Opredelitev

Merilo nihajnega gibanja je ciklično (ali kotno ali krožno) frekvenca vibracij.

To je skalarna fizikalna količina.

Ciklična frekvenca za harmonična nihanja

Naj materialna točka niha. V tem primeru gre materialna točka skozi isti položaj v enakih časovnih intervalih.

Najenostavnejša nihanja so harmonična. Razmislite o naslednjem kinematičnem modelu. Točka M se s konstantno absolutno hitrostjo ($v$) giblje po krožnici polmera A. V tem primeru bomo njeno kotno hitrost označili z $(\omega )_0$, ta hitrost je konstantna (slika 1).

Projekcija točke $M$ na premer kroga (točka $N$), na os X, niha od $N_1$ do $N_2\ $in nazaj. Tako nihanje N bo harmonično. Za opis nihanja točke N je potrebno zapisati koordinato točke N v odvisnosti od časa ($t$). Naj pri $t=0$ polmer OM tvori kot $(\varphi )_0$ z osjo X. Po določenem času se bo ta kot spremenil za $(\omega )_0t$ in bo enak $(\omega )_0t+(\varphi )_0$, potem:

Izraz (1) je analitična oblika zapisa harmoničnega nihanja točke N vzdolž premera $N_1N_2$.

Pojdimo k izrazu (1). Vrednost $A$ je največje odstopanje točke, ki niha od ravnotežnega položaja (točka O - središče kroga), imenovano amplituda nihanja.

Parameter $(\omega )_0$ je ciklična frekvenca nihanja. $\varphi =((\omega )_0t+(\varphi )_0$) - faza nihanja; $(\varphi )_0$ je začetna faza oscilacij.

Ciklično frekvenco harmoničnih nihanj lahko definiramo kot parcialni odvod faze nihanja glede na čas:

\[(\omega )_0=\frac(?\varphi )(\delni t)=\pika(\varphi )\levo(2\desno).\]

Ko je $(\varphi )_0=0$, se enačba nihanja (1) pretvori v obliko:

Če je začetna faza nihanja enaka $(\varphi )_0=\frac(\pi )(2)$ , potem dobimo enačbo nihanja v obliki:

Izraza (3) in (4) kažeta, da je za harmonična nihanja abscisa $x$ sinusna ali kosinusna funkcija časa. Pri grafičnem prikazu harmoničnih nihanj je rezultat kosinusni ali sinusni val. Oblika krivulje je določena z amplitudo nihanj in velikostjo ciklične frekvence. Položaj krivulje je odvisen od začetne faze.

Ciklično frekvenco nihanj lahko izrazimo s periodo (T) nihanj:

\[(\omega )_0=\frac(2\pi )(T)\levo(5\desno).\]

Ciklično frekvenco povežemo s frekvenco $?$$?$ z izrazom:

\[(\omega )_0=2\pi \nu \ \levo(6\desno).\]

Enota mednarodnega sistema enot (SI) za ciklično frekvenco je radian, deljen s sekundo:

\[\levo[(\omega )_0\desno]=\frac(rad)(s).\]

Dimenzija ciklične frekvence:

\[(\dim \left((\omega )_0\desno)=\frac(1)(t),\ )\]

kjer je $t$ čas.

Posebni primeri formul za izračun ciklične frekvence

Obremenitev na vzmeti (idealni model je vzmetno nihalo) izvaja harmonična nihanja s krožno frekvenco, ki je enaka:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(k)(m))\levo(7\desno),\]

$k$ - koeficient elastičnosti vzmeti; $m$ je masa obremenitve vzmeti.

Majhna nihanja fizičnega nihala bodo približno harmonična nihanja s ciklično frekvenco, ki je enaka:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\levo(8\desno),\]

kjer je $J$ vztrajnostni moment nihala glede na vrtilno os; $a$ je razdalja med masnim središčem nihala in visečo točko; $m$ je masa nihala.

Primer fizičnega nihala je matematično nihalo. Krožna frekvenca njegovih nihanj je enaka:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(g)(l))\levo(9\desno),\]

kjer je $l$ dolžina vzmetenja.

Kotna frekvenca dušenih nihanj se izračuna kot:

\[\omega =\sqrt((\omega )^2_0-(\delta )^2)\levo(10\desno),\]

kjer je $\delta $ koeficient slabljenja; v primeru dušenih nihanj se $(\omega )_0$ imenuje lastna kotna frekvenca nihanj.

Primeri problemov z rešitvami

Primer 1

Vaja: Kakšna je ciklična frekvenca harmoničnih nihanj, če je največja hitrost materialne točke $(\dot(x))_(max)=10\ \frac(cm)(s)$, njen največji pospešek pa $(\ ddot(x)) _(max)=100\ \frac(cm)(s^2)$?

rešitev: Osnova za rešitev problema bo enačba harmoničnih nihanj točke, saj je iz pogojev očitno, da se pojavljajo vzdolž X osi:

Hitrost nihanja bomo našli z uporabo enačbe (1.1) in kinematične povezave med koordinato $x$ in pripadajočo komponento hitrosti:

Največja vrednost hitrosti (amplituda hitrosti) je enaka:

Pospešek točke izračunamo kot:

Iz formule (1.3) izrazimo amplitudo, jo nadomestimo v (1.5) in dobimo ciklično frekvenco:

\[(\dot(x))_(max)=A(\omega )_0\do A=\frac((\dot(x))_(max))((\omega )_0);;\ ( \ddot(x))_(max)=A(sch_0)^2=\frac((\dot(x))_(max))(sch_0)(sch_0)^2\to sch_0=\frac((\ ddot(x))_(max))((\dot(x))_(max)).\]

Izračunajmo ciklično frekvenco:

\[w_0=\frac(100)(10)=10(\frac(rad)(s)).\]

odgovor:$ш_0=10\frac((\rm rad))((\rm s))$

Primer 2

Vaja: Dve uteži enake mase sta pritrjeni na dolgo breztežno palico. Ena utež je na sredini palice, druga pa na njenem koncu (slika 2). Sistem niha okoli vodoravne osi, ki poteka skozi prosti konec palice. Kakšna je ciklična frekvenca nihanja? Dolžina palice je $l$.

rešitev: Osnova za rešitev problema je formula za iskanje frekvence nihanja fizičnega nihala:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mga)(J))\levo(2,1\desno),\]

kjer je $J$ vztrajnostni moment nihala glede na vrtilno os; $a$ je razdalja med masnim središčem nihala in visečo točko; $m$ je masa nihala. Glede na problem je masa nihala sestavljena iz mas dveh enakih kroglic (masa ene kroglice je $\frac(m)(2)$). V našem primeru je razdalja $a$ enaka razdalji med točkama O in C (glej sliko 2):

Poiščimo vztrajnostni moment sistema dveh točkastih mas. Vztrajnostni moment sistema ($J_0$) je glede na masno središče (če je vrtilna os narisana skozi točko C) enak:

Vztrajnostni moment našega sistema glede na os, ki gre skozi točko O, bomo našli s pomočjo Steinerjevega izreka:

Zamenjajmo desni strani izraza (2.2) in (2.4) v (2.1) namesto ustreznih količin:

\[(\omega )_0=\sqrt(\frac(mg\frac(3)(4)l\ )(\frac(5)(8)ml^2))=\sqrt(\frac(6g)( 5l)).\]

odgovor:$(\omega )_0=\sqrt(\frac(6g)(5l))$

6. Nihanja

6.1.Osnovni pojmi in zakoni

Gibanje se imenuje periodično, če

x(t) = x(t + T ), kjer je T

Oklevanje

periodično

premikanje

ravnotežni položaji. Na sliki 6.1 c

kakovosti

upodobljen

periodično

neharmonično

nihanja

določbe

ravnovesje

x0 = 0.

Obdobje T je čas za

se izvaja

obotavljanje.

nihanja na enoto časa

Krožna (ciklična) frekvenca

ω= 2 πν =

Harmonično

imenujemo nihanja, pri katerih je premik

na ravnotežni položaj v odvisnosti od časa

spreminja po zakonu sinusa ali kosinusa

x = A sin (ω0 t + α)

kje

amplituda nihanj (največji odmik točke od

ravnotežni položaj), ω 0 - krožna frekvenca harmoničnih nihanj, ω 0 t + α - faza, α - začetna faza (pri t = 0).

Sistem, ki izvaja harmonična nihanja, se imenuje

klasični harmonični oscilator ali vibracijski

sistem.
Hitrost					in pospešek		harmonične vibracije
spremeniti v skladu z zakoni
		X = A ω0 cos (ω0 t + α),
	d 2 x
					= −A ω0 sin (ω0 t + α) .
Iz razmerij (6.6) in (6.4) dobimo
a = −ω 2 x ,

od koder sledi, da je pri harmoničnem nihanju pospešek premo sorazmeren z odmikom točke od ravnotežnega položaja in je usmerjen nasproti odmika.

Iz enačb (6.6), (6.7) dobimo

	+ ω0 x = 0 .

Enačba (6.8) se imenuje diferencialna enačba harmoničnih nihanj , (6.4) pa je njena rešitev. Nadomeščanje

(6.7) v drugi Newtonov zakon F = ma r dobimo silo, pod vplivom katere nastanejo harmonična nihanja

Ta sila, ki je neposredno sorazmerna s premikom točke iz ravnotežnega položaja in je usmerjena nasproti premika, se imenuje obnovitvena sila, k se imenuje koeficient obnovitvene sile. To lastnost ima elastična sila. Sile drugačne fizične narave, podvržene zakonu (6.11),

imenujemo kvazielastične.

Nihanja, ki nastanejo pod vplivom sil, ki imajo

premoženje			se imenujejo	lasten	(prost
harmonične) vibracije.
Iz razmerij (6.3), (6.10) dobimo krožno frekvenco in periodo
ta nihanja
		T = 2π

Za harmonična nihanja imajo po zakonu (6.4) časovne odvisnosti kinetične in potencialne energije obliko

mA2 ω 0

cos 2 (ω t + α),

mA2 ω 0

sin 2 (ω t + α) .

Celotna energija v procesu harmoničnih nihanj se ohrani

	EK + U = konst.
	Če nadomestimo izraza (6.4) in (6.5) za x in v v (6.15), dobimo
	E = E K max = U max			mA2 ω 2
	Primer klasike					harmonično
	oscilator je svetlobna vzmet, na katero
	viseče breme mase m				(slika 6.2). Koeficient
	obnovitveno silo k imenujemo koeficient
	vzmetna togost.		Iz Newtonovega drugega zakona
	za tovor	na vzmet				– kx dobimo
	enačba,	ujemanje
	diferencial		enačba			harmonično
	nihanja (6.8) Zato je obremenitev vzmeti
	v odsotnosti okoljskih odpornih sil bo
	izvajajo harmonična nihanja (6.4).
	Harmonično			nihanja

predstavljajo kot projekcijo na koordinatne osi vektorja, katerega velikost je enaka amplitudi A, ki se vrti okoli izhodišča koordinat s kotno hitrostjo ω 0. Metoda temelji na tej ideji

vektorski diagrami dodatek harmoničnih vibracij z
enako frekvenco, ki se pojavlja vzdolž iste osi
x 1 = A 1 sin (ω t + ϕ 1),
x 2 = A 2 sin (ω t + ϕ 2 ) .
Amplitudo nastalega nihanja določa
kosinusni izrek				− 2 A A cos (ϕ −ϕ
Začetna faza nastalega nihanja ϕ											Mogoče
ugotovimo iz formule
tan ϕ =		A 1 sin ϕ 1 + A 2 sin ϕ 2
		A cosϕ + A cosϕ
Pri seštevanju enosmernih nihanj s tesnimi
frekvenci ω 1 in ω 2				nastanejo utripi, katerih frekvenca je enaka ω 1 − ω 2.

Enačba poti točke, ki sodelujejo v dveh medsebojno pravokotne vibracije

x = A 1 sin ((ω t + ϕ 1 ) ), (6.20) y = A 2 sin ω t + ϕ 2

izgleda kot

− 2

cos (ϕ − ϕ

) = sin 2 (ϕ

−ϕ ) .

Če so začetne faze ϕ 1 = ϕ 2, potem je enačba trajektorije ravna črta

x ali y = −

ϕ = ϕ1 − ϕ2 = π 2 ,

Razlika

točka se giblje po elipsi

Fizikalno nihalo - je trdno telo

sposoben

zavezati

nihanja

fiksna os, ki poteka skozi točko

ujemanje

(Slika 6.3). Vibracije so harmonične

pri majhnih odklonskih kotih.

Težnostni moment okoli osi,

mimogrede

je

vračanje

trenutek

je izražena

razmerje

M = mgd sin

ϕ ≈ mgd ϕ.

Osnovna enačba za dinamiko rotacijskega gibanja ima obliko (glej formulo (4.18))

M = I ε , (6.23)

kjer je I vztrajnostni moment nihala glede na os, ki poteka skozi točko O, ε je kotni pospešek.

Iz (6.23), (6.22) dobimo diferencialno enačbo harmoničnih nihanj fizičnega nihala

		d 2 ϕ			ϕ = 0 .
	Njegove rešitve ϕ = ϕ 0 sin ω 0 t ,
			mgd.

Iz (6.3) dobimo formulo za nihajno dobo fizičnega nihala

T = 2 π I .		M = − c ϕ . Koeficient obnovitvenega momenta je odvisen od materiala žice in njenih dimenzij kjer je G strižni modul, ki označuje elastične lastnosti materiala, r je polmer žice, L je njegova dolžina. Osnovna enačba rotacijske dinamike gibanje ima obliko
Njena rešitev ima obliko ϕ = ϕ 0 sin (ω 0 t + α ),

kjer je ϕ kotni premik od ravnotežnega položaja, ϕ 0 je amplituda

obotavljanje.

Če primerjamo enačbi (6.8) in (6.32), dobimo vrednosti kotne frekvence in obdobja torzijskih nihanj

T = 2π

Proste vibracije postanejo dušene zaradi prisotnosti uporovnih sil. Na primer, ko snovna točka vibrira v viskoznem mediju, pri majhnih hitrostih nanjo deluje sila

odpornost											r - koeficient
					okolje F upor = − rv	= −rx,
odpornost na okolje. Zato iz drugega Newtonovega zakona
mx = − kx − rx
dobimo diferencialno enačbo dušenih nihanj
	M x + m x = 0 .
Njegova rešitev za primer, ko
											izgleda kot
x = A e−β t				sin(ω t + α),

(lat. amplituda- magnituda) je največji odklon nihajočega telesa od njegovega ravnotežnega položaja.

Za nihalo je to največja razdalja, na katero se kroglica odmakne od svojega ravnotežnega položaja (slika spodaj). Za nihanja z majhnimi amplitudami lahko takšno razdaljo vzamemo kot dolžino loka 01 ali 02 in dolžine teh segmentov.

Amplitudo nihanj merimo v dolžinskih enotah - metrih, centimetrih itd. Na grafu oscilacij je amplituda definirana kot največja (modulo) ordinata sinusne krivulje (glej spodnjo sliko).

Obdobje nihanja.

Obdobje nihanja- to je najkrajše časovno obdobje, v katerem se nihajoči sistem ponovno vrne v isto stanje, v katerem je bil v poljubno izbranem začetnem časovnem trenutku.

Z drugimi besedami, nihajna doba ( T) je čas, v katerem pride do enega popolnega nihanja. Na spodnji sliki je na primer to čas, ki je potreben, da se trb nihala premakne od skrajne desne točke skozi ravnovesno točko O do skrajne leve točke in nazaj skozi točko O spet skrajno desno.

V celotni periodi nihanja tako telo prepotuje pot, ki je enaka štirim amplitudam. Perioda nihanja se meri v časovnih enotah - sekunde, minute itd. Perioda nihanja se lahko določi iz dobro znanega grafa nihanj (glej spodnjo sliko).

Koncept "nihajne dobe", strogo gledano, velja le, če se vrednosti nihajne količine natančno ponovijo po določenem časovnem obdobju, to je za harmonična nihanja. Vendar pa ta koncept velja tudi za primere približno ponavljajočih se količin, na primer za dušena nihanja.

Frekvenca nihanja.

Frekvenca nihanja- to je število nihanj, opravljenih na enoto časa, na primer v 1 s.

Enota SI za frekvenco je poimenovana hertz(Hz) v čast nemškemu fiziku G. Hertzu (1857-1894). Če frekvenca nihanja ( v) je enako 1 Hz, to pomeni, da je vsako sekundo eno nihanje. Frekvenca in perioda nihanj sta povezani z razmerji:

V teoriji nihanj uporabljajo tudi koncept ciklično, oz krožna frekvenca ω . Povezan je z normalno frekvenco v in nihajno obdobje T razmerja:

.

Ciklična frekvenca je število izvedenih nihanj na 2π sekund

Ko preučujete ta razdelek, upoštevajte to nihanja različne fizične narave so opisani s skupnih matematičnih stališč. Tukaj je treba jasno razumeti pojme, kot so harmonično nihanje, faza, fazna razlika, amplituda, frekvenca, obdobje nihanja.

Upoštevati je treba, da v vsakem realnem oscilatornem sistemu obstaja upor medija, tj. nihanja bodo dušena. Za karakterizacijo dušenja nihanj sta uvedena koeficient dušenja in logaritemski dekrement dušenja.

Če se nihanja pojavijo pod vplivom zunanje, občasno spreminjajoče se sile, se taka nihanja imenujejo prisilna. Ne bodo dušene. Amplituda prisilnih nihanj je odvisna od frekvence pogonske sile. Ko se frekvenca prisilnih nihanj približa frekvenci lastnih nihanj, se amplituda prisilnih nihanj močno poveča. Ta pojav imenujemo resonanca.

Ko nadaljujete s preučevanjem elektromagnetnih valov, morate to jasno razumetielektromagnetno valovanjeje elektromagnetno polje, ki se širi v prostoru. Najenostavnejši sistem, ki oddaja elektromagnetno valovanje, je električni dipol. Če je dipol podvržen harmoničnemu nihanju, potem oddaja monokromatsko valovanje.

Tabela formul: nihanje in valovanje

Fizikalni zakoni, formule, spremenljivke	Nihajne in valovne formule
Harmonična vibracijska enačba: kjer je x premik (odklon) nihajoče količine od ravnotežnega položaja; A - amplituda; ω - krožna (ciklična) frekvenca; α - začetna faza; (ωt+α) - faza.
Razmerje med periodo in krožno frekvenco:
Pogostost:
Razmerje med krožno frekvenco in frekvenco:
Obdobja lastnih nihanj 1) vzmetno nihalo: kjer je k togost vzmeti; 2) matematično nihalo: kjer je l dolžina nihala, g - pospešek prostega pada; 3) nihajno vezje: kjer je L induktivnost vezja, C je kapacitivnost kondenzatorja.
Naravna frekvenca:
Seštevanje nihanj iste frekvence in smeri: 1) amplituda nastalega nihanja kjer sta A 1 in A 2 amplitudi komponent vibracij, α 1 in α 2 - začetne faze komponent vibracij; 2) začetno fazo nastalega nihanja
Enačba dušenih nihanj: e = 2,71... - osnova naravnih logaritmov.
Amplituda dušenih nihanj: kjer je A 0 amplituda v začetnem trenutku; β - koeficient slabljenja;
Koeficient slabljenja: nihajoče telo kjer je r koeficient upora medija, m - telesna teža; nihajni krog kjer je R aktivni upor, L je induktivnost vezja.
Frekvenca dušenih nihanj ω:
Obdobje dušenih nihanj T:
Logaritemski dekrement dušenja:

Kotna frekvenca je izražena v radianih na sekundo, njena dimenzija je inverzna dimenziji časa (radiani so brezdimenzijski). Kotna frekvenca je časovni odvod faze nihanja:

Kotna frekvenca v radianih na sekundo je izražena s frekvenco f(izraženo v obratih na sekundo ali vibracijah na sekundo), kot

Če kot enoto kotne frekvence uporabimo stopinje na sekundo, je razmerje do navadne frekvence naslednje:

Končno, pri uporabi vrtljajev na sekundo je kotna frekvenca enaka vrtilni hitrosti:

Uvedba ciklične frekvence (v njeni glavni dimenziji - radiani na sekundo) nam omogoča poenostavitev številnih formul v teoretični fiziki in elektroniki. Tako je resonančna ciklična frekvenca nihajnega LC kroga enaka medtem ko je običajna resonančna frekvenca . Hkrati se zapletejo številne druge formule. Odločilni premislek v prid ciklične frekvence je bil, da faktorja in , ki se pojavita v številnih formulah pri uporabi radianov za merjenje kotov in faz, izgineta, ko uvedemo ciklično frekvenco.

Poglej tudi

Fundacija Wikimedia. 2010.

Oglejte si, kaj je "ciklična frekvenca" v drugih slovarjih:

ciklična frekvenca- kampinis dažnis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. kotna frekvenca ciklična frekvenca radianska frekvenca vok. Kreisfrequenz, f; Winkelfrequenz, f rus. krožna frekvenca, f; kotna frekvenca, f; ciklična frekvenca, f pranc. fréquence… … Fizikos terminų žodynas

Enako kot kotna frekvenca ... Veliki enciklopedični politehnični slovar

Frekvenca je fizikalna količina, značilnost periodičnega procesa, ki je enaka številu popolnih ciklov, opravljenih na časovno enoto. Standardni zapis v formulah, oz. Enota frekvence v mednarodnem sistemu enot (SI) na splošno... ... Wikipedia

Ta izraz ima druge pomene, glejte Pogostost (pomeni). Frekvenca SI enote Hz Fizična frekvenca v ... Wikipedia

FREKVENCA- (1) število ponovitev periodičnega pojava na časovno enoto; (2) Ch. stranska frekvenca, večja ali manjša od nosilne frekvence visokofrekvenčnega generatorja, ki se pojavi, ko (glej); (3) Število vrtljajev je vrednost, ki je enaka razmerju števila vrtljajev ... ... Velika politehnična enciklopedija

štetje ciklov Priročnik za tehnične prevajalce

Pogostost- nihanja, število popolnih obdobij (ciklov) nihajnega procesa, ki se pojavijo na časovno enoto. Enota za frekvenco je hertz (Hz), ki ustreza enemu celotnemu ciklu v 1 s. Frekvenca f=1/T, kjer je T obdobje nihanja, ne glede na to, kako pogosto... ... Ilustrirani enciklopedični slovar

Ciklični inventar (CYCLE COUNT)- Metoda natančne revizije razpoložljivih skladiščnih zalog, ko se zaloge popisujejo periodično ciklično in ne enkrat letno. Ciklični popisi skladiščnih zalog se običajno izvajajo redno (običajno pogosteje za... ... Glosar pojmov upravljalnega računovodstva

Dimenzija T −1 Enote ... Wikipedia