E(기능 E). 자연로그와 숫자 e e x는 무엇을 의미하나요?
언뜻 보면 이 연관성이 완전히 불분명해 보이지만(과학적 수학은 하나의 것으로 보이고 경제와 금융은 완전히 다른 것임) 이 숫자의 "발견"의 역사를 연구하면 모든 것이 분명해집니다. 실제로, 과학이 겉으로 보기에 관련이 없는 서로 다른 분야로 어떻게 나누어지더라도 일반적인 패러다임은 여전히 동일할 것입니다(특히 소비자 사회의 경우 - "소비자" 수학).
정의부터 시작해 보겠습니다. e는 자연 로그의 밑수, 수학 상수, 비합리적이고 초월적인 숫자입니다. 때때로 숫자 e는 오일러 수(Euler number) 또는 네이피어 수(Napier number)라고 불립니다. 라틴 소문자 "e"로 표시됩니다.
지수 함수 e^x는 "그 자체로" 적분되고 미분되므로 밑수 e에 기초한 로그는 자연적인 것으로 받아들여집니다. (비록 "자연성"이라는 이름 자체는 의심의 여지가 있지만, 모든 수학은 본질적으로 인위적으로 발명된 수학에 기초하고 있기 때문입니다.) 자연의 허구적 원리와는 전혀 분리되어 있으며 자연적인 원리와는 전혀 다릅니다).
이 숫자는 "놀라운 로그 표 설명"(1614)이라는 작품의 저자인 스코틀랜드 과학자 Napier를 기리기 위해 때때로 Nepier라고 불립니다. 그러나 이 이름은 Napier가 번호 자체를 직접 사용하지 않았기 때문에 완전히 정확하지는 않습니다.
이 상수는 1618년에 출판된 위에서 언급한 네이피어의 저작의 영어 번역에 대한 부록에서 처음으로 암묵적으로 나타납니다. 그 이유는 KINEMATIC 고려 사항에 따라 결정된 자연 로그 테이블만 포함하고 있지만 상수 자체는 존재하지 않기 때문입니다.
상수 자체는 스위스 수학자 베르누이(1690년 공식 버전에 따름)가 이자 소득의 한계 가치 문제를 해결하면서 처음 계산했습니다. 그는 원래 금액이 1달러(통화는 전혀 중요하지 않음)이고 연말에 한 번 연간 100% 복리를 적용하면 최종 금액은 2달러가 된다는 것을 발견했습니다. 그러나 동일한 이자가 1년에 두 번 복리 계산되면 $1에 1.5를 두 번 곱하여 $1.00 x 1.5² = $2.25가 됩니다. 분기별 복리 이자는 $1.00 x 1.254 = $2.44140625 등이 됩니다. Bernoulli는 이자 계산 빈도가 무한대로 증가하면 복리의 경우 이자 소득에 한계가 있으며 이 한계는 2.71828...
$1.00×(1+1/12)12 = $2.613035...
$1.00×(1+1/365)365 = $2.714568… - 한계 내에서 e
따라서 숫자 e는 실제로 역사적으로 연간 100%에서 가능한 최대 연간 이익과 이자 자본화의 최대 빈도를 의미합니다. 그리고 우주의 법칙은 그것과 어떤 관련이 있습니까? 숫자 e는 소비자 사회에서 대출 이자에 대한 화폐 경제의 기초를 이루는 중요한 구성 요소 중 하나이며, 처음부터 정신 철학적 수준에서도 오늘날 사용되는 모든 수학이 수세기에 걸쳐 조정되고 날카로워졌습니다. 전에.
문자 b로 표시되는 이 상수의 첫 번째 알려진 사용은 Leibniz가 Huygens에게 보낸 편지(1690-1691)에 나타납니다.
오일러는 1727년에 문자 e를 사용하기 시작했습니다. 이 문자는 오일러가 1731년 11월 25일에 독일 수학자 골드바흐에게 보낸 편지에 처음 등장했습니다. ,”1736. 따라서 e는 일반적으로 오일러 수(Euler number)라고 불립니다. 이후 일부 학자들은 문자 c를 사용했지만 문자 e는 더 자주 사용되었으며 오늘날 표준 명칭입니다.
문자 e가 선택된 이유는 정확히 알려져 있지 않습니다. 아마도 이것은 지수(“표시”, “지수”)라는 단어가 그것으로 시작한다는 사실 때문일 것입니다. 또 다른 제안은 문자 a, b, c 및 d가 이미 다른 목적으로 상당히 일반적으로 사용되고 있었고 e가 최초의 "무료" 문자였다는 것입니다. 문자 e가 오일러 성의 첫 글자라는 점도 주목할 만합니다.
그러나 어쨌든 숫자 e가 어떻게 든 우주와 자연의 보편적 법칙과 관련이 있다고 말하는 것은 단순히 터무니없는 일입니다. 이 숫자는 개념 자체로 처음에는 신용 및 금융 통화 시스템과 연결되었으며 특히 이 숫자를 통해 신용 및 금융 시스템의 이데올로기가 다른 모든 수학의 형성 및 발전에 간접적으로 영향을 미쳤습니다. 이를 통해 다른 모든 과학(결국 예외 없이 과학은 수학의 규칙과 접근 방식을 사용하여 무언가를 계산합니다). 숫자 e는 미분 및 적분에서 중요한 역할을 하며, 이를 통해 실제로 이자 소득을 극대화하려는 이념 및 철학과도 연결됩니다(무의식적으로 연결되어 있다고 말할 수도 있습니다). 자연로그는 어떤 관련이 있나요? e를 (다른 모든 것과 함께) 상수로 설정하면 사고에 암묵적인 연결이 형성되며, 이에 따라 기존의 모든 수학은 통화 시스템과 분리되어 존재할 수 없습니다! 그리고 이런 관점에서 볼 때, 고대 슬라브인(그들뿐만 아니라)이 상수, 비합리적이고 초월적인 숫자 없이도, 심지어 일반적으로 숫자와 숫자 없이도 완벽하게 잘 관리했다는 것은 전혀 놀라운 일이 아닙니다(고대에는 문자가 숫자로 작동함). 돈이없는 시스템에서 다른 논리, 다른 생각 (따라서 그와 관련된 모든 것)은 위의 모든 것을 단순히 불필요하게 만듭니다.
e를 "2.71828...과 대략 같은 상수"로 설명하는 것은 pi를 "3.1415...와 대략 같은 무리수"라고 부르는 것과 같습니다. 이는 의심할 여지 없이 사실이지만 요점은 여전히 우리에게 전달되지 않습니다.
Pi는 원주와 지름의 비율입니다. 모든 원에 동일합니다.. 이는 모든 원에 공통되는 기본 비율이므로 원, 구, 원통 등의 원주, 면적, 부피 및 표면적을 계산하는 데 관련됩니다. Pi는 원에서 파생된 삼각 함수(사인, 코사인, 탄젠트)는 말할 것도 없고 모든 원이 서로 관련되어 있음을 보여줍니다.
숫자 e는 지속적으로 성장하는 모든 프로세스의 기본 성장 비율입니다. e 숫자를 사용하면 간단한 성장률(차이는 연말에만 볼 수 있음)을 사용하여 이 지표의 구성 요소인 정상 성장을 계산할 수 있습니다. 여기서 모든 나노초(또는 그보다 더 빠르게)마다 모든 것이 조금씩 증가합니다. 더.
숫자 e는 인구, 방사성 붕괴, 백분율 계산 등 기하급수적 및 지속적인 성장 시스템에 모두 관련됩니다. 균일하게 성장하지 않는 단계 시스템도 숫자 e를 사용하여 근사화할 수 있습니다.
모든 숫자가 1(기본 단위)의 "축척된" 버전으로 간주될 수 있는 것처럼 모든 원은 단위원(반지름 1)의 "축척된" 버전으로 간주될 수 있습니다. 그리고 모든 성장 인자는 e("단위" 성장 인자)의 "확장된" 버전으로 볼 수 있습니다.
따라서 숫자 e는 무작위로 취해진 난수가 아닙니다. 숫자 e는 지속적으로 성장하는 모든 시스템이 동일한 측정항목의 확장된 버전이라는 아이디어를 구현합니다.
기하급수적 성장의 개념
먼저 기본 시스템을 살펴보겠습니다. 더블스일정 기간 동안. 예를 들어:
- 박테리아는 24시간마다 분열하여 그 수가 "두 배" 늘어납니다.
- 면을 반으로 쪼개면 면의 양이 두 배로 늘어납니다
- 100% 수익을 올리면 돈이 매년 두 배로 늘어납니다(행운이군요!)
그리고 그것은 다음과 같습니다:
2로 나누거나 두 배로 늘리는 것은 매우 간단한 진행입니다. 물론 3배나 4배도 가능하지만 설명상으로는 2배가 더 편리합니다.
수학적으로 x 분할이 있으면 처음보다 2^x배 더 좋은 결과가 나옵니다. 파티션이 1개만 만들어지면 2^1배 더 많은 것을 얻게 됩니다. 4개의 파티션이 있으면 2^4=16개의 부분을 얻습니다. 일반 공식은 다음과 같습니다.
키= 2x
즉, 2배 증가는 100% 증가입니다. 이 공식을 다음과 같이 다시 작성할 수 있습니다.
키= (1+100%) x
이는 동일한 평등입니다. "2"를 구성 요소로 나누었습니다. 본질적으로 이 숫자는 초기 값(1)에 100%를 더한 숫자입니다. 똑똑하죠?
물론 100% 대신 다른 숫자(50%, 25%, 200%)로 대체하여 이 새로운 계수에 대한 성장 공식을 얻을 수 있습니다. 시계열의 x 기간에 대한 일반 공식은 다음과 같습니다.
키 = (1+성장)엑스
이는 단순히 수익률(1 + 이득)을 "x"번 연속으로 사용한다는 의미입니다.
좀 더 자세히 살펴보자
우리의 공식은 성장이 개별 단계로 발생한다고 가정합니다. 우리의 박테리아는 기다리고 또 기다리고, 쾅!하고, 마지막 순간에 그 수가 두 배로 늘어납니다. 예금에 대한 이자 수익은 마술처럼 정확히 1년 후에 나타납니다. 위에서 작성한 공식에 따르면 이익은 단계적으로 증가합니다. 녹색 점이 갑자기 나타납니다.
그러나 세상은 항상 그런 것은 아닙니다. 확대해 보면 박테리아 친구들이 끊임없이 분열하고 있는 것을 볼 수 있습니다.
녹색 친구는 무(無)에서 생겨나는 것이 아닙니다. 그는 천천히 파란색 부모에게서 자라납니다. 1시간(우리의 경우 24시간)이 지나면 녹색 친구는 이미 완전히 익었습니다. 성숙해진 그는 무리의 본격적인 파란색 구성원이 되며 스스로 새로운 녹색 세포를 만들 수 있습니다.
이 정보가 어떤 식으로든 우리의 방정식을 바꾸게 될까요?
아니요. 박테리아의 경우, 반쯤 형성된 녹색 세포는 자라서 파란색 부모로부터 완전히 분리될 때까지 아무 것도 할 수 없습니다. 따라서 방정식이 정확합니다.
자연로그의 개념을 소개하기 전에 상수 $e$의 개념을 살펴보겠습니다.
번호 $e$
정의 1
번호 $e$는 초월수이며 $e\about 2.718281828459045\ldots$와 같은 수학 상수입니다.
정의 2
탁월한는 정수 계수를 갖는 다항식의 근이 아닌 숫자입니다.
참고 1
마지막 공식은 다음과 같습니다. 두 번째 놀라운 한계.
숫자 e라고도 불립니다. 오일러 수, 그리고 때때로 네이피어 수.
노트 2
숫자 $e$의 첫 번째 숫자를 기억하기 위해 다음 표현식이 자주 사용됩니다. "$2$, $7$, 두 배 레오 톨스토이". 물론 이를 활용하기 위해서는 레오 톨스토이가 $1828$에 태어났다는 사실을 기억할 필요가 있는데, 정수부 $2$ 다음에 숫자 $e$의 값이 두 번 반복되는 것이 바로 이 숫자들이며, 소수 부분 $7$.
우리는 자연로그를 연구할 때 숫자 $e$의 개념을 고려하기 시작했는데, 그 이유는 그것이 일반적으로 로그 $\log_(e)a$라고 불리는 로그의 밑바닥에 있기 때문입니다. 자연스러운$\ln a$ 형식으로 작성하세요.
자연로그
종종 계산에는 로그가 사용되며 그 밑은 숫자 $е$입니다.
정의 4
$e$를 밑으로 하는 로그를 호출합니다. 자연스러운.
저것들. 자연 로그는 $\log_(e)a$로 표시할 수 있지만 수학에서는 $\ln a$ 표기법을 사용하는 것이 일반적입니다.
자연로그의 성질
왜냐하면 1의 밑수에 대한 로그는 $0$와 같고, 1의 자연 로그는 $0$와 같습니다.
숫자 $е$의 자연 로그는 1과 같습니다.
두 숫자의 곱의 자연 로그는 다음 숫자의 자연 로그의 합과 같습니다.
$\ln (ab)=\ln a+\ln b$.
두 숫자의 몫의 자연 로그는 다음 숫자의 자연 로그의 차이와 같습니다.
$\ln\frac(a)(b)=\ln a-\ln b$.
숫자의 거듭제곱의 자연 로그는 지수와 서브로그 숫자의 자연 로그의 곱으로 표현될 수 있습니다.
$\ln a^s=s \cdot \ln a$.
실시예 1
$\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)$ 표현식을 단순화합니다.
해결책.
곱 로그의 속성을 분자와 분모의 첫 번째 로그에 적용하고 거듭제곱 로그의 속성을 분자와 분모의 두 번째 로그에 적용해 보겠습니다.
$\frac(2 \ln 4e-\ln16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=\frac(2(\ln 4+\ln e) -\ln 4^2)(\ln 5+\ln e-\frac(1)(2) \ln 5^2)=$
괄호를 열고 유사한 용어를 제시하고 $\ln e=1$ 속성도 적용해 보겠습니다.
$=\frac(2 \ln 4+2-2 \ln 4)(\ln 5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln 5)=\frac(2)( \ln 5+1-\ln 5)=2$.
답변: $\frac(2 \ln 4e-\ln 16)(\ln 5e-\frac(1)(2) \ln 25)=2$.
실시예 2
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$ 표현식의 값을 구합니다.
해결책.
로그 합계에 대한 공식을 적용해 보겠습니다.
$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln e=1$.
답변: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.
실시예 3
대수식 $2 \lg 0.1+3 \ln e^5$의 값을 계산합니다.
해결책.
거듭제곱의 로그 속성을 적용해 보겠습니다.
$2 \lg 0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln e=-2 \lg 10+15 \ln e=-2+ 15= $13.
답변: $2 \lg 0.1+3 \ln e^5=13$.
실시예 4
대수식 $\ln \frac(1)(8)-3 \ln 4$을 단순화합니다.
$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln 3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln 3=$
우리는 몫의 로그 속성을 첫 번째 로그에 적용합니다.
$=6(\ln 3-\ln e)-6 \ln 3=$
괄호를 열고 비슷한 용어를 제시해 보겠습니다.
$=6 \ln 3-6 \ln e-6 \ln 3=-6$.
답변: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln 27=-6$.
각각의 기능 이자형지정된 값을 테스트하고 결과에 따라 TRUE 또는 FALSE를 반환합니다. 예를 들어, 함수 비어 있는테스트 중인 값이 빈 셀에 대한 참조인 경우 부울 값 TRUE를 반환합니다. 그렇지 않으면 부울 값 FALSE가 반환됩니다.
기능 이자형값에 대한 계산이나 기타 작업을 수행하기 전에 값에 대한 정보를 얻는 데 사용됩니다. 예를 들어, 오류가 발생할 때 다른 작업을 수행하려면 다음 함수를 사용할 수 있습니다. 오류기능과 결합하여 만약에:
= 만약에( 오류(A1); "오류가 발생했습니다."; A1*2)
이 수식은 A1 셀의 오류를 확인합니다. 오류가 발생하면 해당 기능은 만약에"오류가 발생했습니다."라는 메시지가 반환됩니다. 오류가 없으면 함수는 만약에제품 A1*2를 계산합니다.
통사론
비어있음(값)
EOS(값)
오류(값)
ELOGIC(값)
UNM(값)
NETTEXT(값)
ETEXT(값)
함수 인수 이자형아래에 설명되어 있습니다.
의미필수 인수입니다. 확인 중인 값입니다. 이 인수의 값은 빈 셀, 오류 값, 부울 값, 텍스트, 숫자, 나열된 개체에 대한 참조 또는 해당 개체의 이름일 수 있습니다.
기능 | 다음과 같은 경우 TRUE를 반환합니다. |
|---|---|
|
값 인수가 빈 셀을 참조합니다. |
|
|
값 인수는 #N/A 이외의 오류 값을 참조합니다. |
|
|
값 인수는 모든 오류 값(#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? 또는 #EMPTY!)을 참조합니다. |
|
|
value 인수는 부울 값을 참조합니다. |
|
|
값 인수는 #N/A 오류 값을 참조합니다(값을 사용할 수 없음). |
|
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ENETEXT |
값 인수는 텍스트가 아닌 모든 요소를 참조합니다. (인수가 빈 셀을 참조하는 경우 함수는 TRUE를 반환합니다.) |
|
값 인수는 숫자를 참조합니다. |
|
|
값 인수는 텍스트를 참조합니다. |
노트
함수의 인수 이자형변환되지 않습니다. 따옴표로 묶인 모든 숫자는 텍스트로 처리됩니다. 예를 들어 숫자 인수가 필요한 대부분의 다른 함수에서는 텍스트 값"19"는 숫자 19로 변환됩니다. 그러나 공식에서는 ISNUMBER("19") 이 값은 텍스트에서 숫자로 변환되지 않으며 함수는 ISNUMBER거짓을 반환합니다.
기능 사용 이자형계산 결과를 수식으로 확인하는 것이 편리합니다. 이러한 기능을 기능과 결합 만약에, 수식에서 오류를 찾을 수 있습니다(아래 예 참조).
예
실시예 1
다음 표의 샘플 데이터를 복사하여 새 Excel 워크시트의 A1 셀에 붙여넣습니다. 수식 결과를 표시하려면 해당 수식을 선택하고 F2를 누른 다음 Enter를 누르십시오. 필요한 경우 모든 데이터를 보려면 열 너비를 변경하세요.
아래 표의 샘플 데이터를 복사하여 새 Excel 워크시트의 A1 셀에 붙여넣습니다. 수식 결과를 표시하려면 해당 수식을 선택하고 F2를 누른 다음 Enter를 누르십시오. 필요한 경우 모든 데이터를 보려면 열 너비를 변경하세요.
데이터 |
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|---|---|---|
|
공식 |
설명 |
결과 |
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비어있음(A2) |
C2 셀이 비어 있는지 확인합니다. |
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오류(A4) |
셀 A4(#REF!)의 값이 오류 값인지 확인합니다. |
|
|
셀 A4(#REF!)의 값이 오류 값 #N/A인지 확인합니다. |
||
|
셀 A6(#N/A)의 값이 오류 값 #N/A인지 확인합니다. |
||
|
셀 A6(#N/A)의 값이 오류 값인지 확인합니다. |
||
|
IS번호(A5) |
셀 A5(330.92)의 값이 숫자인지 테스트합니다. |
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|
ETEXT(A3) |
셀 A3("Region1")의 값이 텍스트인지 확인합니다. |
지수는 , 또는 로 표시됩니다.
번호 e
지수 차수의 기초는 다음과 같습니다. 번호 e. 이것은 비합리적인 숫자입니다. 거의 같습니다
이자형 ≈ 2,718281828459045...
숫자 e는 수열의 극한을 통해 결정됩니다. 이것이 소위 두 번째 놀라운 한계:
.
숫자 e는 계열로 표시될 수도 있습니다.
.
지수 그래프
지수 그래프, y = e x .그래프는 지수를 보여줍니다. 이자형어느 정도 엑스.
와이 (x) = 전자x
그래프는 지수가 단조롭게 증가하는 것을 보여줍니다.
방식
기본 공식은 e차를 밑으로 하는 지수 함수의 경우와 동일합니다.
;
;
;
지수를 통한 임의의 밑수 a를 갖는 지수 함수의 표현:
.
개인적인 가치
하자 (x) = 전자x. 그 다음에
.
지수 속성
지수는 거듭제곱을 기반으로 하는 지수 함수의 속성을 갖습니다. 이자형 > 1 .
도메인, 값 세트
지수 y (x) = 전자x모든 x에 대해 정의됩니다.
정의 영역:
- ∞ < x + ∞
.
다양한 의미:
0
< y < + ∞
.
극단, 증가, 감소
지수는 단조 증가하는 함수이므로 극값이 없습니다. 주요 속성이 표에 나와 있습니다.
역함수
지수의 역수는 자연 로그입니다.
;
.
지수의 미분
유도체 이자형어느 정도 엑스동일 이자형어느 정도 엑스
:
.
n차 도함수:
.
수식 도출 > > >
완전한
복소수
복소수 연산은 다음을 사용하여 수행됩니다. 오일러의 공식:
,
허수 단위는 어디에 있습니까?
.
쌍곡선 함수를 통한 표현
;
;
.
삼각함수를 이용한 표현
;
;
;
.
파워 시리즈 확장
참고자료:
안에. 브론스타인, K.A. Semendyaev, 엔지니어 및 대학생을 위한 수학 핸드북, "Lan", 2009.
