I beskrivende geometri betraktes en overflate som et sett av påfølgende posisjoner av en bevegelig linje eller annen overflate i rommet. En linje som beveger seg i rommet og danner en overflate kalles en generatrise. Generatorene kan være rette eller buede. Genererende kurver kan være konstante eller variable, for eksempel endres naturlig.

Den samme overflaten kan i en rekke tilfeller betraktes som dannet av bevegelsene til forskjellige generatriser. For eksempel kan en sirkulær sylinder dannes: for det første ved å rotere en rett linje i forhold til en fast akse parallelt med generatrisen; for det andre, ved bevegelsen av en sirkel, hvis sentrum beveger seg langs en rett linje vinkelrett på sirkelens plan; for det tredje ved den rettlinjede bevegelsen av kulen.

Når du avbilder en overflate i en tegning, vises bare noen av de mange mulige posisjonene til generatrisen. I fig. 8.1 viser overflaten til generatrisen AB. Under bevegelsen forblir generatrisen parallelt med retningen MN og krysser samtidig en eller annen buet linje CDE. Dermed bevegelsen til generatrisen AB ledet i rommet av en linje CDE.

Linjen eller linjene, skjæringspunktet med hvilke er en forutsetning for bevegelsen av generatrisen under dannelsen av overflaten, kalles en guide eller guider.

I fig. 8.2 viser overflaten dannet ved bevegelsen av en rett linje AB langs to føringer - rett O1<⅞ (ABE O Jeg O 2) og romlig kurve F.G.L. ikke kryssende linje O1 0 2.

Noen ganger brukes en linje som en guide langs hvilken et punkt som er karakteristisk for generatrisen beveger seg, men ikke ligger på den, for eksempel sentrum av en sirkel.

Fra de forskjellige formene for generatriser, guider, så vel som mønstrene for dannelse av en spesifikk overflate, velges de som er mest enkle og praktiske for å skildre overflaten i tegningen og løse problemer knyttet til den.

Noen ganger, for å definere en overflate, brukes begrepet "overflatedeterminant", som betyr et sett med uavhengige forhold som unikt definerer overflaten. Blant betingelsene som inngår i determinanten skilles det mellom den geometriske delen (punkter, linjer, flater) og loven (algoritmen) for dannelsen av en overflate av den geometriske delen av determinanten.

La oss vurdere en kort klassifisering av buede overflater tatt i bruk i beskrivende geometri.

Styrte fremkallbare overflater. En flate som kan dannes av en rett linje kalles en lined flate. Hvis en styrt overflate kan utplasseres slik at alle dens punkter er på linje med planet uten skade på overflaten (rivninger eller folder), så kalles den utvikbar. Utvikbare overflater inkluderer bare de styrte overflatene der tilstøtende rettlinjede generatriser er parallelle eller krysser hverandre, eller er tangent til en romlig kurve. Alle andre regjerte og alle ikke-styrte overflater er klassifisert som ikke-utbyggbare overflater.

Utvikbare overflater er sylindriske, koniske, med returribbe eller torso. På en sylindrisk overflate er generatrisene alltid parallelle, guiden er en buet linje. Bildet på tegningen av den sylindriske overflaten som tidligere er vist i rommet (se fig. 8.1) er presentert i fig. 8.3. Spesielle tilfeller er en rett sirkulær sylinder, en skråstilt sirkulær sylinder (se fig. 9.17, en guide er en sirkel, hvis plan er plassert i en vinkel med sylinderens akse og med sentrum på sin akse). For koniske overflater har alle rettlinjede generatriser et felles fikspunkt - et toppunkt, en guide - en hvilken som helst buet linje. Eksempelbilde av en konisk

overflater på tegningen - fig. 8.4, toppunktprojeksjoner G", G", guide C"D"E", C"D"E". Spesialtilfeller - rett sirkulær kjegle, skråstilt sirkulær kjegle - se fig. 10.10, ikke sant. For overflater med returkant eller torso, er de rettlinjede generatrisene tangent til en buet føring.

Styrte overflater som ikke kan utvikles: sylindroid, konoid, hyperbolsk paraboloid (skråplan). En overflate som kalles en sylindroid dannes ved å flytte en rett linje som i alle sine posisjoner forblir parallell med et bestemt gitt plan («parallellismens plan») og skjærer to buede linjer (to guider). En overflate kalt en konoid dannes ved å bevege en rett linje, som i alle sine posisjoner forblir parallell med et visst plan ("parallellismeplan") og skjærer to føringer, hvorav den ene er en kurve og den andre en rett linje (fig. 8.5, se også Fig. 8.2). Parallellismeplanet i fig. 8.5 er planet π1;

guider – kurve med anslag E"G"F", E"G"F", rett linje med anslag O",0",O",0. I det spesielle tilfellet, hvis den buede føringen er en sylindrisk spirallinje med en akse som faller sammen med den rettlinjede føringen, er den resulterende overflaten en spiralformet konoid, diskutert nedenfor. En tegning av en hyperbolsk paraboloid, kalt et skråplan, er vist i fig. 8.6. Dannelsen av denne overflaten kan betraktes som et resultat av bevegelsen av en rettlinjet generatrise langs to føringer - kryssende rette linjer parallelt med et visst parallellitetsplan. I fig. 8.6 parallellismeplan - projeksjonsplan - føringer - rette linjer med projeksjoner M"N", M"N" Og F"G", F"G".

Ikke-styrte overflater. De er delt inn i flater med en konstant generatrise og med en variabel generatrise.

Overflater med en konstant generatrise er på sin side delt inn i omdreiningsflater med en buet generatrise, for eksempel en kule, torus, omdreiningsellipsoide osv., og i sykliske overflater, for eksempel overflatene til buede rør med konstant tverrsnitt, fjærer.

Overflater med variabel generatrise er delt inn i andreordens overflater, sykliske overflater med variabel generatrise og rammeflater. En tegning av en andreordens overflate - en ellipsoide - er vist i fig. 8.7. Generatrisen til ellipsoiden er en deformerbar ellipse. To guider er to kryssende ellipser, hvis plan er ortogonale og en akse er vanlig. Generatrisen skjærer føringene i ytterpunktene til aksene.

Ved bevegelse forblir planet til den genererende ellipsen parallelt med planet som dannes av de to kryssende aksene til styreellipsene.

Sykliske overflater med en variabel generatrise har en generatrise - en sirkel med variabel radius, en guide - en kurve langs hvilken sentrum av generatrisen beveger seg, generatrisens plan er vinkelrett på guiden. Rammeoverflaten er ikke definert av en bevegelig generatrise, men av et visst antall linjer på overflaten.

Vanligvis er slike linjer flate kurver,

hvis plan er parallelle med hverandre. To grupper av slike linjer skjærer hverandre og danner en styrt overflateramme. Skjæringspunktene til linjene danner en punktramme av overflaten. Punktrammen til en overflate kan også spesifiseres av koordinatene til overflatepunkter. Rammeoverflater er mye brukt i konstruksjon av skipsskrog, fly, biler og katodestrålerørsylindere.

Av disse overflatene vil vi vurdere skrueoverflaten mer detaljert.

Overflater av svake og sterke diskontinuiteter (del II, kapittel I, § 4). Brudd i kontinuitet (, §§ 18, 19).

Forhold på overflater med sterk diskontinuitet i materielle medier og i et elektromagnetisk felt (kapittel VII, §§ 4, 5; , § 35). Tangentielle diskontinuiteter og sjokkbølger (, § 18, 19).

Hydrostatikk

Likevekt mellom væske og gass i feltet for potensielle massekrefter. Arkimedes lov. Likevekt og stabilitet av flytende kropper og atmosfæren (VIII § 1; , del I, kapittel III, §§ 1-4, 8).

Bevegelse av en ideell inkompressibel væske

Generell teori om kontinuerlige potensielle bevegelser til en inkompressibel væske (kapittel VIII, § 12). Egenskaper til harmoniske funksjoner (kapittel VIII, § 12). Potensialpolysemi i flerfoldige sammenhengende domener (del I, kapittel I, § 18). Kinematisk problem med vilkårlig bevegelse av et stivt legeme i et ubegrenset volum av en ideell inkompressibel væske (kapittel VIII, § 14). Energi, momentum og vinkelmoment til en væske når et fast legeme beveger seg i den (kapittel VIII, § 15). Bevegelse av en kule i en ideell væske (kapittel VIII, § 13).

Påvirkningskreftene til en ideell væske på en kropp som beveger seg i en ubegrenset masse væske (kapittel VIII, § 16). Grunnleggende om teorien om tilførte masser (kapittel VIII, § 15). D'Alemberts paradoks (kapittel VIII, §§ 8, 16).

Plan bevegelse av en ideell væske. Gjeldende funksjon. Anvendelse av metoder for teorien om analytiske funksjoner til en kompleks variabel for å løse planproblemer innen hydrodynamikk og aerodynamikk (del I, kapittel III, §§ 11-16; , §§ 39, 40). Stasjonær væskestrøm rundt en sylinder og profil (§ 41). Chaplygins formler og Zhukovskys teorem (del I, kapittel VI, §§ 5, 6; , § 44). Regelen til Zhukovsky og Chaplygin for å bestemme sirkulasjonen rundt vinger med en skarp bakkant (Del I, kapittel VI, § 7; , § 41). Ujevn flyt rundt profiler (kapittel I, §§ 1-5).

Flyproblemer på jetvæskestrømmer. Flyt rundt kropper med jetseparasjon. Ordninger av Kirchhoff, Efros og andre (del I, kapittel VI, § 16; , § 47; kapittel V, § 4).

Bestemmelse av hastighetsfeltet fra gitte virvler og kilder (del I, kapittel V, § 11; kapittel VIII, § 26). Bio-Savart-formler. Rettlinjede og ringvirvler (del I, kap. V, §§ 12-15; kap. VIII, § 27). Lover for trykkfordeling, krefter som forårsaker tvungen bevegelse av rettlinjede virvler i en plan strømning (kapittel VIII, § 28).

Redegjørelse av problemstilling og hovedresultater av teorien om en vinge med endelig spenn. Bærelinje og bæreflate (kap. VII, § 27; , § 68).

Uttalelse av Cauchy-Poisson-problemet på bølger på overflaten av en tung, inkompressibel væske (del I, kapittel VIII, §§ 2, 3; , § 24). Harmoniske bølger. Fase- og gruppehastighet. Bølgespredning (del I, kapittel VII, § 8; , § 24; , §§ 11.1, 11.2, 11.4). Energioverføring ved progressive bølger (Del I, kap. VII, §§ 18-19; , § 11.6). Grunnvannsteori (, § 108; , § 13.10). Boussinesq og Korteweg-de-Vries ligninger. Ikke-lineære bølger. Soliton (, §§ 13.11, 13.12; , § 24).

Bevegelse av en viskøs væske. Grenselagsteori.

Turbulens

Laminær bevegelse av en inkompressibel viskøs væske. Couette- og Poiseuille-strømmer (del II, kap. II, §§ 11, 12; kap. VIII, § 21). Strøm av en viskøs væske i en diffusor (kapittel V, §§ 6, 9; Kapittel X, §§ 3, 4; , § 23). Vortexdiffusjon (kapittel VIII, § 30).

Stokes og Oseen-tilnærminger. Problemet med bevegelsen av en kule i en viskøs væske i Stokes-formuleringen (del II, kapittel II, §§ 23, 25; Kapittel VIII, § 20; , § 20).

Laminært grensesjikt (kap. VIII, § 23; kap. VII, § 1). Blasius' problem (kap. VIII, § 24; kap. VII, § 5). Integrerte relasjoner og tilnærmede metoder basert på deres bruk i teorien om laminært grensesjikt (, § 89). Fenomenet grenselagseparasjon (, § 86; , §§ 39, 40; , kap. VII, § 2). Grenselagets stabilitet (, § 41; , kap. XVI, §§ 2, 3). Varmeveksling med strømning basert på grenselagsteori (kapittel VI, § 2; §§ 114-116; kap. XII, §§ 1, 4).

Turbulens (, § 95). Reynolds erfaring. Reynolds ligninger (kapittel VIII, § 22). Turbulent overføring av varme og stoff (, §§ 97, 98). Semi-empiriske teorier om turbulens (, § 98;, kap. XIX, §§ 2-4; (, kap. III, § 4).). Hastighetsprofil i grensesjiktet. Logaritmisk lov (, § 120;, kap. XIX, § 5). Direkte numerisk løsning av væskemekaniske ligninger i nærvær av turbulens ().

I tidligere kapitler har vi kun vurdert strømmer der fordelingen av alle mengder (hastighet, trykk, tetthet osv.) i gassen er kontinuerlig. Det er imidlertid også mulige bevegelser hvor det oppstår diskontinuiteter i fordelingen av disse mengdene.

Diskontinuitet i gassbevegelse oppstår langs noen overflater; Når de passerer gjennom en slik overflate, opplever disse mengdene et hopp. Disse overflatene kalles diskontinuitetsflater. Under ustø gassbevegelse forblir diskontinuitetsflatene generelt sett ikke stasjonære; Det er nødvendig å understreke at bevegelseshastigheten til bruddflaten ikke har noe å gjøre med bevegelseshastigheten til selve gassen. Gasspartikler, når de beveger seg, kan passere gjennom denne overflaten og krysse den.

Visse randbetingelser skal tilfredsstilles på bruddflater.

For å formulere disse betingelsene, vurder et element av diskontinuitetsoverflaten og bruk koordinatsystemet knyttet til dette elementet med aksen rettet normalt til det.

For det første må det være en kontinuerlig strøm av materiale på bruddoverflaten: mengden gass som kommer inn på den ene siden må være lik mengden gass som forlater den andre siden av overflaten. Gasstrømmen gjennom overflateelementet som vurderes (per arealenhet) er derfor lik tilstanden der indeksene 1 og 2 refererer til de to sidene av diskontinuitetsoverflaten.

Nedenfor vil vi betegne forskjellen i verdiene til enhver mengde på begge sider av diskontinuitetsoverflaten ved hjelp av firkantede parenteser; Så,

og den resulterende tilstanden vil bli skrevet i skjemaet

Til slutt må det være en kontinuerlig flyt av momentum, det vil si at kreftene som gassene virker på hverandre med på begge sider av bruddflaten må være like. Momentumfluksen gjennom en enhetsareal er lik (se § 7)

Normalvektoren er rettet langs aksen Derfor fører kontinuiteten til A - komponentene i momentumstrømmen til tilstanden

og kontinuiteten til y- og -komponentene gir

Ligningene (84.1-4) representerer et komplett system av grensebetingelser på diskontinuitetsoverflaten. Fra dem kan vi umiddelbart konkludere med at det er to typer diskontinuitetsflater.

I det første tilfellet er det ingen flyt av materie gjennom diskontinuitetsoverflaten. Dette betyr at Siden er ikke-null, betyr dette at det må være

Betingelsene (84.2) og (84.4) oppfylles automatisk i dette tilfellet, og betingelsen (84.3) gir således, på diskontinuitetsoverflaten i dette tilfellet, er normalhastighetskomponenten og gasstrykket kontinuerlige:

Tangentiale hastigheter og tetthet (så vel som andre termodynamiske størrelser enn trykk) kan oppleve et vilkårlig hopp. Vi vil kalle slike diskontinuiteter tangentielle.

I det andre tilfellet er strømmen av materie, og med den, forskjellig fra null. Så fra (84.1) og (84.4) har vi:

dvs. tangentialhastigheten er kontinuerlig på diskontinuitetsoverflaten. Tetthet, trykk (og derfor andre termodynamiske størrelser) og normal hastighet opplever et hopp, og hoppene i disse størrelsene er relatert til relasjoner (84.1-3). I tilstand (84.2) kan vi, i kraft av (84.1), redusere og i stedet, på grunn av kontinuiteten til v, kan vi skrive v. På diskontinuitetsoverflaten i den aktuelle saken må derfor følgende betingelser foreligge:

Forstyrrelser av denne typen kalles sjokkbølger.

Hvis vi nå går tilbake til det faste koordinatsystemet, må vi i stedet skrive overalt forskjellen mellom gasshastighetskomponenten normal på diskontinuitetsoverflaten og hastigheten til selve overflaten, rettet, per definisjon, langs normalen til den:

Hastighetene og og er tatt i forhold til en fast referanseramme. Hastighet er hastigheten på gassbevegelsen i forhold til overflaten av bruddet; ellers kan vi si at det er en forplantningshastighet av selve bruddflaten i forhold til gassen. Vær oppmerksom på at denne hastigheten er forskjellig med hensyn til gassen på begge sider av overflaten (hvis den opplever et brudd).

Vi tok for oss tangentielle diskontinuiteter der de tangentielle hastighetskomponentene gjennomgår et hopp allerede i § 29. Der ble det vist at i en inkompressibel væske er slike diskontinuiteter ustabile og bør eroderes inn i det turbulente området. En lignende studie for en komprimerbar væske viser at slik ustabilitet også forekommer i det generelle tilfellet med vilkårlige hastigheter (se oppgave 1).

Et spesielt tilfelle av tangentielle diskontinuiteter er diskontinuiteter der hastigheten er kontinuerlig og bare tettheten (og med den andre termodynamiske størrelser unntatt trykk) opplever et hopp; slike hull kalles kontakt. Det som ble sagt ovenfor om ustabilitet gjelder ikke for dem.

Bryte linjer (feil). Denne operasjonen lar deg tegne en strukturlinje som har to merker ved hvert punkt. Denne strukturelle linjen kalles en bruddlinje. Et eksempel på en bruddlinje er en støttemur oggrense(styre, for innbyggere i St. Petersburg - fortauskant :)). Du kan signere doble merker på kantlinjenspesiallag.

Når du kaller opp funksjonen, vises en dialogboks der du må angi de nødvendige parameterne.

Hvis du velger «Ta en fast høydeverdi», angir du en numerisk verdi for høyden.

Når du velger "Ta etter overflate", velg navnet på en eksisterende overflate fra listen.

Brytelinjetype - venstre eller høyre.

Råd. Når avmerkingsboksen "Lagre høydeforskjellsverdi" er valgt, bestemmes topphøyden på denne måten: forskjellsverdien legges til bunnhøyden, og topphøyden blir uredigerbar. Hvis du trenger å redigere den, slå av avmerkingsboksen for forskjeller og slå på avmerkingsboksen for dette merket - det vil bli tilgjengelig for redigering.

Høyde- og differanseverdier kan overvåkes og redigeres i dialogboksen:

Dette vinduet vises etter at programmeldingen "Angi det første punktet eller [Alternativer(P)]:" har spesifisert et punkt.

Den husker hvilken verdi inngangen var i. Neste gang vinduet kalles opp, begynner inntastingen fra det huskede feltet.

Det er mulig å deaktivere et merke som er ukjent - den første kolonnen med avmerkingsbokser.

Når hele bruddlinjen er lagt inn, beregnes ukjente høyder fra kjente høyder, hvis mulig.

Den siste kolonnen med avmerkingsbokser er grunnmerket for omberegning (avmerkingsboksene til venstre gir mening).

Hvis grunnmerket ikke endres, men ett av ikke-grunnmerkene endres, beregnes det andre ikke-grunnmerket på nytt. Og hvis basen er nedre eller øvre og du endrer den, endres den midterste; hvis basen er i midten og du endrer den, endres den øverste som standard.

Hvis du slår av en av avmerkingsboksene i den første kolonnen, går betydningen av grunnmerket tapt.

Det er en rekke alternativknapper som har et hakemerke for førstegangsinntasting. Hvis "Siste" er valgt, foreslås den sist angitte høyden.

En brytelinje er et spesielt objekt, en geon. Den horisontale forskyvningen mellom topp og bunn settes i dialogboksen "Overflateinnstillinger" i kategorien "Breakline Settings" i delen "Ytterligere bruddlinjeparametere" ved å bruke parameteren "Break Line Shift Amount under Construction".

På slutten av tegningen av skjærbruddlinjen vises en bekreftelsesforespørsel av følgende type:

"Spesifiser den forskjøvede siden av bruddlinjen med en prikk<Линия разрыва (Правая)>eller :".

Brukeren angir enten retningen for forskyvning av strukturlinjen med et punkt (for å gjøre det lettere å komme inn i punktet, vises en gummilinje fra det sist angitte punktet på strukturlinjen til det angitte punktet), eller bekrefter typen forskyvning som er spesifisert innledningsvis (enhver annen inngang).

Ved snapping (for eksempel _Nea), gjøres snappen til bunnen av bruddlinjen.

Følgende funksjoner er lagt til den strukturelle bruddlinjen:

§ mulighet for å knipse til topplinjen,

§ visning av skiftsiden,

§ muligheten til å sette skiftverdien når du konstruerer overflaten (0,01 er tilstrekkelig),

§ med _Explode-kommandoen konverteres den til to geolinjer.

FORelesningsnotater OM MATANALYSE

Funksjoner av flere variabler. Geometrisk representasjon av en funksjon av to variabler. Nivålinjer og overflater. Begrensning og kontinuitet av funksjoner til flere variabler, deres egenskaper. Partielle derivater, deres egenskaper og geometriske betydning.

Definisjon 1.1. Variabel z (med endringsområde Z) kalt funksjon av to uavhengige variabler x,y i overflod M, hvis hvert par ( x,y) fra mange M z fra Z.

Definisjon 1.2. En haug med M, der variablene er spesifisert x,y, kalt domene til funksjonen, og seg selv x,y- henne argumenter.

Betegnelser: z = f(x, y), z = z(x, y).

Eksempler.

Kommentar. Siden et par tall ( x,y) kan betraktes som koordinatene til et bestemt punkt på planet, vil vi deretter bruke begrepet "punkt" for et par argumenter til en funksjon av to variabler, samt for et ordnet sett med tall
, som er argumenter til en funksjon av flere variabler.

Definisjon 1.3. . Variabel z (med endringsområde Z) kalt funksjon av flere uavhengige variabler
i overflod M, hvis hvert sett med tall
fra mange M i henhold til en regel eller lov tildeles én bestemt verdi z fra Z. Begrepene argumenter og domene introduseres på samme måte som for en funksjon av to variabler.

Betegnelser: z = f
,z = z
.

Geometrisk representasjon av en funksjon av to variabler.

Vurder funksjonen

z = f(x, y) , (1.1)

definert på et eller annet område M på O-planet xy. Deretter settet med punkter i tredimensjonalt rom med koordinater ( x, y, z) , hvor , er grafen til en funksjon av to variabler. Siden ligning (1.1) definerer en viss overflate i tredimensjonalt rom, vil det være det geometriske bildet av funksjonen som vurderes.

z = f(x,y)

M y

Kommentar. For en funksjon av tre eller flere variabler vil vi bruke begrepet "overflate inn n-dimensjonalt rom», selv om det er umulig å skildre en slik overflate.

Nivålinjer og overflater.

For en funksjon av to variabler gitt av ligning (1.1), kan vi vurdere et sett med punkter ( x,y) O fly xy, for hvilket z får samme konstante verdi, altså z= konst. Disse punktene danner en linje på planet kalt nivålinje.

Eksempel.

Finn nivålinjene for overflaten z = 4 – x² - y². Ligningene deres ser ut som x² + y² = 4 – c (c=const) – likninger av konsentriske sirkler med et sentrum i origo og med radier
. For eksempel når Med=0 får vi en sirkel x² + y² = 4.

For en funksjon av tre variabler u = u (x, y, z) ligningen u (x, y, z) = c definerer en overflate i tredimensjonalt rom, som kalles jevn overflate.

Eksempel.

For funksjon u = 3x + 5y – 7z–12 plane flater vil være en familie av parallelle plan gitt av ligningene

3x + 5y – 7z –12 + Med = 0.

Begrensning og kontinuitet for en funksjon av flere variabler.

La oss introdusere konseptet δ-nabolag poeng M 0 (X 0 , y 0 ) på O-planet xy som en sirkel med radius δ med sentrum i et gitt punkt. På samme måte kan vi definere et δ-nabolag i tredimensjonalt rom som en kule med radius δ med sentrum i punktet M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) . Til n-dimensjonalt rom vil vi kalle δ-nabolaget til et punkt M 0 sett med poeng M med koordinater
, som tilfredsstiller betingelsen

Hvor
- punktkoordinater M 0 . Noen ganger kalles dette settet en "ball" i n-dimensjonalt rom.

Definisjon 1.4. Tallet A kalles grense funksjoner til flere variabler f
på punktet M 0 hvis

slik at | f(M) – EN| < ε для любой точки M fra δ-nabolaget M 0 .

Betegnelser:
.

Det må tas i betraktning at i dette tilfellet punktet M kan nærme seg M 0, relativt sett, langs en hvilken som helst bane inne i δ-området til punktet M 0 . Derfor bør man skille grensen for en funksjon av flere variabler i generell forstand fra den såkalte gjentatte grenser oppnådd ved påfølgende passasjer til grensen for hvert argument separat.

Eksempler.

Kommentar. Det kan bevises at fra eksistensen av en grense på et gitt punkt i vanlig forstand og eksistensen på dette punktet av grenser for individuelle argumenter, følger eksistensen og likheten av gjentatte grenser. Det motsatte utsagnet er ikke sant.

Definisjon 1.5. Funksjon f
kalt kontinuerlige på punktet M 0
, Hvis
(1.2)

Hvis vi introduserer notasjonen

Den betingelsen (1.2) kan skrives om i skjemaet

(1.3)

Definisjon 1.6. Indre punkt M 0 funksjonsdomene z = f (M) kalt bruddpunkt funksjon hvis betingelsene (1.2), (1.3) ikke er oppfylt på dette tidspunktet.

Kommentar. Mange diskontinuitetspunkter kan dannes på et fly eller i rommet linjer eller bruddflate.