Дүрслэх геометрийн хувьд гадаргууг хөдөлгөөнт шугам эсвэл орон зай дахь бусад гадаргуугийн дараалсан байрлалуудын багц гэж үздэг. Орон зайд хөдөлж, гадаргуу үүсгэж буй шугамыг generatrix гэж нэрлэдэг. Генераторууд нь шулуун эсвэл муруй байж болно. Муруй үүсгэх нь тогтмол эсвэл хувьсагч байж болно, жишээлбэл, байгалийн жамаар өөрчлөгддөг.

Хэд хэдэн тохиолдолд ижил гадаргууг янз бүрийн генераторуудын хөдөлгөөнөөс үүссэн гэж үзэж болно. Жишээлбэл, дугуй цилиндрийг үүсгэж болно: нэгдүгээрт, generatrix-тай параллель тогтмол тэнхлэгтэй харьцуулахад шулуун шугамыг эргүүлэх замаар; хоёрдугаарт, тойрог хөдөлгөөнөөр, түүний төв нь тойргийн хавтгайд перпендикуляр шулуун шугамын дагуу хөдөлдөг; гуравдугаарт, бөмбөрцгийн шулуун хөдөлгөөнөөр.

Зурган дээрх гадаргууг дүрслэхдээ generatrix-ийн олон боломжит байрлалаас зөвхөн заримыг нь харуулсан болно. Зураг дээр. 8.1-д generatrix-ийн гадаргууг харуулав AB.Хөдөлгөөний явцад generatrix нь чиглэлтэй параллель хэвээр байна М.Нмөн тэр үед зарим муруй шугамыг гаталдаг CDE.Тиймээс generatrix-ийн хөдөлгөөн ABорон зайд шугамаар удирдуулсан CDE.

Гадаргуу үүсэх үед генатриксийн хөдөлгөөний урьдчилсан нөхцөл болох огтлолцох шугам буюу шугамыг чиглүүлэгч буюу чиглүүлэгч гэж нэрлэдэг.

Зураг дээр. 8.2-т шулуун шугамын хөдөлгөөнөөс үүссэн гадаргууг харуулав ABхоёр хөтөчийн дагуу - шулуун O1<⅞ (АБЭ Оби О 2) ба орон зайн муруй F.G.L.О1 шугамтай огтлолцохгүй 0 2.

Заримдаа шугамыг чиглүүлэгч болгон ашигладаг бөгөөд үүний дагуу генатриксийн зарим нэг цэг хөдөлдөг боловч үүн дээр байрладаггүй, жишээлбэл, тойргийн төв.

Төрөл бүрийн хэлбэрүүд, чиглүүлэгчид, түүнчлэн тодорхой гадаргуу үүсэх хэв маягаас гадаргуугийн зургийг зурах, үүнтэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд хамгийн хялбар бөгөөд тохиромжтойг нь сонгодог.

Заримдаа гадаргууг тодорхойлохдоо "гадаргууг тодорхойлогч" гэсэн ойлголтыг ашигладаг бөгөөд энэ нь гадаргууг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог бие даасан нөхцлийн багцыг илэрхийлдэг. Тодорхойлогчдод багтсан нөхцлүүдийн дунд геометрийн хэсэг (цэг, шугам, гадаргуу) ба тодорхойлогчийн геометрийн хэсгээс гадаргуу үүсгэх хууль (алгоритм) -ын хооронд ялгааг гаргадаг.

Дүрслэх геометрт ашигласан муруй гадаргуугийн товч ангиллыг авч үзье.

Зохицуулалттай хөгжиж болох гадаргуу.Шулуун шугамаар үүсгэж болох гадаргууг захирах гадаргуу гэж нэрлэдэг. Хэрэв удирдлагатай гадаргууг гадаргууд гэмтэл учруулахгүйгээр (нулимс, нугалаа) бүх цэгүүд нь хавтгайтай давхцаж байвал түүнийг хөгжүүлэх боломжтой гэж нэрлэдэг. Боловсруулж болох гадаргууд зэргэлдээх шулуун шугаман үүсгүүрүүд хоорондоо параллель буюу огтлолцсон, эсвэл ямар нэгэн орон зайн муруйтай шүргэгч шугамтай гадаргууг л багтаана. Бусад бүх дүрэмтэй болон дүрэмгүй гадаргууг боловсруулах боломжгүй гадаргуу гэж ангилдаг.

Боловсруулж болох гадаргуу нь цилиндр хэлбэртэй, конус хэлбэртэй, буцах хавирга эсвэл их биетэй. Цилиндр гадаргуу дээр генераторууд үргэлж параллель, чиглүүлэгч нь нэг муруй шугам юм. Сансарт өмнө нь харуулсан цилиндр гадаргуугийн зураг дээрх зургийг (8.1-р зургийг үз) Зураг дээр үзүүлэв. 8.3. Онцгой тохиолдлууд нь шулуун дугуй цилиндр, налуу дугуй цилиндр (9.17-р зургийг үз, хөтөч нь тойрог бөгөөд түүний хавтгай нь цилиндрийн тэнхлэгийн өнцөгт байрладаг бөгөөд төв нь түүний тэнхлэг дээр байрладаг). Конус хэлбэрийн гадаргуугийн хувьд бүх шулуун шугаман генераторууд нь нийтлэг тогтмол цэгтэй байдаг - орой, хөтөч - дурын нэг муруй шугам. Конус хэлбэрийн жишээ зураг

зураг дээрх гадаргуу - зураг. 8.4, оройн проекцууд G", G",хөтөч C"D"E", C"D"E".Онцгой тохиолдлууд - шулуун дугуй конус, налуу дугуй конус - зургийг үз. 10.10, баруун. Буцах ирмэг эсвэл их биетэй гадаргуугийн хувьд шулуун шугаман генераторууд нь нэг муруй чиглүүлэгчтэй шүргэнэ.

Дүрэм журмаар хөгждөггүй гадаргуу:цилиндр, коноид, гипербол параболоид (ташуу хавтгай). Цилиндроид гэж нэрлэгддэг гадаргуу нь бүх байрлалдаа өгөгдсөн хавтгайтай ("параллелизмын хавтгай") параллель хэвээр байгаа шулуун шугамыг хөдөлгөж, хоёр муруй шугамыг (хоёр чиглүүлэгч) огтолсноор үүсдэг. Коноид гэж нэрлэгддэг гадаргуу нь шулуун шугамыг хөдөлгөснөөр үүсдэг бөгөөд энэ нь бүх байрлалдаа тодорхой хавтгайтай параллель байх ("параллелизмын хавтгай") бөгөөд хоёр чиглүүлэгчийг огтолж, тэдгээрийн нэг нь муруй, нөгөө нь шулуун шугам юм (Зураг 1). 8.5, мөн Зураг 8.2-г үзнэ үү). Зураг дээрх параллелизмын хавтгай. 8.5 нь π1 хавтгай;

хөтөч - проекц бүхий муруй E"G"F", E"G"F",проекц бүхий шулуун шугам O",0",O",0. Тодорхой тохиолдолд, хэрэв муруй чиглүүлэгч нь шулуун шугаман чиглүүлэгчтэй давхцаж буй тэнхлэгтэй цилиндр хэлбэртэй мушгиа шугам байвал үүссэн гадаргуу нь мушгиа коноид байх бөгөөд үүнийг доор авч үзнэ. Ташуу хавтгай гэж нэрлэгддэг гипербол параболоидын зургийг Зураг дээр үзүүлэв. 8.6. Энэ гадаргуу үүсэх нь хоёр чиглүүлэгчийн дагуу шулуун шугамын хөдөлгөөний үр дүн гэж үзэж болно - тодорхой параллелизмын хавтгайтай параллель шулуун шугамыг гатлах. Зураг дээр. 8.6 параллелизмын хавтгай - проекцын хавтгай - хөтөч - проекц бүхий шулуун шугамууд M"N", M"N"Тэгээд F"G", F"G".

Зохицуулалтгүй гадаргуу.Тэдгээр нь тогтмол үүсгэгч ба хувьсах генатрикс бүхий гадаргууд хуваагддаг.

Тогтмол генатрикс бүхий гадаргууг эргээд муруй генатрикс бүхий эргэлтийн гадаргуу, жишээлбэл, бөмбөрцөг, торус, эргэлтийн эллипсоид гэх мэт, мөн мөчлөгт гадаргуу, жишээлбэл, тогтмол муруй хоолойн гадаргууд хуваагддаг. хөндлөн огтлол, булаг шанд.

Хувьсах генератрикс бүхий гадаргууг хоёр дахь эрэмбийн гадаргуу, хувьсах үүсгэгчтэй цикл гадаргуу, хүрээний гадаргуу гэж хуваана. Хоёрдахь эрэмбийн гадаргуугийн зургийг - эллипсоид - Зураг дээр үзүүлэв. 8.7. Эллипсоидын генатрикс нь хэв гажилттай эллипс юм. Хоёр хөтөч нь огтлолцсон хоёр эллипс бөгөөд тэдгээрийн хавтгай нь ортогональ, нэг тэнхлэг нь нийтлэг байдаг. Генератрикс нь тэнхлэгийнхээ туйлын цэгүүд дээр чиглүүлэгчийг огтолдог.

Хөдлөх үед үүсгэгч эллипсийн хавтгай нь чиглүүлэгч эллипсийн хоёр огтлолцох тэнхлэгээс үүссэн хавтгайтай параллель хэвээр байна.

Хувьсах генератрикс бүхий цикл гадаргуу нь генатрикс - хувьсах радиусын тойрог, чиглүүлэгч - генатриксийн төв нь хөдөлдөг муруй, генераторын хавтгай нь чиглүүлэгчтэй перпендикуляр байдаг. Хүрээний гадаргуу нь хөдөлж буй generatrix биш, харин гадаргуу дээрх тодорхой тооны шугамаар тодорхойлогддог.

Ихэвчлэн ийм шугамууд нь хавтгай муруй,

онгоцууд нь хоорондоо параллель байна. Ийм шугамын хоёр бүлэг нь бие биенээ огтолж, шугаман гадаргуугийн хүрээ үүсгэдэг. Шугамануудын огтлолцох цэгүүд нь гадаргуугийн цэгийн хүрээ үүсгэдэг. Гадаргуугийн цэгийн хүрээг мөн гадаргуугийн цэгүүдийн координатаар тодорхойлж болно. Хүрээний гадаргуу нь хөлөг онгоцны их бие, нисэх онгоц, автомашин, катодын туяа хоолойн цилиндрийг барихад өргөн хэрэглэгддэг.

Эдгээр гадаргуугаас бид шурагны гадаргууг илүү нарийвчлан авч үзэх болно.

Сул ба хүчтэй тасалдалтай гадаргуу (II хэсэг, I бүлэг, § 4). Тасралтгүй байдлын завсарлага (, §§ 18, 19).

Материаллаг орчин ба цахилгаан соронзон орон дахь хүчтэй тасалдалтай гадаргуу дээрх нөхцөл байдал (VII бүлэг, §§ 4, 5; , § 35). Тангенциал тасалдал ба цочролын долгион (, § 18, 19).

Гидростатик

Боломжит массын хүчний талбар дахь шингэн ба хийн тэнцвэр. Архимедийн хууль. Хөвөгч биет ба агаар мандлын тэнцвэр ба тогтвортой байдал (VIII § 1; , I хэсэг, III бүлэг, §§ 1-4, 8).

Хамгийн тохиромжтой шахагдахгүй шингэний хөдөлгөөн

Шахдаггүй шингэний тасралтгүй боломжит хөдөлгөөний ерөнхий онол (VIII бүлэг, § 12). Гармоник функцүүдийн шинж чанарууд (VIII бүлэг, § 12). Үржүүлж холбогдсон домэйн дэх потенциалын олон утгатай байдал (I хэсэг, I бүлэг, § 18). Тохиромжтой шахагдахгүй шингэний хязгааргүй эзэлхүүн дэх хатуу биетийн дур зоргоороо хөдөлгөөний кинематик бодлого (VIII бүлэг, § 14). Шингэний дотор хатуу бие хөдөлж байх үеийн энерги, импульс ба өнцгийн импульс (VIII бүлэг, § 15). Идеал шингэн дэх бөмбөрцгийн хөдөлгөөн (VIII бүлэг, § 13).

Хязгааргүй шингэний массаар хөдөлж буй биед хамгийн тохиромжтой шингэний нөлөөллийн хүч (VIII бүлэг, § 16). Нэмэгдсэн массын онолын үндэс (VIII бүлэг, § 15). Д'Аламберын парадокс (VIII бүлэг, §§ 8, 16).

Хамгийн тохиромжтой шингэний хавтгай хөдөлгөөн. Одоогийн функц. Гидродинамик ба аэродинамикийн хавтгай асуудлуудыг шийдвэрлэхэд нийлмэл хувьсагчийн аналитик функцын онолын аргуудыг ашиглах (I хэсэг, III бүлэг, §§ 11-16; , §§ 39, 40). Цилиндр ба профилын эргэн тойронд хөдөлгөөнгүй шингэний урсгал (, § 41). Чаплыгины томъёо ба Жуковскийн теорем (I хэсэг, VI бүлэг, §§ 5, 6; , § 44). Жуковский, Чаплыгин нарын хурц ирмэгтэй далавчны эргэн тойронд эргэлтийг тодорхойлох дүрэм (I хэсэг, VI бүлэг, § 7; , § 41). Профайлын эргэн тойронд тогтворгүй урсгал (I бүлэг, §§ 1-5).

Тийрэлтэт шингэний урсгал дээр онгоцны асуудал. Биеийн эргэн тойронд тийрэлтэт салалт бүхий урсгал. Кирхгоф, Ефрос болон бусад хүмүүсийн схемүүд (I хэсэг, VI бүлэг, § 16; , § 47; V бүлэг, 4-р хэсэг).

Өгөгдсөн эргүүлэг ба эх үүсвэрээс хурдны талбайг тодорхойлох (I хэсэг, V бүлэг, § 11; VIII бүлэг, § 26). Био-Савартын томъёо. Шулуун шугам ба цагираг эргүүлэг (I хэсэг, V бүлэг, §§ 12-15; VIII бүлэг, § 27). Даралтын хуваарилалтын хуулиуд, хавтгай урсгал дахь шулуун эргэлтүүдийн албадан хөдөлгөөнийг үүсгэдэг хүч (VIII бүлэг, § 28).

Хязгаарлагдмал далавчны онолын асуудлын тухай мэдэгдэл, үндсэн үр дүн. Холхивчийн шугам ба холхивчийн гадаргуу (VII бүлэг, § 27; , § 68).

Хүнд шахагдахгүй шингэний гадаргуу дээрх долгионы тухай Коши-Пуассоны асуудлын мэдэгдэл (I хэсэг, VIII бүлэг, §§ 2, 3; , § 24). Гармоник долгион. Фаз ба бүлгийн хурд. Долгионы тархалт (I хэсэг, VII бүлэг, § 8; , § 24; , §§ 11.1, 11.2, 11.4). Прогрессив долгионоор энерги дамжуулах (I хэсэг, VII бүлэг, §§ 18-19; , § 11.6). Гүехэн усны онол (, § 108; , § 13.10). Boussinesq болон Korteweg-de-Vries тэгшитгэл. Шугаман бус долгион. Солитон (, §§ 13.11, 13.12; , § 24).

Наалдамхай шингэний хөдөлгөөн. Хилийн давхаргын онол.

Үймээн самуун

Шахагдахгүй наалдамхай шингэний ламинар хөдөлгөөн. Couette болон Poiseuille урсгал (II хэсэг, II бүлэг, §§ 11, 12; VIII бүлэг, § 21). Диффузор дахь наалдамхай шингэний урсгал (V бүлэг, §§ 6, 9; X бүлэг, §§ 3, 4; , § 23). Vortex тархалт (VIII бүлэг, § 30).

Стокс ба Осений ойролцоолсон тооцоолол. Стоксын найрлага дахь наалдамхай шингэн дэх бөмбөрцгийн хөдөлгөөний асуудал (II хэсэг, II бүлэг, §§ 23, 25; VIII бүлэг, § 20; , § 20).

Ламинар хилийн давхарга (VIII бүлэг, § 23; VII, § 1). Бласиусын асуудал (VIII бүлэг, § 24; VII, § 5). Ламинар хилийн давхаргын онолд ашиглахад үндэслэсэн интеграл харилцаа ба ойролцоо аргууд (, § 89). Хилийн давхаргын тусгаарлах үзэгдэл (, § 86; , §§ 39, 40; , VII бүлэг, 2-р зүйл). Хилийн давхаргын тогтвортой байдал (, § 41; , XVI бүлэг, §§ 2, 3). Хилийн давхаргын онол дээр үндэслэсэн урсгалтай дулааны солилцоо (VI бүлэг, § 2; §§ 114-116; XII бүлэг, §§ 1, 4).

Турбулент (, § 95). Рэйнолдсын туршлага. Рэйнолдсын тэгшитгэл (VIII бүлэг, § 22). Дулаан ба бодисын турбулент дамжуулалт (, §§ 97, 98). Турбулентийн хагас эмпирик онолууд (, § 98;, XIX бүлэг, §§ 2-4; (, III бүлэг, 4-р хэсэг).). Хилийн давхарга дахь хурдны профайл. Логарифмын хууль (, § 120;, XIX хэсэг, § 5). Турбуленттай үед шингэний механикийн тэгшитгэлийн шууд тоон шийдэл ().

Өмнөх бүлгүүдэд бид хий дэх бүх хэмжигдэхүүнүүдийн (хурд, даралт, нягт гэх мэт) тархалт тасралтгүй үргэлжлэх урсгалыг л авч үзсэн. Гэсэн хэдий ч эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн хуваарилалт тасалдсан хөдөлгөөнүүд бас боломжтой байдаг.

Зарим гадаргуугийн дагуу хийн хөдөлгөөний тасалдал үүсдэг; Ийм гадаргуугаар дамжин өнгөрөх үед эдгээр хэмжигдэхүүнүүд үсрэлтийг мэдэрдэг. Эдгээр гадаргууг тасархай гадаргуу гэж нэрлэдэг. Тогтворгүй хийн хөдөлгөөний үед тасалдсан гадаргуу нь ерөнхийдөө хөдөлгөөнгүй хэвээр үлддэг; Хагарлын гадаргуугийн хөдөлгөөний хурд нь хийн хөдөлгөөний хурдтай ямар ч холбоогүй гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Хийн тоосонцор хөдөлж байхдаа энэ гадаргуугаар дамжин өнгөрч болно.

Хагарлын гадаргуу дээр тодорхой хилийн нөхцлийг хангасан байх ёстой.

Эдгээр нөхцлүүдийг томъёолохын тулд тасалдалтай гадаргуугийн зарим элементийг авч үзээд энэ элементтэй холбоотой координатын системийг түүнд хэвийн чиглүүлсэн тэнхлэгт ашиглана.

Нэгдүгээрт, хагарлын гадаргуу дээр материалын тасралтгүй урсгал байх ёстой: нэг талаас орж буй хийн хэмжээ нь гадаргуугийн нөгөө талаас гарах хийн хэмжээтэй тэнцүү байх ёстой. Тиймээс авч үзэж буй гадаргуугийн элементээр дамжин өнгөрөх хийн урсгал (нэгж талбайд) нь 1 ба 2 индексүүд нь тасалдалтай гадаргуугийн хоёр талыг харуулсан нөхцөлтэй тэнцүү байна.

Доор бид дөрвөлжин хаалт ашиглан тасалдсан гадаргуугийн хоёр талын аль ч хэмжигдэхүүний утгын зөрүүг тэмдэглэнэ; Тэгэхээр,

ба үүссэн нөхцөлийг маягт дээр бичнэ

Эцэст нь, импульсийн тасралтгүй урсгал байх ёстой, өөрөөр хэлбэл, хагарлын гадаргуугийн хоёр талд хийнүүд бие биендээ үйлчлэх хүч тэнцүү байх ёстой. Нэгж талбайг дамжих импульсийн урсгал нь тэнцүү байна (§ 7-г үзнэ үү)

Хэвийн вектор нь тэнхлэгийн дагуу чиглэнэ.Иймээс импульсийн урсгалын А - бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тасралтгүй байдал нь нөхцөл байдалд хүргэдэг.

ба y ба -компонентуудын залгамж чанар нь өгдөг

Тэгшитгэл (84.1-4) нь тасархайн гадаргуу дээрх хилийн нөхцлийн бүрэн системийг илэрхийлнэ. Тэдгээрээс бид нэн даруй хоёр төрлийн тасалдалтай гадаргуутай гэж дүгнэж болно.

Эхний тохиолдолд тасалдсан гадаргуугаар бодисын урсгал байхгүй. Энэ нь тэг биш учраас заавал байх ёстой гэсэн үг юм

Энэ тохиолдолд (84.2) ба (84.4) нөхцлүүд автоматаар хангагдах ба нөхцөл (84.3) өгөгдөнө. Иймээс энэ тохиолдолд тасалдалын гадаргуу дээр хэвийн хурдны бүрэлдэхүүн хэсэг ба хийн даралт тасралтгүй байна:

Тангенциал хурд ба нягтрал (даралтаас бусад термодинамик хэмжигдэхүүнүүд) дур зоргоороо үсрэх боломжтой. Ийм тасалдлыг бид тангенциал гэж нэрлэх болно.

Хоёр дахь тохиолдолд, бодисын урсгал, түүнтэй хамт 0-ээс ялгаатай байна. Дараа нь (84.1) ба (84.4) -ээс бид:

өөрөөр хэлбэл, шүргэгч хурд нь тасалдалтай гадаргуу дээр тасралтгүй байна. Нягт, даралт (тиймээс бусад термодинамик хэмжигдэхүүнүүд) болон хэвийн хурд нь үсрэлттэй байдаг бөгөөд эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн үсрэлтүүд (84.1-3) хамааралтай байдаг. (84.2) нөхцөлд бид (84.1)-ийн тусламжтайгаар багасгаж, оронд нь v-ийн тасралтгүй байдлын улмаас v гэж бичиж болно. Тиймээс, хэлэлцэж буй тохиолдолд тасалдалтай гадаргуу дээр дараахь нөхцөлүүд байх ёстой.

Энэ төрлийн эвдрэлийг цочролын долгион гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бид одоо тогтмол координатын систем рүү буцах юм бол, үүний оронд бид тасалдалтай гадаргуутай хэвийн хийн хурдны бүрэлдэхүүн хэсэг болон гадаргуугийн өөрийнх нь хурдны хоорондын зөрүүг, тодорхойлолтоор, түүний хэвийн дагуу чиглүүлэн бичих ёстой.

Хурд болон ба-г тогтмол жишиг хүрээтэй харьцуулан авна. Хурд нь хагарлын гадаргуутай харьцуулахад хийн хөдөлгөөний хурд; өөрөөр хэлбэл бид хийтэй харьцуулахад хагарлын гадаргуугийн тархалтын хурд байдаг гэж хэлж болно. Энэ хурд нь гадаргын хоёр тал дахь хийтэй харьцуулахад ялгаатай гэдгийг анхаарна уу (хэрэв хагарсан бол).

Бид тангенциал хурдны бүрэлдэхүүн хэсэг үсрэлтэнд өртөх шүргэгч тасалдлыг авч үзсэн. § 29. Тэнд шахагддаггүй шингэнд ийм тасалдал нь тогтворгүй байдаг тул турбулент бүсэд элэгдэх ёстойг харуулсан. Шахдаг шингэний ижил төстэй судалгаагаар ийм тогтворгүй байдал нь дур зоргоороо хурдны ерөнхий тохиолдолд бас тохиолддог болохыг харуулж байна (1-р асуудлыг үзнэ үү).

Тангенциал тасалдлын онцгой тохиолдол бол хурд нь тасралтгүй бөгөөд зөвхөн нягтрал (мөн үүнтэй хамт даралтаас бусад термодинамик хэмжигдэхүүнүүд) үсрэлтийг мэдэрдэг тасалдал юм; ийм цоорхойг контакт гэж нэрлэдэг. Тогтворгүй байдлын тухай дээр хэлсэн зүйл тэдэнд хамаарахгүй.

Мөрүүдийг таслах (буруу). Энэ үйлдэл нь цэг бүрт хоёр тэмдэгтэй бүтцийн шугам зурах боломжийг танд олгоно. Энэхүү бүтцийн шугамыг таслах шугам гэж нэрлэдэг. Хагарлын шугамын жишээ бол тулгуур хана бахил(самбар, Санкт-Петербургийн оршин суугчдын хувьд - хашлага :)). Та хил дээр давхар тэмдэг зурж болнотусгай баг.

Та функцийг дуудах үед шаардлагатай параметрүүдийг зааж өгөх харилцах цонх гарч ирнэ.

Хэрэв та "Тогтмол өндрийн утгыг авах"-ыг сонговол өндрийн тоон утгыг оруулна уу.

"Гадаргуугаар авах"-ыг сонгохдоо жагсаалтаас одоо байгаа гадаргуугийн нэрийг сонгоно уу.

Хагарлын шугамын төрөл - зүүн эсвэл баруун.

Зөвлөгөө. "Өндрийн зөрүүний утгыг хадгалах" нүдийг сонговол дээд өндрийг дараах байдлаар тодорхойлно: зөрүүний утгыг доод өндөрлөгт нэмж, дээд өндрийг засах боломжгүй болно. Хэрэв та үүнийг засах шаардлагатай бол ялгааны нүдийг унтрааж, энэ тэмдэглэгээний нүдийг асаана уу - энэ нь засварлах боломжтой болно.

Өндөр болон ялгааны утгыг харилцах цонхонд хянаж, засварлаж болно:

"Эхний цэгийг оруулна уу эсвэл [Сонголтууд(P)]:" гэсэн програмын сануулсны дараа энэ цонх гарч ирнэ.

Энэ нь оролт ямар утгатай байсныг санаж байна. Дараагийн удаа цонхыг дуудах үед санасан талбараас оролт эхэлнэ.

Үл мэдэгдэх тэмдэглэгээг идэвхгүй болгох боломжтой - шалгах хайрцагны эхний багана.

Хагарлын шугамыг бүхэлд нь оруулсны дараа боломжтой бол мэдэгдэж буй өндрөөс үл мэдэгдэх өндрийг тооцоолно.

Шалгалтын нүднүүдийн сүүлчийн багана нь дахин тооцоолох үндсэн тэмдэг юм (зүүн талд байгаа тэмдэглэгээ нь утга учиртай).

Хэрэв үндсэн тэмдэг өөрчлөгдөхгүй, харин үндсэн бус тэмдэгтүүдийн аль нэг нь өөрчлөгдвөл нөгөө суурь бус тэмдгийг дахин тооцоолно. Хэрэв суурь нь доод эсвэл дээд байвал та үүнийг өөрчилбөл дунд нь өөрчлөгдөнө; Хэрэв суурь нь дунд бөгөөд та үүнийг өөрчилвөл дээд хэсэг нь анхдагчаар өөрчлөгддөг.

Хэрэв та эхний баганад байгаа нүднүүдийн аль нэгийг унтраавал үндсэн тэмдгийн утга алга болно.

Эхний оруулгыг шалгах тэмдгийг санал болгодог хэд хэдэн радио товчлуурууд байдаг. Хэрэв "Сүүлийн" гэж сонгосон бол хамгийн сүүлд оруулсан өндрийг санал болгоно.

Таслах шугам нь тусгай объект, геон юм. Дээд ба доод хэсгийн хоорондох хэвтээ зөрүүг "Барилга угсралтын явцад таслах шугамын шилжилтийн хэмжээ" параметрийг ашиглан "Завсарлагааны шугамын нэмэлт параметрүүд" хэсгийн "Завсарлагааны шугамын тохиргоо" таб дахь "Гадаргуугийн тохиргоо" харилцах цонхонд тохируулна.

Зүсэлтийн шугамыг зурсны эцэст дараах төрлийн баталгаажуулах хүсэлт гарч ирнэ.

"Таслах шугамын офсет талыг цэгээр зааж өгнө үү<Линия разрыва (Правая)>эсвэл :".

Хэрэглэгч бүтцийн шугамын шилжилтийн чиглэлийг цэгээр зааж өгөх (цэг рүү ороход хялбар болгохын тулд бүтцийн шугамын сүүлчийн оруулсан цэгээс тогтоосон цэг хүртэл резинэн шугам гарч ирнэ), эсвэл заасан шилжилтийн төрлийг баталгаажуулна. эхлээд (бусад ямар ч оролт).

Таслах үед (жишээ нь, _Nea) таслах шугамын доод хэсэгт snap хийнэ.

Бүтцийн эвдрэлийн шугамд дараах шинж чанарууд нэмэгдсэн:

§ дээд шугам руу орох боломж,

§ ээлжийн талыг харуулах,

§ гадаргууг барихдаа шилжих утгыг тохируулах чадвар (0.01 хангалттай),

§ _Explode командын тусламжтайгаар энэ нь хоёр гео шугам болж хувирдаг.

МАТАНАЛИЗИЙН ТУХАЙ ЛЕКЦИЙН ТАЙЛБАР

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцууд. Хоёр хувьсагчийн функцийн геометрийн дүрслэл. Түвшингийн шугам ба гадаргуу. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн хязгаар ба тасралтгүй байдал, тэдгээрийн шинж чанар. Хэсэгчилсэн дериватив, тэдгээрийн шинж чанар, геометрийн утга.

Тодорхойлолт 1.1.Хувьсагч z (өөрчлөх талбайтай З) дуудсан бие даасан хоёр хувьсагчийн функц x,yэлбэг дэлбэг М, хэрэв хос бүр ( x,y) олон хүнээс М z-аас З.

Тодорхойлолт 1.2.Цөөн хэдэн М, үүнд хувьсагчид тодорхойлогддог x,y,дуудсан функцийн домэйн, мөн өөрсдөө x,y- тэр аргументууд.

Тэмдэглэл: z = е(x, y), z = z(x, y).

Жишээ.

Сэтгэгдэл.Хоёр тооноос хойш ( x,y) нь хавтгай дээрх тодорхой цэгийн координат гэж үзэж болно; дараа нь бид "цэг" гэсэн нэр томъёог хоёр хувьсагчийн функцийн хос аргумент, түүнчлэн дараалсан тоонуудын хувьд ашиглах болно.
, эдгээр нь хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн аргументууд юм.

Тодорхойлолт 1.3. . Хувьсагч z (өөрчлөх талбайтай З) дуудсан хэд хэдэн бие даасан хувьсагчийн функц
элбэг дэлбэг М, тоонуудын багц бүр бол
олон хүнээс Мзарим дүрэм, хуулийн дагуу тодорхой нэг утгыг оноодог z-аас З. Аргумент болон домэйны тухай ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцтэй ижил аргаар нэвтрүүлсэн.

Тэмдэглэл: z = е
,z = z
.

Хоёр хувьсагчийн функцийн геометрийн дүрслэл.

Функцийг авч үзье

z = е(x, y) , (1.1)

зарим хэсэгт тодорхойлсон М O хавтгай дээр xy. Дараа нь координат бүхий гурван хэмжээст орон зай дахь цэгүүдийн багц ( x, y, z) , энд , нь хоёр хувьсагчийн функцийн график юм. Тэгшитгэл (1.1) нь гурван хэмжээст орон зайд тодорхой гадаргууг тодорхойлдог тул энэ нь авч үзэж буй функцийн геометрийн дүрс байх болно.

z = f(x,y)

М y

Сэтгэгдэл. Гурав ба түүнээс дээш хувьсагчийн функцийн хувьд бид "гадаргуу" гэсэн нэр томъёог ашиглана n-хэмжээт орон зай” гэсэн хэдий ч ийм гадаргууг дүрслэх боломжгүй юм.

Түвшингийн шугам ба гадаргуу.

(1.1) тэгшитгэлээр өгөгдсөн хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд бид цэгийн багцыг авч үзэж болно ( x,y)Ай онгоц xy, Үүний төлөө z ижил тогтмол утгыг авдаг, өөрөөр хэлбэл z= const. Эдгээр цэгүүд гэж нэрлэгддэг хавтгай дээр шугам үүсгэдэг түвшний шугам.

Жишээ.

Гадаргуугийн түвшний шугамыг ол z = 4 – x² - y². Тэдний тэгшитгэл нь иймэрхүү харагдаж байна x² + y² = 4 – в (в=const) – эх цэгт төвтэй, радиустай төвтэй тойргийн тэгшитгэл
. Жишээлбэл, хэзээ -тай=0 бид тойрог авдаг x² + y² = 4.

Гурван хувьсагчтай функцийн хувьд у = у (x, y, z) тэгшитгэл у (x, y, z) = вгэж нэрлэгддэг гурван хэмжээст орон зай дахь гадаргууг тодорхойлдог тэгш гадаргуу.

Жишээ.

Функцийн хувьд у = 3x + 5y – 7z-12 түвшний гадаргуу нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн параллель хавтгайн бүлэг болно

3x + 5y – 7z –12 + -тай = 0.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаар ба тасралтгүй байдал.

Үзэл баримтлалыг танилцуулъя δ-хөршүүдоноо М 0 (X 0 , y 0 ) O хавтгай дээр xyөгөгдсөн цэгт төвтэй δ радиустай тойрог хэлбэрээр. Үүний нэгэн адил бид гурван хэмжээст орон зай дахь δ-хөршийг цэг дээр төвтэй δ радиустай бөмбөг гэж тодорхойлж болно. М 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) . Учир нь nХэмжээст орон зайг бид цэгийн δ-хөрш гэж нэрлэнэ М 0 багц оноо Мкоординатуудтай
, нөхцөлийг хангаж байна

Хаана
- цэгийн координат М 0 . Заримдаа энэ багцыг "бөмбөг" гэж нэрлэдэг n- хэмжээст орон зай.

Тодорхойлолт 1.4.А тоог дууддаг хязгаархэд хэдэн хувьсагчийн функцууд е
цэг дээр М 0 бол

ийм | е(М) – А| < ε для любой точки Мδ-хөршөөс М 0 .

Тэмдэглэл:
.

Энэ тохиолдолд цэг гэдгийг анхаарч үзэх хэрэгтэй Мойртож магадгүй М 0, харьцангуйгаар хэлбэл, цэгийн δ-хөрш доторх аливаа траекторийн дагуу М 0 . Тиймээс хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн хязгаарыг ерөнхий утгаараа гэж нэрлэгддэгээс ялгах хэрэгтэй. давтагдсан хязгаартус тусад нь аргумент бүрийн хязгаар хүртэл дараалсан хэсгүүдээр олж авсан.

Жишээ.

Сэтгэгдэл. Өгөгдсөн цэг дээр ердийн утгаараа хязгаар оршин тогтнож, энэ цэг дээр хувь хүний ​​аргументууд дээр хязгаар оршин тогтнож байгаагаас давтан хязгаарын оршихуй ба тэгш байдал үүсдэг болохыг баталж болно. Урвуу мэдэгдэл нь үнэн биш юм.

Тодорхойлолт 1.5.Чиг үүрэг е
дуудсан Үргэлжилсэнцэг дээр М 0
, Хэрэв
(1.2)

Хэрэв бид тэмдэглэгээг танилцуулбал

Тэр нөхцөлийг (1.2) хэлбэрээр дахин бичиж болно

(1.3)

Тодорхойлолт 1.6.Дотоод цэг М 0 функцийн домэйн z = е (М) дуудсан таслах цэгХэрэв энэ үед (1.2), (1.3) нөхцөл хангагдаагүй бол функц.

Сэтгэгдэл.Олон тооны тасалдал нь хавтгай эсвэл сансар огторгуйд үүсч болно шугамуудэсвэл хугарлын гадаргуу.