Selv om denne forbindelsen ved første øyekast virker helt uopplagt (det ser ut til at vitenskapelig matematikk er én ting, og økonomi og finans er noe helt annet), men når du først studerer historien til "oppdagelsen" av dette tallet, blir alt åpenbart. Faktisk, uansett hvordan vitenskapene er delt inn i forskjellige tilsynelatende urelaterte grener, vil det generelle paradigmet fortsatt være det samme (spesielt for forbrukersamfunnet - "forbruker" matematikk).

La oss starte med en definisjon. e er grunnlaget for den naturlige logaritmen, en matematisk konstant, et irrasjonelt og transcendentalt tall. Noen ganger kalles tallet e Euler-nummeret eller Napier-nummeret. Angitt med den små latinske bokstaven "e".

Siden eksponentialfunksjonen e^x er integrert og differensiert "i seg selv", aksepteres logaritmer basert på basen e som naturlige (selv om selve navnet på "naturlighet" burde være i stor tvil, fordi all matematikk i hovedsak er basert på kunstig oppfunnet de, skilt fra naturens fiktive prinsipper, og ikke i det hele tatt på naturlige).

Dette nummeret kalles noen ganger Nepier til ære for den skotske forskeren Napier, forfatter av verket "Description of the Amazing Table of Logarithms" (1614). Dette navnet er imidlertid ikke helt korrekt, siden Napier ikke direkte brukte selve nummeret.

Konstanten vises først stilltiende i et vedlegg til den engelske oversettelsen av Napiers ovennevnte verk, utgitt i 1618. Bak kulissene, fordi den inneholder bare en tabell med naturlige logaritmer bestemt fra KINEMATISKE betraktninger, men selve konstanten er ikke til stede.

Selve konstanten ble først beregnet av den sveitsiske matematikeren Bernoulli (ifølge den offisielle versjonen i 1690) mens han løste problemet med den begrensende verdien av RENTEINNTEKTER. Han fant ut at hvis det opprinnelige beløpet var $1 (valutaen er helt uviktig) og sammensatt 100 % per år en gang på slutten av året, ville det endelige beløpet være $2. Men hvis den samme renten sammensettes to ganger i året, multipliseres $1 med 1,5 to ganger, noe som resulterer i $1,00 x 1,5² = $2,25. Kvartalssammensatte renter gir USD 1,00 x 1,254 = USD 2,44140625, og så videre. Bernoulli viste at hvis frekvensen for renteberegning ØKER UENDELIG, så har renteinntektene ved rentesammensatte en grense - og denne grensen er lik 2,71828...

$1,00×(1+1/12)12 = $2,613035…

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - i grensen tallet e

Dermed betyr tallet e faktisk historisk maksimalt mulig ÅRLIG RESULTAT på 100 % per år og maksimal frekvens av rentekapitalisering. Og hva har universets lover med det å gjøre? Tallet e er en av de viktige byggesteinene i grunnlaget for den monetære økonomien av lånerenter i et forbrukersamfunn, hvor all matematikken som brukes i dag, helt fra begynnelsen, selv på det mentalfilosofiske nivået, ble justert og skjerpet i flere århundrer. siden.

Den første kjente bruken av denne konstanten, der den ble betegnet med bokstaven b, vises i Leibniz' brev til Huygens, 1690-1691.

Euler begynte å bruke bokstaven e i 1727, den vises først i et brev fra Euler til den tyske matematikeren Goldbach datert 25. november 1731, og den første publikasjonen med dette brevet var hans verk "Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically ", 1736. Følgelig kalles e vanligvis Euler-nummeret. Selv om noen forskere senere brukte bokstaven c, ble bokstaven e brukt oftere og er standardbetegnelsen i dag.

Det er ikke kjent nøyaktig hvorfor bokstaven e ble valgt. Kanskje dette skyldes det faktum at ordet eksponentiell ("indikativ", "eksponentiell") begynner med det. Et annet forslag er at bokstavene a, b, c og d allerede var i ganske vanlig bruk til andre formål, og e var den første "frie" bokstaven. Det er også bemerkelsesverdig at bokstaven e er den første bokstaven i etternavnet Euler.

Men uansett, å si at tallet e på en eller annen måte forholder seg til universets og naturens universelle lover, er rett og slett absurd. Dette tallet, ved selve konseptet, var opprinnelig knyttet til kreditt- og finanssystemet, og spesielt gjennom dette tallet (men ikke bare) påvirket ideologien til kreditt- og finanssystemet indirekte dannelsen og utviklingen av all annen matematikk, og gjennom det alle andre vitenskaper (tross alt, uten unntak, beregner vitenskapen noe ved å bruke reglene og tilnærmingene til matematikk). Tallet e spiller en viktig rolle i differensial- og integralregning, som gjennom det faktisk også henger sammen med ideologien og filosofien om å maksimere renteinntektene (man kan til og med si det henger underbevisst sammen). Hvordan er den naturlige logaritmen relatert? Etableringen av e som en konstant (sammen med alt annet) førte til dannelsen av implisitte sammenhenger i tenkningen, ifølge hvilke all eksisterende matematikk rett og slett ikke kan eksistere isolert fra pengesystemet! Og i dette lyset er det slett ikke overraskende at de gamle slaverne (og ikke bare dem) klarte seg perfekt uten konstanter, irrasjonelle og transcendentale tall, og til og med uten tall og tall generelt (bokstaver fungerte som tall i eldgamle tider), annen logikk, annen tenkning i systemet i fravær av penger (og derfor alt som er forbundet med det) gjør alt det ovennevnte rett og slett unødvendig.

Å beskrive e som "en konstant tilnærmet lik 2,71828..." er som å kalle pi "et irrasjonelt tall tilnærmet lik 3,1415...". Dette er utvilsomt sant, men poenget unngår oss likevel.

Pi er forholdet mellom omkretsen og diameteren, det samme for alle sirkler. Det er en grunnleggende andel felles for alle sirkler og er derfor involvert i å beregne omkrets, areal, volum og overflateareal for sirkler, kuler, sylindre, etc. Pi viser at alle sirkler er relatert, for ikke å nevne de trigonometriske funksjonene som er avledet fra sirkler (sinus, cosinus, tangens).

Tallet e er det grunnleggende vekstforholdet for alle kontinuerlig voksende prosesser. e-tallet lar deg ta en enkel vekstrate (hvor forskjellen bare er synlig på slutten av året) og beregne komponentene i denne indikatoren, normal vekst, der alt vokser litt for hvert nanosekund (eller enda raskere). mer.

Tallet e er involvert i både eksponentielle og konstante vekstsystemer: befolkning, radioaktivt forfall, prosentberegning og mange, mange andre. Selv trinnsystemer som ikke vokser jevnt kan tilnærmes ved å bruke tallet e.

Akkurat som et hvilket som helst tall kan betraktes som en "skalert" versjon av 1 (grunnenheten), kan enhver sirkel betraktes som en "skalert" versjon av enhetssirkelen (med radius 1). Og enhver vekstfaktor kan sees på som en "skalert" versjon av e ("enhetsvekstfaktoren").

Så tallet e er ikke et tilfeldig tall tatt tilfeldig. Tallet e legemliggjør ideen om at alle kontinuerlig voksende systemer er skalerte versjoner av samme metrikk.

Begrepet eksponentiell vekst

La oss starte med å se på det grunnleggende systemet som dobler for en viss tidsperiode. For eksempel:

• Bakterier deler seg og "dobler" i antall hver 24. time
• Vi får dobbelt så mange nudler hvis vi deler dem i to
• Pengene dine dobles hvert år hvis du tjener 100 % (heldig!)

Og det ser omtrent slik ut:

Å dele på to eller doble er en veldig enkel progresjon. Selvfølgelig kan vi tredoble eller firedoble, men dobling er mer praktisk for forklaring.

Matematisk, hvis vi har x-divisjoner, ender vi opp med 2^x ganger mer god enn vi startet med. Hvis det bare lages 1 partisjon, får vi 2^1 ganger mer. Hvis det er 4 partisjoner, får vi 2^4=16 deler. Den generelle formelen ser slik ut:

høyde= 2 x

En dobling er med andre ord en 100 % økning. Vi kan omskrive denne formelen slik:

høyde= (1+100%) x

Dette er den samme likheten, vi delte bare "2" inn i komponentene, som i hovedsak er dette tallet: startverdien (1) pluss 100%. Smart, ikke sant?

Selvfølgelig kan vi erstatte et hvilket som helst annet tall (50%, 25%, 200%) i stedet for 100% og få vekstformelen for denne nye koeffisienten. Den generelle formelen for x perioder av tidsserien vil være:

høyde = (1+vekst) x

Dette betyr ganske enkelt at vi bruker returraten, (1 + gevinst), "x" ganger på rad.

La oss ta en nærmere titt

Formelen vår antar at veksten skjer i diskrete trinn. Bakteriene våre venter og venter, og så bam!, og i siste liten dobles de i antall. Vår fortjeneste på renter på innskuddet vises på magisk vis nøyaktig etter 1 år. Basert på formelen skrevet ovenfor, vokser fortjenesten i trinn. Grønne prikker vises plutselig.

Men verden er ikke alltid slik. Hvis vi zoomer inn, kan vi se at bakterievennene våre hele tiden deler seg:

Den grønne karen oppstår ikke av ingenting: han vokser sakte ut av den blå forelderen. Etter 1 periode (24 timer i vårt tilfelle) er den grønne vennen allerede helt moden. Etter å ha blitt modnet, blir han et fullverdig blått medlem av flokken og kan selv lage nye grønne celler.

Vil denne informasjonen endre ligningen vår på noen måte?

Nei. Når det gjelder bakterier, kan halvformede grønne celler fortsatt ikke gjøre noe før de vokser opp og skiller seg helt fra sine blå foreldre. Så ligningen er riktig.

Før vi introduserer konseptet med en naturlig logaritme, la oss vurdere konseptet med et konstant tall $e$.

Nummer $e$

Definisjon 1

Nummer $e$ er en matematisk konstant som er et transcendentalt tall og er lik $e\approx 2,718281828459045\ldots$.

Definisjon 2

Transcendent er et tall som ikke er roten til et polynom med heltallskoeffisienter.

Merknad 1

Den siste formelen beskriver andre fantastiske grensen.

Tallet e kalles også Euler-tall, og noen ganger Napier tall.

Notat 2

For å huske de første sifrene i tallet $е$ brukes ofte følgende uttrykk: "$2$, $7$, to ganger Leo Tolstoy". Selvfølgelig, for å kunne bruke det, er det nødvendig å huske at Leo Tolstoy ble født i $1828$. Det er disse tallene som gjentas to ganger i verdien av tallet $e$ etter heltallsdelen $2$ og desimaldelen $7$.

Vi begynte å vurdere konseptet med tallet $e$ når vi studerte den naturlige logaritmen nettopp fordi det er i bunnen av logaritmen $\log_(e)⁡a$, som vanligvis kalles naturlig og skriv det på formen $\ln ⁡a$.

Naturlig logaritme

Ofte, i beregninger, brukes logaritmer, hvis basis er tallet $е$.

Definisjon 4

En logaritme med grunntallet $e$ kalles naturlig.

De. den naturlige logaritmen kan betegnes som $\log_(e)⁡a$, men i matematikk er det vanlig å bruke notasjonen $\ln ⁡a$.

Egenskaper til den naturlige logaritmen

Fordi logaritmen til en hvilken som helst base av enhet er lik $0$, så er den naturlige logaritmen av enhet lik $0$:

Den naturlige logaritmen til tallet $е$ er lik én:

Den naturlige logaritmen til produktet av to tall er lik summen av de naturlige logaritmene til disse tallene:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Den naturlige logaritmen til kvotienten til to tall er lik forskjellen mellom de naturlige logaritmene til disse tallene:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Den naturlige logaritmen til en potens av et tall kan representeres som produktet av eksponenten og den naturlige logaritmen til det sublogaritmiske tallet:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Eksempel 1

Forenkle uttrykket $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

Løsning.

La oss bruke egenskapen til produktlogaritmen på den første logaritmen i telleren og nevneren, og egenskapen til potenslogaritmen på den andre logaritmen til telleren og nevneren:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln⁡5+\ln⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

La oss åpne parentesene og presentere lignende vilkår, og også bruke egenskapen $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

Svar: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

Eksempel 2

Finn verdien til uttrykket $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.

Løsning.

La oss bruke formelen for summen av logaritmer:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Svar: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

Eksempel 3

Beregn verdien av det logaritmiske uttrykket $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$.

Løsning.

La oss bruke egenskapen til logaritmen til en potens:

$2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= $13.

Svar: $2 \lg ⁡0.1+3 \ln e^5=13$.

Eksempel 4

Forenkle det logaritmiske uttrykket $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

Vi bruker på den første logaritmen egenskapen til logaritmen til kvotienten:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

La oss åpne parentesene og presentere lignende termer:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Svar: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

Hver av funksjonene E tester den angitte verdien og returnerer TRUE eller FALSE avhengig av resultatet. For eksempel funksjonen TØMME returnerer den boolske verdien TRUE hvis verdien som testes er en referanse til en tom celle; ellers returneres den boolske verdien FALSE.

Funksjoner E brukes til å innhente informasjon om en verdi før du utfører en beregning eller annen handling på den. For eksempel, for å utføre en annen handling når det oppstår en feil, kan du bruke funksjonen FEIL i kombinasjon med funksjonen HVIS:

= HVIS( FEIL(A1); "Det har oppstått en feil."; A1*2)

Denne formelen ser etter en feil i celle A1. Når det oppstår en feil, vil funksjonen HVIS returnerer meldingen "En feil oppstod." Hvis det ikke er noen feil, funksjonen HVIS beregner produktet A1*2.

Syntaks

EMPTY(verdi)

EOS(verdi)

FEIL(verdi)

ELOGISK(verdi)

UNM(verdi)

NETTEKST(verdi)

ETEXT(verdi)

funksjonsargument E er beskrevet nedenfor.

betydning Nødvendig argument. Verdien som kontrolleres. Verdien til dette argumentet kan være en tom celle, en feilverdi, en boolsk verdi, tekst, et tall, en referanse til noen av de oppførte objektene, eller navnet på et slikt objekt.

Funksjon	Returnerer TRUE hvis
	Verdi-argumentet refererer til en tom celle
	Verdi-argumentet refererer til en annen feilverdi enn #N/A
	Verdi-argumentet refererer til enhver feilverdi (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME? eller #EMPTY!)
	Verdi-argumentet refererer til en boolsk verdi
	Verdi-argumentet refererer til #N/A-feilverdien (verdi ikke tilgjengelig)
ENETEXT	Verdi-argumentet refererer til ethvert element som ikke er tekst. (Merk at funksjonen returnerer TRUE hvis argumentet refererer til en tom celle.)
	Verdi-argumentet refererer til et tall
	Verdiargumentet refererer til teksten

Notater

Argumenter i funksjoner E er ikke konvertert. Eventuelle tall i anførselstegn behandles som tekst. For eksempel, i de fleste andre funksjoner som krever et numerisk argument, tekstverdi"19" konverterer til tallet 19. Men i formelen ISNUMBER("19") denne verdien konverteres ikke fra tekst til tall, og funksjonen ISNUMBER returnerer FALSE.

Bruke funksjoner E Det er praktisk å sjekke resultatene av beregninger i formler. Ved å kombinere disse funksjonene med funksjonen HVIS, kan du finne feil i formler (se eksempler nedenfor).

Eksempler

Eksempel 1

Kopier eksempeldataene fra følgende tabell og lim dem inn i celle A1 i et nytt Excel-regneark. For å vise resultatene av formler, velg dem og trykk F2, og trykk deretter Enter. Om nødvendig endrer du bredden på kolonnene for å se alle dataene.

Kopier eksempeldataene fra tabellen nedenfor og lim dem inn i celle A1 i et nytt Excel-regneark. For å vise resultatene av formler, velg dem og trykk F2, og trykk deretter Enter. Om nødvendig endrer du bredden på kolonnene for å se alle dataene.

Data
Formel	Beskrivelse	Resultat
TOM(A2)	Sjekker om celle C2 er tom
FEIL(A4)	Sjekker om verdien i celle A4 (#REF!) er en feilverdi
	Sjekker om verdien i celle A4 (#REF!) er feilverdien #N/A
	Sjekker om verdien i celle A6 (#N/A) er feilverdien #N/A
	Sjekker om verdien i celle A6 (#N/A) er en feilverdi
ISNUMBER(A5)	Tester om verdien i celle A5 (330.92) er et tall
ETEXT(A3)	Sjekker om verdien i celle A3 ("Region1") er tekst

y (x) = e x, hvis deriverte er lik selve funksjonen.

Eksponenten er betegnet som , eller .

Nummer e

Grunnlaget for eksponentgraden er nummer e. Dette er et irrasjonelt tall. Det er omtrent likt
e ≈ 2,718281828459045...

Tallet e bestemmes gjennom sekvensens grense. Dette er den såkalte andre fantastiske grensen:
.

Tallet e kan også representeres som en serie:
.

Eksponentiell graf

Eksponentiell graf, y = e x .

Grafen viser eksponentialen e til en grad X.
y (x) = e x
Grafen viser at eksponenten øker monotont.

Formler

Grunnformlene er de samme som for eksponentialfunksjonen med basis av grad e.

;
;
;

Uttrykk for en eksponentiell funksjon med en vilkårlig base av grad a til en eksponentiell:
.

Private verdier

La y (x) = e x. Deretter
.

Eksponentegenskaper

Eksponenten har egenskapene til en eksponentiell funksjon med potensbase e > 1 .

Domene, sett med verdier

Eksponent y (x) = e x definert for alle x.
Dets definisjonsdomene:
- ∞ < x + ∞ .
Dens mange betydninger:
0 < y < + ∞ .

Ekstremer, økende, avtagende

Eksponentialen er en monotont økende funksjon, så den har ingen ekstrema. Hovedegenskapene er presentert i tabellen.

Invers funksjon

Den inverse av eksponenten er den naturlige logaritmen.
;
.

Derivert av eksponenten

Derivat e til en grad X lik e til en grad X :
.
Derivert av n-te orden:
.
Utlede formler > > >

Integral

Komplekse tall

Operasjoner med komplekse tall utføres ved hjelp av Eulers formler:
,
hvor er den imaginære enheten:
.

Uttrykk gjennom hyperbolske funksjoner

; ;
.

Uttrykk som bruker trigonometriske funksjoner

; ;
;
.

Power serie utvidelse

Referanser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Håndbok i matematikk for ingeniører og studenter, "Lan", 2009.