برای ضرب یک ماتریس در یک عدد، باید هر عنصر ماتریس را در آن عدد ضرب کنید.

نتیجه. عامل مشترک همه عناصر ماتریس را می توان از علامت ماتریس خارج کرد.

مثلا، .

همانطور که می بینید، اعمال جمع، تفریق ماتریس ها و ضرب یک ماتریس در عدد مشابه اعمال روی اعداد است. ضرب ماتریس یک عملیات خاص است.

محصول دو ماتریس

همه ماتریس ها را نمی توان ضرب کرد. محصول دو ماتریس آو که دربه ترتیب ذکر شده ABتنها زمانی امکان پذیر است که تعداد ستون های عامل اول باشد آبرابر با تعداد ردیف های عامل دوم است که در.

مثلا، .

اندازه ماتریس آ 33، اندازه ماتریس که در 23. کار کنید ABغیر ممکن، کار VAشاید.

حاصل ضرب دو ماتریس A و B سومین ماتریس C است که عنصر C ij آن برابر است با مجموع حاصلضرب های زوجی عناصر ردیف i عامل اول و ستون j ضریب دوم. عامل.

نشان داده شد که در این حالت حاصل ضرب ماتریس ها امکان پذیر است VA

از قاعده وجود حاصل ضرب دو ماتریس چنین برمی‌آید که حاصل ضرب دو ماتریس در حالت کلی از قانون جابجایی تبعیت نمی‌کند. AB VA. اگر در یک مورد خاص معلوم شود که AB = BA،در این صورت چنین ماتریس هایی قابل تغییر یا جابجایی نامیده می شوند.

در جبر ماتریسی، حاصلضرب دو ماتریس می تواند یک ماتریس صفر باشد حتی زمانی که هیچ یک از ماتریس های عاملی بر خلاف جبر معمولی صفر نباشد.

به عنوان مثال، بیایید حاصل ضرب ماتریس ها را پیدا کنیم AB، اگر

می توانید چندین ماتریس را ضرب کنید. اگر می توانید ماتریس ها را ضرب کنید آ, که درو حاصلضرب این ماتریس ها را می توان در ماتریس ضرب کرد با، سپس می توان محصول را تهیه کرد ( AB) باو آ(آفتاب). در این حالت، قانون ترکیبی در مورد ضرب صورت می گیرد ( AB) با = آ(آفتاب).

اجازه دهید جدولی به ما داده شود (به نام ماتریس) متشکل از چهار عدد:

ماتریس دارای دو سطر و دو ستون است اعدادی که این ماتریس را تشکیل می دهند با یک حرف با دو شاخص نشان داده می شوند. شاخص اول شماره ردیف را نشان می دهد و دومی شماره ستونی را نشان می دهد که عدد داده شده در آن ظاهر می شود. به عنوان مثال، به معنای عدد در ردیف اول و ستون دوم است. عدد در سطر دوم و ستون اول ما اعداد را عناصر ماتریس صدا خواهیم کرد.

تعیین کننده (یا تعیین کننده) مرتبه دوم مربوط به یک ماتریس معین، عددی است که به صورت زیر به دست می آید:

تعیین کننده با نماد نشان داده می شود

بدین ترتیب،

اعداد را عناصر تعیین کننده می نامند.

اجازه دهید ویژگی های دترمینان مرتبه دوم را ارائه کنیم.

خاصیت 1. اگر ردیف های آن با ستون های مربوطه مبادله شوند، تعیین کننده تغییر نمی کند.

ملک 2.

هنگام تنظیم مجدد دو ردیف (یا ستون)، تعیین کننده علامت خود را به عکس تغییر می دهد و مقدار مطلق را حفظ می کند.

خاصیت 3. تعیین کننده با دو سطر (یا ستون) یکسان برابر با صفر است.

خاصیت 4. عامل مشترک همه عناصر یک ردیف (یا ستون) را می توان از علامت تعیین کننده خارج کرد:

خاصیت 5. اگر همه عناصر یک سطر (یا ستون) برابر با صفر باشند، دترمینان برابر با صفر است.

خاصیت 6. اگر به هر سطر (یا ستون) تعیین کننده، عناصر مربوط به سطر (یا ستون) دیگر را در همان عدد y ضرب کنیم، دترمینان مقدار آن را تغییر نخواهد داد، یعنی.

در اینجا ما ویژگی هایی را که معمولاً برای محاسبه دترمینال ها استفاده می شوند را بیان می کنیم دوره استانداردریاضیات بالاتر این یک موضوع کمکی است که در صورت لزوم از قسمت های دیگر به آن اشاره خواهیم کرد.

بنابراین، اجازه دهید یک ماتریس مربع مشخص $A_(n\times n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) داده می شود end(array) \right)$. هر ماتریس مربع دارای یک مشخصه به نام دترمینانت (یا دترمینان) است. من در اینجا به اصل این مفهوم نمی پردازم. اگر نیاز به توضیح دارد، لطفاً در مورد آن در انجمن بنویسید و من در مورد این موضوع با جزئیات بیشتری صحبت خواهم کرد.

تعیین کننده ماتریس $A$ به صورت $\Delta A$، $|A|$، یا $\det A$ نشان داده می شود. ترتیب تعیین کنندهبرابر تعداد ردیف ها (ستون ها) در آن است.

1. اگر ردیف های آن با ستون های مربوطه جایگزین شوند، مقدار تعیین کننده تغییر نخواهد کرد. $\Delta A=\Delta A^T$.

   نمایش/پنهان کردن

   بیایید ردیف های موجود در آن را با ستون ها مطابق این اصل جایگزین کنیم: "یک ردیف اول وجود داشت - یک ستون اول وجود داشت" ، "یک ردیف دوم وجود داشت - یک ستون دوم وجود داشت":

   بیایید تعیین کننده حاصل را محاسبه کنیم: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. همانطور که می بینید، مقدار تعیین کننده به دلیل جایگزینی تغییر نکرده است.

2. اگر دو ردیف (ستون) تعیین کننده را با هم عوض کنید، علامت دترمینان به عکس تغییر می کند.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   تعیین کننده $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. بیایید مقدار آن را با استفاده از فرمول شماره 1 از مبحث محاسبه دترمینال های مرتبه دوم و سوم پیدا کنیم:

   $$\ چپ| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   حالا بیایید خط اول و دوم را با هم عوض کنیم. تعیین کننده $\left| را بدست می آوریم \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. بیایید تعیین کننده حاصل را محاسبه کنیم: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. بنابراین، مقدار تعیین کننده اصلی (37-) بود و مقدار تعیین کننده با ترتیب ردیف تغییر یافته $-(-37)=37$ است. علامت تعیین کننده به عکس تغییر کرده است.

3. تعیین کننده ای که برای آن همه عناصر یک ردیف (ستون) برابر با صفر باشد، برابر با صفر است.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   از آنجایی که در تعیین $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ همه عناصر ستون سوم صفر هستند، سپس تعیین کننده صفر است، یعنی $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. تعیین کننده ای که برای آن همه عناصر یک سطر (ستون) مشخص با عناصر متناظر یک سطر دیگر (ستون) برابر است برابر با صفر است.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   از آنجایی که در تعیین $\left| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ همه عناصر سطر اول برابر هستند عناصر ردیف دوم، سپس تعیین کننده برابر با صفر است، یعنی. $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. اگر در یک تعیین کننده همه عناصر یک ردیف (ستون) با عناصر متناظر یک ردیف دیگر (ستون) متناسب باشند، چنین تعیین کننده ای برابر با صفر است.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   از آنجایی که در تعیین $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ سطرهای دوم و سوم متناسب هستند، یعنی. $r_3=-3\cdot(r_2)$، سپس دترمینان برابر با صفر است، یعنی. $\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. اگر همه عناصر یک ردیف (ستون) یک عامل مشترک داشته باشند، می توان این عامل را از علامت تعیین کننده خارج کرد.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   تعیین کننده $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. توجه داشته باشید که تمام عناصر در ردیف دوم بر 3 تقسیم می شوند:

   $$\ چپ| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   عدد 3 فاکتور مشترک همه عناصر ردیف دوم است. بیایید این سه مورد را از علامت تعیین کننده خارج کنیم:

   $$\ چپ| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. اگر به تمام عناصر یک ردیف خاص (ستون) عناصر مربوط به یک ردیف دیگر (ستون) را که در یک عدد دلخواه ضرب می شود اضافه کنیم، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   تعیین کننده $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. بیایید به عناصر خط دوم عناصر مربوط به خط سوم را در 5 ضرب کنیم. این عمل به صورت زیر نوشته می شود: $r_2+5\cdot(r_3)$. خط دوم تغییر می کند، خطوط باقی مانده بدون تغییر باقی می مانند.

   $$\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (آرایه) \راست|= \چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. اگر یک سطر (ستون) معین در یک دترمینان، ترکیبی خطی از سطرهای دیگر (ستون ها) باشد، دترمینان برابر با صفر است.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   اجازه دهید بلافاصله توضیح دهم که عبارت "ترکیب خطی" به چه معناست. اجازه دهید s ردیف (یا ستون) داشته باشیم: $A_1$، $A_2$،...، $A_s$. اصطلاح

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   که در آن $k_i\در R$ ترکیبی خطی از ردیف‌ها (ستون‌ها) $A_1$، $A_2$،...، $A_s$ نامیده می‌شود.

   به عنوان مثال، تعیین کننده زیر را در نظر بگیرید:

   $$\ چپ| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(آرایه) \right| $$

   در این تعیین کننده، ردیف چهارم را می توان به صورت یک ترکیب خطی بیان کرد سه اولخطوط:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   بنابراین تعیین کننده مورد نظر برابر با صفر است.

9. اگر هر عنصر از یک ردیف k-امین معین (k-امین ستون) یک تعیین کننده برابر با مجموع دو جمله باشد، چنین تعیین کننده ای برابر با مجموع عوامل تعیین کننده است که اولین آن دارای خط kth (ستون kth) جمله های اول و تعیین کننده دوم دارای جمله های دوم در ردیف k-امین (ستون k-امین) است. سایر عناصر این تعیین کننده ها یکسان هستند.

   مثالی از استفاده از این ویژگی: show\hide

   تعیین کننده $\left| را در نظر بگیرید \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. بیایید عناصر ستون دوم را به این صورت بنویسیم: $\left| \begin(array) (cccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. سپس چنین تعیین کننده ای برابر است با مجموع دو تعیین کننده:

   $$\ چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \راست|= \چپ| \begin(array) (cccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (cccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (cccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. دترمینان حاصل ضرب دو ماتریس مربعی هم‌ترتیب برابر است با حاصلضرب تعیین‌کننده‌های این ماتریس‌ها، یعنی. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. از این قانون می توانیم فرمول زیر را بدست آوریم: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. اگر ماتریس $A$ غیر مفرد است (یعنی تعیین کننده آن برابر با صفر نیست)، آنگاه $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

فرمول های محاسبه عوامل تعیین کننده

برای تعیین کننده های مرتبه دوم و سوم، فرمول های زیر صحیح است:

\begin(معادله) \Delta A=\left| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(معادله) \begin(معادله) \begin(تراز شده) & \Delta A=\left| \begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21 )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33 )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(تراز شده)\پایان(معادله)

نمونه هایی از استفاده از فرمول های (1) و (2) در مبحث "فرمول های محاسبه دترمینان های مرتبه دوم و سوم. نمونه هایی از محاسبه دترمینان" آمده است.

تعیین کننده ماتریس $A_(n\times n)$ را می توان در بسط داد خط i-امبا استفاده از فرمول زیر:

\begin(معادله)\دلتا A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(معادله)

آنالوگ این فرمول نیز برای ستون ها وجود دارد. فرمول گسترش دترمینان در ستون j به شرح زیر است:

\begin(معادله)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(معادله)

قواعد بیان شده با فرمول های (3) و (4) به طور مفصل با مثال ها نشان داده شده و در مبحث کاهش ترتیب تعیین کننده توضیح داده شده است. تجزیه دترمینان در یک ردیف (ستون).

اجازه دهید فرمول دیگری را برای محاسبه عوامل تعیین کننده ماتریس های مثلثی بالا و پایین نشان دهیم (برای توضیح این اصطلاحات به مبحث "ماتریس ها. انواع ماتریس ها. اصطلاحات اساسی" مراجعه کنید). تعیین کننده چنین ماتریسی برابر با حاصلضرب عناصر در مورب اصلی است. مثال ها:

\ آغاز (تراز) &\ چپ| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end (آرایه) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\left| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \\ End (Array) \\ راست|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end (تراز شده)

- موش را به مرگ حتمی رها کنید!
بگذار آزادی او را نوازش کند!
و کشتی به حرکت در می آید و راکتور غرش می کند...
- پاش تو لجبازی؟

یادم هست تا کلاس هشتم جبر را دوست نداشتم. من اصلا ازش خوشم نیومد او مرا عصبانی کرد. چون اونجا چیزی نفهمیدم

و سپس همه چیز تغییر کرد زیرا من یک ترفند را کشف کردم:

در ریاضیات به طور کلی (و جبر به طور خاص) همه چیز بر اساس یک سیستم مناسب و سازگار از تعاریف ساخته شده است. اگر تعاریف را بدانید، ماهیت آنها را درک کنید، فهمیدن بقیه کارها دشوار نخواهد بود.

موضوع درس امروز هم همینطور است. ما چندین موضوع و تعاریف مرتبط را به تفصیل بررسی خواهیم کرد که به لطف آنها یک بار و برای همیشه ماتریس ها، تعیین کننده ها و تمام ویژگی های آنها را درک خواهید کرد.

دترمینان ها یک مفهوم مرکزی در جبر ماتریسی هستند. مانند فرمول های ضرب اختصاری، آنها در طول دوره ریاضیات عالی شما را آزار می دهند. بنابراین، ما به طور کامل می خوانیم، تماشا می کنیم و درک می کنیم. :)

و ما با صمیمی ترین چیز شروع خواهیم کرد - ماتریس چیست؟ و نحوه صحیح کار با آن.

قرارگیری صحیح شاخص ها در ماتریس

یک ماتریس به سادگی یک جدول پر از اعداد است. نئو هیچ ربطی بهش نداره

یکی از ویژگی های کلیدی یک ماتریس ابعاد آن است، یعنی. تعداد سطرها و ستون هایی که از آن تشکیل شده است. ما معمولاً می گوییم که یک ماتریس خاص $A$ دارای اندازه $\left[ m\times n \right]$ است اگر دارای $m$ ردیف و $n$ باشد. اینجوری بنویس:

یا مثل این:

عناوین دیگری نیز وجود دارد - همه اینها به ترجیحات مدرس / سمینار / نویسنده کتاب درسی بستگی دارد. اما در هر صورت، با این همه $\left[ m\times n \right]$ و $((a)_(ij))$ همین مشکل پیش می آید:

کدام شاخص مسئول چه چیزی است؟ آیا اول شماره ردیف و سپس شماره ستون می آید؟ یا برعکس؟

هنگام خواندن سخنرانی ها و کتاب های درسی، پاسخ واضح به نظر می رسد. اما وقتی در امتحان فقط یک برگه با یک کار پیش روی خود دارید، ممکن است بیش از حد هیجان زده شوید و ناگهان گیج شوید.

پس بیایید این موضوع را یک بار برای همیشه حل کنیم. برای شروع، بیایید سیستم مختصات معمول یک دوره ریاضی مدرسه را به خاطر بسپاریم:

معرفی یک سیستم مختصات در هواپیما

او را به خاطر می آورید؟ دارای مبدا (نقطه $O=\left(0;0 \right)$) از محورهای $x$ و $y$ است، و هر نقطه در صفحه به طور منحصر به فرد توسط مختصات تعیین می شود: $A=\left( 1;2 \راست)$, $B=\چپ(3;1 \راست)$ و غیره.

حالا بیایید این ساختار را بگیریم و آن را در کنار ماتریس قرار دهیم تا مبدا مختصات در گوشه سمت چپ بالا باشد. چرا آنجا؟ بله، زیرا هنگام باز کردن کتاب، دقیقاً از گوشه سمت چپ بالای صفحه شروع به خواندن می کنیم - به خاطر سپردن این کار آسان است.

اما محورها باید به کجا هدایت شوند؟ آنها را طوری هدایت می کنیم که کل "صفحه" مجازی ما تحت پوشش این محورها باشد. درست است، برای این ما باید سیستم مختصات خود را بچرخانیم. فقط نوع ممکناین مکان:

همپوشانی یک سیستم مختصات روی یک ماتریس

اکنون هر سلول ماتریس دارای مختصات منحصر به فرد $x$ و $y$ است. برای مثال، نوشتن $((a)_(24))$ به این معنی است که ما به عنصری با مختصات $x=2$ و $y=4$ دسترسی داریم. ابعاد ماتریس نیز با یک جفت عدد مشخص می شود:

تعریف شاخص ها در یک ماتریس

فقط به این تصویر با دقت نگاه کنید. با مختصات بازی کنید (مخصوصاً وقتی با ماتریس ها و دترمینال های واقعی کار می کنید) - و خیلی زود متوجه خواهید شد که حتی در پیچیده ترین قضایا و تعاریف نیز به خوبی آنچه گفته می شود را درک می کنید.

فهمیدم؟ خوب، بیایید به مرحله اول روشنگری برویم - تعریف هندسی تعیین کننده. :)

تعریف هندسی

اول از همه، من می خواهم توجه داشته باشم که تعیین کننده فقط برای ماتریس های مربعی به شکل $\left[n\times n \right]$ وجود دارد. دترمینان عددی است که طبق قوانین خاصی محاسبه می‌شود و یکی از ویژگی‌های این ماتریس است (ویژگی‌های دیگری نیز وجود دارد: رتبه، بردارهای ویژه، اما در دروس دیگر بیشتر به آن اشاره می‌شود).

پس این ویژگی چیست؟ چه مفهومی داره؟ ساده است:

تعیین کننده یک ماتریس مربع $A=\left[n\times n \right]$ حجم یک متوازی الاضلاع $n$-بعدی است که اگر ردیف های ماتریس را به عنوان بردارهایی در نظر بگیریم که لبه های آن را تشکیل می دهند، تشکیل می شود. متوازیالسطوح.

به عنوان مثال، تعیین کننده یک ماتریس 2x2 به سادگی مساحت یک متوازی الاضلاع است، اما برای یک ماتریس 3x3 حجم یک متوازی الاضلاع سه بعدی است - همان چیزی که همه دانش آموزان دبیرستانی را در درس های استریومتری عصبانی می کند. .

در نگاه اول، این تعریف ممکن است کاملاً ناکافی به نظر برسد. اما بیایید در نتیجه گیری عجله نکنیم - بیایید به نمونه هایی نگاه کنیم. در واقع، همه چیز ابتدایی است، واتسون:

وظیفه. تعیین کننده های ماتریس ها را پیدا کنید:

\[\چپ| \begin(ماتریس) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(ماتریس) \right|\quad \چپ| \begin(ماتریس) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(ماتریس) \right|\quad \ چپ| \ آغاز (ماتریس) 2 و 0 و 0 \\ 1 و 3 و 0 \\ 1 و 1 و 4 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

راه حل. دو عامل اول دارای اندازه 2x2 هستند. بنابراین اینها به سادگی مناطق متوازی الاضلاع هستند. بیایید آنها را بکشیم و مساحت را محاسبه کنیم.

متوازی الاضلاع اول بر روی بردارهای $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ و $((v)_(2))=\left(0;3 \right) ساخته شده است. $:

تعیین کننده 2x2 مساحت متوازی الاضلاع است

بدیهی است که این فقط یک متوازی الاضلاع نیست، بلکه کاملاً یک مستطیل است. مساحت آن است

متوازی الاضلاع دوم بر روی بردارهای $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ و $((v)_(2))=\left(2;2 \right) ساخته شده است. ) دلار. خب پس چی؟ این هم یک مستطیل:

یکی دیگر از تعیین کننده 2x2

اضلاع این مستطیل (در اصل طول بردارها) به راحتی با استفاده از قضیه فیثاغورث محاسبه می شود:

\[\شروع(تراز) و \چپ| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\left(-1 \right))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \ چپ| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\چپ| ((v)_(1)) \right|\cdot \left| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\پایان (تراز کردن)\]

باقی مانده است که با آخرین تعیین کننده مقابله کنیم - در حال حاضر دارای یک ماتریس 3x3 است. شما باید استریومتری را به خاطر بسپارید:

تعیین کننده 3×3 حجم یک متوازی الاضلاع است

به نظر می رسد شگفت انگیز است، اما در واقع کافی است فرمول حجم یک موازی را به خاطر بسپارید:

که در آن $S$ مساحت پایه است (در مورد ما، این مساحت متوازی الاضلاع در صفحه $OXY$ است)، $h$ ارتفاع کشیده شده به این پایه است (در واقع، $ z$-مختصات بردار $((v)_(3) )$).

مساحت متوازی الاضلاع (ما آن را به طور جداگانه ترسیم کردیم) نیز به راحتی قابل محاسبه است:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\پایان (تراز کردن)\]

همین! پاسخ ها را یادداشت می کنیم.

پاسخ: 3; 4; 24.

یک نکته کوچک در مورد سیستم نشانه گذاری. برخی از مردم احتمالاً از این واقعیت خوششان نمی‌آید که «فلش‌های» بالای بردارها را نادیده می‌گیرم. فرضاً می توانید یک بردار را با یک نقطه یا چیز دیگری اشتباه بگیرید.

اما بیایید جدی باشیم: ما از قبل دختر و پسر بزرگ شده‌ایم، بنابراین با توجه به بافت، به خوبی متوجه می‌شویم که چه زمانی در مورد یک بردار صحبت می‌کنیم و چه زمانی که در مورد یک نقطه صحبت می‌کنیم. فلش‌ها فقط روایت را مسدود می‌کنند، روایتی که قبلاً با فرمول‌های ریاضی پر شده است.

و بیشتر. در اصل، هیچ چیز مانع از در نظر گرفتن تعیین کننده یک ماتریس 1x1 نمی شود - چنین ماتریسی به سادگی یک سلول است و عدد نوشته شده در این سلول تعیین کننده خواهد بود. اما در اینجا یک نکته مهم وجود دارد:

بر خلاف حجم کلاسیک، تعیین کننده به ما به اصطلاح « حجم جهت دار"، یعنی حجم با در نظر گرفتن توالی در نظر گرفتن بردارهای ردیف.

و اگر می خواهید حجم را به معنای کلاسیک کلمه بدست آورید، باید ماژول تعیین کننده را بگیرید، اما اکنون نیازی به نگرانی در مورد آن نیست - به هر حال، در چند ثانیه ما یاد خواهیم گرفت که چگونه هر تعیین کننده را محاسبه کنیم. با هر علامت، اندازه و غیره :)

تعریف جبری

با وجود زیبایی و وضوح رویکرد هندسی، یک اشکال جدی دارد: چیزی در مورد نحوه محاسبه این بسیار تعیین کننده به ما نمی گوید.

بنابراین، اکنون ما یک تعریف جایگزین - جبری را تجزیه و تحلیل خواهیم کرد. برای انجام این کار، به یک آماده سازی نظری مختصر نیاز داریم، اما در پایان ابزاری به دست خواهیم آورد که به ما امکان می دهد هر آنچه را که می خواهیم در ماتریس ها محاسبه کنیم.

درست است، یک مشکل جدید در آنجا ظاهر می شود ... اما اول چیزها.

جایگشت ها و وارونگی ها

بیایید اعداد 1 تا $n$ را روی یک خط بنویسیم. شما چیزی شبیه به این دریافت خواهید کرد:

حالا (فقط برای سرگرمی) اجازه دهید چند عدد را با هم عوض کنیم. می توانید موارد همسایه را تغییر دهید:

یا شاید - نه به خصوص همسایه:

و حدس بزنید چه؟ هیچ چی! در جبر به این مزخرفات جایگشت می گویند. و خواص بسیار زیادی دارد.

تعریف. جایگشت به طول $n$ رشته ای از $n$ اعداد مختلف است که به هر ترتیبی نوشته شده است. معمولا اولین $n$ در نظر گرفته می شود اعداد طبیعی(یعنی فقط اعداد 1، 2، ...، $n$)، و سپس آنها را مخلوط می کنند تا جایگشت مورد نظر به دست آید.

جایگشت ها به همان روش بردارها نشان داده می شوند - به سادگی با یک حرف و لیست متوالی عناصر آنها در پرانتز. به عنوان مثال: $p=\left(1;3;2 \right)$ یا $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. حرف می تواند هر چیزی باشد، اما بگذارید $p$ باشد. :)

علاوه بر این، برای سادگی ارائه، ما با جایگشت های طول 5 کار خواهیم کرد - آنها از قبل به اندازه کافی جدی هستند تا اثرات مشکوک را مشاهده کنند، اما هنوز برای یک مغز شکننده به اندازه جایگشت های طول 6 یا بیشتر جدی نیستند. در اینجا نمونه هایی از این جابجایی ها آورده شده است:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1 ;3;2;5;4 \راست) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \راست) \\\پایان (تراز کردن)\]

به طور طبیعی، یک جایگشت به طول $n$ را می توان به عنوان تابعی در نظر گرفت که در مجموعه $\left\( 1;2;...;n \right\)$ تعریف شده است و به صورت دوگانه این مجموعه را روی خودش نگاشت می کند. با بازگشت به جایگشت هایی که $((p)_(1))$، $((p)_(2))$ و $((p)_(3))$ نوشته شده اند، می توانیم کاملاً درست بنویسیم:

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ چپ (2 \راست)=4;\]

تعداد جایگشت های مختلف با طول $n$ همیشه محدود و برابر است با $n!$ - این یک واقعیت به راحتی قابل اثبات از ترکیبات است. به عنوان مثال، اگر بخواهیم همه جایگشت های طول 5 را بنویسیم، در این صورت تردید زیادی خواهیم داشت، زیرا چنین جایگشت هایی وجود خواهد داشت.

یکی از ویژگی های کلیدی هر جایگشت، تعداد وارونگی در آن است.

تعریف. وارونگی در جایگشت $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;(a)_(n)) \right)$ — هر جفت $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \راست)$ طوری که $i \lt j$، اما $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. به بیان ساده، وارونگی زمانی است که یک عدد بزرگتر در سمت چپ عدد کوچکتر (نه لزوما همسایه آن) قرار دارد.

ما با $N\left(p\right)$ تعداد وارونگی‌ها را در جایگشت $p$ نشان می‌دهیم، اما آماده باشید که با نمادهای دیگر در کتاب‌های درسی مختلف و نویسندگان مختلف روبرو شوید - هیچ استاندارد یکسانی در اینجا وجود ندارد. مبحث وارونگی بسیار گسترده است و درس جداگانه ای به آن اختصاص داده خواهد شد. اکنون وظیفه ما این است که یاد بگیریم چگونه آنها را در مسائل واقعی بشماریم.

برای مثال، بیایید تعداد وارونگی‌ها را در جایگشت $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$ بشماریم:

\[\ چپ (4; 3 \ راست)؛ \ چپ (4; 2 \ راست)؛ \ چپ (5; 3 \ راست)؛ \ چپ (5; 2 \ راست)؛ \ چپ (3; 2 \ راست) ).\]

بنابراین، $N\left(p \right)=5$. همانطور که می بینید، هیچ مشکلی در این مورد وجود ندارد. فوراً می گویم: از این پس ما نه به خود عدد $N\left(p\right)$ بلکه به یکنواختی/غرابی بودن آن علاقه مند خواهیم بود. و در اینجا به آرامی به اصطلاح کلیدی درس امروز می رویم.

چه چیزی تعیین کننده است

اجازه دهید یک ماتریس مربع $A=\left[n\times n \right]$ داده شود. سپس:

تعریف. تعیین کننده ماتریس $A=\left[n\times n \right]$ مجموع جبری $n!$ عبارت است که به صورت زیر تشکیل شده است. هر جمله حاصل ضرب عناصر ماتریس $n$ است که از هر سطر و هر ستون یکی گرفته می شود و در (-1) به توان تعداد وارونگی ها ضرب می شود:

\[\چپ| A\right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

نکته اساسی هنگام انتخاب عوامل برای هر عبارت در تعیین کننده این واقعیت است که هیچ دو عاملی در یک ردیف یا در یک ستون ظاهر نمی شوند.

با تشکر از این، می‌توانیم بدون از دست دادن کلیت فرض کنیم که شاخص‌های $i$ از عوامل $((a)_(i;j))$ از مقادیر 1، ...، $n$ عبور می‌کنند. و شاخص‌های $j$ جایگشت اول هستند:

و هنگامی که یک جایگشت $p$ وجود دارد، می‌توانیم به راحتی وارونگی‌های $N\left(p \right)$ را محاسبه کنیم - و جمله بعدی تعیین‌کننده آماده است.

به طور طبیعی، هیچ کس تعویض فاکتورها را در هیچ اصطلاحی ممنوع نمی کند (یا در همه آنها به یکباره - چرا وقت خود را برای چیزهای بی اهمیت تلف کنید؟)، و سپس اولین شاخص ها نیز نوعی بازآرایی را نشان خواهند داد. اما در نهایت، هیچ چیز تغییر نخواهد کرد: تعداد کل وارونگی‌ها در شاخص‌های $i$ و $j$ برابری را تحت چنین تحریف‌هایی حفظ می‌کند، که کاملاً با قانون خوب قدیمی سازگار است:

مرتب کردن مجدد عوامل، حاصل ضرب اعداد را تغییر نمی دهد.

فقط این قانون را به ضرب ماتریسی ضمیمه نکنید - برخلاف ضرب اعداد، جایگزینی نیست. اما من پرت می شوم. :)

ماتریس 2x2

در واقع، شما همچنین می توانید یک ماتریس 1x1 را در نظر بگیرید - این یک سلول خواهد بود و تعیین کننده آن، همانطور که ممکن است حدس بزنید، برابر است با عدد نوشته شده در این سلول. هیچ چیز جالبی نیست

بنابراین بیایید یک ماتریس مربع 2x2 را در نظر بگیریم:

\[\left[ \begin(ماتریس) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) و ((a)_(22)) \\\پایان (ماتریس) \راست]\]

از آنجایی که تعداد خطوط موجود در آن $n=2$ است، تعیین کننده شامل $n!=2!=1\cdot 2=2$ خواهد بود. بیایید آنها را بنویسیم:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\left(-1 \راست))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\left(-1 \راست))^(N\left(2;1 \راست)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\left(-1 \راست))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (الف)_(21)). \\\پایان (تراز کردن)\]

بدیهی است که در جایگشت $\left(1;2 \right)$ که از دو عنصر تشکیل شده است، وارونگی وجود ندارد، بنابراین $N\left(1;2 \right)=0$. اما در جایگشت $\left(2;1 \right)$ یک وارونگی وجود دارد (در واقع 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

در مجموع، فرمول جهانی برای محاسبه تعیین کننده برای یک ماتریس 2x2 به صورت زیر است:

\[\چپ| \ آغاز (ماتریس) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\پایان( ماتریس) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

از نظر گرافیکی، این می تواند به عنوان حاصل ضرب عناصر در مورب اصلی، منهای حاصلضرب عناصر در مورب جانبی نشان داده شود:

تعیین کننده یک ماتریس 2x2

بیایید به چند مثال نگاه کنیم:

\[\چپ| \begin(ماتریس) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(ماتریس) \right|;\quad \left| \ آغاز (ماتریس) 7 و 12 \\ 14 و 1 \\\ پایان (ماتریس) \راست|.\]

راه حل. همه چیز در یک خط شمرده می شود. ماتریس اول:

و دومی:

پاسخ: −3; -161.

با این حال، خیلی ساده بود. بیایید به ماتریس های 3x3 نگاه کنیم - در حال حاضر جالب است.

ماتریس 3x3

اکنون یک ماتریس مربع 3x3 را در نظر بگیرید:

\[\left[ \begin(ماتریس) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) و ((a)_(33) ) \\\پایان (ماتریس) \راست]\]

هنگام محاسبه تعیین‌کننده آن، عبارت‌های $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ را دریافت می‌کنیم - برای وحشت زیاد نیست، اما برای شروع به جستجوی برخی الگوها کافی است. ابتدا، بیایید همه جایگشت های سه عنصر را بنویسیم و وارونگی های هر یک از آنها را بشماریم:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \راست)=N\ left(1;2;3 \right)=0; \\ & ((p)_(2))=\چپ(1;3;2 \راست)\پیکان راست N\چپ(((p)_(2)) \راست)=N\چپ(1;3) ;2 \right)=1; \\ & ((p)_(3))=\چپ(2;1;3 \راست)\پیکان راست N\چپ(((p)_(3)) \راست)=N\چپ(2;1) ;3 \right)=1; \\ & ((p)_(4))=\چپ(2;3;1 \راست)\پیکان راست N\چپ(((p)_(4)) \راست)=N\چپ(2;3) ;1 \right)=2; \\ & ((p)_(5))=\چپ(3;1;2 \راست)\پیکان راست N\چپ(((p)_(5)) \راست)=N\چپ(3;1) ;2 \right)=2; \\ & ((p)_(6))=\چپ(3;2;1 \راست)\پیکان راست N\چپ(((p)_(6)) \راست)=N\چپ(3;2) ;1 \راست)=3. \\\پایان (تراز کردن)\]

همانطور که انتظار می رفت، در مجموع 6 جایگشت نوشته شد: $((p)_(1))$، ... $((p)_(6))$ (طبیعاً، نوشتن آنها در دنباله ای متفاوت - این تفاوتی نمی کند تغییر خواهد کرد)، و تعداد وارونگی ها در آنها از 0 تا 3 متغیر است.

به طور کلی، سه عبارت با یک “plus” (که در آن $N\left(p \right)$ زوج است) و سه عبارت دیگر با یک “منهای” خواهیم داشت. به طور کلی، تعیین کننده طبق فرمول محاسبه می شود:

\[\چپ| \begin(ماتریس) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) و ((a) _(22)) و ((الف)_(23)) \\ ((الف)_(31)) و ((الف)_(32)) و ((الف)_(33)) \\\پایان (ماتریس) \right|=\begin(ماتریس) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\پایان(ماتریس)\]

فقط همین الان ننشینید و با عصبانیت تمام این فهرست ها را جمع کنید! به جای اعداد نامفهوم، بهتر است قانون یادگاری زیر را به خاطر بسپارید:

قانون مثلث برای یافتن تعیین کننده یک ماتریس 3x3، باید سه حاصل از عناصری را که در مورب اصلی و در راس مثلث های متساوی الساقین با ضلعی موازی با این قطر قرار دارند، اضافه کنید و سپس همان سه حاصل را کم کنید، اما در مورب ثانویه. . از نظر شماتیک به این صورت است:

تعیین کننده یک ماتریس 3x3: قانون مثلث

این مثلث ها (یا پنتاگرام ها، هر کدام که ترجیح می دهید) هستند که مردم دوست دارند در انواع کتاب های درسی و کتاب های راهنما جبر ترسیم کنند. با این حال، اجازه دهید در مورد چیزهای غم انگیز صحبت نکنیم. بهتر است یکی از این عوامل تعیین کننده را محاسبه کنیم - قبل از چیزهای سخت واقعی، خود را گرم کنیم. :)

وظیفه. تعیین کننده را محاسبه کنید:

\[\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 \\ 4 و 5 و 6 \\ 7 و 8 و 1 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

راه حل. ما طبق قانون مثلث کار می کنیم. ابتدا، بیایید سه عبارت متشکل از عناصر روی مورب اصلی و موازی آن را بشماریم:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end (تراز کردن) \]

حالا بیایید به مورب کناری نگاه کنیم:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end (تراز کردن) \]

تنها چیزی که باقی می ماند این است که عدد دوم را از عدد اول کم کنیم - و پاسخ را می گیریم:

همین!

با این حال، عوامل تعیین کننده ماتریس های 3x3 هنوز اوج مهارت نیستند. جالب ترین چیزها بیشتر در انتظار ما هستند. :)

طرح کلی برای محاسبه عوامل تعیین کننده

همانطور که می دانیم، با افزایش بعد ماتریس $n$، تعداد عبارت های تعیین کننده $n!$ است و به سرعت رشد می کند. با این حال، فاکتوریل مزخرف نیست؛ یک تابع نسبتاً سریع در حال رشد است.

در حال حاضر برای ماتریس های 4x4، شمارش دترمینال ها به طور مستقیم (یعنی از طریق جایگشت) به نوعی خوب نیست. من به طور کلی در مورد 5x5 و بیشتر ساکت هستم. بنابراین، برخی از ویژگی های تعیین کننده وارد عمل می شوند، اما درک آنها نیاز به کمی آمادگی نظری دارد.

آماده؟ برو!

ماتریس مینور چیست؟

اجازه دهید یک ماتریس دلخواه $A=\left[ m\times n \right]$ داده شود. توجه: لزوماً مربع نیست. برخلاف عوامل تعیین کننده، مینورها چیزهای بامزه ای هستند که نه تنها در ماتریس های مربع خشن وجود دارند. اجازه دهید چندین ردیف و ستون (به عنوان مثال $k$) در این ماتریس با $1\le k\le m$ و $1\le k\le n$ انتخاب کنیم. سپس:

تعریف. درجه جزئی $k$ تعیین کننده یک ماتریس مربع است که در تقاطع ستون ها و ردیف های $k$ انتخاب شده ایجاد می شود. ما همچنین خود این ماتریس جدید را جزئی می نامیم.

چنین جزئی با $((M)_(k))$ نشان داده می شود. به طور طبیعی، یک ماتریس می‌تواند یک دسته کامل از جزئی‌ها به ترتیب $k$ داشته باشد. در اینجا مثالی از یک مینور از مرتبه 2 برای ماتریس $\left[ 5\times 6 \right]$ آورده شده است:

انتخاب $k = 2$ ستون و ردیف برای تشکیل یک مینور

به هیچ وجه لازم نیست که سطرها و ستون های انتخاب شده مانند مثال مورد بحث در کنار یکدیگر باشند. نکته اصلی این است که تعداد سطرها و ستون های انتخاب شده یکسان است (این عدد $k$ است).

تعریف دیگری نیز وجود دارد. شاید کسی آن را بیشتر دوست داشته باشد:

تعریف. اجازه دهید یک ماتریس مستطیل شکل $A=\left[ m\times n \right]$ داده شود. اگر پس از حذف یک یا چند ستون و یک یا چند سطر، یک ماتریس مربع به اندازه $\left[k\times k \right]$ تشکیل شود، تعیین کننده آن جزئی $((M)_(k)) است. دلار ما همچنین گاهی اوقات خود ماتریس را جزئی می نامیم - این از زمینه مشخص خواهد شد.

همانطور که گربه من گفت، گاهی اوقات بهتر است از طبقه یازدهم برای خوردن غذا برگردیم تا زمانی که در بالکن نشسته اید میو کنید.

مثال. بگذارید ماتریس داده شود

با انتخاب سطر 1 و ستون 2، یک مینور مرتبه اول دریافت می کنیم:

\[((M)_(1))=\چپ| 7\راست|=7\]

با انتخاب سطرهای 2، 3 و ستون های 3، 4، یک مینور مرتبه دوم به دست می آوریم:

\[((M)_(2))=\چپ| \ آغاز (ماتریس) 5 و 3 \\ 6 و 1 \\\پایان (ماتریس) \راست|=5-18=-13\]

و اگر هر سه سطر و همچنین ستون های 1، 2، 4 را انتخاب کنید، یک مینور مرتبه سوم وجود خواهد داشت:

\[((M)_(3))=\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 7 و 0 \\ 2 و 4 و 3 \\ 3 و 0 و 1 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

یافتن سایر موارد فرعی از سفارشات 1، 2 یا 3 برای خواننده دشوار نخواهد بود. بنابراین، ما ادامه می دهیم.

اضافات جبری

"خوب، این مینیون های کوچک به ما چه می دهند؟" - احتمالاً می پرسی به خودی خود - هیچ چیز. اما در ماتریس های مربع، هر مینور یک "همراه" دارد - یک مینور اضافی و همچنین یک مکمل جبری. و این دو ترفند با هم به ما این امکان را می‌دهند که عوامل تعیین‌کننده را مانند آجیل بشکنیم.

تعریف. اجازه دهید یک ماتریس مربع $A=\left[n\times n \right]$ داده شود که در آن مقدار جزئی $((M)_(k))$ انتخاب شده است. سپس مینور اضافی برای مینور $((M)_(k))$ قطعه ای از ماتریس اصلی $A$ است، که پس از حذف تمام سطرها و ستون های مربوط به ترکیب مینور $((M)_ باقی می ماند. (k))$:

جزئی اضافی به جزئی $((M)_(2))$

اجازه دهید یک نکته را روشن کنیم: یک مینور اضافی فقط "قطعه ای از ماتریس" نیست، بلکه تعیین کننده این قطعه است.

کوچکترهای اضافی با یک ستاره نشان داده می شوند: $M_(k)^(*)$:

که در آن عملیات $A\nabla ((M)_(k))$ به معنای واقعی کلمه "حذف ردیف ها و ستون های موجود در $((M)_(k)) از $A$ است. این عملیات به طور کلی در ریاضیات پذیرفته نیست - من فقط برای زیبایی داستان آن را خودم اختراع کردم. :)

خردسالان اضافی به ندرت توسط خودشان استفاده می شوند. آنها بخشی از یک ساختار پیچیده تر هستند - مکمل جبری.

تعریف. متمم جبری یک $((M)_(k))$ جزئی $M_(k)^(*)$ است ضرب در مقدار $((\left(-1 \right))^(S ))$، که در آن $S$ مجموع اعداد تمام سطرها و ستون های موجود در مینور اصلی $((M)_(k))$ است.

به عنوان یک قاعده، مکمل جبری یک $((M)_(k))$ جزئی با $((A)_(k))$ نشان داده می شود. از همین رو:

\[((A)_(k))=((\چپ(-1 \راست))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

دشوار؟ در نگاه اول بله. اما دقیقا اینطور نیست. زیرا در واقعیت همه چیز آسان است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم:

مثال. با توجه به یک ماتریس 4x4:

بیایید یک مینور مرتبه دوم را انتخاب کنیم

\[((M)_(2))=\چپ| \ آغاز (ماتریس) 3 و 4 \\ 15 و 16 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

به نظر می رسد Captain Obviousness به ما اشاره می کند که هنگام کامپایل این مینور، خطوط 1 و 4 و همچنین ستون های 3 و 4 درگیر بوده اند. آنها را خط بزنید و ما یک مینور اضافی دریافت می کنیم:

باقی مانده است که عدد $S$ را پیدا کرده و متمم جبری را بدست آوریم. از آنجایی که ما تعداد سطرهای (1 و 4) و ستون های (3 و 4) را می دانیم، همه چیز ساده است:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\چپ(-1 \راست))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\چپ(-1 \راست) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(تراز کردن)\]

پاسخ: $((A)_(2))=-4$

همین! در واقع، کل تفاوت بین یک جز جزئی اضافی و یک مکمل جبری فقط در منهای جلو است و حتی در آن صورت همیشه نیست.

قضیه لاپلاس

و بنابراین به این نکته رسیدیم که چرا در واقع به این همه جزئی و اضافات جبری نیاز است.

قضیه لاپلاس در مورد تجزیه دترمینان. اجازه دهید ردیف‌های $k$ (ستون‌ها) در ماتریسی به اندازه $\left[n\times n \right]$ با $1\le k\le n-1$ انتخاب شوند. سپس تعیین کننده این ماتریس برابر است با مجموع همه محصولات جزئی مرتبه $k$ موجود در ردیف ها (ستون ها) انتخاب شده و مکمل های جبری آنها:

\[\چپ| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

علاوه بر این، دقیقاً $C_(n)^(k)$ از چنین اصطلاحاتی وجود خواهد داشت.

خوب، خوب: در مورد $C_(n)^(k)$ - من قبلاً خودنمایی می کنم، در قضیه اصلی لاپلاس چیزی شبیه به آن وجود نداشت. اما هیچ کس ترکیبیات را لغو نکرده است و به معنای واقعی کلمه یک نگاه سریع به شرایط به شما امکان می دهد خودتان ببینید که دقیقاً این تعداد اصطلاح وجود خواهد داشت. :)

ما آن را ثابت نخواهیم کرد، اگرچه مشکل خاصی ایجاد نمی کند - همه محاسبات به جایگشت های خوب قدیمی و وارونگی های زوج/فرد خلاصه می شود. با این حال، اثبات در یک پاراگراف جداگانه ارائه خواهد شد و امروز ما یک درس کاملاً عملی داریم.

بنابراین، ما به یک مورد خاص از این قضیه می رویم، زمانی که مینورها سلول های منفرد ماتریس هستند.

تجزیه دترمینان در سطر و ستون

آنچه اکنون در مورد آن صحبت می کنیم دقیقاً ابزار اصلی کار با تعیین کننده ها است که به خاطر آن همه این مزخرفات با جابجایی ها ، جزئی ها و اضافات جبری آغاز شد.

بخوانید و لذت ببرید:

نتیجه قضیه لاپلاس (تجزیه دترمینان در سطر/ستون). اجازه دهید یک ردیف در ماتریسی به اندازه $\left[n\times n \right]$ انتخاب شود. مینورها در این خط $n$ سلول جداگانه خواهند بود:

\[((M)_(1))=((a)_(ij))،\quad j=1،...،n\]

مینورهای اضافی نیز به راحتی قابل محاسبه هستند: فقط ماتریس اصلی را بگیرید و سطر و ستون حاوی $((a)_(ij))$ را خط بزنید. بیایید چنین خردسالی را $M_(ij)^(*)$ بنامیم.

برای متمم جبری ما هنوز به عدد $S$ نیاز داریم، اما در مورد جزئی از مرتبه 1، این عدد به سادگی مجموع "مختصات" سلول $((a)_(ij))$ است:

و سپس بر اساس قضیه لاپلاس، تعیین کننده اصلی را می توان بر حسب $((a)_(ij))$ و $M_(ij)^(*)$ نوشت:

\[\چپ| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \راست))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

همین است فرمول تجزیه دترمینان در یک ردیف. اما در مورد ستون ها هم همینطور است.

از این پیامد فوراً می توان چندین نتیجه گرفت:

1. این طرح برای سطرها و ستون ها به یک اندازه خوب کار می کند. در واقع، اغلب تجزیه دقیقاً در امتداد ستون‌ها به جای ردیف‌ها انجام می‌شود.
2. تعداد اصطلاحات در بسط همیشه دقیقاً $n$ است. این به طور قابل توجهی کمتر از $C_(n)^(k)$ و حتی بیشتر از $n!$ است.
3. به جای یک تعیین کننده $\left[n\times n \right]$ باید چندین عامل تعیین کننده با اندازه یک کمتر در نظر بگیرید: $\left[ \left(n-1 \right)\times \left(n-1 \ راست) \right ]$.

آخرین واقعیت بسیار مهم است. به عنوان مثال، به جای تعیین کننده وحشیانه 4x4، اکنون کافی است چندین تعیین کننده 3x3 را بشماریم - ما به نحوی با آنها کنار می آییم. :)

وظیفه. تعیین کننده را پیدا کنید:

\[\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 \\ 4 و 5 و 6 \\ 7 و 8 و 9 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

راه حل. بیایید این تعیین کننده را در امتداد خط اول گسترش دهیم:

\[\begin(align) \left| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(ماتریس) 5 و 6 \\ 8 و 9 \\\end(ماتریس) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2)\cdot \چپ| \begin(ماتریس) 4 و 6 \\ 7 و 9 \\\end(ماتریس) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \راست))^(1+3)\cdot \چپ| \ آغاز (ماتریس) 4 و 5 \\ 7 و 8 \\\پایان (ماتریس) \راست|= & \\\پایان (تراز کردن)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \راست)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\پایان (تراز کردن)\]

وظیفه. تعیین کننده را پیدا کنید:

\[\چپ| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end (ماتریس) \\right|\ ]

راه حل. برای تغییر، اجازه دهید این بار با ستون ها کار کنیم. به عنوان مثال، آخرین ستون حاوی دو صفر در یک زمان است - بدیهی است که این محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد. حالا خواهید دید که چرا.

بنابراین، ما تعیین کننده را در ستون چهارم گسترش می دهیم:

\[\begin(align) \left| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end(ماتریس) \\right|= 0\cdot ((\left(-1 \راست))^(1+4))\cdot \left| \begin (ماتریس) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(ماتریس) \راست|+ & \\ +1\cdot ((\ چپ(-1 \ راست))^(2+4))\cdot \چپ| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(ماتریس) \راست|+ & \\ +1\cdot ((\ چپ(-1 \ راست))^(3+4))\cdot \چپ| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(ماتریس) \راست|+ & \\ +0\cdot ((\ چپ(-1 \ راست))^(4+4))\cdot \چپ| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end(ماتریس) \راست| & \\\پایان (تراز کردن)\]

و سپس - اوه، معجزه! - دو عبارت فوراً از بین می روند، زیرا حاوی ضریب "0" هستند. هنوز دو عامل تعیین کننده 3×3 باقی مانده است که می توانیم به راحتی با آنها مقابله کنیم:

\[\شروع(تراز) و \چپ| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(ماتریس) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \ چپ| \begin (ماتریس) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end (ماتریس) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\پایان (تراز کردن)\]

بیایید به منبع برگردیم و پاسخ را پیدا کنیم:

\[\چپ| \begin(ماتریس) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end(ماتریس) \\right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

باشه الان تموم شد و نه 4! = 24 عبارت لازم نیست شمارش شود. :)

پاسخ: -2

ویژگی های اساسی تعیین کننده

در مسئله آخر، دیدیم که چگونه وجود صفرها در ردیف‌ها (ستون‌های) ماتریس، تجزیه دترمینان و به طور کلی همه محاسبات را به طور چشمگیری ساده می‌کند. یک سوال طبیعی مطرح می شود: آیا می توان این صفرها را حتی در ماتریسی که در ابتدا وجود نداشتند ظاهر کرد؟

پاسخ روشن است: می توان. و در اینجا ویژگی های تعیین کننده به کمک ما می آیند:

1. اگر دو ردیف (ستون) را عوض کنید، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.
2. اگر یک ردیف (ستون) در عدد $k$ ضرب شود، کل تعیین کننده نیز در عدد $k$ ضرب خواهد شد.
3. اگر یک خط را بردارید و آن را به تعداد دفعاتی که دوست دارید از خط دیگر اضافه کنید (کم کنید)، تعیین کننده تغییر نخواهد کرد.
4. اگر دو ردیف از تعیین کننده یکسان یا متناسب باشند، یا یکی از ردیف ها با صفر پر شده باشد، کل تعیین کننده برابر با صفر است.
5. تمام ویژگی های فوق برای ستون ها نیز صادق است.
6. هنگام جابجایی یک ماتریس، تعیین کننده تغییر نمی کند.
7. تعیین کننده حاصل ضرب ماتریس ها برابر است با حاصلضرب دترمینان.

ویژگی سوم ارزش خاصی دارد: ما می توانیم از یک ردیف (ستون) دیگر کم کنید تا صفرها در مکان های مناسب ظاهر شوند.

اغلب، محاسبات به "صفر کردن" کل ستون در همه جا به جز یک عنصر، و سپس گسترش تعیین کننده بر روی این ستون، به دست آوردن یک ماتریس با اندازه 1 کوچکتر است.

بیایید ببینیم این در عمل چگونه کار می کند:

وظیفه. تعیین کننده را پیدا کنید:

\[\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 و 4 \\ 4 و 1 و 2 و 3 \\ 3 و 4 و 1 و 2 \\ 2 و 3 و 4 و 1 \\\ پایان (ماتریس) \\راست|\ ]

راه حل. به نظر می رسد در اینجا اصلاً صفر وجود ندارد ، بنابراین می توانید روی هر ردیف یا ستون "متحرک" کنید - مقدار محاسبات تقریباً یکسان خواهد بود. بیایید زمان را برای چیزهای بی اهمیت تلف نکنیم و ستون اول را "صفر" کنیم: قبلاً یک سلول با یک دارد، بنابراین فقط خط اول را بردارید و آن را 4 بار از دوم، 3 بار از سوم و 2 بار از آخرین کم کنید.

در نتیجه، ماتریس جدیدی دریافت خواهیم کرد، اما تعیین کننده آن یکسان خواهد بود:

\[\begin(ماتریس) \left| \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 و 4 \\ 4 و 1 و 2 و 3 \\ 3 و 4 و 1 و 2 \\ 2 و 3 و 4 و 1 \\\ پایان (ماتریس) \\راست|\ شروع(ماتریس) \downnarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\end(ماتریس)= \\ =\ چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 و 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\پایان(ماتریس) \راست|= \\ =\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 2 و 3 و 4 \\ 0 و -7 و -10 و -13 \\ 0 & -2 و -8 و -10 \\ 0 & -1 و -2 و -7 \\ \end(ماتریس) \right| \\\پایان (ماتریس)\]

اکنون، با همسانی Piglet، این تعیین کننده را در امتداد ستون اول قرار می دهیم:

\[\begin(ماتریس) 1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(ماتریس) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(ماتریس) \right|+0\cdot ((\ چپ(-1 \راست))^(2+1))\cdot \چپ| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \راست| \\\پایان (ماتریس)\]

واضح است که فقط عبارت اول "بقا" خواهد داشت - من حتی برای بقیه عوامل تعیین کننده را ننوشتم ، زیرا آنها هنوز در صفر ضرب می شوند. ضریب جلوی دترمینال برابر با یک است، یعنی. شما مجبور نیستید آن را بنویسید

اما می توانید "معایب" را از هر سه خط تعیین کننده حذف کنید. در اصل، ما عامل (-1) را سه بار حذف کردیم:

\[\چپ| \begin(ماتریس) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(ماتریس) \right|=\cdot \left| \ آغاز (ماتریس) 7 و 10 و 13 \\ 2 و 8 و 10 \\ 1 و 2 و 7 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

ما یک تعیین کننده کوچک 3x3 به دست آورده ایم که می توان آن را با استفاده از قانون مثلث ها محاسبه کرد. اما ما سعی خواهیم کرد آن را به ستون اول تجزیه کنیم - خوشبختانه، آخرین خط با افتخار شامل یکی است:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \ آغاز (ماتریس) 7 و 10 و 13 \\ 2 و 8 و 10 \\ 1 و 2 و 7 \\\پایان (ماتریس) \راست|\شروع (ماتریس) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(ماتریس)=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(ماتریس) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(ماتریس) \راست|= \\ & =\cdot \left| \begin(ماتریس) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(ماتریس) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(ماتریس) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(ماتریس) \right| \\\پایان (تراز کردن)\]

البته، هنوز هم می توانید سرگرم شوید و ماتریس 2x2 را در امتداد یک ردیف (ستون) گسترش دهید، اما من و شما کافی هستیم، بنابراین ما فقط پاسخ را محاسبه می کنیم:

\[\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(ماتریس) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(ماتریس) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

اینگونه رویاها شکسته می شوند. فقط −160 در پاسخ. :)

جواب: -160.

چند نکته قبل از اینکه به آخرین کار برویم:

1. ماتریس اصلی با توجه به قطر ثانویه متقارن بود. همه مینورها در بسط نیز با توجه به همان قطر ثانویه متقارن هستند.
2. به بیان دقیق، ما اصلاً نمی‌توانیم چیزی را گسترش دهیم، اما به سادگی ماتریس را به شکل مثلث بالایی کاهش می‌دهیم، زمانی که صفرهای جامد زیر مورب اصلی وجود دارد. سپس (به هر حال، مطابق دقیق با تفسیر هندسی) تعیین کننده برابر است با حاصلضرب $((a)_(ii))$ - اعداد روی مورب اصلی.

وظیفه. تعیین کننده را پیدا کنید:

\[\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 1 و 1 و 1 \\ 2 و 4 و 8 و 16 \\ 3 و 9 و 27 و 81 \\ 5 و 25 و 125 و 625 \\\ پایان (ماتریس) \\راست|\ ]

راه حل. خوب، در اینجا خط اول فقط التماس می کند که "صفر" شود. ستون اول را بردارید و دقیقاً یک بار از بقیه ستون ها کم کنید:

\[\شروع(تراز) و \چپ| \begin(ماتریس) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ end (ماتریس) \\right|= \\ & =\ چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 1-1 و 1-1 و 1-1 \\ 2 و 4-2 و 8-2 و 16-2 \\ 3 و 9-3 و ​​27-3 و 81-3 \\ 5 & ​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(ماتریس) \راست|= \\ & =\چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 0 و 0 و 0 \\ 2 و 2 و 6 و 14 \\ 3 و 6 و 24 و 78 \\ 5 و 20 و 120 و 620 \\\پایان (ماتریس) \راست| \\\پایان (تراز کردن)\]

ما در امتداد ردیف اول گسترش می دهیم و سپس فاکتورهای مشترک را از ردیف های باقی مانده خارج می کنیم:

\[\cdot \چپ| \ آغاز (ماتریس) 2 و 6 و 14 \\ 6 و 24 و 78 \\ 20 و 120 و 620 \\\ پایان (ماتریس) \راست|=\cdot \ چپ| \ آغاز (ماتریس) 1 و 3 و 7 \\ 1 و 4 و 13 \\ 1 و 6 و 31 \\\ پایان (ماتریس) \راست|\]

دوباره اعداد "زیبا" را می بینیم ، اما در ستون اول - تعیین کننده را مطابق با آن قرار می دهیم:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \ آغاز (ماتریس) 1 و 3 و 7 \\ 1 و 4 و 13 \\ 1 و 6 و 31 \\\پایان (ماتریس) \راست|\شروع (ماتریس) \پایین \\ -1 \\ -1 \ \\end(ماتریس)=240\cdot \left| \ آغاز (ماتریس) 1 و 3 و 7 \\ 0 و 1 و 6 \\ 0 و 3 و 24 \\\ پایان (ماتریس) \راست|= \\ & =240\cdot ((\ چپ(-1 \ راست))^(1+1))\cdot \چپ| \begin(ماتریس) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end (ماتریس) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( تراز کردن)\]

سفارش. مشکل حل شده است.

جواب: 1440