Ačkoli se tato souvislost na první pohled zdá zcela nezřejmá (zdálo by se, že vědecká matematika je jedna věc a ekonomie a finance jsou něco úplně jiného), jakmile si prostudujete historii „objevu“ tohoto čísla, vše bude zřejmé. Ve skutečnosti, bez ohledu na to, jak jsou vědy rozděleny do různých zdánlivě nesouvisejících odvětví, obecné paradigma bude stále stejné (zejména pro konzumní společnost - „konzumní“ matematika).

Začněme definicí. e je základ přirozeného logaritmu, matematická konstanta, iracionální a transcendentální číslo. Někdy se číslu e říká Eulerovo číslo nebo Napierovo číslo. Označuje se malým latinským písmenem „e“.

Vzhledem k tomu, že exponenciální funkce e^x je integrována a diferencována „do sebe“, jsou logaritmy založené na bázi e přijímány jako přirozené (ačkoli samotný název „přirozenost“ by měl být velmi pochybný, protože celá matematika je v podstatě založena na uměle vymyšlených na fiktivních principech od přírody, a už vůbec ne na přirozených).

Toto číslo se někdy nazývá Nepier na počest skotského vědce Napiera, autora díla „Popis úžasné tabulky logaritmů“ (1614). Tento název však není zcela správný, protože Napier přímo nepoužil samotné číslo.

Konstanta se poprvé mlčky objevuje v dodatku k anglickému překladu výše zmíněného Napierova díla, vydaného v roce 1618. V zákulisí, protože obsahuje pouze tabulku přirozených logaritmů určených z KINEMATICKÝCH úvah, ale samotná konstanta není přítomna.

Samotnou konstantu poprvé vypočítal švýcarský matematik Bernoulli (podle oficiální verze v roce 1690) při řešení problému limitní hodnoty ÚROKOVÉHO PŘÍJMU. Zjistil, že pokud by původní částka byla 1 dolar (měna je zcela nedůležitá) a jednou na konci roku se složila o 100 % ročně, konečná částka by byla 2 dolary. Pokud se však stejný úrok sčítá dvakrát ročně, pak se 1 dolar vynásobí dvakrát 1,5, což vede k 1,00 dolaru x 1,5² = 2,25 dolaru. Výsledkem složeného úročení čtvrtletně je 1,00 $ x 1,254 = 2,44140625 $ atd. Bernoulli ukázal, že pokud se frekvence výpočtu úroku NEKONEČNĚ ZVYŠUJE, pak úrokový výnos v případě složeného úročení má limit – a tento limit je roven 2,71828...

1,00 $×(1+1/12)12 = 2,613035 $…

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - v limitu číslo e

Číslo e tedy vlastně historicky znamená maximální možný ROČNÍ ZISK ve výši 100 % ročně a maximální frekvenci úrokové kapitalizace. A co s tím mají společného zákony Vesmíru? Číslo e je jedním z důležitých stavebních kamenů v založení peněžní ekonomie úroků z půjček v konzumní společnosti, v jejímž rámci se od samého počátku, dokonce i na mentálně filozofické úrovni, celá dnes používaná matematika upravovala a zdokonalovala několik století. před.

První známé použití této konstanty, kde byla označena písmenem b, se objevuje v Leibnizových dopisech Huygensovi, 1690-1691.

Euler začal používat písmeno e v roce 1727, poprvé se objevuje v dopise Eulera německému matematikovi Goldbachovi z 25. listopadu 1731 a první publikací s tímto písmenem byla jeho práce „Mechanika, nebo věda pohybu, vysvětlená analyticky. “, 1736. Podle toho se e obvykle nazývá Eulerovo číslo. Ačkoli někteří učenci následně používali písmeno c, písmeno e bylo používáno častěji a je dnes standardním označením.

Není přesně známo, proč bylo zvoleno písmeno e. Možná je to způsobeno tím, že slovo exponenciální („indikativní“, „exponenciální“) jím začíná. Dalším návrhem je, že písmena a, b, c a d byla již poměrně běžně používána pro jiné účely a e bylo první „volné“ písmeno. Je také pozoruhodné, že písmeno e je první písmeno v příjmení Euler.

Ale v každém případě říkat, že číslo e nějak souvisí s univerzálními zákony Vesmíru a přírody, je prostě absurdní. Toto číslo samotným pojmem bylo zpočátku svázáno s úvěrovým a finančním měnovým systémem a zejména tímto číslem (ale nejenom) ideologie úvěrového a finančního systému nepřímo ovlivňovala utváření a vývoj veškeré ostatní matematiky a skrze něj všechny ostatní vědy (ostatně věda bez výjimky něco vypočítává pomocí pravidel a přístupů matematiky). Číslo e hraje důležitou roli v diferenciálním a integrálním počtu, který je jeho prostřednictvím vlastně spojen i s ideologií a filozofií maximalizace úrokového výnosu (dalo by se říci, že podvědomě). Jak souvisí přirozený logaritmus? Ustavení e jako konstanty (spolu se vším ostatním) vedlo k vytvoření implicitních souvislostí v myšlení, podle kterých veškerá existující matematika prostě nemůže existovat izolovaně od měnový systém! A v tomto světle není vůbec překvapivé, že staří Slované (a nejen oni) se bez konstant, iracionálních a transcendentálních čísel a dokonce i bez čísel a čísel vůbec (písmena v dávných dobách chovala jako čísla) dokonale obešli, jiná logika, jiné uvažování v systému při nedostatku peněz (a tedy všeho s nimi spojeného) činí vše výše zmíněné jednoduše zbytečným.

Popisovat e jako „konstantu přibližně rovnou 2,71828...“ je jako říkat pi „iracionální číslo rovné přibližně 3,1415...“. To je nepochybně pravda, ale pointa nám stále uniká.

Pi je poměr obvodu k průměru, stejný pro všechny kruhy. Je to základní proporce společná všem kružnicím, a proto se podílí na výpočtu obvodu, plochy, objemu a povrchu pro kruhy, koule, válce atd. Pi ukazuje, že všechny kružnice spolu souvisí, nemluvě o goniometrických funkcích odvozených z kružnic (sinus, kosinus, tangens).

Číslo e je základní růstový poměr pro všechny kontinuálně rostoucí procesy.Číslo e umožňuje vzít jednoduchou rychlost růstu (kde je rozdíl viditelný pouze na konci roku) a vypočítat složky tohoto ukazatele, normální růst, ve kterém s každou nanosekundou (nebo ještě rychleji) všechno trochu roste více.

Číslo e je zapojeno do systémů exponenciálního i konstantního růstu: populace, radioaktivní rozpad, výpočet procent a mnoho, mnoho dalších. Pomocí čísla e lze aproximovat i stupňovité systémy, které nerostou rovnoměrně.

Stejně jako jakékoli číslo lze považovat za „zmenšenou“ verzi 1 (základní jednotka), lze jakýkoli kruh považovat za „zmenšenou“ verzi jednotkového kruhu (s poloměrem 1). A na jakýkoli růstový faktor lze pohlížet jako na „škálovanou“ verzi e („jednotkový“ růstový faktor).

Číslo e tedy není náhodné číslo. Číslo e ztělesňuje myšlenku, že všechny neustále rostoucí systémy jsou škálované verze stejné metriky.

Koncept exponenciálního růstu

Začněme tím, že se podíváme na základní systém, který čtyřhra na určitou dobu. Například:

• Bakterie se každých 24 hodin rozdělí a „zdvojnásobí“.
• Získáme dvakrát tolik nudlí, když je rozpůlíme
• Vaše peníze se každý rok zdvojnásobí, pokud dosáhnete 100% zisku (štěstí!)

A vypadá to nějak takto:

Dělení dvěma nebo zdvojnásobení je velmi jednoduchý postup. Samozřejmě můžeme ztrojnásobit nebo zčtyřnásobit, ale pro vysvětlení je pohodlnější zdvojení.

Matematicky, máme-li x dílků, skončíme s 2^x krát větším množstvím dobra, než jsme začali. Pokud je vytvořen pouze 1 oddíl, získáme 2^1krát více. Pokud jsou 4 oddíly, dostaneme 2^4=16 dílů. Obecný vzorec vypadá takto:

výška= 2 x

Jinými slovy, zdvojnásobení je 100% nárůst. Tento vzorec můžeme přepsat takto:

výška= (1+100 %) x

Toto je stejná rovnost, jen jsme rozdělili „2“ na jednotlivé části, což je v podstatě toto číslo: počáteční hodnota (1) plus 100 %. Chytré, že?

Samozřejmě můžeme místo 100 % dosadit jakékoli jiné číslo (50 %, 25 %, 200 %) a získat vzorec růstu pro tento nový koeficient. Obecný vzorec pro x období časové řady bude:

výška = (1+růst)X

To jednoduše znamená, že použijeme návratnost (1 + zisk), "x" krát za sebou.

Pojďme se na to podívat blíže

Náš vzorec předpokládá, že růst probíhá v diskrétních krocích. Naše bakterie čekají a čekají a pak bum! a na poslední chvíli se zdvojnásobí. Náš zisk z úroků z vkladu se magicky objeví přesně po 1 roce. Na základě výše napsaného vzorce zisky rostou v krocích. Zelené tečky se objevují náhle.

Ale svět není vždy takový. Když přiblížíme, uvidíme, že naši bakteriální přátelé se neustále rozdělují:

Zelený chlapík nevzniká z ničeho: pomalu vyrůstá z modrého rodiče. Po 1 době (v našem případě 24 hodin) je zelený kamarád již plně zralý. Po dozrání se stává plnohodnotným modrým členem stáda a může sám vytvářet nové zelené buňky.

Změní tato informace nějakým způsobem naši rovnici?

Ani náhodou. V případě bakterií napůl vytvořené zelené buňky stejně nemohou nic dělat, dokud nevyrostou a úplně se neoddělí od svých modrých rodičů. Takže rovnice je správná.

Než představíme koncept přirozeného logaritmu, uvažujme koncept konstantního čísla $e$.

Číslo $e$

Definice 1

Číslo $e$ je matematická konstanta, která je transcendentálním číslem a rovná se $e\cca 2,718281828459045\ldots$.

Definice 2

Transcendentní je číslo, které není kořenem polynomu s celočíselnými koeficienty.

Poznámka 1

Poslední vzorec popisuje druhý úžasný limit.

Také se nazývá číslo e Eulerova čísla, a někdy Napier čísla.

Poznámka 2

K zapamatování prvních číslic čísla $e$ se často používá následující výraz: "2 $, 7 $, dvakrát Lev Tolstoj". Abychom jej mohli používat, je samozřejmě nutné pamatovat na to, že Lev Tolstoj se narodil v $1828$ Právě tato čísla se dvakrát opakují v hodnotě čísla $e$ za celočíselnou částí $2$ a desetinná část 7 $.

Pojem čísla $e$ jsme začali uvažovat při studiu přirozeného logaritmu právě proto, že je na bázi logaritmu $\log_(e)⁡a$, který se obvykle nazývá přírodní a napište jej ve tvaru $\ln ⁡a$.

Přirozený logaritmus

Při výpočtech se často používají logaritmy, jejichž základem je číslo $е$.

Definice 4

Je volán logaritmus se základem $e$ přírodní.

Tito. přirozený logaritmus lze označit jako $\log_(e)⁡a$, ale v matematice je běžné používat zápis $\ln ⁡a$.

Vlastnosti přirozeného logaritmu

Protože logaritmus k libovolnému základu jednoty je roven $0$, pak přirozený logaritmus jednoty je roven $0$:

Přirozený logaritmus čísla $е$ se rovná jedné:

Přirozený logaritmus součinu dvou čísel se rovná součtu přirozených logaritmů těchto čísel:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Přirozený logaritmus podílu dvou čísel se rovná rozdílu přirozených logaritmů těchto čísel:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Přirozený logaritmus mocniny čísla může být reprezentován jako součin exponentu a přirozeného logaritmu sublogaritmického čísla:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Příklad 1

Zjednodušte výraz $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

Řešení.

Aplikujme vlastnost logaritmu součinu na první logaritmus v čitateli a jmenovateli a vlastnost logaritmu mocniny na druhý logaritmus v čitateli a jmenovateli:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

Otevřeme závorky a představíme podobné výrazy a také použijeme vlastnost $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

Odpovědět: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

Příklad 2

Najděte hodnotu výrazu $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.

Řešení.

Použijme vzorec pro součet logaritmů:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Odpovědět: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

Příklad 3

Vypočítejte hodnotu logaritmického výrazu $2 \lg ⁡0,1+3 \ln⁡ e^5$.

Řešení.

Použijme vlastnost logaritmu mocniny:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= 13 dolarů.

Odpovědět: $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Příklad 4

Zjednodušte logaritmický výraz $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

Na první logaritmus aplikujeme vlastnost logaritmu kvocientu:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

Otevřeme závorky a představíme podobné pojmy:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Odpovědět: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

Každá z funkcí E otestuje zadanou hodnotu a vrátí TRUE nebo FALSE v závislosti na výsledku. Například funkce PRÁZDNÝ vrátí logickou hodnotu TRUE, pokud je testovaná hodnota odkazem na prázdnou buňku; jinak je vrácena logická hodnota FALSE.

Funkce E se používají k získání informací o hodnotě před provedením výpočtu nebo jiné akce s ní. Chcete-li například provést jinou akci, když dojde k chybě, můžete funkci použít CHYBA v kombinaci s funkcí LI:

= LI( CHYBA(A1); "Došlo k chybě."; A1*2)

Tento vzorec kontroluje chybu v buňce A1. Když dojde k chybě, funkce LI vrátí zprávu "Došlo k chybě." Pokud nejsou žádné chyby, funkce LI vypočítá součin A1*2.

Syntax

PRÁZDNÝ(hodnota)

EOS (hodnota)

ERROR(hodnota)

ELOGIC(hodnota)

UNM(hodnota)

NETTEXT(hodnota)

ETEXT(hodnota)

argument funkce E jsou popsány níže.

význam Povinný argument. Kontrolovaná hodnota. Hodnota tohoto argumentu může být prázdná buňka, chybová hodnota, logická hodnota, text, číslo, odkaz na kterýkoli z uvedených objektů nebo název takového objektu.

Funkce	Vrátí TRUE if
	Argument hodnota odkazuje na prázdnou buňku
	Argument hodnota odkazuje na jakoukoli chybovou hodnotu jinou než #N/A
	Argument value odkazuje na jakoukoli chybovou hodnotu (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? nebo #PRÁZDNÝ!)
	Argument value odkazuje na booleovskou hodnotu
	Argument hodnota odkazuje na chybovou hodnotu #N/A (hodnota není k dispozici)
ENETEXT	Argument hodnota odkazuje na jakýkoli prvek, který není textem. (Všimněte si, že funkce vrátí hodnotu TRUE, pokud argument odkazuje na prázdnou buňku.)
	Argument hodnota odkazuje na číslo
	Argument hodnota odkazuje na text

Poznámky

Argumenty ve funkcích E nejsou převedeny. Jakákoli čísla v uvozovkách jsou považována za text. Například ve většině ostatních funkcí, které vyžadují číselný argument, textová hodnota"19" převede na číslo 19. Ovšem ve vzorci ISNUMBER("19") tato hodnota se nepřevádí z textu na číslo a funkce ISNUMBER vrací FALSE.

Používání funkcí E Výsledky výpočtů je vhodné kontrolovat ve vzorcích. Kombinace těchto vlastností s funkcí LI, můžete najít chyby ve vzorcích (viz příklady níže).

Příklady

Příklad 1

Zkopírujte ukázková data z následující tabulky a vložte je do buňky A1 nového listu aplikace Excel. Chcete-li zobrazit výsledky vzorců, vyberte je a stiskněte F2 a poté stiskněte Enter. V případě potřeby změňte šířku sloupců, abyste viděli všechna data.

Zkopírujte ukázková data z tabulky níže a vložte je do buňky A1 nového listu aplikace Excel. Chcete-li zobrazit výsledky vzorců, vyberte je a stiskněte F2 a poté stiskněte Enter. V případě potřeby změňte šířku sloupců, abyste viděli všechna data.

Data
Vzorec	Popis	Výsledek
PRÁZDNÝ(A2)	Zkontroluje, zda je buňka C2 prázdná
CHYBA(A4)	Zkontroluje, zda je hodnota v buňce A4 (#REF!) chybná
	Zkontroluje, zda hodnota v buňce A4 (#REF!) je chybová hodnota #N/A
	Zkontroluje, zda je hodnota v buňce A6 (#N/A) chybovou hodnotou #N/A
	Zkontroluje, zda je hodnota v buňce A6 (#N/A) chybnou hodnotou
ISNUMBER(A5)	Testuje, zda je hodnota v buňce A5 (330,92) číslo
ETEXT(A3)	Zkontroluje, zda je hodnota v buňce A3 ("Region1") text

y (x) = e x, jehož derivace se rovná funkci samotné.

Exponent je označen jako , nebo .

Číslo e

Základem stupně exponentu je číslo e. Toto je iracionální číslo. Je přibližně stejná
E ≈ 2,718281828459045...

Číslo e je určeno přes limitu posloupnosti. Jedná se o tzv druhý úžasný limit:
.

Číslo e může být také reprezentováno jako řada:
.

Exponenciální graf

Exponenciální graf, y = e x .

Graf ukazuje exponenciálu E do určité míry X.
y (x) = e x
Graf ukazuje, že exponent roste monotónně.

Vzorce

Základní vzorce jsou stejné jako u exponenciální funkce se základem stupně e.

;
;
;

Vyjádření exponenciální funkce s libovolnou bází stupně a prostřednictvím exponenciály:
.

Soukromé hodnoty

Nechte y (x) = e x. Pak
.

Vlastnosti exponentu

Exponent má vlastnosti exponenciální funkce s mocninným základem E > 1 .

Doména, množina hodnot

Exponent y (x) = e x definované pro všechna x.
Jeho doména definice:
- ∞ < x + ∞ .
Má mnoho významů:
0 < y < + ∞ .

Extrémy, rostoucí, klesající

Exponenciála je monotónně rostoucí funkce, takže nemá žádné extrémy. Jeho hlavní vlastnosti jsou uvedeny v tabulce.

Inverzní funkce

Převrácená hodnota exponentu je přirozený logaritmus.
;
.

Derivace exponentu

Derivát E do určité míry X rovná E do určité míry X :
.
Derivát n-tého řádu:
.
Odvozování vzorců >> >

Integrální

Komplexní čísla

Operace s komplexními čísly se provádějí pomocí Eulerovy vzorce:
,
kde je pomyslná jednotka:
.

Výrazy prostřednictvím hyperbolických funkcí

; ;
.

Výrazy pomocí goniometrických funkcí

; ;
;
.

Rozšíření výkonové řady

Reference:
V. Bronstein, K.A. Semendyaev, Příručka matematiky pro inženýry a vysokoškolské studenty, „Lan“, 2009.