AFC)필터,
- 위상 주파수 응답(PFC)필터.
(10.3).
(10.4).
(10.6).
(10.7).
(10.8).
(10.9).
(10.10).
(10.12).
(10.17).
(10.19),
(10.20).
(10.21).
(10.22).
(10.23).
(10.25),
(10.26).
(10.27).
(10.28),
(10.29).
(10.30).
(10.31),
(10.33).
(10.34).
(10.35),
(10.37).
(10.38).
(10.39).
(10.40).
(10.41),
(10.42).
(10.43).
(10.44),
, I 0 – 첫 번째 종류의 0차 베셀 함수는 다음 식으로 정의됩니다.
(10.45).
(10.46),
(10.50),
(10.51).
(10.52).
(10.53).
(10.54),
(10.57)
(10.66),
(10.67).
(10.74),
(10.75),
(10.78).