Αν και αυτή η σύνδεση με την πρώτη ματιά φαίνεται εντελώς αφανής (τα επιστημονικά μαθηματικά, φαίνεται, είναι ένα πράγμα και τα οικονομικά και τα οικονομικά είναι εντελώς άλλο), αλλά μόλις μελετήσετε την ιστορία της «ανακάλυψης» αυτού του αριθμού, όλα γίνονται προφανή. Στην πραγματικότητα, ανεξάρτητα από το πώς οι επιστήμες χωρίζονται σε διαφορετικούς φαινομενικά άσχετους κλάδους, το γενικό παράδειγμα θα εξακολουθεί να είναι το ίδιο (ιδίως, για την καταναλωτική κοινωνία - μαθηματικά «καταναλωτών»).

Ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό. Το e είναι η βάση του φυσικού λογάριθμου, μια μαθηματική σταθερά, ένας παράλογος και υπερβατικός αριθμός. Μερικές φορές ο αριθμός e ονομάζεται αριθμός Euler ή αριθμός Napier. Συμβολίζεται με το πεζό λατινικό γράμμα "e".

Δεδομένου ότι η εκθετική συνάρτηση e^x είναι ενσωματωμένη και διαφοροποιημένη «στον εαυτό της», οι λογάριθμοι που βασίζονται στη βάση e γίνονται αποδεκτοί ως φυσικοί (αν και το ίδιο το όνομα «φυσικότητα» θα πρέπει να αμφισβητείται, επειδή όλα τα μαθηματικά βασίζονται ουσιαστικά σε τεχνητά εφευρεθέντα αυτές, διαζευγμένες από τις πλασματικές αρχές της φύσης, και καθόλου από τις φυσικές).

Αυτός ο αριθμός μερικές φορές ονομάζεται Nepier προς τιμήν του Σκωτσέζου επιστήμονα Napier, συγγραφέα του έργου "Description of the Amazing Table of Logarithms" (1614). Ωστόσο, αυτό το όνομα δεν είναι απολύτως σωστό, καθώς ο Napier δεν χρησιμοποίησε απευθείας τον ίδιο τον αριθμό.

Η σταθερά εμφανίζεται για πρώτη φορά σιωπηρά σε ένα παράρτημα της αγγλικής μετάφρασης του προαναφερθέντος έργου του Napier, που δημοσιεύτηκε το 1618. Πίσω από τις σκηνές, επειδή περιέχει μόνο έναν πίνακα φυσικών λογαρίθμων που προσδιορίζονται από ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΕΣ θεωρήσεις, αλλά η ίδια η σταθερά δεν είναι παρούσα.

Η ίδια η σταθερά υπολογίστηκε για πρώτη φορά από τον Ελβετό μαθηματικό Μπερνούλι (σύμφωνα με την επίσημη έκδοση το 1690) ενώ έλυσε το πρόβλημα της οριακής τιμής του ΕΙΣΟΔΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ ΤΟΚΟΥ. Βρήκε ότι αν το αρχικό ποσό ήταν 1 $ (το νόμισμα είναι εντελώς ασήμαντο) και συνδυαζόταν 100% ετησίως μια φορά στο τέλος του έτους, το τελικό ποσό θα ήταν 2 $. Αλλά αν ο ίδιος τόκος προσαυξάνεται δύο φορές το χρόνο, τότε το $1 πολλαπλασιάζεται επί 1,5 δύο φορές, με αποτέλεσμα 1,00 $ x 1,5² = 2,25 $. Το τριμηνιαίο αποτέλεσμα του σύνθετου επιτοκίου σε 1,00 $ x 1,254 = 2,44140625 $ και ούτω καθεξής. Ο Μπερνούλι έδειξε ότι αν η συχνότητα υπολογισμού των τόκων ΑΥΞΗΣΕΙ ΑΠΕΙΡΩΣ, τότε το εισόδημα από τόκους στην περίπτωση του σύνθετου τόκου έχει ένα όριο - και αυτό το όριο είναι ίσο με 2,71828...

1,00 $×(1+1/12)12 = 2,613035 $…

$1,00×(1+1/365)365 = $2,714568… - στο όριο ο αριθμός e

Έτσι, ο αριθμός e στην πραγματικότητα σημαίνει ιστορικά το μέγιστο δυνατό ΕΤΗΣΙΟ ΚΕΡΔΟΣ στο 100% ετησίως και τη μέγιστη συχνότητα κεφαλαιοποίησης τόκων. Και τι σχέση έχουν οι νόμοι του Σύμπαντος; Ο αριθμός e είναι ένα από τα σημαντικά δομικά στοιχεία στη βάση της νομισματικής οικονομίας των τόκων δανείων σε μια καταναλωτική κοινωνία, κάτω από την οποία από την αρχή, ακόμη και στο νοητικό φιλοσοφικό επίπεδο, όλα τα μαθηματικά που χρησιμοποιούνται σήμερα προσαρμόστηκαν και οξύνθηκαν αρκετούς αιώνες πριν.

Η πρώτη γνωστή χρήση αυτής της σταθεράς, όπου σημειωνόταν με το γράμμα b, εμφανίζεται στις επιστολές του Leibniz προς τον Huygens, 1690-1691.

Ο Euler άρχισε να χρησιμοποιεί το γράμμα e το 1727, εμφανίζεται για πρώτη φορά σε μια επιστολή του Euler προς τον Γερμανό μαθηματικό Goldbach με ημερομηνία 25 Νοεμβρίου 1731, και η πρώτη δημοσίευση με αυτό το γράμμα ήταν το έργο του «Mechanics, or the Science of Motion, Explained Analytically », 1736. Κατά συνέπεια, το e ονομάζεται συνήθως αριθμός Euler. Αν και ορισμένοι μελετητές χρησιμοποίησαν στη συνέχεια το γράμμα c, το γράμμα e χρησιμοποιήθηκε πιο συχνά και είναι ο τυπικός προσδιορισμός σήμερα.

Δεν είναι γνωστό ακριβώς γιατί επιλέχθηκε το γράμμα ε. Ίσως αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η λέξη εκθετική («ενδεικτική», «εκθετική») αρχίζει με αυτήν. Μια άλλη πρόταση είναι ότι τα γράμματα a, b, c και d ήταν ήδη σε αρκετά κοινή χρήση για άλλους σκοπούς, και το e ήταν το πρώτο "δωρεάν" γράμμα. Είναι επίσης αξιοσημείωτο ότι το γράμμα e είναι το πρώτο γράμμα στο επώνυμο Euler.

Αλλά σε κάθε περίπτωση, το να πούμε ότι ο αριθμός e κατά κάποιο τρόπο σχετίζεται με τους συμπαντικούς νόμους του Σύμπαντος και της φύσης είναι απλώς παράλογο. Αυτός ο αριθμός, από την ίδια την έννοια, αρχικά συνδέθηκε με το πιστωτικό και χρηματοοικονομικό νομισματικό σύστημα, και συγκεκριμένα μέσω αυτού του αριθμού (αλλά όχι μόνο) η ιδεολογία του πιστωτικού και χρηματοπιστωτικού συστήματος επηρέασε έμμεσα τη διαμόρφωση και την ανάπτυξη όλων των άλλων μαθηματικών, και μέσα από αυτό όλες οι άλλες επιστήμες (άλλωστε, χωρίς εξαίρεση, η επιστήμη υπολογίζει κάτι χρησιμοποιώντας τους κανόνες και τις προσεγγίσεις των μαθηματικών). Ο αριθμός e παίζει σημαντικό ρόλο στον διαφορικό και ολοκληρωτικό λογισμό, ο οποίος μέσω αυτού συνδέεται επίσης με την ιδεολογία και τη φιλοσοφία της μεγιστοποίησης του εισοδήματος από τόκους (μπορεί να πει κανείς ότι συνδέεται υποσυνείδητα). Πώς σχετίζεται ο φυσικός λογάριθμος; Η καθιέρωση του e ως σταθερά (μαζί με όλα τα άλλα) οδήγησε στο σχηματισμό σιωπηρών συνδέσεων στη σκέψη, σύμφωνα με τις οποίες όλα τα υπάρχοντα μαθηματικά απλά δεν μπορούν να υπάρχουν απομονωμένα από το νομισματικό σύστημα! Και υπό αυτό το πρίσμα, δεν είναι καθόλου περίεργο ότι οι αρχαίοι Σλάβοι (και όχι μόνο αυτοί) τα κατάφερναν τέλεια χωρίς σταθερές, παράλογους και υπερβατικούς αριθμούς, ακόμη και χωρίς αριθμούς και αριθμούς γενικά (τα γράμματα λειτουργούσαν ως αριθμοί στην αρχαιότητα). διαφορετική λογική, διαφορετική σκέψη στο σύστημα απουσία χρημάτων (και άρα οτιδήποτε συνδέεται με αυτό) κάνει όλα τα παραπάνω απλά περιττά.

Περιγράφοντας το e ως "μια σταθερά περίπου ίση με 2,71828..." είναι σαν να καλούμε το pi "έναν παράλογο αριθμό περίπου ίσο με 3,1415...". Αυτό είναι αναμφίβολα αλήθεια, αλλά η ουσία εξακολουθεί να μας διαφεύγει.

Pi είναι ο λόγος της περιφέρειας προς τη διάμετρο, ο ίδιος για όλους τους κύκλους. Είναι μια θεμελιώδης αναλογία κοινή σε όλους τους κύκλους και ως εκ τούτου εμπλέκεται στον υπολογισμό της περιφέρειας, του εμβαδού, του όγκου και της επιφάνειας για κύκλους, σφαίρες, κυλίνδρους κ.λπ. Το Pi δείχνει ότι όλοι οι κύκλοι σχετίζονται, για να μην αναφέρουμε τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις που προέρχονται από κύκλους (ημιτονοειδές, συνημίτονο, εφαπτομένη).

Ο αριθμός e είναι ο βασικός λόγος ανάπτυξης για όλες τις συνεχώς αναπτυσσόμενες διαδικασίες.Ο αριθμός e σάς επιτρέπει να πάρετε έναν απλό ρυθμό ανάπτυξης (όπου η διαφορά είναι ορατή μόνο στο τέλος του έτους) και να υπολογίσετε τις συνιστώσες αυτού του δείκτη, την κανονική ανάπτυξη, στην οποία με κάθε νανοδευτερόλεπτο (ή ακόμα πιο γρήγορα) όλα μεγαλώνουν λίγο περισσότερο.

Ο αριθμός e εμπλέκεται και σε συστήματα εκθετικής και σταθερής ανάπτυξης: πληθυσμός, ραδιενεργός διάσπαση, υπολογισμός ποσοστού και πολλά, πολλά άλλα. Ακόμη και συστήματα βημάτων που δεν αναπτύσσονται ομοιόμορφα μπορούν να προσεγγιστούν χρησιμοποιώντας τον αριθμό e.

Ακριβώς όπως οποιοσδήποτε αριθμός μπορεί να θεωρηθεί ως μια "κλιμακούμενη" έκδοση του 1 (η μονάδα βάσης), οποιοσδήποτε κύκλος μπορεί να θεωρηθεί ως "κλιμακούμενη" έκδοση του κύκλου μονάδας (με ακτίνα 1). Και οποιοσδήποτε αυξητικός παράγοντας μπορεί να θεωρηθεί ως μια "κλιμακούμενη" έκδοση του e (ο παράγοντας ανάπτυξης "μονάδας").

Άρα ο αριθμός e δεν είναι ένας τυχαίος αριθμός που λαμβάνεται τυχαία. Ο αριθμός e ενσωματώνει την ιδέα ότι όλα τα συνεχώς αναπτυσσόμενα συστήματα είναι κλιμακωμένες εκδόσεις της ίδιας μέτρησης.

Έννοια της εκθετικής ανάπτυξης

Ας ξεκινήσουμε εξετάζοντας το βασικό σύστημα που διπλασιάζεταιγια ορισμένο χρονικό διάστημα. Για παράδειγμα:

• Τα βακτήρια διαιρούνται και «διπλασιάζονται» σε αριθμό κάθε 24 ώρες
• Παίρνουμε διπλάσια noodles αν τα σπάσουμε στη μέση
• Τα χρήματά σας διπλασιάζονται κάθε χρόνο αν έχετε 100% κέρδος (τυχερός!)

Και μοιάζει κάπως έτσι:

Η διαίρεση με δύο ή ο διπλασιασμός είναι μια πολύ απλή εξέλιξη. Φυσικά, μπορούμε να τριπλασιάσουμε ή να τετραπλασιάσουμε, αλλά ο διπλασιασμός είναι πιο βολικός για εξήγηση.

Μαθηματικά, αν έχουμε x διαιρέσεις, καταλήγουμε με 2^x φορές περισσότερες καλές από ό,τι ξεκινήσαμε. Αν γίνει μόνο 1 κατάτμηση, παίρνουμε 2^1 φορές περισσότερο. Αν υπάρχουν 4 κατατμήσεις, παίρνουμε 2^4=16 μέρη. Ο γενικός τύπος μοιάζει με αυτό:

ύψος= 2 x

Με άλλα λόγια, ο διπλασιασμός είναι 100% αύξηση. Μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτόν τον τύπο ως εξής:

ύψος= (1+100%) x

Αυτή είναι η ίδια ισότητα, απλώς χωρίσαμε το "2" στα συστατικά μέρη του, που στην ουσία είναι αυτός ο αριθμός: η αρχική τιμή (1) συν 100%. Έξυπνο, σωστά;

Φυσικά, μπορούμε να αντικαταστήσουμε οποιονδήποτε άλλο αριθμό (50%, 25%, 200%) αντί για 100% και να πάρουμε τον τύπο ανάπτυξης για αυτόν τον νέο συντελεστή. Ο γενικός τύπος για x περιόδους της χρονοσειράς θα είναι:

ύψος = (1+ανάπτυξη)Χ

Αυτό σημαίνει απλά ότι χρησιμοποιούμε το ποσοστό επιστροφής, (1 + κέρδος), "x" φορές στη σειρά.

Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά

Ο τύπος μας υποθέτει ότι η ανάπτυξη συμβαίνει σε διακριτά βήματα. Τα βακτήρια μας περιμένουν και περιμένουν, και μετά μπαμ!, και την τελευταία στιγμή διπλασιάζονται σε αριθμό. Το κέρδος μας από τους τόκους της κατάθεσης εμφανίζεται ως δια μαγείας ακριβώς μετά από 1 χρόνο. Με βάση τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω, τα κέρδη αυξάνονται σταδιακά. Πράσινες κουκκίδες εμφανίζονται ξαφνικά.

Όμως ο κόσμος δεν είναι πάντα έτσι. Εάν κάνουμε μεγέθυνση, μπορούμε να δούμε ότι οι βακτηριδακοί φίλοι μας διαιρούνται συνεχώς:

Ο πράσινος τύπος δεν προκύπτει από το τίποτα: μεγαλώνει σιγά σιγά από τον μπλε γονιό. Μετά από 1 χρονικό διάστημα (24 ώρες στην περίπτωσή μας), ο πράσινος φίλος είναι ήδη πλήρως ώριμος. Έχοντας ωριμάσει, γίνεται ένα πλήρες μπλε μέλος της αγέλης και μπορεί να δημιουργήσει ο ίδιος νέα πράσινα κύτταρα.

Θα αλλάξει αυτή η πληροφορία την εξίσωσή μας με οποιονδήποτε τρόπο;

Οχι. Στην περίπτωση των βακτηρίων, τα μισοσχηματισμένα πράσινα κύτταρα εξακολουθούν να μην μπορούν να κάνουν τίποτα μέχρι να μεγαλώσουν και να χωριστούν εντελώς από τους μπλε γονείς τους. Άρα η εξίσωση είναι σωστή.

Πριν εισαγάγουμε την έννοια του φυσικού λογάριθμου, ας εξετάσουμε την έννοια ενός σταθερού αριθμού $e$.

Αριθμός $e$

Ορισμός 1

Αριθμός $e$είναι μια μαθηματική σταθερά που είναι υπερβατικός αριθμός και ισούται με $e\περίπου 2,718281828459045\ldots$.

Ορισμός 2

Υπερβατικόςείναι ένας αριθμός που δεν είναι η ρίζα ενός πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.

Σημείωση 1

Ο τελευταίος τύπος περιγράφει δεύτερο υπέροχο όριο.

Ο αριθμός e ονομάζεται επίσης Αριθμοί Euler, και μερικές φορές Αριθμοί νάπιερ.

Σημείωση 2

Για να θυμάστε τα πρώτα ψηφία του αριθμού $e$ χρησιμοποιείται συχνά η ακόλουθη έκφραση: "2$, 7$, δύο φορές Λέων Τολστόι". Φυσικά, για να μπορέσετε να το χρησιμοποιήσετε, πρέπει να θυμάστε ότι ο Λέων Τολστόι γεννήθηκε στα 1828$.Είναι αυτοί οι αριθμοί που επαναλαμβάνονται δύο φορές στην τιμή του αριθμού $e$ μετά το ακέραιο μέρος $2$ και το δεκαδικό μέρος $7$.

Αρχίσαμε να εξετάζουμε την έννοια του αριθμού $e$ όταν μελετάμε τον φυσικό λογάριθμο ακριβώς επειδή βρίσκεται στη βάση του λογαρίθμου $\log_(e)⁡a$, που συνήθως ονομάζεται φυσικόςκαι γράψτε το με τη μορφή $\ln ⁡a$.

Φυσικός λογάριθμος

Συχνά, στους υπολογισμούς, χρησιμοποιούνται λογάριθμοι, η βάση των οποίων είναι ο αριθμός $е$.

Ορισμός 4

Καλείται ένας λογάριθμος με βάση $e$ φυσικός.

Εκείνοι. ο φυσικός λογάριθμος μπορεί να συμβολιστεί ως $\log_(e)⁡a$, αλλά στα μαθηματικά είναι σύνηθες να χρησιμοποιείται ο συμβολισμός $\ln ⁡a$.

Ιδιότητες του φυσικού λογάριθμου

Επειδή ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση της ενότητας είναι ίσος με $0$, τότε ο φυσικός λογάριθμος της ενότητας είναι ίσος με $0$:

Ο φυσικός λογάριθμος του αριθμού $е$ είναι ίσος με ένα:

Ο φυσικός λογάριθμος του γινομένου δύο αριθμών είναι ίσος με το άθροισμα των φυσικών λογαρίθμων αυτών των αριθμών:

$\ln ⁡(ab)=\ln ⁡a+\ln ⁡b$.

Ο φυσικός λογάριθμος του πηλίκου δύο αριθμών είναι ίσος με τη διαφορά των φυσικών λογαρίθμων αυτών των αριθμών:

$\ln⁡\frac(a)(b)=\ln ⁡a-\ln⁡ b$.

Ο φυσικός λογάριθμος μιας δύναμης ενός αριθμού μπορεί να αναπαρασταθεί ως το γινόμενο του εκθέτη και ο φυσικός λογάριθμος του υπολογαριθμικού αριθμού:

$\ln⁡ a^s=s \cdot \ln⁡ a$.

Παράδειγμα 1

Απλοποιήστε την έκφραση $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)$.

Λύση.

Ας εφαρμόσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου γινομένου στον πρώτο λογάριθμο στον αριθμητή και στον παρονομαστή και την ιδιότητα του λογάριθμου ισχύος στον δεύτερο λογάριθμο του αριθμητή και του παρονομαστή:

$\frac(2 \ln ⁡4e-\ln⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=\frac(2(\ln ⁡4+\ln ⁡e) -\ln⁡ 4^2)(\ln ⁡5+\ln ⁡e-\frac(1)(2) \ln⁡ 5^2)=$

Ας ανοίξουμε τις αγκύλες και ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους και ας εφαρμόσουμε επίσης την ιδιότητα $\ln ⁡e=1$:

$=\frac(2 \ln ⁡4+2-2 \ln ⁡4)(\ln ⁡5+1-\frac(1)(2) \cdot 2 \ln ⁡5)=\frac(2)( \ln ⁡5+1-\ln ⁡5)=2$.

Απάντηση: $\frac(2 \ln ⁡4e-\ln ⁡16)(\ln ⁡5e-\frac(1)(2) \ln ⁡25)=2$.

Παράδειγμα 2

Βρείτε την τιμή της παράστασης $\ln⁡ 2e^2+\ln \frac(1)(2e)$.

Λύση.

Ας εφαρμόσουμε τον τύπο για το άθροισμα των λογαρίθμων:

$\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=\ln 2e^2 \cdot \frac(1)(2e)=\ln ⁡e=1$.

Απάντηση: $\ln 2e^2+\ln \frac(1)(2e)=1$.

Παράδειγμα 3

Υπολογίστε την τιμή της λογαριθμικής παράστασης $2 \lg ⁡0.1+3 \ln⁡ e^5$.

Λύση.

Ας εφαρμόσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου μιας δύναμης:

$2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=2 \lg 10^(-1)+3 \cdot 5 \ln ⁡e=-2 \lg ⁡10+15 \ln ⁡e=-2+ 15= $13.

Απάντηση: $2 \lg ⁡0,1+3 \ln e^5=13$.

Παράδειγμα 4

Απλοποιήστε τη λογαριθμική παράσταση $\ln \frac(1)(8)-3 \ln ⁡4$.

$3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=3 \ln (\frac(3)(e))^2-2 \ln 3^3=3 \cdot 2 \ln \ frac(3)(e)-2 \cdot 3 \ln ⁡3=6 \ln \frac(3)(e)-6 \ln ⁡3=$

Εφαρμόζουμε στον πρώτο λογάριθμο την ιδιότητα του λογάριθμου του πηλίκου:

$=6(\ln ⁡3-\ln ⁡e)-6 \ln⁡ 3=$

Ας ανοίξουμε τις παρενθέσεις και ας παρουσιάσουμε παρόμοιους όρους:

$=6 \ln ⁡3-6 \ln ⁡e-6 \ln ⁡3=-6$.

Απάντηση: $3 \ln \frac(9)(e^2)-2 \ln ⁡27=-6$.

Κάθε μία από τις λειτουργίες μιελέγχει την καθορισμένη τιμή και επιστρέφει TRUE ή FALSE ανάλογα με το αποτέλεσμα. Για παράδειγμα, η συνάρτηση ΑΔΕΙΑΖΩεπιστρέφει τη Boolean τιμή TRUE εάν η τιμή που ελέγχεται είναι μια αναφορά σε ένα κενό κελί. Διαφορετικά, επιστρέφεται η δυαδική τιμή FALSE.

Λειτουργίες μιχρησιμοποιούνται για τη λήψη πληροφοριών σχετικά με μια τιμή πριν από την εκτέλεση ενός υπολογισμού ή άλλης ενέργειας σε αυτήν. Για παράδειγμα, για να εκτελέσετε μια διαφορετική ενέργεια όταν παρουσιάζεται σφάλμα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τη συνάρτηση ΛΑΘΟΣσε συνδυασμό με τη συνάρτηση ΑΝ:

= ΑΝ( ERROR(A1); "Παρουσιάστηκε σφάλμα."; A1*2)

Αυτός ο τύπος ελέγχει για σφάλμα στο κελί A1. Όταν παρουσιαστεί σφάλμα, η συνάρτηση ΑΝεπιστρέφει το μήνυμα "Παρουσιάστηκε σφάλμα". Εάν δεν υπάρχουν σφάλματα, η συνάρτηση ΑΝυπολογίζει το γινόμενο Α1*2.

Σύνταξη

ΚΕΝΟ (τιμή)

EOS (τιμή)

ΣΦΑΛΜΑ (τιμή)

ELOGIC(τιμή)

UNM (τιμή)

NETTEXT(τιμή)

ETEXT(τιμή)

όρισμα συνάρτησης μιπεριγράφονται παρακάτω.

έννοιαΑπαιτούμενο επιχείρημα. Η τιμή που ελέγχεται. Η τιμή αυτού του ορίσματος μπορεί να είναι ένα κενό κελί, μια τιμή σφάλματος, μια Boolean τιμή, κείμενο, ένας αριθμός, μια αναφορά σε οποιοδήποτε από τα αντικείμενα που αναφέρονται ή το όνομα ενός τέτοιου αντικειμένου.

Λειτουργία	Επιστρέφει TRUE εάν
	Το όρισμα τιμή αναφέρεται σε ένα κενό κελί
	Το όρισμα τιμή αναφέρεται σε οποιαδήποτε τιμή σφάλματος εκτός από το #N/A
	Το όρισμα τιμής αναφέρεται σε οποιαδήποτε τιμή σφάλματος (#N/A, #VALUE!, #REF!, #DIV/0!, #NUM!, #NAME; ή #EMPTY!)
	Το όρισμα τιμή αναφέρεται σε μια τιμή boolean
	Το όρισμα τιμή αναφέρεται στην τιμή σφάλματος #N/A (η τιμή δεν είναι διαθέσιμη)
ENETEXT	Το όρισμα τιμή αναφέρεται σε οποιοδήποτε στοιχείο που δεν είναι κείμενο. (Σημειώστε ότι η συνάρτηση επιστρέφει TRUE εάν το όρισμα αναφέρεται σε ένα κενό κελί.)
	Το όρισμα τιμής αναφέρεται σε έναν αριθμό
	Το όρισμα τιμής αναφέρεται στο κείμενο

Σημειώσεις

Ορίσματα σε συναρτήσεις μιδεν μετατρέπονται. Τυχόν αριθμοί που περικλείονται σε εισαγωγικά αντιμετωπίζονται ως κείμενο. Για παράδειγμα, στις περισσότερες άλλες συναρτήσεις που απαιτούν ένα αριθμητικό όρισμα, τιμή κειμένουΤο "19" μετατρέπεται στον αριθμό 19. Ωστόσο, στον τύπο ISNUMBER("19") αυτή η τιμή δεν μετατρέπεται από κείμενο σε αριθμό και η συνάρτηση ISNUMBERεπιστρέφει FALSE.

Χρήση συναρτήσεων μιΕίναι βολικό να ελέγχετε τα αποτελέσματα των υπολογισμών σε τύπους. Συνδυάζοντας αυτά τα χαρακτηριστικά με τη λειτουργία ΑΝ, μπορείτε να βρείτε σφάλματα σε τύπους (δείτε παραδείγματα παρακάτω).

Παραδείγματα

Παράδειγμα 1

Αντιγράψτε το δείγμα δεδομένων από τον παρακάτω πίνακα και επικολλήστε το στο κελί A1 ενός νέου φύλλου εργασίας του Excel. Για να εμφανίσετε τα αποτελέσματα των τύπων, επιλέξτε τους και πατήστε F2 και μετά πατήστε Enter. Εάν είναι απαραίτητο, αλλάξτε το πλάτος των στηλών για να δείτε όλα τα δεδομένα.

Αντιγράψτε το δείγμα δεδομένων από τον παρακάτω πίνακα και επικολλήστε το στο κελί A1 ενός νέου φύλλου εργασίας του Excel. Για να εμφανίσετε τα αποτελέσματα των τύπων, επιλέξτε τους και πατήστε F2 και μετά πατήστε Enter. Εάν είναι απαραίτητο, αλλάξτε το πλάτος των στηλών για να δείτε όλα τα δεδομένα.

Δεδομένα
Τύπος	Περιγραφή	Αποτέλεσμα
ΚΕΝΟ(A2)	Ελέγχει εάν το κελί C2 είναι κενό
ΣΦΑΛΜΑ(A4)	Ελέγχει εάν η τιμή στο κελί A4 (#REF!) είναι τιμή σφάλματος
	Ελέγχει εάν η τιμή στο κελί A4 (#REF!) είναι η τιμή σφάλματος #N/A
	Ελέγχει εάν η τιμή στο κελί A6 (#N/A) είναι η τιμή σφάλματος #N/A
	Ελέγχει εάν η τιμή στο κελί A6 (#N/A) είναι τιμή σφάλματος
ISNUMBER(A5)	Ελέγχει εάν η τιμή στο κελί A5 (330,92) είναι αριθμός
ETEXT(A3)	Ελέγχει εάν η τιμή στο κελί A3 ("Περιοχή1") είναι κείμενο

y (x) = e x, η παράγωγος της οποίας είναι ίση με την ίδια τη συνάρτηση.

Ο εκθέτης συμβολίζεται ως , ή .

Αριθμός ε

Η βάση του βαθμού εκθέτη είναι αριθμός ε. Αυτός είναι ένας παράλογος αριθμός. Είναι περίπου ίσο
μι ≈ 2,718281828459045...

Ο αριθμός e καθορίζεται μέσω του ορίου της ακολουθίας. Αυτό είναι το λεγόμενο δεύτερο υπέροχο όριο:
.

Ο αριθμός e μπορεί επίσης να αναπαρασταθεί ως σειρά:
.

Εκθετικό γράφημα

Εκθετικό γράφημα, y = e x .

Το γράφημα δείχνει την εκθετική μιεώς ένα βαθμό Χ.
y (x) = e x
Το γράφημα δείχνει ότι ο εκθέτης αυξάνεται μονότονα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ τυποι

Οι βασικοί τύποι είναι οι ίδιοι όπως για την εκθετική συνάρτηση με βάση το βαθμό e.

;
;
;

Έκφραση εκθετικής συνάρτησης με αυθαίρετη βάση βαθμού α έως εκθετικής:
.

Ιδιωτικές αξίες

Αφήστε το y (x) = e x. Επειτα
.

Ιδιότητες εκθέτη

Ο εκθέτης έχει τις ιδιότητες μιας εκθετικής συνάρτησης με βάση ισχύος μι > 1 .

Τομέας, σύνολο τιμών

Εκθέτης y (x) = e xορίζεται για όλα τα x.
Το πεδίο ορισμού του:
- ∞ < x + ∞ .
Οι πολλές έννοιές του:
0 < y < + ∞ .

Ακραίες, αυξανόμενες, φθίνουσες

Η εκθετική είναι μια μονότονα αυξανόμενη συνάρτηση, άρα δεν έχει ακρότατα. Οι κύριες ιδιότητές του παρουσιάζονται στον πίνακα.

Αντίστροφη συνάρτηση

Το αντίστροφο του εκθέτη είναι ο φυσικός λογάριθμος.
;
.

Παράγωγος του εκθέτη

Παράγωγο μιεώς ένα βαθμό Χίσο με μιεώς ένα βαθμό Χ :
.
Παράγωγο νης τάξης:
.
Εξαγωγή τύπων > > >

Αναπόσπαστο

Μιγαδικοί αριθμοί

Οι πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς εκτελούνται χρησιμοποιώντας Οι τύποι του Euler:
,
πού είναι η φανταστική μονάδα:
.

Εκφράσεις μέσω υπερβολικών συναρτήσεων

; ;
.

Εκφράσεις με χρήση τριγωνομετρικών συναρτήσεων

; ;
;
.

Επέκταση σειράς ισχύος

Βιβλιογραφικές αναφορές:
ΣΕ. Bronstein, Κ.Α. Semendyaev, Εγχειρίδιο μαθηματικών για μηχανικούς και φοιτητές, "Lan", 2009.