مجموعه های محدب و خواص آنهابرای بررسی خصوصیات یک مجموعه محدب، لازم است تعریف دقیقی از مجموعه محدب ارائه شود. پیش از این، مجموعه محدب به عنوان مجموعه‌ای تعریف می‌شد که همراه با هر دو نقطه آن، شامل یک قطعه است که آنها را به هم متصل می‌کند.

تعمیم مفهوم یک قطعه برای چندین نقطه ترکیب خطی محدب آنها است.

نقطه X نامیده می شود ترکیب خطی محدبنکته ها, در صورت تحقق شرایط

مجموعه نقاط است محدب،اگر همراه با هر دو نقطه از آن، ترکیب خطی و محدب دلخواه خود را داشته باشد.

می توانیم قضیه زیر را در مورد نمایش یک چندوجهی محدب اثبات کنیم.

قضیه 1.1. یک چندوجهی n بعدی محدب، ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه آن است.

از قضیه 1.1 چنین بر می آید که یک چندوجهی محدب توسط نقاط گوشه یا رئوس آن ایجاد می شود: یک پاره با دو نقطه، یک مثلث با سه، یک چهار وجهی با چهار نقطه و غیره. در عین حال، یک منطقه چند وجهی محدب، که مجموعه ای نامحدود است، به طور منحصر به فردی با نقاط گوشه آن تعریف نمی شود: هیچ یک از نقاط آن را نمی توان به عنوان یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه نشان داد.

ویژگی های مسئله برنامه ریزی خطیقبلا اشکال مختلفی از یک مسئله برنامه ریزی خطی در نظر گرفته شد و نشان داده شد که هر مسئله برنامه ریزی خطی را می توان به عنوان یک مسئله کلی یا متعارف نشان داد.

برای اثبات ویژگی‌های مسئله برنامه‌ریزی خطی و روش‌های حل آن، توصیه می‌شود دو نوع دیگر از نمادگذاری مسئله متعارف را در نظر بگیرید.

فرم ضبط ماتریس:

اینجا با- ماتریس ردیف، آ- ماتریس سیستم، ایکس- ماتریس-ستون متغیرها، که در- ماتریس-ستون اعضای آزاد:

فرم برداری ضبط:

که در آن بردارها با ستون های ضرایب مجهولات مطابقت دارند.

در بالا فرموله شد، اما در آن ثابت نشد نمای کلیقضیه بعدی

قضیه 1.2. مجموعه تمام راه حل های امکان پذیر برای سیستم محدودیت های یک مسئله برنامه ریزی خطی محدب است.

اثبات:اجازه دهید - دو راه حل امکان پذیر PLP، که به شکل ماتریس ارائه شده است. سپس . اجازه دهید یک ترکیب خطی محدب از راه حل ها را در نظر بگیریم، به عنوان مثال.

و نشان می دهد که آن نیز یک راه حل قابل قبول سیستم (1.3) است. در واقع

یعنی راه حل ایکسسیستم (1.3) را برآورده می کند. اما از آن زمان ایکس> 0، یعنی راه حل شرایط غیر منفی را برآورده می کند.

بنابراین، ثابت شده است که مجموعه تمام راه حل های امکان پذیر برای یک مسئله برنامه ریزی خطی محدب است، یا به طور دقیق تر، نشان دهنده یک چند وجهی محدب یا یک ناحیه چند وجهی محدب است، که در ادامه آن را با یک جمله می نامیم - چند وجهی محلول ها

پاسخ به این سوال که در کدام نقطه از چندوجهی راه حل ها امکان پذیر است راه حل بهینهمسئله برنامه ریزی خطی در قضیه اساسی زیر آورده شده است.

قضیه 1.3. اگر یک مسئله برنامه ریزی خطی راه حل بهینه داشته باشد، تابع خطی حداکثر مقدار خود را در یکی از نقاط گوشه چندوجهی حل می گیرد. اگر یک تابع خطی در بیش از یک نقطه گوشه حداکثر مقدار را بگیرد، آنگاه آن را در هر نقطه ای که ترکیب خطی محدب این نقاط است می گیرد.

اثبات:فرض می کنیم که چند وجهی محلول محدود است. اجازه دهید نقاط گوشه آن را با علامت گذاری کنیم , و راه حل بهینه از طریق است ایکس*. سپس F(X*)³ F(X)برای تمام نقاط ایکسچند وجهی محلول ها اگر ایکس*یک نقطه گوشه است، سپس قسمت اول قضیه ثابت می شود.

بیایید وانمود کنیم که ایکس*بنابراین، بر اساس قضیه 1.1 یک نقطه گوشه نیست ایکس*را می توان به عنوان یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه چند وجهی محلول نشان داد، یعنی.

زیرا F(X)یک تابع خطی است، دریافت می کنیم

در این تجزیه، ماکزیمم را از بین مقادیر انتخاب می کنیم. بگذارید با نقطه گوشه مطابقت داشته باشد Xk(1 پوند ک£ ر); بیایید آن را با علامت گذاری کنیم م،آن ها . اجازه دهید هر مقدار در عبارت (1.5) را با این مقدار حداکثر جایگزین کنیم م.سپس

با فرض ایکس* راه حل بهینه است، بنابراین، از یک طرف، اما، از طرف دیگر، ثابت شده است که
F(X*)£ م،بنابراین، کجا Xk- نقطه گوشه بنابراین یک نقطه گوشه وجود دارد Xk، که در آن تابع خطی حداکثر مقدار خود را می گیرد.

برای اثبات قسمت دوم قضیه، فرض می کنیم که تابع هدف در بیش از یک نقطه گوشه، مثلاً در نقاط، حداکثر مقدار را می گیرد. ، جایی که , سپس

اجازه دهید ایکس- یک ترکیب خطی محدب از این نقاط گوشه، یعنی.

در این حالت با توجه به اینکه تابع F(X)- خطی، می گیریم

آن ها تابع خطی افحداکثر مقدار را در یک نقطه دلخواه می گیرد ایکس، که یک ترکیب خطی محدب از نقاط گوشه است.

اظهار نظر.شرط محدود بودن چندوجهی محلول در قضیه ضروری است، زیرا در مورد یک ناحیه چندوجهی نامحدود، همانطور که در قضیه 1.1 ذکر شد، هر نقطه از چنین ناحیه ای را نمی توان با ترکیب خطی محدب نقاط گوشه آن نشان داد.

قضیه اثبات شده بنیادی است، زیرا نشان دهنده یک راه اساسی برای حل مسائل برنامه ریزی خطی است. در واقع، با توجه به این قضیه، به جای مطالعه مجموعه ای نامتناهی از راه حل های امکان پذیر برای یافتن راه حل بهینه مورد نظر از بین آنها، لازم است فقط تعداد محدودی از نقاط گوشه چند وجهی حل مورد مطالعه قرار گیرد.

قضیه بعدی به روش تحلیلی یافتن نقاط گوشه اختصاص دارد.

قضیه 1.4. هر راه حل اساسی قابل قبول یک مسئله برنامه ریزی خطی مربوط به یک نقطه گوشه از چند وجهی راه حل است، و بالعکس، به هر نقطه گوشه ای از چند وجهی راه حل، یک راه حل پایه قابل قبول مطابقت دارد.

اثبات:اجازه دهید یک راه حل اساسی قابل قبول از سیستم محدودیت های LLP (1.4) باشد، که در آن اولین تیجزء متغیرهای اصلی و بقیه هستند p - tجزء - متغیرهای غیر اصلی برابر با صفر در راه حل اصلی (اگر اینطور نیست، می توان متغیرهای مربوطه را مجددا شماره گذاری کرد). بیایید آن را نشان دهیم ایکس

بیایید برعکس را فرض کنیم، یعنی. چی ایکسیک نقطه گوشه نیست سپس اشاره کنید ایکسرا می توان با نقطه داخلی یک قطعه نشان داد که دو قطعه مختلف را که با هم منطبق نیستند به هم وصل می کند ایکس،نکته ها

به عبارت دیگر، یک ترکیب خطی محدب از نقاط چند وجهی محلول ها، یعنی

کجا (فرض می کنیم که، زیرا در غیر این صورت نقطه ایکسمنطبق بر نقطه ایکس 1 یا ایکس 2).

اجازه دهید برابری برداری (1.6) را به صورت مختصات بنویسیم:

زیرا همه متغیرها و ضرایب غیر منفی هستند، سپس از آخرین p-tبرابری ها نتیجه می شود که , i.e. در تصمیم گیری ها ایکس 1 , ایکس 2 و ایکسسیستم معادلات (1.4) مقادیر p - tمولفه ها در این حالت برابر با صفر هستند. این مولفه ها را می توان مقادیر متغیرهای غیر اولیه در نظر گرفت. اما مقادیر متغیرهای غیر پایه به طور منحصر به فرد مقادیر اصلی را تعیین می کند، بنابراین،

پس همه چیز پجزء در محلول ها ایکس 1 , ایکس 2 و ایکسمنطبق هستند، و بنابراین نقاط ایکس 1 و ایکس 2 ادغام، که با این فرض در تضاد است. از این رو، ایکس- نقطه گوشه چندوجهی محلول.

اجازه دهید بیان مخالف را ثابت کنیم. اجازه دهید نقطه گوشه چند وجهی محلول و اولین آن باشد تیمختصات مثبت است بیایید آن را نشان دهیم ایکس- راه حل اساسی قابل قبول یک نقطه گوشه نیست، که با شرایط در تضاد است. بنابراین، فرض ما نادرست است، یعنی. بردارها به صورت خطی مستقل هستند و ایکسیک راه حل اساسی قابل قبول برای مسئله (1.4) است.

یک نتیجه مهم مستقیماً از قضایای 1.3 و 1.4 به دست می آید: اگر یک مسئله برنامه ریزی خطی یک راه حل بهینه داشته باشد، آنگاه مطابق با آن منطبق می شود حداقل، با یکی از راه حل های اساسی قابل قبول آن.

بنابراین، حالت مطلوب تابع خطیمسائل برنامه ریزی خطی را باید در میان تعداد محدودی از راه حل های اساسی امکان پذیر آن جستجو کرد.

بیایید مشکل اصلی برنامه ریزی خطی (LPLP) را در نظر بگیریم: مقادیر غیر منفی متغیرهای x1، x2، ...، xn را پیدا کنید، شرایط m را برآورده کنید - برابری ها

و به حداکثر رساندن تابع خطی این متغیرها

برای سادگی، فرض می کنیم که همه شرایط (1) به صورت خطی مستقل هستند (r=m)، و ما استدلال خود را تحت این فرض انجام خواهیم داد.

بیایید یک راه حل مجاز OLP را هر مجموعه ای از مقادیر غیر منفی x1، x2، ...، xn که شرایط (1) را برآورده می کند، نام ببریم. اجازه دهید یکی از راه حل های مجاز را که تابع (2) را حداکثر می کند، بهینه می نامیم. ما باید راه حل بهینه را پیدا کنیم.

آیا این مشکل همیشه راه حلی دارد؟ نه همیشه نه

ZLP غیرقابل حل است (راه حل بهینه ندارد):

به دلیل ناسازگاری سیستم محدودیت. آن ها همانطور که در شکل 1 نشان داده شده است، سیستم یک راه حل واحد ندارد.

شکل 1 - ناهماهنگی سیستم محدودیت ها

به دلیل نامحدود بودن تابع هدف در مجموعه راه حل ها. به عبارت دیگر، هنگام حل LLP در حداکثر، مقدار تابع هدف به بی نهایت و در مورد LLP در حداقل - به منهای بی نهایت میل می کند، همانطور که در شکل 2 نشان داده شده است.

شکل 2 - نامحدود بودن تابع هدف در مجموعه راه حل ها

ZLP قابل حل است:

مجموعه راه حل از یک نقطه تشکیل شده است. همانطور که در شکل 3 نشان داده شده است نیز بهینه است.

شکل 3- مجموعه راه حل ها از یک نقطه تشکیل شده است

تنها راه حل بهینه برای ZLP. همانطور که در شکل 4 نشان داده شده است، خط مستقیم مربوط به تابع هدف در موقعیت حدی با مجموعه راه حل ها در یک نقطه قطع می شود.

شکل 4 - تنها راه حل بهینه

راه حل بهینه ZLP منحصر به فرد نیست. بردار N بر یکی از اضلاع مجموعه جواب عمود است. در این حالت، همانطور که در شکل 5 نشان داده شده است، هر نقطه از قطعه AB بهینه است.

شکل 5 - راه حل بهینه منحصر به فرد نیست

حل مسائل برنامه ریزی خطی با استفاده از روش سیمپلکس

روش سیمپلکس الگوریتمی برای حل مسئله LP است که شمارش نقاط گوشه ناحیه راه حل های امکان پذیر را در جهت بهبود مقدار تابع هدف C اجرا می کند. روش سیمپلکس اصلی ترین روش در برنامه ریزی خطی است.

استفاده از این روش در یک پروژه دیپلم برای حل مشکل LP به دلایل زیر است:

این روش جهانی است و برای هر مسئله برنامه ریزی خطی به شکل متعارف قابل استفاده است.

ماهیت الگوریتمی روش به آن اجازه می دهد تا با استفاده از ابزارهای فنی با موفقیت برنامه ریزی و پیاده سازی شود.

حداکثر تابع هدف همیشه در نقاط گوشه ای از منطقه راه حل های امکان پذیر به دست می آید. اول از همه، یک راه حل اولیه (مرجع) امکان پذیر پیدا می شود، به عنوان مثال. هر نقطه گوشه ای از منطقه راه حل های امکان پذیر. روش روش به شما امکان می دهد به این سوال پاسخ دهید که آیا این راه حل بهینه است یا خیر. اگر بله، پس مشکل حل شده است. اگر "نه"، انتقال به نقطه گوشه مجاور منطقه راه حل های امکان پذیر انجام می شود، جایی که مقدار تابع هدف بهبود می یابد. فرآیند شمارش نقاط گوشه ناحیه راه حل های ممکن تکرار می شود تا نقطه ای پیدا شود که با حداکثر تابع هدف مطابقت دارد.

از آنجایی که تعداد رئوس چند وجهی محدود است، در تعداد محدودی از مراحل تضمین می شود که مقدار بهینه را پیدا کنید یا این واقعیت را ثابت کنید که مسئله غیر قابل حل است.

سیستم قیود در اینجا سیستمی از معادلات خطی است که در آن تعداد مجهولات وجود دارد مقدار بیشترمعادلات اگر رتبه سیستم برابر باشد، می توان مجهولاتی را انتخاب کرد که بر حسب مجهولات باقی مانده بیان می شوند. برای اطمینان، معمولاً فرض می شود که اولین مجهولات متوالی انتخاب می شوند. این مجهولات (متغیرها) پایه نامیده می شوند، بقیه آزاد هستند. تعداد متغیرهای اساسی همیشه با تعداد محدودیت ها برابر است.

با اختصاص مقادیر معین به متغیرهای آزاد و محاسبه مقادیر پایه (که بر حسب آزاد بیان می شود)، راه حل های مختلفی برای سیستم محدودیت ها به دست می آید. در مواردی که متغیرهای آزاد برابر با صفر هستند، راه حل های به دست آمده از اهمیت ویژه ای برخوردار هستند. چنین راه حل هایی پایه نامیده می شوند. یک راه حل پایه در صورتی که مقادیر متغیرهای آن غیر منفی باشد، راه حل پایه قابل قبول یا راه حل پشتیبانی نامیده می شود. تمام محدودیت ها را رعایت می کند.

با داشتن یک سیستم از محدودیت ها، هر راه حل اساسی برای این سیستم پیدا می شود. اگر اولین راه حل اساسی یافت شده امکان پذیر باشد، از نظر بهینه بودن بررسی می شود. اگر بهینه نباشد، انتقال به راه حل اساسی امکان پذیر دیگری انجام می شود.

روش سیمپلکس تضمین می کند که با این راه حل جدید، اگر فرم خطی به حد مطلوب نرسد، به آن نزدیک شود. آنها همین کار را با راه حل پایه امکان پذیر جدید انجام می دهند تا زمانی که راه حلی بهینه پیدا کنند.

اگر اولین راه حل اساسی یافت شده غیرقابل قبول باشد، با استفاده از روش سیمپلکس، انتقال به راه حل های اساسی دیگر انجام می شود، تا زمانی که در مرحله ای از راه حل، راه حل اساسی قابل قبول باشد، یا می توان در مورد ناسازگاری نتیجه گیری کرد. از سیستم محدودیت ها

بنابراین، استفاده از روش سیمپلکس به دو مرحله تقسیم می شود:

یافتن راه حل اساسی قابل قبول برای یک سیستم از محدودیت ها یا اثبات واقعیت ناسازگاری آن؛

یافتن راه حل بهینه در مورد سازگاری سیستم محدودیت ها.

الگوریتم حرکت به راه حل امکان پذیر بعدی به شرح زیر است:

در خط ضرایب تابع هدف، هنگام یافتن حداکثر، کوچکترین عدد منفی انتخاب می شود. شماره سریال ضریب است. اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد، پس راه حل اصلی اصلی بهینه است.

از بین عناصر ماتریس با شماره ستون (به این ستون ستون اصلی یا حل کننده می گویند) عناصر مثبت انتخاب می شوند. اگر هیچ کدام وجود نداشته باشد، تابع هدف در محدوده مقادیر مجاز متغیرها نامحدود است و مشکل راه حلی ندارد.

از بین عناصر انتخاب شده از ستون اصلی ماتریس، عنصری که مقدار نسبت ترم آزاد مربوطه به این عنصر حداقل است انتخاب می شود. این عنصر پیشرو و خطی که در آن قرار دارد پیشرو نامیده می شود.

متغیر پایه مربوط به ردیف عنصر اصلی باید به دسته آزاد منتقل شود و متغیر آزاد مربوط به ستون عنصر اصلی باید به تعداد پایه وارد شود. یک راه حل جدید حاوی تعداد جدیدی از متغیرهای اساسی ساخته شده است.

شرط بهینه بودن طرح هنگام حل مسئله تا حداکثر: هیچ عنصر منفی در بین ضرایب تابع هدف وجود ندارد.

بهینه سازی مدل های خطی در MS Excel انجام شده است روش سیمپلکس- جستجوی هدفمند راه حل های مرجع برای یک مسئله برنامه ریزی خطی. الگوریتم روش سیمپلکس به ساخت یک چند وجهی محدب در یک فضای چند بعدی و سپس شمارش رئوس آن برای یافتن یک مقدار فوق‌العاده خلاصه می‌شود. تابع هدف.

وسیله مؤثر برنامه ریزی خطیاساس برنامه ریزی اعداد صحیح و غیرخطی را برای حل مسائل بهینه سازی پیچیده تر تشکیل می دهند. با این حال، این روش ها به زمان های محاسباتی طولانی تری نیاز دارند.

سخنرانی‌های بعدی به تفصیل مثال‌هایی از حل مسائل بهینه‌سازی معمولی و تصمیم‌گیری مدیریت با استفاده از افزودنی MS Excel "جستجوی راه حل" را مورد بحث قرار خواهند داد. وظایفی که به بهترین شکل توسط این ابزار حل می شوند دارای سه ویژگی اصلی هستند:

• یک هدف واحد وجود دارد که از نظر عملکردی مربوط به سایر پارامترهای سیستم است که باید بهینه شود (برای یافتن حداکثر، حداقل یا مقدار عددی معین)؛
• محدودیت هایی وجود دارد که معمولاً به صورت نابرابری بیان می شود (مثلاً حجم مواد اولیه مصرفی نمی تواند از موجودی مواد اولیه موجود در انبار تجاوز کند یا زمان کارکرد دستگاه در روز نباید بیش از 24 ساعت منهای تعمیر و نگهداری باشد. زمان)؛
• مجموعه ای از مقادیر متغیر ورودی وجود دارد که بر مقادیر و محدودیت های بهینه شده تأثیر می گذارد.

پارامترهای وظایف به شاخص های حد زیر محدود می شود:

• تعداد مجهولات - 200;
• تعداد محدودیت های فرمولی در مجهولات - 100.
• تعداد شرایط محدود برای مجهولات 400 است.

الگوریتم برای یافتن راه حل های بهینه شامل چندین مرحله است:

• کارهای مقدماتی؛
• اشکال زدایی راه حل؛
• تجزیه و تحلیل راه حل

دنباله کارهای مقدماتی ضروری انجام شده در هنگام حل مسائل مدل سازی اقتصادی و ریاضی با استفاده از MS Excel در نمودار بلوکی شکل 1.6 نشان داده شده است.

برنج. 1.6.

از پنج نکته برنامه کاری مقدماتی، تنها نکته پنجم قابل رسمی سازی است. بقیه کار نیاز به خلاقیت دارد - و افراد مختلف می توانند آن را به روش های مختلف انجام دهند. اجازه دهید ماهیت عبارت موارد طرح را به اختصار توضیح دهیم.

هنگام تنظیم مشکل، ضرایب هدف و ضرایب نرمال شده مشخص می شوند. در مثال قبلی، ضرایب تشکیل دهنده تابع هدف، مقادیر سود نرمال شده در هر قفسه از نوع ( ) و یک نوع قفسه ( ). ضرایب نرمال شده هنجارهای مصرف مواد و زمان ماشین در هر قفسه از هر نوع بود. ماتریس به این شکل بود:

علاوه بر این، مقادیر منابع همیشه مشخص است. در مثال قبلی، این عرضه یک هفته ای تخته و قابلیت استفاده از زمان ماشین بود: , . اغلب در مشکلات، مقادیر متغیرها باید محدود شود. بنابراین لازم است حد پایین و بالایی دامنه تغییرات آنها مشخص شود.

بنابراین، در کادر محاوره ای برنامه بهینه سازی "جستجوی راه حل" باید الگوریتم هدف زیر را تنظیم کنیم:

تابع هدف برابر است با حاصل ضرب بردار مقادیر متغیر مورد نظر توسط بردار ضرایب هدف.

ضرایب نرمال شده برای بردار مقادیر متغیر مورد نیاز نباید از مقدار بردار منبع داده شده تجاوز کند.

مقادیر متغیر باید در محدوده تعیین شده تعداد عناصر اولیه سیستم باشد

تعداد عناصر اولیه سیستم

تعداد انواع منابع مشخص شده

اشکال زدایی راه حل زمانی ضروری است که برنامه پیامی در مورد نتایج منفی نمایش دهد (شکل 1.7):

برنج. 1.7.

• اگر راه حل قابل قبولی به دست نیامد، مدل داده منبع را تنظیم کنید.
• در صورت عدم دریافت راه حل بهینه، سپس محدودیت های اضافی را معرفی کنید.

مسائل برنامه راه حل بهینهفقط برای مدلی از مشکل واقعی و نه راه حلی برای خود مشکل. هنگام ساخت مدل، فرضیات ساده‌سازی مختلفی در مورد وضعیت واقعی انجام شد. این امکان رسمی کردن فرآیند را فراهم کرد و تقریباً روابط کمی واقعی بین پارامترهای سیستم و هدف را نشان داد. و اگر پارامترهای واقعی با پارامترهای موجود در مدل متفاوت باشد، پس راه حل چگونه تغییر خواهد کرد؟ برای پی بردن به این موضوع، قبل از تصمیم گیری مدیریت، تجزیه و تحلیل راه حل مدل انجام می شود.

تحلیل و بررسی راه حل بهینه، که در برنامه تعبیه شده است، نشان دهنده مرحله نهایی مدل سازی ریاضی فرآیندهای اقتصادی است. این امکان را برای بررسی عمیق‌تر انطباق مدل با فرآیند و همچنین قابلیت اطمینان راه‌حل بهینه فراهم می‌کند. بر اساس داده ها است راه حل بهینهو گزارش هایی که در «جستجوی راه حل» صادر می شوند. اما تحلیل سنتی طرح را از منظر اقتصادی قبل از تصمیم گیری مدیریت حذف یا جایگزین نمی کند.

تحلیل اقتصادی دارای اهداف زیر است:

• تعیین پیامدهای احتمالی در سیستم به عنوان یک کل و عناصر آن هنگام تغییر پارامتر مدل.
• ارزیابی پایداری طرح بهینه نسبت به تغییرات در پارامترهای فردی مشکل: اگر در برابر تغییرات در اکثر پارامترها پایدار نباشد، تضمین اجرای آن و دستیابی به بهینه محاسبه شده کاهش می یابد.
• انجام محاسبات مختلف و به دست آوردن گزینه های طرح جدید بدون حل مجدد مشکل از پایه اصلی با استفاده از تنظیمات.

روش های تحلیل ممکن در نمودار در شکل 1.8 ارائه شده است.

پس از به دست آوردن راه حل بهینه، بر اساس گزارش های دریافتی مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد. تجزیه و تحلیل پایداری- مطالعه تأثیر تغییرات در پارامترهای مدل فردی بر شاخص های راه حل بهینه. تجزیه و تحلیل حد- تحلیل تغییرات مجاز در طرح بهینه که در آن طرح بهینه باقی می ماند.

با توجه به مسئولیت پذیرش اقتصادی تصمیم مدیریت، مدیر باید مطمئن شود که برنامه بهینه حاصل تنها برنامه صحیح است. برای انجام این کار، بر اساس مدل، پاسخ به سوالات زیر ضروری است:

• "چه اتفاقی می افتد اگر…"
• "چه چیزی لازم است تا ..."

تحلیل برای پاسخ به سوال اول نامیده می شود تجزیه و تحلیل واریانت; تحلیل برای پاسخ به سوال دوم نامیده می شود راه حل های سفارشی

تجزیه و تحلیل متغیر می تواند از انواع زیر باشد:

• پارامتریک- تجزیه و تحلیل، که شامل حل یک مسئله برای مقادیر مختلف یک پارامتر خاص است.
• تحلیل ساختاری- هنگامی که یک راه حل برای یک مسئله بهینه سازی تحت ساختار متفاوتی از محدودیت ها جستجو می شود.
• تحلیل چند معیارهراه حلی برای یک مسئله با استفاده از توابع هدف مختلف است.
• تجزیه و تحلیل با داده های اولیه مشروط- زمانی که داده های اولیه مورد استفاده برای حل یک مشکل به رعایت شرایط اضافی بستگی دارد.

پس از تجزیه و تحلیل، نتایج باید به صورت گرافیکی ارائه شود و گزارشی با توصیه هایی برای تصمیم گیری با در نظر گرفتن شرایط خاص اقتصادی تهیه شود.

در حال حاضر برنامه آموزشی تخصص های مرتبط با اقتصاد، مالی و مدیریت شامل رشته ای به نام روش های تصمیم گیری بهینه است. در این رشته، دانش آموزان جنبه های ریاضی بهینه سازی، تحقیق در عملیات، تصمیم گیری و مدل سازی را مطالعه می کنند. ویژگی اصلیاین رشته با مطالعه مشترک روش های ریاضی با کاربرد آنها در حل مسائل اقتصادی تعیین می شود.

وظایف بهینه سازی: اطلاعات عمومی

اگر حالت کلی را در نظر بگیریم، معنای مسئله بهینه‌سازی یافتن راه‌حل بهینه‌ای است که تابع هدف را تحت شرایط محدودیت معین به حداکثر می‌رساند (به حداقل می‌رساند).

بسته به ویژگی های توابع، مسائل بهینه سازی را می توان به دو نوع تقسیم کرد:

• مشکل برنامه ریزی خطی (همه توابع خطی هستند).
• مشکل برنامه نویسی غیرخطی (حداقل یکی از توابع خطی نیست).

موارد خاص از مسائل بهینه سازی مسائل برنامه نویسی کسری-خطی، پویا و تصادفی است.

مسائل بهینه‌سازی که بیشتر مورد مطالعه قرار گرفته‌اند، مسائل برنامه‌ریزی خطی (LPP) هستند که راه‌حل‌های آنها فقط مقادیر صحیح را می‌گیرند.

PPP: فرمولاسیون، طبقه بندی

مسئله برنامه ریزی خطی در حالت کلی شامل یافتن حداقل (حداکثر) یک تابع خطی تحت محدودیت های خطی معین است.

یک ZLP عمومی یک مشکل فرم است

تحت محدودیت

متغیرها کجا هستند، اعداد واقعی داده شده هستند، تابع هدف هستند، طرح مسئله هستند، (*)-(***) محدودیت ها هستند.

یکی از ویژگی های مهم ZLP این است که حداکثر تابع هدف در مرز ناحیه راه حل های امکان پذیر به دست می آید.

کاربردهای اقتصادی عملی روش های راه حل بهینه در حل مسائل از انواع زیر یافت می شود:

• مشکلات در مورد مخلوط ها (به عنوان مثال برنامه ریزی ترکیب محصولات)؛
• مشکلات تخصیص بهینه منابع در برنامه ریزی تولید؛

PAP: نمونه ها

مشکل مخلوط

راه‌حل مشکل مخلوط‌ها یافتن ارزان‌ترین مجموعه، متشکل از مواد اولیه خاصی است که مخلوطی با خواص مطلوب ارائه می‌کنند.

مشکل تخصیص منابع

این شرکت تولید می کند nمحصولات مختلفی که تولید آنها نیاز دارد مترانواع مختلف منابع ذخایر منابع استفاده شده محدود و به ترتیب به میزان می باشد ب 1, ب 2,…, b m c.u. علاوه بر این، ضرایب فن آوری شناخته شده است یک ij، که چند واحد را نشان می دهد من-منبع برای تولید یک واحد محصول مورد نیاز است jنوع -ام (). سودی که یک شرکت در هنگام فروش محصول دریافت می کند jنوع -ام، به میزان ج جواحدهای پولی لازم است برنامه ای برای تولید محصولاتی تهیه شود که سود شرکت در اجرای آن بیشترین میزان را داشته باشد.

مشکلات مربوط به مخلوط ها و تخصیص منابع اغلب به شکل جدول نوشته می شوند.

منابع	نیاز دارد			ذخایر
	ب 1	…	Bn
الف 1				ب 1
…				…
صبح				b m
سود	ج 1	…	c n

مشکلات تخصیص ترکیب و منابع را می توان به چند روش حل کرد:

• روش گرافیکی (در مورد تعداد کمی از متغیرها در مدل ریاضی);
• روش سیمپلکس (اگر تعداد متغیرها در یک مدل ریاضی بیش از دو باشد).

مسئله حمل و نقل به دسته ای از وظایف اشاره دارد که ساختار خاصی دارند. ساده ترین مشکل حمل و نقل، مشکل حمل و نقل یک محصول به مقصد از مبادی خروجی است حداقل هزینه هابرای حمل و نقل کلیه محصولات

برای وضوح و سهولت درک، شرایط مشکل حمل و نقل معمولاً در جدول زیر نوشته می شود:

به طور کلی، حل یک مشکل حمل و نقل در چند مرحله انجام می شود:

• مرحله اول: ساخت طرح مرجع اولیه.
• مرحله دوم: بررسی طرح مرجع برای بهینه بودن.
• مرحله سوم: شفاف سازی طرح مرجع در صورتی که بهینه نباشد.

روش های مختلفی برای به دست آوردن پلان مرجع اولیه وجود دارد، به عنوان مثال روش گوشه شمال غربی، روش Vogel و روش حداقل هزینه.

طرح از نظر بهینه بودن با استفاده از روش پتانسیل بررسی می شود:

- برای سلول های اشغال شده،
- برای سلول های خالی

اگر طرح بهینه نباشد، یک چرخه ساخته می شود و حمل و نقل مجدداً توزیع می شود.

نتیجه

نمی توان کل تئوری و عمل روش های حل بهینه را در چارچوب یک مقاله پوشش داد، بنابراین فقط نکاتی در نظر گرفته می شود که به ما امکان می دهد یک ایده کلی از این رشته، مشکلات و روش های حل آنها ارائه دهیم.

علاوه بر این، خوب است توجه داشته باشید که برای بررسی راه‌حل‌های به‌دست‌آمده برای مسائل بهینه‌سازی، می‌توانید به طور بسیار مؤثری از افزونه «Solution Search» بسته MS Excel استفاده کنید. اما این داستان دیگری است، در واقع، همانطور که بررسی دقیق روش‌ها برای حل مسائل بهینه‌سازی است.

در اینجا چندین کتاب درسی برای مطالعه روش های حل بهینه وجود دارد:

1. بندی ب. مبانی برنامه ریزی خطی: ترانس. از انگلیسی – م.: رادیو و ارتباطات، 1368. – 176 ص.
2. کرمر ن.ش. تحقیق در عملیات در اقتصاد: Proc. راهنمای دانشگاه ها / N.Sh. کرمر، بی. پوتکو، آی.ام. تریشین، م.ن. فریدمن؛ اد. پروفسور ن.ش. کرمر. - م.: اتحاد، 2005. - 407 ص.

راه حل روش های بهینه سازی سفارشی

ما می توانیم با استفاده از روش های راه حل بهینه به شما در حل هر گونه مشکل کمک کنیم. شما می توانید راه حل مشکلات را در وب سایت ما سفارش دهید. شما فقط باید مهلت را مشخص کنید و فایل را با کار پیوست کنید. سفارش شما رایگان است

برنامه ریزی خطیشاخه‌ای از ریاضیات است که روش‌هایی را برای یافتن حداقل یا حداکثر یک تابع خطی از تعداد محدودی از متغیرها مطالعه می‌کند، مشروط بر اینکه متغیرها تعداد محدودی از محدودیت‌ها را به شکل معادلات خطی یا نابرابری‌های خطی برآورده کنند.

بنابراین، مسئله برنامه ریزی خطی عمومی (GLP) را می توان به صورت زیر فرموله کرد.

مقادیر متغیرهای واقعی را پیدا کنید که برای آنها تابع هدف

برای مجموعه نقاطی که مختصات آنها برآورده می شود یک مقدار حداقل می گیرد سیستم محدودیت ها

همانطور که مشخص است، مجموعه ای منظم از مقادیر nمتغیرها , … با یک نقطه در فضای n بعدی نشان داده می شود. در ادامه به این نکته اشاره خواهیم کرد ایکس=( , , … ).

به صورت ماتریسی، مسئله برنامه ریزی خطی را می توان به صورت زیر فرموله کرد:

, آ- ماتریس اندازه،

نقطه ایکس=( , , … ) که تمام شرایط را برآورده می کند، فراخوانی می شود نکته معتبر . مجموعه تمام نقاط قابل قبول نامیده می شود منطقه معتبر .

راه حل بهینه (طرح بهینه)یک مسئله برنامه ریزی خطی راه حل نامیده می شود ایکس=( , , …)، متعلق به ناحیه مجاز و تابع خطی برای آن است سمقدار بهینه (حداکثر یا حداقل) را می گیرد.

قضیه. مجموعه تمام راه حل های امکان پذیر برای سیستم محدودیت های یک مسئله برنامه ریزی خطی محدب است.

مجموعه نقاط نامیده می شود محدب ، اگر همراه با هر دو نقطه از آن ترکیب خطی محدب دلخواه خود را داشته باشد.

نقطه ایکستماس گرفت ترکیب خطی محدب در صورت احراز شرایط امتیاز می گیرد

مجموعه تمام راه حل های امکان پذیر برای یک مسئله برنامه ریزی خطی یک ناحیه چند وجهی محدب است که از این پس آن را می نامیم. چند وجهی محلول ها .

قضیه. اگر ZLP راه حل بهینه داشته باشد، تابع هدف حداکثر (حداقل) مقدار را در یکی از رئوس چند وجهی حل می گیرد. اگر تابع هدف در بیش از یک نقطه حداکثر (حداقل) مقدار را بگیرد، در هر نقطه ای که ترکیب خطی محدب این نقاط است این مقدار را می گیرد.

در میان راه حل های متعدد سیستم مترمعادلات خطی که چند وجهی راه حل ها را توصیف می کنند، به اصطلاح راه حل های اساسی متمایز می شوند.

راه حل اساسی سیستم مترمعادلات خطی با n متغیر راه حلی است که در آن همه n-mمتغیرهای غیر هسته ای صفر هستند. در مسائل برنامه نویسی خطی به چنین راه حل هایی گفته می شود راه حل های اساسی قابل قبول (طرح های مرجع).

قضیه. هر راه حل پایه قابل قبول برای یک مسئله برنامه ریزی خطی مربوط به یک راس از چند وجهی راه حل است، و بالعکس، برای هر راس چند وجهی راه حل، یک راه حل اساسی قابل قبول مطابقت دارد.

یک نتیجه مهم از قضایای فوق بدست می آید:

اگر یک مسئله برنامه ریزی خطی یک راه حل بهینه داشته باشد، حداقل با یکی از راه حل های اساسی امکان پذیر آن منطبق است.

در نتیجه، بهینه تابع خطی هدف یک مسئله برنامه‌ریزی خطی را باید در میان تعداد متناهی راه‌حل‌های اساسی امکان‌پذیر آن جستجو کرد.