Pojem funkcije dveh spremenljivk

Magnituda z klical funkcija dveh neodvisnih spremenljivk x in l, če vsak par dovoljenih vrednosti teh količin po določenem zakonu ustreza eni povsem določeni vrednosti količine z. Neodvisne spremenljivke x in l klical argumenti funkcije.

To funkcionalno odvisnost analitično označimo

Z = f(x,y),(1)

Vrednosti argumentov x in y, ki ustrezajo dejanskim vrednostim funkcije z, se upoštevajo sprejemljivo, in se imenuje množica vseh dopustnih parov vrednosti x in y domena definicije funkcije dveh spremenljivk.

Za funkcijo več spremenljivk, v nasprotju s funkcijo ene spremenljivke, so njeni koncepti zasebni prirastki za vsakega izmed argumentov in konceptov polni prirastek.

Delni prirastek Δ x z funkcije z=f (x,y) z argumentom x je prirastek, ki ga ta funkcija prejme, če se njen argument x poveča Δx s stalnim l:

Δ x z = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Delni prirastek Δ y z funkcije z= f (x, y) nad argumentom y je prirastek, ki ga ta funkcija prejme, če njen argument y prejme prirastek Δy z nespremenjenim x:

Δ y z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Polni prirastek Δz funkcije z=f(x,y) z argumentom x in l je prirastek, ki ga prejme funkcija, če oba njena argumenta prejmeta prirastke:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Za dovolj majhne korake Δx in Δy argumenti funkcije

obstaja približna enakost:

Δz Δ x z + Δ y z , (5)

in manjši kot je, natančnejši je Δx in Δy.

Parcialni odvodi funkcije dveh spremenljivk

Delni odvod funkcije z=f (x, y) glede na argument x v točki (x, y) imenovana meja razmerja delnega povečanja Δ x z to funkcijo na ustrezen inkrement Δx argument x pri prizadevanju Δx na 0 in pod pogojem, da ta omejitev obstaja:

, (6)

Podobno določimo odvod funkcije z=f(x,y) z argumentom y:

Poleg navedenega zapisa so funkcije delnega odvoda označene tudi z z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Glavni pomen delne izpeljanke je naslednji: delni odvod funkcije več spremenljivk glede na katerega koli od njenih argumentov označuje hitrost spremembe te funkcije, ko se ta argument spremeni.

Pri izračunu delnega odvoda funkcije več spremenljivk glede na kateri koli argument se vsi drugi argumenti te funkcije štejejo za konstantne.

Primer 1. Poiščite delne odvode funkcije

f (x, y) = x 2 + y 3

rešitev. Pri iskanju delnega odvoda te funkcije glede na argument x menimo, da je argument y konstantna vrednost:

;

Pri iskanju delnega odvoda glede na argument y menimo, da je argument x konstantna vrednost:

.

Delni in popolni diferenciali funkcij več spremenljivk

Parcialni diferencial funkcije več spremenljivk, glede na katerega-ali iz njegovih argumentov Produkt delnega odvoda te funkcije glede na dani argument in diferencial tega argumenta se imenuje:

d x z= ,(7)

d y z= (8)

Tukaj d x z in d y z-parcialni diferenciali funkcije z=f(x,y) z argumentom x in l. pri čemer

dx=Δx; dy=Δy, (9)

Poln diferencial funkcijo več spremenljivk imenujemo vsota njenih parcialnih diferencialov:

dz= d x z + d y z, (10)

Primer 2. Poiščimo delne in popolne diferenciale funkcije f (x, y)= x 2 + y 3 .

Ker smo parcialne odvode te funkcije našli v primeru 1, dobimo

d x z= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2 dy

Parcialni diferencial funkcije več spremenljivk glede na vsakega od njenih argumentov je glavni del ustreznega delnega prirastka funkcije.

Kot rezultat lahko zapišemo:

Δ x z d x z, Δ y z d y z, (11)

Analitični pomen skupnega diferenciala je, da skupni diferencial funkcije več spremenljivk predstavlja glavni del celotnega prirastka te funkcije.

Tako obstaja približna enakost

Δz dz, (12)

Uporaba skupne razlike v približnih izračunih temelji na uporabi formule (12).

Predstavljajmo si prirastek Δz kot

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

in skupni diferencial je v obliki

Potem dobimo:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Namen dejavnosti učencev pri pouku:

Študent mora vedeti:

1. Definicija funkcije dveh spremenljivk.

2. Pojem delnega in celotnega prirastka funkcije dveh spremenljivk.

3. Določitev parcialnega odvoda funkcije več spremenljivk.

4. Fizični pomen delnega odvoda funkcije več spremenljivk glede na katerega koli od njenih argumentov.

5. Določitev parcialnega diferenciala funkcije več spremenljivk.

6. Določitev totalnega diferenciala funkcije več spremenljivk.

7. Analitični pomen totalnega diferenciala.

Študent mora znati:

1. Poiščite delni in skupni prirastek funkcije dveh spremenljivk.

2. Izračunaj parcialne odvode funkcij več spremenljivk.

3. Poiščite delne in popolne diferenciale funkcije več spremenljivk.

4. V približnih izračunih uporabite skupni diferencial funkcije več spremenljivk.

Teoretični del:

1. Pojem funkcije več spremenljivk.

2. Funkcija dveh spremenljivk. Delni in skupni prirastek funkcije dveh spremenljivk.

3. Parcialni odvod funkcije več spremenljivk.

4. Parcialni diferenciali funkcij več spremenljivk.

5. Popolni diferencial funkcije več spremenljivk.

6. Uporaba totalnega diferenciala funkcije več spremenljivk v približnih izračunih.

Praktični del:

1. Poiščite delne odvode funkcij:

1) ; 4) ;

2) z= e xy+2 x; 5) z= 2tg xe y;

3) z= x 2 sin 2 y; 6) .

4. Definirajte delni odvod funkcije glede na podani argument.

5. Kaj imenujemo delni in totalni diferencial funkcije dveh spremenljivk? Kako sta povezana?

6. Seznam vprašanj za preverjanje končne stopnje znanja:

1. Ali je v splošnem primeru poljubne funkcije več spremenljivk njen skupni prirastek enak vsoti vseh delnih prirastkov?

2. Kaj je glavni pomen delnega odvoda funkcije več spremenljivk glede na katerega koli od njenih argumentov?

3. Kakšen je analitični pomen skupnega diferenciala?

7.Kronograf treninga:

1. Organizacijski trenutek - ​​5 min.

2. Analiza teme – 20 min.

3. Reševanje primerov in nalog - 40 min.

4. Tekoča kontrola znanja -30 min.

5. Povzetek lekcije – 5 min.

8. Seznam izobraževalne literature za lekcijo:

1. Morozov Yu.V. Osnove višje matematike in statistike. M., "Medicina", 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavluškov I.V. in drugi Osnove višje matematike in matematične statistike. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.

3. predavanje FNP, parcialni odvodi, diferencial

Kaj je glavno, kar smo se naučili na zadnjem predavanju?

Spoznali smo, kaj je funkcija več spremenljivk z argumentom iz evklidskega prostora. Preučevali smo, kaj sta limit in kontinuiteta za takšno funkcijo

Kaj se bomo naučili na tem predavanju?

V nadaljevanju študija FNP-jev bomo preučevali delne odvode in diferenciale za te funkcije. Naučimo se napisati enačbo tangentne ravnine in normale na površino.

Delni odvod, popolni diferencial FNP. Povezava med diferenciabilnostjo funkcije in obstojem parcialnih odvodov

Za funkcijo ene realne spremenljivke smo po študiju tem “Limits” in “Continuity” (Uvod v račun) preučevali odvode in diferenciale funkcije. Pojdimo k obravnavanju podobnih vprašanj za funkcije več spremenljivk. Upoštevajte, da če so vsi argumenti razen enega določeni v FNP, potem FNP ustvari funkcijo enega argumenta, za katerega je mogoče upoštevati prirast, diferencial in odvod. Imenovali jih bomo delni prirastek, delni diferencial in delni odvod. Pojdimo k natančnim definicijam.

Opredelitev 10. Naj bo podana funkcija spremenljivk, kjer je - element evklidskega prostora in ustrezni prirastki argumentov , ,…, . Ko se vrednosti imenujejo delni prirastki funkcije. Skupni prirastek funkcije je količina.

Na primer, za funkcijo dveh spremenljivk, kjer je točka na ravnini in , ustrezni prirastki argumentov, bodo delni prirastki , . V tem primeru je vrednost skupni prirastek funkcije dveh spremenljivk.

Opredelitev 11. Parcialni odvod funkcije spremenljivk nad spremenljivko je meja razmerja med delnim prirastkom funkcije nad to spremenljivko in prirastkom ustreznega argumenta, ko teži k 0.

Zapišimo definicijo 11 kot formulo ali v razširjeni obliki. (2) Za funkcijo dveh spremenljivk bomo definicijo 11 zapisali v obliki formul , . S praktičnega vidika ta definicija pomeni, da so pri izračunu delnega odvoda glede na eno spremenljivko vse druge spremenljivke fiksne in to funkcijo obravnavamo kot funkcijo ene izbrane spremenljivke. Navadni derivat je vzet glede na to spremenljivko.

Primer 4. Za funkcijo kjer poiščite delne odvode in točko, v kateri sta oba delna odvoda enaka 0.

rešitev . Izračunajmo delne odvode in zapišimo sistem v obliki Rešitev tega sistema sta dve točki in .

Poglejmo zdaj, kako se koncept diferenciala posploši na FNP. Spomnimo se, da se funkcija ene spremenljivke imenuje diferenciabilna, če je njen prirastek predstavljen v obliki , količina pa je glavni del prirastka funkcije in se imenuje njen diferencial. Količina je funkcija , ima lastnost, da , to je, da je funkcija infinitezimalna v primerjavi z . Funkcija ene spremenljivke je diferenciabilna v točki, če in samo če ima v tej točki odvod. Poleg tega je konstanta in enaka temu odvodu, tj. formula velja za diferencial.

Če upoštevamo delni prirastek FNP, se spremeni le eden od argumentov in ta delni prirastek lahko obravnavamo kot prirastek funkcije ene spremenljivke, tj. ista teorija deluje. Zato je pogoj diferenciabilnosti velja, če in samo če parcialni odvod obstaja, v tem primeru je parcialni diferencial podan z .

Kolikšen je skupni diferencial funkcije več spremenljivk?

Opredelitev 12. Funkcija spremenljivke imenovan diferencibilen v točki , če je njegov prirastek predstavljen v obliki . V tem primeru se glavni del prirastka imenuje diferencial FNP.

Torej je razlika FNP vrednost. Naj pojasnimo, kaj mislimo s količino , ki ga bomo imenovali infinitezimalni v primerjavi s prirastki argumentov . To je funkcija, ki ima lastnost, da če so vsi prirastki razen enega enaki 0, potem je enakost resnična . V bistvu to pomeni, da = = + +…+ .

Kako so med seboj povezani pogoji za diferenciabilnost FNP in pogoji za obstoj parcialnih odvodov te funkcije?

1. izrek. Če je funkcija spremenljivk diferenciabilna v točki , potem ima delne odvode glede na vse spremenljivke na tej točki in ob istem času.

Dokaz. Enakost za in zapišemo v obliki in obe strani dobljene enakosti delimo z . V nastalo enakost pojdimo do meje pri . Kot rezultat dobimo zahtevano enakost. Izrek je dokazan.

Posledica. Diferencial funkcije spremenljivk se izračuna z uporabo formule . (3)

V primeru 4 je bil diferencial funkcije enak . Upoštevajte, da je enak diferencial v točki enak . Če pa ga izračunamo v točki s prirastki , , potem bo razlika enaka . Upoštevajte, da je natančna vrednost dane funkcije v točki enaka , vendar je ista vrednost, približno izračunana z uporabo 1. diferenciala, enaka . Vidimo, da lahko z zamenjavo prirastka funkcije z njenim diferencialom približno izračunamo vrednosti funkcije.

Ali bo funkcija več spremenljivk diferenciabilna v točki, če ima v tej točki delne odvode? Za razliko od funkcije ene spremenljivke je odgovor na to vprašanje negativen. Natančna formulacija razmerja je podana z naslednjim izrekom.

2. izrek. Če je funkcija spremenljivk v točki obstajajo zvezni delni odvodi glede na vse spremenljivke, potem je funkcija na tej točki diferenciabilna.

kot . V vsakem oklepaju se spremeni le ena spremenljivka, tako da lahko uporabimo Lagrangeovo formulo končnega prirastka v obeh. Bistvo te formule je, da je za zvezno diferencialno funkcijo ene spremenljivke razlika v vrednostih funkcije na dveh točkah enaka vrednosti derivata na neki vmesni točki, pomnoženi z razdaljo med točkama. Če to formulo uporabimo za vsakega od oklepajev, dobimo . Zaradi kontinuitete delnih odvodov se odvod v točki in odvod v točki razlikujeta od odvodov v točki za količine in , ki se nagibajo k 0 kot , nagibajo k 0. Ampak potem, očitno, . Izrek je dokazan. , in koordinata. Preverite, ali ta točka pripada površini. Zapiši enačbo tangentne ravnine in enačbo normale na površino na označeni točki.

rešitev. Res,. V zadnjem predavanju smo že izračunali diferencial te funkcije v poljubni točki, v dani točki je enak . Posledično bo enačba tangentne ravnine zapisana v obliki ali , enačba normale pa v obliki .

Linearizacija funkcije. Tangentna ravnina in normala na površino.

Odvodi in diferenciali višjih redov.

1. Delni odvodi FNP *)

Upoštevajte funkcijo in = f(P), РÎDÌR n ali, kar je isto,

in = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Popravimo vrednosti spremenljivk X 2 , ..., x n, in spremenljivko X 1 dajmo prirastek D X 1. Nato funkcija in bo prejel prirastek, določen z enakostjo

= f (X 1 +D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Ta prirastek se imenuje zasebni prirastek funkcije in po spremenljivki X 1 .

Opredelitev 7.1. Funkcija delnega odvoda in = f(X 1 , X 2 , ..., x n) po spremenljivki X 1 je meja razmerja med delnim prirastkom funkcije in prirastkom argumenta D X 1 pri D X 1 ® 0 (če ta meja obstaja).

Delni odvod glede na X 1 znakov

Tako po definiciji

Podobno se določijo delni odvodi glede na druge spremenljivke X 2 , ..., x n. Iz definicije je razvidno, da je delni odvod funkcije glede na spremenljivko x i je običajni odvod funkcije ene spremenljivke x i, ko druge spremenljivke veljajo za konstante. Zato lahko vsa predhodno preučena pravila in diferenciacijske formule uporabimo za iskanje odvoda funkcije več spremenljivk.

Na primer za funkcijo u = x 3 + 3xy – z 2 imamo

Torej, če je funkcija več spremenljivk eksplicitno podana, potem se vprašanja obstoja in iskanja njenih delnih odvodov zmanjšajo na ustrezna vprašanja o funkciji ene spremenljivke - tiste, za katero je treba določiti odvod.

Oglejmo si implicitno definirano funkcijo. Naj velja enačba F( x, l) = 0 definira implicitno funkcijo ene spremenljivke X. Pošteno

Izrek 7.1.

Naj bo F( x 0 , l 0) = 0 in funkcije F( x, l), F¢ X(x, l), F¢ pri(x, l) so zvezni v neki okolici točke ( X 0 , pri 0) in F¢ pri(x 0 , l 0) ¹ 0. Potem funkcija pri, implicitno podana z enačbo F( x, l) = 0, ima v točki ( x 0 , l 0) derivat, ki je enak

.

Če so pogoji izreka izpolnjeni na kateri koli točki območja DÌ R 2, potem je na vsaki točki tega območja .

Na primer za funkcijo X 3 –2pri 4 + vau+ 1 = 0 najdemo

Naj bo zdaj enačba F( x, l, z) = 0 definira implicitno funkcijo dveh spremenljivk. Poiščimo in. Od izračuna izpeljanke glede na X proizvedeno pri fiksni (konstantni) pri, potem pod temi pogoji velja enakost F( x, l=const, z) = 0 določa z kot funkcija ene spremenljivke X in po izreku 7.1 dobimo

.

Prav tako .

Torej za funkcijo dveh spremenljivk, ki jo implicitno poda enačba , delne odvode najdemo z uporabo formul: ,

Za poenostavitev zapisa in podajanja gradiva se bomo omejili na primer funkcij dveh spremenljivk. Vse, kar sledi, velja tudi za funkcije poljubnega števila spremenljivk.

Opredelitev. Delni derivat funkcije z = f(x, y) z neodvisno spremenljivko X imenovana izpeljanka

izračunano pri konstanti pri.

Podobno se določi delni odvod glede na spremenljivko pri.

Za delne odvode veljajo običajna pravila in formule diferenciacije.

Opredelitev. Produkt delnega odvoda in prirastka argumenta X(y) se imenuje delni diferencial po spremenljivki X(pri) funkcije dveh spremenljivk z = f(x, y) (simbol: ):

Če pod diferencialom neodvisne spremenljivke dx(dy) razumejo prirastek X(pri), to

Za funkcijo z = f(x, y) ugotovimo geometrijski pomen njegovih frekvenčnih odvodov in .

Upoštevajte bistvo, bistvo p 0 (X 0 ,l 0 , z 0) na površini z = f(x,pri) in krivuljo L, ki ga dobimo z rezanjem površine z ravnino y = y 0 . To krivuljo si lahko ogledate kot graf funkcije ene spremenljivke z = f(x, y) v letalu y = y 0 . Če se drži na točki R 0 (X 0 , y 0 , z 0) tangenta na krivuljo L, torej glede na geometrijski pomen odvoda funkcije ene spremenljivke , Kje a – kot, ki ga tvori tangenta s pozitivno smerjo osi Oh.

ali: Podobno popravimo še eno spremenljivko, tj. naredimo prerez površine z = f(x, y) letalo x = x 0 . Nato funkcija

z = f(x 0 , y) lahko obravnavamo kot funkcijo ene spremenljivke pri:

Kje b– kot, ki ga tvori tangenta v točki M 0 (X 0 , y 0) s pozitivno smerjo osi Oj(slika 1.2).

riž. 1.2. Ponazoritev geometrijskega pomena delnih odvodov

Primer 1.6. Glede na funkcijo z = x 2 – 3xy – 4pri 2 – x + 2y + 1. Poišči in .

rešitev. Ob upoštevanju pri kot konstanto dobimo

Štetje X stalnica, ugotovimo

Delni derivat funkcije z = f(x, y s spremenljivko x Odvod te funkcije pri konstantni vrednosti spremenljivke y imenujemo, označimo z ali z" x.

Delni derivat funkcije z = f(x, y) po spremenljivki y se imenuje odvod glede na y pri konstantni vrednosti spremenljivke y; označena je ali z" y.

Delni odvod funkcije več spremenljivk glede na eno spremenljivko je opredeljen kot odvod te funkcije glede na ustrezno spremenljivko, pod pogojem, da ostale spremenljivke ostanejo konstantne.

Poln diferencial funkcija z = f(x, y) v neki točki M(X, y) se imenuje izraz

,

Kjer sta in izračunana v točki M(x, y) in dx = , dy = y.

Primer 1

Izračunajte skupni diferencial funkcije.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 v točki M(1; 2)

rešitev:

1) Poiščite delne odvode:

2) Izračunajte vrednost parcialnih odvodov v točki M(1; 2)

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Vprašanja za samokontrolo:

1. Kaj imenujemo antiderivat? Naštej lastnosti antiizpeljave.

2. Kaj imenujemo nedoločen integral?

3. Naštej lastnosti nedoločenega integrala.

4. Naštejte osnovne integracijske formule.

5. Katere metode integracije poznate?

6. Kaj je bistvo Newton–Leibnizove formule?

7. Podajte definicijo določenega integrala.

8. Kaj je bistvo izračuna določenega integrala z metodo substitucije?

9. Kaj je bistvo metode računanja določenega integrala po delih?

10. Katero funkcijo imenujemo funkcija dveh spremenljivk? Kako je označen?

11. Katero funkcijo imenujemo funkcija treh spremenljivk?

12. Katero množico imenujemo domena definicije funkcije?

13. S katerimi neenačbami lahko definiramo zaprto območje D na ravnini?

14. Kakšen je delni odvod funkcije z = f(x, y) glede na spremenljivko x? Kako je označen?

15. Kakšen je delni odvod funkcije z = f(x, y) glede na spremenljivko y? Kako je označen?

16. Kateri izraz se imenuje totalni diferencial funkcije

Tema 1.2 Navadne diferencialne enačbe.

Problemi, ki vodijo do diferencialnih enačb. Diferencialne enačbe z ločljivimi spremenljivkami. Splošne in posebne rešitve. Homogene diferencialne enačbe prvega reda. Linearne homogene enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti.

Praktična lekcija št. 7 "Iskanje splošnih in posebnih rešitev diferencialnih enačb z ločljivimi spremenljivkami"*

Praktična lekcija št. 8 "Linearne in homogene diferencialne enačbe"

Praktična lekcija št. 9 “Reševanje diferencialnih enačb 2. reda s konstantnimi koeficienti”*

L4, poglavje 15, str. 243 – 256

Smernice