Στην περιγραφική γεωμετρία, μια επιφάνεια θεωρείται ως ένα σύνολο διαδοχικών θέσεων μιας κινούμενης γραμμής ή άλλης επιφάνειας στο χώρο. Μια γραμμή που κινείται στο χώρο και σχηματίζει μια επιφάνεια ονομάζεται γεννήτρια. Οι γεννήτριες μπορεί να είναι ευθείες ή καμπύλες. Η δημιουργία καμπυλών μπορεί να είναι σταθερή ή μεταβλητή, για παράδειγμα, να αλλάζει φυσικά.

Η ίδια επιφάνεια σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να θεωρηθεί ότι σχηματίζεται από τις κινήσεις διαφόρων γεννητριών. Για παράδειγμα, ένας κυκλικός κύλινδρος μπορεί να σχηματιστεί: πρώτον, περιστρέφοντας μια ευθεία γραμμή σε σχέση με έναν σταθερό άξονα παράλληλο προς τη γεννήτρια. δεύτερον, με την κίνηση ενός κύκλου, το κέντρο του οποίου κινείται κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής κάθετης στο επίπεδο του κύκλου. Τρίτον, από την ευθύγραμμη κίνηση της σφαίρας.

Όταν απεικονίζεται μια επιφάνεια σε ένα σχέδιο, εμφανίζονται μόνο μερικές από τις πολλές πιθανές θέσεις της γεννήτριας. Στο Σχ. Το 8.1 δείχνει την επιφάνεια της γεννήτριας ΑΒ.Κατά την κίνησή της, η γεννήτρια παραμένει παράλληλη προς την κατεύθυνση MNκαι ταυτόχρονα διασχίζει κάποια καμπύλη γραμμή CDE.Έτσι, η κίνηση της γεννήτριας ΑΒκαθοδηγείται στο διάστημα από μια γραμμή CDE.

Η γραμμή ή οι γραμμές, η τομή με τις οποίες αποτελεί προϋπόθεση για την κίνηση της γεννήτριας κατά το σχηματισμό της επιφάνειας, ονομάζεται οδηγός ή οδηγοί.

Στο Σχ. Το 8.2 δείχνει την επιφάνεια που σχηματίζεται από την κίνηση μιας ευθείας γραμμής ΑΒκατά μήκος δύο οδηγών - ευθεία O1<⅞ (ABE OΕγώ Ο 2) και χωρική καμπύλη F.G.L.μη τέμνουσα ευθεία Ο1 0 2.

Μερικές φορές μια γραμμή χρησιμοποιείται ως οδηγός κατά μήκος της οποίας κινείται κάποιο σημείο χαρακτηριστικό της γεννήτριας, αλλά δεν βρίσκεται πάνω της, για παράδειγμα, το κέντρο ενός κύκλου.

Από τις διάφορες μορφές γενεσιουργών, οδηγών, καθώς και τα μοτίβα σχηματισμού μιας συγκεκριμένης επιφάνειας, επιλέγονται εκείνα που είναι πιο απλά και βολικά για την απεικόνιση της επιφάνειας στο σχέδιο και την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με αυτήν.

Μερικές φορές, για τον ορισμό μιας επιφάνειας, χρησιμοποιείται η έννοια του «προσδιοριστή επιφάνειας», με την οποία σημαίνουν ένα σύνολο ανεξάρτητων συνθηκών που καθορίζουν μοναδικά την επιφάνεια. Μεταξύ των συνθηκών που περιλαμβάνονται στην ορίζουσα, γίνεται διάκριση μεταξύ του γεωμετρικού μέρους (σημεία, ευθείες, επιφάνειες) και του νόμου (αλγόριθμος) για το σχηματισμό μιας επιφάνειας από το γεωμετρικό μέρος της ορίζουσας.

Ας εξετάσουμε μια σύντομη ταξινόμηση καμπύλων επιφανειών που υιοθετείται στην περιγραφική γεωμετρία.

Κυβερνημένες αναπτυσσόμενες επιφάνειες.Μια επιφάνεια που μπορεί να σχηματιστεί από μια ευθεία γραμμή ονομάζεται επιφάνεια με κανόνα. Εάν μια επιφανειακή επιφάνεια μπορεί να αναπτυχθεί έτσι ώστε όλα τα σημεία της να ευθυγραμμίζονται με το επίπεδο χωρίς καμία ζημιά στην επιφάνεια (σκίσιμο ή πτυχές), τότε ονομάζεται αναπτυσσόμενη. Οι επιφάνειες που μπορούν να αναπτυχθούν περιλαμβάνουν μόνο εκείνες τις επιφάνειες στις οποίες οι γειτονικές ευθύγραμμες γενετικές δομές είναι παράλληλες ή τέμνονται μεταξύ τους ή εφάπτονται σε κάποια χωρική καμπύλη. Όλες οι υπόλοιπες επιφάνειες με κανόνα και όλες οι επιφάνειες που δεν καλύπτονται ταξινομούνται ως επιφάνειες που δεν μπορούν να αναπτυχθούν.

Οι αναπτυσσόμενες επιφάνειες είναι κυλινδρικές, κωνικές, με νεύρωση επιστροφής ή κορμό. Σε μια κυλινδρική επιφάνεια, οι γεννήτριες είναι πάντα παράλληλες, ο οδηγός είναι μια καμπύλη γραμμή. Η εικόνα στο σχέδιο της κυλινδρικής επιφάνειας που φαίνεται προηγουμένως στο διάστημα (βλ. Εικ. 8.1) παρουσιάζεται στο Σχ. 8.3. Ειδικές περιπτώσεις είναι ένας ευθύς κυκλικός κύλινδρος, ένας κεκλιμένος κυκλικός κύλινδρος (βλ. Εικ. 9.17, οδηγός είναι ένας κύκλος, το επίπεδο του οποίου βρίσκεται υπό γωνία ως προς τον άξονα του κυλίνδρου και με το κέντρο στον άξονά του). Για κωνικές επιφάνειες, όλες οι ευθύγραμμες γεννείες έχουν ένα κοινό σταθερό σημείο - μια κορυφή, έναν οδηγό - οποιαδήποτε καμπύλη γραμμή. Παράδειγμα εικόνας κωνικού

επιφάνειες στο σχέδιο - εικ. 8.4, προβολές κορυφής G", G",οδηγός Γ"Δ"Ε", Γ"Δ"Ε".Ειδικές περιπτώσεις - ευθύς κυκλικός κώνος, κεκλιμένος κυκλικός κώνος - βλ. 10.10, δεξιά. Για επιφάνειες με ακμή επιστροφής ή κορμό, οι ευθύγραμμες γεννήτριες εφάπτονται σε έναν καμπύλο οδηγό.

Κανονιζόμενες μη αναπτυσσόμενες επιφάνειες:κυλινδροειδές, κωνοειδές, υπερβολικό παραβολοειδές (λοξό επίπεδο). Μια επιφάνεια που ονομάζεται κυλινδροειδής σχηματίζεται μετακινώντας μια ευθεία γραμμή που σε όλες τις θέσεις της παραμένει παράλληλη σε ένα συγκεκριμένο δεδομένο επίπεδο (το «επίπεδο του παραλληλισμού») και τέμνει δύο καμπύλες γραμμές (δύο οδηγούς). Μια επιφάνεια που ονομάζεται κωνοειδής σχηματίζεται μετακινώντας μια ευθεία γραμμή, η οποία σε όλες τις θέσεις της παραμένει παράλληλη σε ένα ορισμένο επίπεδο («επίπεδο παραλληλισμού») και τέμνει δύο οδηγούς, εκ των οποίων ο ένας είναι καμπύλη και ο άλλος ευθεία (Εικ. 8.5, βλέπε επίσης Εικ. 8.2). Το επίπεδο παραλληλισμού στο Σχ. 8,5 είναι το επίπεδο π1.

οδηγοί – καμπύλη με προβολές E"G"F", E"G"F",ευθεία με προβολές O", 0", O",0. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, εάν ο καμπύλος οδηγός είναι μια κυλινδρική ελικοειδής γραμμή με άξονα που συμπίπτει με τον ευθύγραμμο οδηγό, η επιφάνεια που προκύπτει είναι ένα ελικοειδές κωνοειδές, που συζητείται παρακάτω. Ένα σχέδιο ενός υπερβολικού παραβολοειδούς, που ονομάζεται λοξό επίπεδο, φαίνεται στο Σχ. 8.6. Ο σχηματισμός αυτής της επιφάνειας μπορεί να θεωρηθεί ως αποτέλεσμα της κίνησης μιας ευθύγραμμης γεννήτριας κατά μήκος δύο οδηγών - που διασχίζουν ευθείες γραμμές παράλληλες σε ένα ορισμένο επίπεδο παραλληλισμού. Στο Σχ. 8.6 επίπεδο παραλληλισμού - επίπεδο προβολής - οδηγοί - ευθείες με προβολές Μ"Ν", Μ"Ν"Και F"G", F"G".

Μη κυβερνητικές επιφάνειες.Χωρίζονται σε επιφάνειες με σταθερή γεννήτρια και με μεταβλητή γεννήτρια.

Οι επιφάνειες με σταθερή γεννήτρια υποδιαιρούνται, με τη σειρά τους, σε επιφάνειες περιστροφής με καμπύλη γεννήτρια, για παράδειγμα, σφαίρα, τόρος, ελλειψοειδές περιστροφής κ.λπ., και σε κυκλικές επιφάνειες, για παράδειγμα, επιφάνειες καμπύλων σωλήνων σταθερής διατομή, ελατήρια.

Οι επιφάνειες με μεταβλητή γεννήτρια υποδιαιρούνται σε επιφάνειες δεύτερης τάξης, σε κυκλικές επιφάνειες με μεταβλητή γεννήτρια και σε επιφάνειες πλαισίου. Ένα σχέδιο μιας επιφάνειας δεύτερης τάξης - ένα ελλειψοειδές - φαίνεται στο Σχ. 8.7. Η γεννήτρια του ελλειψοειδούς είναι μια παραμορφώσιμη έλλειψη. Δύο οδηγοί είναι δύο τεμνόμενες ελλείψεις, τα επίπεδα των οποίων είναι ορθογώνια και ο ένας άξονας είναι κοινός. Η γεννήτρια τέμνει τους οδηγούς στα ακραία σημεία των αξόνων της.

Κατά την κίνηση, το επίπεδο της έλλειψης που δημιουργεί παραμένει παράλληλο με το επίπεδο που σχηματίζεται από τους δύο τεμνόμενους άξονες των ελλείψεων οδηγών.

Οι κυκλικές επιφάνειες με μεταβλητή γεννήτρια έχουν μια γεννήτρια - έναν κύκλο μεταβλητής ακτίνας, έναν οδηγό - μια καμπύλη κατά μήκος της οποίας κινείται το κέντρο της γεννήτριας, το επίπεδο της γεννήτριας είναι κάθετο στον οδηγό. Η επιφάνεια του πλαισίου δεν ορίζεται από μια κινούμενη γεννήτρια, αλλά από έναν ορισμένο αριθμό γραμμών στην επιφάνεια.

Συνήθως τέτοιες γραμμές είναι επίπεδες καμπύλες,

των οποίων τα επίπεδα είναι παράλληλα μεταξύ τους. Δύο ομάδες τέτοιων γραμμών τέμνονται η μία την άλλη και σχηματίζουν ένα πλαίσιο επιφανειακής διακυβέρνησης. Τα σημεία τομής των γραμμών σχηματίζουν ένα σημειακό πλαίσιο της επιφάνειας. Το σημειακό πλαίσιο μιας επιφάνειας μπορεί επίσης να προσδιοριστεί από τις συντεταγμένες των επιφανειακών σημείων. Οι επιφάνειες πλαισίου χρησιμοποιούνται ευρέως στην κατασκευή σκαφών πλοίων, αεροσκαφών, αυτοκινήτων και κυλίνδρων καθοδικών σωλήνων.

Από αυτές τις επιφάνειες, θα εξετάσουμε την επιφάνεια της βίδας με περισσότερες λεπτομέρειες.

Επιφάνειες ασθενών και ισχυρών ασυνεχειών (Μέρος ΙΙ, Κεφάλαιο Ι, § 4). Διακοπές στη συνέχεια (, §§ 18, 19).

Συνθήκες σε επιφάνειες ισχυρής ασυνέχειας σε υλικά μέσα και σε ηλεκτρομαγνητικό πεδίο (Κεφάλαιο VII, §§ 4, 5; , § 35). Εφαπτομενικές ασυνέχειες και κρουστικά κύματα (, § 18, 19).

Υδροστατική

Ισορροπία υγρού και αερίου στο πεδίο δυνητικών δυνάμεων μάζας. Νόμος του Αρχιμήδη. Ισορροπία και σταθερότητα πλωτών σωμάτων και της ατμόσφαιρας (VIII § 1; , μέρος I, κεφάλαιο III, §§ 1-4, 8).

Κίνηση ιδανικού ασυμπίεστου ρευστού

Γενική θεωρία συνεχών δυναμικών κινήσεων ασυμπίεστου ρευστού (Κεφάλαιο VIII, § 12). Ιδιότητες αρμονικών συναρτήσεων (Κεφάλαιο VIII, § 12). Πολυσημία δυναμικού σε πολλαπλά συνδεδεμένα πεδία (Μέρος Ι, Κεφάλαιο Ι, § 18). Κινηματικό πρόβλημα αυθαίρετης κίνησης άκαμπτου σώματος σε απεριόριστο όγκο ιδανικού ασυμπίεστου ρευστού (Κεφάλαιο VIII, § 14). Ενέργεια, ορμή και γωνιακή ορμή ενός υγρού όταν ένα στερεό σώμα κινείται μέσα σε αυτό (Κεφάλαιο VIII, § 15). Κίνηση σφαίρας σε ιδανικό ρευστό (Κεφάλαιο VIII, § 13).

Οι δυνάμεις επιρροής ενός ιδανικού ρευστού σε ένα σώμα που κινείται σε απεριόριστη μάζα ρευστού (Κεφάλαιο VIII, § 16). Βασικές αρχές της θεωρίας των προστιθέμενων μαζών (Κεφάλαιο VIII, § 15). Το παράδοξο του D'Alembert (Κεφάλαιο VIII, §§ 8, 16).

Επίπεδη κίνηση ιδανικού ρευστού. Τρέχουσα λειτουργία. Εφαρμογή μεθόδων της θεωρίας των αναλυτικών συναρτήσεων μιας μιγαδικής μεταβλητής για την επίλυση επίπεδων προβλημάτων υδροδυναμικής και αεροδυναμικής (Μέρος Ι, Κεφάλαιο III, §§ 11-16; , §§ 39, 40). Σταθερή ροή ρευστού γύρω από έναν κύλινδρο και ένα προφίλ (, § 41). Οι τύποι του Chaplygin και το θεώρημα του Zhukovsky (Μέρος I, Κεφάλαιο VI, §§ 5, 6; , § 44). Ο κανόνας του Zhukovsky και του Chaplygin για τον προσδιορισμό της κυκλοφορίας γύρω από τα φτερά με ένα αιχμηρό πίσω άκρο (Μέρος I, Κεφάλαιο VI, § 7; , § 41). Ασταθής ροή γύρω από τα προφίλ (Κεφάλαιο I, §§ 1-5).

Προβλήματα αεροπλάνου στις ροές ρευστού πίδακα. Ροή γύρω από σώματα με διαχωρισμό πίδακα. Σχέδια των Kirchhoff, Efros και άλλων (Μέρος I, Κεφάλαιο VI, § 16; , § 47; Κεφάλαιο V, § 4).

Προσδιορισμός του πεδίου ταχύτητας από δεδομένες δίνες και πηγές (Μέρος I, Κεφάλαιο V, § 11· Κεφάλαιο VIII, § 26). Φόρμουλες Bio-Savart. Ευθύγραμμες δίνες και δακτύλιοι (Μέρος Ι, Κεφάλαιο V, §§ 12-15· Κεφάλαιο VIII, § 27). Νόμοι κατανομής πίεσης, δυνάμεις που προκαλούν την εξαναγκασμένη κίνηση των ευθύγραμμων στροβίλων σε μια επίπεδη ροή (Κεφάλαιο VIII, § 28).

Δήλωση του προβλήματος και κύρια αποτελέσματα της θεωρίας του πτερυγίου πεπερασμένου ανοίγματος. Γραμμή έδρασης και επιφάνεια έδρασης (Κεφάλαιο VII, § 27; , § 68).

Δήλωση του προβλήματος Cauchy-Poisson σε κύματα στην επιφάνεια ενός βαρέως ασυμπίεστου ρευστού (Μέρος Ι, Κεφάλαιο VIII, §§ 2, 3; , § 24). Αρμονικά κύματα. Ταχύτητα φάσης και ομάδας. Διασπορά κυμάτων (Μέρος Ι, Κεφάλαιο VII, § 8; , § 24; , §§ 11.1, 11.2, 11.4). Μεταφορά ενέργειας με προοδευτικά κύματα (Μέρος Ι, Κεφάλαιο VII, §§ 18-19; , § 11.6). Θεωρία ρηχών υδάτων (, § 108; , § 13.10). Οι εξισώσεις Boussinesq και Korteweg-de-Vries. Μη γραμμικά κύματα. Soliton (, §§ 13.11, 13.12; , § 24).

Κίνηση παχύρρευστου ρευστού. Θεωρία οριακών στιβάδων.

Ταραχή

Στρωτή κίνηση ενός ασυμπίεστου ιξώδους ρευστού. Ρεύματα Couette και Poiseuille (Μέρος II, Κεφάλαιο II, §§ 11, 12· Κεφάλαιο VIII, § 21). Ροή ιξώδους ρευστού σε διαχύτη (Κεφάλαιο V, §§ 6, 9· Κεφάλαιο X, §§ 3, 4; , § 23). Διάχυση δίνης (Κεφάλαιο VIII, § 30).

Προσεγγίσεις Stokes και Oseen. Το πρόβλημα της κίνησης μιας σφαίρας σε ένα παχύρρευστο ρευστό στη σύνθεση Stokes (Μέρος II, Κεφάλαιο II, §§ 23, 25; Κεφάλαιο VIII, § 20; , § 20).

Στρώσιμο οριακό στρώμα (κεφ. VIII, § 23· κεφ. VII, § 1). Πρόβλημα του Βλασίου (κεφ. VIII, § 24· κεφ. VII, § 5). Ολοκληρωτικές σχέσεις και προσεγγιστικές μέθοδοι που βασίζονται στη χρήση τους στη θεωρία του στρωτού οριακού στρώματος (, § 89). Το φαινόμενο του διαχωρισμού του οριακού στρώματος (, § 86; , §§ 39, 40; , Κεφάλαιο VII, § 2). Σταθερότητα του οριακού στρώματος (, § 41; , Κεφάλαιο XVI, §§ 2, 3). Ανταλλαγή θερμότητας με ροή με βάση τη θεωρία οριακών στιβάδων (Κεφάλαιο VI, § 2, §§ 114-116, Κεφάλαιο XII, §§ 1, 4).

Αναταράξεις (, § 95). Η εμπειρία του Reynolds. Εξισώσεις Reynolds (Κεφάλαιο VIII, § 22). Τυρβώδης μεταφορά θερμότητας και ύλης (, §§ 97, 98). Ημι-εμπειρικές θεωρίες αναταράξεων (, § 98;, κεφ. XIX, §§ 2-4; (, κεφ. III, § 4).). Προφίλ ταχύτητας στο οριακό στρώμα. Λογαριθμικός νόμος (, § 120;, κεφ. XIX, § 5). Απευθείας αριθμητική λύση εξισώσεων ρευστομηχανικής παρουσία στροβιλισμού ().

Σε προηγούμενα κεφάλαια εξετάσαμε μόνο ροές στις οποίες η κατανομή όλων των ποσοτήτων (ταχύτητα, πίεση, πυκνότητα κ.λπ.) στο αέριο είναι συνεχής. Ωστόσο, είναι επίσης δυνατές κινήσεις στις οποίες προκύπτουν ασυνέχειες στην κατανομή αυτών των ποσοτήτων.

Ασυνέχεια στην κίνηση του αερίου εμφανίζεται κατά μήκος ορισμένων επιφανειών. Όταν περνούν από μια τέτοια επιφάνεια, αυτές οι ποσότητες βιώνουν ένα άλμα. Αυτές οι επιφάνειες ονομάζονται επιφάνειες ασυνέχειας. Κατά τη διάρκεια της ασταθούς κίνησης του αερίου, οι επιφάνειες ασυνέχειας δεν παραμένουν, γενικά, ακίνητες. Είναι απαραίτητο να τονιστεί ότι η ταχύτητα κίνησης της επιφάνειας ρήξης δεν έχει καμία σχέση με την ταχύτητα κίνησης του ίδιου του αερίου. Τα σωματίδια αερίου, όταν κινούνται, μπορούν να περάσουν από αυτήν την επιφάνεια, διασχίζοντάς την.

Σε επιφάνειες θραύσης πρέπει να πληρούνται ορισμένες οριακές συνθήκες.

Για να διατυπώσετε αυτές τις συνθήκες, εξετάστε κάποιο στοιχείο της επιφάνειας ασυνέχειας και χρησιμοποιήστε το σύστημα συντεταγμένων που σχετίζεται με αυτό το στοιχείο με τον άξονα που κατευθύνεται κάθετα προς αυτό.

Πρώτον, πρέπει να υπάρχει συνεχής ροή υλικού στην επιφάνεια ρήξης: η ποσότητα αερίου που εισέρχεται στη μία πλευρά πρέπει να είναι ίση με την ποσότητα αερίου που βγαίνει από την άλλη πλευρά της επιφάνειας. Η ροή αερίου μέσω του υπό εξέταση στοιχείου επιφάνειας (ανά μονάδα επιφάνειας) είναι επομένως ίση με την κατάσταση όπου οι δείκτες 1 και 2 αναφέρονται στις δύο πλευρές της επιφάνειας ασυνέχειας.

Παρακάτω θα υποδηλώσουμε τη διαφορά στις τιμές οποιασδήποτε ποσότητας και στις δύο πλευρές της επιφάνειας ασυνέχειας χρησιμοποιώντας αγκύλες. Ετσι,

και η συνθήκη που προκύπτει θα γραφτεί στη φόρμα

Τέλος, πρέπει να υπάρχει συνεχής ροή ορμής, δηλαδή να είναι ίσες οι δυνάμεις με τις οποίες τα αέρια επιδρούν μεταξύ τους και στις δύο πλευρές της επιφάνειας ρήξης. Η ροή ορμής μέσω μιας μονάδας επιφάνειας είναι ίση με (βλ. § 7)

Το κανονικό διάνυσμα κατευθύνεται κατά μήκος του άξονα. Επομένως, η συνέχεια των συνιστωσών Α της ροής της ορμής οδηγεί στην συνθήκη

και η συνέχεια των y- και - συστατικών δίνει

Οι εξισώσεις (84.1-4) αντιπροσωπεύουν ένα πλήρες σύστημα συνοριακών συνθηκών στην επιφάνεια ασυνέχειας. Από αυτά μπορούμε αμέσως να συμπεράνουμε ότι υπάρχουν δύο τύποι επιφανειών ασυνέχειας.

Στην πρώτη περίπτωση, δεν υπάρχει ροή ύλης μέσω της επιφάνειας ασυνέχειας. Αυτό σημαίνει ότι Δεδομένου ότι δεν είναι μηδενικά, αυτό σημαίνει ότι πρέπει να υπάρχει

Οι συνθήκες (84.2) και (84.4) ικανοποιούνται αυτόματα σε αυτήν την περίπτωση και η συνθήκη (84.3) δίνει Έτσι, στην επιφάνεια ασυνέχειας σε αυτήν την περίπτωση η συνιστώσα της κανονικής ταχύτητας και η πίεση του αερίου είναι συνεχείς:

Οι εφαπτομενικές ταχύτητες και η πυκνότητα (καθώς και άλλα θερμοδυναμικά μεγέθη εκτός από την πίεση) μπορεί να παρουσιάσουν ένα αυθαίρετο άλμα. Θα ονομάσουμε τέτοιες ασυνέχειες εφαπτομενικές.

Στη δεύτερη περίπτωση, η ροή της ύλης, και μαζί της, είναι διαφορετική από το μηδέν. Τότε από τις (84.1) και (84.4) έχουμε:

δηλ. η εφαπτομενική ταχύτητα είναι συνεχής στην επιφάνεια της ασυνέχειας. Η πυκνότητα, η πίεση (και επομένως άλλα θερμοδυναμικά μεγέθη) και η κανονική ταχύτητα παρουσιάζουν ένα άλμα και τα άλματα σε αυτές τις ποσότητες σχετίζονται με σχέσεις (84.1-3). Στην συνθήκη (84.2) μπορούμε, δυνάμει του (84.1), να μειώσουμε και αντ' αυτού, λόγω της συνέχειας του v, μπορούμε να γράψουμε v. Έτσι, στην επιφάνεια ασυνέχειας στην υπό εξέταση περίπτωση πρέπει να υπάρχουν οι ακόλουθες προϋποθέσεις:

Οι διαταραχές αυτού του τύπου ονομάζονται κρουστικά κύματα.

Εάν τώρα επιστρέψουμε στο σταθερό σύστημα συντεταγμένων, τότε πρέπει να γράψουμε παντού τη διαφορά μεταξύ της συνιστώσας της ταχύτητας του αερίου κάθετη στην επιφάνεια ασυνέχειας και της ταχύτητας της ίδιας της επιφάνειας, κατευθυνόμενης, εξ ορισμού, κατά μήκος της κανονικής προς αυτήν:

Οι ταχύτητες και και λαμβάνονται σε σχέση με ένα σταθερό πλαίσιο αναφοράς. Η ταχύτητα είναι η ταχύτητα κίνησης του αερίου σε σχέση με την επιφάνεια της ρήξης. διαφορετικά μπορούμε να πούμε ότι υπάρχει ταχύτητα διάδοσης της ίδιας της επιφάνειας ρήξης σε σχέση με το αέριο. Σημειώστε ότι αυτή η ταχύτητα είναι διαφορετική σε σχέση με το αέριο και στις δύο πλευρές της επιφάνειας (εάν παρουσιάσει ρήξη).

Εξετάσαμε τις εφαπτομενικές ασυνέχειες στις οποίες οι συνιστώσες της εφαπτομενικής ταχύτητας υφίστανται ένα άλμα ήδη στην § 29. Εκεί αποδείχθηκε ότι σε ένα ασυμπίεστο ρευστό τέτοιες ασυνέχειες είναι ασταθείς και θα πρέπει να διαβρωθούν στην τυρβώδη περιοχή. Μια παρόμοια μελέτη για ένα συμπιέσιμο ρευστό δείχνει ότι μια τέτοια αστάθεια εμφανίζεται επίσης στη γενική περίπτωση αυθαίρετων ταχυτήτων (βλ. Πρόβλημα 1).

Μια ειδική περίπτωση εφαπτομενικών ασυνεχειών είναι οι ασυνέχειες στις οποίες η ταχύτητα είναι συνεχής και μόνο η πυκνότητα υφίσταται άλμα (και μαζί της άλλα θερμοδυναμικά μεγέθη εκτός από την πίεση). τέτοια κενά ονομάζονται επαφή. Αυτό που ειπώθηκε παραπάνω για την αστάθεια δεν ισχύει για αυτούς.

Σπάστε τις γραμμές (σφάλμα). Αυτή η λειτουργία σάς επιτρέπει να σχεδιάσετε μια γραμμή δομής που έχει δύο σημάδια σε κάθε σημείο. Αυτή η δομική γραμμή ονομάζεται γραμμή διακοπής. Ένα παράδειγμα γραμμής διακοπής είναι ένας τοίχος αντιστήριξης καισύνορο(σανίδα, για κατοίκους της Αγίας Πετρούπολης - κράσπεδο :)). Μπορείτε να υπογράψετε διπλά σημάδια στο περίγραμμαειδική ομάδα.

Όταν καλείτε τη συνάρτηση, εμφανίζεται ένα πλαίσιο διαλόγου όπου πρέπει να καθορίσετε τις απαιτούμενες παραμέτρους.

Εάν επιλέξετε "Λήψη σταθερής τιμής ανύψωσης", εισαγάγετε μια αριθμητική τιμή για το υψόμετρο.

Όταν επιλέγετε "Take by Surface", επιλέξτε το όνομα μιας υπάρχουσας επιφάνειας από τη λίστα.

Τύπος γραμμής διακοπής - αριστερά ή δεξιά.

Συμβουλή. Όταν είναι επιλεγμένο το πλαίσιο ελέγχου "Αποθήκευση τιμής διαφοράς υψομέτρου", το επάνω υψόμετρο προσδιορίζεται με αυτόν τον τρόπο: η τιμή διαφοράς προστίθεται στο κάτω υψόμετρο και το επάνω υψόμετρο γίνεται μη επεξεργάσιμο. Εάν πρέπει να το επεξεργαστείτε, απενεργοποιήστε το πλαίσιο ελέγχου διαφορές και ενεργοποιήστε το πλαίσιο ελέγχου για αυτό το σημάδι - θα είναι διαθέσιμο για επεξεργασία.

Οι τιμές ανύψωσης και διαφοράς μπορούν να παρακολουθηθούν και να επεξεργαστούν στο πλαίσιο διαλόγου:

Αυτό το παράθυρο εμφανίζεται αφού η προτροπή προγράμματος "Εισαγάγετε το πρώτο σημείο ή [Επιλογές(P)] έχει καθορίσει ένα σημείο.

Θυμάται σε ποια τιμή ήταν η είσοδος. Την επόμενη φορά που καλείται το παράθυρο, η εισαγωγή ξεκινά από το απομνημονευμένο πεδίο.

Είναι δυνατό να απενεργοποιήσετε ένα σημάδι επιλογής που είναι άγνωστο - την πρώτη στήλη των πλαισίων ελέγχου.

Μόλις εισαχθεί ολόκληρη η γραμμή διακοπής, υπολογίζονται άγνωστα υψόμετρα από γνωστά υψόμετρα, εάν είναι δυνατόν.

Η τελευταία στήλη των πλαισίων ελέγχου είναι το βασικό σημάδι για τον επανυπολογισμό (τα πλαίσια ελέγχου που περιλαμβάνονται στα αριστερά έχουν νόημα).

Εάν το βασικό σημάδι δεν αλλάξει, αλλά ένα από τα μη βασικά σημάδια αλλάξει, τότε το άλλο μη βασικό σημάδι υπολογίζεται εκ νέου. Και αν η βάση είναι κάτω ή πάνω και την αλλάξεις αλλάζει η μεσαία? αν η βάση είναι μεσαία και την αλλάξεις, η πάνω αλλάζει από προεπιλογή.

Εάν απενεργοποιήσετε ένα από τα πλαίσια ελέγχου στην πρώτη στήλη, χάνεται η έννοια της βασικής ένδειξης.

Υπάρχει μια σειρά από κουμπιά επιλογής που προσφέρουν ένα σημάδι επιλογής για την αρχική καταχώριση. Εάν επιλεγεί "Τελευταίο", προτείνεται το τελευταίο υψόμετρο που εισήχθη.

Μια γραμμή διακοπής είναι ένα ειδικό αντικείμενο, ένα geon. Η οριζόντια μετατόπιση μεταξύ επάνω και κάτω ορίζεται στο πλαίσιο διαλόγου "Surface Settings" στην καρτέλα "Breakline Settings" στην ενότητα "Additional Break Line Parameters" χρησιμοποιώντας την παράμετρο "Break Line Shift Amount κατά την κατασκευή".

Στο τέλος της σχεδίασης της γραμμής διάτμησης, εμφανίζεται ένα αίτημα επιβεβαίωσης του ακόλουθου τύπου:

"Προσδιορίστε την πλευρά μετατόπισης της γραμμής διακοπής με μια τελεία<Линия разрыва (Правая)>ή :".

Ο χρήστης είτε υποδεικνύει την κατεύθυνση μετατόπισης της γραμμής δομής με ένα σημείο (για την ευκολία της εισαγωγής στο σημείο, εμφανίζεται μια ελαστική γραμμή από το τελευταίο σημείο της γραμμής δομής που εισήχθη στο καθορισμένο σημείο), είτε επιβεβαιώνει τον τύπο μετατόπισης που καθορίστηκε αρχικά (οποιαδήποτε άλλη εισαγωγή).

Κατά το κούμπωμα (για παράδειγμα, _Nea), το κούμπωμα γίνεται στο κάτω μέρος της γραμμής διακοπής.

Τα ακόλουθα χαρακτηριστικά έχουν προστεθεί στη γραμμή δομικής διακοπής:

§ δυνατότητα να σπάσει στην κορυφή,

§ εμφάνιση της πλευράς αλλαγής ταχυτήτων,

§ τη δυνατότητα ρύθμισης της τιμής μετατόπισης κατά την κατασκευή της επιφάνειας (αρκεί το 0,01),

§ με την εντολή _Explode μετατρέπεται σε δύο γεωγραμμές.

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΔΙΑΛΕΞΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΑΤΑΝΑΛΥΣΗ

Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. Γεωμετρική αναπαράσταση συνάρτησης δύο μεταβλητών. Επίπεδες γραμμές και επιφάνειες. Όριο και συνέχεια συναρτήσεων πολλών μεταβλητών, οι ιδιότητές τους. Μερικά παράγωγα, οι ιδιότητες και η γεωμετρική τους σημασία.

Ορισμός 1.1.Μεταβλητός z (με περιοχή αλλαγής Ζ) που ονομάζεται συνάρτηση δύο ανεξάρτητων μεταβλητών x,yσε αφθονία Μ, αν κάθε ζευγάρι ( x,y) από πολλούς Μ zαπό Ζ.

Ορισμός 1.2.Ενα μάτσο Μ, στο οποίο καθορίζονται οι μεταβλητές x,y,που ονομάζεται τομέα της συνάρτησης, και τον εαυτό τους x,y- αυτήν επιχειρήματα.

Ονομασίες: z = φά(Χ, y), z = z(Χ, y).

Παραδείγματα.

Σχόλιο.Από μερικούς αριθμούς ( x,y) μπορούν να θεωρηθούν οι συντεταγμένες ενός συγκεκριμένου σημείου στο επίπεδο· στη συνέχεια θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο «σημείο» για ένα ζεύγος ορισμάτων σε μια συνάρτηση δύο μεταβλητών, καθώς και για ένα διατεταγμένο σύνολο αριθμών
, τα οποία είναι ορίσματα σε μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών.

Ορισμός 1.3. . Μεταβλητός z (με περιοχή αλλαγής Ζ) που ονομάζεται συνάρτηση πολλών ανεξάρτητων μεταβλητών
σε αφθονία Μ, εάν κάθε σύνολο αριθμών
από πολλούς Μσύμφωνα με κάποιον κανόνα ή νόμο, εκχωρείται μία συγκεκριμένη τιμή zαπό Ζ. Οι έννοιες των ορισμάτων και του τομέα εισάγονται με τον ίδιο τρόπο όπως για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών.

Ονομασίες: z = φά
,z = z
.

Γεωμετρική αναπαράσταση συνάρτησης δύο μεταβλητών.

Εξετάστε τη συνάρτηση

z = φά(Χ, y) , (1.1)

ορίζεται σε κάποια περιοχή Μστο αεροπλάνο O xy. Στη συνέχεια το σύνολο των σημείων στον τρισδιάστατο χώρο με συντεταγμένες ( Χ, y, z) , όπου , είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών. Εφόσον η εξίσωση (1.1) ορίζει μια συγκεκριμένη επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο, θα είναι η γεωμετρική εικόνα της υπό εξέταση συνάρτησης.

z = f(x,y)

Μ y

Σχόλιο. Για μια συνάρτηση τριών ή περισσότερων μεταβλητών θα χρησιμοποιήσουμε τον όρο «επιφάνεια μέσα n-διαστατικός χώρος», αν και είναι αδύνατο να απεικονιστεί μια τέτοια επιφάνεια.

Επίπεδες γραμμές και επιφάνειες.

Για μια συνάρτηση δύο μεταβλητών που δίνονται από την εξίσωση (1.1), μπορούμε να θεωρήσουμε ένα σύνολο σημείων ( x,y)Ω αεροπλάνο xy, για το οποίο z παίρνει την ίδια σταθερή τιμή, δηλαδή z= συνθ. Αυτά τα σημεία σχηματίζουν μια γραμμή στο επίπεδο που ονομάζεται γραμμή επιπέδου.

Παράδειγμα.

Βρείτε τις γραμμές επιπέδου για την επιφάνεια z = 4 – Χ² - y². Οι εξισώσεις τους μοιάζουν Χ² + y² = 4 - ντο (ντο=const) – εξισώσεις ομόκεντρων κύκλων με κέντρο στην αρχή και με ακτίνες
. Για παράδειγμα, όταν Με=0 παίρνουμε κύκλο Χ² + y² = 4.

Για μια συνάρτηση τριών μεταβλητών u = u (Χ, y, z) την εξίσωση u (Χ, y, z) = ντοορίζει μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο, η οποία ονομάζεται επίπεδη επιφάνεια.

Παράδειγμα.

Για λειτουργία u = 3Χ + 5y – 7z–12 επίπεδες επιφάνειες θα είναι μια οικογένεια παράλληλων επιπέδων που δίνονται από τις εξισώσεις

3Χ + 5y – 7z –12 + Με = 0.

Όριο και συνέχεια συνάρτησης πολλών μεταβλητών.

Ας εισαγάγουμε την έννοια δ-γειτονιέςσημεία Μ 0 (Χ 0 , y 0 ) στο αεροπλάνο O xyως κύκλος ακτίνας δ με κέντρο σε δεδομένο σημείο. Ομοίως, μπορούμε να ορίσουμε μια δ-γειτονιά στον τρισδιάστατο χώρο ως μια μπάλα ακτίνας δ με κέντρο στο σημείο Μ 0 (Χ 0 , y 0 , z 0 ) . Για n-διάστατο χώρο θα ονομάσουμε δ-γειτονιά ενός σημείου Μ 0 σετ πόντων Μμε συντεταγμένες
, ικανοποιώντας την προϋπόθεση

Οπου
- συντεταγμένες σημείων Μ 0 . Μερικές φορές αυτό το σετ ονομάζεται "μπάλα". n-διαστατικός χώρος.

Ορισμός 1.4.Ο αριθμός Α ονομάζεται όριοσυναρτήσεις πολλών μεταβλητών φά
στο σημείο Μ 0 αν

τέτοια που | φά(Μ) – ΕΝΑ| < ε для любой точки Μαπό δ-γειτονιά Μ 0 .

Ονομασίες:
.

Πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι στην περίπτωση αυτή το σημείο Μμπορεί να πλησιάζει Μ 0, μιλώντας σχετικά, κατά μήκος οποιασδήποτε τροχιάς εντός της δ-γειτονιάς του σημείου Μ 0 . Επομένως, θα πρέπει κανείς να διακρίνει το όριο μιας συνάρτησης πολλών μεταβλητών με τη γενική έννοια από το λεγόμενο επαναλαμβανόμενα όριαπου προκύπτει από διαδοχικά περάσματα στο όριο για κάθε όρισμα χωριστά.

Παραδείγματα.

Σχόλιο. Μπορεί να αποδειχθεί ότι από την ύπαρξη ενός ορίου σε ένα δεδομένο σημείο με τη συνήθη έννοια και την ύπαρξη σε αυτό το σημείο ορίων σε μεμονωμένα επιχειρήματα, προκύπτει η ύπαρξη και η ισότητα επαναλαμβανόμενων ορίων. Η αντίστροφη δήλωση δεν είναι αληθινή.

Ορισμός 1.5.Λειτουργία φά
που ονομάζεται συνεχήςστο σημείο Μ 0
, Αν
(1.2)

Αν εισάγουμε τη σημειογραφία

Αυτή η συνθήκη (1.2) μπορεί να ξαναγραφτεί στη φόρμα

(1.3)

Ορισμός 1.6.Εσωτερικό σημείο Μ 0 τομέα συνάρτησης z = φά (Μ) που ονομάζεται σημείο διακοπήςλειτουργία εάν οι συνθήκες (1.2), (1.3) δεν ικανοποιούνται σε αυτό το σημείο.

Σχόλιο.Πολλά σημεία ασυνέχειας μπορούν να σχηματιστούν σε ένα επίπεδο ή στο διάστημα γραμμέςή επιφάνεια κατάγματος.