Firkantet matrise EN rekkefølge n du kan sammenligne antallet det EN(eller | EN|, eller ), kalte henne avgjørende faktor , på følgende måte:

Matrisedeterminant EN ringte henne også avgjørende faktor . Regel for beregning av determinanten for ordrematrisen N er ganske vanskelig å forstå og bruke. Det er imidlertid kjent metoder som gjør det mulig å implementere beregning av determinanter av høye ordrer basert på determinanter av lavere ordrer. En av metodene er basert på egenskapen utvidelse av determinanten til elementer i en bestemt serie (egenskap 7). Samtidig gjør vi oppmerksom på at det er tilrådelig å kunne beregne determinanter av lave ordener (1, 2, 3) i henhold til definisjonen.

Beregningen av 2. ordens determinanten er illustrert med diagrammet:

Eksempel 4.1. Finn determinanter for matriser

Ved beregning av 3. ordens determinant er den praktisk å bruke trekantregel (eller Sarrus), som symbolsk kan skrives som følger:

Eksempel 4.2. Regn ut determinanten til en matrise

det EN = 5*1*(-3) + (-2)*(-4)*6 + 3*0*1 — 6*1*1 — 3*(-2)*(-3) — 0*(-4)*5 = -15+48-6-18 = 48-39 = 9.

La oss formulere de grunnleggende egenskapene til determinanter som er iboende i determinanter for alle ordener. Vi vil forklare noen av disse egenskapene ved å bruke tredjeordens determinanter.

Eiendom 1 ("Likhet mellom rader og kolonner"). Determinanten vil ikke endres hvis radene erstattes av kolonner, og omvendt. Med andre ord,

I det følgende vil vi ganske enkelt kalle rader og kolonner rader med determinant .

Eiendom 2 . Når to parallelle serier omorganiseres, skifter determinanten fortegn.

Eiendom 3 . En determinant med to like serier er lik null.

Eiendom 4 . Fellesfaktoren til elementene i en hvilken som helst serie av determinanten kan tas ut av determinantens fortegn.

Fra eiendom 3 og 4 følger det, at hvis alle elementene i en viss serie er proporsjonale med de tilsvarende elementene i en parallell serie, så er en slik determinant lik null.

Egentlig,

Eiendom 5 . Hvis elementene i en rekke av en determinant er summene av to ledd, kan determinanten dekomponeres til summen av to tilsvarende determinanter.

For eksempel,

Eiendom 6. ("Elementære transformasjoner av determinanten"). Determinanten vil ikke endres hvis de tilsvarende elementene i en parallell serie legges til elementene i en serie, multiplisert med et hvilket som helst tall.

Eksempel 4.3. Bevis det

Løsning: Faktisk, ved å bruke egenskapene 5, 4 og 3 vil vi lære

Ytterligere egenskaper til determinanter er relatert til begrepene mindre og algebraisk komplement.

Liten noe element аij avgjørende faktor n- th rekkefølgen kalles determinanten n- 1. orden, hentet fra originalen ved å krysse ut raden og kolonnen i skjæringspunktet for det valgte elementet. Utpekt mij

Algebraisk komplement element aij av en determinant kalles dens mindre, tatt med et plusstegn, hvis summen i+j et partall, og med et minustegn hvis dette beløpet er oddetall. Utpekt Aij:

Eiendom 7 ("Dekomponering av en determinant til elementer i en bestemt serie"). Determinanten er lik summen av produktene til elementene i en viss serie og deres tilsvarende algebraiske komplementer.

Her vil vi skissere de egenskapene som vanligvis brukes til å beregne determinanter i et standardkurs for høyere matematikk. Dette er et hjelpeemne som vi vil referere til fra andre seksjoner etter behov.

Så la en viss kvadratisk matrise $A_(n\ ganger n)=\left(\begin(array) (cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) gis & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \\ \ end( array) \right)$. Hver kvadratisk matrise har en egenskap som kalles en determinant (eller determinant). Jeg skal ikke gå inn på essensen av dette konseptet her. Hvis det krever avklaring, vennligst skriv om det på forumet, så vil jeg komme nærmere inn på denne saken.

Determinanten til matrisen $A$ er betegnet som $\Delta A$, $|A|$ eller $\det A$. Determinant rekkefølge lik antall rader (kolonner) i den.

1. Verdien av determinanten vil ikke endres hvis radene erstattes av de tilsvarende kolonnene, dvs. $\Delta A=\Delta A^T$.

   Vis skjul

   La oss erstatte radene i den med kolonner i henhold til prinsippet: "det var en første rad - det var en første kolonne", "det var en andre rad - det var en andre kolonne":

   La oss beregne den resulterende determinanten: $\left| \begin(array) (cc) 2 & 9 \\ 5 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-9\cdot 5=-37$. Som du kan se, har ikke verdien av determinanten endret seg på grunn av utskiftingen.

2. Hvis du bytter to rader (kolonner) av determinanten, vil fortegnet for determinanten endres til det motsatte.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Tenk på determinanten $\left| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|$. La oss finne verdien ved hjelp av formel nr. 1 fra emnet for beregning av determinanter av andre og tredje orden:

   $$\venstre| \begin(array) (cc) 2 & 5 \\ 9 & 4 \end(array) \right|=2\cdot 4-5\cdot 9=-37.$$

   La oss nå bytte den første og andre linjen. Vi får determinanten $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|$. La oss beregne den resulterende determinanten: $\left| \begin(array) (cc) 9 & 4 \\ 2 & 5 \end(array) \right|=9\cdot 5-4\cdot 2=37$. Så verdien av den opprinnelige determinanten var (-37), og verdien av determinanten med den endrede rekkefølgen er $-(-37)=37$. Tegnet til determinanten har endret seg til det motsatte.

3. En determinant der alle elementene i en rad (kolonne) er lik null er lik null.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Siden i determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|$ alle elementene i den tredje kolonnen er null, deretter determinanten er null, dvs. $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 0\\ 2 & -3 & 0 \end(array) \right|=0$.

4. En determinant der alle elementene i en bestemt rad (kolonne) er lik de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne) er lik null.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Siden i determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|$ alle elementene i den første raden er lik den tilsvarende elementer i den andre raden, så er determinanten lik null, dvs. $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -7 & 10 & 0\\ 2 & -3 & 18 \end(array) \right|=0$.

5. Hvis i en determinant alle elementene i en rad (kolonne) er proporsjonale med de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne), så er en slik determinant lik null.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Siden i determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|$ Den andre og tredje raden er proporsjonale, dvs. $r_3=-3\cdot(r_2)$, så er determinanten lik null, dvs. $\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 28\\ 5 & -3 & 0\\ -15 & 9 & 0 \end(array) \right|=0$.

6. Hvis alle elementene i en rad (kolonne) har en felles faktor, kan denne faktoren tas ut av determinanttegnet.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Tenk på determinanten $\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|$. Legg merke til at alle elementene i den andre raden er delbare med 3:

   $$\venstre| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|$$

   Tallet 3 er den felles faktoren for alle elementene i den andre raden. La oss ta de tre ut av determinanttegnet:

   $$\venstre| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -9 & 21 \end(array) \right|=\left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ 3\cdot(-3) & 3\cdot 7 \end(array) \right|= 3\cdot \left| \begin(array) (cc) -7 & 10 \\ -3 & 7 \end(array) \right| $$

7. Determinanten vil ikke endres hvis vi til alle elementene i en bestemt rad (kolonne) legger til de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne), multiplisert med et vilkårlig tall.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Tenk på determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. La oss legge til elementene i den andre linjen de tilsvarende elementene i den tredje linjen, multiplisert med 5. Denne handlingen er skrevet som følger: $r_2+5\cdot(r_3)$. Den andre linjen vil bli endret, de resterende linjene forblir uendret.

   $$\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right| \begin(array) (l) \phantom(0)\\ r_2+5\cdot(r_3)\\ \phantom(0) \end(array)= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9+5\cdot 2 & 21+5\cdot (-3) & 4+5\cdot 1 \\ 2 & -3 & 1 \end (matrise) \right|= \venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ 1 & 6 & 9 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|. $$

8. Hvis en bestemt rad (kolonne) i en determinant er en lineær kombinasjon av andre rader (kolonner), så er determinanten lik null.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   La meg umiddelbart forklare hva uttrykket "lineær kombinasjon" betyr. La oss ha s rader (eller kolonner): $A_1$, $A_2$,..., $A_s$. Uttrykk

   $$ k_1\cdot A_1+k_2\cdot A_2+\ldots+k_s\cdot A_s, $$

   der $k_i\in R$ kalles en lineær kombinasjon av rader (kolonner) $A_1$, $A_2$,..., $A_s$.

   Tenk for eksempel på følgende determinant:

   $$\venstre| \begin(array) (cccc) -1 & 2 & 3 & 0\\ -2 & -4 & -5 & 1\\ 5 & 0 & 7 & 10 \\ -13 & -8 & -16 & -7 \end(array) \right| $$

   I denne determinanten kan den fjerde raden uttrykkes som en lineær kombinasjon av de tre første radene:

   $$ r_4=2\cdot(r_1)+3\cdot(r_2)-r_3 $$

   Derfor er den aktuelle determinanten lik null.

9. Hvis hvert element i en viss k-te rad (k-te kolonne) av en determinant er lik summen av to ledd, så er en slik determinant lik summen av determinanter, hvorav den første har de første leddene i k-te rad (k-te kolonne), og den andre determinanten den kth rad (k-te kolonne) inneholder de andre leddene. Andre elementer i disse determinantene er de samme.

   Eksempel på bruk av denne egenskapen: show\hide

   Tenk på determinanten $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|$. La oss skrive elementene i den andre kolonnen slik: $\left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|$. Da er en slik determinant lik summen av to determinanter:

   $$\venstre| \begin(array) (ccc) -7 & 10 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3+7 & 0\\ -9 & 21+0 & 4 \\ 2 & 5+(-8) & 1 \end(array) \right|= \left| \begin(array) (ccc) -7 & 3 & 0\\ -9 & 21 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end(array) \right|+ \left| \begin(array) (ccc) -7 & 7 & 0\\ -9 & 0 & 4 \\ 2 & -8 & 1 \end(array) \right| $$

10. Determinanten av produktet av to kvadratiske matriser av samme orden er lik produktet av determinantene til disse matrisene, dvs. $\det(A\cdot B)=\det A\cdot \det B$. Fra denne regelen kan vi få følgende formel: $\det \left(A^n \right)=\left(\det A \right)^n$.
11. Hvis matrisen $A$ er ikke-singular (dvs. dens determinant er ikke lik null), så $\det \left(A^(-1)\right)=\frac(1)(\det A)$.

Formler for beregning av determinanter

For determinanter av andre og tredje orden er følgende formler riktige:

\begin(ligning) \Delta A=\venstre| \begin(array) (cc) a_(11) & a_(12) \\ a_(21) & a_(22) \end(array) \right|=a_(11)\cdot a_(22)-a_( 12)\cdot a_(21) \end(ligning) \begin(equation) \begin(aligned) & \Delta A=\venstre| \begin(array) (ccc) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_(32) & a_(33) \end(array) \right|= a_(11)\cdot a_(22)\cdot a_(33)+a_(12)\cdot a_(23)\cdot a_(31)+a_(21) )\cdot a_(32)\cdot a_(13)-\\ & -a_(13)\cdot a_(22)\cdot a_(31)-a_(12)\cdot a_(21)\cdot a_(33) )-a_(23)\cdot a_(32)\cdot a_(11)\end(aligned)\end(ligning)

Eksempler på bruk av formler (1) og (2) er i emnet "Formler for beregning av determinanter av andre og tredje orden. Eksempler på beregning av determinanter".

Determinanten til matrisen $A_(n\ ganger n)$ kan utvides i den i-te raden ved å bruke følgende formel:

\begin(ligning)\Delta A=\sum\limits_(j=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(i1)A_(i1)+a_(i2)A_(i2)+\ ldots+a_(in)A_(in) \end(ligning)

En analog av denne formelen finnes også for kolonner. Formelen for å utvide determinanten i den jth kolonnen er som følger:

\begin(ligning)\Delta A=\sum\limits_(i=1)^(n)a_(ij)A_(ij)=a_(1j)A_(1j)+a_(2j)A_(2j)+\ ldots+a_(nj)A_(nj) \end(ligning)

Reglene uttrykt med formlene (3) og (4) er illustrert i detalj med eksempler og forklart i emnet Redusere rekkefølgen til determinanten. Dekomponering av determinanten på rad (kolonne).

La oss indikere en annen formel for beregning av determinantene for øvre trekantede og nedre trekantede matriser (for en forklaring av disse begrepene, se emnet "Matriser. Typer av matriser. Grunnleggende termer"). Determinanten til en slik matrise er lik produktet av elementene på hoveddiagonalen. Eksempler:

\begin(justert) &\venstre| \begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & -6 \end(array) \right|= 2\cdot 9\cdot 4\cdot (-6)=-432.\\ &\venstre| \begin(array) (cccc) -3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 10 \end(array) \ høyre|= -3\cdot 0\cdot 1 \cdot 10=0. \end(justert)

- Slipp meisen løs til den sikre døden!
La friheten kjærtegne henne!
Og skipet seiler, og reaktoren brøler...
- Pash, er du sta?

Jeg husker at jeg ikke likte algebra før i 8. klasse. Jeg likte det ikke i det hele tatt. Hun gjorde meg forbanna. For jeg skjønte ingenting der.

Og så endret alt seg fordi jeg oppdaget ett triks:

I matematikk generelt (og algebra spesielt) er alt bygget på et kompetent og konsistent system av definisjoner. Hvis du kjenner definisjonene, forstår essensen deres, det vil ikke være vanskelig å finne ut resten.

Sånn er det med temaet for dagens leksjon. Vi vil vurdere i detalj flere relaterte problemer og definisjoner, takket være dem vil du en gang for alle forstå matriser, determinanter og alle deres egenskaper.

Determinanter er et sentralt begrep i matrisealgebra. Som forkortede multiplikasjonsformler vil de hjemsøke deg i løpet av høyere matematikk. Derfor leser, ser og forstår vi grundig. :)

Og vi starter med det mest intime - hva er en matrise? Og hvordan jobbe med det riktig.

Riktig plassering av indekser i matrisen

En matrise er ganske enkelt en tabell fylt med tall. Neo har ingenting med det å gjøre.

En av hovedkarakteristikkene til en matrise er dens dimensjon, dvs. antall rader og kolonner den består av. Vi pleier å si at en viss matrise $A$ har størrelse $\left[ m\times n \right]$ hvis den har $m$ rader og $n$ kolonner. Skriv det slik:

Eller slik:

Det er andre betegnelser - alt avhenger av preferansene til foreleseren/seminaristen/forfatteren av læreboken. Men i alle fall, med alle disse $\left[ m\times n \right]$ og $((a)_(ij))$ oppstår det samme problemet:

Hvilken indeks er ansvarlig for hva? Kommer radnummeret først, deretter kolonnenummeret? Eller vice versa?

Når du leser forelesninger og lærebøker, vil svaret virke åpenbart. Men når du på eksamen bare har et ark med en oppgave foran deg, kan du bli overspent og plutselig bli forvirret.

Så la oss løse dette problemet en gang for alle. Til å begynne med, la oss huske det vanlige koordinatsystemet fra et skolematematikkkurs:

Innføring av et koordinatsystem på et fly

Husker du henne? Det har en origo (punkt $O=\venstre(0;0 \right)$) av $x$- og $y$-aksene, og hvert punkt på planet er unikt bestemt av koordinatene: $A=\venstre( 1;2 \ right)$, $B=\left(3;1 \right)$, etc.

La oss nå ta denne konstruksjonen og plassere den ved siden av matrisen slik at opprinnelsen til koordinatene er i øvre venstre hjørne. Hvorfor der? Ja, for når vi åpner en bok, begynner vi å lese nøyaktig fra øverste venstre hjørne av siden - å huske dette er enkelt.

Men hvor skal aksene rettes? Vi vil lede dem slik at hele vår virtuelle "side" dekkes av disse aksene. Sant nok, for dette må vi rotere koordinatsystemet vårt. Det eneste mulige alternativet for denne ordningen er:

Overlegg et koordinatsystem på en matrise

Nå har hver celle i matrisen unike koordinater $x$ og $y$. For eksempel, å skrive $((a)_(24))$ betyr at vi får tilgang til elementet med koordinatene $x=2$ og $y=4$. Dimensjonene til matrisen er også unikt spesifisert av et par tall:

Definere indekser i en matrise

Bare se nøye på dette bildet. Lek deg litt med koordinater (spesielt når du jobber med virkelige matriser og determinanter) - og veldig snart vil du forstå at selv i de mest komplekse teoremer og definisjoner forstår du utmerket godt hva som blir sagt.

Har det? Vel, la oss gå videre til det første trinnet av opplysning - den geometriske definisjonen av determinanten.

Geometrisk definisjon

Først og fremst vil jeg merke meg at determinanten kun eksisterer for kvadratiske matriser av formen $\left[ n\ ganger n \right]$. En determinant er et tall som beregnes i henhold til visse regler og er en av egenskapene til denne matrisen (det er andre egenskaper: rangering, egenvektorer, men mer om det i andre leksjoner).

Så hva er denne egenskapen? Hva betyr det? Det er enkelt:

Determinanten til en kvadratisk matrise $A=\venstre[ n\ ganger n \right]$ er volumet til et $n$-dimensjonalt parallellepiped, som dannes hvis vi betrakter radene i matrisen som vektorer som danner kantene til denne. parallellepipedum.

For eksempel er determinanten for en 2x2-matrise ganske enkelt arealet til et parallellogram, men for en 3x3-matrise er det allerede volumet til et 3-dimensjonalt parallellepiped - det samme som irriterer alle videregående elever i stereometritimer .

Ved første øyekast kan denne definisjonen virke helt utilstrekkelig. Men la oss ikke skynde oss med konklusjoner - la oss se på eksempler. Faktisk er alt elementært, Watson:

Oppgave. Finn determinantene til matrisene:

\[\venstre| \begin(matrise) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\end(matrise) \right|\quad \left| \begin(matrise) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\end(matrise) \right|\quad \left| \begin(matrise)2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\end(matrise) \right|\]

Løsning. De to første determinantene har størrelse 2x2. Så dette er ganske enkelt områdene av parallellogrammer. La oss tegne dem og regne ut arealet.

Det første parallellogrammet er bygget på vektorene $((v)_(1))=\left(1;0 \right)$ og $((v)_(2))=\left(0;3 \right) $:

Determinanten til 2x2 er arealet av et parallellogram

Selvfølgelig er dette ikke bare et parallellogram, men et ganske rektangel. Området er

Det andre parallellogrammet er bygget på vektorene $((v)_(1))=\left(1;-1 \right)$ og $((v)_(2))=\left(2;2 \right )$. Vel, hva så? Dette er også et rektangel:

En annen 2x2 determinant

Sidene av dette rektangelet (i hovedsak lengdene på vektorene) beregnes enkelt ved å bruke Pythagoras teoremet:

\[\begin(align) & \left| ((v)_(1)) \right|=\sqrt(((1)^(2))+((\venstre(-1 \høyre))^(2)))=\sqrt(2); \\ & \venstre| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(((2)^(2))+((2)^(2)))=\sqrt(8)=2\sqrt(2); \\&S=\venstre| ((v)_(1)) \høyre|\cdot \venstre| ((v)_(2)) \right|=\sqrt(2)\cdot 2\sqrt(2)=4. \\\end(align)\]

Det gjenstår å håndtere den siste determinanten - den inneholder allerede en 3x3 matrise. Du må huske stereometri:

Determinanten for 3x3 er volumet til et parallellepiped

Det ser forbløffende ut, men faktisk er det nok å huske formelen for volumet til et parallellepiped:

der $S$ er arealet av basen (i vårt tilfelle er dette arealet av parallellogrammet på planet $OXY$), $h$ er høyden trukket til denne basen (faktisk $ z$-koordinaten til vektoren $((v)_(3) )$).

Arealet til et parallellogram (vi tegnet det separat) er også enkelt å beregne:

\[\begin(align) & S=2\cdot 3=6; \\ & V=S\cdot h=6\cdot 4=24. \\\end(align)\]

Det er alt! Vi skriver ned svarene.

Svar: 3; 4; 24.

En liten merknad om notesystemet. Noen mennesker vil sannsynligvis ikke like det faktum at jeg ignorerer "pilene" over vektorene. Angivelig kan du forveksle en vektor med et punkt eller noe annet.

Men la oss være seriøse: vi er allerede voksne gutter og jenter, så fra konteksten forstår vi utmerket når vi snakker om en vektor og når vi snakker om et punkt. Pilene tetter bare igjen fortellingen, som allerede er proppet til randen med matematiske formler.

Og videre. I prinsippet hindrer ingenting oss i å vurdere determinanten til en 1x1 matrise - en slik matrise er bare en celle, og tallet skrevet i denne cellen vil være determinanten. Men det er en viktig merknad her:

I motsetning til det klassiske volumet, vil determinanten gi oss den såkalte " orientert volum", dvs. volum som tar hensyn til rekkefølgen av hensyn til radvektorer.

Og hvis du vil få volumet i klassisk forstand av ordet, må du ta determinantmodulen, men nå er det ingen grunn til å bekymre deg for det - uansett, i løpet av noen få sekunder vil vi lære hvordan du beregner enhver determinant med alle tegn, størrelser osv. :)

Algebraisk definisjon

For all skjønnheten og klarheten til den geometriske tilnærmingen har den en alvorlig ulempe: den forteller oss ikke noe om hvordan vi beregner denne determinanten.

Derfor vil vi nå analysere en alternativ definisjon - algebraisk. For å gjøre dette vil vi trenge en kort teoretisk forberedelse, men til slutt får vi et verktøy som lar oss regne ut hva og hvordan vi vil i matriser.

Riktignok vil det dukke opp et nytt problem der... men først.

Permutasjoner og inversjoner

La oss skrive ned tallene fra 1 til $n$ på en linje. Du får noe sånt som dette:

La oss nå (bare for moro skyld) bytte et par tall. Du kan endre de nærliggende:

Eller kanskje - ikke spesielt nærliggende:

Og gjett hva? Ingenting! I algebra kalles denne dritten permutasjon. Og den har mange egenskaper.

Definisjon. En permutasjon med lengde $n$ er en streng med $n$ forskjellige tall skrevet i hvilken som helst rekkefølge. Vanligvis vurderes de første $n$ naturlige tallene (dvs. bare tallene 1, 2, ..., $n$), og deretter blandes de for å oppnå ønsket permutasjon.

Permutasjoner er merket på samme måte som vektorer - ganske enkelt med en bokstav og en sekvensiell liste over elementene deres i parentes. For eksempel: $p=\left(1;3;2 \right)$ eller $p=\left(2;5;1;4;3 \right)$. Bokstaven kan være hva som helst, men la den være $p$ :)

Videre, for enkelhets skyld, vil vi jobbe med permutasjoner med lengde 5 - de er allerede alvorlige nok til å observere eventuelle mistenkelige effekter, men er ennå ikke så alvorlige for en skjør hjerne som permutasjoner med lengde 6 eller mer. Her er eksempler på slike permutasjoner:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3;4;5 \right) \\ & ((p)_(2))=\left(1) ;3;2;5;4 \right) \\ & ((p)_(3))=\left(5;4;3;2;1 \right) \\\end(align)\]

Naturligvis kan en permutasjon av lengde $n$ betraktes som en funksjon som er definert på settet $\left\( 1;2;...;n \right\)$ og kartlegger dette settet på seg selv. Tilbake til permutasjonene som nettopp er skrevet $((p)_(1))$, $((p)_(2))$ og $((p)_(3))$, kan vi ganske legitimt skrive:

\[((p)_(1))\left(1 \right)=1;((p)_(2))\left(3 \right)=2;((p)_(3))\ venstre(2 \høyre)=4;\]

Antall forskjellige permutasjoner av lengde $n$ er alltid begrenset og lik $n!$ - dette er et lett beviselig faktum fra kombinatorikk. For eksempel, hvis vi ønsker å skrive ned alle permutasjoner med lengde 5, så vil vi nøle mye, siden det vil være slike permutasjoner

En av de viktigste egenskapene til enhver permutasjon er antall inversjoner i den.

Definisjon. Inversjon i permutasjonen $p=\left(((a)_(1));((a)_(2));...;(a)_(n)) \right)$ — hvilket som helst par $ \left(((a)_(i));((a)_(j)) \right)$ slik at $i \lt j$, men $((a)_(i)) \gt ( (a)_(j))$. Enkelt sagt er inversjon når et større tall er til venstre for et mindre (ikke nødvendigvis naboen).

Vi vil angi med $N\left(p \right)$ antall inversjoner i permutasjonen $p$, men vær forberedt på å møte andre notasjoner i forskjellige lærebøker og forskjellige forfattere - det er ingen enhetlige standarder her. Temaet inversjoner er svært omfattende, og en egen leksjon vil bli viet til det. Nå er vår oppgave rett og slett å lære å telle dem i virkelige problemer.

La oss for eksempel telle antall inversjoner i permutasjonen $p=\left(1;4;5;3;2 \right)$:

\[\venstre(4;3 \høyre);\venstre(4;2 \høyre);\venstre(5;3 \høyre);\venstre(5;2 \høyre);\venstre(3;2 \høyre ).\]

Dermed $N\left(p \right)=5$. Som du kan se er det ikke noe galt med dette. Jeg vil si med en gang: fra nå av vil vi ikke være interessert så mye i selve tallet $N\left(p \right)$, men i dets jevnhet/oddehet. Og her går vi jevnt over til nøkkelbegrepet i dagens leksjon.

Hva er en determinant

La en kvadratisk matrise $A=\venstre[ n\ ganger n \høyre]$ gis. Deretter:

Definisjon. Determinanten for matrisen $A=\venstre[ n\ ganger n \høyre]$ er den algebraiske summen av $n!$ ledd som er sammensatt som følger. Hvert ledd er produktet av $n$ matriseelementer, tatt en fra hver rad og hver kolonne, multiplisert med (−1) i potensen av antall inversjoner:

\[\venstre| A\right|=\sum\limits_(n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Det grunnleggende poenget ved valg av faktorer for hvert ledd i determinanten er det faktum at ikke to faktorer vises i samme rad eller i samme kolonne.

Takket være dette kan vi uten tap av generalitet anta at indeksene $i$ av faktorene $((a)_(i;j))$ «løper gjennom» verdiene 1, ..., $n$ , og indeksene $j$ er en permutasjon av først:

Og når det er en permutasjon $p$, kan vi enkelt beregne inversjonene $N\left(p \right)$ - og neste ledd av determinanten er klar.

Naturligvis er det ingen som forbyr byttefaktorer i noen term (eller i alle på en gang – hvorfor kaste bort tid på bagateller?), og da vil de første indeksene også representere en form for omorganisering. Men til slutt vil ingenting endre seg: det totale antallet inversjoner i indeksene $i$ og $j$ beholder pariteten under slike forvrengninger, noe som er ganske konsistent med den gode gamle regelen:

Omorganisering av faktorene endrer ikke produktet av tall.

Bare ikke fest denne regelen til matrisemultiplikasjon - i motsetning til tallmultiplikasjon er den ikke kommutativ. Men jeg avviker. :)

Matrise 2x2

Faktisk kan du også vurdere en 1x1 matrise - dette vil være én celle, og dens determinant, som du kanskje gjetter, er lik tallet skrevet i denne cellen. Ingenting interessant.

Så la oss vurdere en 2x2 kvadratisk matrise:

\[\venstre[ \begin(matrise) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end(matrise) \right]\]

Siden antall linjer i den er $n=2$, vil determinanten inneholde $n!=2!=1\cdot 2=2$ termer. La oss skrive dem ned:

\[\begin(align) & ((\left(-1 \right))^(N\left(1;2 \right)))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a) _(22))=((\venstre(-1 \høyre))^(0))\cdot ((a)_(11))\cdot ((a)_(22))=((a)_ (11))((a)_(22)); \\ & ((\venstre(-1 \høyre))^(N\venstre(2;1 \høyre)))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21)) =((\venstre(-1 \høyre))^(1))\cdot ((a)_(12))\cdot ((a)_(21))=((a)_(12))( (a)_(21)). \\\end(align)\]

Åpenbart, i permutasjonen $\left(1;2 \right)$, som består av to elementer, er det ingen inversjoner, så $N\left(1;2 \right)=0$. Men i permutasjonen $\left(2;1 \right)$ er det én inversjon (faktisk 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Totalt ser den universelle formelen for beregning av determinanten for en 2x2 matrise slik ut:

\[\venstre| \begin(matrise) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) \\\end( matrise) \right|=((a)_(11))((a)_(22))-((a)_(12))((a)_(21))\]

Grafisk kan dette representeres som produktet av elementene på hoveddiagonalen, minus produktet av elementene på sidediagonalen:

Determinant av en 2x2 matrise

La oss se på et par eksempler:

\[\venstre| \begin(matrise) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrise) \right|;\quad \left| \begin(matrise) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\end(matrise) \right|.\]

Løsning. Alt telles på én linje. Første matrise:

Og den andre:

Svar: −3; −161.

Det var imidlertid for enkelt. La oss se på 3x3 matriser - det er allerede interessant.

Matrise 3x3

Tenk nå på en 3x3 kvadratisk matrise:

\[\venstre[ \begin(matrise) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33) ) \\\end(matrise) \right]\]

Når vi beregner dens determinant, får vi $3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ termer - ikke for mange til å få panikk, men nok til å begynne å lete etter noen mønstre. Først, la oss skrive ut alle permutasjonene til tre elementer og telle inversjonene i hver av dem:

\[\begin(align) & ((p)_(1))=\left(1;2;3 \right)\Rightarrow N\left(((p)_(1)) \right)=N\ venstre(1;2;3 \høyre)=0; \\ & ((p)_(2))=\venstre(1;3;2 \høyre)\Høyrepil N\venstre(((p)_(2)) \høyre)=N\venstre(1;3 ;2 \right)=1; \\ & ((p)_(3))=\venstre(2;1;3 \høyre)\Høyrepil N\venstre(((p)_(3)) \høyre)=N\venstre(2;1 ;3 \right)=1; \\ & ((p)_(4))=\venstre(2;3;1 \høyre)\Høyrepil N\venstre(((p)_(4)) \høyre)=N\venstre(2;3 ;1 \right)=2; \\ & ((p)_(5))=\venstre(3;1;2 \høyre)\Høyrepil N\venstre(((p)_(5)) \høyre)=N\venstre(3;1 ;2 \right)=2; \\ & ((p)_(6))=\venstre(3;2;1 \høyre)\Høyrepil N\venstre(((p)_(6)) \høyre)=N\venstre(3;2 ;1 \right)=3. \\\end(align)\]

Som forventet ble totalt 6 permutasjoner skrevet ut: $((p)_(1))$, ... $((p)_(6))$ (naturligvis ville det være mulig å skrive dem ut i en annen sekvens - dette gjør ingen forskjell vil endres), og antall inversjoner i dem varierer fra 0 til 3.

Generelt vil vi ha tre ledd med et "pluss" (hvor $N\left(p \right)$ er partall) og tre til med et "minus". Generelt vil determinanten beregnes i henhold til formelen:

\[\venstre| \begin(matrise) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ((a)_(13)) \\ ((a)_(21)) & ((a) _(22)) & ((a)_(23)) \\ ((a)_(31)) & ((a)_(32)) & ((a)_(33)) \\\slutt (matrise) \right|=\begin(matrise) ((a)_(11))((a)_(22))((a)_(33))+((a)_(12))( (a)_(23))((a)_(31))+((a)_(13))((a)_(21))((a)_(32))- \\ -( (a)_(13))((a)_(22))((a)_(31))-((a)_(12))((a)_(21))((a)_ (33))-((a)_(11))((a)_(23))((a)_(32)) \\\end(matrise)\]

Bare ikke sett deg ned og fyll alle disse indeksene rasende nå! I stedet for uforståelige tall, er det bedre å huske følgende mnemoniske regel:

Trekantregel. For å finne determinanten til en 3x3-matrise, må du legge til tre produkter av elementer som ligger på hoveddiagonalen og i toppunktene til likebenede trekanter med en side parallell med denne diagonalen, og deretter trekke fra de samme tre produktene, men på sekundærdiagonalen . Skjematisk ser det slik ut:

Determinant for en 3x3 matrise: trekantregel

Det er disse trekantene (eller pentagrammene, avhengig av hva du foretrekker) folk liker å tegne i alle slags algebra-lærebøker og manualer. La oss imidlertid ikke snakke om triste ting. La oss heller beregne en slik determinant - å varme opp før de virkelig tøffe tingene :)

Oppgave. Regn ut determinanten:

\[\venstre| \begin(matrise) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\end(matrise) \right|\]

Løsning. Vi jobber etter regelen om trekanter. La oss først telle tre ledd som består av elementer på hoveddiagonalen og parallelt med den:

\[\begin(align) & 1\cdot 5\cdot 1+2\cdot 6\cdot 7+3\cdot 4\cdot 8= \\ & =5+84+96=185 \\\end(align) \]

La oss nå se på sidediagonalen:

\[\begin(align) & 3\cdot 5\cdot 7+2\cdot 4\cdot 1+1\cdot 6\cdot 8= \\ & =105+8+48=161 \\\end(align) \]

Alt som gjenstår er å trekke det andre fra det første tallet - og vi får svaret:

Det er alt!

Imidlertid er determinanter for 3x3-matriser ennå ikke toppen av ferdigheter. De mest interessante tingene venter oss videre :)

Generell ordning for beregning av determinanter

Som vi vet, når matrisedimensjonen $n$ øker, er antall ledd i determinanten $n!$ og vokser raskt. Likevel er faktorial ikke tull; det er en ganske raskt voksende funksjon.

Allerede for 4x4-matriser blir det på en eller annen måte ikke særlig bra å telle determinanter direkte (dvs. gjennom permutasjoner). Jeg er generelt stille om 5x5 og mer. Derfor spiller noen egenskaper til determinanten inn, men å forstå dem krever litt teoretisk forberedelse.

Klar? Gå!

Hva er en matrise-moll

La en vilkårlig matrise $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$ gis. Merk: ikke nødvendigvis firkantet. I motsetning til determinanter er mindreårige slike søte ting som ikke bare eksisterer i harde kvadratiske matriser. La oss velge flere (for eksempel $k$) rader og kolonner i denne matrisen, med $1\le k\le m$ og $1\le k\le n$. Deretter:

Definisjon. En minor av orden $k$ er determinanten for en kvadratisk matrise som oppstår i skjæringspunktet mellom utvalgte $k$ kolonner og rader. Vi vil også kalle denne nye matrisen mindre.

En slik minor er betegnet med $((M)_(k))$. Naturligvis kan en matrise ha en hel haug med mindreårige i størrelsesorden $k$. Her er et eksempel på en minor av orden 2 for matrisen $\left[ 5\times 6 \right]$:

Velge $k = 2$ kolonner og rader for å danne en minor

Det er slett ikke nødvendig at de valgte radene og kolonnene er side ved side, som i eksemplet diskutert. Hovedsaken er at antallet valgte rader og kolonner er det samme (dette er tallet $k$).

Det er en annen definisjon. Kanskje noen vil like det mer:

Definisjon. La en rektangulær matrise $A=\venstre[ m\ ganger n \høyre]$ gis. Hvis det, etter å ha slettet en eller flere kolonner og en eller flere rader, dannes en kvadratisk matrise med størrelsen $\venstre[ k\ ganger k \right]$, så er dens determinant minor $((M)_(k)) $ . Vi vil også noen ganger kalle selve matrisen en minor - dette vil fremgå av konteksten.

Som katten min sa, noen ganger er det bedre å komme tilbake fra 11. etasje for å spise mat enn å mjau mens du sitter på balkongen.

Eksempel. La matrisen bli gitt

Ved å velge rad 1 og kolonne 2 får vi et førsteordens bifag:

\[((M)_(1))=\venstre| 7\høyre|=7\]

Ved å velge rad 2, 3 og kolonne 3, 4, får vi en annenordens moll:

\[((M)_(2))=\venstre| \begin(matrise) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\end(matrise) \right|=5-18=-13\]

Og hvis du velger alle tre radene, så vel som kolonnene 1, 2, 4, vil det være en tredjeordens mindre:

\[((M)_(3))=\venstre| \begin(matrise) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\end(matrise) \right|\]

Det vil ikke være vanskelig for leseren å finne andre mindreårige av ordre 1, 2 eller 3. Derfor går vi videre.

Algebraiske tillegg

"Vel ok, hva gir disse mindre undersåttene oss?" – spør du sikkert. Av seg selv - ingenting. Men i kvadratiske matriser har hver minor en "ledsager" - en ekstra minor, så vel som et algebraisk komplement. Og sammen vil disse to triksene tillate oss å knekke determinantene som nøtter.

Definisjon. La det gis en kvadratisk matrise $A=\venstre[ n\ ganger n \høyre]$, der mindretallet $((M)_(k))$ er valgt. Deretter er den ekstra moll for moll $((M)_(k))$ en del av den opprinnelige matrisen $A$, som vil forbli etter å ha slettet alle rader og kolonner som er involvert i å komponere den mollige $((M)_ (k))$:

Ytterligere moll til moll $((M)_(2))$

La oss avklare ett poeng: en ekstra moll er ikke bare en "bit av matrisen", men en determinant for denne biten.

Ytterligere mindreårige er angitt med en stjerne: $M_(k)^(*)$:

hvor operasjonen $A\nabla ((M)_(k))$ bokstavelig talt betyr "slett fra $A$ radene og kolonnene inkludert i $((M)_(k))$". Denne operasjonen er ikke generelt akseptert i matematikk - jeg har nettopp funnet den opp selv for historiens skjønnhet :)

Ytterligere mindreårige brukes sjelden av seg selv. De er en del av en mer kompleks konstruksjon - algebraisk komplement.

Definisjon. Det algebraiske komplementet til en moll $((M)_(k))$ er tilleggsmoll $M_(k)^(*)$ multiplisert med verdien $((\left(-1 \right))^(S ))$ , der $S$ er summen av tallene til alle rader og kolonner som er involvert i den opprinnelige moll $((M)_(k))$.

Som regel er det algebraiske komplementet til en mindre $((M)_(k))$ betegnet med $((A)_(k))$. Derfor:

\[((A)_(k))=((\venstre(-1 \høyre))^(S))\cdot M_(k)^(*)\]

Vanskelig? Ved første øyekast, ja. Men det er det ikke akkurat. For i virkeligheten er alt enkelt. La oss se på et eksempel:

Eksempel. Gitt en 4x4 matrise:

La oss velge en annenordens mindreårig

\[((M)_(2))=\venstre| \begin(matrise) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\end(matrise) \right|\]

Captain Obviousness ser ut til å antyde at når vi kompilerte denne moll, var linje 1 og 4, samt kolonne 3 og 4, involvert, og vi får en ekstra moll.

Det gjenstår å finne tallet $S$ og få det algebraiske komplementet. Siden vi vet antallet rader (1 og 4) og kolonner (3 og 4) som er involvert, er alt enkelt:

\[\begin(align) & S=1+4+3+4=12; \\ & ((A)_(2))=((\venstre(-1 \høyre))^(S))\cdot M_(2)^(*)=((\venstre(-1 \høyre) )^(12))\cdot \left(-4 \right)=-4\end(align)\]

Svar: $((A)_(2))=-4$

Det er alt! Faktisk er hele forskjellen mellom et ekstra moll og et algebraisk komplement bare i minus foran, og selv da ikke alltid.

Laplaces teorem

Og så kom vi til punktet hvorfor det faktisk var behov for alle disse mindreårige og algebraiske tilleggene.

Laplaces teorem om dekomponering av determinanten. La $k$ rader (kolonner) velges i en matrise med størrelse $\left[ n\ ganger n \right]$, med $1\le k\le n-1$. Da er determinanten til denne matrisen lik summen av alle produkter av mindreårige av orden $k$ som finnes i de valgte radene (kolonnene) og deres algebraiske komplementer:

\[\venstre| A \right|=\sum(((M)_(k))\cdot ((A)_(k)))\]

Dessuten vil det være nøyaktig $C_(n)^(k)$ av slike termer.

Ok, ok: ca $C_(n)^(k)$ - Jeg viser meg allerede, det var ikke noe sånt i Laplaces originale teorem. Men ingen har kansellert kombinatorikk, og bokstavelig talt et raskt blikk på tilstanden vil tillate deg å se selv at det vil være akkurat så mange termer. :)

Vi vil ikke bevise det, selv om det ikke byr på noen spesielle vanskeligheter - alle beregninger kommer ned til de gode gamle permutasjonene og partalls/oddelige inversjoner. Beviset vil imidlertid bli presentert i et eget avsnitt, og i dag har vi en rent praktisk lekse.

Derfor går vi videre til et spesielt tilfelle av denne teoremet, når de mindreårige er individuelle celler i matrisen.

Dekomponering av determinanten i rad og kolonne

Det vi skal snakke om nå er nettopp hovedverktøyet for å jobbe med determinanter, for hvilken alt dette tullet med permutasjoner, minor og algebraiske tillegg ble startet.

Les og nyt:

Følge av Laplaces teorem (dekomponering av determinanten i rad/kolonne). La én rad velges i en matrise med størrelse $\venstre[ n\ ganger n \høyre]$. Mindreårige på denne linjen vil være $n$ individuelle celler:

\[((M)_(1))=((a)_(ij)),\quad j=1,...,n\]

Ytterligere mindreårige er også enkle å beregne: bare ta den opprinnelige matrisen og kryss ut raden og kolonnen som inneholder $((a)_(ij))$. La oss kalle slike mindreårige $M_(ij)^(*)$.

For det algebraiske komplementet trenger vi fortsatt tallet $S$, men i tilfelle av en moll av orden 1 er det ganske enkelt summen av "koordinatene" til cellen $((a)_(ij))$:

Og så kan den opprinnelige determinanten skrives i form av $((a)_(ij))$ og $M_(ij)^(*)$ i henhold til Laplaces teorem:

\[\venstre| A \right|=\sum\limits_(j=1)^(n)(((a)_(ij))\cdot ((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot ((M)_(ij)))\]

Det er det det er formel for å dekomponere determinanten på rad. Men det samme gjelder for kolonner.

Flere konklusjoner kan umiddelbart trekkes fra denne konsekvensen:

1. Dette opplegget fungerer like bra for både rader og kolonner. Faktisk vil dekomponeringen som oftest foregå nøyaktig langs kolonnene i stedet for langs radene.
2. Antall termer i utvidelsen er alltid nøyaktig $n$. Dette er betydelig mindre enn $C_(n)^(k)$ og enda mer $n!$.
3. I stedet for én determinant $\venstre[ n\ ganger n \høyre]$ må du vurdere flere determinanter av størrelse en mindre: $\venstre[ \venstre(n-1 \høyre)\ ganger \venstre(n-1 \ høyre) \right ]$.

Det siste faktum er spesielt viktig. For eksempel, i stedet for den brutale 4x4-determinanten, vil det nå være nok å telle flere 3x3-determinanter - vi vil på en eller annen måte takle dem. :)

Oppgave. Finn determinanten:

\[\venstre| \begin(matrise) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\end(matrise) \right|\]

Løsning. La oss utvide denne determinanten langs den første linjen:

\[\begin(align) \venstre| A \right|=1\cdot ((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \begin(matrise) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\end(matrise) \right|+ & \\ 2\cdot ((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \venstre| \begin(matrise) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\end(matrise) \right|+ & \\ 3\cdot ((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \venstre| \begin(matrise) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\end(matrise) \right|= & \\\end(align)\]

\[\begin(align) & =1\cdot \left(45-48 \right)-2\cdot \left(36-42 \right)+3\cdot \left(32-35 \right)= \\ & =1\cdot \left(-3 \right)-2\cdot \left(-6 \right)+3\cdot \left(-3 \right)=0. \\\end(align)\]

Oppgave. Finn determinanten:

\[\venstre| \begin(matrise) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right|\ ]

Løsning. For en forandring, la oss jobbe med kolonner denne gangen. For eksempel inneholder den siste kolonnen to nuller samtidig - åpenbart vil dette redusere beregningene betydelig. Nå skal du se hvorfor.

Så vi utvider determinanten i den fjerde kolonnen:

\[\begin(align) \venstre| \begin(matrise) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right|= 0\cdot ((\venstre(-1 \høyre))^(1+4))\cdot \venstre| \begin(matrise) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrise) \right|+ & \\ +1\cdot ((\venstre(-1 \ høyre))^(2+4))\cdot \venstre| \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrise) \right|+ & \\ +1\cdot ((\venstre(-1 \ høyre))^(3+4))\cdot \venstre| \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrise) \right|+ & \\ +0\cdot ((\venstre(-1 \ høyre))^(4+4))\cdot \venstre| \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right| & \\\end(align)\]

Og så - å, mirakel! - to ledd går umiddelbart i vasken, siden de inneholder en faktor på "0". Det er fortsatt to 3x3-determinanter igjen, som vi enkelt kan håndtere:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrise) \right|=0+0+1-1-1-0=-1; \\ & \venstre| \begin(matrise) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\end(matrise) \right|=0+1+1-0-0-1=1. \\\end(align)\]

La oss gå tilbake til kilden og finne svaret:

\[\venstre| \begin(matrise) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\end(matrise) \right|= 1\cdot \left(-1 \right)+\left(-1 \right)\cdot 1=-2\]

OK, det er over nå. Og nr 4! = 24 termer måtte ikke telles :)

Svar: −2

Grunnleggende egenskaper til determinanten

I den siste oppgaven så vi hvordan tilstedeværelsen av nuller i radene (kolonnene) i matrisen dramatisk forenkler dekomponeringen av determinanten og generelt alle beregninger. Et naturlig spørsmål dukker opp: er det mulig å få disse nullene til å vises selv i matrisen der de ikke opprinnelig var der?

Svaret er klart: Kan. Og her kommer egenskapene til determinanten til vår hjelp:

1. Hvis du bytter to rader (kolonner), vil ikke determinanten endres;
2. Hvis en rad (kolonne) multipliseres med tallet $k$, vil hele determinanten også multipliseres med tallet $k$;
3. Hvis du tar en linje og legger til (trekker fra) den så mange ganger du vil fra en annen, vil ikke determinanten endres;
4. Hvis to rader av determinanten er like, eller proporsjonale, eller en av radene er fylt med nuller, så er hele determinanten lik null;
5. Alle egenskapene ovenfor gjelder også for kolonner.
6. Når du transponerer en matrise, endres ikke determinanten;
7. Determinanten til produktet av matriser er lik produktet av determinanter.

Den tredje egenskapen er av spesiell verdi: vi kan trekk fra en rad (kolonne) en annen til nuller vises på de riktige stedene.

Oftest kommer beregninger ned til å "nullstille" hele kolonnen overalt bortsett fra ett element, og deretter utvide determinanten over denne kolonnen, og få en matrise med størrelse 1 mindre.

La oss se hvordan dette fungerer i praksis:

Oppgave. Finn determinanten:

\[\venstre| \begin(matrise) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrise) \right|\ ]

Løsning. Det ser ut til at det ikke er noen nuller her i det hele tatt, så du kan "bore" på hvilken som helst rad eller kolonne - mengden beregninger vil være omtrent den samme. La oss ikke kaste bort tid på bagateller og "nullstille" den første kolonnen: den har allerede en celle med en, så bare ta den første linjen og trekk den 4 ganger fra den andre, 3 ganger fra den tredje og 2 ganger fra den siste.

Som et resultat vil vi få en ny matrise, men dens determinant vil være den samme:

\[\begin(matrise) \venstre| \begin(matrise) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\end(matrise) \right|\ begynne(matrise) \nedoverpil \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\slutt(matrise)= \\ =\venstre| \begin(matrise) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4\cdot 1 & 1-4\cdot 2 & 2-4\cdot 3 & 3-4\cdot 4 \\ 3-3\cdot 1 & 4-3\cdot 2 & 1-3\cdot 3 & 2-3\cdot 4 \\ 2-2\cdot 1 & 3-2\cdot 2 & 4-2\cdot 3 & 1-2\cdot 4 \ \\end(matrise) \right|= \\ =\venstre| \begin(matrise) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \end(matrise) \right| \\\end(matrise)\]

Nå, med smågrisens likevekt, legger vi ut denne determinanten langs den første kolonnen:

\[\begin(matrise) 1\cdot ((\venstre(-1 \høyre))^(1+1))\cdot \venstre| \begin(matrise) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrise) \right|+0\cdot ((\ venstre(-1 \høyre))^(2+1))\cdot \venstre| ... \right|+ \\ +0\cdot ((\left(-1 \right))^(3+1))\cdot \left| ... \right|+0\cdot ((\left(-1 \right))^(4+1))\cdot \left| ... \right| \\\end(matrise)\]

Det er klart at bare den første termen vil "overleve" - ​​i resten skrev jeg ikke engang ut determinantene, siden de fortsatt multipliseres med null. Koeffisienten foran determinanten er lik én, dvs. du trenger ikke å skrive det ned.

Men du kan fjerne "ulemper" fra alle tre linjene i determinanten. I hovedsak tok vi ut faktoren (−1) tre ganger:

\[\venstre| \begin(matrise) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\end(matrise) \right|=\cdot \left| \begin(matrise) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrise) \right|\]

Vi har fått en liten determinant 3x3, som allerede kan beregnes ved hjelp av trekanterregelen. Men vi skal prøve å dekomponere den i den første kolonnen - heldigvis inneholder den siste linjen stolt en:

\[\begin(align) & \left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrise) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrise) \right|\begin(matrise) -7 \\ -2 \\ \uparrow \ \\end(matrise)=\venstre(-1 \høyre)\cdot \venstre| \begin(matrise) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\end(matrise) \right|= \\ & =\cdot \left| \begin(matrise) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrise) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left| \begin(matrise) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrise) \right| \\\end(align)\]

Du kan selvfølgelig fortsatt ha det gøy og utvide 2x2-matrisen langs en rad (kolonne), men du og jeg er tilstrekkelig, så vi regner bare ut svaret:

\[\venstre(-1 \høyre)\cdot \venstre| \begin(matrise) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\end(matrise) \right|=\left(-1 \right)\cdot \left(16+144 \right)=-160\ ]

Slik brytes drømmer. Bare -160 i svaret. :)

Svar: -160.

Et par notater før vi går videre til den siste oppgaven:

1. Den opprinnelige matrisen var symmetrisk med hensyn til den sekundære diagonalen. Alle mindre i utvidelsen er også symmetriske med hensyn til den samme sekundærdiagonalen.
2. Strengt tatt kunne vi ikke utvide noe som helst, men ganske enkelt redusere matrisen til en øvre trekantet form, når det er solide nuller under hoveddiagonalen. Da (i strengt samsvar med den geometriske tolkningen, forresten) er determinanten lik produktet av $((a)_(ii))$ - tallene på hoveddiagonalen.

Oppgave. Finn determinanten:

\[\venstre| \begin(matrise) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrise) \right|\ ]

Løsning. Vel, her ber den første linjen bare om å bli "nullstilt". Ta den første kolonnen og trekk nøyaktig én gang fra alle de andre:

\[\begin(align) & \left| \begin(matrise) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\end(matrise) \right|= \\ & =\venstre| \begin(matrise) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\end(matrise) \right|= \\ & =\venstre| \begin(matrise) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\end(matrise) \right| \\\end(align)\]

Vi utvider langs den første raden, og tar deretter ut de vanlige faktorene fra de resterende radene:

\[\cdot \venstre| \begin(matrise) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\end(matrise) \right|=\cdot \left| \begin(matrise) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrise) \right|\]

Igjen ser vi "vakre" tall, men i den første kolonnen legger vi ut determinanten i henhold til den:

\[\begin(align) & 240\cdot \left| \begin(matrise) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\end(matrise) \right|\begin(matrise) \nedoverpil \\ -1 \\ -1 \ \\end(matrise)=240\cdot \venstre| \begin(matrise) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\end(matrise) \right|= \\ & =240\cdot ((\venstre(-1 \ høyre))^(1+1))\cdot \venstre| \begin(matrise) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\end(matrise) \right|= \\ & =240\cdot 1\cdot \left(24-18 \right)=1440 \\\end( tilpasse)\]

Rekkefølge. Problemet er løst.

Svar: 1440

SEMINAR 6

Beregning av determinanter av matriser, egenskaper til determinanter.

Innledende informasjon

Matrisedeterminant.

Konseptet med en determinant av en matrise, som er betegnet med eller , gir mening bare for kvadratiske matriser. La oss introdusere dette konseptet sekvensielt, og øke dimensjonen til matrisene.

Eksempel.
.

Eksempel.

Avgjørende faktor n -te orden.

Definisjon.Mindre element
-matriser kalt determinant
orden, tilsvarende matrisen som er hentet fra matrisen etter å ha krysset ut i den -te linje og kolonne. Element mindre vi vil betegne
.

Eksempel. La
, Deretter
.

Definisjon.Algebraisk addisjon av et element verket heter
til mindreårig
og er utpekt , dvs.
.

Eksempel. La
, Deretter
.

Definisjon. Avgjørende faktor orden (eller determinant av matrisen ) kalles et tall
, lik
. Formel
kalles utvidelsen av determinanten i -te linje.

Eksempel. La oss utvide determinanten på den andre linjen og beregne den. .

Formel for å dekomponere determinanten til en matrise ved -th kolonne har formen
.

Eksempel. La oss utvide determinanten ved den tredje kolonnen og beregne den. .

Egenskaper til determinanter.

La oss liste opp hovedegenskapene til determinanter.

Eksempel.


.

8. Hvis alle elementene i en bestemt rad (kolonne) i en determinant er lik null, så er selve determinanten lik null.

9. Hvis elementene i to rader (kolonner) av determinanten, tatt i betraktning deres rekkefølge, er proporsjonale med hverandre, så er determinanten lik null.

10. Hvis vi legger til elementene i en bestemt rad (kolonne) av determinanten de tilsvarende elementene i en annen rad (kolonne), multiplisert med et vilkårlig tall , så endres ikke verdien av determinanten.

11. Determinanten til en trekantet matrise er lik produktet av elementene på hoveddiagonalen.

Å beregne determinanten ved å utvide den over en rad (kolonne) er spesielt effektiv når denne raden (kolonnen) inneholder null elementer. Derfor, når du beregner determinanter av stor dimensjon, er det tilrådelig å først, ved å bruke de oppførte egenskapene til determinanter, danne slike rader (kolonner).

Eksempel.
/ legg den tredje kolonnen til den andre kolonnen/
/ trekk den fjerde linjen fra den tredje linjen/
/ utvide determinanten i den andre kolonnen/
/trekk den andre linjen fra den første linjen/
/legg til den tredje kolonnen til den andre kolonnen/
/utvid determinanten langs den første linjen/
/ gang den første linjen med 2 og trekk den fra den andre linjen /
/utvid determinanten langs den første kolonnen/.

Gauss metode.

I numeriske metoder, når de beregner determinanter, bruker de Gaussisk metode , basert på å redusere determinanten til trekantet form ved å bruke transformasjonene ovenfor.

Eksempel. La oss beregne den samme determinanten ved å bruke Gauss-metoden som i forrige eksempel.
/ trekker vi den første raden fra den andre, tredje og fjerde, lager vi elementene i dem som er i den første kolonnen null (før du trekker fra den tredje raden, multipliser den første raden med 3) /
/ bytt tredje og fjerde linje /
/ gang den andre linjen med og trekk det fra den fjerde linjen/
/ trekk den tredje linjen fra den fjerde /
/ved hjelp av egenskapene til en trekantet matrise, beregner vi determinanten/.

Metode for gjentakelsesrelasjon.

Hvis matrisen hvis determinant vi beregner har tilstrekkelig symmetri, kan vi bruke metode for gjentakelsesrelasjon .

Eksempel. La oss beregne determinanten ved å bruke metoden for gjentaksrelasjoner -te orden

. La oss dele det ned i den siste kolonnen.


/ La oss nå utvide determinanten i andre ledd langs den siste linjen /

. Vi legger merke til at vi nå har tre determinanter av samme struktur, men av forskjellige dimensjoner. Hvis vi betegner den opprinnelige determinanten bestilling gjennom , så kan vi skrive gjentaksrelasjonen
. For å bruke dette forholdet, la oss beregne de første determinantene:
.

Legg merke til det




. Derfor kan vi skrive osv. Beregning av de første determinantene gir den generelle formelen
. For å fullføre beviset, la oss sjekke gyldigheten til denne formelen ved hjelp av matematisk induksjon. Forutsatt at denne formelen er riktig for determinanten -te orden må vi vise at determinanten
-te orden er lik
. Vi finner, ved å bruke gjentaksrelasjonen, . Det resulterende uttrykket beviser gyldigheten av formelen
.

OPPGAVER

1. Problemer med tilfredsstillende kompleksitet.

Beregn andreordens determinant.

6.1. . 6.2.
. 6.3. . 6.4.
. 6.5. . 6.6.
. 6.7.
. 6.8.
. 6.9.
.

6.10.
.

Løs ligninger.

6.11.
. 6.12.
. 6.13.
.

6.14.
. 6.15.
. 6.16.
.

Beregn determinanter.

6.17. . 6.18. . 6.19.
. 6.20. .

6.21. . 6.22. . 6.23.
. 6.24. . 6.25. . 6.26.
.

Beregn determinanter ved å utvide over en rad eller kolonne.

6.27. . 6.28. . 6.29. . 6.30. .

6.31. .

Løs likninger og ulikheter.

6.32.
. 6.33.
. 6.34.
.

Beregn determinanter.

6.35.
. 6.36. . 6.37. .

6.38.
. 6.39.
. 6.40.
.

2. Oppgaver med økt kompleksitet.

Beregn determinanter.

6.41.
. 6.42.
.

6.43. . 6.44. .

Beregn determinanter ved å bruke metoden for gjentaksrelasjoner.

6.45.
. 6.46.
.

6.47.
.

6,48. Uten å beregne determinantene, vis at de er delbare med:

EN) ; b) .

Regn ut ved å bruke egenskapene til determinanter.

6.49.
. 6.50.
.

ALGEBRAISKE KOMPLEMENTERINGER OG MINDRE

La oss ha en tredjeordens determinant: .

Liten, tilsvarende dette elementet en ij tredjeordens determinant kalles en andreordens determinant hentet fra en gitt ved å slette raden og kolonnen i skjæringspunktet det gitte elementet står i, dvs. Jeg-te linje og j kolonne. Mindreårige som tilsvarer et gitt element en ij vi vil betegne M ij.

For eksempel, liten M 12, tilsvarende elementet en 12, vil det være en determinant , som oppnås ved å slette 1. rad og 2. kolonne fra denne determinanten.

Således viser formelen som definerer tredjeordens determinanten at denne determinanten er lik summen av produktene til elementene i den første raden med deres tilsvarende minor; i dette tilfellet den mindre som tilsvarer elementet en 12, er tatt med et "–"-tegn, dvs. det kan vi skrive

.

(1)

Tilsvarende kan man introdusere definisjoner av mindreårige for andre-ordens og høyere-ordens determinanter.

La oss introdusere et konsept til.

Algebraisk komplement element en ij determinanten kalles dens minor M ij, multiplisert med (–1) i+j .

Algebraisk komplement til et element en ij betegnet med A ij.

Fra definisjonen får vi at sammenhengen mellom det algebraiske komplementet til et element og dets minor er uttrykt ved likheten A ij= (–1) i+j Mij.

For eksempel,

Eksempel. En determinant er gitt. Finne A 13, A 21, A 32.

Det er lett å se at ved bruk av algebraiske tillegg av elementer, kan formel (1) skrives som:

På samme måte som denne formelen kan du få utvidelsen av determinanten til elementene i en hvilken som helst rad eller kolonne.

For eksempel kan dekomponeringen av determinanten i elementene i den andre raden oppnås som følger. I henhold til egenskap 2 til determinanten har vi:

La oss utvide den resulterende determinanten til elementene i den første raden.

.

(2)

Herfra fordi andreordens determinanter i formel (2) er mindreverdier av elementene en 21, en 22, en 23. Dermed, dvs. vi fikk dekomponeringen av determinanten til elementene i 2. rad.

På samme måte kan vi få utvidelsen av determinanten til elementene i den tredje raden. Ved å bruke egenskap 1 til determinanter (om transposisjon), kan vi vise at lignende utvidelser også er gyldige når man utvider med elementer av kolonner.

Dermed er følgende teorem gyldig.

Teorem (om utvidelsen av en determinant over en gitt rad eller kolonne). Determinanten er lik summen av produktene av elementene i noen av radene (eller kolonnene) og deres algebraiske komplementer.

Alt det ovennevnte gjelder også for determinanter av høyere orden.

Eksempler.

INVERS MATRIKSE

Konseptet med en invers matrise er kun introdusert for kvadratiske matriser.

Hvis EN er en kvadratisk matrise, da omvendt for det er en matrise en matrise, betegnet A-1 og tilfredsstiller betingelsen. (Denne definisjonen er introdusert i analogi med multiplikasjon av tall)